Действия с обикновени дроби. Събиране и изваждане на алгебрични дроби: правила, примери. Събиране на дроби с х

Инструкция

Първо, не забравяйте, че дробта е просто условна нотация за деление на едно число на друго. В допълнение и умножение, разделянето на две цели числа не винаги води до цяло число. Наречете тези две "делими" числа. Числото, което се дели, е числителят, а числото, което се дели, е знаменателят.

За да напишете дроб, първо напишете нейния числител, след това начертайте хоризонтална линия под това число и напишете знаменателя под чертата. Хоризонталната линия, разделяща числителя и знаменателя, се нарича дробна черта. Понякога се изобразява като наклонена черта "/" или "∕". В този случай числителят се записва отляво на реда, а знаменателят отдясно. Така например частта "две трети" ще бъде написана като 2/3. За по-голяма яснота числителят обикновено се записва в горната част на реда, а знаменателят в долната част, т.е. вместо 2/3 можете да намерите: ⅔.

Ако числителят на дроб е по-голям от знаменателя, тогава такава "неправилна" дроб обикновено се записва като "смесена" дроб. За да получите смесена дроб от неправилна дроб, просто разделете числителя на знаменателя и запишете полученото частно. След това поставете остатъка от деленето в числителя на дробта и запишете тази дроб отдясно на частното (не докосвайте знаменателя). Например 7/3 = 2⅓.

За да съберете две дроби с еднакъв знаменател, просто съберете техните числители (оставете знаменателите). Например 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. По същия начин извадете две дроби (числителите се изваждат). Например 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

За да съберете две дроби с различни знаменатели, умножете числителя и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората, а числителя и знаменателя на втората дроб по знаменателя на първата. В резултат на това ще получите сумата от две дроби с еднакви знаменатели, чието добавяне е описано в предишния параграф.

Например, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 15/12.

Ако знаменателите на дроби имат общи делители, тоест се делят на едно и също число, изберете като общ знаменател най-малкото число, което се дели едновременно на първия и втория знаменател. Така например, ако първият знаменател е 6, а вторият 8, тогава вземете като общ знаменател не тяхното произведение (48), а числото 24, което се дели както на 6, така и на 8. Числителите на дробите тогава са умножено по частното от деленето на общия знаменател на знаменателя на всяка дроб. Например за знаменател 6 това число ще бъде 4 - (24/6), а за знаменател 8 - 3 (24/8). Този процес се вижда по-ясно в конкретен пример:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Изваждането на дроби с различни знаменатели се извършва по абсолютно същия начин.

За да изразите част като дроб от цялото, трябва да разделите частта на цялото.

Задача 1.В класа има 30 ученици, четирима липсват. Каква част от учениците липсват?

Решение:

Отговор:няма ученици в класа.

Намиране на дроб от число

За решаване на задачи, в които се изисква намиране на част от цяло, е вярно следното правило:

Ако част от цялото е изразена като дроб, тогава, за да намерите тази част, можете да разделите цялото на знаменателя на дробта и да умножите резултата по нейния числител.

Задача 1.Имаше 600 рубли, тази сума беше изразходвана. Колко пари сте похарчили?

Решение:за да намерите от 600 рубли, трябва да разделите тази сума на 4 части, като по този начин ще разберем колко пари са една четвърт:

600: 4 = 150 (стр.)

Отговор:похарчени 150 рубли.

Задача 2.Беше 1000 рубли, тази сума беше изразходвана. Колко пари са похарчени?

Решение:От условието на проблема знаем, че 1000 рубли се състоят от пет равни части. Първо намираме колко рубли са една пета от 1000, а след това откриваме колко рубли са две пети:

1) 1000: 5 = 200 (стр.) - една пета.

2) 200 2 \u003d 400 (p.) - две пети.

Тези две действия могат да се комбинират: 1000: 5 2 = 400 (p.).

Отговор:Бяха похарчени 400 рубли.

