Beweisen Sie Satz 3, das Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken. Das erste Zeichen der Gleichheit der Dreiecke. Das zweite und dritte Gleichheitszeichen der Dreiecke. Einfache Wahrheiten über Dreiecke

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THEMA DER LEKTION: Das dritte Zeichen der Gleichheit der Dreiecke.

Lernziele:

• Lehrreich – Wiederholung, Verallgemeinerung und Überprüfung des Wissens zum Thema: „Zeichen der Gleichheit von Dreiecken“; Entwicklung grundlegender Fähigkeiten.
• Entwicklung – um die Aufmerksamkeit, Ausdauer und Beharrlichkeit der Schüler zu entwickeln, logisches Denken, mathematische Rede.
• Lehrreich – kultivieren Sie durch den Unterricht einen aufmerksamen Umgang miteinander, vermitteln Sie die Fähigkeit, Kameraden zuzuhören, gegenseitige Hilfe und Unabhängigkeit.

Lernziele:

• Entwickeln Sie Fähigkeiten zum Konstruieren von Dreiecken mithilfe eines Maßstabslineals, eines Winkelmessers und eines Zeichendreiecks.
• Testen Sie die Problemlösungsfähigkeiten der Schüler.

Unterrichtsplan:

1. Aus der Geschichte der Mathematik.
2. Zeichen der Gleichheit von Dreiecken.
3. Grundkenntnisse aktualisieren.
4. Rechtwinklige Dreiecke.

Aus der Geschichte der Mathematik.
Das rechtwinklige Dreieck nimmt in der babylonischen Geometrie einen Ehrenplatz ein und wird oft im Ahmes-Papyrus erwähnt.

Der Begriff Hypotenuse kommt vom griechischen hypoteinsa und bedeutet „Strecken unter etwas“, „Zusammenziehen“. Das Wort geht auf das Bild altägyptischer Harfen zurück, bei denen die Saiten über die Enden zweier senkrecht zueinander stehender Ständer gespannt waren.

Der Begriff Bein kommt von griechisches Wort„Katetos“, was eine Lotlinie bedeutete, senkrecht. Im Mittelalter bedeutete das Wort Bein die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, während seine anderen Seiten Hypotenuse bzw. Basis genannt wurden. Im 17. Jahrhundert begann man, das Wort „Kathet“ zu verwenden modernen Sinn und ist seit dem 18. Jahrhundert weit verbreitet.

Euklid verwendet die Ausdrücke:

„Seiten, die einen rechten Winkel schließen“ – für Beine;

„die Seite, die einen rechten Winkel bildet“ – für die Hypotenuse.

Zuerst müssen wir unsere Erinnerung an die vorherigen Gleichheitszeichen der Dreiecke auffrischen. Beginnen wir also mit dem ersten.

1. Gleichheitszeichen der Dreiecke.

Fächer > Mathematik > Mathematik 7. Klasse

Das dritte Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken auf drei Seiten wird in Form eines Theorems formuliert.

Satz : Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke kongruent.

Nachweisen. Betrachten Sie ΔABC und ΔA 1 B 1 C 1 mit AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 . Beweisen wir, dass ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Seien ABC und A 1 B 1 C 1 Dreiecke mit AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Legen wir ∆ABC auf ∆A 1 B 1 C 1 fest, sodass der Scheitelpunkt A mit A 1 ausgerichtet ist und die Scheitelpunkte B und B 1 sowie die Scheitelpunkte C und C 1 ausgerichtet sind verschiedene Seiten von der Geraden A 1 B 1. Drei Fälle sind möglich: 1) Der Strahl C 1 C verläuft innerhalb des Winkels A 1 C 1 B 1 (Abb. a)); 2) Strahl C 1 C fällt mit einer der Seiten dieses Winkels zusammen (Abb. b)); Strahl C 1 C verläuft außerhalb des Winkels A 1 C 1 B 1 (Abb. c)). Betrachten wir den ersten Fall. Da nach den Bedingungen des Satzes die Seiten AC und A 1 C 1, BC und B 1 C 1 gleich sind, sind die Dreiecke A 1 C 1 C und B 1 C 1 C gleichschenklig. Nach dem Satz über die Eigenschaft der Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks gilt Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4, also ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Also, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, РС = РС 1. Daher sind die Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 entsprechend dem ersten Gleichheitszeichen der Dreiecke gleich.

