Vervollständigen Sie den Wortlaut der Regeln zur Verbindung der Multiplikation. Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Hausaufgaben auswählen

Oh, wie schön ist es, auf dem Rasen zu laufen! Das Bein fängt lachend den grünen elastischen Teppich mit der Ferse und stößt mit der Sprungzehe weg, lacht und schickt den flexiblen Gesangskörper in einen Sprung. Keine Flügel nötig! Vogel, geh zur Seite! Schwarze und gelbe Hummel, lauf vor Angst davon! -Wer fliegt da unter euch? Das jubelnde Auge umreißt schnell den Sinn des nächsten Schritts, eines neuen Starts, aber die Seele glaubt im Gegenteil, dass es nicht nötig ist zu landen.

Oh, diese einfachen, großartigen Geschenke der Natur – zum Gehen, Schauen und Hören! Eine Person erinnert sich nicht an sie, schätzt sie nicht oder wirft sie auf barbarische Weise sogar in den Müll. Ein Mann geht mit trägem Gang, blickt mit trüben Augen auf die Vögel und lauscht mit sauren Ohren ihrem Zwitschern. Er ist düster und nicht glücklich.

Niemand, niemand schätzt die Leichtigkeit starker Beine und den Gehorsam junger Muskeln so sehr wie ein Mensch, der an den Rollstuhl gebunden ist.

Lassen Sie die behinderte Person über das Wunder des Laufens und des Körpers singen.

Lassen Sie einen Blinden die Stimme für die Schönheit erheben.

Er trägt eine schwarze Brille – das ist für uns, die Sonne macht ihm überhaupt nichts aus. Er geht vorsichtig und klopft dabei nervig mit einem Metallstock auf den Asphalt. Warum nicht weiches Gummi auf scharfes Metall legen? Es ist unmöglich, es ist absolut unmöglich. Gummi wird den Schall töten, und der Schall ist alles, was einem Blinden noch bleibt, um die Welt jenseits seiner ausgestreckten Hand zu spüren. Wenn ein Stock auf einen Stein trifft, fliegt der Schall, berührt alles um ihn herum und wird von festen Vertikalen reflektiert. Ein Blinder wird dem Echo aufmerksam lauschen und erkennen, dass sich darin eine Wand mit einer offenen Tür befindet.

Es ist so nützlich, in der Welt der Dunkelheit finden zu können offene Türen! Sie können kein Gummi auf Metall legen, Sie können keine Mütze mit langem Schirm tragen – das würde die eingehenden Geräusche verwirren. Ein Blinder sieht mit Ton und Echo – wie ein Delphin Die Fledermaus. Die Klänge sprechen zu ihm, malen die Welt mit transparenten, spärlichen Strichen.

Für Blinde ein Vogelgesang - helle Blume Im dunkeln.

Oh, wenn nur Töne auf Licht aufgereiht werden könnten. Oh, wie der unsichtbare Sänger singt.

Wie göttlich schön er ist. Kannst du nicht sehen, gesichtet? Du bist blind wie ein Maulwurf.

Laufen die Füße deiner Jugend nicht lachend über das Gras? Armer Kerl.

Nikki raste wie ein Pfeil durch den Park, stürmte ins Esszimmer – ohne Kinderwagen, auf eigenen Beinen! – und sorgte bei den Studierenden für Aufsehen. Aus irgendeinem Grund empfanden alle sie als hoffnungslos krank und glaubten nicht, dass sie wie die anderen sein würde – laufen, rennen und tanzen. Sie rannte zu ihrem Schreibtisch, gefolgt von sich drehenden Köpfen und einem immer lauter werdenden Gebrüll.

Jerry war wahrscheinlich glücklicher als sie. Und zum ersten Mal kam ihm ein zuversichtlicher, wenn auch für ihn schmerzhafter Gedanke in den Sinn: „Das Wichtigste ist, dass sie glücklich ist – so wie jetzt... auch wenn es nicht ich bin, sondern jemand anderes in der Nähe...“ „Ihre Freunde applaudierten herzlich und Nikki wurde gratuliert, und sie strahlte, konnte nicht auf ihrem Stuhl sitzen und aß vor Aufregung nichts. Wie müde ist sie von der Behinderung! Und – endlich – sie kann fliegen!

An diesem lang erwarteten Tag schien sogar die Sonne heller als sonst durch die Kuppel des Stadions.

Aufgeregt legte Nikki ihre Flügel auf ihre Schultern und ging, balancierend, zum Rand der Startrampe. Zu Füßen des Mädchens begann ein langer, steiler Grashang, der zur Rasenfläche in der Mitte des Stadions führte.

