Die Welt aus der Sicht eines Astronomen, das Universum und das Sonnensystem. Wichtige Nachrichteninformationen. Planeten und Monde

Vektor von einem gegebenen Punkt.

Definition 1

Wenn Punkt $A$ der Anfang eines beliebigen Vektors $\overrightarrow(a)$ ist, dann wird der Vektor $\overrightarrow(a)$ als vom Punkt $A$ verzögert bezeichnet (Abb. 1).

Abbildung 1. $\overrightarrow(a)$, aufgetragen vom Punkt $A$

Lassen Sie uns den folgenden Satz einführen:

Satz 1

Von jedem Punkt $K$ aus kann man einen Vektor $\overrightarrow(a)$ zeichnen, und zwar nur einen.

Nachweisen.

Existenz: Hier sind zwei Fälle zu berücksichtigen:

Der Vektor $\overrightarrow(a)$ ist Null.

In diesem Fall ist es offensichtlich, dass der gesuchte Vektor der Vektor $\overrightarrow(KK)$ ist.

Der Vektor $\overrightarrow(a)$ ist ungleich Null.

Bezeichnen wir mit dem Punkt $A$ den Anfang des Vektors $\overrightarrow(a)$ und mit dem Punkt $B$ das Ende des Vektors $\overrightarrow(a)$. Zeichnen wir eine Gerade $b$ durch den Punkt $K$ parallel zum Vektor$\overrightarrow(a)$. Zeichnen wir die Strecken $\left|KL\right|=|AB|$ und $\left|KM\right|=|AB|$ auf dieser Linie ein. Betrachten Sie die Vektoren $\overrightarrow(KL)$ und $\overrightarrow(KM)$. Von diesen beiden Vektoren ist der gewünschte derjenige, der mit dem Vektor $\overrightarrow(a)$ kogerichtet ist (Abb. 2)

Abbildung 2. Illustration von Satz 1

Einzigartigkeit: Einzigartigkeit ergibt sich unmittelbar aus der im Punkt „Existenz“ vollzogenen Konstruktion.

Der Satz ist bewiesen.

Vektoraddition. Dreiecksregel

Gegeben seien die Vektoren $\overrightarrow(a)$ und $\overrightarrow(b)$.

Definition 2

Die Summe der Vektoren $\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)$ ist der Vektor $\overrightarrow(c)=\overrightarrow(AC)$, konstruiert wie folgt: Von beliebiger Punkt$A$ wird der Vektor $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$ geplottet, dann wird der Vektor $\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(b)$ aus dem resultierenden Punkt $B$ und dem Punkt $ geplottet A$ ist mit dem Punkt $ C$ verbunden (Abb. 3).

Abbildung 3. Vektorsumme

Anmerkung 1

Ansonsten Definition 2, auch genannt Dreiecksregel zwei Vektoren addieren.

Diese Regel impliziert mehrere Eigenschaften der Addition zweier Vektoren:

Für jeden Vektor $\overrightarrow(a)$ die Gleichheit

\[\overrightarrow(a)+\overrightarrow(0)=\overrightarrow(a)\]

Für beliebige Punkte $A,\B\ und\C$ gilt die Gleichheit

\[\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)\]

Anmerkung 2

Ähnlich wie bei der Dreiecksregel können Sie die Summe beliebig vieler Vektoren bilden. Diese Additionsregel wird Polygonregel genannt.

Parallelogrammregel

Neben der Dreiecksregel zur Addition zweier Vektoren gibt es auch die Parallelogrammregel zur Addition zweier Vektoren. Lassen Sie uns zunächst den folgenden Satz formulieren und beweisen.

Satz 2

Für drei beliebige Vektoren $\overrightarrow(a),\ \overrightarrow(b)\ und\ \overrightarrow(c)$ gelten die folgenden zwei Gesetze:

1. Reiserecht:

\[\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)+\overrightarrow(a)\]

1. Kombinationsrecht:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)+\left(\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)\right)\ ]

Nachweisen.

Reiserecht:

Kombinationsrecht:

Konstruieren wir die folgende Abbildung: Zeichnen wir den Vektor $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$ von einem beliebigen Punkt $A$, den Vektor $\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(b)$ von dem resultierender Punkt $B$ und aus den Punkten $C$ -- Vektor $\overrightarrow(CD)=\overrightarrow(c)$ (Abb. 5).

