Vereinfachen Sie einen Ausdruck mit zwei Unbekannten. So vereinfachen Sie einen mathematischen Ausdruck. Ähnliche Mitglieder mitbringen

Dank der Tatsache, dass in fast allen moderne Schulen Es gibt notwendige Ausrüstung Durch die Präsentation von Videos und verschiedenen elektronischen Lernressourcen für Kinder während des Unterrichts wird es möglich, die Schüler stärker für ein bestimmtes Fach oder Thema zu interessieren. Dadurch verbessern sich die Leistungen der Schüler und die Gesamtbewertung der Schule.

Es ist kein Geheimnis, dass visuelle Demonstrationen während einer Unterrichtsstunde dabei helfen, sich Definitionen, Aufgaben und Theorie besser zu merken und zu verarbeiten. Wenn dies von einer Stimmabgabe begleitet wird, hat der Schüler sowohl visuelle als auch auditives Gedächtnis. Daher gelten Video-Tutorials als eines der beliebtesten wirksame Materialien für das Training.

Es gibt eine Reihe von Regeln und Anforderungen, die Videounterricht erfüllen muss, um für Schüler im entsprechenden Alter möglichst effektiv und nützlich zu sein. Der Hintergrund und die Farbe des Textes sollten entsprechend gewählt werden, die Schriftgröße sollte nicht zu klein sein, damit der Text auch von sehbehinderten Schülern gelesen werden kann, aber nicht zu groß, um das Sehvermögen zu irritieren und Unannehmlichkeiten zu verursachen usw. Besondere Aufmerksamkeit Auch auf Illustrationen wird geachtet – sie sollten in Maßen gehalten werden und nicht vom Hauptthema ablenken.

Die Videolektion „Reziproke Zahlen“ ist ein hervorragendes Beispiel für eine solche Lehrressource. Dadurch kann ein Schüler der 6. Klasse vollständig verstehen, was Kehrzahlen sind, wie man sie erkennt und wie man mit ihnen arbeitet.

Die Lektion beginnt mit einfaches Beispiel, in dem zwei gewöhnliche Brüche 8/15 und 15/8 miteinander multipliziert werden. Es wird möglich, sich an die Regel zu erinnern, nach der, wie zuvor gelernt, Brüche multipliziert werden sollten. Das heißt, im Zähler sollten Sie das Produkt der Zähler und im Nenner das Produkt der Nenner schreiben. Durch die Reduzierung, an die man sich ebenfalls erinnern sollte, erhalten wir eins.

Nach dieses Beispiel, gibt der Ansager eine verallgemeinerte Definition, die parallel auf dem Bildschirm angezeigt wird. Darin heißt es, dass Zahlen, die, wenn man sie miteinander multipliziert, eins ergeben, Kehrwerte genannt werden. Die Definition ist sehr einfach zu merken, aber sie wird sich fester im Gedächtnis festsetzen, wenn man einige Beispiele nennt.

Nach der Definition des Konzepts der reziproken Zahlen wird auf dem Bildschirm eine Reihe von Zahlenprodukten angezeigt, die letztendlich eins ergeben.

Um ein allgemeines Beispiel zu geben, das nicht von bestimmten Faktoren abhängt Zahlenwerte werden die Variablen a und b verwendet, die von 0 verschieden sind. Warum? Schließlich sollten sich Schüler der 6. Klasse darüber im Klaren sein, dass der Nenner eines beliebigen Bruchs nicht gleich Null sein kann und man zur Darstellung reziproker Zahlen nicht darauf verzichten kann, diese Werte in den Nenner zu stellen.

Nachdem er diese Formel abgeleitet und kommentiert hat, beginnt der Sprecher mit der Betrachtung der ersten Aufgabe. Der Punkt ist, dass Sie die Umkehrung einer Gegebenheit finden müssen gemischte Fraktion. Um es zu lösen, schreibt man den Bruch in der falschen Form und vertauscht Zähler und Nenner. Das erhaltene Ergebnis ist die Antwort. Der Schüler kann dies anhand der Definition reziproker Zahlen selbstständig überprüfen.

Das Video-Tutorial ist nicht auf dieses Beispiel beschränkt. Im Anschluss an die vorherige wird auf dem Bildschirm eine weitere Aufgabe angezeigt, bei der Sie das Produkt aus drei Brüchen ermitteln müssen. Wenn der Schüler aufmerksam ist, wird er entdecken, dass zwei dieser Brüche Kehrwerte sind und ihr Produkt daher gleich eins ist. Basierend auf der Eigenschaft der Multiplikation können Sie zunächst zueinander inverse Brüche multiplizieren und schließlich das Ergebnis, d. h. 1, mit dem ersten Bruch multiplizieren. Der Ansager erklärt ausführlich und zeigt den gesamten Vorgang von Anfang bis Ende Schritt für Schritt auf dem Bildschirm. Abschließend wird eine theoretisch verallgemeinerte Erklärung für die Eigenschaft der Multiplikation gegeben, auf die man sich bei der Lösung des Beispiels verlassen hat.

