Острые углы треугольника равны 87 и 3. Прототип задания (27770) Угол между выссотой и биссектрисой, выходящие из вершины прямого угла прямоугольного треугольника Зенина Алевтина Дмитриевна, - презентация. Признаки прямоугольных треугольников

4861. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

4863. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда.

4865. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 6. Найдите объем параллелепипеда.

4867. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 8,5. Найдите объем параллелепипеда.

4869. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 9,5. Найдите объем параллелепипеда.

4871. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

4873. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 80. Найдите высоту цилиндра.

4875. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту цилиндра.

4877. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 9. Объем параллелепипеда равен 81. Найдите высоту цилиндра.

4879. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объем параллелепипеда равен 27. Найдите высоту цилиндра.

4883. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его объем.

4885. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 6,5. Найдите его объем.

4887. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 7,5. Найдите его объем.

4889. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8,5. Найдите его объем.

4891. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 9,5. Найдите его объем.

4893. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

25631.

25591. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25571. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25551. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25613. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25651. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25673. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25691. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25875. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25897. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25911. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25713. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25541.

26643. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25567. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25585. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25601. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25621. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25641. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

25721. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

5081. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

25731. Найдите объемV .

25741. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25743. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25749. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25751. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25753. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25761. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25771. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25773. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25777. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25781. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25787. Найдите объемV части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25791. Найдите объемV .

25795. Найдите объемV части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25819. Найдите объемV части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите .

25837. Вершина куба со стороной 1,8 является центром шара. Найдите площадьS .

25839. Вершина куба со стороной 0,9 является центром шара. Найдите площадьS части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

25841. Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадьS .

25843. Середина ребра куба со стороной 0,8 является центром шара радиуса 0,4. Найдите площадьS части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

25851. Объем параллелепипеда
равен 1,5. Найдите объем треугольной пирамиды
.

25853. Объем параллелепипеда
равен 3,3. Найдите объем треугольной пирамиды
.

25857. Объем параллелепипеда
равен 6. Найдите объем треугольной пирамиды
.

25859. Объем параллелепипеда
равен 1,2. Найдите объем треугольной пирамиды
.

25861. Объем параллелепипеда
равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды
.

25951. Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

25953. Объем тетраэдра равен 2,1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

25957. Объем тетраэдра равен 1,5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

25959. Объем тетраэдра равен 1,6. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

5079. Объем параллелепипеда
равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды
.

25961. Площадь поверхности тетраэдра равен 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

25963. Площадь поверхности тетраэдра равен 1,4. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

25965. Площадь поверхности тетраэдра равен 1. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

25965. Площадь поверхности тетраэдра равен 1,6. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

4951. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

4953. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?

4955. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

4957. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

4959. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 9 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

4961. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны

4963. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

4965. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 6. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

4967. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 10. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

4969. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 3. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

4971. . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

4975. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 6. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

4977. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 8. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

4985. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 3. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

4987. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

4989. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 25.

4991. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 23.

4993. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27.

4995. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 18.

4997. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 14.

5021. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5023. Объем конуса равен 168. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5025. Объем конуса равен 128. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5027. Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5029. Объем конуса равен 112. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

5041. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

5043. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

5045. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота - 10.

5047. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на.

5049. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

5039. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

5051. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

5053. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

5055. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

5057. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

5059. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

5061. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен
, а высота равна 2.

5063. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен
, а высота равна 2.

5065. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

5077. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

5067. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

5069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

5071. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

5075. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

Для вас несколько заданий — в условии дан прямоугольный треугольник. В условии говорится о вычислении углов между высотой и биссектрисой, медианой и биссектрисой, высотой и медианой проведёнными из прямого угла.

Это группа заданий входит в состав ЕГЭ по математике. Задачи несложные, требуется знание теоремы о сумме углов треугольника, свойств равнобедренного треугольника и немного логики. Да! Есть один нюанс — задачи, в которых говорится о медиане проведённой к гипотенузе необходимо знать одно свойство, теорию можно . Приступим!

Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Обозначим меньший острый угол прямоугольного треугольника через x . Тогда больший острый угол данного треугольника будет равен 4 х .

По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 90 о. Отсюда получаем уравнение х + 4х = 90 о.

Вычисляем, получим 5х = 90 о, х = 18 о.