Вторият начин за намиране на част от цяло:

За да намерите част от цяло, можете да умножите цялото по дроб, изразяващ тази част от цялото.

Задача 3.Съгласно устава на кооперацията, за валидността на отчетното събрание трябва да присъстват най-малко членове на организацията. Кооперацията има 120 членове. В какъв състав може да се проведе отчетното събрание?

Решение:

Отговор:отчетното събрание може да се проведе, ако има 80 членове на организацията.

Намиране на число чрез неговата дроб

За решаване на задачи, в които се изисква да се намери цялото по част, е вярно следното правило:

Ако част от желаното цяло число е изразено като дроб, тогава, за да намерите това цяло число, можете да разделите тази част на числителя на дробта и да умножите резултата по знаменателя му.

Задача 1.Похарчихме 50 рубли, това беше първоначалната сума. Намерете първоначалната сума пари.

Решение:от описанието на проблема виждаме, че 50 рубли е 6 пъти по-малко от първоначалната сума, т.е. първоначалната сума е 6 пъти повече от 50 рубли. За да намерите тази сума, трябва да умножите 50 по 6:

50 6 = 300 (р.)

Отговор:първоначалната сума е 300 рубли.

Задача 2.Похарчихме 600 рубли, това беше първоначалната сума пари. Намерете първоначалната сума.

Решение:ще приемем, че желаното число се състои от три трети. По условие две трети от броя са равни на 600 рубли. Първо намираме една трета от първоначалната сума и след това колко рубли са три трети (първоначална сума):

1) 600: 2 3 = 900 (стр.)

Отговор:първоначалната сума е 900 рубли.

Вторият начин за намиране на цялото по част от него:

За да намерите цяло по стойността на неговата част, можете да разделите тази стойност на дроб, който изразява тази част.

Задача 3.Линеен сегмент AB, равно на 42 cm, е дължината на отсечката CD. Намерете дължината на отсечка CD.

Решение:

Отговор:дължина на сегмента CD 70 см

Задача 4.В магазина донесоха дини. Преди обяд магазинът продаде, след обяд - донесе дини и остава да продаде 80 дини. Колко дини са донесени общо в магазина?

Решение:първо откриваме каква част от внесените дини е числото 80. За да направим това, вземаме общия брой внесени дини като единица и изваждаме от него броя дини, които успяхме да продадем (продадем):

И така, научихме, че 80 дини са от общия брой донесени дини. Сега ще разберем колко са дините от общото количество и след това колко са дините (броят на донесените дини):

2) 80: 4 15 = 300 (дини)

Отговор:общо в магазина бяха докарани 300 дини.

Умножение и деление на дроби.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Тази операция е много по-хубава от събиране-изваждане! Защото е по-лесно. Напомням ви: за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителите (това ще бъде числителят на резултата) и знаменателите (това ще бъде знаменателят). Това е:

Например:

Всичко е изключително просто. И моля, не търсете общ знаменател! Не ми трябва тук...

За да разделите дроб на дроб, трябва да обърнете второ(това е важно!) дроб и ги умножете, т.е.:

Например:

Ако се хване умножение или деление с цели числа и дроби, всичко е наред. Както при събирането, правим дроб от цяло число с единица в знаменателя - и тръгваме! Например:

В гимназията често трябва да се справяте с триетажни (или дори четириетажни!) фракции. Например:

Как да доведем тази фракция до прилична форма? Да, много лесно! Използвайте деление през две точки:

Но не забравяйте за реда на разделяне! За разлика от умножението, тук това е много важно! Разбира се, няма да бъркаме 4:2 или 2:4. Но в триетажна фракция е лесно да се направи грешка. Моля, обърнете внимание, например:

В първия случай (израз вляво):

Във втория (израз вдясно):

Почувствай разликата? 4 и 1/9!

Какъв е редът на разделяне? Или скоби, или (както тук) дължината на хоризонталните тирета. Развийте око. И ако няма скоби или тирета, като:

след това деление-умножение в ред, отляво надясно!

