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Geben Sie den Begriff einer Mengenvereinigung an. Operationen an Mengen. Schnittpunkt und Vereinigung von Mengen

In der Mathematik ist der Begriff „Menge“ einer der wichtigsten, grundlegenden Begriffe, es gibt jedoch keine einheitliche Definition von „Menge“. Eine der am besten etablierten Definitionen einer Menge ist die folgende: Eine Menge ist jede Ansammlung bestimmter und unterschiedlicher Objekte, die als ein einziges Ganzes betrachtet werden kann. Der Begründer der Mengenlehre, der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845-1918), sagte: „Eine Menge besteht aus vielen Dingen, die wir als Ganzes betrachten.“

Mengen als Datentyp haben sich für die komplexe Programmierung als sehr praktisch erwiesen Lebenssituationen, da sie zur genauen Modellierung realer Objekte und zur kompakten Darstellung komplexer logischer Zusammenhänge verwendet werden können. Mengen werden in der Programmiersprache Pascal verwendet, und wir werden uns unten ein Beispiel für eine Lösung ansehen. Darüber hinaus wurde auf der Grundlage der Mengenlehre das Konzept relationaler Datenbanken erstellt und auf der Grundlage von Operationen an Mengen - relationale Algebra und ihre Operationen- Wird in Datenbankabfragesprachen, insbesondere SQL, verwendet.

Beispiel 0 (Pascal). In mehreren Geschäften der Stadt gibt es eine Auswahl an Produkten, die verkauft werden. Bestimmen Sie: welche Produkte in allen Geschäften der Stadt erhältlich sind; vollständiger Satz Produkte in der Stadt.

Lösung. Wir definieren einen grundlegenden Datentyp Lebensmittel (Produkte), er kann Werte annehmen, die den Namen von Produkten entsprechen (z. B. hleb). Wir deklarieren einen Mengentyp; er definiert alle Teilmengen, die aus Kombinationen von Werten des Basistyps, also Essen, bestehen. Und wir bilden Untergruppen: Geschäfte „Solnyshko“, „Veterok“, „Ogonyok“ sowie abgeleitete Untergruppen: MinFood (Produkte, die in allen Geschäften erhältlich sind), MaxFood (eine vollständige Produktpalette in der Stadt). Als nächstes schreiben wir Operationen vor, um abgeleitete Teilmengen zu erhalten. Die MinFood-Teilmenge wird als Ergebnis der Schnittmenge der Teilmengen Solnyshko, Veterok und Ogonyok erhalten und umfasst nur diejenigen Elemente dieser Teilmengen, die in jeder dieser Teilmengen enthalten sind (in Pascal wird die Operation der Schnittmenge von Mengen bezeichnet). durch ein Sternchen: A * B * C, die mathematische Bezeichnung für den Schnittpunkt von Mengen ist unten angegeben). Die MaxFood-Teilmenge wird durch Kombinieren derselben Teilmengen erhalten und enthält Elemente, die in allen Teilmengen enthalten sind (in Pascal wird die Operation des Kombinierens von Mengen durch das Pluszeichen gekennzeichnet: A + B + C, die mathematische Bezeichnung für das Kombinieren von Mengen ist unten angegeben ).

Code PASCAL

Programmshops; Typ Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, Sugar, maslo, ryba); Shop = Lebensmittelset; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Beginn Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; Ende.

Welche Arten von Sets gibt es?

Die Objekte, aus denen sich die Mengen zusammensetzen – die Objekte unserer Intuition oder unseres Intellekts – können ganz unterschiedlicher Natur sein. Im Beispiel im ersten Absatz haben wir Sets analysiert, die eine Reihe von Produkten enthielten. Mengen können beispielsweise aus allen Buchstaben des russischen Alphabets bestehen. In der Mathematik werden beispielsweise Zahlenmengen untersucht, die aus allen bestehen:

Natürliche Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, ...

Primzahlen

Sogar ganze Zahlen

usw. (Basic Zahlensätze in diesem Material besprochen).

Die Objekte, aus denen eine Menge besteht, werden ihre Elemente genannt. Wir können sagen, dass eine Menge ein „Beutel mit Elementen“ ist. Es ist sehr wichtig: Es gibt keine identischen Elemente in einer Menge.

Mengen können endlich und unendlich sein. Endliche Menge ist eine Menge, für die es eine natürliche Zahl gibt, die die Anzahl ihrer Elemente ist. Beispielsweise ist die Menge der ersten fünf nichtnegativen ungeraden ganzen Zahlen eine endliche Menge. Eine Menge, die nicht endlich ist, heißt unendlich. Zum Beispiel die Menge aller natürliche Zahlen ist eine unendliche Menge.

Wenn M- viel, und A- sein Element, dann schreiben sie: A∈M, was bedeutet " A gehört zum Set M".

Aus dem ersten (Null-)Beispiel in Pascal mit Produkten, die in bestimmten Geschäften erhältlich sind:

hleb∈VETEROK ,

Das bedeutet: Das Element „hleb“ gehört zu vielen Produkten, die im „VETEROK“-Shop erhältlich sind.

Es gibt zwei Hauptmethoden zum Definieren von Mengen: Aufzählung und Beschreibung.

Eine Menge kann durch Auflisten aller ihrer Elemente definiert werden, zum Beispiel:

VETEROK = {hleb, Sir, Butter} ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Eine Aufzählung kann nur eine endliche Menge definieren. Obwohl Sie dies mit einer Beschreibung tun können. Aber unendliche Mengen können nur durch Beschreibung definiert werden.

Zur Beschreibung von Mengen wird es verwendet nächster Weg. Lassen P(X) – eine Anweisung, die die Eigenschaften einer Variablen beschreibt X, dessen Bereich die Menge ist M. Dann durch M = {X | P(X)} bezeichnet die Menge bestehend aus all jenen und nur jenen Elementen, für die die Aussage gilt P(X) ist wahr. Dieser Ausdruck lautet wie folgt: „Viele M, bestehend aus all solchen X, Was P(X) ".

