Что значит больший угол параллелограмма. Вычисление углов прямоугольного треугольника. Вычисление углов многоугольника

В правильной треугольной пирамиде SABC — N середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SN=6, а площадь боковой поверхности равна 72. Найдите длину отрезка AB.

Решение задачи

В данном уроке демонстрируется геометрическая задача, решение которой основывается на определении и свойствах правильной треугольной пирамиды. Утверждается, что все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками. Значит, площадь боковой поверхности данной пирамиды можно определить как бок. пов. =. Далее в ходе решения рассматривается треугольник , площадь которого равна половине произведения длины стороны на длину проведенной к этой стороне высоты. По свойству равнобедренного треугольника отрезок — это одновременно медиана и высота, следовательно, верно следующее равенство: . Выполнив соответствующую замену в формуле площади боковой поверхности пирамиды, подставляются известные по условию значения. Так как по определению правильной треугольной пирамиды в ее основании находится правильный треугольник, то найденное значение равно искомой длине отрезка .

Данная задача аналогична задачам вида В13, поэтому ее с успехом можно использовать в качестве подготовки к ЕГЭ по математике.

Задание.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все ребра равны 6.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.

б) Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.

Решение:

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.

Пусть точка M – середина ребра ВС, а точка N – середина ребра АВ, тогда MN – средняя линия треугольника ∆АВС. Значит, MN параллельна АС. Так как пирамида SABC правильная, то в основании лежит правильный треугольник ∆АВС, следовательно, BD – медиана и высота треугольника ∆АВС, т. е. BD перпендикулярна АС и BD перпендикулярна MN. Соединим последовательно точки B, D и S. Получим искомое сечение SBD, проходящее через вершину S и перпендикулярное отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.

б) Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB .

Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости. Построим центр грани SAB, для этого найдем точку пересечения медиан треугольника ∆SAB. Так как треугольник ∆SAB правильный, то точка пересечения медиан F есть центр грани SAB.

Проведем FE параллельно MN. Так как MN перпендикулярна плоскости сечения SBD, то FE перпендикулярна плоскости сечения SBD. Следовательно, FE – расстояние от плоскости сечения SBD до центра грани SAB.

Так как точки M и N – середины ребер АВ и ВС, то MN – средняя линия треугольника ∆АВС.

Так как BD – медиана и высота треугольника ∆АВС, то BP – медиана и высота треугольника ∆BMN. Следовательно, NP = MP = 1,5.

В правильной пирамиде апофемы SN и SM равны, значит, треугольник ∆SMN – равнобедренный, SP – высота треугольника ∆SMN.

В геометрии углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины угла). Чаще всего углы измеряют в градусах, при этом полный угол, или оборот, равен 360 градусам. Вы можете вычислить угол многоугольника, если вам известен тип многоугольника и величина других его углов или, в случае прямоугольного треугольника, длина двух из его сторон.

Шаги

Вычисление углов многоугольника

Сосчитайте количество углов в многоугольнике.

Найдите сумму всех углов многоугольника. Формула для нахождения суммы всех внутренних углов многоугольника выглядит как (n - 2) x 180, где n - число сторон, а также углов многоугольника. Вот суммы углов некоторых часто встречающихся многоугольников:

• Сумма углов треугольника (трехстороннего многоугольника) составляет 180 градусов.
• Сумма углов четырехугольника (четырехстороннего многоугольника) составляет 360 градусов.
• Сумма углов пятиугольника (пятистороннего многоугольника) составляет 540 градусов.
• Сумма углов шестиугольника (шестистороннего многоугольника) составляет 720 градусов.
• Сумма углов восьмиугольника (восьмистороннего многоугольника) составляет 1080 градусов.

1. Определите, является ли многоугольник правильным. Правильным называется такой многоугольник, у которого все стороны и все углы между собой равны. Примерами правильных многоугольников могут служить равносторонний треугольник и квадрат, в то время как здание Пентагона в Вашингтоне построено в форме правильного пятиугольника, а дорожный знак «стоп» имеет форму правильного восьмиугольника.