И още един много прост и важен трик. При действия с градуси ще ви е от полза! Нека разделим единицата на произволна дроб, например на 13/15:

Кадърът се обърна! И винаги се случва. При разделяне на 1 на която и да е дроб, резултатът е същата дроб, само обърната.

Това са всички действия с дроби. Нещото е доста просто, но дава повече от достатъчно грешки. Обърнете внимание на практическите съвети и ще има по-малко от тях (грешки)!

Практически съвети:

1. Най-важното при работа с дробни изрази е точността и вниманието! Това не са общи думи, не са добри пожелания! Това е сериозна нужда! Направете всички изчисления на изпита като пълноценна задача, с концентрация и яснота. По-добре е да напишете два допълнителни реда в чернова, отколкото да се объркате, когато изчислявате в главата си.

2. В примери с различни видове дроби - преминете към обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби до крак.

4. Редуцираме многостепенните дробни изрази до обикновени, като използваме разделяне през две точки (следваме реда на разделяне!).

5. Разделяме единицата на дроб в ума си, просто като обърнем дробта.

Ето задачите, които трябва да изпълните. След всички задачи се дават отговори. Използвайте материалите от тази тема и практически съвети. Преценете колко примера можете да решите правилно. Първият път! Без калкулатор! И си направи правилните изводи...

Запомнете верния отговор получено от втори (особено трети) път - не се брои!Такъв е суровият живот.

Така, решаване в изпитен режим ! Между другото това е подготовка за изпита. Решаваме пример, проверяваме, решаваме следното. Решихме всичко - пак проверихме от първия до последния. Но само Тогававижте отговорите.

Изчисли:

решихте ли

Търсите отговори, които отговарят на вашите. Специално ги записах на бъркотия, далеч от изкушението, така да се каже... Ето ги и отговорите, записани с точка и запетая.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

И сега правим изводи. Ако всичко се получи - радвам се за вас! Елементарните изчисления с дроби не са ваш проблем! Можете да правите по-сериозни неща. Ако не...

Така че имате един от двата проблема. Или и двете наведнъж.) Липса на знания и (или) невнимание. Но това разрешими проблеми.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Дробите са обикновени числа, те също могат да се събират и изваждат. Но поради факта, че имат знаменател, тук са необходими по-сложни правила, отколкото за целите числа.

Разгледайте най-простия случай, когато има две дроби с еднакви знаменатели. Тогава:

За да добавите дроби с еднакви знаменатели, съберете техните числители и оставете знаменателя непроменен.

За да извадите дроби с еднакви знаменатели, е необходимо да извадите числителя на втората от числителя на първата дроб и отново да оставите знаменателя непроменен.

Във всеки израз знаменателите на дробите са равни. По дефиниция на събиране и изваждане на дроби получаваме:

Както можете да видите, нищо сложно: просто добавете или извадете числителите - и това е всичко.

Но дори и в такива прости действия хората успяват да направят грешки. Най-често забравят, че знаменателят не се променя. Например, когато ги добавяте, те също започват да се добавят и това е фундаментално погрешно.

Да се ​​отървете от лошия навик да добавяте знаменатели е доста лесно. Опитайте се да направите същото, когато изваждате. В резултат на това знаменателят ще бъде нула и дробта (внезапно!) ще загуби значението си.

Затова запомнете веднъж завинаги: при събиране и изваждане знаменателят не се променя!

Освен това много хора правят грешки, когато събират няколко отрицателни дроби. Има объркване със знаците: къде да поставите минус и къде - плюс.

Този проблем също е много лесен за решаване. Достатъчно е да запомните, че минусът преди знака за дроб винаги може да бъде прехвърлен в числителя - и обратно. И разбира се, не забравяйте две прости правила:

1. Плюс по минус дава минус;
2. Две отрицания правят утвърдително.

