Was ist der Sinus eines Außenwinkels eines Dreiecks?

Im Abschnitt zur angegebenen Frage rechtwinkliges Dreieck ABC, Winkel C ist richtig. Finden Sie den Sinus Außenecke am Scheitelpunkt B, wenn AC=3 und AB=5 vom Autor angegeben Anastasia Polupan Die beste Antwort ist Außenwinkel eines Dreiecks. Sinus und Cosinus des Außenwinkels
In einigen Probleme mit dem einheitlichen Staatsexamen Sie müssen den Sinus, Cosinus oder Tangens eines Außenwinkels eines Dreiecks ermitteln. Was ist ein Außenwinkel eines Dreiecks?
Erinnern wir uns zunächst daran, was benachbarte Winkel sind. Hier sind sie im Bild. Benachbarte Winkel haben eine Seite gemeinsam und die anderen beiden liegen auf derselben Geraden. Die Summe benachbarter Winkel ist gleich.
Angrenzende Winkel
Nehmen wir ein Dreieck und verlängern eine seiner Seiten. Ein äußerer Scheitelwinkel ist ein Winkel neben einer Ecke. Wenn ein Winkel spitz ist, ist der angrenzende Winkel stumpf und umgekehrt.
Außenwinkel eines Dreiecks
Beachten Sie, dass:
Denken Sie an diese wichtigen Beziehungen. Jetzt nehmen wir sie ohne Beweise. Im Abschnitt „Trigonometrie“, im Thema „ Trigonometrischer Kreis", wir melden uns bei ihnen.
Es ist leicht zu beweisen, dass der Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe zwei nicht angrenzende Innenwinkel.
1. In einem Dreieck ist der Winkel gleich. Finden Sie den Tangens des Außenwinkels am Scheitelpunkt.
Außenwinkel eines rechtwinkligen Dreiecks
Sei der Außenwinkel am Scheitelpunkt.
Wenn wir das wissen, können wir es mithilfe der Formel finden
Wir bekommen:
2. In einem Dreieck ist der Winkel gleich. Finden Sie den Sinus des Außenwinkels am Scheitelpunkt.
Das Problem ist in vier Sekunden gelöst. Da die Summe der Winkel und gleich ist, ist auch der Sinus des Außenwinkels am Scheitelpunkt gleich.

„Gleichseitiges Dreieck“ – Besuchte die Bibliothek. Erstaunliche Verhältnisse. Senkrechte. Regelmäßige Dreiecke. Gleichseitiges Dreieck. Dreieck. Deutscher Mechaniker. Dreiecke. Forschung durchführen. Innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks. Gleichseitige Dreiecke. Gipfel.

„Außenwinkel eines Dreiecks“ – Was ist L1? Einer der Winkel des Dreiecks ist stumpf. Lösen Sie das Problem mündlich. Mathematische Diktate. Berechnung Abschlussmaße Ecken Außenwinkel eines Dreiecks. Definition. Gibt es ein Dreieck mit zwei rechten Winkeln? Winkel A 2 Mal mehr Winkel B. Vier Winkel sind gleich.

„Rechtwinklige Dreiecke lösen“ – Median, Höhe und Winkelhalbierende eines Dreiecks. Ein gleichschenkliges Dreieck, in dem die Höhe zur Basis eingezeichnet ist. Ein Beispiel für die Verwendung von Reduktionsformeln. Die Höhe wird seitlich dargestellt. Finden Sie die Seite eines Dreiecks mit gegebenem sin (cos) und Seite. Geben Sie die Basis und die gleichen Winkel gleichschenkliger Dreiecke an.

„Bestimmung des Medians, der Winkelhalbierenden und der Höhe eines Dreiecks“ – Segment. Mittelwerte, Winkelhalbierende und Höhen eines Dreiecks. Halbierende. Median. Notieren Sie die Nummern der Dreiecke. Aufrecht. Vergleichen Sie die Längen der Segmente. Geometrischer Marathon. Höhe. Überprüfe dich selbst.

„Einige Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke“ – Probleme. Das Bein liegt gegenüber der Ecke. Mathe-Box-Problem. Summe scharfe Kanten. Einige Eigenschaften. Selbstständige Arbeit. Rechtwinklige Dreiecke. Mitte der Seite. Bein. Wenden Sie die Beineigenschaft an. Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. Eigenschaften mit Beweis. Rechteckiges Dreieck.

„Gleichschenkliges Dreieck und seine Eigenschaften“ – Finden Sie den Wert von Winkel 1, wenn der Wert von Winkel 2 40 Grad beträgt? CH - Höhe. Sehen Sie sich die Präsentation zu Hause an. Wunderschöne Gebäude, Gemälde entstehen unter Berücksichtigung des Prinzips des „Goldenen Dreiecks“. Median. B ist der Winkel am Scheitelpunkt eines gleichschenkligen Dreiecks. IN gleichschenkligen Dreiecks ABC-Winkel A beträgt 35 Grad. A, C – Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks.

Es ist notwendig, die Winkelsinuswerte nicht nur in einem rechtwinkligen Dreieck, sondern auch in jedem anderen zu berechnen. Dazu müssen Sie die Höhe des Dreiecks zeichnen (senkrecht zu einer der Seiten, abgesenkt von). gegenüberliegende Ecke) und lösen Sie das Problem wie für ein rechtwinkliges Dreieck, indem Sie die Höhe als eines der Beine verwenden.

So ermitteln Sie den Sinus eines Außenwinkels eines Dreiecks

Zuerst müssen Sie verstehen, was ein Außenwinkel ist. Wir haben ein beliebiges Dreieck ABC. Wenn eine der Seiten, zum Beispiel AC, über die Ecke BAC hinaus verlängert wird und ein Strahl AO gezeichnet wird, dann neuer Blickwinkel OAV wird extern sein. Dies ist der Sinus, nach dem wir suchen werden.