Zum Beispiel aufzeichnen

M = {X | X² - 3 X + 2 = 0}

Beispiel 6. Laut einer Umfrage unter 100 Marktkäufern, die Zitrusfrüchte kauften, kauften 29 Käufer Orangen, 30 Käufer Zitronen, 9 Mandarinen, 1 nur Mandarinen, 10 Orangen und Zitronen, 4 Zitronen und Mandarinen, alle drei Sorten Obst - 3 Käufer. Wie viele Kunden haben keine der hier aufgeführten Zitrusfrüchte gekauft? Wie viele Kunden haben nur Zitronen gekauft?

Operation des kartesischen Mengenprodukts

Um noch einen zu bestimmen wichtige OperationÜbersätze - Kartesisches Produkt von Mengen Lassen Sie uns das Konzept einer geordneten Menge von Längen einführen N.

Die Länge des Satzes ist die Zahl N seine Komponente. Eine Menge, die aus Elementen in genau dieser Reihenfolge besteht, wird bezeichnet . Dabei ich Die i()-Set-Komponente ist .

Nun folgt eine strenge Definition, die vielleicht nicht sofort klar ist, aber nach dieser Definition folgt ein Bild, aus dem deutlich wird, wie man ein kartesisches Produkt von Mengen erhält.

Kartesisches (direktes) Produkt von Mengen heißt eine Menge, die mit bezeichnet wird und bestehend aus all diesen und nur diesen Längensätzen N, ich-te Komponente, zu der gehört .

Wenn zum Beispiel , , ,

Lösung einiger mathematische Probleme lässt dich finden Durchschnitt und Vereinigung von Zahlenmengen. Wir haben uns bereits mit der akzeptierten Notation für Zahlenmengen vertraut gemacht und werden in diesem Artikel sorgfältig und anhand von Beispielen verstehen, wie man den Schnittpunkt und die Vereinigung von Zahlenmengen findet. Diese Fähigkeiten werden dabei insbesondere von Nutzen sein Lösungen für Ungleichheiten mit einer Variablen und deren Systeme.

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Die einfachsten Fälle

Im einfachsten Fall meinen wir das Finden des Schnittpunkts und der Vereinigung numerischer Mengen, bei denen es sich um eine Menge einzelner Zahlen handelt. In diesen Fällen reicht die Verwendung aus Definitionen von Schnittmenge und Vereinigung von Mengen.

Wir möchten Sie daran erinnern

Definition.

Vereinigung Zwei Mengen sind eine Menge, von der jedes Element ein Element einer der ursprünglichen Mengen ist, und Überschneidung Sets ist ein Set, das aus allen gemeinsamen Elementen der Originalsets besteht.

Aus diesen Definitionen ist es leicht zu ermitteln Regeln befolgen Finden des Schnittpunktes und der Vereinigung von Mengen:

Um eine Vereinigung zweier Zahlenmengen zu bilden, die Folgendes enthalten: letzte Zahl Elemente müssen Sie alle Elemente einer Menge aufschreiben und ihnen die fehlenden Elemente der zweiten hinzufügen.
Um einen Schnittpunkt zweier numerischer Mengen zu erstellen, müssen Sie nacheinander die Elemente der ersten Menge nehmen und prüfen, ob sie zur zweiten Menge gehören; diejenigen, die dazu gehören, bilden den Schnittpunkt.

Tatsächlich besteht die durch die erste Regel erhaltene Menge aus allen Elementen, die zu mindestens einer der ursprünglichen Mengen gehören, und ist daher per Definition eine Vereinigung dieser Mengen. Und das nach der zweiten Regel zusammengestellte Set enthält alles gemeinsame Elemente der Originalmengen, also der Schnittpunkt der Originalmengen.

Schauen wir uns an konkrete Beispiele Anwendung der angegebenen Regeln, um den Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen zu finden.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssen die Vereinigung der Zahlenmengen A=(3, 5, 7, 12) und B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) finden. Wir schreiben beispielsweise alle Elemente der Menge A auf, wir haben 3, 5, 7, 12, und fügen ihnen als Ergebnis die fehlenden Elemente der Menge B hinzu, also 2, 8, 11 und 13 wir haben die Zahlenmenge (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13) . Es schadet nicht, die Elemente der resultierenden Menge zu ordnen; als Ergebnis erhalten wir die gewünschte Vereinigung: A∪B=(2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).

Finden wir nun den Schnittpunkt zweier Zahlenmengen aus dem vorherigen Beispiel A=(3, 5, 7, 12) und B=(2, 5, 8, 11, 12, 13). Gemäß der Regel gehen wir nacheinander die Elemente der ersten Menge A durch und prüfen, ob sie in Menge B enthalten sind. Wir nehmen das erste Element 3, es gehört nicht zur Menge B, daher wird es kein Element des gewünschten Schnittpunkts sein. Nehmen wir das zweite Element der Menge A, das ist die Zahl 5. Es gehört zur Menge B, also auch zum Durchschnitt der Mengen A und B. So wird das erste Element der gewünschten Kreuzung gefunden – die Zahl 5. Kommen wir zum dritten Element der Menge A, das ist die Zahl 7. Es gehört nicht zu B, was bedeutet, dass es nicht zum Schnittpunkt gehört. Schließlich bleibt das letzte Element der Menge A übrig – die Zahl 12. Es gehört zur Menge B und ist daher auch ein Schnittelement. Der Schnittpunkt der Mengen A=(3, 5, 7, 12) und B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) ist also eine Menge bestehend aus zwei Elementen 5 und 12, also A∩ B =(5, 12) .

Wie Sie bemerkt haben, haben wir oben darüber gesprochen, den Schnittpunkt und die Vereinigung zweier Zahlenmengen zu finden. Was den Schnittpunkt und die Vereinigung von drei oder mehr Mengen betrifft, kann die Ermittlung auf reduziert werden sequentielles Finden Schnittpunkt und Vereinigung zweier Mengen. Um beispielsweise den Schnittpunkt der drei Mengen A, B und D zu ermitteln, können Sie zunächst den Schnittpunkt von A und B und dann den Schnittpunkt des resultierenden Ergebnisses mit der Menge D ermitteln. Und nun konkret: Nehmen wir die Zahlenmengen A=(3, 9, 4, 3, 5, 21), B=(2, 7, 9, 21) und D=(7, 9, 1, 3) und finden deren Schnittpunkt. Wir haben A∩B=(9, 21) und der Schnittpunkt der resultierenden Menge mit der Menge D ist (9) . Somit ist A∩B∩D=(9) .