Tatsächlich wurden die Neuankömmlinge von dieser hundert Meter hohen Klippe aufgefordert, sich kopfüber zu stürzen. Einige, die am Rande dieser Höhe standen, konnten sie nicht überwinden psychologische Barriere und springen Sie ins Leere und vertrauen Sie Ihr Leben zerbrechlich aussehenden Flügeln aus Plastikfolie, Schläuchen und Kabeln an. Sie nahmen ihre Flügel ab und versuchten nie wieder zu fliegen.

Am äußersten Rand des Geländes erfüllte eine warme Brise, die den Hang hinaufwehte, die Flügel mit Auftriebskraft und zog sie mit. Das Gewicht auf Nikkis Schultern ließ nach, aber ihre drei Meter langen Flügel begannen unabhängig und unruhig von einer Seite zur anderen zu gleiten und gehorchten den willkürlichen Luftböen.

Gemäß den Anweisungen sollte Nikki den Hang hinunterlaufen, ihre Flügel leicht schräg halten und dann, nachdem sie an Geschwindigkeit gewonnen hat, den Anstellwinkel des Flügels erhöhen – und abheben.

Leopardenfreunde aus der Freiflugabteilung standen herum und ermutigten das Mädchen mit Zurufen und Ratschlägen. Nikkis Haare flatterten, die Sonnenstrahlen glitzerten auf ihren engen Flügeln und klangen im Wind, und ihr Herz schlug so heftig wie nie zuvor in ihrem Leben.

Und die aufgeregte Nikki tat, was streng verboten war: Als eine weitere Böe ihre Flügel erfasste, sprang sie ohne Anlauf in die Luft. Der Wind hob sie etwa drei Meter hoch, aber ohne die erforderliche Fluggeschwindigkeit reichte die Auftriebskraft der Flügel nicht aus, um das Mädchen in der Luft zu halten.

Nikki begann zu fallen!

In solchen Fällen tun es Anfänger Neuer Fehler– aus Angst vor einem Aufprall beginnen sie, noch langsamer zu werden; Der Flug verwandelt sich in einen ungeschickten Fallschirm, und die unglücklichen Neulinge plumpsen unter den spöttischen Schreien der zuschauenden Schulkinder den Hang hinunter.

Nikki erlebte das gleiche beklagenswerte Schicksal, aber sie gehorchte einem Instinkt und stoppte nicht nur ihren Fall nicht, sondern neigte sogar ihre Flügel nach unten, um ihre Bewegung in Richtung Boden zu beschleunigen. Ein kurzer Tauchgang und der Grashang ist ganz nah.

Allerdings hatte sich die Geschwindigkeit bereits erhöht und die flexiblen Flügel hatten Zeit, sich mit Wind zu füllen. Nikki erhöhte sanft den Anstellwinkel und hob ab, wobei sie mit ihrem Bauch nur die Spitzen der Grashalme berührte.

Die nach oben gerichteten Gesichter ihrer Freunde huschten vorbei, und Flügel trugen Nikki in den offenen Raum, der von Wind und Sonne durchdrungen war. Der grüne Hang unten glitt zunächst schnell zurück und fiel dann sanft ab – und alles blieb stehen.

Dem Mädchen schien es, als würde sie regungslos in der Luft hängen und nun beginnen zu fallen. Aber es war nur eine Illusion Hohe Höhe, allen Wing-Piloten bekannt: Der Wind im Gesicht bewies überzeugend, dass sie nicht angehalten hatte, sondern schnell vorwärts flog.

Nikki schwankte stark auf der Luftwelle, ihr Herz erstarrte und sie war von einer solchen Freude überwältigt, dass nur jemand verstehen konnte, der wie ein Vogel in den blauen Höhen schwebte, während der Wind ihr ins Gesicht schlug und ihre Haare und Flügel zerzauste. Nikki stieß einen Freudenschrei aus und wurde lautstark von unten gestützt.

Das für die Landung ausgewählte zentrale Grün näherte sich bereits.

In Oberflächennähe sollte die Geschwindigkeit durch Einstellung so weit wie möglich reduziert werden hoher Winkel Flügel und aufzustehen, aber Nikki vernachlässigte in der freudigen Aufregung ihres ersten Fluges erneut alle Anweisungen.

Sie genoss den Flug und glitt bis zum Schluss über das Feld – bis die Luft sie schließlich nicht mehr festhielt und Nikki sanft mit ihrem ganzen Körper auf den grünen Rasen sank, wo sie mit ausgebreiteten Flügeln erstarrte, ihren Kopf ins Gras fallen ließ und lächelte glückselig.

Nach der Rückkehr in den Startbereich tadelte Trainer Bento das Mädchen streng wegen des Fehlstarts.