Schreibe an die Tafel:

Gegeben:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1

Beweisen:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Nachweisen.Überlegen wir ∆ABC auf ∆A 1 B 1 C 1, sodass A → A 1 und B → B 1 sowie C und C 1 auf gegenüberliegenden Seiten der Geraden A 1 B 1 liegen. Betrachten wir einen Fall. der Strahl C 1 C verläuft im Inneren RA 1 C 1 B 1 (Abb. a)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C und ΔB 1 C 1 C – gleich. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (je nach Art der Winkel ist gleich Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 gemäß dem ersten Gleichheitszeichen der Dreiecke.

2. Raute. Definition, Eigenschaften, Zeichen.

Eine Raute ist eine Art Viereck.

Definition: Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind.

Die Abbildung zeigt ein Parallelogramm ABCD mit AB=BC=CD=DA. Per Definition ist dieses Parallelogramm eine Raute. AC und ÂD sind die Diagonalen der Raute. Da es sich bei einer Raute um ein Parallelogramm handelt, gelten für sie alle Eigenschaften und Merkmale eines Parallelogramms.

Eigenschaften:

1) In einer Raute entgegengesetzte Winkel gleich sind (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Die Diagonalen einer Raute werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt. (BO=ОD, AO=ОC)

3) Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht zueinander und ihre Winkel halbieren sich. (AS DV, ‌‌АБО=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО) ( besonderes Eigentum)

4) Die Summe der an eine Seite angrenzenden Winkel beträgt 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

Zeichen Rhombus:

1) Stehen die Diagonalen eines Parallelogramms senkrecht zueinander, dann ist dieses Parallelogramm eine Raute

2) Wenn die Diagonale eines Parallelogramms seine Winkel halbiert, dann ist das Parallelogramm eine Raute.

3) Wenn alle Seiten eines Parallelogramms gleich sind, handelt es sich um eine Raute.

Auf die Tafel schreiben.

Eigenschaften:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌ААBO=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Die umgekehrten Aussagen sind Zeichen Rhombus:

1 ) Wenn ABCD eine Parallele m und AC DB ist, dann ist ABCD eine Raute.

2) Wenn ABCD eine Parallele ist und AC und DB Winkelhalbierende sind, dann ist ABCD eine Raute.

3) Wenn ABCD eine Parallele ist und AC=DB und BC=AD, dann ist ABCD eine Raute.

Aufgabe.

Von der Antike bis heute gilt die Suche nach Zeichen der Gleichheit von Figuren als Grundaufgabe, die den Grundlagen der Geometrie zugrunde liegt; Hunderte von Theoremen werden mithilfe von Gleichheitstests bewiesen. Fähigkeit, Gleichheit und Ähnlichkeit von Figuren nachzuweisen - wichtige Aufgabe in allen Bereichen des Bauwesens.

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Das Können in die Praxis umsetzen

Angenommen, wir haben eine Figur auf einem Blatt Papier gezeichnet. Gleichzeitig haben wir ein Lineal und einen Winkelmesser, mit denen wir die Längen von Segmenten und die Winkel zwischen ihnen messen können. So übertragen Sie eine Figur gleicher Größe auf ein zweites Blatt Papier oder verdoppeln den Maßstab.

Wir wissen, dass ein Dreieck eine Figur ist, die aus drei Segmenten besteht, die als Seiten bezeichnet werden und die Winkel bilden. Somit gibt es sechs Parameter – drei Seiten und drei Winkel – die diese Figur definieren.