Um Ihr Wissen sicher zu festigen, sollten Sie versuchen, alle Fragen zu beantworten, die am Ende der Lektion gestellt werden.

Reziproke – oder gegenseitig reziproke – Zahlen sind ein Zahlenpaar, das, wenn es multipliziert wird, 1 ergibt. Tatsächlich Gesamtansicht die Kehrwerte sind Zahlen. Charakteristisch besonderer Fall reziproke Zahlen – ein Paar. Die Umkehrungen sind beispielsweise Zahlen; .

So ermitteln Sie den Kehrwert einer Zahl

Regel: Sie müssen 1 (eins) durch eine bestimmte Zahl dividieren.

Beispiel Nr. 1.

Angegeben ist die Zahl 8. Ihr Kehrwert ist 1:8 oder (die zweite Option ist vorzuziehen, da diese Schreibweise mathematisch korrekter ist).

Bei der Suche nach der Kehrzahl eines gewöhnlichen Bruchs ist die Division durch 1 nicht sehr praktisch, weil die Aufnahme ist umständlich. In diesem Fall ist es viel einfacher, es anders zu machen: Der Bruch wird einfach umgedreht und dabei Zähler und Nenner vertauscht. Falls gegeben richtiger Bruch, dann ist nach dem Umdrehen der resultierende Bruch unechten, d.h. eine, von der ein ganzer Teil isoliert werden kann. Ob Sie dies tun oder nicht, müssen Sie jeweils entscheiden konkreter Fall besonders. Wenn Sie also mit dem resultierenden umgekehrten Bruch einige Aktionen ausführen müssen (z. B. Multiplikation oder Division), sollten Sie nicht den ganzen Teil auswählen. Wenn der resultierende Bruch ist Endergebnis, dann ist es vielleicht wünschenswert, den gesamten Teil zu isolieren.

Beispiel Nr. 2.

Einen Bruch gegeben. Umgekehrt dazu: .

Wenn Sie den Kehrwert von finden müssen Dezimal, dann sollten Sie die erste Regel verwenden (1 durch eine Zahl dividieren). In dieser Situation können Sie auf zwei Arten vorgehen. Die erste besteht darin, einfach 1 durch diese Zahl in einer Spalte zu dividieren. Die zweite besteht darin, einen Bruch mit einer 1 im Zähler und einer Dezimalzahl im Nenner zu bilden und dann Zähler und Nenner mit 10, 100 oder einer anderen Zahl zu multiplizieren, die aus einer 1 und so vielen Nullen besteht, wie nötig sind, um sie loszuwerden Komma im Nenner. Das Ergebnis wird ein gewöhnlicher Bruch sein, der das Ergebnis ist. Bei Bedarf müssen Sie es möglicherweise kürzen, einen ganzen Teil daraus auswählen oder es in eine Dezimalform umwandeln.

Beispiel Nr. 3.

Die angegebene Zahl ist 0,82. Die Kehrzahl ist: . Jetzt reduzieren wir den Bruch und wählen den ganzen Teil aus: .

So prüfen Sie, ob zwei Zahlen reziprok sind

Das Verifikationsprinzip basiert auf der Ermittlung reziproker Zahlen. Das heißt, um sicherzustellen, dass die Zahlen stimmen zurück Freund Freund, du musst sie multiplizieren. Wenn das Ergebnis eins ist, sind die Zahlen zueinander invers.

Beispiel Nr. 4.

Angesichts der Zahlen 0,125 und 8. Sind sie Kehrwerte?

Untersuchung. Es ist notwendig, das Produkt von 0,125 und 8 zu finden. Zur Verdeutlichung stellen wir diese Zahlen in der Form dar gewöhnliche Brüche: (Reduzieren Sie den 1. Bruch um 125). Fazit: Die Zahlen 0,125 und 8 sind Kehrwerte.

Eigenschaften reziproker Zahlen

Objekt Nr. 1

Für jede Zahl außer 0 gibt es einen Kehrwert.

Diese Einschränkung ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass Sie bei der Bestimmung nicht durch 0 dividieren können reziproke Zahl für Null muss es nur in den Nenner verschoben werden, d. h. eigentlich durch dividieren.

Objekt Nr. 2

Die Summe eines Paares reziproker Zahlen ist immer nicht kleiner als 2.

Mathematisch kann diese Eigenschaft durch die Ungleichung ausgedrückt werden: .

Objekt Nr. 3

Eine Zahl mit zwei multiplizieren reziproke Zahlen entspricht einer Multiplikation mit eins. Lassen Sie uns diese Eigenschaft mathematisch ausdrücken: .

Beispiel Nr. 5.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 3,4·0,125·8. Da die Zahlen 0,125 und 8 Kehrwerte sind (siehe Beispiel Nr. 4), besteht keine Notwendigkeit, 3,4 mit 0,125 und dann mit 8 zu multiplizieren. Die Antwort lautet hier also 3,4.