In der Praxis ist es jedoch notwendig, den Schnittpunkt von drei, vier usw. zu finden. Für die einfachsten Zahlenmengen, die aus einer endlichen Anzahl einzelner Zahlen bestehen, ist es zweckmäßig, Regeln zu verwenden, die den oben angegebenen Regeln ähneln.

Um also eine Vereinigung von drei oder mehr Sätzen des angegebenen Typs zu erhalten, müssen wir die fehlenden Zahlen des zweiten Satzes zu den Zahlen des ersten Zahlensatzes addieren, die fehlenden Zahlen des dritten Satzes zu den geschriebenen Zahlen hinzufügen, und so weiter. Um diesen Punkt zu verdeutlichen, nehmen wir die Zahlenmengen A=(1, 2) , B=(2, 3) und D=(1, 3, 4, 5) . Zu den Elementen 1 und 2 der Zahlenmenge A addieren wir die fehlende Zahl 3 der Menge B, wir erhalten 1, 2, 3, und zu diesen Zahlen addieren wir die fehlenden Zahlen 4 und 5 der Menge D, als Ergebnis wir Holen Sie sich die Vereinigung von drei Mengen, die wir brauchen: A∪B∪C= (1, 2, 3, 4, 5) .

Was das Finden des Schnittpunkts von drei, vier usw. angeht. Bei numerischen Mengen, die aus einer endlichen Anzahl einzelner Zahlen bestehen, müssen Sie die Zahlen der ersten Menge nacheinander durchgehen und prüfen, ob die überprüfte Zahl zu jeder der verbleibenden Mengen gehört. Wenn ja, dann ist diese Zahl ein Schnittelement, wenn nicht, dann nicht. An dieser Stelle sei lediglich angemerkt, dass es ratsam ist, als erstes die Menge mit der geringsten Anzahl an Elementen zu nehmen. Nehmen wir als Beispiel vier Zahlenmengen A=(3, 1, 7, 12, 5, 2), B=(1, 0, 2, 12), D=(7, 11, 2, 1, 6) , E =(1, 7, 15, 8, 2, 6) und finden Sie ihren Schnittpunkt. Offensichtlich enthält Menge B die wenigsten Elemente. Um den Schnittpunkt der ursprünglichen vier Mengen zu finden, nehmen wir die Elemente von Menge B und prüfen, ob sie in den verbleibenden Mengen enthalten sind. Wir nehmen also 1, diese Zahl sind Elemente beider Mengen A sowie D und E, also ist dies das erste Element des gewünschten Schnittpunkts. Nehmen wir das zweite Element der Menge B – es ist Null. Diese Zahl ist kein Element der Menge A und daher auch kein Element des Schnittpunktes. Wir prüfen das dritte Element der Menge B – die Zahl 2. Diese Zahl ist ein Element aller anderen Mengen und daher das zweite gefundene Schnittelement. Schließlich bleibt das vierte Element der Menge B übrig. Diese Zahl ist 12, sie ist kein Element der Menge D und daher kein Element des gewünschten Schnittpunkts. Als Ergebnis gilt A∩B∩D∩E=(1, 2) .

Die Koordinatenlinie und Zahlenintervalle als Vereinigung ihrer Teile

In unserem Beispiel haben wir Datensätze

UND

für den Durchschnitt bzw. die Vereinigung numerischer Mengen.

Als nächstes wird eine weitere Koordinatenlinie gezeichnet; es ist praktisch, sie unter den vorhandenen zu platzieren. Es wird der gewünschte Schnittpunkt oder die gewünschte Vereinigung angezeigt. Auf dieser Koordinatenlinie sind alle Randpunkte der ursprünglichen Zahlenmengen markiert. In diesem Fall werden diese Punkte zunächst mit Strichen markiert; später, wenn die Art der Punkte mit diesen Koordinaten geklärt ist, werden die Striche durch punktierte oder nicht punktierte Punkte ersetzt. In unserem Fall sind dies Punkte mit den Koordinaten −3 und 7.
Wir haben

Und

Die im vorherigen Schritt des Algorithmus auf der unteren Koordinatenlinie dargestellten Punkte ermöglichen es uns, die Koordinatenlinie als eine Menge zu betrachten numerische Intervalle und Punkte, über die wir gesprochen haben. In unserem Fall betrachten wir die Koordinatenlinie als eine Menge der folgenden fünf numerischen Mengen: (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) .

Und es bleibt nur noch, eine nach der anderen zu prüfen, ob jede der geschriebenen Mengen in der gewünschten Schnittmenge oder Vereinigung enthalten ist. Alle gezogenen Schlussfolgerungen werden Schritt für Schritt auf der unteren Koordinatenlinie markiert: Wenn das Intervall im Schnittpunkt oder der Vereinigung enthalten ist, wird darüber eine Schraffur gezeichnet, wenn der Punkt im Schnittpunkt oder der Vereinigung enthalten ist, dann der Strich, der es bezeichnet durch einen festen Punkt ersetzt, wenn dieser nicht enthalten ist, dann machen wir ihn durchstochen. In diesem Fall sollten folgende Regeln beachtet werden:

Eine Lücke ist im Schnittpunkt enthalten, wenn sie gleichzeitig in Satz A und Satz B enthalten ist (mit anderen Worten, wenn diese Lücke über den beiden oberen Koordinatenlinien, die den Sätzen A und B entsprechen, schattiert ist);
Ein Punkt ist im Schnittpunkt enthalten, wenn er gleichzeitig sowohl in Menge A als auch in Menge B enthalten ist (mit anderen Worten, wenn dieser Punkt nicht punktiert ist oder interner Punkt beliebiges Intervall beider Zahlenmengen A und B);
Ein Intervall ist in der Vereinigung enthalten, wenn es in mindestens einer der Mengen A oder B enthalten ist (mit anderen Worten, wenn über diesem Intervall eine Schraffur über mindestens einer der Koordinatenlinien vorhanden ist, die den Mengen A und B entsprechen). ;
Ein Punkt ist in der Vereinigung enthalten, wenn er in mindestens einer der Mengen A oder B enthalten ist (mit anderen Worten, wenn dieser Punkt nicht punktiert ist oder ein innerer Punkt eines Intervalls von mindestens einer der Mengen A und B ist). .