Nachdem Sie jedoch die Größe aller drei Seiten und Winkel gemessen haben, übertragen Sie sie diese Figur auf eine andere Oberfläche wird sich als Herausforderung erweisen. Darüber hinaus ist es sinnvoll, die Frage zu stellen: Wäre es nicht ausreichend, die Parameter von zwei Seiten und einem Winkel zu kennen, oder nur von drei Seiten?

Nachdem wir die Länge der beiden Seiten und zwischen ihnen gemessen haben, werden wir diesen Winkel auf ein neues Blatt Papier übertragen, damit wir das Dreieck vollständig nachbilden können. Lassen Sie uns herausfinden, wie das geht, lernen, die Zeichen zu beweisen, anhand derer sie als gleich betrachtet werden können, und entscheiden, welche Mindestanzahl von Parametern ausreicht, um zu wissen, dass die Dreiecke gleich sind.

Wichtig! Figuren heißen identisch, wenn die Segmente, die ihre Seiten und Winkel bilden, einander gleich sind. Ähnliche Figuren sind solche, deren Seiten und Winkel proportional sind. Gleichheit ist also Ähnlichkeit mit einem Proportionalitätskoeffizienten von 1.

Was sind die Gleichheitszeichen von Dreiecken? Geben wir ihre Definition:

• das erste Zeichen der Gleichheit: Zwei Dreiecke können als identisch angesehen werden, wenn zwei ihrer Seiten gleich sind und auch der Winkel zwischen ihnen gleich ist.
• das zweite Gleichheitszeichen der Dreiecke: Zwei Dreiecke sind gleich, wenn zwei Winkel gleich sind, ebenso wie die entsprechende Seite zwischen ihnen.
• drittes Zeichen der Dreiecksgleichheit : Dreiecke können als identisch betrachtet werden, wenn alle ihre Seiten gleich lang sind.

So beweisen Sie, dass Dreiecke kongruent sind. Lassen Sie uns einen Beweis für die Gleichheit der Dreiecke geben.

Nachweis von 1 Zeichen

Unter den ersten Mathematikern galt dieses Zeichen lange Zeit als Axiom, es stellte sich jedoch heraus, dass es anhand grundlegenderer Axiome geometrisch nachgewiesen werden kann.

Betrachten Sie zwei Dreiecke – KMN und K 1 M 1 N 1 . Die KM-Seite hat die gleiche Länge wie K 1 M 1 und KN = K 1 N 1. Und der Winkel MKN ist gleich den Winkeln KMN und M 1 K 1 N 1.

Wenn wir KM und K 1 M 1, KN und K 1 N 1 als zwei Strahlen betrachten, die von einem Punkt ausgehen, dann können wir das zwischen diesen Strahlenpaaren sagen gleiche Winkel(Dies wird durch die Bedingung des Satzes angegeben). Wir werden produzieren Parallelübertragung Strahlen K 1 M 1 und K 1 N 1 vom Punkt K 1 zum Punkt K. Als Ergebnis dieser Übertragung fallen die Strahlen K 1 M 1 und K 1 N 1 vollständig zusammen. Zeichnen wir auf dem Strahl K 1 M 1 ein Segment der Länge KM auf, das am Punkt K beginnt. Da das resultierende Segment gemäß der Bedingung gleich dem Segment K 1 M 1 ist, fallen die Punkte M und M 1 zusammen. Ebenso mit den Segmenten KN und K 1 N 1. Indem wir also K 1 M 1 N 1 so übertragen, dass die Punkte K 1 und K zusammenfallen und sich die beiden Seiten überlappen, erhalten wir eine vollständige Übereinstimmung der Figuren selbst.

Wichtig! Im Internet gibt es Beweise für die Gleichheit von Dreiecken basierend auf zwei Seiten und einem Winkel mithilfe algebraischer und trigonometrische Identitäten Mit Zahlenwerte Seiten und Ecken. Allerdings historisch und mathematisch dieser Satz wurde lange vor der Algebra und vor der Trigonometrie formuliert. Um dieses Merkmal des Theorems zu beweisen, ist es falsch, etwas anderes als die Grundaxiome zu verwenden.