Betrachten wir das Thema der Transformation von Ausdrücken mit Potenzen, verweilen wir aber zunächst bei einer Reihe von Transformationen, die mit beliebigen Ausdrücken, einschließlich Potenzausdrücken, durchgeführt werden können. Wir werden lernen, Klammern zu öffnen, zu bringen ähnliche Begriffe, arbeiten Sie mit Basis und Exponent, nutzen Sie die Eigenschaften von Graden.

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Was sind Machtausdrücke?

IN Schulkurs Nur wenige Menschen verwenden den Ausdruck „ Machtausdrücke„, aber dieser Begriff findet sich ständig in Sammlungen zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. In den meisten Fällen bezeichnet eine Phrase Ausdrücke, deren Einträge Grade enthalten. Dies werden wir in unserer Definition widerspiegeln.

Definition 1

Machtausdruck ist ein Ausdruck, der Grade enthält.

Lassen Sie uns einige Beispiele für Machtausdrücke geben, beginnend mit der Macht mit natürlicher Indikator und endet mit einem Abschluss mit einem reellen Exponenten.

Die einfachsten Potenzausdrücke können als Potenzen einer Zahl mit einem natürlichen Exponenten betrachtet werden: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Und auch Potenzen mit Nullexponenten: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Und Grade mit ganzen Zahlen negative Mächte: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Es ist etwas schwieriger, mit einem Abschluss zu arbeiten, der rational und rational ist irrationale Indikatoren: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Der Indikator kann die Variable 3 x - 54 - 7 3 x - 58 oder der Logarithmus sein x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, was Machtausdrücke sind. Beginnen wir nun mit der Konvertierung.

Haupttypen der Transformationen von Machtausdrücken

Zunächst betrachten wir die grundlegenden Identitätstransformationen von Ausdrücken, die mit Potenzausdrücken durchgeführt werden können.

Beispiel 1

Berechnen Sie den Wert eines Potenzausdrucks 2 3 (4 2 − 12).

Lösung

Wir werden alle Transformationen in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der Aktionen durchführen. IN in diesem Fall Wir beginnen mit der Ausführung der Aktionen in Klammern: Ersetzen Sie den Grad durch digitaler Wert und berechne die Differenz zweier Zahlen. Wir haben 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Wir müssen lediglich den Abschluss ersetzen 2 3 es bedeutet 8 und berechne das Produkt 8 4 = 32. Hier ist unsere Antwort.

Antwort: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Beispiel 2

Vereinfachen Sie den Ausdruck mit Potenzen 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Lösung

Der uns in der Problemstellung gegebene Ausdruck enthält ähnliche Begriffe, die wir angeben können: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Antwort: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Beispiel 3

Drücken Sie den Ausdruck mit den Potenzen 9 - b 3 · π - 1 2 als Produkt aus.

Lösung

Stellen wir uns die Zahl 9 als eine Kraft vor 3 2 und wenden Sie die abgekürzte Multiplikationsformel an:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Antwort: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Kommen wir nun zur Analyse Identitätstransformationen, die speziell auf Potenzausdrücke angewendet werden kann.

Arbeiten mit Basis und Exponent

Der Grad in der Basis oder im Exponenten kann Zahlen, Variablen und einige Ausdrücke enthalten. Zum Beispiel, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Und . Die Arbeit mit solchen Aufzeichnungen ist schwierig. Es ist viel einfacher, den Ausdruck in der Basis des Grades oder den Ausdruck im Exponenten durch einen identisch gleichen Ausdruck zu ersetzen.

Grad- und Exponententransformationen werden nach den uns bekannten Regeln getrennt voneinander durchgeführt. Das Wichtigste ist, dass die Transformation zu einem Ausdruck führt, der mit dem Original identisch ist.

Der Zweck der Transformation besteht in der Vereinfachung ursprünglicher Ausdruck oder eine Lösung für ein Problem finden. Im Beispiel oben (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 können Sie beispielsweise die Schritte befolgen, um zum Grad zu gelangen 4 , 1 1 , 3 . Durch Öffnen der Klammern können wir ähnliche Begriffe zur Basis der Potenz darstellen (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) und erhalten Sie einen kraftvollen Ausdruck von mehr einfacher Typ a 2 (x + 1).

Verwenden von Abschlusseigenschaften

Eigenschaften von Potenzen, geschrieben in Form von Gleichheiten, sind eines der Hauptwerkzeuge zur Transformation von Ausdrücken mit Potenzen. Unter Berücksichtigung dessen stellen wir hier die wichtigsten vor A Und B- Das sind alle positive Zahlen, A R Und S- beliebige reelle Zahlen:

Definition 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

In Fällen, in denen es sich um natürliche, ganzzahlige, positive Exponenten handelt, können die Einschränkungen für die Zahlen a und b viel weniger streng sein. Wenn wir zum Beispiel die Gleichheit betrachten a m · a n = a m + n, Wo M Und N – ganze Zahlen, dann gilt dies für alle Werte von a, sowohl positiv als auch negativ, sowie für a = 0.

Sie können die Eigenschaften von Potenzen ohne Einschränkungen anwenden, wenn die Basen der Potenzen positiv sind oder Variablen, Fläche, enthalten akzeptable Werte Das ist so, dass die Basis darauf nur akzeptiert positive Werte. Tatsächlich im Inneren Lehrplan In der Mathematik besteht die Aufgabe des Schülers darin, eine geeignete Eigenschaft auszuwählen und diese richtig anzuwenden.