„Tatsächlich“, gab sie später zu, „ist das der Fehler vieler Anfänger.“ Aber das ist das erste Mal, dass ich sehe, wie einer der Neulinge bei seinem ersten Flug aus dem Schwebeflug herauskommt. „Gleiten, Beschleunigen und Ausweichen aus der Piste sind perfekt gelungen“, lobt sie, „aber trotzdem beim nächsten Mal die Standard-Startmöglichkeit nutzen.“ Es ist auch besser, nicht auf dem Bauch zu sitzen...

Und Nikki sagte zu Jerry und lächelte weiterhin glücklich:

- Jerry, erst jetzt habe ich Owens Worte vollständig verstanden: „Der Mond war schon allein deshalb eine Erkundung wert, weil ein Mensch hier ein Vogel sein kann.“

Zu diesem Zeitpunkt sprangen andere Neuankömmlinge von der Baustelle. Das Hauptproblem Für alle stellte sich heraus, dass es sich um Zurückhaltung handelte richtigen Winkel Flügel – ein zu großer Winkel verlangsamte den Start, der Start war nicht erfolgreich und der Flug beschränkte sich auf unangenehme Sprünge.

Einer der Starter hingegen fragte negativer Winkel Während er rannte, drückten ihn seine Flügel auf den Boden und am Ende stürzte er beim Laufen mit dem Gesicht voran in den Hang, unter den mitfühlenden Schreien der Fans. Dennoch gelang es mehreren Neuankömmlingen, sicher abzuheben.

In dieser Lektion erfahren wir, wie Multiplikation und Division miteinander zusammenhängen. Außerdem lernen wir, wie man den Umfang eines Quadrats berechnet.

Wir wissen bereits, dass die Operationen Addition und Subtraktion zusammenhängen. Wenn wir den ersten Term von der Summe subtrahieren, erhalten wir den zweiten Term. Und umgekehrt, wenn wir den zweiten Term von der Summe subtrahieren, erhalten wir den ersten Term. (Abb. 1).

Reis. 1. Zusammenhang zwischen Addition und Subtraktion

Versuchen wir nun herauszufinden, ob die Operationen Multiplikation und Division zusammenhängen. Lassen Sie uns einen Ausdruck für die Multiplikation erstellen und versuchen, sein Ergebnis zu berechnen. Eine Illustration hilft uns dabei.

Stellen wir uns das einmal in Form eines Bildes vor. (Abb. 2).

Reis. 2. 4 mal 2

4 multipliziert mit 2. Das bedeutet, dass 4 Kreise 2 Mal wiederholt werden müssen. Wie viel wird es sein?

Lassen Sie uns nun anhand einer Illustration einen Ausdruck für die Division erstellen.

Schauen Sie sich die Gleichberechtigung an. Verwenden Sie es, um einen Ausdruck für die Division zu erstellen. Gleichwertigkeit:

Wir müssen herausfinden, ob Multiplikation und Division zusammenhängen.

Versuchen wir, das Produkt durch den ersten Faktor zu dividieren.

Das bedeutet, dass die Zahl 8 in 4 Gruppen eingeteilt werden muss . Wie viele Kreise wird es in jeder Gruppe geben?

Antwort: 2 Kreise. (Abb. 3).

Reis. 3. Teilen Sie die Zahl 8 in 4 Gruppen

Das bedeutet, dass 8:4 = 2.

Setzen wir unsere Beobachtung fort. Erstellen wir einen weiteren Ausdruck für die Division aus der Gleichheit 4 ∙ 2 = 8.

Das bedeutet, dass nun die Zahl 8 in zwei gleiche Teile geteilt werden muss. (Abb. 4).

Reis. 4. Teilen Sie die Zahl 8 in zwei gleiche Teile

In jedem Teil haben wir 4 Kreise. Das bedeutet:

Schauen Sie sich die Ausdrücke an:

Dividiert man das Produkt durch den ersten Faktor, erhält man den zweiten Faktor. Wenn wir umgekehrt das Produkt durch den zweiten Faktor dividieren, erhalten wir den ersten Faktor. Das bedeutet, dass Multiplikation und Division zusammenhängen.

Nutzen wir nun unser Wissen über den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division, um das Problem zu lösen.

Schauen Sie sich die Zeichnung genau an. (Abb. 5).

Reis. 5. Quadrat

Es zeigt eine geometrische Figur – ein Quadrat. Lassen Sie uns den Umfang des Quadrats ermitteln.

Was ist ein Quadrat?

Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind. Und wenn ein Quadrat auch ein Rechteck ist, eignet sich die Formel dann, um den Umfang eines Rechtecks ​​zu ermitteln?

(A + B) ∙ 2, um den Umfang eines Quadrats zu ermitteln?

Lass es uns herausfinden. Ermitteln wir zunächst die Summe der Seitenlängen des Quadrats mithilfe der Additionsmethode.