Следовательно больший угол будет равен 18 о ∙ 4 = 72 о

Ответ: 72

Острый угол прямоугольного треугольника равен 32 о. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

Нам необходимо найти угол COD. По условию известно, что CE и AD - это биссектрисы (делят углы пополам). Это означает, что угол CAD равен 32 о, а угол ACO равен 45 о. По теореме о сумме углов треугольника мы можем найти угол AOC, и далее угол COD. Итак, известно, что сумма углов треугольника равна 180 о, следовательно

Углы AOC и COD смежные, то есть их сумма равна 180 о . Таким образом, искомый угол (острый угол между данными биссектрисами) равен 61 градусу.

Ответ: 61

*Если в подобных задачах вы сразу не видите ход решения, то ищите те элементы, которые можно найти исходя из условия в первую очередь. А далее уже используйте найденные значения.

Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

В условии нам не даны ни какие величины, кроме того, что угол С прямой. Это говорит о том, что их необходимо ввести, то есть в данном случае мы можем обозначить угол через переменную, а далее использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему о сумме углов.

Обозначим угол CAD как х . Тогда угол CBA будет равен 90 о – х.

Рассмотрим треугольник AOB:

Можем найти угол AOB:

Значит острый угол между биссектрисами будет равен 45 о, так является смежным углу 135 о.

Как видите, не всегда нужны численные величины в условии. Достаточно знать свойства, включить логику и задача будет решена.

Ответ: 45

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21 о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Сразу отметим, что в треугольнике CDH нам известны два угла. Используя теорему о сумме углов треугольника мы можем найти угол CDH. То есть:

Теперь мы можем найти угол В в треугольнике CDВ. Так как CD биссектриса, то угол BCD равен 45 о , угол CDB мы нашли .

Значит угол В равен 180 о –45 о –69 о =66 о . По свойству прямоугольного треугольника: сумма острых углов в нём равна 90 градусов.

Следовательно другой острый угол будет равен 24 о .

Ответ: 24

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14 о. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Нам дан угол MCD равный 14 о . Так же нам известен угол DCB, он равен 45 о , так как CD биссектриса. Можем найти угол MCB: 14 о + 45 о = 59 о .

Как уже сказано, медиана в прямоугольном треугольнике проведённая из прямого угла к гипотенузе равна её половине. То есть, она разбивает прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника, в данном случае AMC и BMC. Известно, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол MBC равен углу BCM. Таким образом,

То есть, меньший угол равен 31 о.

Ответ: 31

Один острый угол прямоугольного треугольника на 32 о больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике АВС угол С равен 90 о , СН - высота, угол А равен 34 о . Найдите угол ВСН . Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC C D - медиана, угол AC B равен 90 о, угол В равен 58 о. Найдите угол AC D . Ответ дайте в градусах.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 29 о и 61 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

4. В задачах, где в условии не даны численные величины углов, обозначайте их переменной(ыми) и далее используйте известные вам свойства.

5. Если не видите каким путём строить решение, и сразу не можете увидеть логическую цепочку рассуждений, то исходя из данных в условии ищите то, что возможно найти. Получив новые величины, также смотрите, что вы можете найти при их использовании.

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 29 о и 61 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 29 о 61 о По условию АСВ = 90 о; CD - биссектриса АCD = BCD = 45 o 45 o АСН – прямоугольный. АCН = 90 о – 29 о = 61 о 61 о Искомый DCН = 61 о – 45 о = 16 о 16 о 2 способ решения: ВСН – прямоугольный. ВCН = 90 о – 61 о = 29 о 29 о Искомый DCН = 45 о – 29 о = 16 о Ответ: Прототип задания В6 (27770)

АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр" title="Острые углы прямоугольного треугольника равны 86 о и 4 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 86 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр" class="link_thumb"> 5 Острые углы прямоугольного треугольника равны 86 о и 4 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 86 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В прямоугольном АСН: АCН = 90 о – 4 о = 86 о 86 о Искомый DCН = 86 о – 45 о = 41 о Ответ: Задания В6 (47625) ПРОТОТИП ПРОТОТИП 27770 АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр"> АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В прямоугольном АСН: АCН = 90 о – 4 о = 86 о 86 о Искомый DCН = 86 о – 45 о = 41 о Ответ: 41 1.2 Задания В6 (47625) ПРОТОТИП 27770 ПРОТОТИП 27770"> АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр" title="Острые углы прямоугольного треугольника равны 86 о и 4 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 86 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр"> title="Острые углы прямоугольного треугольника равны 86 о и 4 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 86 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. > АCD = BCD = 45 o 45 o 4о4о В пр">

