Главная » Частный дом » Осевая центральная параллельная симметрия и поворот. Осевая и центральная симметрии. Осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот - как движения плоскости

Осевая центральная параллельная симметрия и поворот. Осевая и центральная симметрии. Осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот - как движения плоскости

§ 1 Подобные одночлены

Надо отметить, что все арифметические операции осуществляют только с одночленами стандартного вида. Это значит, что прежде чем выполнять какие-либо действия, надо обязательно привести одночлен к стандартному виду. Из практики мы знаем, что складывать и вычитать можно только одинаковые величины. Фактически мы ведём подсчёт количества той или иной величины или предметов. А какие одночлены можно считать одинаковыми?

В математике существует термин подобные одночлены.

Дадим определение:

Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными.

Например, одночлены 2аb2 и -5аb2 будут подобными, т.к. у них одинаковая буквенная часть аb2. А многочлены 4ас и 4ас2 не будут подобны, т. к. имеют не одинаковую буквенную часть (множитель с содержится в разных степенях). И ещё раз отметим, что определить одинаковая ли буквенная часть у одночленов можно только после того, как они будут записаны в стандартном виде.

§ 2 Сложение и вычитание одночленов

Теперь давайте рассмотрим сумму одночленов 5k2у и 2k2у. Применим распределительное свойство умножения и вынесем за скобку общий множитель k2у. Получим:

5k2у + 2k2у = k2у(5 + 2) = 7k2у.

Можно заметить, что складывать подобные одночлены легко. Для этого достаточно сложить их коэффициенты и помножить полученное число на общую буквенную часть.

Выполним здание:

Найти сумму одночленов 2ааbk + 0,2а∙3аkb. Прежде всего, нам надо привести каждый из одночленов к стандартному виду.

2а2bk + 0,6а2bk

Теперь мы видим, что перед нами подобные одночлены, значит можно воспользоваться ранее выведенным правилом. Складываем коэффициенты 2 и 0,6 и полученное число 2,6 умножаем на общую буквенную часть а2bk. В итоге ответ: 2,6а2bk.

Аналогичны действия и при вычитании одночленов. Например:

7bс - 9bс = (7 - 9)bс = - 2bс

Здесь мы вычли коэффициенты и помножили получившееся число -2 на общую буквенную часть bс.

Что касается неподобных одночленов, то их складывать и вычитать нельзя.

Список использованной литературы:

Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010

Знакомство с одночленами продолжим материалом статьи ниже: разберем выполнение базовых действий с одночленами, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим, в каких случаях эти действия подлежат выполнению и что дадут в итоге; сформулируем правило сложения и вычитания и применим его при решении типовых задач.

Результат сложения и вычитания одночленов

Сложение и вычитание одночленов будем изучать, опираясь на действия с многочленами, поскольку, в общем, результат сложения или вычитания одночленов – многочлен, и только в частных ситуациях – одночлен.

Иначе говоря, сложение и вычитание на множестве одночленов можно ввести лишь с ограничениями. Уточним, что это означает, проведя аналогию с вычитанием натуральных чисел. На множестве натуральных чисел действие вычитания рассматривается также с ограничением: чтобы результатом стало натуральное число, вычитание необходимо произвести только по схеме: из большего натурального числа меньшее.

Другое дело, если речь идет о множестве целых чисел, включающем в себя и натуральные: здесь вычитание производится без ограничений.

То же самое можно применить, когда речь идет о сложении или вычитании двух одночленов. Чтобы в итоге получить одночлен, на множестве одночленов сложение или вычитание возможно осуществить с ограничением: исходные складываемые или вычитаемые одночлены должны быть подобными слагаемыми (тогда их называют подобными одночленами), или один из них должен быть нулем. В прочих случаях результат осуществления действий - уже не одночлен.

А вот на множестве многочленов, которое содержит все одночлены, сложение и вычитание одночленов изучается в качестве частного случая сложения и вычитания многочленов. В этом случае действия рассматриваются без указанных выше ограничений, так как итог их выполнения - многочлен (или одночлен как частный случай многочлена).

Правило сложения и вычитания одночленов

Сформулируем правило сложения и вычитания одночленов в виде последовательности действий:

Определение 1

Чтобы осуществить действие сложения или вычитания двух одночленов необходимо:

записать сумму или разность одночленов в зависимости от поставленной задачи: одночлены необходимо заключить в скобки, поставив между ними знак плюс или минус соответственно;
если одночлены в скобках присутствуют в нестандартном виде, привести их к стандартному виду;
раскрыть скобки;
привести подобные слагаемые, если таковые есть, и исключить слагаемые, равные нулю.

Теперь применим озвученное правило для решения задач.

Примеры сложения и вычитания одночленов

Пример 1

Заданы одночлены 8 · x и − 3 · x . Необходимо выполнить их сложение и вычитание.