Die Seitenlänge des Quadrats ABCD beträgt 5 cm (Abb. 6).

Reis. 6. Seitenlänge des Quadrats ABCD

Um den Umfang herauszufinden, müssen Sie die Summe aller Seiten kennen. Mit der Addition sieht es so aus:

Sie haben bemerkt, dass wir die Summe identischer Begriffe gefunden haben. Das bedeutet, dass wir die Addition durch die Multiplikation ersetzen können. Lass es uns tun.

Jeder Begriff war gleich 5, und es gab 4 dieser Begriffe.

Daher können wir den Ausdruck zum Ermitteln der Summe durch den Ausdruck zum Ermitteln des Produkts ersetzen.

5 + 5 + 5 + 5 = 5 ∙ 4

Das heißt, um die Summe der Seitenlängen eines Quadrats zu ermitteln, müssen Sie die Seitenlänge mit der Anzahl der Seiten multiplizieren.

Lassen Sie uns nun eine Formel zur Ermittlung des Umfangs eines Quadrats herleiten.

Um den Umfang eines Quadrats zu ermitteln, müssen Sie die Länge seiner Seite, egal wie lang sie ist, mit 4 multiplizieren (Abb. 7).

Reis. 7. Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Quadrats

Und wenn der Umfang des Quadrats bekannt ist, was sollten Sie in diesem Fall tun?

Jetzt kennen wir die Formel, mit der wir den Umfang eines Quadrats ermitteln können. Wenn wir diese Formel kennen, können wir sowohl den Umfang des Quadrats als auch seine Seite ermitteln.

Verwendung der Formel A∙ 4 können wir den Umfang des Quadrats ermitteln. Wir multiplizieren die Seitenlänge eines Quadrats von 5 cm mit 4 – der Anzahl der Seiten des Quadrats.

5 ∙ 4 = 20 (cm)

Was sollten Sie tun, wenn Sie den Umfang eines Quadrats kennen, aber seine Seite finden müssen?

Der Umfang eines Quadrats ist die Summe der Seitenlängen des Quadrats. Die Anzahl der Seiten eines Quadrats beträgt vier. Um den Wert der Seite herauszufinden, müssen Sie daher den Umfang durch einen bekannten Faktor dividieren. Der bekannte Multiplikator ist 4, die Anzahl der Seiten der Figur. Umfang - 20.

20: 4 = 5 (cm)

Wir wissen bereits, wie man den Umfang eines anderen findet geometrische Figur. Erinnern wir uns an die Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Rechtecks.

Umfang eines Rechtecks

Den Umfang einer Figur zu berechnen bedeutet, die Summe der Längen ihrer Seiten zu ermitteln. Ein Rechteck ist ein Viereck, dessen Seiten paarweise gleich sind. U Rechteck ABCD gegenüberliegende Seiten sind gleich.

Um den Umfang des Rechtecks ​​ABCD herauszufinden, müssen wir zunächst den Halbumfang kennen. Der Halbumfang ist die Summe der beiden Seiten des Rechtecks ​​(AB + BC). Da wir jeweils 2 solcher Seiten haben, muss der Halbumfang mit 2 multipliziert werden. Dies bedeutet, dass die Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Rechtecks ​​ABCD (Abb. 8) lautet:

Reis. 8. Formel zum Ermitteln des Umfangs eines Rechtecks

Um den Umfang oder die Summe aller Seiten zu ermitteln, müssen Sie zunächst den Halbumfang ermitteln. Der Halbumfang ist die Summe aus einer Länge und einer Breite einer Figur. Dann multiplizieren wir den Halbumfang mit 2, da die Seiten des Rechtecks ​​paarweise gleich sind. (Abb. 9).

Beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen gelten mehrere Regeln. IN diese Lektion Wir werden uns jeden von ihnen ansehen.

Achten Sie beim Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen auf die Vorzeichen der Zahlen. Es wird von ihnen abhängen, welche Regel anzuwenden ist. Außerdem ist es notwendig, mehrere Gesetze der Multiplikation und Division zu studieren. Wenn Sie diese Regeln studieren, können Sie einige vermeiden ärgerliche Fehler in der Zukunft.

Unterrichtsinhalte

Multiplikationsgesetze

Wir haben uns in der Lektion einige Gesetze der Mathematik angesehen. Aber wir haben nicht alle Gesetze berücksichtigt. In der Mathematik gibt es viele Gesetze, und es wäre klüger, sie nach Bedarf der Reihe nach zu studieren.

Erinnern wir uns zunächst daran, woraus die Multiplikation besteht. Die Multiplikation besteht aus drei Parametern: Multiplikand, Multiplikator Und funktioniert. Im Ausdruck 3 × 2 = 6 ist beispielsweise die Zahl 3 der Multiplikand, die Zahl 2 der Multiplikator und die Zahl 6 das Produkt.

