Das Rechteck abcd und der Zylinder sind so angeordnet. Zylinder und seine Abschnitte (Quadrat und beschrifteter Würfel). Kombinationen von Rotationskörpern

Notiz. Dies ist eine Lektion mit Problemlösung in Geometrie (Zylinderschnitt). Wenn Sie ein Problem in Geometrie lösen müssen, das nicht hier ist, schreiben Sie darüber im Forum. In Aufgaben wird anstelle des Symbols "Quadratwurzel" die Funktion sqrt () verwendet, in der sqrt das Symbol ist Quadratwurzel, und der Wurzelausdruck ist in Klammern angegeben. Für einfach radikale Ausdrücke Zeichen verwendet werden kann"√".

Eine Aufgabe

Axialschnitt des Zylinders - quadratisch, dessen Diagonale 4√2 ist.
Berechne das Volumen des Zylinders.

Lösung.
Da die Diagonale des Zylinderquerschnitts ein Quadrat ist, bezeichnen wir seine Seite mit a.
a 2 + a 2 = (4√2) 2
2a 2 = 32
a2 = 16
a = 4

Das Volumen des Zylinders ergibt sich aus der Formel:
V \u003d πd 2 / 4 * h
wo
V = π4 2 / 4 * 4
V = 16π

Antworten: Das Volumen des Zylinders beträgt 16π

Eine Aufgabe

In einen Zylinder wird ein Würfel mit der Kantenlänge a eingeschrieben. Finden Sie den Bereich Axialschnitt Zylinder.

Lösung.
Zeichnen Sie eine Ebene durch die Basis des Zylinders.

Die Diagonale eines Würfels ist auch der Durchmesser des Zylinders. Wenn wir die Seite des Würfels kennen, bestimmen wir die Länge der Diagonalen AC des Quadrats ABCD als
CD 2 + AD 2 = AC 2
a 2 + a 2 = AC 2
2a 2 = Wechselstrom
AC = a√2

Zeichnen Sie eine Ebene durch die Achse des Zylinders entlang der Diagonalen AC. Die Höhe des Abschnitts ist gleich der Kantenlänge des Würfels, und gemäß den Bedingungen des Problems ist die Wunde a und die Breite des Abschnitts gleich a√2.
Damit ist die Querschnittsfläche:

S = a * a√2 = a 2 √2

Antworten: a 2 √2

Eine Aufgabe

Lösung. Anregung.

Aufgrund der Symmetrie des Quadrats und des Zylinders und aufgrund der Tatsache, dass das Quadrat geneigt ist, schneidet die Diagonale des Quadrats die Achse des Zylinders OO 1 am Punkt M , das ist der Mittelpunkt des Segments OO 1 . Nach Zustand OO 1 =2m und OA =7 m, also Om =1m. Lassen d ist die Diagonale des Quadrats. Dann die Seite des Quadrats a ist gleich:

Aufgrund der Symmetrie des Quadrats und des Zylinders und aufgrund derjenigen, die das Quadrat der Zerbrechlichen sind, ist die Diagonale des Quadrats der gesamte Zylinder OO 1 auf den Punkt M , Yak є die Mitte der v_drіzka OO 1 . Für den Verstand OO 1 =2m und OA \u003d 7 m bis Om =1m. Bedeutend d ist die Diagonale des Quadrats. Gleiche Seite des Platzes a:

Kegel und Kegelstumpf

Den Schülern sollte erklärt werden, dass es beim Lösen verschiedener Probleme für eine Kombination aus einem Kegel und einem Kegelstumpf ausreicht, ihren Schnitt mit einer Ebene darzustellen, die durch die Achse des Kegels verläuft. In diesem Fall die Lösung Stereometrisches Problem reduziert sich auf die Lösung des planimetrischen Problems für eine Kombination aus einem Trapez und einem Dreieck.