Abbildung 5. Illustration des Kombinationsgesetzes

Aus der Eigenschaft der Dreiecksregel $\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)$ erhalten wir:

Daher ist $\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)+\left(\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)\right) $.

Der Satz ist bewiesen.

Aus diesem Satz können wir nun die Parallelogrammregel für die Summe von zwei extrahieren nichtkollineare Vektoren: Um zwei nicht kollineare Vektoren $\overrightarrow(a)$ und $\overrightarrow(b)$ hinzuzufügen, müssen Sie die Vektoren $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$ und $\overrightarrow(AD) zeichnen. von einem beliebigen Punkt $A$ )=\overrightarrow(b)$ und konstruiere ein Parallelogramm $ABCD$. Dann ist $\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)=\overrightarrow(AC)$.

Beispiel für ein Vektoradditionsproblem

Beispiel 1

Gegeben sei ein Viereck $ABCD$. Beweisen Sie, dass $\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC)+\overrightarrow(CD)=\overrightarrow(AD)$

Abbildung 6.

Nachweisen.

Mit der Eigenschaft der Dreiecksregel $\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)$ erhalten wir:

\[\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC)+\overrightarrow(CD)=\overrightarrow(AC)+\overrightarrow(CD)=\overrightarrow(AD)\]

Zum Thema „Addition von Vektoren“ gibt es mehrere Lektionen. Und das ist kein Zufall. Der Umfang dieses Themas ist groß, daher war es ratsam, es in mehrere Lektionen aufzuteilen. In einer Lektion, die auch in unserer Datenbank verfügbar ist, wird das Konzept der Summe zweier Vektoren besprochen und die „Dreiecksregel“ eingeführt. Diese Videolektion enthält die Gesetze der Vektoraddition und führt die Schüler in die „Parallelogrammregel“ ein. Aber das ist nicht alles. In unserer Datenbank finden Sie auch weitere Lektionen zum Thema Vektoren und Vektorsumme.

Diese Videolektion hat einen Zeitrahmen von 3:17 Minuten. Es beginnt mit dem Vorschlag, einen Satz zu beweisen. Gemäß den Bedingungen des Satzes sind für drei beliebige Vektoren die kommutativen und kombinatorischen Gesetze erfüllt. Der Autor schlägt vor, jedes Gesetz einzeln zu beweisen. Zuerst beweist er Verschiebungsgesetz. Der nächste bleibt – assoziativ.

Während des Beweises beschreibt der Autor detailliert jede seiner Handlungen. Der Autor zeichnet während des Probedrucks eine Zeichnung. Er führt alle Aktionen langsam aus, damit die Schüler die Bedeutung des Dargestellten verstehen und sich Notizen in ihren Notizbüchern machen können. Parallel zu den Bauarbeiten werden detaillierte Aufzeichnungen geführt mathematische Sprache, mit dem Sie die mathematischen Kenntnisse von Schulkindern entwickeln können.

Um beide Gesetze zu beweisen, sind Fähigkeiten zur Vektorkonstruktion erforderlich. Wichtig sind auch die Erkenntnisse aus den vorangegangenen Lektionen, als die Schüler mit der „Dreiecksregel“ der Summe von Vektoren vertraut gemacht wurden. Diese Regel wird beim Beweisen von Gesetzen angewendet.

Nachdem beide Gesetze bewiesen sind, macht der Autor die Zuhörer darauf aufmerksam, dass beim Beweis des ersten Gesetzes die „Parallelogrammregel“ der Summe nichtkollinearer Vektoren begründet wurde. Und dann wird der Wortlaut gegeben dieser Regel. Gleichzeitig mit der Aussprache der Formulierung bildet der Autor die Summe der Vektoren nach dieser Regel, um den Schülern noch einmal das Funktionsprinzip dieser Regel zu zeigen.

Diese Videolektion kann von Schülern dazu genutzt werden Selbststudium zur Lektion. Darüber hinaus kann die Lektion beliebig oft ausgestrahlt werden erfolgreiches Auswendiglernen Material sowie das Üben der Fähigkeiten zur Bildung einer Summe von Vektoren mithilfe der „Parallelogrammregel“.