Bei der Vorbereitung auf den Hochschulzugang können Probleme auftreten, bei denen eine ungenaue Anwendung von Eigenschaften zu einer Einengung des DL und anderen Lösungsschwierigkeiten führt. In diesem Abschnitt werden wir nur zwei solcher Fälle untersuchen. Weitere Informationen zum Thema finden Sie im Thema „Ausdrücke mithilfe von Potenzeigenschaften umwandeln“.

Beispiel 4

Stellen Sie sich den Ausdruck vor a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 in Form einer Macht mit einer Basis A.

Lösung

Zuerst nutzen wir die Eigenschaft der Potenzierung und transformieren damit den zweiten Faktor (a 2) − 3. Dann nutzen wir die Eigenschaften der Multiplikation und Potenzteilung mit gleicher Basis:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Antwort: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Die Transformation von Potenzausdrücken entsprechend der Potenzeigenschaft kann sowohl von links nach rechts als auch in die entgegengesetzte Richtung erfolgen.

Beispiel 5

Finden Sie den Wert des Potenzausdrucks 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Lösung

Wenn wir Gleichheit anwenden (a · b) r = a r · b r Von rechts nach links erhalten wir ein Produkt der Form 3 · 7 1 3 · 21 2 3 und dann 21 1 3 · 21 2 3 . Addieren wir die Exponenten, wenn wir Potenzen mit multiplizieren aus den gleichen Gründen: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Es gibt eine andere Möglichkeit, die Transformation durchzuführen:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Antwort: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Beispiel 6

Gegeben ein Machtausdruck a 1, 5 − a 0, 5 − 6, geben Sie eine neue Variable ein t = a 0,5.

Lösung

Stellen wir uns den Abschluss vor eine 1, 5 Wie ein 0,5 3. Verwendung der Eigenschaft von Grad zu Grad (a r) s = a r · s von rechts nach links und wir erhalten (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Sie können problemlos eine neue Variable in den resultierenden Ausdruck einfügen t = a 0,5: wir bekommen t 3 − t − 6.

Antwort: t 3 − t − 6 .

Umwandeln von Brüchen, die Potenzen enthalten

Normalerweise haben wir es mit zwei Versionen von Potenzausdrücken mit Brüchen zu tun: Der Ausdruck stellt einen Bruch mit einer Potenz dar oder enthält einen solchen Bruch. Alle grundlegenden Transformationen von Brüchen sind ohne Einschränkungen auf solche Ausdrücke anwendbar. Sie können reduziert, auf einen neuen Nenner gebracht oder getrennt mit Zähler und Nenner bearbeitet werden. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 7

Vereinfachen Sie den Potenzausdruck 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Lösung

Da es sich um einen Bruch handelt, führen wir Transformationen sowohl im Zähler als auch im Nenner durch:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Setzen Sie ein Minuszeichen vor den Bruch, um das Vorzeichen des Nenners zu ändern: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Antwort: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brüche, die Potenzen enthalten, werden auf die gleiche Weise auf einen neuen Nenner reduziert wie rationale Brüche. Dazu müssen Sie finden zusätzlicher Multiplikator und multipliziere damit Zähler und Nenner des Bruchs. Es ist notwendig, einen zusätzlichen Faktor so zu wählen, dass er für keine Werte von Variablen aus den ODZ-Variablen für den ursprünglichen Ausdruck auf Null geht.

Beispiel 8

Reduziere die Brüche auf einen neuen Nenner: a) a + 1 a 0, 7 zum Nenner A, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 zum Nenner x + 8 · y 1 2 .

Lösung

a) Wählen wir einen Faktor aus, der es uns ermöglicht, auf einen neuen Nenner zu reduzieren. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, Daher werden wir als zusätzlichen Faktor berücksichtigen a 0 , 3. Der Bereich zulässiger Werte der Variablen a umfasst die Menge aller positiven reale Nummern. Abschluss in diesem Bereich a 0 , 3 geht nicht auf Null.

Lassen Sie uns Zähler und Nenner eines Bruchs mit multiplizieren a 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Achten wir auf den Nenner:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multiplizieren wir diesen Ausdruck mit x 1 3 + 2 · y 1 6, erhalten wir die Summe der Würfel x 1 3 und 2 · y 1 6, d.h. x + 8 · y 1 2 . Dies ist unser neuer Nenner, auf den wir den ursprünglichen Bruch reduzieren müssen.

