Ulomki. Delitev ulomkov. Dejanja z ulomki Kako razdeliti dva ulomka z različnimi imenovalci
Je delitev. V tem članku bomo govorili o deljenje navadnih ulomkov. Najprej bomo podali pravilo za deljenje navadnih ulomkov in si ogledali primere deljenja ulomkov. Nato se bomo osredotočili na deljenje navadnega ulomka z naravnim številom in števila z ulomkom. Na koncu razmislite, kako se izvede delitev navadnega ulomka z mešanim številom.
Navigacija po straneh.
Deljenje navadnega ulomka z navadnim ulomkom
Znano je, da je deljenje obratno od množenja (glej povezavo med deljenjem in množenjem). To pomeni, da deljenje vključuje iskanje neznanega faktorja, ko sta produkt in drug faktor znana. Pri deljenju navadnih ulomkov se ohrani enak smisel deljenja.
Razmislite o primerih deljenja navadnih ulomkov.
Upoštevajte, da ne smemo pozabiti na zmanjševanje ulomkov in na izbiro celega dela iz nepravilnega ulomka.
Deljenje navadnega ulomka z naravnim številom
Takoj ga damo pravilo deljenja ulomka z naravnim številom: če želite ulomek a / b deliti z naravnim številom n, morate števec pustiti enak, imenovalec pa pomnožiti z n, to je .
To pravilo deljenja izhaja neposredno iz pravila deljenja navadnih ulomkov. Dejansko predstavitev naravnega števila kot ulomka vodi do naslednjih enakosti 
.
Razmislite o primeru deljenja ulomka s številom.
Primer.
Ulomek 16/45 delimo z naravnim številom 12.
rešitev.
Po pravilu deljenja ulomka s številom imamo 
. Naredimo redukcijo: . Ta delitev je zaključena.
odgovor:
.
Deljenje naravnega števila z navadnim ulomkom
Pravilo za deljenje ulomkov je podobno pravilo deljenja naravnega števila z navadnim ulomkom: če želite naravno število n deliti z navadnim ulomkom a / b, morate število n pomnožiti z recipročno vrednostjo ulomka a / b.
Glede na glasovno pravilo, , in pravilo množenja naravnega števila z navadnim ulomkom vam omogoča, da ga prepišete v obliki.
Razmislite o primeru.
Primer.
Naravno število 25 delite z ulomkom 15/28.
rešitev.
Preidimo od deljenja k množenju, imamo 
. Po redukciji in izbiri celega dela dobimo .
odgovor:
.
Deljenje navadnega ulomka z mešanim številom
Deljenje navadnega ulomka z mešanim številom enostavno zmanjšati na deljenje navadnih ulomkov. Če želite to narediti, je dovolj, da
Navadna ulomna števila se prvič srečajo s šolarji v 5. razredu in jih spremljajo skozi vse življenje, saj je v vsakdanjem življenju pogosto treba upoštevati ali uporabiti kakšen predmet ne v celoti, ampak v ločenih delih. Začetek študija te teme - delite. Deleži so enaki na katere je predmet razdeljen. Navsezadnje ni vedno mogoče izraziti na primer dolžine ali cene izdelka kot celega števila; treba je upoštevati dele ali deleže katere koli mere. Nastala iz glagola "zdrobiti" - razdeliti na dele in z arabskimi koreninami se je v VIII stoletju sama beseda "frakcija" pojavila v ruščini.
V stiku z
Ulomki so že dolgo veljali za najtežji del matematike. V 17. stoletju, ko so se pojavili prvi učbeniki matematike, so jih imenovali "zlomljene številke", kar je bilo ljudem zelo težko prikazati.
Sodobno obliko preprostih ulomkov, katerih deli so ločeni natančno z vodoravno črto, je prvi promoviral Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi so datirani iz leta 1202. Toda namen tega članka je preprosto in jasno razložiti bralcu, kako pride do množenja mešanih ulomkov z različnimi imenovalci.
Množenje ulomkov z različnimi imenovalci
Na začetku je treba določiti sorte ulomkov:
- pravilno;
- narobe;
- mešano.
Nato se morate spomniti, kako se množijo delna števila z enakimi imenovalci. Samo pravilo tega postopka je enostavno oblikovati neodvisno: rezultat množenja preprostih ulomkov z enakimi imenovalci je frakcijski izraz, katerega števec je produkt števcev, imenovalec pa produkt imenovalcev teh ulomkov. To pomeni, da je novi imenovalec kvadrat enega od prvotno obstoječih.