Острые углы прямоугольного треугольника равны 69 о и 21 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 21 о В прямоугольном ВСН: ВСН = 90 о – 69 о = 21 о 69 о 21 о CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. 45 o Искомый DC Н = 45 о – 21 о = 24 о Ответ: Задания В6 (47659) ПРОТОТИП ПРОТОТИП 27770

Острые углы прямоугольного треугольника равны 53 о и 37 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 53 о 37 о В прямоугольном АСН: АСН = 90 о – 37 о = 53 о Запомнить: Высота опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника. CD – биссектриса прямого угла прямоугольного АВС. 45 o Искомый DC Н = 53 о – 45 о = 8 о Ответ: 8 8о8о АСН ВСН 1.4 Задания В6 (47665) ПРОТОТИП 27770ПРОТОТИП 27770

Острые углы прямоугольного треугольника равны 67 о и 23 о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах 67 о 23 о Теоретические сведения Подсказка Решение 45 о АDC = 112 о; CDH = 68 о B прямоугольном DCH: DCН = 90 – 68 = 22 о Ответ: о 1.5 Задания В6 (47635) ПРОТОТИП 27770ПРОТОТИП 27770

Понятие прямоугольного треугольника

Вначале рассмотрим понятие произвольного треугольника.

Определение 1

Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

Определение 2

Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершин, а также три стороны.

Теперь введем, непосредственно, понятие прямоугольного треугольника.

Определение 4

Треугольник будем называть прямоугольным, если один из его углов равняется $90^\circ$.

При этом стороны, которые прилегают к прямому углу, будут называться катетами, а третья сторона – гипотенузой (рис. 2).

Как и для любого треугольника, для прямоугольного справедлива следующая теорема:

Теорема 1

Сумма углов в любом произвольном треугольнике равняется $180^\circ$.

Свойства прямоугольного треугольника

Сформулируем в виде теорем основные свойства для прямоугольных треугольников.

Теорема 2

Острые углы в произвольном прямоугольном треугольнике в сумме дают $90^\circ$.

Доказательство.

Обозначим острые углы треугольника через $α$ и $β$. Тогда, так как наш треугольник прямоугольный, то, по теореме 1, получим

$α+β+90^\circ=180^\circ$

$α+β=90^\circ$

Теорема доказана.

Теорема 3

Если катет в прямоугольном треугольнике находится напротив острого угла, равного $30^\circ$, то такой катет будет равняться половине гипотенузы.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник $DAB$, в котором $∠A=90^\circ$, а $∠B=30^\circ$. Достроим к нему треугольник $ABC$, который будет равен треугольнику $DAB$ (рис. 3).

Так как $∠A=90^\circ$, а $∠B=30^\circ$, то, по теореме 1, получим

$∠D=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ$

Аналогично, $∠C=60^\circ$.

Также видим, что $∠B=∠DBA+∠CBA=30^\circ+30^\circ=60^\circ$.

Получаем, что треугольник $DBC$ равносторонний, следовательно, $DC=AB$. Значит, так как $DA=AC$, то $DA=\frac{1}{2} AB$.

Теорема доказана.

Справедлива также и обратная теорема:

Теорема 4

Если катет в прямоугольном треугольнике будет равняться половине гипотенузы, то угол, который находится напротив него, равняется $30^\circ$.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник $DAB$, в котором $∠A=90^\circ$ и $DA=\frac{1}{2} AB$. Достроим к нему треугольник $ABC$, который будет равен треугольнику $DAB$ как на рисунке 3.

Так как $DA=\frac{1}{2} AB$, а $DA=AC$, то получим, что $DC=DB=CB$.

Получаем, что треугольник $DBC$ равносторонний, следовательно, все углы в нем равняются по $60^\circ$. Значит, в исходном треугольнике, $∠B=30^\circ$.

Теорема доказана.

Признаки прямоугольных треугольников

Введем теперь теоремы, которые называются признаками прямоугольного треугольника. В рамках этой статьи их доказательства рассматривать не будем.

Теорема 5

Если катеты двух прямоугольных треугольников попарно равны, то и эти треугольники равны.

Теорема 6

Если один из катетов прямоугольного треугольника, а также острый угол к нему прилегающий равняются одному катету и острому углу, к нему прилегающего другого прямоугольного треугольника, то и эти треугольники будут равными.