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Zwei durch Satzzeichen getrennte Sätze. Trennen und Hervorheben von Satzzeichen zwischen Teilen eines komplexen Satzes. Satzzeichen in komplexen Sätzen

Ein Polynom ist die Summe von Monomen. Wenn wir alle Terme des Polynoms in Standardform schreiben (siehe Abschnitt 51) und eine Reduktion ähnlicher Terme durchführen, erhalten wir ein Polynom Standard Ansicht.

Jeder ganzzahlige Ausdruck kann in ein Polynom der Standardform umgewandelt werden – dies ist der Zweck von Transformationen (Vereinfachungen) ganzzahliger Ausdrücke.

Schauen wir uns Beispiele an, in denen ein ganzer Ausdruck auf die Standardform eines Polynoms reduziert werden muss.

Lösung. Lassen Sie uns zunächst die Terme des Polynoms in Standardform bringen. Wir erhalten: Nachdem wir ähnliche Terme gebracht haben, erhalten wir ein Polynom der Standardform

Lösung. Wenn vor den Klammern ein Pluszeichen steht, können die Klammern weggelassen werden, wobei die Vorzeichen aller in Klammern eingeschlossenen Begriffe erhalten bleiben. Wenn wir diese Regel zum Öffnen von Klammern verwenden, erhalten wir:

Lösung. Wenn den Klammern ein Minuszeichen vorangestellt ist, können die Klammern weggelassen werden, indem die Vorzeichen aller in den Klammern eingeschlossenen Begriffe geändert werden. Wenn wir diese Regel zum Ausblenden von Klammern verwenden, erhalten wir:

Lösung. Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist nach dem Verteilungsgesetz gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes Glieds des Polynoms. Wir bekommen

Lösung. Wir haben

Es bleibt zu bringen ähnliche Mitglieder(sie sind unterstrichen). Wir bekommen:

53. Abgekürzte Multiplikationsformeln.

In einigen Fällen erfolgt die Überführung eines gesamten Ausdrucks in die Standardform eines Polynoms mithilfe der Identitäten:

Diese Identitäten werden abgekürzte Multiplikationsformeln genannt.

Schauen wir uns Beispiele an, in denen Sie einen bestimmten Ausdruck in die Standardform Myogochlea umwandeln müssen.

Beispiel 1. .

Lösung. Mit Formel (1) erhalten wir:

Beispiel 2. .

Lösung.

Beispiel 3. .

Lösung. Mit Formel (3) erhalten wir:

Beispiel 4.

Lösung. Mit Formel (4) erhalten wir:

54. Polynome faktorisieren.

Manchmal kann man ein Polynom in ein Produkt mehrerer Faktoren umwandeln – Polynome oder Subnome. Das Identitätstransformation heißt Faktorisierung eines Polynoms. In diesem Fall soll das Polynom durch jeden dieser Faktoren teilbar sein.

Schauen wir uns einige Möglichkeiten zur Faktorisierung von Polynomen an:

1) Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern. Diese Transformation ist eine direkte Folge des Verteilungsgesetzes (der Klarheit halber müssen Sie dieses Gesetz nur „von rechts nach links“ umschreiben):

Beispiel 1: Faktorisieren Sie ein Polynom

Lösung. .

Wenn der gemeinsame Faktor aus Klammern herausgenommen wird, wird normalerweise jede Variable, die in allen Termen des Polynoms enthalten ist, mit dem niedrigsten Exponenten herausgenommen, den sie in diesem Polynom hat. Wenn alle Koeffizienten des Polynoms ganze Zahlen sind, wird der größte Modul als Koeffizient des gemeinsamen Faktors verwendet gemeinsamer Teiler alle Koeffizienten des Polynoms.

2) Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln. Die Formeln (1) - (7) aus Absatz 53 erweisen sich, von rechts nach links gelesen, in vielen Fällen als nützlich für die Faktorisierung von Polynomen.

Beispiel 2: Faktor .

Lösung. Wir haben. Unter Anwendung der Formel (1) (Quadratdifferenz) erhalten wir . Durch Auftragen

Nun erhalten wir die Formeln (4) und (5) (Summe der Würfel, Differenz der Würfel):

Beispiel 3. .