Wie die Vektoraddition abläuft, ist den Schülern nicht immer klar. Kinder haben keine Ahnung, was sich hinter ihnen verbirgt. Man muss sich nur an die Regeln erinnern und nicht an das Wesentliche denken. Daher erfordern gerade die Prinzipien der Addition und Subtraktion von Vektorgrößen viel Wissen.

Die Addition von zwei oder mehr Vektoren ergibt immer einen weiteren. Darüber hinaus wird es immer dasselbe sein, unabhängig davon, wie es gefunden wird.

Am häufigsten in Schulkurs Die Geometrie berücksichtigt die Addition zweier Vektoren. Es kann nach der Dreiecks- oder Parallelogrammregel durchgeführt werden. Diese Zeichnungen sehen anders aus, aber das Ergebnis der Aktion ist dasselbe.

Wie erfolgt die Addition nach der Dreiecksregel?

Es wird verwendet, wenn die Vektoren nicht kollinear sind. Das heißt, sie liegen weder auf derselben Geraden noch auf parallelen Geraden.

In diesem Fall muss der erste Vektor von einem beliebigen Punkt aus aufgetragen werden. Von seinem Ende aus ist es erforderlich, parallel und gleich dem zweiten zu zeichnen. Das Ergebnis ist ein Vektor, der am Anfang des ersten beginnt und am Ende des zweiten endet. Das Muster ähnelt einem Dreieck. Daher der Name der Regel.

Wenn die Vektoren kollinear sind, kann diese Regel auch angewendet werden. Nur die Zeichnung wird entlang einer Linie platziert.

Wie erfolgt die Addition mit der Parallelogrammregel?

Wieder mal? gilt nur für nichtkollineare Vektoren. Der Aufbau erfolgt nach einem anderen Prinzip. Obwohl der Anfang derselbe ist. Wir müssen den ersten Vektor beiseite legen. Und von Anfang an - der zweite. Vervollständigen Sie auf dieser Grundlage das Parallelogramm und zeichnen Sie eine Diagonale vom Anfang beider Vektoren. Das wird das Ergebnis sein. So erfolgt die Vektoraddition nach der Parallelogrammregel.

Bisher waren es zwei. Was aber, wenn es 3 oder 10 davon sind? Verwenden Sie die folgende Technik.

Wie und wann gilt die Polygonregel?

Wenn Sie die Addition von Vektoren durchführen müssen, deren Anzahl mehr als zwei beträgt, haben Sie keine Angst. Es reicht aus, sie alle nacheinander beiseite zu legen und den Anfang der Kette mit ihrem Ende zu verbinden. Dieser Vektor ist die erforderliche Summe.

Welche Eigenschaften gelten für Operationen mit Vektoren?

Über den Nullvektor. Was besagt, dass man das Original erhält, wenn man es hinzufügt.

Über den entgegengesetzten Vektor. Das heißt, ungefähr einer, der hat entgegengesetzten Richtung und im absoluten Wert gleich. Ihre Summe wird Null sein.

Zur Kommutativität der Addition. Was seitdem bekannt ist Grundschule. Eine Änderung der Positionen der Begriffe ändert nichts am Ergebnis. Mit anderen Worten: Es spielt keine Rolle, welcher Vektor zuerst verschoben wird. Die Antwort wird immer noch richtig und eindeutig sein.

Zur Assoziativität der Addition. Mit diesem Gesetz können Sie beliebige Vektoren aus einem Tripel paarweise addieren und ihnen einen dritten hinzufügen. Wenn Sie dies mit Symbolen schreiben, erhalten Sie Folgendes:

erste + (zweite + dritte) = zweite + (erste + dritte) = dritte + (erste + zweite).

Was ist über die Vektordifferenz bekannt?

Es gibt keine separate Subtraktionsoperation. Dies liegt daran, dass es sich im Wesentlichen um eine Addition handelt. Nur der zweite von ihnen erhält die entgegengesetzte Richtung. Und dann wird alles so gemacht, als ob das Hinzufügen von Vektoren in Betracht gezogen würde. Daher wird praktisch nicht über ihren Unterschied gesprochen.