   Сложите известные величины углов многоугольника, а затем вычтите эту сумму из общей суммы всех его углов. В большинстве геометрических задач такого рода речь идет о треугольниках или четырехугольниках, поскольку в них нужно меньше исходных данных, так что мы поступим аналогично.

   • Если два угла треугольника равны, соответственно, 60 градусам и 80 градусам, сложите эти числа. Получится 140 градусов. Затем вычтите эту сумму из общей суммы всех углов треугольника, то есть из 180 градусов: 180 - 140 = 40 градусов. (Треугольник, все углы которого неравны между собой, называется неравносторонним.)
   • Вы можете записать это решение в виде формулы a = 180 - (b + c), где а - угол, величину которого нужно найти, b и c - величины известных углов. Для многоугольников с числом сторон больше трех замените 180 на сумму углов многоугольника данного вида и добавьте по одному слагаемому к сумме в скобках для каждого известного угла.
   • В некоторых многоугольниках есть свои «хитрости», которые помогут вам вычислить неизвестный угол. Например, равнобедренный треугольник - это треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны и противоположные углы которого равны.

   Вычисление углов прямоугольного треугольника

   1. Определите, какие данные вам известны. Прямоугольный треугольник называется так потому, что один из его углов является прямым. Вы можете найти величину одного из двух оставшихся углов, если вам известна одна из следующих величин:

      Определите, какую тригонометрическую функцию нужно использовать. Тригонометрические функции выражают соотношения двух из трех сторон треугольника. Существует шесть тригонометрических функций, но чаще всего используются следующие:

Ромбом называют четырехугольник, у которого все стороны одинаковы, а углы не равны. Эта геометрическая фигура обладает уникальными свойствами, которые значительно облегчают расчеты. Чтобы найти ее больший угол, нужно знать еще несколько параметров.

Вам понадобится

• - таблица синусов;
• - таблица косинусов;
• - таблица тангенсов.

Инструкция

В условиях задачи может быть указан меньший угол. Вспомните, чему равна сумма углов, прилежащих к одной стороне. Она у любого ромба составляет 180°. То есть вам достаточно из 180° вычесть размер известного угла. Начертите ромб. Обозначьте больший угол как?, а меньший – как?. Формула в этом случае будет выглядеть как?=180°-?.

В задаче могут быть указаны также размер стороны и длина одной из диагоналей. В этом случае нужно вспомнить свойства диагоналей ромба. В точке пересечения они делятся пополам. Диагонали перпендикулярны друг другу, то есть при решении задачи можно будет использовать свойства прямоугольных треугольников. Еще одна важная деталь каждая из диагоналей одновременно является и биссектрисой угла.

Для наглядности сделайте чертеж. Начертите ромб ABCD. Проведите в нем диагонали d1 и d2. Допустим, известная вам диагональ d1 соединяет меньшие углы. Обозначьте точку их пересечения как О, большие углы ABC и CDA– как?, а меньшие – как?. Каждый из углов делится диагональю пополам. Рассмотрите прямоугольный треугольник АОВ. Вам известны стороны АВ и ОА, равная половине диагонали d1. Они представляют собой гипотенузу и катет противолежащего угла.

Вычислите синус угла АВО. Он равен отношению катета ОА к гипотенузе АВ, то есть sinАВО= ОА/АВ. По таблице синусов найдите размер угла. Вспомните, что он равен половине большего угла ромба. Соответственно, для определения искомого полученный размер умножьте на 2.

Если в условиях дан размер диагонали d2, соединяющей большие углы, способ решения будет аналогичен предыдущему, только вместо синуса используется косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В условиях могут быть заданы только размеры диагоналей. В этом случае тоже понадобится чертеж, но, в отличие от предыдущих задач, он может быть точным. Проведите диагональ d1. Разделите ее пополам. К точке пересечения проведите диагональ d2 так, чтобы она тоже делилась на две равные части. Концы отрезков соедините по периметру. Обозначьте ромб как ABCD, точку пересечения диагоналей – как О.

