Приближенное значение корня из 2. "приближенные вычисления квадратного корня". Приближенное вычисление квадратных корней

1.Герой повести - Акакий Акакиевич Башмачкин, мелкий чиновник одного из петербургских департаментов, униженный и бесправный человек «низенького роста, несколько рябоват, несколько рыжеват, несколько даже на вид подслеповат, с небольшой лысиной на лбу, с морщинами по обеим сторонам щек».2. Герой повести Гоголя во всем обижен судьбой, но он не ропщет: ему уже за пятьдесят, он не пошел дальше переписки бумаг, не поднялся чином выше титулярного советника (статский чиновник 9-го класса, не имеющий права на приобретение личного дворянства - если он не родился дворянином) - и все-таки смирен, кроток, лишен честолюбивых мечтаний. Нет у Башмачкина ни семьи, ни друзей, не ходит он ни в театр, ни в гости. Все его «духовные» потребности удовлетворяются переписыванием бумаг: «Мало сказать: он служил ревностно, - нет, он служил с любовью». За человека его никто не считает. «Молодые чиновники подсмеивались и острились над ним, во сколько хватало канцелярского остроумия...» Ни одного слова не отвечал Башмачкин своим обидчикам, даже не прекращал работы и не делал ошибок в письме. Всю жизнь Акакий Акакиевич служит на одном и том же месте, в одной и той же должности; жалованье у него мизерное - 400 руб. в год, вицмундир давно уже не зеленого, а рыжевато-мучного цвета; выношенную до дыр шинель сослуживцы называют капотом.3.Гоголь не скрывает ограниченности, скудности интересов своего героя, косноязычия. Но на первый план выводит другое: его кротость, безропотное терпение. Даже имя героя несет это значение: Акакий -- смиренный, незлобивый, не делающий зла, невинный. Появление шинели приоткрывает душевный мир героя, впервые изображены эмоции героя, хотя Гоголь не дает прямой речи персонажа - только пересказ. Акакий Акакиевич остается бессловесным даже в критическую минуту своей жизни. Драматизм этой ситуации заключается в том, что никто не помог Башмачкину. 4.«Сюжет «Шинели» чрезвычайно прост. Бедный маленький чиновник принимает важное решение и заказывает новую шинель. Пока ее шьют, она превращается в мечту его жизни. В первый же вечер, когда он ее надевает, шинель у него снимают воры на темной улице. Чиновник умирает от горя, и его приведение бродит по городу.Рассказ о «посмертном существовании» Акакий Акакиевича полон ужаса и комизма одновременно. В мертвенной тишине петербургской ночи он срывает шинели с чиновников, не признавая бюрократической разницы в чинах и действуя как за Калинкиным мостом (то есть в бедной части столицы), так и в богатой части города. Лишь настигнув непосредственного виновника своей смерти, «одно значительное лицо», которое после дружеской начальственной вечеринки направляется к «одной знакомой даме Каролине Ивановне», и, сорвав с него генеральскую шинель, «дух» мертвого Акакий Акакиевича успокаивается, исчезает с петербургских площадей и улиц. Видимо, «генеральская шинель пришлась ему совершенно по плечу».

1. Кто главный герой повести «Шинель»? Каков его характер и образ жизни? Что вы могли бы сказать об отношении автора к герою? Против чего направлена повесть и как в ней раскрывается тема возмездия?
Главный герой повести «Шинель» - Акакий Акакиевич Башмачкин, мелкий чиновник. Он живет крайне бедно, хотя отдает работе очень много сил и времени и искренне любит переписывание документов. Впрочем, более трудную работу Акакий Акакиевич и не способен выполнять, хотя был в его жизни эпизод, когда добрый начальник пытался повысить Башмачкина в должности и поручить ему делать извлечения из документов.
Акакий Акакиевич ведет полунищенское существование, он едва может оплатить самую скудную еду и плохонькое жилье, но уже покупка одежды становится для него неразрешимой проблемой. На шинель взамен вовсе пришедшей в негодность он вынужден долго копить, отказывая себе в самом необходимом.
Шинель становится для героя сверхценностью. Поэтому Башмачкин гибнет, лишившись ее, ведь она была уже смыслом его жизни.
Гоголь, безусловно, очень сочувствует герою, показывая, что даже нищий и глупый человек – это все равно человек, и относиться к нему надо по-человечески. В то же время автор осуждает героя за то, что он неодушевленную вещь – шинель – сделал смыслом своего существования.
Не в этом ли причина того, что после смерти чиновник становится привидением, срывающим шинели с прохожих. Он ожидает своего обидчика – «значительное лицо», когда-то распекавший бедного Башмачкина. Так реализуется идея возмездия. Интересно, что реализуется возмездие только в фантастической плоскости: автор, похоже, не верил в реальность возмездия.

