3 i 2 3i Lösung. Komplexe Zahlen

Wir erinnern Sie daran notwendige Informationenüber komplexe Zahlen.

Komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form A + Bi, Wo A, B - reale Nummern, A ich- sogenannt imaginäre Einheit , ein Symbol, dessen Quadrat gleich –1 ist ich 2 = –1. Nummer A angerufen echter Teil , und die Zahl B - imaginärer Teil komplexe Zahl z = A + Bi. Wenn B= 0, dann stattdessen A + 0ich sie schreiben einfach A. Es ist ersichtlich, dass es sich um reelle Zahlen handelt besonderer Fall komplexe Zahlen.

Arithmetische Operationen an komplexen Zahlen sind die gleichen wie an reellen Zahlen: Sie können addiert, subtrahiert, multipliziert und miteinander dividiert werden. Addition und Subtraktion erfolgen nach der Regel ( A + Bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)ich, und die Multiplikation folgt der Regel ( A + Bi) · ( C + di) = (ac – bd) + (Anzeige + v. Chr)ich(hier wird das verwendet ich 2 = –1). Zahl = A – Bi angerufen komplexes Konjugat Zu z = A + Bi. Gleichwertigkeit z · = A 2 + B 2 ermöglicht es Ihnen zu verstehen, wie man eine komplexe Zahl durch eine andere (ungleich Null) komplexe Zahl dividiert:

(Zum Beispiel, .)

Komplexe Zahlen haben eine praktische und visuelle Form geometrische Darstellung: Nummer z = A + Bi kann durch einen Vektor mit Koordinaten dargestellt werden ( A; B) An Kartesisches Flugzeug(oder, was fast dasselbe ist, ein Punkt – das Ende eines Vektors mit diesen Koordinaten). In diesem Fall wird die Summe zweier komplexer Zahlen als Summe der entsprechenden Vektoren dargestellt (die mit der Parallelogrammregel ermittelt werden können). Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge des Vektors mit Koordinaten ( A; B) ist gleich . Diese Menge heißt Modul komplexe Zahl z = A + Bi und wird mit | bezeichnet z|. Der Winkel, den dieser Vektor mit der positiven Richtung der x-Achse (gegen den Uhrzeigersinn gezählt) bildet, wird aufgerufen Streit komplexe Zahl z und wird mit Arg bezeichnet z. Das Argument ist nicht eindeutig definiert, sondern nur bis zur Addition eines Vielfachen von 2 π Bogenmaß (oder 360°, wenn in Grad gezählt) - schließlich ist klar, dass eine Drehung um einen solchen Winkel um den Ursprung den Vektor nicht verändert. Aber wenn der Vektor der Länge R bildet einen Winkel φ mit der positiven Richtung der x-Achse, dann sind seine Koordinaten gleich ( R cos φ ; R Sünde φ ). Von hier aus stellt sich heraus trigonometrische Notation komplexe Zahl: z = |z| · (cos(Arg z) + ich Sünde(Arg z)). Es ist oft praktisch, komplexe Zahlen in dieser Form zu schreiben, da dies die Berechnungen erheblich vereinfacht. Komplexe Zahlen multiplizieren mit trigonometrische Form sieht ganz einfach aus: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + ich Sünde(Arg z 1 + Arg z 2)) (bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden ihre Module multipliziert und ihre Argumente addiert). Von hier aus folgen Moivres Formeln: z n = |z|N· (cos( N· (Arg z)) + ich Sünde( N· (Arg z))). Mit diesen Formeln ist es leicht zu lernen, wie man aus komplexen Zahlen Wurzeln beliebigen Grades zieht. Wurzel n. Grad ab Nummer z- Das ist eine komplexe Zahl w, Was w n = z. Es ist klar, dass , und wo k kann jeden Wert aus der Menge annehmen (0, 1, ..., N- 1). Das heißt, es gibt immer genau N Wurzeln N Grad einer komplexen Zahl (in der Ebene liegen sie an den Eckpunkten der Regelmäßigkeit). N-gon).