Multiplikand zeigt, was wir genau steigern. In unserem Beispiel erhöhen wir die Zahl 3.

Faktor zeigt an, wie oft Sie den Multiplikanden erhöhen müssen. In unserem Beispiel ist der Multiplikator die Zahl 2. Dieser Multiplikator zeigt, wie oft der Multiplikand 3 erhöht werden muss. Das heißt, während der Multiplikationsoperation wird die Zahl 3 verdoppelt.

Arbeiten Dies ist das tatsächliche Ergebnis der Multiplikationsoperation. In unserem Beispiel ist das Produkt die Zahl 6. Dieses Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation von 3 mit 2.

Der Ausdruck 3 × 2 kann auch als Summe zweier Tripel verstanden werden. Multiplikator 2 zeigt in diesem Fall an, wie oft Sie die Zahl 3 wiederholen müssen:

Wenn also die Zahl 3 zweimal hintereinander wiederholt wird, erhält man die Zahl 6.

Kommutatives Gesetz der Multiplikation

Der Multiplikand und der Multiplikator heißen Eins allgemein gesagt – Faktoren. Das kommutative Multiplikationsgesetz lautet wie folgt:

Durch eine Neuanordnung der Faktoren ändert sich das Produkt nicht.

Lassen Sie uns überprüfen, ob dies wahr ist. Multiplizieren wir zum Beispiel 3 mit 5. Hier sind 3 und 5 Faktoren.

3 × 5 = 15

Lassen Sie uns nun die Faktoren vertauschen:

5 × 3 = 15

In beiden Fällen erhalten wir die Antwort 15, was bedeutet, dass wir zwischen den Ausdrücken 3 × 5 und 5 × 3 ein Gleichheitszeichen setzen können, da sie den gleichen Wert haben:

3 × 5 = 5 × 3

15 = 15

Und mit Hilfe von Variablen Verschiebungsgesetz Multiplikation kann so geschrieben werden:

a × b = b × a

Wo A Und B- Faktoren

Kombinationsgesetz der Multiplikation

Dieses Gesetz besagt, dass, wenn ein Ausdruck aus mehreren Faktoren besteht, das Produkt nicht von der Reihenfolge der Aktionen abhängt.

Beispielsweise besteht der Ausdruck 3 × 2 × 4 aus mehreren Faktoren. Um es zu berechnen, können Sie 3 und 2 multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl 4 multiplizieren. Es wird so aussehen:

3 × 2 × 4 = (3 × 2) × 4 = 6 × 4 = 24

Dies war die erste Lösung. Die zweite Möglichkeit besteht darin, 2 und 4 zu multiplizieren und dann das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl 3 zu multiplizieren. Das sieht dann so aus:

3 × 2 × 4 = 3 × (2 × 4) = 3 × 8 = 24

In beiden Fällen erhalten wir die Antwort 24. Daher können wir zwischen den Ausdrücken (3 × 2) × 4 und 3 × (2 × 4) ein Gleichheitszeichen setzen, da sie den gleichen Wert haben:

(3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4)

und mit Hilfe von Variablen lässt sich das assoziative Multiplikationsgesetz wie folgt schreiben:

a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)

wo statt a, b,C Es können beliebige Zahlen sein.

Verteilungsgesetz der Multiplikation

Das Verteilungsgesetz der Multiplikation ermöglicht es Ihnen, eine Summe mit einer Zahl zu multiplizieren. Dazu wird jeder Term dieser Summe mit dieser Zahl multipliziert und anschließend die resultierenden Ergebnisse addiert.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks (2 + 3) × 5 ermitteln

Der Ausdruck in Klammern ist die Summe. Diese Summe muss mit der Zahl 5 multipliziert werden. Dazu muss jedes Glied dieser Summe, also die Zahlen 2 und 3, mit der Zahl 5 multipliziert werden, dann müssen die resultierenden Ergebnisse addiert werden:

(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25

Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks (2 + 3) × 5 25 beträgt.

Unter Verwendung von Variablen wird das Verteilungsgesetz der Multiplikation wie folgt geschrieben:

(a + b) × c = a × c + b × c

wo statt a, b, c Es können beliebige Zahlen sein.

Gesetz der Multiplikation mit Null

Dieses Gesetz besagt, dass das Ergebnis Null ist, wenn in einer Multiplikation mindestens eine Null vorkommt.

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren vorliegt gleich Null.