Решение

Выполним действие сложения. Запишем сумму, заключив исходные одночлены в скобки и поставив между ними знак плюс: (8 · x) + (− 3 · x) . Одночлены в скобках имеют стандартный вид, значит второй шаг алгоритма правила можно пропустить. Следующим действием раскроем скобки: 8 · x − 3 · x , а затем приведем подобные слагаемые: 8 · x − 3 · x = (8 − 3) · x = 5 · x .

Кратко решение запишем так: (8 · x) + (− 3 · x) = 8 · x − 3 · x = 5 · x .

Аналогично произведем действие вычитания: (8 · x) − (− 3 · x) = 8 · x + 3 · x = 11 · x .

Ответ: (8 · x) + (− 3 · x) = 5 · x и (8 · x) − (− 3 · x) = 11 · x .

Рассмотрим пример, где один из одночленов – нуль.

Пример 2

Необходимо найти разность между одночленом - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 и одночленом x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y .

Решение

Действуем по алгоритму согласно правилу. Запишем разность: - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y . Заключенные в скобки одночлены приведем к стандартному виду и тогда получим: 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z . Раскроем скобки, что даст нам следующий вид выражения: 0 + 1 4 · x 2 · y 6 · z , оно, в силу свойства прибавления нуля, будет тождественно равно 1 4 · x 2 · y 6 · z .

Таким образом, краткая запись решения будет такой:

5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y = = 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Ответ: - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Рассмотренные примеры дали в результате сложения и вычитания одночлены. Однако, как уже упоминалось, в общем случае результат действий сложения и вычитания – многочлен.

Пример 3

Заданы одночлены − 9 · x · z 3 и − 13 · x · y · z . Необходимо найти их сумму.

Решение

Записываем сумму: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) . Одночлены имеют стандартный вид, поэтому осуществляем раскрытие скобок: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z . Подобных членов в полученном выражении нет, приводить нам нечего, значит полученное выражение и будет являться результатом вычисления: − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z .

Ответ: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z .

По такой же схеме осуществляется действие сложения или вычитания трех и более одночленов.

Пример 4

Необходимо решить пример: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 .

Решение

Все заданные одночлены имеют стандартный вид и являются подобными. Приведем подобные члены, выполнив сложение и вычитание числовых коэффициентов, а буквенную часть оставляя исходной: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = = (0 , 2 + 7 − 3 − 2 , 7) · a 3 · b 2 = 1 , 5 · a 3 · b 2

Ответ: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = 1 , 5 · a 3 · b 2 .

Пример 5

Заданы одночлены: 5 , − 3 · a , 15 · a , − 0 , 5 · x · z 4 , − 12 · a , − 2 и 0 , 5 · x · z 4 . Необходимо найти их сумму.

Решение

Запишем сумму: (5) + (− 3 · a) + (15 · a) + (− 0 , 5 · x · z 4) + (− 12 · a) + (− 2) + (0 , 5 · x · z 4) . В результате раскрытия скобок получим: 5 − 3 · a + 15 · a − 0 , 5 · x · z 4 − 12 · a − 2 + 0 , 5 · x · z 4 . Сгруппируем подобные слагаемые: (5 − 2) + (− 3 · a + 15 · a − 12 · a) + (− 0 , 5 · x · z 4 + 0 , 5 · x · z 4) и приведем их: 3 + 0 + 0 = 3

Ответ: (5) + (− 3 · a) + (15 · a) + (− 0 , 5 · x · z 4) + (− 12 · a) + (− 2) + (0 , 5 · x · z 4) = 3 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Слайд 2

Урок – путешествиепо вершинам знаний

Слайд 3

Слайд 4

1 этап: «Повторение - мать учения» Расшифруй слово: АЛГЕБРА от арабского слова “Аль” - джебр” (в переводе означает - восстановление.)

Слайд 5

Слайд 6

1. Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. 2. Одночленами считают так же все числа, любые переменные, степени переменных. 3. Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. 4. Алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел и переменных, возведенных в степени с натуральным показателем, называют одночленом

Слайд 7

5. Сумма показателей степеней всех букв входящих в одночлен называемый степенью одночлена. 6. Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами, называют подобными членами. 7. Два одночлена, состоящие из одних и тех же переменных, называют подобными одночленами. 8. В результате сложения одночленов получается одночлен.

Слайд 8

9. Одночлен, в котором перемножены все числовые множители и их произведение поставлено на первое место, перемножены все имеющиеся степени с одинаковым буквенным основанием, перемножены все степени с другим буквенным основанием называется одночленом стандартного вида. 10. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак “+”, скобки надо опустить, сохранив знак каждого члена, который был заключен в скобки. 11. Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак “-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, меняют на противоположные.