Beweis 2 Zeichen

Lassen Sie uns das zweite Gleichheitszeichen in zwei Winkeln und einer Seite basierend auf dem ersten beweisen.

Beweis 2 Zeichen

Betrachten wir KMN und PRS. K ist gleich P, N ist gleich S. Seite KN hat die gleiche Länge wie PS. Es muss nachgewiesen werden, dass KMN und PRS gleich sind.

Spiegeln wir den Punkt M relativ zum Strahl KN. Nennen wir den resultierenden Punkt L. In diesem Fall ist die Länge der Seite KM = KL. NKL ist gleich PRS. KNL ist gleich RSP.

Da die Summe der Winkel 180 Grad beträgt, ist KLN gleich PRS, was bedeutet, dass PRS und KLN auf beiden Seiten und im Winkel gleich (ähnlich) sind, entsprechend dem ersten Vorzeichen.

Da jedoch KNL gleich KMN ist, sind KMN und PRS zwei identische Zahlen.

Beweis 3 Zeichen

So stellen Sie fest, dass Dreiecke kongruent sind. Dies folgt direkt aus dem Beweis des zweiten Merkmals.

Länge KN = PS. Da K = P, N = S, KL=KM und KN = KS, MN=ML, dann:

Das bedeutet, dass beide Figuren einander ähnlich sind. Aber da ihre Seiten gleich sind, sind sie auch gleich.

Aus den Zeichen der Gleichheit und Ähnlichkeit ergeben sich viele Konsequenzen. Eine davon ist, dass man, um festzustellen, ob zwei Dreiecke gleich sind oder nicht, ihre Eigenschaften kennen muss, also ob sie gleich sind:

• alle drei Seiten;
• beide Seiten und der Winkel zwischen ihnen;
• beide Winkel und die Seite dazwischen.

Verwenden des Dreiecksgleichheitstests zur Lösung von Problemen

Folgen des ersten Zeichens

Im Zuge des Beweises kann man zu einer Reihe interessanter und nützlicher Konsequenzen kommen.

1. . Die Tatsache, dass der Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms diese in zwei identische Teile teilt, ist eine Folge der Gleichheitszeichen und lässt sich durchaus beweisen. Die Seiten des zusätzlichen Dreiecks (mit Spiegelkonstruktion, wie in den Beweisen). die wir durchgeführt haben) sind die Seiten des Hauptteils (die Seiten des Parallelogramms).
2. Wenn es zwei sind rechtwinkliges Dreieck, die das Gleiche haben scharfe Kanten, dann sind sie ähnlich. Wenn in diesem Fall das Bein des ersten gleich dem Bein Zweitens sind sie gleich. Das ist ganz einfach zu verstehen – alle rechtwinkligen Dreiecke haben einen rechten Winkel. Daher sind die Gleichheitszeichen für sie einfacher.
3. Zwei Dreiecke mit rechten Winkeln, bei denen zwei Schenkel gleich lang sind, können als identisch betrachtet werden. Dies liegt daran, dass der Winkel zwischen den beiden Beinen immer 90 Grad beträgt. Daher sind nach dem ersten Kriterium (nach zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen) alle Dreiecke mit rechten Winkeln und identischen Schenkeln gleich.
4. Wenn es zwei rechtwinklige Dreiecke gibt und ihr ein Bein und ihre Hypotenuse gleich sind, dann sind die Dreiecke gleich.

Lassen Sie uns diesen einfachen Satz beweisen.

Zwei Dreiecke heißen kongruent, wenn sie durch Überlappung zusammengebracht werden können. Abbildung 1 zeigt gleiche Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1. Jedes dieser Dreiecke kann übereinander gelegt werden, so dass sie vollständig kompatibel sind, d. h. ihre Eckpunkte und Seiten sind paarweise kompatibel. Es ist klar, dass die Winkel dieser Dreiecke auch paarweise übereinstimmen werden.