Vereinfacht ausgedrückt ist der Schnittpunkt der Zahlenmengen A und B die Vereinigung aller gleichzeitig schraffierten Zahlenintervalle der Mengen A und B und aller Einzelpunkte, die gleichzeitig zu A und B gehören. Und die Vereinigung zweier Zahlenmengen ist die Vereinigung aller Zahlenintervalle, über die mindestens eine der Mengen A oder B eine Schattierung aufweist, sowie aller unpunktierten Einzelpunkte.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Lassen Sie uns die Schnittmenge von Mengen ermitteln. Dazu prüfen wir nacheinander die Mengen (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) . Wir beginnen mit (−∞, −3), der Übersichtlichkeit halber heben wir es in der Zeichnung hervor:

Wir beziehen diese Lücke nicht in den erforderlichen Schnittpunkt ein, da sie weder in A noch in B enthalten ist (über dieser Lücke gibt es keine Schattierung). In diesem Schritt markieren wir also nichts in unserer Zeichnung und sie behält ihr ursprüngliches Aussehen:

Fahren wir mit dem nächsten Satz fort (−3). Die Zahl −3 gehört zur Menge B (dies ist ein nicht punktierter Punkt), gehört aber offensichtlich nicht zur Menge A, also nicht zum gewünschten Schnittpunkt. Daher machen wir auf der unteren Koordinatenlinie einen Punkt mit der punktierten Koordinate −3:

Wir überprüfen den folgenden Satz (−3, 7).

Es ist in Satz B enthalten (oberhalb dieses Intervalls befindet sich eine Schraffur), ist jedoch nicht in Satz A enthalten (oberhalb dieses Intervalls befindet sich keine Schraffur) und wird daher nicht in den Schnittpunkt einbezogen. Deshalb markieren wir auf der unteren Koordinatenlinie nichts:

Fahren wir mit Satz (7) fort. Er ist in Satz B enthalten (der Punkt mit der Koordinate 7 ist ein innerer Punkt des Intervalls [−3, +∞)), aber nicht in Satz A enthalten (dieser Punkt ist punktiert), sodass er nicht in den gewünschten enthalten ist Überschneidung. Markieren Sie den Punkt mit der Koordinate 7 als durchstochen:

Es bleibt noch das Intervall (7, +∞) zu überprüfen.

Es ist sowohl in Menge A als auch in Menge B enthalten (über dieser Lücke befindet sich eine Schraffur), daher ist es auch im Schnittpunkt enthalten. Wir schattieren diese Lücke:

Als Ergebnis erhielten wir auf der unteren Koordinatenlinie ein Bild des gewünschten Schnittpunkts der Mengen A=(7, +∞) und B=[−3, +∞) . Offensichtlich repräsentiert es die Menge von allem reale Nummern, größer als sieben, also A∩B=(7, +∞) .

Finden wir nun die Vereinigung der Mengen A und B. Wir beginnen eine sequentielle Überprüfung der Mengen (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) auf ihre Einbeziehung in die gewünschte Vereinigung zweier numerischer Mengen A und B .

Der erste Satz (−∞, −3) ist weder in A noch in B enthalten (über diesem Intervall gibt es keine Schattierung), daher wird dieser Satz nicht in der gewünschten Vereinigung enthalten sein:

Die Menge (−3) ist in der Menge B enthalten, daher wird sie auch in der Vereinigung der Mengen A und B enthalten sein:

Das Intervall (−3, 7) ist auch in B enthalten (über diesem Intervall befindet sich eine Schraffur), daher wird es so sein Bestandteil die gewünschte Vereinigung:

Satz (7) wird ebenfalls in die gewünschte Vereinigung aufgenommen, da er im Zahlensatz B enthalten ist:

Schließlich ist (7, +∞) sowohl in Menge A als auch in Menge B enthalten und wird daher auch in der gewünschten Vereinigung enthalten sein:

Basierend auf dem resultierenden Bild der Vereinigung der Mengen A und B schließen wir, dass A∩B=[−3, +∞) .

Habe einige erhalten praktische Erfahrung, kann die Prüfung der Einbeziehung einzelner Intervalle und Zahlen in die Schnittmenge bzw. Vereinigung mündlich erfolgen. Dadurch können Sie das Ergebnis sehr schnell erfassen. Lassen Sie uns zeigen, wie die Lösung des Beispiels aussehen wird, wenn wir keine Erklärung geben.

Beispiel.

Finden Sie den Durchschnitt und die Vereinigung von Mengen A=(−∞, −15)∪(−5)∪∪(12) Und B=(−20, −10)∪(−5)∪(2, 3)∪(17).

Lösung.

Lassen Sie uns diese Zahlenmengen auf Koordinatenlinien darstellen. Dadurch erhalten wir Bilder ihrer Schnittmenge und Vereinigung:

Antwort:

A∩B=(−20, −15)∪(−5)∪(2, 3) Und A∪B=(−∞, −10)∪(−5)∪∪(12, 17).

Es ist klar, dass der oben beschriebene Algorithmus mit dem richtigen Verständnis optimiert werden kann. Wenn Sie beispielsweise den Schnittpunkt von Mengen finden, müssen nicht alle Intervalle und Mengen überprüft werden, die aus einzelnen Zahlen bestehen, in die die Grenzpunkte der ursprünglichen Mengen in der Koordinatenlinie unterteilt sind. Sie können sich darauf beschränken, nur die Intervalle und Zahlen zu überprüfen, aus denen die Menge A oder B besteht. Die verbleibenden Intervalle werden weiterhin nicht in die Schnittmenge einbezogen, da sie nicht zu einer der ursprünglichen Mengen gehören. Lassen Sie uns dies veranschaulichen, indem wir die Lösung des Beispiels analysieren.