Слайд 9

Слайд 10

Найди ошибку:

Слайд 11

Из записанных одночленов выбрать подобные и найти их сумму:

Слайд 12

А Д У Г С И

Слайд 13

Первый этап - составление математической модели. (СММ) Пусть весь путь х км, тогда в первый день прошли Во второй день прошли

Слайд 14

Так как на третий день осталось 25 км, то получим математическую модель: Второй этап - работа с составленной моделью. РММ

Слайд 15

2. РММ 3 этап: Ответ на вопрос задачи: (ОВЗ) За х мы приняли длину пути, значит она равна 55 км. Ответ: длина пути 55 км.

Слайд 16

А З Д У Г С И

Слайд 17

«Книга – книгой, а мозгами двигай» № 292 № 293

Сложить одночлены или вычесть один одночлен из другого можно только в том случае, если одночлены являются подобными. Если одночлены не подобные, в этом случае сложение одночленов можно записать в виде суммы, а вычитание в виде разности.

Подобные одночлены

Подобные одночлены - одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, но могут иметь разные или одинаковые коэффициенты (числовые множители). Одинаковые буквы в подобных одночленах должны иметь одинаковые показатели степени. Если у одной и той же буквы в разных одночленах степени не совпадают, то такие одночлены нельзя назвать подобными:

5ab 2 и -7ab 2 - подобные одночлены

5a 2 b и 5ab - не подобные одночлены

Обратите внимание, что последовательность букв в подобных одночленах может не совпадать. Также одночлены могут быть представлены в виде выражения, которое можно упростить, поэтому, прежде чем приступать к определению подобны ли данные одночлены или нет, стоит привести одночлены к стандартному виду . Например, возьмём два одночлена:

5abb и -7b 2 a

Оба одночлена находятся в нестандартном виде, поэтому будет нелегко определить являются ли они подобными. Чтобы это узнать приведём одночлены к стандартному виду:

5ab 2 и -7ab 2

Теперь сразу видно, что данные одночлены являются подобными.

Два подобных одночлена, отличающиеся только знаком, называются противоположными . Например:

5a 2 bc и -5a 2 bc - противоположные одночлены.

Приведение подобных одночленов - это упрощение выражения, содержащего подобные одночлены, путём их сложения. Сложение подобных одночленов производится по правилам приведения подобных слагаемых .

Сложение одночленов

Чтобы сложить одночлены надо:

Составить сумму, записав все слагаемые одно за другим
Привести подобные слагаемые, для этого нужно:

Пример 1. Сложить одночлены 12ab , -4a 2 b и -5ab .

Решение: составим сумму одночленов:

12ab + (-4a 2 b ) + (-5ab )

12ab - 4a 2 b - 5ab

Теперь надо определить, есть ли среди слагаемых подобные одночлены и, если они есть, сделать приведение:

12ab - 4a 2 b - 5ab = (12 + (-5))ab - 4a 2 b = 7ab - 4a 2 b

Пример 2. Сложить одночлены 5a 2 bc и -5a 2 bc .

Решение: составим сумму одночленов:

5a 2 bc + (-5a 2 bc )

Раскроем скобки:

5a 2 bc - 5a 2 bc

Эти два одночлена являются противоположными, то есть отличаются только знаком. Значит если мы сложим их численные множители, то получим нуль:

5a 2 bc - 5a 2 bc = (5 - 5)a 2 bc = 0a 2 bc = 0

Следовательно, при сложении противоположных одночленов в результате получается нуль .

Общее правило сложения одночленов:

Чтобы сложить несколько одночленов следует записать все слагаемые одно за другим с сохранением их знаков, отрицательные одночлены надо заключить в скобки, и сделать приведение подобных слагаемых (подобных одночленов).

Вычитание одночленов

Чтобы произвести вычитание одночленов надо:

Составить разность, записав все одночлены один за другим, разделяя их знаком - (минус)
Привести все одночлены к стандартному виду
Раскрыть скобки, если они есть в выражении
Сделать приведение подобных одночленов, то есть:
1. сложить их численные множители
2. после получившегося коэффициента дописать буквенные множители без изменений

Пример. Найти разность одночленов 8ab 2 , -5a 2 b и -ab 2 .

Решение: составим разность одночленов:

8ab 2 - (-5a 2 b ) - (-ab 2)

Все одночлены находятся в стандартном виде. Значит можно приступить к раскрытию скобок. Правила раскрытия скобок смотрите .

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2

Теперь надо определить, есть ли среди одночленов подобные и, если они есть, сделать приведение:

8ab 2 + 5a 2 b + ab 2 = (8 + 1)ab 2 + 5a 2 b = 9ab 2 + 5a 2 b

Общее правило вычитания одночленов:

Для вычитания одного одночлена из другого следует к уменьшаемому одночлену приписать вычитаемый одночлен с противоположным знаком и сделать приведение подобных одночленов.