Um die Arbeit bei der Subtraktion zu vereinfachen, wird die Dreiecksregel modifiziert. Nun muss (beim Subtrahieren) der zweite Vektor vom Anfang des ersten entfernt werden. Die Antwort ist diejenige, die den Endpunkt des Minuends mit demselben Punkt wie den Subtrahend verbindet. Sie können es jedoch wie zuvor beschrieben verschieben, indem Sie einfach die Richtung des zweiten ändern.

Wie finde ich die Summe und Differenz von Vektoren in Koordinaten?

Das Problem gibt die Koordinaten der Vektoren an und erfordert die Ermittlung ihrer Werte für das Endergebnis. In diesem Fall ist keine Konstruktion erforderlich. Das heißt, Sie können einfache Formeln verwenden, die die Regel zum Addieren von Vektoren beschreiben. Sie sehen so aus:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

Es ist leicht zu erkennen, dass die Koordinaten je nach Aufgabenstellung lediglich addiert oder subtrahiert werden müssen.

Erstes Beispiel mit Lösung

Zustand. Gegeben sei ein Rechteck ABCD. Seine Seiten betragen 6 und 8 cm. Der Schnittpunkt der Diagonalen wird mit dem Buchstaben O bezeichnet. Es ist erforderlich, die Differenz zwischen den Vektoren AO und VO zu berechnen.

Lösung. Zuerst müssen Sie diese Vektoren zeichnen. Sie sind von den Eckpunkten des Rechtecks ​​​​zum Schnittpunkt der Diagonalen gerichtet.

Wenn Sie sich die Zeichnung genau ansehen, können Sie erkennen, dass die Vektoren bereits kombiniert sind, sodass der zweite von ihnen das Ende des ersten berührt. Es ist nur so, dass seine Richtung falsch ist. An diesem Punkt sollte begonnen werden. Dies ist der Fall, wenn die Vektoren addiert werden, das Problem jedoch die Subtraktion betrifft. Stoppen. Diese Aktion bedeutet, dass Sie den entgegengesetzt gerichteten Vektor hinzufügen müssen. Das bedeutet, dass VO durch OV ersetzt werden muss. Und es stellt sich heraus, dass die beiden Vektoren bereits nach der Dreiecksregel ein Seitenpaar gebildet haben. Daher ist das Ergebnis ihrer Addition, also die gewünschte Differenz, der Vektor AB.

Und es fällt mit der Seite des Rechtecks ​​zusammen. Um Ihre numerische Antwort aufzuschreiben, benötigen Sie Folgendes. Zeichnen Sie ein Rechteck der Länge nach, sodass große Seite ging horizontal. Beginnen Sie mit der Nummerierung der Eckpunkte von unten links und gehen Sie gegen den Uhrzeigersinn vor. Dann beträgt die Länge des Vektors AB 8 cm.

Antwort. Der Unterschied zwischen AO und VO beträgt 8 cm.

Zweites Beispiel und seine detaillierte Lösung

Zustand. U Raute ABCD Die Diagonalen betragen 12 und 16 cm. Der Schnittpunkt wird durch den Buchstaben O angezeigt. Berechnen Sie die Länge des Vektors, der durch die Differenz zwischen den Vektoren AO und VO gebildet wird.

Lösung. Die Bezeichnung der Eckpunkte der Raute sei dieselbe wie im vorherigen Problem. Ähnlich wie bei der Lösung des ersten Beispiels stellt sich heraus, dass die erforderliche Differenz gleich dem Vektor AB ist. Und seine Länge ist unbekannt. Die Lösung des Problems bestand darin, eine der Seiten der Raute zu berechnen.

Zu diesem Zweck müssen Sie das Dreieck ABO berücksichtigen. Es ist rechteckig, weil sich die Diagonalen einer Raute in einem Winkel von 90 Grad schneiden. Und seine Beine sind gleich der Hälfte der Diagonalen. Das heißt, 6 und 8 cm. Die in der Aufgabe gesuchte Seite fällt mit der Hypotenuse in diesem Dreieck zusammen.

Um es zu finden, benötigen Sie den Satz des Pythagoras. Das Quadrat der Hypotenuse wird sein gleich der Summe Nummern 6 2 und 8 2. Nach der Quadrierung ergeben sich folgende Werte: 36 und 64. Ihre Summe beträgt 100. Daraus folgt, dass die Hypotenuse 10 cm beträgt.