Сторону ромба в данном случае вам вычислять не нужно. У вас образовался прямоугольный треугольник АОВ, у которого вам известны два катета. Отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом. Чтобы найти tgАВО, разделите ОА на ОВ. Найдите в таблице тангенсов нужное значение угла, а затем умножьте его на два.

Некоторые компьютерные программы позволяют не только вычислить больший угол ромба по заданным параметрам, но и сразу же начертить эту геометрическую фигуру. Это можно сделать, например, в программе AutoCAD. В этом случае таблицы синусов и тангенсов, конечно же, не нужны.

Все интересное

Ромб – стандартная геометрическая фигура, состоящая из четырех вершин, углов, сторон, а также двух диагоналей, которые перпендикулярны друг другу. Исходя из этого свойства, можно вычислить их длины по формуле для четырехугольника. Инструкция1Чтобы…

Ромбом можно назвать параллелограмм, диагонали которого делят пополам углы, лежащие в вершинах фигуры. Кроме этого свойства диагонали ромба примечательны тем, что являются осями симметрии многоугольника, пересекаются только под прямым углом, а…

Если все стороны плоской геометрической фигуры с параллельными противоположными сторонами (параллелограмма) равны, диагонали пересекаются под углом в 90° и делят пополам углы в вершинах многоугольника, то ее можно назвать ромбом. Эти дополнительные…

Катет – это сторона прямоугольного треугольника, прилегающая к прямому углу. Найти его можно, используя теорему Пифагора или тригонометрические отношения в прямоугольном треугольнике. Для этого нужно знать другие стороны или углы этого треугольника.…

Диагональ многоугольника - отрезок, который соединяет две не граничащие между собой вершины фигуры (т.е. несмежные вершины или не принадлежащие одной стороне многоугольника). В параллелограмме, зная длину диагоналей и длину сторон, можно рассчитать…

Параллелограмм, все стороны которого имеют одинаковую длину, называют ромбом. Это основное свойство определяет и равенство углов, лежащих в противоположных вершинах такой плоской геометрической фигуры. В ромб можно вписать окружность, радиус которой…

Ромбом называют четырехугольник, у которого все стороны одинаковы, а углы не равны. Эта геометрическая фигура обладает уникальными свойствами, которые значительно облегчают расчеты. Чтобы найти ее больший угол, нужно знать еще несколько параметров.

Вам понадобится

• - таблица синусов;
• - таблица косинусов;
• - таблица тангенсов.

Инструкция

В условиях задачи может быть указан меньший угол. Вспомните, чему равна сумма углов, прилежащих к одной стороне. Она у любого ромба составляет 180°. То есть вам достаточно из 180° вычесть размер известного угла. Начертите ромб. Обозначьте больший угол как, а меньший – как. Формула в этом случае будет выглядеть как =180°- .

В задаче могут быть указаны также размер стороны и длина одной из диагоналей. В этом случае нужно вспомнить свойства диагоналей ромба. В точке пересечения они делятся пополам. Диагонали перпендикулярны друг другу, то есть при решении задачи можно будет использовать свойства прямоугольных треугольников. Еще одна важная деталь каждая из диагоналей одновременно является и биссектрисой угла.

Для наглядности сделайте чертеж. Начертите ромб ABCD. Проведите в нем диагонали d1 и d2. Допустим, известная вам диагональ d1 соединяет меньшие углы. Обозначьте точку их пересечения как О, большие углы ABC и CDA– как, а меньшие – как. Каждый из углов делится диагональю пополам. Рассмотрите прямоугольный треугольник АОВ. Вам известны стороны АВ и ОА, равная половине диагонали d1. Они представляют собой гипотенузу и катет противолежащего угла.