Aufgabe 1. Ein Trapez mit den Seiten 2, 2, 2 und 4 dreht sich um eine gerade Linie, die in der Ebene des Trapezes liegt und durch einen der Eckpunkte der größeren Basis senkrecht zu dieser Basis verläuft. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

Lösung. Lassen Sie das Trapez A B C D, in welchem AB = BC = CD = 2, ANZEIGE= 4, dreht sich um eine Gerade m durch die Spitze gehen D senkrecht zur Basis ANZEIGE. Abbildung 1 zeigt den Axialschnitt des erhaltenen Rotationskörpers (die Schnittebene geht durch die Rotationsachse m). Dieser Abschnitt besteht aus zwei gleichen und symmetrisch in Bezug auf eine gerade Linie m Trapez A B C D und PMKD, die gleichrechtwinklige Dreiecke sind KABELJAU und KABELJAU (Ö = m ∩ BC) werden gleich ergänzt rechteckiges Trapez ABOD und PMOD. Dies bedeutet, dass das Volumen des Körpers durch Drehen des Trapezes erhalten wird A B C D, ist gleich der Differenz des Volumens des Kegelstumpfes, der durch Drehen eines rechteckigen Trapezes erhalten wird ABOD um eine gerade Linie m, und das Volumen des Kegels, der durch Drehen des rechtwinkligen Dreiecks erhalten wird KABELJAU um eine gerade Linie m. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

Die Höhe der Kegel beträgt OD. Segmente BO = r und ANZEIGE = R sind die Radien der oberen und unteren Basis des Kegelstumpfes bzw. des Segments OK- Radius der Basis eines geraden Kreiskegels mit einer Spitze D. Lassen Sie uns die Volumina dieser Kegel finden.

Lassen Sie uns ein Segment zeichnen BT parallel CD. Dann von den Gleichheiten BT = CD = AB = BC und BC = TD folgt dem AB = BT = BEI, woher das Dreieck AB- richtig, in dem

Dabei BM = 3BC = 6 (CK = BEI = BC), meint,

(OD - Mittelsenkrecht BM). Dann

und dem gewünschten Volumen des Rotationskörpers gleich ist

Antworten: Würfel Einheiten

Kugeln, Kugeln und Kegel

Vor dem Lösen von Aufgaben zur Kombination einer Kugel und eines Kegels sollte man das planimetrische Material zu Kombinationen eines Kreises und eines gleichschenkligen Dreiecks wiederholen.

In vielen Fällen wird die Lösung des Problems vereinfacht, wenn wir Schnitte der Kombination aus Kugel und Kegel durch die Durchmesserebene der Kugel verwenden, die die Achse des Kegels enthält. Infolgedessen reduziert sich die Lösung dieses stereometrischen Problems auf die Lösung des planimetrischen Problems für eine Kombination aus einem Kreis und gleichschenkligen Dreiecks.

Aufgabe 2. Zwei Kugeln werden in einen Kegel gelegt. Eine dieser Kugeln ist in einen Kegel eingeschrieben, und die zweite berührt die erste Kugel und konische Oberfläche mit ihr haben allgemeinen Umfang. Finden Sie das Verhältnis der Radien der ersten und zweiten Kugel, wenn die Erzeugende des Kegels dreimal so groß ist wie der Radius seiner Basis.

Lösung. Betrachten Sie einen Schnitt einer Kombination dieser Kegel und zweier Kugeln durch eine Ebene, die durch die Achse des Kegels verläuft (Abb. 2). Der Querschnitt des Kegels ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC
(AB = BC, BO AC), indem OA = R (R- Radius der Basis des Kegels); Abschnitt einer Kugel, die einem Kegel eingeschrieben ist - ein Kreis ω mit Mittelpunkt Ö 1 in einem Dreieck eingeschrieben ABC und tangiert an seinen Seiten an Punkten K, Q und Ö (KQ AC); Abschnitt der zweiten Kugel - ein Kreis ω 1, der den Kreis ω an einem Punkt tangiert P und Seiten des Dreiecks ABC- an Punkten M und L (P- der Berührungspunkt der Kugeln, ML ist der Durchmesser des Kontaktkreises dieser Kugel mit der Mantelfläche des Kegels).

Bezeichnen: Ö 1 K = R 1 - Radius des Kreises ω (Radius der ersten Kugel),
Ö 1 K AB; DM = r- Kreisradius ω 1 (Radius der zweiten Kugel), DM AB.

Lass uns ausgeben: KE AC; HF AC; PH AC (PH- gemeinsame Tangente der Kreise ω und ω 1).