Lösung. Lassen Sie uns zunächst die Klammern entfernen gemeinsamer Multiplikator. Dazu ermitteln wir den größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten 4, 16, 16 und die kleinsten Exponenten, mit denen die Variablen a und b in den Komponenten enthalten sind gegebenes Polynom Monome. Wir bekommen:

3) Gruppierungsmethode. Es basiert auf der Tatsache, dass die kommutativen und assoziativen Additionsgesetze eine Gruppierung der Mitglieder eines Polynoms ermöglichen verschiedene Wege. Manchmal ist es möglich, so zu gruppieren, dass nach dem Herausnehmen der gemeinsamen Faktoren aus Klammern in jeder Gruppe das gleiche Polynom in Klammern übrig bleibt, das wiederum als gemeinsamer Faktor aus Klammern genommen werden kann. Schauen wir uns Beispiele für die Faktorisierung eines Polynoms an.

Beispiel 4. .

Lösung. Nehmen wir die Gruppierung wie folgt vor:

Nehmen wir in der ersten Gruppe den gemeinsamen Faktor aus den Klammern in die zweite Gruppe – den gemeinsamen Faktor 5. Wir erhalten nun das Polynom als gemeinsamen Faktor aus den Klammern: Somit erhalten wir:

Beispiel 5.

Lösung. .

Beispiel 6.

Lösung. Hier führt keine Gruppierung dazu, dass in allen Gruppen das gleiche Polynom auftritt. In solchen Fällen ist es manchmal sinnvoll, ein Mitglied des Polynoms als Summe darzustellen und dann die Gruppierungsmethode erneut zu versuchen. In unserem Beispiel empfiehlt es sich, es als Summe darzustellen. Wir erhalten

Beispiel 7.

Lösung. Addieren und subtrahieren Sie ein Monom. Wir erhalten

55. Polynome in einer Variablen.

Ein Polynom, bei dem a, b variable Zahlen sind, heißt Polynom ersten Grades; ein Polynom, bei dem a, b, c variable Zahlen sind, genannt Polynom zweiten Grades oder quadratisches Trinom; ein Polynom, bei dem a, b, c, d Zahlen sind, wird die Variable als Polynom dritten Grades bezeichnet.

Wenn o eine Variable ist, dann ist es im Allgemeinen ein Polynom

genannt lsmogochnolenol Grad (relativ zu x); , m-Terme des Polynoms, Koeffizienten, der führende Term des Polynoms, a ist der Koeffizient des führenden Termes, der freie Term des Polynoms. Typischerweise wird ein Polynom in absteigenden Potenzen einer Variablen geschrieben, d. h. die Potenzen einer Variablen nehmen allmählich ab, insbesondere steht der führende Term an erster Stelle und der freie Term an letzter Stelle. Der Grad eines Polynoms ist der Grad des höchsten Termes.

Zum Beispiel ein Polynom fünften Grades, bei dem der führende Term 1 der freie Term des Polynoms ist.

Die Wurzel eines Polynoms ist der Wert, bei dem das Polynom verschwindet. Beispielsweise ist die Zahl 2 seitdem die Wurzel eines Polynoms

Zu den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, gehören: wichtiger Platz besetzen Summen von Monomen. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Die Summe der Monome nennt man Polynom. Die Terme in einem Polynom werden Terme des Polynoms genannt. Monome werden auch als Polynome klassifiziert, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Glied besteht.

Zum Beispiel ein Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kann vereinfacht werden.

Stellen wir alle Begriffe in Form von Monomen der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Lassen Sie uns ähnliche Terme im resultierenden Polynom darstellen:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Terme alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome heißen Polynome der Standardform.

Hinter Grad des Polynoms einer Standardform nehmen die höchsten Befugnisse ihrer Mitglieder in Anspruch. Somit hat das Binomial \(12a^2b - 7b\) den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6\) den zweiten.

Typischerweise sind die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge der Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Die Summe mehrerer Polynome kann in ein Polynom der Standardform umgewandelt (vereinfacht) werden.