So haben wir den zusätzlichen Faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 gefunden. Zum Bereich zulässiger Werte von Variablen X Und j der Ausdruck x 1 3 + 2 y 1 6 verschwindet nicht, daher können wir Zähler und Nenner des Bruchs damit multiplizieren:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Antwort: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Beispiel 9

Reduziere den Bruch: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Lösung

a) Wir verwenden den größten gemeinsamen Nenner (GCD), mit dem wir Zähler und Nenner reduzieren können. Für die Zahlen 30 und 45 sind es 15. Wir können auch eine Reduzierung vornehmen um x0,5+1 und auf x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Wir bekommen:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Hier ist das Vorhandensein identischer Faktoren nicht offensichtlich. Sie müssen einige Transformationen durchführen, um im Zähler und im Nenner die gleichen Faktoren zu erhalten. Dazu erweitern wir den Nenner mithilfe der Quadratdifferenzformel:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Antwort: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Zu den Grundoperationen mit Brüchen gehören das Umwandeln von Brüchen in einen neuen Nenner und das Reduzieren von Brüchen. Beide Aktionen werden unter Einhaltung einer Reihe von Regeln durchgeführt. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen werden die Brüche zunächst auf reduziert gemeinsamer Nenner, danach werden Operationen (Addition oder Subtraktion) mit den Zählern durchgeführt. Der Nenner bleibt derselbe. Das Ergebnis unseres Handelns ist neuer Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und dessen Nenner das Produkt der Nenner ist.

Beispiel 10

Führen Sie die Schritte x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 aus.

Lösung

Beginnen wir mit der Subtraktion der in Klammern stehenden Brüche. Bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Subtrahieren wir die Zähler:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Jetzt multiplizieren wir die Brüche:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Reduzieren wir um eine Potenz x 1 2, erhalten wir 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Darüber hinaus können Sie den Potenzausdruck im Nenner vereinfachen, indem Sie die Differenzquadratformel verwenden: Quadrate: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Antwort: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Beispiel 11

Vereinfachen Sie den Potenzgesetzausdruck x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Lösung

Wir können den Bruch reduzieren um (x 2 , 7 + 1) 2. Wir erhalten den Bruch x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Fahren wir mit der Transformation der Potenzen von x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 fort. Jetzt können Sie die Eigenschaft nutzen, Potenzen mit den gleichen Basen zu dividieren: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Wir ziehen ab letzte Arbeit zum Bruch x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Antwort: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Multiplikatoren mit negative Indikatoren In den meisten Fällen ist es bequemer, Gradzahlen vom Zähler auf den Nenner und zurück zu übertragen und dabei das Vorzeichen des Exponenten zu ändern. Mit dieser Aktion können Sie die weitere Entscheidung vereinfachen. Geben wir ein Beispiel: Der Potenzausdruck (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 kann durch x 3 · (x + 1) 0, 2 ersetzt werden.

Ausdrücke mit Wurzeln und Potenzen umwandeln

In Problemen gibt es Potenzausdrücke, die nicht nur Potenzen mit enthalten Bruchindikatoren, aber auch Wurzeln. Es empfiehlt sich, solche Ausdrücke nur auf Wurzeln oder nur auf Potenzen zu reduzieren. Es ist vorzuziehen, einen Abschluss zu erwerben, da dieser einfacher zu handhaben ist. Dieser Übergang ist besonders dann zu bevorzugen, wenn die ODZ der Variablen für den ursprünglichen Ausdruck es Ihnen ermöglicht, die Wurzeln durch Potenzen zu ersetzen, ohne auf den Modul zugreifen oder die ODZ in mehrere Intervalle aufteilen zu müssen.

Beispiel 12

Drücken Sie den Ausdruck x 1 9 · x · x 3 6 als Potenz aus.

Lösung

Bereich zulässiger Variablenwerte X wird durch zwei Ungleichungen bestimmt x ≥ 0 und x x 3 ≥ 0, die die Menge definieren [ 0 , + ∞) .

Auf diesem Set haben wir das Recht, von Wurzeln zu Potenzen zu wechseln:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Mithilfe der Eigenschaften von Potenzen vereinfachen wir den resultierenden Potenzausdruck.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Antwort: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Potenzen mit Variablen im Exponenten umrechnen

Diese Transformationen sind recht einfach durchzuführen, wenn Sie die Eigenschaften des Grades richtig verwenden. Zum Beispiel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Wir können es durch das Produkt von Potenzen ersetzen, deren Exponenten die Summe einer Variablen und einer Zahl sind. Auf der linken Seite kann dies mit dem ersten und letzten Term der linken Seite des Ausdrucks erfolgen:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Teilen wir nun beide Seiten der Gleichheit durch 7 2 x. Dieser Ausdruck für die Variable x nimmt nur positive Werte an:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Reduzieren wir Brüche mit Potenzen, erhalten wir: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Schließlich das Verhältnis der Kräfte mit die gleichen Indikatoren wird durch Potenzen der Verhältnisse ersetzt, was die Gleichung 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 ergibt, was 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 entspricht.

Führen wir eine neue Variable t = 5 7 x ein, die die Lösung auf das Original reduziert Exponentialgleichung zu einer Entscheidung quadratische Gleichung 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Ausdrücke mit Potenzen und Logarithmen umwandeln

Ausdrücke, die Potenzen und Logarithmen enthalten, kommen auch in Aufgaben vor. Ein Beispiel für solche Ausdrücke ist: 1 4 1 - 5 · log 2 3 oder log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Die Transformation solcher Ausdrücke erfolgt mit den oben diskutierten Ansätzen und Eigenschaften von Logarithmen, die wir im Thema „Transformation logarithmischer Ausdrücke“ ausführlich besprochen haben.