Beispielsweise ist der Ausdruck 0 × 2 gleich Null

IN in diesem Fall Die Zahl 2 ist ein Multiplikator und zeigt an, wie oft der Multiplikand erhöht werden muss. Das heißt, wie oft Null erhöht werden soll. Wörtlich liest sich dieser Ausdruck so: "Doppelnull" . Aber wie kann man eine Null verdoppeln, wenn sie Null ist? Die Antwort ist nein.

Mit anderen Worten: Wenn „nichts“ verdoppelt oder sogar millionenfach wird, wird es immer noch „nichts“ sein.

Und wenn man im Ausdruck 0 × 2 die Faktoren vertauscht, erhält man wieder Null. Das wissen wir aus dem vorherigen Verschiebungsgesetz:

Beispiele für die Anwendung des Gesetzes der Multiplikation mit Null:

5 × 5 × 5 × 0 = 0

2 × 5 × 0 × 9 × 1 = 0

In den letzten beiden Beispielen gibt es mehrere Faktoren. Nachdem wir darin eine Null gesehen haben, setzen wir sofort eine Null in die Antwort und wenden dabei das Gesetz der Multiplikation mit Null an.

Wir haben uns die Grundgesetze der Multiplikation angesehen. Als nächstes schauen wir uns die Multiplikation ganzer Zahlen an.

Ganzzahlen multiplizieren

Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −5 × 2

Dies ist die Multiplikation von Zahlen mit verschiedene Zeichen. −5 ist eine negative Zahl und 2 ist eine positive Zahl. Für solche Fälle sollte die folgende Regel angewendet werden:

Um Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen zu multiplizieren, müssen Sie ihre Module multiplizieren und vor der resultierenden Antwort ein Minuszeichen setzen.

−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10

Normalerweise kürzer geschrieben: −5 × 2 = −10

Jede Multiplikation kann als Summe von Zahlen dargestellt werden. Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck 2 × 3. Er entspricht 6.

Multiplikator in Ausdruck gegeben ist die Zahl 3. Dieser Multiplikator zeigt an, wie oft Sie die beiden erhöhen müssen. Der Ausdruck 2 × 3 kann aber auch als Summe dreier Zweier verstanden werden:

Das Gleiche passiert mit dem Ausdruck −5 × 2. Dieser Ausdruck kann als Summe dargestellt werden

Und der Ausdruck (−5) + (−5) ist gleich −10. Das wissen wir aus . Das ist eine Ergänzung negative Zahlen. Denken Sie daran, dass das Ergebnis der Addition negativer Zahlen eine negative Zahl ist.

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 12 × (−5)

Dies ist die Multiplikation von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. 12 ist eine positive Zahl, (−5) ist negativ. Auch hier wenden wir die vorherige Regel an. Wir multiplizieren die Zahlenmodule und setzen vor der resultierenden Antwort ein Minus:

12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60

Normalerweise wird die Lösung kürzer geschrieben:

12 × (−5) = −60

Beispiel 3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 10 × (−4) × 2

Dieser Ausdruck besteht aus mehreren Faktoren. Multiplizieren Sie zunächst 10 und (−4) und dann die resultierende Zahl mit 2. Wenden Sie dabei die zuvor erlernten Regeln an:

Erste Aktion:

10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40

Zweite Aktion:

−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80

Der Wert des Ausdrucks 10 × (−4) × 2 beträgt also −80

Schreiben wir die Lösung kurz auf:

10 × (−4) × 2 = −40 × 2 = −80

Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−4) × (−2)

Dies ist die Multiplikation negativer Zahlen. In solchen Fällen ist folgende Regel anzuwenden:

Um negative Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie ihre Module multiplizieren und vor der resultierenden Antwort ein Pluszeichen setzen.

(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8

Traditionell schreiben wir das Plus nicht auf, also schreiben wir einfach die Antwort 8 auf.

Schreiben wir die Lösung kürzer (−4) × (−2) = 8

Es stellt sich die Frage: Warum ergibt die Multiplikation negativer Zahlen plötzlich eine positive Zahl? Versuchen wir zu beweisen, dass (−4) × (−2) gleich 8 ist und nichts anderes.

Zuerst schreiben wir den folgenden Ausdruck:

Setzen wir es in Klammern:

(4 × (−2))

Fügen wir zu diesem Ausdruck unseren Ausdruck (−4) × (−2) hinzu. Setzen wir es auch in Klammern:

(4 × (−2) ) + ((−4) × (−2) )

Setzen wir das alles mit Null gleich:

(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0

Jetzt beginnt der Spaß. Der Punkt ist, dass wir die linke Seite dieses Ausdrucks auswerten müssen und als Ergebnis 0 erhalten.