Um das Problem zu lösen, müssen wir die Senkrechte BH vom Winkel ABC zur Seite AC absenken. Dies ist die Höhe des Dreiecks. Wie wir das Problem lösen, hängt davon ab, was wir wissen.

Die einfachste Option ist, wenn der Winkel BAC bekannt ist. Dann lässt sich das Problem ganz einfach lösen. Da der Strahl OS eine Gerade ist, beträgt der Winkel OAS = 180°. Dies bedeutet, dass die Winkel OAB und BAC benachbart sind und die Sinuswerte benachbarter Winkel den gleichen Betrag haben.

Betrachten wir ein anderes Problem: in beliebiges Dreieck ABC kennt die Seite: AB=a und Höhe ВН=h. Wir müssen den Sinus des Winkels OAS finden. Da wir jetzt ein rechtwinkliges Dreieck ABH haben, beträgt der Sinus des Winkels ABH gleich dem Verhältnis Bein BN bis Hypotenuse AB:

• sinBAH = BH/AB = h/a.

Auch das ist einfach. Eine schwierigere Aufgabe ist es, wenn die Höhe h und die Seiten AC=c, BC=b bekannt sind und Sie den Sinus des Winkels OAB ermitteln müssen.

Mit dem Satz des Pythagoras finden wir den Schenkel CH des Dreiecks BCH:

• BC² = BH² + CH² b² = h² + CH²,
• CH² = b² - h², CH = √(b² - h²).

Von hier aus können Sie das Segment AH der Seite AC finden:

• AH = AC - CH = c - √(b² - h²).

Jetzt verwenden wir wieder den Satz des Pythagoras, um die dritte Seite AB des Dreiecks ABN zu finden:

• AB² = BH² + AH² = h² + (c - √(b² - h²))².

Der Sinus des Winkels BAC ist gleich dem Verhältnis der Höhe BN des Dreiecks zur Seite AB:

• sinBAC = BH/AH = h/(c - √(b² - h²)).

Da die Winkel OAB und BAC benachbart sind, sind ihre Sinuswerte gleich groß.

Durch die Kombination des Satzes des Pythagoras, der Definition des Sinus und einiger anderer Sätze (insbesondere über benachbarte Winkel) können Sie fast die meisten Probleme mit Dreiecken lösen, einschließlich der Bestimmung des Sinus eines Außenwinkels. Manchmal können zusätzliche Konstruktionen erforderlich sein: Zeichnen Sie eine Höhe von der gewünschten Ecke aus, verlängern Sie die Seite der Ecke über ihre Grenzen hinaus usw.

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Per Definition besteht jeder Winkel aus zwei divergenten Strahlen, die aus einem einzigen entstehen gemeinsamer Punkt- Gipfel. Wird einer der Strahlen über den Scheitelpunkt hinaus fortgesetzt, bildet diese Fortsetzung zusammen mit dem zweiten Strahl einen weiteren Winkel – man nennt ihn benachbart. Angrenzender Winkel an der Spitze von jedem konvexes Polygon als extern bezeichnet, da es außerhalb der durch die Seiten dieser Figur begrenzten Oberfläche liegt.

Anweisungen

Wenn Sie den Wert des Sinus kennen Innenecke (??) geometrische Figur, es besteht keine Notwendigkeit, etwas zu berechnen - der Sinus des entsprechenden Außenwinkels (??) hat genau den gleichen Wert: sin(??) = sin(??). Dies wird durch die Eigenschaften bestimmt Trigonometrische Funktion sin(??) = sin(180°-??). Müsste man beispielsweise den Wert des Kosinus oder Tangens eines Außenwinkels ermitteln, müsste dieser Wert mit umgekehrtem Vorzeichen ermittelt werden.

Es gibt einen Satz, dass in einem Dreieck die Summe der Werte zweier beliebiger Innenwinkel gleich dem Wert des Außenwinkels des dritten Scheitelpunkts ist. Verwenden Sie es, wenn der Wert des Innenwinkels, der dem betreffenden Außenwinkel (??) entspricht, unbekannt ist und die Winkel (?? und ??) an den anderen beiden Eckpunkten in den Bedingungen angegeben sind. Finden Sie den Sinus der Summe bekannte Winkel: Sünde(??) = Sünde(??+??).

Problem damit Anfangsbedingungen, wie im vorherigen Schritt, hat eine andere Lösung. Es folgt aus einem anderen Satz – über die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks. Da diese Summe laut Theorem gleich 180° sein sollte, kann der Wert des unbekannten Innenwinkels durch zwei bekannte Einsen ausgedrückt werden (?? und??) – er wird gleich 180°-??-? sein. ?. Das bedeutet, dass Sie die Formel aus Schritt eins verwenden und den Innenwinkel durch diesen Ausdruck ersetzen können: sin(??) = sin(180°-??-??).

IN regelmäßiges Vieleck der Außenwinkel an jedem Scheitelpunkt ist gleich Zentralwinkel, was bedeutet, dass es mit derselben Formel berechnet werden kann. Wenn daher in den Bedingungen des Problems die Anzahl der Seiten (n) eines Polygons angegeben ist, gehen Sie bei der Berechnung des Sinus eines beliebigen Außenwinkels (??) davon aus, dass sein Wert einer vollen Umdrehung geteilt durch entspricht die Anzahl der Seiten. Eine vollständige Umdrehung im Bogenmaß wird durch die doppelte Zahl Pi ausgedrückt, daher sollte die Formel wie folgt aussehen: sin(??) = sin(2*?/n). Bei der Berechnung in Grad ersetzen Sie das doppelte Pi durch 360°: sin(??) = sin(360°/n).