Pri množenju enostavni ulomki z različnimi imenovalci za dva ali več dejavnikov se pravilo ne spremeni:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Edina razlika je v tem, da bo oblikovano število pod ulomno črto produkt različnih števil in ga seveda ne moremo imenovati kvadrat enega številskega izraza.
Vredno je razmisliti o množenju ulomkov z različnimi imenovalci na primerih:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Primeri uporabljajo načine za zmanjševanje ulomkov. S števili imenovalca lahko zmanjšate le števila števca, sosednjih faktorjev nad ali pod ulomkovo palico pa ni mogoče zmanjšati.
Poleg preprostih ulomkov obstaja koncept mešanih ulomkov. Mešano število je sestavljeno iz celega in delnega dela, to je vsota teh števil:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Kako deluje množenje?
Za razmislek je na voljo več primerov.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Primer uporablja množenje števila s navaden ulomek, lahko zapišete pravilo za to dejanje s formulo:
a * b/c = a*b /c.
Pravzaprav je tak izdelek vsota enakih delnih ostankov, število členov pa označuje to naravno število. Poseben primer:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Obstaja še ena možnost za reševanje množenja števila z delnim ostankom. Preprosto delite imenovalec s tem številom:
d* e/f = e/f: d.
Koristno je uporabiti to tehniko, ko je imenovalec deljen z naravnim številom brez ostanka ali, kot pravijo, popolnoma.
Mešana števila pretvorite v neprave ulomke in dobite zmnožek na prej opisan način:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ta primer vključuje način predstavitve mešanega ulomka kot nepravilnega ulomka, lahko pa ga predstavimo tudi kot splošno formulo:
a bc = a*b+ c / c, pri čemer se imenovalec novega ulomka tvori tako, da se celoštevilski del pomnoži z imenovalcem in ga doda števcu prvotnega ulomkovega ostanka, imenovalec pa ostane enak.
Ta postopek deluje tudi obratno. Če želite izbrati celoštevilski del in delni ostanek, morate števec nepravilnega ulomka razdeliti na njegov imenovalec z "vogalom".
Množenje nepravih ulomkov proizvedeno na običajen način. Ko gre vnos pod eno samo ulomkovo črto, morate po potrebi zmanjšati ulomke, da s to metodo zmanjšate števila in lažje izračunate rezultat.
Na internetu je veliko pomočnikov za reševanje celo zapletenih matematičnih problemov v različnih različicah programa. Zadostno število tovrstnih storitev ponuja svojo pomoč pri računanju množenja ulomkov z različnimi števili v imenovalcih - tako imenovani spletni kalkulatorji za računanje ulomkov. Sposobni so ne le množiti, ampak tudi izvajati vse druge preproste računske operacije z navadnimi ulomki in mešanimi števili. Delo z njim ni težko, na strani spletnega mesta se izpolnijo ustrezna polja, izbere se znak matematične akcije in pritisne »izračunaj«. Program samodejno šteje.
Tema aritmetičnih operacij z ulomki je pomembna v celotnem izobraževanju srednješolskih in višjih šolarjev. V srednji šoli ne obravnavajo več najpreprostejše vrste, ampak celi ulomki, vendar se znanje o pravilih za transformacijo in izračune, pridobljeno prej, uporablja v izvirni obliki. Dobro pridobljeno osnovno znanje daje popolno zaupanje v uspešno reševanje najzahtevnejših nalog.
Za zaključek je smiselno navesti besede Leva Tolstoja, ki je zapisal: »Človek je delček. Ni v moči človeka, da poveča svoj števec - lastne zasluge, lahko pa vsak zmanjša svoj imenovalec - svoje mnenje o sebi in se s tem zmanjšanjem približa svoji popolnosti.
Zadnjič smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo "Seštevanje in odštevanje ulomkov"). Najtežji trenutek v teh akcijah je bilo spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.
Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo lažje kot seštevanje in odštevanje. Za začetek razmislimo o najpreprostejšem primeru, ko obstajata dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.
Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.
Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim.
Oznaka:
Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite obrniti ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo celotno lekcijo obravnavali predvsem množenje.