Wenn also zwei Dreiecke kongruent sind, dann sind die Elemente (d. h. Seiten und Winkel) eines Dreiecks jeweils gleich den Elementen des anderen Dreiecks. Beachten Sie, dass V gleiche Dreiecke gegen bzw gleiche Seiten (d. h. Überlappung bei Überlagerung) gleiche Winkel liegen und zurück: Dabei liegen sich gleiche Seiten bzw. gleiche Winkel gegenüber.

So liegen beispielsweise in den in Abbildung 1 gezeigten gleichen Dreiecken ABC und A 1 B 1 C 1 gegenüberliegende gleiche Seiten AB und A 1 B 1 jeweils gleiche Winkel C und C 1. Wir bezeichnen die Gleichheit der Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 wie folgt: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Es stellt sich heraus, dass die Gleichheit zweier Dreiecke durch den Vergleich einiger ihrer Elemente festgestellt werden kann.

Satz 1. Das erste Zeichen der Gleichheit der Dreiecke. Wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks jeweils gleich zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent (Abb. 2).

Nachweisen. Betrachten Sie die Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1, in denen AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (siehe Abb. 2). Beweisen wir, dass Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Da ∠ A = ∠ A 1, kann das Dreieck ABC dem Dreieck A 1 B 1 C 1 so überlagert werden, dass der Scheitelpunkt A mit dem Scheitelpunkt A 1 ausgerichtet ist und die Seiten AB und AC jeweils den Strahlen A 1 B 1 und A 1 überlagert werden C 1 . Da AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, dann wird Seite AB mit Seite A 1 B 1 und Seite AC mit Seite A 1 C 1 ausgerichtet; insbesondere fallen die Punkte B und B 1, C und C 1 zusammen. Folglich fallen die Seiten BC und B 1 C 1 zusammen. Die Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 sind also vollständig kompatibel, das heißt, sie sind gleich.

Satz 2 wird auf ähnliche Weise mit der Superpositionsmethode bewiesen.

Satz 2. Das zweite Zeichen der Gleichheit der Dreiecke. Wenn eine Seite und zwei benachbarte Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei benachbarte Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent (Abb. 34).

Kommentar. Basierend auf Satz 2 wird Satz 3 aufgestellt.

Satz 3. Die Summe zweier beliebiger Innenwinkel eines Dreiecks beträgt weniger als 180°.

Satz 4 folgt aus dem letzten Satz.

Satz 4. Außenecke Dreieck ist größer als jedes andere Innenecke, nicht angrenzend.

Satz 5. Das dritte Zeichen der Gleichheit der Dreiecke. Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke kongruent ().

Beispiel 1. In den Dreiecken ABC und DEF (Abb. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm. Vergleichen Sie die Dreiecke ABC und DEF. Wie groß ist der Winkel im Dreieck DEF gleich Winkel IN?

Lösung. Diese Dreiecke sind nach dem ersten Vorzeichen gleich. Der Winkel F des Dreiecks DEF ist gleich dem Winkel B Dreieck ABC, da diese Winkel den entsprechenden gleichen Seiten DE und AC gegenüber liegen.

Beispiel 2. Die Segmente AB und CD (Abb. 5) schneiden sich im Punkt O, der jeweils in der Mitte liegt. Warum gleich dem Segment BD, wenn das Segment AC 6 m beträgt?

Lösung. Die Dreiecke AOC und BSB sind gleich (gemäß dem ersten Kriterium): ∠ AOC = ∠ BSB (vertikal), AO = OB, CO = OD (nach Bedingung).
Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt, dass ihre Seiten gleich sind, d.h. AC = BD. Da aber gemäß der Bedingung AC = 6 m ist, dann ist BD = 6 m.