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§ 1 Das Konzept der Vereinfachung eines wörtlichen Ausdrucks

In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept „ähnlicher Begriffe“ vertraut und lernen anhand von Beispielen, wie man die Reduktion ähnlicher Begriffe und damit Vereinfachung durchführt wörtliche Ausdrücke.

Lassen Sie uns die Bedeutung des Begriffs „Vereinfachung“ herausfinden. Das Wort „Vereinfachung“ leitet sich vom Wort „vereinfachen“ ab. Vereinfachen bedeutet, einfacher und einfacher zu machen. Daher bedeutet die Vereinfachung eines wörtlichen Ausdrucks, ihn kürzer zu machen, mit mindestens hinzufügen Aktionen.

Betrachten Sie den Ausdruck 9x + 4x. Dies ist ein wörtlicher Ausdruck, der eine Summe darstellt. Die Begriffe werden hier als Produkte einer Zahl und eines Buchstabens dargestellt. Numerischer Faktor Solche Terme werden Koeffizienten genannt. In diesem Ausdruck sind die Koeffizienten die Zahlen 9 und 4. Bitte beachten Sie, dass der durch den Buchstaben dargestellte Faktor in beiden Termen dieser Summe derselbe ist.

Erinnern wir uns an das Verteilungsgesetz der Multiplikation:

Um eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Im Allgemeinen wird es wie folgt geschrieben: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Dieses Gesetz gilt in beide Richtungen ac + bc = (a + b) ∙ c

Wenden wir es auf unseren wörtlichen Ausdruck an: Die Summe der Produkte von 9x und 4x ist gleich dem Produkt, dessen erster Faktor ist gleich der Summe 9 und 4 ist der zweite Faktor x.

9 + 4 = 13, das ist 13x.

9x + 4 x = (9 + 4)x = 13x.

Anstelle von drei Aktionen im Ausdruck gibt es nur noch eine Aktion – die Multiplikation. Das bedeutet, dass wir unseren wörtlichen Ausdruck einfacher gemacht haben, d. h. habe es vereinfacht.

§ 2 Kürzung ähnlicher Begriffe

Die Terme 9x und 4x unterscheiden sich nur in ihren Koeffizienten – solche Terme werden als ähnlich bezeichnet. Der Buchstabenteil ähnlicher Begriffe ist derselbe. Ähnliche Begriffe umfassen auch Zahlen und gleiche Begriffe.

Beispielsweise sind im Ausdruck 9a + 12 - 15 ähnliche Terme die Zahlen 12 und -15 und in der Summe des Produkts von 12 und 6a die Zahl 14 und das Produkt von 12 und 6a (12 ∙ 6a + 14). + 12 ∙ 6a) die gleichen Terme, die durch das Produkt von 12 und 6a dargestellt werden.

Es ist wichtig zu beachten, dass Terme, deren Koeffizienten gleich sind, deren Buchstabenfaktoren jedoch unterschiedlich sind, nicht ähnlich sind, obwohl es manchmal nützlich ist, das Verteilungsgesetz der Multiplikation auf sie anzuwenden, z. B. beträgt die Summe der Produkte 5x und 5y gleich dem Produkt der Zahl 5 und der Summe von x und y

5x + 5y = 5(x + y).

Vereinfachen wir den Ausdruck -9a + 15a - 4 + 10.

Ähnliche Terme sind in diesem Fall die Terme -9a und 15a, da sie sich nur in ihren Koeffizienten unterscheiden. Buchstabenmultiplikator sie haben das Gleiche, und auch die Begriffe -4 und 10 sind ähnlich, da es sich um Zahlen handelt. Addieren Sie ähnliche Begriffe:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Wir erhalten: 6a + 6.

Durch die Vereinfachung des Ausdrucks haben wir die Summe ähnlicher Terme ermittelt; in der Mathematik nennt man dies Reduktion ähnlicher Terme.

Wenn das Hinzufügen solcher Begriffe schwierig ist, können Sie sich Wörter dafür ausdenken und Objekte hinzufügen.

Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck:

Für jeden Buchstaben nehmen wir unser eigenes Objekt: b-Apfel, c-Birne, dann erhalten wir: 2 Äpfel minus 5 Birnen plus 8 Birnen.

Können wir Birnen von Äpfeln abziehen? Natürlich nicht. Aber wir können 8 Birnen zu minus 5 Birnen hinzufügen.

Lassen Sie uns ähnliche Begriffe vorstellen: 5 Birnen + 8 Birnen. Ähnliche Begriffe haben den gleichen Buchstabenteil. Wenn Sie also ähnliche Begriffe verwenden, reicht es aus, die Koeffizienten zu addieren und den Buchstabenteil zum Ergebnis hinzuzufügen:

(-5 + 8) Birnen – Sie erhalten 3 Birnen.