Kot posledica množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšan ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se je po vseh zmanjšanjih ulomek izkazal za napačnega, je treba v njem ločiti celoten del. Toda tisto, kar se točno ne bo zgodilo z množenjem, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, maksimalnih faktorjev in najmanjših skupnih večkratnikov.
Po definiciji imamo:
Množenje ulomkov s celim delom in negativnimi ulomki
Če je v ulomkih celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.
Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko vzamemo iz meja množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:
- Plus krat minus daje minus;
- Dve nikalnici pomenita pritrdilno.
Doslej so se ta pravila pojavljala le pri seštevanju in odštevanju negativnih ulomkov, ko se je bilo treba znebiti celega dela. Za izdelek jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več minusov hkrati:
- Minuse v parih prečrtamo, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnem primeru lahko preživi en minus - tisti, ki ni našel ujemanja;
- Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker ni našel para, ga vzamemo iz meja množenja. Dobiš negativni ulomek.
Naloga. Poiščite vrednost izraza:
Vse ulomke prevedemo v neprave, nato pa minuse izločimo izven meja množenja. Kar ostane, se pomnoži po običajnih pravilih. Dobimo:
Naj vas še enkrat spomnim, da se minus pred ulomkom s poudarjenim celim delom nanaša prav na celoten ulomek in ne le na njegov celoštevilski del (to velja za zadnja dva primera).
Bodite pozorni tudi na negativna števila: pri množenju so v oklepajih. To se naredi zato, da ločimo minuse od znakov za množenje in naredimo celoten zapis natančnejši.
Zmanjševanje ulomkov sproti
Množenje je zelo naporna operacija. Številke tukaj so precej velike in za poenostavitev naloge lahko poskusite ulomek še bolj zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:
Naloga. Poiščite vrednost izraza:
Po definiciji imamo:
V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.
Opomba: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na svojem mestu so ostale enote, ki jih na splošno lahko izpustimo. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je skupna količina izračunov vseeno zmanjšala.
V nobenem primeru pa te tehnike ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:
Tega ne smeš!
Napaka nastane zaradi dejstva, da se pri seštevanju ulomka v števcu ulomka pojavi vsota in ne produkt števil. Zato je nemogoče uporabiti glavno lastnost ulomka, saj se ta lastnost ukvarja posebej z množenjem števil.
Preprosto ni drugega razloga za zmanjševanje ulomkov, zato je pravilna rešitev prejšnjega problema videti takole:
Pravilna rešitev:
Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.
Z ulomki lahko izvedete vsa dejanja, vključno z deljenjem. Ta članek prikazuje deljenje navadnih ulomkov. Podane bodo definicije, obravnavani bodo primeri. Poglejmo si delitev ulomkov z naravnimi števili in obratno. Upoštevali bomo delitev navadnega ulomka z mešanim številom.
Deljenje navadnih ulomkov
Deljenje je obratno od množenja. Pri deljenju je neznani faktor pri znanem zmnožku in drugem faktorju, kjer se pri navadnih ulomkih ohrani njegov dani pomen.
Če je treba navadni ulomek a b razdeliti na c d, potem morate za določitev takšnega števila pomnožiti z deliteljem c d, kar bo na koncu dalo dividendo a b. Vzemimo število in ga zapišimo a b · d c , kjer je d c recipročna vrednost c d števila. Enačbe lahko zapišemo z uporabo lastnosti množenja, in sicer: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , kjer je izraz a b d c količnik deljenja a b s c d .
Od tu dobimo in oblikujemo pravilo za deljenje navadnih ulomkov:
Definicija 1
Če želite navadni ulomek a b deliti s c d, je treba dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.
Zapišimo pravilo kot izraz: a b: c d = a b d c
Pravila deljenja so reducirana na množenje. Če se želite tega držati, morate biti dobro seznanjeni z izvajanjem množenja navadnih ulomkov.
Preidimo k deljenju navadnih ulomkov.
Primer 1
Izvedite deljenje 9 7 s 5 3 . Rezultat zapiši kot ulomek.
rešitev
Število 5 3 je recipročna vrednost 3 5 . Uporabiti morate pravilo za deljenje navadnih ulomkov. Ta izraz zapišemo na naslednji način: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Pri zmanjševanju ulomkov poudarite cel del, če je števec večji od imenovalca.