Antwort. Der Unterschied zwischen den Vektoren AO und VO beträgt 10 cm.

Drittes Beispiel mit detaillierter Lösung

Zustand. Berechnen Sie die Differenz und Summe zweier Vektoren. Ihre Koordinaten sind bekannt: Der erste hat 1 und 2, der zweite hat 4 und 8.

Lösung. Um die Summe zu ermitteln, müssen Sie die ersten und zweiten Koordinaten paarweise addieren. Das Ergebnis sind die Zahlen 5 und 10. Die Antwort ist ein Vektor mit den Koordinaten (5; 10).

Für die Differenz müssen Sie die Koordinaten subtrahieren. Nach Durchführung dieser Aktion werden die Zahlen -3 und -6 erhalten. Dies sind die Koordinaten des gewünschten Vektors.

Antwort. Die Summe der Vektoren beträgt (5; 10), ihre Differenz beträgt (-3; -6).

Viertes Beispiel

Zustand. Die Länge des Vektors AB beträgt 6 cm, BC beträgt 8 cm. Der zweite wird vom Ende des ersten in einem Winkel von 90 Grad abgelegt. Berechnen Sie: a) den Unterschied zwischen den Modulen der Vektoren VA und BC und den Modul der Differenz zwischen VA und BC; b) die Summe gleicher Module und das Modul der Summe.

Lösung: a) Die Längen der Vektoren sind bereits in der Aufgabe angegeben. Daher ist die Berechnung ihrer Differenz nicht schwierig. 6 - 8 = -2. Etwas komplizierter ist die Situation beim Differenzmodul. Zuerst müssen Sie herausfinden, welcher Vektor das Ergebnis der Subtraktion sein wird. Zu diesem Zweck sollte man den Vektor VA beiseite legen, auf den gerichtet ist die gegenüberliegende Seite AB. Zeichnen Sie dann den Vektor BC von seinem Ende aus und richten Sie ihn in die entgegengesetzte Richtung zur ursprünglichen. Das Ergebnis der Subtraktion ist der Vektor CA. Sein Modul kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Einfache Berechnungen führen zu einem Wert von 10 cm.

b) Die Summe der Moduli der Vektoren beträgt 14 cm. Um die zweite Antwort zu finden, ist eine Transformation erforderlich. Der Vektor BA ist dem gegebenen Vektor AB entgegengesetzt gerichtet. Beide Vektoren sind vom selben Punkt aus gerichtet. In dieser Situation können Sie die Parallelogrammregel verwenden. Das Ergebnis der Addition ist eine Diagonale und nicht nur ein Parallelogramm, sondern ein Rechteck. Seine Diagonalen sind gleich, was bedeutet, dass der Modul der Summe derselbe ist wie im vorherigen Absatz.

Antwort: a) -2 und 10 cm; b) 14 und 10 cm.

Skalare Menge - Das physikalische Größe, das nur ein Merkmal hat – einen numerischen Wert.

Eine skalare Größe kann positiv oder negativ sein.

Beispiele für skalare Größen: Temperatur, Masse, Volumen, Zeit, Dichte. Mathematische Operationen mit skalaren Größen sind algebraische Operationen.

Anzahl der Vektoren ist eine physikalische Größe mit zwei Eigenschaften:

1) ein numerischer Wert, der immer positiv ist (Vektormodul);

Beispiele für vektorphysikalische Größen: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft.

Es wird eine Vektorgröße bezeichnet Lateinischer Buchstabe und ein Pfeil über diesem Buchstaben. Zum Beispiel:

Der Vektormodul wird wie folgt bezeichnet:

oder - Vektormodul ,

oder - Vektormodul ,

oder - Vektormodul ,

In der Abbildung (grafisch) wird der Vektor durch ein gerichtetes Segment einer geraden Linie dargestellt. Vektormodul gleich der Länge ein gerichtetes Segment auf einer bestimmten Skala.

2.2. Aktionen mit Vektoren

Mathematische Operationen mit Vektorgrößen Dies sind geometrische Aktionen.

2.2.1 Vektorvergleich

Gleiche Vektoren. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie Folgendes haben:

gleiche Module,

gleiche Richtungen.

Gegenüberliegende Vektoren. Zwei Vektoren sind entgegengesetzt, wenn sie Folgendes haben:

gleiche Module,

entgegengesetzte Richtungen.