Beispiel.

Was ist der Schnittpunkt der Zahlenmengen A=(−2)∪(1, 5) und B=[−4, 3]?

Lösung.

Konstruieren wir geometrische Bilder der Zahlenmengen A und B:

Grenzpunkte gegebene Mengen Teilen Sie den Zahlenstrahl in die folgenden Mengen: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , (1) , (1, 3 ) , (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

Es ist leicht zu erkennen, dass die numerische Menge A aus den gerade geschriebenen Mengen „zusammengesetzt“ werden kann, indem man (−2), (1, 3), (3) und (3, 5) kombiniert. Um den Schnittpunkt der Mengen A und B zu finden, genügt es zu prüfen, ob die letztgenannten Mengen in Menge B enthalten sind. Diejenigen von ihnen, die in B enthalten sind, bilden den gewünschten Schnittpunkt. Lassen Sie uns die entsprechende Prüfung durchführen.

Offensichtlich ist (−2) in der Menge B enthalten (da der Punkt mit der Koordinate −2 ein innerer Punkt des Segments [−4, 3] ist). Das Intervall (1, 3) ist auch in B enthalten (darüber befindet sich eine Schraffur). Satz (3) ist auch in B enthalten (der Punkt mit der Koordinate 3 ist ein Rand- und nichtpunktierter Punkt des Satzes B). Und das Intervall (3, 5) ist nicht in der Zahlenmenge B enthalten (es gibt keine Schattierung darüber). Nachdem Sie die Schlussfolgerungen in der Zeichnung markiert haben, wird sie diese Form annehmen

Somit ist der gewünschte Schnittpunkt zweier ursprünglicher Zahlenmengen A und B die Vereinigung der folgenden Mengen (−2), (1, 3), (3), die als (−2)∪(1, 3) geschrieben werden kann .

Antwort:

{−2}∪(1, 3] .

Jetzt bleibt nur noch zu diskutieren, wie man den Schnittpunkt und die Vereinigung von drei und findet mehr Zahlensätze. Dieses Problem kann darauf reduziert werden, nacheinander den Schnittpunkt und die Vereinigung zweier Mengen zu finden: zuerst die erste mit der zweiten, dann das erhaltene Ergebnis mit der dritten, dann das erhaltene Ergebnis mit der vierten und so weiter. Oder Sie verwenden einen ähnlichen Algorithmus wie den bereits angekündigten. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Überprüfung des Vorkommens von Intervallen und Mengen, die aus einzelnen Zahlen bestehen, nicht durch zwei, sondern durch alle Anfangsmengen erfolgen muss. Betrachten wir ein Beispiel für die Ermittlung des Schnittpunktes und der Vereinigung von drei Mengen.

Beispiel.

Finden Sie den Schnittpunkt und die Vereinigung dreier Zahlenmengen A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Lösung.

Zuerst stellen wir wie üblich Zahlenmengen auf Koordinatenlinien dar und setzen links davon eine geschweifte Klammer, die den Schnittpunkt anzeigt, und eckige Klammer zur Vereinheitlichung, und unten stellen wir Koordinatenlinien mit Randpunkten von Zahlenmengen dar, die mit Strichen markiert sind:

Es stellt sich also heraus, dass die Koordinatenlinie durch numerische Mengen (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) dargestellt wird ) , (40) , (40, ∞) .

Wir beginnen mit der Suche nach Schnittpunkten; dazu schauen wir nacheinander, ob die geschriebenen Mengen in jeder der Mengen A, B und D enthalten sind. Alle drei anfänglichen Zahlenmengen umfassen das Intervall (−3, 12) und die Menge (12). Sie bilden den gewünschten Schnittpunkt der Mengen A, B und D. Es gilt A∩B∩D=(−3, 12] .

Die gewünschte Vereinigung wiederum besteht aus den Mengen (−∞, −3) (in A enthalten), (−3) (in A enthalten), (−3, 12) (in A enthalten), (12) ( enthalten in A), (12, 25) (enthalten in B), (25) (enthalten in B) und (40) (enthalten in D). Somit ist A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Antwort:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Beachten Sie abschließend, dass der Schnittpunkt von Zahlenmengen häufig die leere Menge ist. Dies entspricht Fällen, in denen die ursprünglichen Mengen keine Elemente enthalten, die gleichzeitig zu allen Mengen gehören.

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . Keine der geschriebenen Mengen ist gleichzeitig in den vier Originalmengen enthalten, was bedeutet, dass der Durchschnitt der Mengen A, B, D und E die leere Menge ist.

Antwort:

A∩B∩D∩E=∅.

Referenzliste.

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Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studierende Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.

Ein Haufen- eine Sammlung beliebiger Objekte. Mengen bezeichnen in Großbuchstaben Lateinisches Alphabet- aus A Vor Z.

Grundlegende Zahlenmengen: Die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der ganzen Zahlen werden immer mit denselben Buchstaben bezeichnet:

N- Menge natürlicher Zahlen

Z- Menge von ganzen Zahlen

Element festlegen ist jedes Objekt, das Teil einer Menge ist. Die Zugehörigkeit eines Objekts zu einer Menge wird mit dem Zeichen ∈ angegeben. Aufzeichnen

liest sich so: 5 gehört zur Menge Z oder 5 - Element der Menge Z .

Mengen werden in endliche und unendliche Mengen unterteilt. Endliche Menge- eine Menge, die eine bestimmte (endliche) Anzahl von Elementen enthält. Unendliche Menge- eine Menge, die unendlich viele Elemente enthält. Unendliche Mengen umfassen Mengen natürlicher Zahlen und ganzer Zahlen.

Zur Definition einer Menge werden geschweifte Klammern verwendet, in denen Elemente durch Kommas getrennt aufgelistet werden. Zum Beispiel aufzeichnen

L = {2, 4, 6, 8}

bedeutet, dass viele L besteht aus vier geraden Zahlen.