Zurück zu unserem wörtlichen Ausdruck: -5 s + 8 s = 3 s. Nachdem wir ähnliche Begriffe herangezogen haben, erhalten wir den Ausdruck 2b + 3c.

In dieser Lektion haben Sie sich mit dem Konzept „ähnlicher Begriffe“ vertraut gemacht und gelernt, wie Sie Buchstabenausdrücke durch die Reduzierung ähnlicher Begriffe vereinfachen können.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Mathematik. 6. Klasse: Stundenpläne zum Lehrbuch I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // Autor-Compiler L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Mathematik. 6. Klasse: Lehrbuch für Schüler Bildungsinstitutionen. I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Mathematik. 6. Klasse: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suworow und andere/herausgegeben von G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Russische Akademie der Wissenschaften, Russische Akademie für Pädagogik. M.: „Aufklärung“, 2010.
4. Mathematik. 6. Klasse: Studium für allgemeinbildende Bildungseinrichtungen/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Tschesnokow, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. Mathematik. 6. Klasse: Lehrbuch/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Verwendete Bilder:

Eines davon ist die Vereinfachung algebraischer Ausdrücke Schlüsselpunkte Algebra lernen und eine äußerst nützliche Fähigkeit für alle Mathematiker. Durch Vereinfachung können Sie einen komplexen oder langen Ausdruck auf reduzieren einfacher Ausdruck, mit dem man leicht arbeiten kann. Grundlegende Vereinfachungskenntnisse sind auch für diejenigen gut, die sich nicht für Mathematik begeistern. Indem man mehrere beobachtet einfache Regeln können Sie viele der gebräuchlichsten Arten algebraischer Ausdrücke ohne besondere mathematische Kenntnisse vereinfachen.

Schritte

Wichtige Definitionen

1. Ähnliche Mitglieder. Dies sind Mitglieder mit einer Variablen derselben Ordnung, Mitglieder mit denselben Variablen oder freie Mitglieder (Mitglieder, die keine Variable enthalten). Mit anderen Worten: Ähnliche Begriffe umfassen dieselbe Variable im gleichen Ausmaß, mehrere derselben Variablen oder schließen eine Variable überhaupt nicht ein. Die Reihenfolge der Begriffe im Ausdruck spielt keine Rolle.

   • Beispielsweise sind 3x 2 und 4x 2 ähnliche Begriffe, da sie eine Variable zweiter Ordnung (zweite Potenz) „x“ enthalten. Allerdings sind x und x2 keine ähnlichen Begriffe, da sie die Variable „x“ unterschiedlicher Ordnung (erster und zweiter) enthalten. Ebenso sind -3yx und 5xz keine ähnlichen Begriffe, da sie unterschiedliche Variablen enthalten.

2. Faktorisierung. Hierbei handelt es sich um das Finden von Zahlen, deren Produkt zur ursprünglichen Zahl führt. Beliebig Originalnummer kann mehrere Multiplikatoren haben. Beispielsweise kann die Zahl 12 in die folgenden Faktorenreihen zerlegt werden: 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4, sodass wir sagen können, dass die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6 und 12 Faktoren von sind Zahl 12. Die Faktoren sind die gleichen wie die Faktoren, also die Zahlen, durch die die ursprüngliche Zahl geteilt wird.

   • Wenn Sie beispielsweise die Zahl 20 faktorisieren möchten, schreiben Sie es so: 4×5.
   • Beachten Sie, dass beim Faktorisieren die Variable berücksichtigt wird. Beispiel: 20x = 4(5x).
   • Primzahlen können nicht faktorisiert werden, da sie nur durch sich selbst und 1 teilbar sind.

3. Denken Sie an die Reihenfolge der Vorgänge und befolgen Sie diese, um Fehler zu vermeiden.

   • Klammern
   • Grad
   • Multiplikation
   • Aufteilung
   • Zusatz
   • Subtraktion

   Ähnliche Mitglieder mitbringen

   1. Schreiben Sie den Ausdruck auf. Protozoen algebraische Ausdrücke(die keine Brüche, Wurzeln usw. enthalten) können in wenigen Schritten gelöst (vereinfacht) werden.

      • Vereinfachen Sie beispielsweise den Ausdruck 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definieren Sie ähnliche Begriffe (Begriffe mit einer Variablen gleicher Ordnung, Begriffe mit gleichen Variablen oder freie Begriffe).

      • Finden Sie ähnliche Begriffe in diesem Ausdruck. Die Terme 2x und 4x enthalten eine Variable gleicher Ordnung (erste). Außerdem sind 1 und -3 freie Begriffe (enthalten keine Variable). Somit sind in diesem Ausdruck die Begriffe 2x und 4x sind ähnlich, und die Mitglieder 1 und -3 sind auch ähnlich.

   3. Geben Sie ähnliche Mitglieder an. Das bedeutet, sie zu addieren oder zu subtrahieren und den Ausdruck zu vereinfachen.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Schreiben Sie den Ausdruck unter Berücksichtigung der angegebenen Begriffe um. Sie erhalten einen einfachen Ausdruck mit weniger Begriffen. Der neue Ausdruck entspricht dem Original.