Нека анализираме всичко това с конкретни примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

В първия случай всичко е просто, а във втория ще добавим минуси към числителите на дроби:

Ами ако знаменателите са различни

Не можете директно да събирате дроби с различни знаменатели. Поне на мен този метод е непознат. Оригиналните дроби обаче винаги могат да бъдат пренаписани, така че знаменателите да станат еднакви.

Има много начини за преобразуване на дроби. Три от тях са разгледани в урока " Привеждане на дроби към общ знаменател", така че няма да се спираме на тях тук. Нека да разгледаме някои примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

В първия случай привеждаме дробите към общ знаменател по метода "кръстосано". Във втория ще търсим LCM. Обърнете внимание, че 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Последните множители в тези разширения са равни, а първите са взаимнопрости. Следователно, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Ами ако дробта има цяло число

Мога да ви зарадвам: различните знаменатели на дробите не са най-голямото зло. Много повече грешки възникват, когато цялата част е подчертана в дробните членове.

Разбира се, за такива дроби има собствени алгоритми за събиране и изваждане, но те са доста сложни и изискват дълго проучване. По-добре използвайте простата диаграма по-долу:

1. Преобразувайте всички дроби, съдържащи цяло число, в неправилни. Получаваме нормални условия (дори и с различни знаменатели), които се изчисляват съгласно правилата, обсъдени по-горе;
2. Всъщност изчислете сумата или разликата на получените дроби. В резултат на това практически ще намерим отговора;
3. Ако това е всичко, което се изискваше в задачата, извършваме обратната трансформация, т.е. отърваваме се от неправилната дроб, като подчертаваме цялата част в нея.

Правилата за преминаване към неправилни дроби и подчертаване на цялата част са описани подробно в урока "Какво е числова дроб". Ако не си спомняте, не забравяйте да повторите. Примери:

Задача. Намерете стойността на израза:

Тук всичко е просто. Знаменателите във всеки израз са равни, така че остава да преобразувате всички дроби в неправилни и да преброите. Ние имаме:

За да опростя изчисленията, пропуснах някои очевидни стъпки в последните примери.

Малка забележка към последните два примера, където се изваждат дроби с подчертана цяла част. Минусът преди втората дроб означава, че се изважда цялата дроб, а не само цялата й част.

Прочетете отново това изречение, погледнете примерите и помислете върху него. Това е мястото, където начинаещите правят много грешки. Те обичат да дават такива задачи на контролна работа. Ще ги срещнете многократно и в тестовете за този урок, които ще бъдат публикувани скоро.

Резюме: Обща схема на изчисленията

В заключение ще дам общ алгоритъм, който ще ви помогне да намерите сумата или разликата на две или повече дроби:

1. Ако в една или повече дроби е подчертана цяла част, преобразувайте тези дроби в неправилни;
2. Приведете всички фракции до общ знаменател по всеки удобен за вас начин (освен ако, разбира се, компилаторите на проблемите не са направили това);
3. Съберете или извадете получените числа според правилата за събиране и изваждане на дроби с еднакви знаменатели;
4. Намалете резултата, ако е възможно. Ако фракцията се окаже неправилна, изберете цялата част.

Не забравяйте, че е по-добре да подчертаете цялата част в самия край на задачата, точно преди да напишете отговора.

Сега, след като се научихме как да събираме и умножаваме отделни дроби, можем да разгледаме по-сложни структури. Например, какво ще стане, ако събирането, изваждането и умножението на дроби се появят в една задача?

На първо място, трябва да преобразувате всички дроби в неправилни. След това последователно извършваме необходимите действия - в същия ред, както при обикновените числа. а именно:

1. Първо се извършва степенуване - отървете се от всички изрази, съдържащи степени;
2. След това - деление и умножение;
3. Последната стъпка е събиране и изваждане.