Вычислите синус угла АВО. Он равен отношению катета ОА к гипотенузе АВ, то есть sinАВО= ОА/АВ. По таблице синусов найдите размер угла. Вспомните, что он равен половине большего угла ромба. Соответственно, для определения искомого полученный размер умножьте на 2.

Если в условиях дан размер диагонали d2, соединяющей большие углы, способ решения будет аналогичен предыдущему, только вместо синуса используется косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

В условиях могут быть заданы только размеры диагоналей. В этом случае тоже понадобится чертеж, но, в отличие от предыдущих задач, он может быть точным. Проведите диагональ d1. Разделите ее пополам. К точке пересечения проведите диагональ d2 так, чтобы она тоже делилась на две равные части. Концы отрезков соедините по периметру. Обозначьте ромб как ABCD, точку пересечения диагоналей – как О.

Сторону ромба в данном случае вам вычислять не нужно. У вас образовался прямоугольный треугольник АОВ, у которого вам известны два катета. Отношение противолежащего катета к прилежащему называется тангенсом. Чтобы найти tgАВО, разделите ОА на ОВ. Найдите в таблице тангенсов нужное значение угла, а затем умножьте его на два.

Некоторые компьютерные программы позволяют не только вычислить больший угол ромба по заданным параметрам, но и сразу же начертить эту геометрическую фигуру. Это можно сделать, например, в программе AutoCAD. В этом случае таблицы синусов и тангенсов, конечно же, не нужны.

Все интересное

Трапеция представляет собой четырехугольник с двумя параллельными и двумя не параллельными сторонами. Чтобы вычислить ее периметр, нужно знать размеры всех сторон трапеции. При этом данные в задачах могут быть разными. Вам понадобится-…

Ромб образуется из квадрата при растягивании фигуры за вершины, расположенные на одной диагонали. Два угла становятся меньше прямых. Два других угла увеличиваются, превращаясь в тупые. Инструкция 1Сумма четырех внутренних углов ромба равна 360°,…

Ромб – стандартная геометрическая фигура, состоящая из четырех вершин, углов, сторон, а также двух диагоналей, которые перпендикулярны друг другу. Исходя из этого свойства, можно вычислить их длины по формуле для четырехугольника. Инструкция …

Ромбом можно назвать параллелограмм, диагонали которого делят пополам углы, лежащие в вершинах фигуры. Кроме этого свойства диагонали ромба примечательны тем, что являются осями симметрии многоугольника, пересекаются только под прямым углом, а…

Осевым называется сечение, которое проходит через ось геометрического тела, образованного при вращении некой геометрической фигуры. Цилиндр получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из сторон, и этим обусловлены многие его…

Диагональ многоугольника - отрезок, который соединяет две не граничащие между собой вершины фигуры (т.е. несмежные вершины или не принадлежащие одной стороне многоугольника). В параллелограмме, зная длину диагоналей и длину сторон, можно рассчитать…

Параллелограмм, все стороны которого имеют одинаковую длину, называют ромбом. Это основное свойство определяет и равенство углов, лежащих в противоположных вершинах такой плоской геометрической фигуры. В ромб можно вписать окружность, радиус которой…

В прямоугольном треугольнике две стороны, лежащие напротив острых углов, называются катетами, а одна сторона, лежащая напротив прямого угла - гипотенузой. В зависимости от того, какие данные параметры, есть несколько способов найти длину катета. …

В прямоугольном треугольнике катетом называют сторону, смежную с прямым углом, а гипотенузой - сторону, противолежащую прямому углу. Все стороны прямоугольного треугольника связаны между собой определенными соотношениями, и именно эти неизменные…

Ромб - выпуклая геометрическая фигура, у которой все четыре стороны равны. Он является частным случаем параллелограмма. Кстати, ромб у которого все углы равны 90 градусов, является квадратом. В планиметрии достаточно часто встречаются задачи, в ходе…