2.2.2 Vektoraddition

Mit der Parallelogrammregel und der Dreiecksregel können wir zwei Vektoren geometrisch addieren.

Gegeben seien zwei Vektoren Und (siehe Bild). Lassen Sie uns die Summe dieser Vektoren ermitteln +=. Mengen Und sind die Komponentenvektoren, Vektor ist der resultierende Vektor.

Parallelogrammregel zum Addieren zweier Vektoren:

1. Zeichnen wir einen Vektor .

2. Zeichnen wir einen Vektor so dass sein Anfang mit dem Anfang des Vektors zusammenfällt ; der Winkel zwischen den Vektoren ist gleich (siehe Bild).

3. Durch das Ende des Vektors .

4. Durch das Ende des Vektors Zeichnen Sie eine gerade Linie parallel zum Vektor .

Wir haben ein Parallelogramm gebaut. Die Seiten dieses Parallelogramms sind die Komponentenvektoren Und .

5. Zeichnen Sie die Diagonale des Parallelogramms vom gemeinsamen Ursprungspunkt des Vektors aus und der Anfang des Vektors .

6. Modul des resultierenden Vektors ist gleich der Länge der Diagonale des Parallelogramms und wird durch die Formel bestimmt:

Anfang des Vektors fällt mit dem Anfang des Vektors zusammen und der Anfang des Vektors (Vektorrichtung in der Abbildung dargestellt).

Dreiecksregel zum Addieren zweier Vektoren:

1. Zeichnen wir die Komponentenvektoren Und so dass der Anfang des Vektors fällt mit dem Ende des Vektors zusammen . In diesem Fall ist der Winkel zwischen den Vektoren gleich .

2. Resultierender Vektor ist so gerichtet, dass sein Ursprung mit dem Ursprung des Vektors zusammenfällt , und das Ende fällt mit dem Ende des Vektors zusammen .

3. Der Modul des resultierenden Vektors wird durch die Formel ermittelt:

2.2.3 Vektorsubtraktion

Das Subtrahieren von Vektoren ist die Umkehrung der Addition:

Finden Sie die Vektordifferenz und Vektor - Dies ist dasselbe, als würde man die Summe eines Vektors ermitteln und Vektor
, entgegengesetzt zum Vektor . Den Differenzvektor können wir geometrisch mithilfe der Parallelogrammregel oder der Dreiecksregel ermitteln (siehe Abbildung).

Parallelogrammregel.

Seiten eines Parallelogramms - Vektor und Vektor - ; Parallelogrammdiagonale - Differenzvektor
.

Dreiecksregel.

Differenzvektor verbindet das Ende des Vektors und das Ende des Vektors (Anfang des Vektors fällt mit dem Ende des Vektors zusammen ).

2.2.4 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Sei der gegebene Vektor und Skalar. Finden wir das Produkt des Vektors und Skalarvektorn.

Als Ergebnis der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar erhalten wir einen neuen Vektor :

Vektorrichtung Identisch mit der Vektorrichtung bei
.

Vektorrichtung entgegengesetzt zur Richtung des Vektors bei
.

Vektormodul n-mal größer als der Modul des Vektors , Wenn
.

2.3. Punkt- und Kreuzprodukt

2.3.1 Skalarprodukt

Aus zwei Vektoren Und Sie können einen Skalar nach der Regel bilden:

Dieser Ausdruck wird als Skalarprodukt von Vektoren bezeichnet Und
, oder
.

Somit, . =
.

Per Definition hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften:

1)
,

2)
,

3)

2.3.2 Kreuzprodukt

Aus zwei Vektoren
Und
Sie können einen neuen Vektor bilden:

, Wo

Der Modul des neuen resultierenden Vektors wird durch die Formel ermittelt:

.

Diese Operation wird Kreuzprodukt von Vektoren genannt Und und wird durch eines der Symbole angezeigt
oder
.

Auch die Formel ist bekannt

,

Wo - Winkel zwischen Vektoren Und .