2. Какие повести вошли в состав «Петербургских повестей»? подумайте, каким предстает Петербург в повести «Шинель». Проиллюстрируйте отрывками из текста, как Гоголь описывает зиму, ветер, вьюгу. Почему они получают символическое значение?
В состав «Петербургских повестей» вошло несколько произведений: «Шинель», «Невский проспект», «Портрет», «Нос», «Записки сумасшедшего»; иногда добавляют еще повести «Коляска» и «Рим», хотя они написаны позже. Все эти произведения изображают город в более или менее фантастическом стиле. В «Шинели» город страшен и жесток в своей зимней неумолимости. Стужа убийственна для тех, кто беден, у кого нет теплой одежды и обуви.
Гоголь пишет: «Есть в Петербурге сильный враг всех, получающих четыреста рублей в год жалованья или около того. Враг этот не кто другой, как наш северный мороз, хотя, впрочем, и говорят, что он очень здоров»; «Ветер, по петербургскому обычаю, дул на него со всех четырех сторон, из всех переулков»; «…порывистый ветер, который, выхватившись вдруг бог знает откуда и невесть от какой причины, так и резал в лицо, подбрасывая ему туда клочки снега, хлобуча, как парус, шинельный воротник или вдруг с неестественною силою набрасывая ему его на голову и доставляя, таким образом, вечные хлопоты из него выкарабкиваться». Эти описания имеют и символическое значение: мороз и ветер, вынудившие Башмачкина пошить новую шинель и затем убившие чиновника, лишившегося своей отрады, теперь являются союзниками призрака, верша вместе с ним возмездие.

3. В книге «Гоголь в Петербурге» читаем: «В «Шинели» и в «Повести о капитане Копейкине» реалистически запечатлен непримиримый социальный контраст Петербурга. Недаром Достоевский писал о последующих русских писателях: «Мы все вышли из «Шинели» Гоголя». Тема униженных и оскорбленных, тема забитых и замученных вечной нуждой людей, ютящихся в сырых подвалах петербургских домов, начинает свою родословную в произведениях Пушкина и Гоголя».
Как вы понимаете это высказывание ученых? Подтвердите свои мысли примерами из прочитанных произведений или подготовьте собственное рассуждение на эту тему на основе прочитанного (на выбор).
Я думаю, ученые имели в виду, что Пушкин в «Станционном смотрителе» и Гоголь в «Шинели» впервые изобразили бедного чиновника, которого каждый может обидеть. Их беспомощность останавливает одних насмешников (тех, в ком еще осталась совесть) и подстегивает одновременно других, совестью и милосердием уже не обремененных. Вслед за этими писателями к теме «униженных и оскорбленных» обращаются и многие другие писатели. Например, В.Короленко в своем произведении «В дурном обществе» или Ф.М.Достоевский в повестях «Белые ночи» или «Неточка Незванова». Русские писатели стремились всегда призывать людей любить и жалеть тех, кому судьба дала более тяжкую долю, нежели им. Мысль о страдающих и несчастных людях должна заставлять тех, кто может, хоть чем-нибудь помогать нуждающимся. Сейчас тоже много тех, кто нуждается в нашей помощи, и хорошо, что многие стремятся делать что-то для других.

***

В гоголевской повести «Шинель» активно презентуется и разрабатывается тема «маленького человека», в данном произведении эта проблема носит остро социальный характер. К слову, и в целом повесть была задумана и воплощена именно в этом ключе.

Самый главный выразитель этой идеи — Акакий Ака­киевич Башмачкин, бедный чиновник, который перебивается от жалованья к жалованью. Он ведёт тихую жизнь, незаметен и жалок.

В его образе Гоголь постарался воплотить целый класс таких, подобных Башмачкину, людей. Это класс всех бедных и обездоленных людей, безответных и тихих.

Уже в самом начале произведения, автор даёт установку на эту определённую проблему. Примечателен эпизод, когда родители выбирают Акакию имя при его рождении и никак не могу выбрать. В итоге оно получается одним из нелепейших, какие только можно было дать ребёнку в XIX веке. Указывается то, что эта проблема приспособленности к действительности указана уже в начале.

Акакий Акакиевич находится в постоянной борьбе с обстоятельствами. Он замкнут, нелюдим. Он служит в серой каморке в департаменте. Ему ничего не нужно кроме маленького серого мирка, в котором он может ото всех спрятаться.

Башмачкин старается трудиться, но все его усилия проходят мимо и не приносят пользы ни ему самому, ни окружающим. Для посторонних людей он жалок, беспомощен. А сам себя он почти никак не ощущает и не видит со стороны своей жалкости.