Der Ausdruckssatz wird unabhängig davon verwendet, wie viele Elemente er enthält. Mengen, die kein einzelnes Element enthalten, werden aufgerufen leer.

Teilmenge

Teilmenge ist eine Menge, deren Elemente alle Teil einer anderen Menge sind.

Mit können Sie die Beziehung zwischen einer Menge und ihrer Teilmenge visuell demonstrieren Euler-Kreise. Eulerkreise sind geometrische Schemata, hilft, Beziehungen zu visualisieren verschiedene Objekte, in unserem Fall Sets.

Betrachten wir zwei Mengen:

L= (2, 4, 6, 8) und M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Jedes Element der Menge L gehört vielen M, bedeutet viel L M. Diese Mengenbeziehung wird mit dem Zeichen ⊂ bezeichnet:

L⊂M

Aufzeichnen L⊂M liest sich so: viele L ist eine Teilmenge der Menge M .

Mengen, die unabhängig von ihrer Reihenfolge aus denselben Elementen bestehen, werden aufgerufen gleich und werden mit = bezeichnet.

Betrachten wir zwei Mengen:

L= (2, 4, 6) und M = {4, 6, 2}

da also beide Mengen aus den gleichen Elementen bestehen L = M.

Schnittpunkt und Vereinigung von Mengen

Schnittpunkt zweier Mengen ist eine Sammlung von Elementen, die zu jeder dieser Mengen gehören, also zu ihren ein gemeinsamer Teil. Der Schnittpunkt wird durch das Zeichen ∩ gekennzeichnet.

Zum Beispiel, wenn

L= (1, 3, 7, 11) und M= (3, 11, 17, 19), dann L∩M = {3, 11}.

Aufzeichnen L∩M liest sich so: Schnittmenge von Mengen L Und M .

Aus dieses Beispiel folgt dem Die Schnittmenge von Mengen ist eine Menge, die nur die Elemente enthält, die in allen sich schneidenden Mengen vorkommen.

Vereinigung zweier Mengen ist eine Menge, die alle Elemente der ursprünglichen Mengen in einer einzigen Kopie enthält, d. h. wenn in beiden Mengen das gleiche Element gefunden wird, wird dieses Element nur einmal in die neue Menge aufgenommen. Die Vereinigung wird mit dem Zeichen ∪ bezeichnet.

Zum Beispiel, wenn

L= (1, 3, 7, 11) und M = {3, 11, 17, 19},

Das L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Aufzeichnen L∪M liest sich so: Vereinigung von Mengen L Und M .

Beim Zusammenführen gleiche Mengen, die Vereinigung ist gleich einer der angegebenen Mengen:

Wenn L = M, Das L∪M = L Und L∪M = M.

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Verein: Wiktionary hat einen Artikel „Verein“. Verein ist eine Art Organisation ... Wikipedia

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Assoziation ist ein polysemantischer Begriff, der Teil komplexer Begriffe ist. In Wiktionary gibt es einen Eintrag für „Verein“. Ein Verein ist eine Art Organisation. Einen Verband gemeinsamen Namen groß militärische Formationen... Wikipedia

Bücher

Bis 20 zählen. Arbeitsbuch für Kinder von 6 bis 7 Jahren. Bundesstaatlicher Bildungsstandard, Shevelev Konstantin Valerievich. Arbeitsheft Entwickelt für die Arbeit mit Kindern im Alter von 6–7 Jahren. Trägt zur Erreichung der Ziele des Kognitionsblocks bei, indem es elementare Elemente bildet mathematische Darstellungen. Methodisch...

Lernziele:

pädagogisch: Entwicklung der Fähigkeit, Mengen und Teilmengen zu identifizieren; Entwicklung von Fähigkeiten zum Finden des Schnittpunkts und der Vereinigung von Mengen in Bildern und zum Benennen von Elementen aus diesem Bereich, Lösen von Problemen;
entwickeln: Entwicklung kognitives Interesse Studenten; Entwicklung intellektuelle Sphäre Persönlichkeit, Entwicklung von Fähigkeiten zum Vergleichen und Verallgemeinern.
pädagogisch: Genauigkeit und Aufmerksamkeit bei der Entscheidungsfindung fördern.

Während des Unterrichts.

1. Organisatorischer Moment.

2. Der Lehrer gibt das Unterrichtsthema bekannt und formuliert gemeinsam mit den Schülern Ziele und Zielsetzungen.

3. Der Lehrer erinnert sich gemeinsam mit den Schülern an den in der 7. Klasse zum Thema „Sets“ gelernten Stoff, stellt neue Konzepte und Definitionen sowie Formeln zur Lösung von Problemen vor.

„Mehrfach sind viele Dinge, die wir als eins betrachten“ (Begründer der Mengenlehre – Georg Cantor). Georg CANTOR (1845-1918) – deutscher Mathematiker, Logiker, Theologe, Schöpfer der Theorie der transfiniten (unendlichen) Mengen, die einen entscheidenden Einfluss auf die Entwicklung hatte mathematische Wissenschaften an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert.

Set ist eines der Grundkonzepte moderne Mathematik, wird in fast allen Abschnitten verwendet.

Leider lässt sich der Grundbegriff der Theorie – der Mengenbegriff – nicht strikt definieren. Natürlich können wir sagen, dass eine Menge eine „Menge“, „Sammlung“, „Ensemble“, „Sammlung“, „Familie“, „System“, „Klasse“ usw. ist. Dies alles wäre jedoch nicht der Fall mathematische Definition, sondern vielmehr der Missbrauch des Wortschatzreichtums der russischen Sprache.

Um einen Begriff zu definieren, muss zunächst angegeben werden, um welchen Einzelfall es sich handelt allgemeines Konzept Für den Begriff einer Menge ist dies unmöglich, da es in der Mathematik keinen allgemeineren Begriff als eine Menge gibt.