Vektorrichtung können mit der folgenden Technik gefunden werden. Wir kombinieren gedanklich die Längsachse des Bohrers (rechte Schraube, Korkenzieher) mit der Senkrechten zur Ebene, in der die multiplizierten Vektoren liegen (in diesem Beispiel die Vektoren). Und ). Dann beginnen wir, den Schraubenkopf (Korkenziehergriff) in Richtung der kürzesten Drehung vom ersten Faktor zum zweiten, also vom Vektor, zu drehen zum Vektor . Die Bewegungsrichtung des Propellerkörpers ist die Richtung des Vektors . Diese Technik heißt Rechtsschraubenregel oder Bohrerregel (siehe Bild).

Das Kraftmoment, der Drehimpuls usw. werden durch das Vektorprodukt ausgedrückt. Wenn wir von einem Vektor sprechen, meinen wir immer seine Komponenten. Ein Vektor wird im Gegensatz zu einem Skalar durch drei Zahlen definiert. Daher werden Operationen wie Addition, Subtraktion, Skalar- und Vektorprodukte auf bekannte Operationen mit Komponenten reduziert.

Die Addition der Kräfte erfolgt nach der Regel der Vektoraddition. Oder die sogenannte Parallelogrammregel. Da die Kraft als Vektor dargestellt wird, handelt es sich um ein Segment, dessen Länge angezeigt wird Zahlenwert Kraft und Richtung gibt die Richtung an, in die die Kraft wirkt. Dann addieren sie Kräfte, also Vektoren, durch geometrische Vektorsummierung.

Andererseits bedeutet die Addition von Kräften, die Resultierende mehrerer Kräfte zu ermitteln. Das heißt, wenn der Körper von mehreren betroffen ist verschiedene Kräfte. Unterschiedlich sowohl in der Größe als auch in der Richtung. Es gilt, die resultierende Kraft zu ermitteln, die auf den gesamten Körper einwirkt. In diesem Fall können Sie die Kräfte mithilfe der Parallelogrammregel paarweise addieren. Zuerst addieren wir zwei Kräfte. Zu ihrer Resultierenden addieren wir noch eins. Und so weiter, bis alle Kräfte vereint sind.

Abbildung 1 – Parallelogrammregel.

Die Parallelogrammregel kann wie folgt beschrieben werden. Für zwei Kräfte, die von einem Punkt ausgehen und zwischen ihnen einen Winkel ungleich Null oder 180 Grad haben. Sie können ein Parallelogramm konstruieren. Durch Verschieben des Anfangs eines Vektors zum Ende eines anderen. Die Diagonale dieses Parallelogramms ist die Resultierende dieser Kräfte.

Sie können aber auch die Kraftpolygonregel verwenden. In diesem Fall wird der Startpunkt ausgewählt. Der erste auf den Körper wirkende Kraftvektor geht von diesem Punkt aus, an dessen Ende wird dann mit der Methode der nächste Vektor hinzugefügt Parallelübertragung. Und so weiter, bis ein Kraftpolygon entsteht. Am Ende wird die Resultierende aller Kräfte in einem solchen System ein Vektor sein, aus dem gezogen wird Startpunkt bis zum Ende des letzten Vektors.

Abbildung 2 – Kraftpolygon.

Wenn sich ein Körper unter dem Einfluss mehrerer auf ihn wirkender Kräfte bewegt verschiedene Punkte Körper. Wir können davon ausgehen, dass es sich unter der Wirkung einer resultierenden Kraft bewegt, die auf den Massenschwerpunkt eines bestimmten Körpers wirkt.

Neben der Addition von Kräften wird zur Vereinfachung der Bewegungsberechnungen auch die Methode der Kraftzerlegung eingesetzt. Wie der Name schon sagt, besteht der Kern der Methode darin, dass eine auf einen Körper wirkende Kraft in Teilkräfte zerlegt wird. In diesem Fall wirken die Komponenten der Kraft auf den Körper genauso wie die ursprüngliche Kraft.

Die Kräftezerlegung erfolgt ebenfalls nach der Parallelogrammregel. Sie müssen von einem Punkt ausgehen. Von demselben Punkt, von dem die zersetzende Kraft ausgeht. In der Regel wird die zerlegte Kraft in Form von Projektionen auf senkrechte Achsen dargestellt. Zum Beispiel wie die Schwerkraft und die Reibungskraft auf einen Block wirken, der auf einer schiefen Ebene liegt.

Abbildung 3 – Ein Block auf einer schiefen Ebene.