Das erste Produkt (4 × (−2)) ist also −8. Schreiben wir in unserem Ausdruck die Zahl −8 anstelle des Produkts (4 × (−2))

−8 + ((−4) × (−2)) = 0

Anstelle des zweiten Werkes werden wir nun vorübergehend Auslassungspunkte einfügen

Schauen wir uns nun den Ausdruck −8 + ... = 0 genau an. Welche Zahl sollte anstelle der Auslassungspunkte stehen, damit die Gleichheit gewahrt bleibt? Die Antwort liegt auf der Hand. Anstelle der Auslassungspunkte sollte eine positive Zahl 8 stehen und sonst nichts. Nur so kann die Gleichberechtigung gewahrt bleiben. Immerhin ist −8 + 8 gleich 0.

Wir kehren zum Ausdruck −8 + ((−4) × (−2)) = 0 zurück und schreiben anstelle des Produkts ((−4) × (−2)) die Zahl 8

Beispiel 5. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −2 × (6 + 4)

Wenden wir das Verteilungsgesetz der Multiplikation an, d. h. wir multiplizieren die Zahl −2 mit jedem Term der Summe (6 + 4).

−2 × (6 + 4) = −2 × 6 + (−2) × 4

Jetzt führen wir die Multiplikation durch und addieren die Ergebnisse. Dabei wenden wir die zuvor erlernten Regeln an. Der Eintrag mit Modulen kann übersprungen werden, um den Ausdruck nicht zu überladen

Erste Aktion:

−2 × 6 = −12

Zweite Aktion:

−2 × 4 = −8

Dritte Aktion:

−12 + (−8) = −20

Der Wert des Ausdrucks −2 × (6 + 4) beträgt also −20

Schreiben wir die Lösung kurz auf:

−2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20

Beispiel 6. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (−2) × (−3) × (−4)

Der Ausdruck besteht aus mehreren Faktoren. Multiplizieren Sie zunächst die Zahlen −2 und −3 und multiplizieren Sie das resultierende Produkt mit der verbleibenden Zahl −4. Lassen Sie uns den Eintrag mit Modulen überspringen, um den Ausdruck nicht zu überladen

Erste Aktion:

(−2) × (−3) = 6

Zweite Aktion:

6 × (−4) = −(6 × 4) = −24

Der Wert des Ausdrucks (−2) × (−3) × (−4) ist also gleich −24

Schreiben wir die Lösung kurz auf:

(−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24

Teilungsgesetze

Bevor Sie ganze Zahlen dividieren, müssen Sie die beiden Divisionsgesetze kennen.

Erinnern wir uns zunächst daran, woraus die Division besteht. Die Division besteht aus drei Parametern: teilbar, Divisor Und Privat. Zum Beispiel im Ausdruck 8: 2 = 4, 8 ist der Dividend, 2 ist der Divisor, 4 ist der Quotient.

Dividende zeigt, was genau wir teilen. In unserem Beispiel dividieren wir die Zahl 8.

Teiler zeigt an, in wie viele Teile die Dividende aufgeteilt werden muss. In unserem Beispiel ist der Teiler die Zahl 2. Dieser Teiler zeigt an, in wie viele Teile der Dividend 8 geteilt werden muss. Das heißt, während der Divisionsoperation wird die Zahl 8 in zwei Teile geteilt.

Privat- Dies ist das tatsächliche Ergebnis der Divisionsoperation. In unserem Beispiel ist der Quotient 4. Dieser Quotient ist das Ergebnis der Division von 8 durch 2.

Sie können nicht durch Null dividieren

Jede Zahl kann nicht durch Null geteilt werden.

Der Punkt ist, dass Teilung eine Aktion ist, Umkehrung der Multiplikation. Dieser Satz kann verstanden werden buchstäblich. Wenn zum Beispiel 2 × 5 = 10, dann ist 10:5 = 2.

Es ist ersichtlich, dass der zweite Ausdruck eingeschrieben ist umgekehrte Reihenfolge. Wenn wir zum Beispiel zwei Äpfel haben und diese verfünffachen wollen, dann schreiben wir 2 × 5 = 10. Das Ergebnis sind zehn Äpfel. Wenn wir diese zehn Äpfel dann wieder auf zwei reduzieren wollen, schreiben wir 10:5 = 2

Dasselbe können Sie auch mit anderen Ausdrücken machen. Wenn zum Beispiel 2 × 6 = 12, dann können wir zur ursprünglichen Zahl 2 zurückkehren. Schreiben Sie dazu einfach den Ausdruck 2 × 6 = 12 in umgekehrter Reihenfolge und dividieren Sie 12 durch 6

Betrachten Sie nun den Ausdruck 5 × 0. Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Das bedeutet, dass der Ausdruck 5 × 0 gleich Null ist

Wenn wir diesen Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge schreiben, erhalten wir:

Die Antwort, die sofort ins Auge fällt, ist 5, die man erhält, indem man Null durch Null dividiert. Es ist unmöglich.