Трагизм заключается в том, что Башмачкин абсолютно лишён всех прав на жизнь. Он старается выжить, хочет выразить свою значимость, но при общении с другими вышестоящими чиновниками он чувствует робость, которая не даёт ему самореализоваться. Им движет чувство справедливости, он пытается пожаловаться, доказать свою правоту, но его ото всюду гонят. Конечно, что с такой тонкой и ранимой душой, да и в условиях проживания в непригодных для здоровья условиях, Башмачкин гибнет. В образе шинели, фактическом орудии его убийства, как раз и выражается вся злость автора, направленная на произвол и бездушие.

Таким образом, повесть Гоголя обличает человеческое бездушие и наплевательское отношение к своей службе. Маленький человек обречен, никто не способен помочь ему, пока каждый не задумается над своим поведением. Да и сам маленький человек становится неким символом произвола и насилия над человеческой личностью, которые так были популярны в чиновничьем обществе в XIX веке.

Драматизм ситуации подчёркивается также с помощью фантастики. Читать произведение местами страшно. Мистические вкрапления определяют образ Башмачкина ещё более трагически.

Тема возмездия воплощена в повести следующим образом. Мертвец Башмачкин встречается на пути значительного лица. Естественно, что мертвецу теперь всё равно и он судит своего встречного. Почему именно Башмачкин является в образе мертвеца? – Потому что в реальной жизни, при своей жизни, Башмачкин просто не смог бы воплотить своё возмездие в силу своего характера, условий жизни и обстоятельств вообще.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала . Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.

Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Физики, где ваши аплодисменты? =)

Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную? Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной , а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке . Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен.

Практикум состоит из двух частей:

– Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной.

– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных.

Кому что нужно. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функций нескольких переменных . Но что поделать, вот люблю я длинные статьи.

Приближенные вычисления
с помощью дифференциала функции одной переменной

Рассматриваемое задание и его геометрический смысл уже освещёны на уроке Что такое производная? , и сейчас мы ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.

В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:

Пример 1

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала :

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .

Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело . Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: .

Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: .

Если , то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке :

Таким образом:

Всё готово! Согласно формуле :

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

Пример 2

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным.

У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.

Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =)

Пример 3

в точке . Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»

Решение: Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать .

Значение необходимо представить в виде . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается . И, следовательно: .

Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.

Находим первую производную:

И её значение в точке :

Таким образом, дифференциал в точке:

В результате, по формуле :

Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Абсолютная и относительная погрешность вычислений

Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:

Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.

Относительная погрешность вычислений находится по формуле:
, или, то же самое:

Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.

После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала.

Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.

Вычислим абсолютную погрешность:

Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.

Ответ: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.

Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:

Пример 5

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке

Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:

Пример 6

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.

Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах . Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.

Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу

Записываем очевидную функцию

Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.

Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:

Таким образом:

После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так!

В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: (формулы можно найти в той же таблице).

Дальнейшее шаблонно:

Таким образом: (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.

Ответ:

Пример 7

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.

Приближенные вычисления
с помощью полного дифференциала функции двух переменных

Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.

Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .

Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.

Пример 8

Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .

А вот и рабочая формула:

Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же !

По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .

Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели:
,

Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,

И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть – надо его съесть.

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал функции в точке найдём по формуле:

Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .

Вычислим частные производные первого порядка в точке :

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :

Вычислим точное значение функции в точке :

Вот это значение является абсолютно точным.

Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:

Пример 9

Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.

Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: . Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.

Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).

Пример 10

Решение : Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:

Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.

Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал в точке найдем по формуле:

Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .

Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:

;

.

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, приближенное значение данного выражения:

Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527

Найдем относительную погрешность вычислений:

Ответ: ,

Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.

Пример 11

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий – это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:

Пример 12

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если

Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.

Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.

Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Извлечение квадратного корня «вручную»

На примере возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:

А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22"37"29". Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04"76"59"83".

Б) Навесить на число радикал и написатьзнак равенства:

22"37"29"→=… .

После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.

Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:

= 4… (с недостатком)

Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:

Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:

И производим вычисление так, как это уже написано.

Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:

После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:

Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по следующему правилу:

Это наибольшая цифра k такая, что число 8 k , т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k , не превосходит 637.

В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Итак, мы имеем:

Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:

637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е. = 473.

943 2829

В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:

= 4,123…

Приближенные методы извлечения квадратного корня

(без использования калькулятора).

1 метод.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а 2 +b, где а 2 ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а 2 ?х), и пользовались формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2 метод.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а 1 - первое приближение числа (в качестве а 1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа - точного квадрата, не превосходящего х) .