Primer 2
Deli 8 15 : 24 65 . Odgovor zapišite kot ulomek.
rešitev
Rešitev je preklop z deljenja na množenje. Zapišemo ga v tej obliki: 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Treba je narediti zmanjšanje, in to se naredi na naslednji način: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Izberemo celoštevilski del in dobimo 13 9 = 1 4 9 .
odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Deljenje izjemnega ulomka z naravnim številom
Uporabljamo pravilo deljenja ulomka z naravnim številom: če želite a b deliti z naravnim številom n, morate z n pomnožiti samo imenovalec. Od tu dobimo izraz: a b: n = a b · n.
Pravilo deljenja je posledica pravila množenja. Če torej naravno število predstavimo kot ulomek, dobimo enakost te vrste: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Razmislite o tej delitvi ulomka s številom.
Primer 3
Ulomek 1645 delite s številom 12.
rešitev
Uporabite pravilo za deljenje ulomka s številom. Dobimo izraz kot je 16 45: 12 = 16 45 12 .
Zmanjšajmo ulomek. Dobimo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .
Deljenje naravnega števila z navadnim ulomkom
Pravilo delitve je podobno O pravilo deljenja naravnega števila z navadnim ulomkom: da bi naravno število n delili z navadnim a b , je treba število n pomnožiti z recipročno vrednostjo ulomka a b .
Na podlagi pravila imamo n: a b \u003d n b a, zahvaljujoč pravilu množenja naravnega števila z navadnim ulomkom pa dobimo naš izraz v obliki n: a b \u003d n b a. To delitev je treba obravnavati na primeru.
Primer 4
Deli 25 s 15 28 .
rešitev
Od deljenja moramo preiti k množenju. Zapišemo v obliki izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Zmanjšajmo ulomek in dobimo rezultat v obliki ulomka 46 2 3 .
odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Deljenje navadnega ulomka z mešanim številom
Ko delite navaden ulomek z mešanim številom, lahko zlahka zablestite pri deljenju navadnih ulomkov. Mešano število morate pretvoriti v nepravilni ulomek.
Primer 5
Razdelite ulomek 35 16 s 3 1 8 .
rešitev
Ker je 3 1 8 mešano število, ga predstavimo kot nepravi ulomek. Potem dobimo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Zdaj pa razdelimo ulomke. Dobimo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Deljenje mešanega števila poteka na enak način kot navadna števila.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Ulomek je en ali več delov celote, ki se običajno šteje za enoto (1). Kot pri naravnih številih lahko tudi z ulomki izvajate vse osnovne aritmetične operacije (seštevanje, odštevanje, deljenje, množenje), za to pa morate poznati značilnosti dela z ulomki in razlikovati med njihovimi vrstami. Obstaja več vrst ulomkov: decimalni in navadni ali preprosti. Vsaka vrsta ulomkov ima svoje posebnosti, a ko se boste enkrat dodobra seznanili z njimi, boste z ulomki lahko reševali poljubne primere, saj boste poznali osnovne principe računskega računanja z ulomki. Oglejmo si primere, kako deliti ulomek s celim številom z uporabo različnih vrst ulomkov.
Kako delimo ulomek z naravnim številom?Navadne ali enostavne ulomke imenujemo ulomki, ki jih zapišemo kot takšno razmerje števil, pri katerem je na vrhu ulomka naveden delitelj (števec), spodaj pa delitelj (imenovalec) ulomka. Kako deliti tak ulomek s celim številom? Poglejmo primer! Recimo, da moramo 8/12 deliti z 2.
Če želite to narediti, moramo izvesti vrsto dejanj:
Če se torej soočimo z nalogo deliti ulomek s celim številom, bo shema rešitve videti nekako takole: 
Podobno lahko vsak navaden (preprost) ulomek delite s celim številom.
Kako decimalko deliti s celim številom?
Decimalni ulomek je ulomek, ki ga dobimo tako, da enoto razdelimo na deset, tisoč in tako naprej. Aritmetične operacije z decimalnimi ulomki so precej preproste.
Razmislite o primeru, kako deliti ulomek s celim številom. Recimo, da moramo decimalni ulomek 0,925 deliti z naravnim številom 5.
Če povzamemo, se bomo osredotočili na dve glavni točki, ki sta pomembni pri izvajanju operacije deljenja decimalnih ulomkov s celim številom: - za deljenje decimalnega ulomka z naravnim številom se uporablja deljenje v stolpec;
- vejica se pri zasebnem postavi, ko je končana delitev celega dela dividende.