Sie können in umgekehrter Reihenfolge noch etwas anderes schreiben: ähnlicher Ausdruck, zum Beispiel 2 × 0 = 0

Im ersten Fall erhalten wir durch Division von Null durch Null 5 und im zweiten Fall 2. Das heißt, jedes Mal, wenn wir Null durch Null dividieren, erhalten wir unterschiedliche Bedeutungen, und das ist inakzeptabel.

Die zweite Erklärung ist, dass die Division des Dividenden durch den Divisor bedeutet, eine Zahl zu finden, die, multipliziert mit dem Divisor, den Dividenden ergibt.

Der Ausdruck 8:2 bedeutet beispielsweise, eine Zahl zu finden, die, wenn sie mit 2 multipliziert wird, 8 ergibt

Anstelle der Auslassungspunkte sollte hier eine Zahl stehen, die bei Multiplikation mit 2 die Antwort 8 ergibt. Um diese Zahl zu finden, schreiben Sie einfach diesen Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge:

Wir haben die Zahl 4 erhalten. Schreiben wir sie anstelle der Auslassungspunkte:

Stellen Sie sich nun vor, Sie müssen den Wert des Ausdrucks 5: 0 ermitteln. In diesem Fall ist 5 der Dividend, 0 der Divisor. 5 durch 0 zu dividieren bedeutet, eine Zahl zu finden, deren Multiplikation mit 0 5 ergibt

Hier sollte es anstelle einer Ellipse eine Zahl geben, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, die Antwort 5 ergibt. Aber es gibt keine Zahl, die, wenn sie mit Null multipliziert wird, 5 ergibt.

Der Ausdruck ... × 0 = 5 widerspricht dem Gesetz der Multiplikation mit Null, das besagt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

Das bedeutet, dass es keinen Sinn macht, den Ausdruck ... × 0 = 5 in umgekehrter Reihenfolge zu schreiben und 5 durch 0 zu dividieren. Deshalb heißt es, man könne nicht durch Null dividieren.

Verwenden von Variablen dieses Gesetz wird wie folgt geschrieben:

Bei B ≠ 0

Nummer A kann durch eine Zahl geteilt werden B, unter der Vorraussetzung, dass B ungleich Null.

Eigentum von Privat

Dieses Gesetz besagt, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn Dividende und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.

Betrachten Sie beispielsweise Ausdruck 12: 4. Der Wert dieses Ausdrucks ist 3

Versuchen wir, Dividend und Divisor mit derselben Zahl zu multiplizieren, zum Beispiel mit der Zahl 4. Glaubt man der Eigenschaft des Quotienten, müssten wir als Antwort wieder die Zahl 3 erhalten

(12 × 4) : (4 × 4)

(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3

Wir haben Antwort 3 erhalten.

Versuchen wir nun, den Dividenden und den Divisor nicht zu multiplizieren, sondern durch die Zahl 4 zu dividieren

(12: 4 ) : (4: 4 )

(12: 4 ) : (4: 4 ) = 3: 1 = 3

Wir haben Antwort 3 erhalten.

Wir sehen, dass sich der Quotient nicht ändert, wenn Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden.

Ganzzahlige Division

Beispiel 1. Finden Sie den Wert von Ausdruck 12: (−2)

Dies ist die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. 12 ist eine positive Zahl, (−2) ist negativ. Um dieses Beispiel zu lösen, benötigen Sie Teilen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors und setzen Sie vor der resultierenden Antwort ein Minus.

12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6

Normalerweise kürzer geschrieben:

12: (−2) = −6

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −24: 6

Dies ist die Division von Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. −24 ist eine negative Zahl, 6 ist eine positive Zahl. Wieder mal Teilen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors und setzen Sie vor der resultierenden Antwort ein Minus.

−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4

Schreiben wir die Lösung kurz auf:

Beispiel 3. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −45: (−5)

Dies ist die Division negativer Zahlen. Um dieses Beispiel zu lösen, benötigen Sie Teilen Sie den Modul des Dividenden durch den Modul des Divisors und setzen Sie vor der resultierenden Antwort ein Pluszeichen.

−45: (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9

Schreiben wir die Lösung kurz auf:

−45: (−5) = 9

Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −36: (−4): (−3)

Wenn der Ausdruck nur Multiplikation oder Division enthält, müssen alle Aktionen von links nach rechts in der Reihenfolge ausgeführt werden, in der sie erscheinen.

Teilen Sie −36 durch (−4) und dividieren Sie die resultierende Zahl durch −3

Erste Aktion:

−36: (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9

Zweite Aktion:

9: (−3) = −(|9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3

Schreiben wir die Lösung kurz auf:

−36: (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3

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