      • In unserem Beispiel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, das heißt, der ursprüngliche Ausdruck ist vereinfacht und einfacher zu bearbeiten.

   5. Befolgen Sie beim Gießen die Reihenfolge der Vorgänge ähnliche Mitglieder. In unserem Beispiel war es einfach, ähnliche Begriffe bereitzustellen. Bei komplexen Ausdrücken, in denen Begriffe in Klammern stehen und Brüche und Wurzeln vorhanden sind, ist es jedoch nicht so einfach, solche Begriffe einzubringen. Befolgen Sie in diesen Fällen die Reihenfolge der Vorgänge.

      • Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Hier wäre es ein Fehler, 3x und 2x gleich als ähnliche Begriffe zu definieren und darzustellen, da dazu zunächst die Klammern geöffnet werden müssen. Führen Sie die Vorgänge daher entsprechend ihrer Reihenfolge aus.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Jetzt Wenn der Ausdruck nur Additions- und Subtraktionsoperationen enthält, können Sie ähnliche Begriffe verwenden.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Herausnehmen des Multiplikators aus Klammern

   1. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (GCD) aller Koeffizienten des Ausdrucks. GCD ist größte Zahl, durch die alle Koeffizienten des Ausdrucks dividiert werden.

      • Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 9x 2 + 27x - 3. In diesem Fall ist gcd = 3, da jeder Koeffizient Ausdruck gegeben teilbar durch 3.

   2. Teilen Sie jeden Term des Ausdrucks durch ggT. Die resultierenden Terme enthalten kleinere Koeffizienten als im ursprünglichen Ausdruck.

      • Teilen Sie in unserem Beispiel jeden Term im Ausdruck durch 3.
        • 9x 2 /3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Das Ergebnis war ein Ausdruck 3x 2 + 9x - 1. Es entspricht nicht dem ursprünglichen Ausdruck.

   3. Schreiben Sie den ursprünglichen Ausdruck als gleich dem Produkt GCD des resultierenden Ausdrucks. Das heißt, schließen Sie den resultierenden Ausdruck in Klammern ein und nehmen Sie den gcd aus den Klammern.

      • In unserem Beispiel: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Vereinfachen Sie gebrochene Ausdrücke, indem Sie den Faktor aus Klammern entfernen. Warum den Multiplikator einfach aus Klammern setzen, wie es zuvor geschehen ist? Dann lernen Sie zu vereinfachen komplexe Ausdrücke, wie zum Beispiel gebrochene Ausdrücke. In diesem Fall kann es hilfreich sein, den Faktor aus der Klammer zu entfernen, um den Bruch (aus dem Nenner) zu entfernen.

      • Bedenken Sie zum Beispiel gebrochener Ausdruck(9x 2 + 27x - 3)/3. Verwenden Sie die Faktorisierung, um diesen Ausdruck zu vereinfachen.
        • Setzen Sie den Faktor 3 in Klammern (wie zuvor): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Beachten Sie, dass jetzt sowohl im Zähler als auch im Nenner eine 3 steht. Dies kann reduziert werden, um den Ausdruck zu erhalten: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Da jeder Bruch, dessen Nenner die Zahl 1 hat, einfach gleich dem Zähler ist, vereinfacht sich der ursprüngliche Bruchausdruck zu: 3x 2 + 9x - 1.

   Zusätzliche Vereinfachungsmethoden

4. Schauen wir uns ein einfaches Beispiel an: √(90). Die Zahl 90 kann in die folgenden Faktoren zerlegt werden: 9 und 10, und aus 9 extrahiert werden Quadratwurzel(3) und 3 unter der Wurzel entfernen.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Ausdrücke mit Potenzen vereinfachen. Einige Ausdrücke enthalten Operationen der Multiplikation oder Division von Termen mit Potenzen. Bei der Multiplikation von Termen mit gleicher Basis werden deren Potenzen addiert; Bei Divisionen von Termen mit gleicher Basis werden deren Potenzen subtrahiert.

   • Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Bei der Multiplikation addieren Sie die Potenzen, bei der Division subtrahieren Sie sie.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Im Folgenden werden die Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Termen mit Potenzen erläutert.
     • Die Multiplikation von Termen mit Potenzen entspricht der Multiplikation von Termen mit sich selbst. Da beispielsweise x 3 = x × x × x und x 5 = x × x × x × x × x, dann ist x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) oder x 8 .
     • Ebenso ist die Division von Termen durch Grade gleichbedeutend mit der Division von Termen durch sich selbst. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Da ähnliche Terme, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen, reduziert werden können, verbleibt das Produkt zweier „x“ oder x 2 im Zähler.

• Denken Sie immer an die Zeichen (Plus oder Minus) vor den Begriffen des Ausdrucks, da viele Menschen Schwierigkeiten haben, das richtige Zeichen zu wählen.
• Bitten Sie bei Bedarf um Hilfe!
• Algebraische Ausdrücke zu vereinfachen ist nicht einfach, aber wenn Sie erst einmal den Dreh raus haben, ist es eine Fähigkeit, die Sie für den Rest Ihres Lebens anwenden können.