Цели урока:

образовательные: формировать у учащихся умение решать типовые математические задачи на сложение и вычитание одночленов; применять теорию (знание правил действий со степенями, определения одночлена, приведение одночленов к стандартному виду) в конкретных ситуациях.

развивающие: развитие мыслительной деятельности учащихся; развитие устной и письменной речи; формирование навыков владения математическими терминами.

воспитательные: формирование личностных качеств: точность и ясность словесного выражения мысли; сосредоточенность и внимание; настойчивость и ответственность.

Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор, доска, карточки с заданиями.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

Сегодня на уроке мы продолжим работу с одночленами и рассмотрим некоторые арифметические действия с ними. Но сначала повторим основные понятия.

1. Устный опрос учащихся.

Что называется одночленом? Приведите пример.
Как привести одночлен к стандартному виду?
Что называется коэффициентом одночлена?
Какие одночлены называются подобными?

Теперь проверим как вы применяете свои знания на практике.

2. Учащиеся 2-го варианта выполняют тестовые задания на местах(им раздаются листки с заданиями). Приложение 1 . Затем на проекторе высвечиваются правильные ответы к тесту, учащиеся проверяют, оценивают и сдают работы учителю.

3. Учащиеся 1-го варианта выполняют задания на компьютере. (Презентация . Слайд3)

3. Объяснение нового материала.

Когда математики вводят новое понятие, то перед ними встает вопрос, как с ним работать. Сегодня нам предстоит подумать над тем, как работать с одночленами, как выполнять с ними такие действия как сложение и вычитание. При этом мы будем работать с одночленами, записанными только в стандартном виде. Итак, запишем тему урока: “Сложение и вычитание одночленов”. Рассмотрим сумму одночленов: 5a 2 b + 23a 2 b заметим, что оба одночлена стандартного вида, и они подобны. Заменим буквенную часть a 2 b через c. Тогда имеем: 5с + 23с = 28с. Но с = a 2 b, то получим 28a 2 b. Нам удалось сложить подобные одночлены. Оказалось, что для этого достаточно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменения. Запишем следующий пример: 7abc 3 + 11abc 3 =…(одночлены стандартного вида и подобны, значит, можно выполнять действия). Аналогично вычитаем одночлены: 4x 2 y 3 – 8,8x 2 y 3 = -…(-4,8x 2 y 3). А как сложить такие одночлены:

a) 7m 5 n + mm 4 8n =?

Ученик: Сначала нужно привести к стандартному виду, убедиться, что они подобны. (Выполняет у доски) = 7m 5 n+8m 5 n=15m 5 n.

b) 3,5c 3 cd 2 d 3 – 6,7c 2 c 2 d 2 d 2 = ученики работают самостоятельно, получают 3,5c 4 d 5 - 6,7c 4 d 4. . Получили одночлены, которые не являются подобными, поэтому складывать и вычитать их нельзя. Разумеется, между неподобными одночленами можно поставить знак “+” или “ - ”, например, 8ab + 9x или 12,5c – 45d, но дальше нам продвинуться не удастся. Итак, в процессе обсуждения мы установили определенный порядок действий сложения (вычитания) одночленов или, как говорят, алгоритм. (Презентация. Слайд 7).

4. Закрепление. Выполните следующие задания: 1) 2a 2 b-7a0,5ba+3b2a 2 ученик у доски 2) 3x 3 y-4x 2 y+2,7x 3 y ученик у доски Работаем по задачникам: выполняем № 282, № 297 (а, б). № 282 - а, б - ученик у доски с комментированием; в, г – учащиеся выполняют самостоятельно с последующей проверкой. № 297 (а, б) – у доски работает ученик без комментария, остальные учащиеся в тетрадях. Ребята, а теперь немного поиграем. Разделимся на 2 команды. Победит та команда, которая быстрее вместо ** впишет такой одночлен, чтобы получилось верное равенство. (Задания написаны на доске)

Команда 1 варианта

**+ 6xy 3 = -12xy 3

12a 3 b 2 + **= - 24a 3 b 2

3m 2 n 2 – 2m 2 3n 2 + **= 6m 2 n 2

Команда 2 варианта

8a 2 b + ** = 17a 2 b

** +(-13x 3 y 2)= - 26x 3 y 2

2m 2 n +** - 4m 2 3n = - 10 m 2 n

5. Теперь продолжим работу.

Учащиеся 1 варианта будут выполнять работу на местах. Вы выполняете тест и записываете ответы. Приложение 2 . Учащиеся самостоятельно проверяют свою работу, перевернув листок с заданиями(на обратной стороне ответы к тесту). Учащиеся 2 варианта выполняют работу на компьютере. (Презентация. Слайд 8).

6. Итог урока.