Oft müssen wir über mehrere Dinge sprechen, die durch ein bestimmtes Merkmal verbunden sind. Wir können also über die Menge aller Stühle im Raum sprechen, die Menge aller Zellen menschlicher Körper, über die Menge aller Kartoffeln in einem gegebenen Beutel, über die Menge aller Fische im Ozean, über die Menge aller Quadrate auf einer Ebene, über die Menge aller Punkte auf einem gegebenen Kreis usw.

Elemente, aus denen sich zusammensetzt gegebener Satz, werden seine Elemente genannt.

Beispielsweise bestehen viele Wochentage aus den Elementen: Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag.

Viele Monate - aus den Elementen: Januar, Februar, März, April, Mai, Juni, Juli, August, September, Oktober, November, Dezember.

Ein Haufen Rechenoperationen- aus den Elementen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division.

Wenn A beispielsweise die Menge aller natürlichen Zahlen bedeutet, dann gehört 6 zu A, aber 3 gehört nicht zu A.

Wenn A die Menge aller Monate des Jahres ist, dann gehört der Mai zu A, der Mittwoch jedoch nicht zu A.

Wenn eine Menge endlich viele Elemente enthält, heißt sie endlich, und wenn sie unendlich viele Elemente hat, heißt sie unendlich. Die Menge der Bäume in einem Wald ist also endlich, aber die Menge der Punkte auf einem Kreis ist unendlich.

Paradoxon in der Logik- Dies ist ein Widerspruch, der den Status einer logisch korrekten Schlussfolgerung hat und gleichzeitig eine Argumentation darstellt, die zu sich gegenseitig ausschließenden Schlussfolgerungen führt.

Wie bereits erwähnt, ist der Mengenbegriff der Kern der Mathematik. Mit einfachsten Mengen und verschiedenen mathematischen Konstruktionen können Sie nahezu jedes mathematische Objekt konstruieren. Die Idee, die gesamte Mathematik auf der Grundlage der Mengenlehre zu konstruieren, wurde von G. Cantor aktiv gefördert. Allerdings birgt der Mengenbegriff bei aller Einfachheit die Gefahr von Widersprüchen oder, wie man auch sagt, Paradoxien. Das Auftreten von Paradoxien ist darauf zurückzuführen, dass nicht alle Konstruktionen und nicht alle Mengen berücksichtigt werden können.

Das einfachste Paradoxon ist „ Friseur-Paradoxon".

Einem Soldaten wurde befohlen, nur diejenigen Soldaten seines Zuges zu rasieren, die sich nicht rasierten. Die Nichtbefolgung eines Befehls in der Armee ist bekanntlich ein schweres Verbrechen. Allerdings stellte sich die Frage, ob dieser Soldat sich rasieren sollte. Wenn er sich rasiert, sollte er zu den vielen Soldaten gezählt werden, die sich selbst rasieren, und er hat kein Recht, solche Leute zu rasieren. Wenn er sich nicht rasiert, wird er unter vielen Soldaten landen, die sich nicht rasieren, und gemäß dem Befehl ist er verpflichtet, solche Soldaten zu rasieren. Paradox.

An Mengen können Sie wie an vielen anderen mathematischen Objekten verschiedene Operationen ausführen, die manchmal als mengentheoretische Operationen oder Mengenoperationen bezeichnet werden. Als Ergebnis von Operationen werden aus den ursprünglichen Sätzen neue Sätze erhalten. Sets werden mit Großbuchstaben bezeichnet mit lateinischen Buchstaben, und ihre Elemente sind Kleinbuchstaben. Aufzeichnen A R bedeutet, dass das Element A gehört zum Set R, also A R. IN ansonsten, Wann A gehört nicht zur Menge R, Sie schreiben A R .

Zwei Sets A Und IN werden genannt gleich (A =IN), wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen, also aus jedem Element der Menge A ist ein Element der Menge IN und umgekehrt jedes Element der Menge IN ist ein Element der Menge A .

Vergleich von Sätzen.

Eine Menge A ist in einer Menge B enthalten (eine Menge B enthält eine Menge A), wenn jedes Element von A ein Element von B ist:

Sie sagen, dass es viele gibt A in vielen enthalten IN oder viele A Ist Teilmenge Sätze IN(in diesem Fall schreiben sie A IN), wenn jedes Element der Menge A ist zugleich Element der Menge IN. Diese Abhängigkeit zwischen Mengen heißt einschalten . Für jedes Set A Einschlüsse treten auf: Ø A Und A A

In diesem Fall A angerufen Teilmenge B, B - Obermenge A. Wenn, dann A angerufen eigene Teilmenge IN. beachte das ,

A-Priorat,

Die beiden Mengen werden aufgerufen gleich, wenn sie Teilmengen voneinander sind

Operationen festlegen

Überschneidung.

Einen Verband.

Eigenschaften.

1. Die Operation der Kombination von Mengen ist kommutativ

2. Die Operation des Kombinierens von Mengen ist transitiv

3. Die leere Menge X ist ein neutrales Element der Mengenvereinigungsoperation

1. Sei A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Dann

2. A = (2,4,6,8,10), B = (3,6,9,12). Finden wir die Vereinigung und den Durchschnitt dieser Mengen:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Die Gruppe der Kinder ist eine Teilmenge der Gesamtbevölkerung

4. Der Schnittpunkt einer Menge von ganzen Zahlen mit einer Menge positive Zahlen ist die Menge der natürlichen Zahlen.

5. Durch die Kombination des Sets Rationale Zahlen mit vielen irrationale Zahlen ist die Menge der positiven Zahlen.

6. Null ist das Komplement der Menge der natürlichen Zahlen relativ zur Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen.

Venn-Diagramme(Venn-Diagramme) ist die allgemeine Bezeichnung für eine Reihe von Visualisierungsmethoden und grafischen Illustrationsmethoden, die in weit verbreitet sind Diverse Orte Naturwissenschaften und Mathematik: Mengenlehre, eigentlich "Venn-Diagramm" zeigt alle möglichen Beziehungen zwischen Sets oder Ereignissen einer bestimmten Familie; Sorten Venn-Diagramm dienen: Euler-Diagramme,

Venn-Diagramm von vier Sätzen.