Manchmal müssen die Terme eines Polynoms in Gruppen unterteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt werden muss. Da einschließende Klammern die Umkehrtransformation öffnender Klammern sind, ist sie leicht zu formulieren Regeln zum Öffnen von Klammern:

Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.

Wenn vor den Klammern ein „-“-Zeichen steht, werden die in den Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.

Transformation (Vereinfachung) des Produkts eines Monoms und eines Polynoms

Mit Hilfe Verteilungseigenschaft Multiplikationen können in ein Polynom umgewandelt (vereinfacht) werden, das Produkt eines Monoms und eines Polynoms. Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.

Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie dieses Monom mit jedem Term des Polynoms multiplizieren.

Wir haben diese Regel bereits mehrfach angewendet, um mit einer Summe zu multiplizieren.

Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome

Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Termes eines Polynoms und jedes Termes des anderen.

Normalerweise wird die folgende Regel verwendet.

Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summenquadrate, Differenzen und Quadratdifferenzen

Mit einigen Ausdrücken in algebraische Transformationen häufiger zu tun haben als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, das Quadrat von der Unterschied und die Differenz der Quadrate. Ist Ihnen aufgefallen, dass die Namen angegebene Ausdrücke Als ob nicht abgeschlossen wäre, ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von a und b. Allerdings kommt das Quadrat der Summe von a und b nicht sehr häufig vor; in der Regel enthält es anstelle der Buchstaben a und b verschiedene, teilweise recht komplexe Ausdrücke.

Die Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen); tatsächlich sind Sie dieser Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Es ist nützlich, sich die resultierenden Identitäten zu merken und sie ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) – Quadrat der Summe gleich der Summe Quadrate und verdoppeln Sie das Produkt.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) – das Quadrat der Differenz ist gleich der Summe der Quadrate ohne das verdoppelte Produkt.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) – die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.

Diese drei Identitäten ermöglichen es einem, bei Transformationen seine linken Teile durch rechte Teile zu ersetzen und umgekehrt – rechte Teile durch linke Teile. Am schwierigsten ist es, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, wie die Variablen a und b darin ersetzt werden. Schauen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.

Zum Beispiel Ausdrücke:

A - B + C, X 2 - j 2 , 5X - 3j - z- Polynome

Die Monome, aus denen ein Polynom besteht, heißen Mitglieder des Polynoms. Betrachten Sie das Polynom:

7A + 2B - 3C - 11

Ausdrücke: 7 A, 2B, -3C und -11 sind die Terme des Polynoms. Beachten Sie, dass das Mitglied -11 keine Variable enthält; solche Mitglieder, die nur aus einer Zahl bestehen, werden aufgerufen frei.

Es ist allgemein anerkannt, dass es jedes Monom ist besonderer Fall ein Polynom, das aus einem Mitglied besteht. In diesem Fall ist ein Monom die Bezeichnung für ein Polynom mit einem Term. Für Polynome bestehend aus zwei und drei Mitglieder, es gibt auch spezielle Namen – Binomial bzw. Trinom:

7A- Monom

7A + 2B- Binomial

7A + 2B - 3C- Trinom

Polynom der Standardform

Polynom der Standardform ist ein Polynom, dessen Terme alle Monome der Standardform sind, unter denen es keine ähnlichen Terme gibt.

Um ein Polynom in die Standardform zu bringen, reicht es aus, ähnliche Terme zu reduzieren. Stellen Sie den Ausdruck beispielsweise als Polynom der Standardform dar:

3xy + X 3 - 2xy - j + 2X 3

Suchen wir zunächst nach ähnlichen Begriffen:

Wenn alle Terme eines Polynoms vom Standardtyp dieselbe Variable enthalten, werden seine Terme normalerweise danach geordnet in einem größeren Ausmaß zum kleineren. Der freie Term des Polynoms, falls vorhanden, wird an letzter Stelle platziert – auf der rechten Seite.

Zum Beispiel ein Polynom

3X + X 3 - 2X 2 - 7

sollte so geschrieben werden:

X 3 - 2X 2 + 3X - 7

Typ