Разбира се, ако в израза има скоби, редът на действията се променя - първо трябва да се вземе предвид всичко, което е вътре в скобите. И не забравяйте за неправилните дроби: трябва да изберете цялата част само когато всички други действия вече са завършени.

Нека преведем всички дроби от първия израз в неправилни и след това изпълним следните действия:

Сега нека намерим стойността на втория израз. Няма дроби с цяла част, но има скоби, така че първо извършваме събиране и едва след това деление. Обърнете внимание, че 14 = 7 2 . Тогава:

И накрая, разгледайте третия пример. Тук има скоби и степен - по-добре е да ги броите отделно. Като се има предвид, че 9 = 3 3 , имаме:

Обърнете внимание на последния пример. За да повдигнете дроб на степен, трябва отделно да повдигнете числителя на тази степен и отделно знаменателя.

Можете да решите различно. Ако си припомним дефиницията на степента, проблемът ще бъде намален до обичайното умножение на дроби:

Многоетажни фракции

Досега разглеждахме само "чисти" дроби, когато числителят и знаменателят са обикновени числа. Това е в съответствие с определението за числова дроб, дадено в първия урок.

Но какво ще стане, ако в числителя или знаменателя е поставен по-сложен обект? Например друга числена дроб? Такива конструкции се срещат доста често, особено при работа с дълги изрази. Ето няколко примера:

Има само едно правило за работа с многоетажни фракции: трябва незабавно да се отървете от тях. Премахването на "допълнителни" етажи е доста просто, ако си спомняте, че дробната лента означава стандартната операция за разделяне. Следователно всяка дроб може да бъде пренаписана, както следва:

Възползвайки се от този факт и следвайки процедурата, лесно можем да намалим всяка многоетажна фракция до обикновена. Разгледайте примерите:

Задача. Преобразувайте многоетажни дроби в обикновени:

Във всеки случай пренаписваме основната дроб, като заменяме разделителната линия със знак за деление. Също така не забравяйте, че всяко цяло число може да бъде представено като дроб със знаменател 1. Тоест, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаваме:

В последния пример дробите бяха намалени преди окончателното умножение.

Спецификата на работа с многоетажни фракции

Има една тънкост в многоетажните фракции, която винаги трябва да се помни, в противен случай можете да получите грешен отговор, дори ако всички изчисления са правилни. Погледни:

1. В числителя има отделно число 7, а в знаменателя - дробта 12/5;
2. Числителят е дробта 7/12, а знаменателят е единственото число 5.

И така, за един запис получихме две напълно различни интерпретации. Ако броите, отговорите също ще бъдат различни:

За да сте сигурни, че записът винаги се чете недвусмислено, използвайте просто правило: разделителната линия на основната фракция трябва да е по-дълга от вложената линия. За предпочитане няколко пъти.

Ако следвате това правило, горните дроби трябва да бъдат записани, както следва:

Да, вероятно е грозен и заема твърде много място. Но ще сметнеш правилно. И накрая, няколко примера, при които наистина се срещат дроби на много нива:

Задача. Намерете стойностите на израза:

И така, нека работим с първия пример. Нека преобразуваме всички дроби в неправилни и след това изпълним операциите за събиране и деление:

Нека направим същото с втория пример. Преобразувайте всички дроби в неправилни и изпълнете необходимите операции. За да не отегчавам читателя, ще пропусна някои очевидни изчисления. Ние имаме:

Поради факта, че числителят и знаменателят на главните дроби съдържат суми, правилото за изписване на многоетажни дроби се спазва автоматично. Освен това в последния пример съзнателно оставихме числото 46/1 под формата на дроб, за да извършим делението.

Също така отбелязвам, че и в двата примера дробната лента всъщност замества скобите: първо намерихме сумата и едва след това - частното.

Някой ще каже, че преходът към неправилни дроби във втория пример е очевидно излишен. Може би това е така. Но така се застраховаме от грешки, защото следващият път примерът може да се окаже доста по-сложен. Изберете сами кое е по-важно: скорост или надеждност.