Eigentlich "Venn-Diagramm" zeigt alle möglichen Beziehungen zwischen Sets oder Ereignissen einer bestimmten Familie. Ein typisches Venn-Diagramm besteht aus drei Sätzen. Venn selbst versuchte es zu finden elegante Art und Weise mit symmetrische Figuren , im Diagramm dargestellt größere Zahl Sätze, aber er konnte dies nur für vier Sätze (siehe Abbildung rechts) mithilfe von Ellipsen tun.

Euler-Diagramme

Euler-Diagramme ähneln Venn-Diagrammen. Euler-Diagramme können verwendet werden, um die Plausibilität mengentheoretischer Identitäten zu bewerten.

Aufgabe 1. Die Klasse besteht aus 30 Personen, von denen jeder singt oder tanzt. Es ist bekannt, dass 17 Personen singen und 19 Personen tanzen können. Wie viele Menschen singen und tanzen gleichzeitig?

Lösung: Beachten wir zunächst, dass von 30 Personen 30 – 17 = 13 Personen nicht singen können.

Sie alle wissen, wie man tanzt, weil... Je nach Bedingung singt oder tanzt jeder Schüler der Klasse. Insgesamt können 19 Personen tanzen, 13 davon können nicht singen, das heißt 19-13 = 6 Personen können gleichzeitig tanzen und singen.

Probleme im Zusammenhang mit der Schnittmenge und der Vereinigung von Mengen.

Gegebene Mengen A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0).
Finden Sie die Mengen AU B,
Bilden Sie mindestens sieben Wörter, deren Buchstaben Teilmengen der Menge bilden
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
Sei A die Menge der durch 2 teilbaren natürlichen Zahlen und B die durch 4 teilbare Menge der natürlichen Zahlen. Welche Schlussfolgerung kann aus diesen Mengen gezogen werden?
Das Unternehmen beschäftigt 67 Mitarbeiter. Davon wissen 47 Bescheid englische Sprache 35 sind deutsch und 23 sind beide Sprachen. Wie viele Leute im Unternehmen sprechen weder Englisch noch? Deutsche Sprachen?
Von den 40 Schülern in unserer Klasse mögen 32 Milch, 21 Limonade und 15 sowohl Milch als auch Limonade. Wie viele Kinder in unserer Klasse mögen weder Milch noch Limonade?
12 meiner Klassenkameraden lesen gerne Kriminalgeschichten, 18 lieben Science-Fiction, drei lesen gerne beides und einer liest überhaupt nichts. Wie viele Schüler sind in unserer Klasse?
Von den 18 meiner Klassenkameraden, die gerne Thriller schauen, sind nur 12 nicht abgeneigt, Zeichentrickfilme anzuschauen. Wie viele meiner Klassenkameraden schauen sich nur „Zeichentrickfilme“ an, wenn wir insgesamt 25 Schüler in unserer Klasse haben, von denen jeder gerne Thriller, Zeichentrickfilme oder beides sieht?
Von den 29 Jungen in unserem Hof treiben nur zwei keinen Sport, der Rest besucht Fußball- oder Tennisabteilungen oder sogar beide. 17 Jungen spielen Fußball und 19 Jungen spielen Tennis. Wie viele Fußballspieler spielen Tennis? Wie viele Tennisspieler spielen Fußball?
65 % von Omas Kaninchen lieben Karotten, 10 % lieben sowohl Karotten als auch Kohl. Wie viel Prozent der Kaninchen würden gerne Kohl essen?
In einer Klasse sind 25 Schüler. Davon 7 Liebesbirnen, 11 Liebeskirschen. Zwei Liebesbirnen und Kirschen; 6 - Birnen und Äpfel; 5 - Äpfel und Kirschen. Aber es gibt zwei Schüler in der Klasse, die alles lieben, und vier, die Obst überhaupt nicht mögen. Wie viele Schüler in dieser Klasse mögen Äpfel?
22 Mädchen nahmen am Schönheitswettbewerb teil. Davon waren 10 schön, 12 klug und 9 freundlich. Nur zwei Mädchen waren sowohl schön als auch klug; Die 6 Mädchen waren klug und freundlich zugleich. Bestimmen Sie, wie viele schöne und gleichzeitig freundliche Mädchen es gab, wenn ich Ihnen sage, dass es unter den Teilnehmern kein einziges kluges, freundliches und gleichzeitig freundliches Mädchen gab schönes Mädchen?
In unserer Klasse sind 35 Schüler. Im ersten Quartal erreichten 14 Schüler die Note „A“ in Russisch; in Mathematik - 12; in Geschichte - 23. In Russisch und Mathematik - 4; in Mathematik und Geschichte - 9; in russischer Sprache und Geschichte - 5. Wie viele Schüler haben in allen drei Fächern eine Eins, wenn es in der Klasse keinen einzigen Schüler gibt, der nicht in mindestens einem dieser Fächer eine Eins hat?
Von 100 Personen sprechen 85 Englisch, 80 Spanisch und 75 Deutsch. Jeder spricht mindestens eine Fremdsprache. Unter ihnen gibt es keine, die zwei Fremdsprachen beherrschen, wohl aber solche, die drei Sprachen sprechen. Wie viele dieser 100 Menschen sprechen drei Sprachen?
Von den Mitarbeitern des Unternehmens besuchten 16 Frankreich, 10 Italien und 6 England. in England und Italien - 5; in England und Frankreich - 6; in allen drei Ländern - 5 Mitarbeiter. Wie viele Personen haben sowohl Italien als auch Frankreich besucht, wenn insgesamt 19 Personen im Unternehmen arbeiten und jeder von ihnen mindestens eines der genannten Länder besucht hat?

5. Zusammenfassung der Lektion.

6. Reflexion.

Ich war am erfolgreichsten...
Für mich war es eine Entdeckung, dass...
Wofür kannst du dich selbst loben?
Was hat Ihrer Meinung nach nicht funktioniert? Warum? Was ist für die Zukunft zu beachten?
Meine Erfolge im Unterricht.