Aus der Bedingung folgt: AB = 3R. Wir haben: AK = AO = R
(als Segmente von Tangenten an einen Kreis ω), daher AK : AB = R : 3 R = 1: 3.
Als BO AC,KE AC, dann KE BO. Nach dem Satz von Thales erhalten wir:

AE: AO = AK : AB = 1: 3,

wo AKE

Außerdem,

Als KQAC, BO AC, dann KQ BO. Des Weiteren, Ö 1 K AB(als zum Kontaktpunkt gezogener Radius). Meint, AKE = Ö 1 KT(als Winkel mit bzw senkrechte Seiten). Dann rechtwinklige Dreiecke AKE und Ö 1 KTähnlich also AK : Ö 1 K = KE : KT, wo

meint,

Lassen Sie uns eine andere Länge finden OP = HF.

Lassen KH = m. Wir haben: HK = PS, a PS = HM(als Tangentensegmente an die Kreise ω und ω 1), also KM = 2m, AH = R + m. Dann aus der Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke AKE und AHF wir bekommen:

AK : AH = KE : HF

Von der Gleichberechtigung finden: 2 m = R m = 0,5R.
Meint, KM = 2m = 20,5R = R.
Deshalb BM = BK – KM = 2R – R = R. Dann aus der Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke BO 1 K und BDM wir haben:

R 1: r = Ö 1 K : DM = BK : BM = 2R : R = 2: 1.

Antworten: 2: 1.

Aufgabe 3. Innerhalb des Kegels befinden sich vier Kugeln mit gleichem Radius r so dass jede von ihnen zwei andere Kugeln berührt, die Basis des Kegels und seine Mantelfläche. Finden Sie das Volumen eines Kegels, wenn seine Generatoren in einem Winkel j zur Ebene der Basis geneigt sind.

Lösung. Lassen PO- Höhe Kegel gegeben(Punkt Ö- die Mitte seiner Basis); Punkte EIN, B, C, D- Kugelrechenzentren. Da alle Kugeln gleich sind und jede von ihnen die Basis des Kegels berührt, dann die Mitten EIN, B, C, D dieser Kugeln sind von der Ebene des Kegelgrundes gleich weit entfernt und befinden sich in einer Ebene parallel zum Kegelgrund und von diesem beabstandet R.

Durch die Bedingung des Problems berührt jeder der Bälle zwei andere Bälle.
Deshalb AB = BC = CD = DA = 2r
(Der Kontaktpunkt zweier Kugeln liegt auf der Linie ihrer Mittelpunkte), was impliziert, dass das Viereck A B C D- Raute. Aufgrund der Gleichheit der Bälle AC = BD. Meint, A B C D- Quadrat mit Seite 2 r und Abstand zwischen den Zentren EIN und C"gegenüberliegende" (sich nicht berührende) Bälle sind gleich (wie die Diagonale eines Quadrats). (Abbildung 3 zeigt einen Schnitt der Kugeln durch eine Ebene, die durch ihre Mitten verläuft.)

Die durch die Höhe des Kegels gezogene Ebene steht senkrecht auf der Basis des Kegels und schneidet diese Basis entlang ihres Durchmessers. Daher befindet sich die Projektion der Mantellinie des Kegels auf dem Durchmesser seiner Basis, was bedeutet, dass der Winkel j zwischen der Mantellinie des Kegels und der Ebene seiner Basis liegt gleich dem Winkel zwischen dieser Erzeugenden und dem Durchmesser der Basis, die durch die Basis der Erzeugenden gezogen wird (Abb. 4).

Zeichne eine Ebene α = ( PAC) durch die Achse OP Kegel. Am Schnittpunkt dieser Ebene mit einem Kegel entsteht ein gleichschenkliges Dreieck PMK (PN = PK als Generatoren eines Kegels). Und da die Kugeln die Mantelfläche des Kegels berühren, dann hat der Schnittpunkt der Ebene a mit den Kugeln Mittelpunkte EIN und C, sind zwei Kreise mit Radius r mit den gleichen Zentren, in den Ecken eingeschrieben PMK und PCM, während die Punkte EIN und C auf den Winkelhalbierenden dieser Winkel (siehe Abb. 4). Im Dreieck PMK Höhe PO gleich der Höhe h Kegel und die Basis MK- der Durchmesser der Basis des Kegels, das heißt MK = 2R, wo R ist der Radius der Basis des Kegels.

Um das Volumen eines Kegels zu berechnen, verwenden wir die Formel Finden wir die Höhe h Kegel und Radius R.

Lassen T und E- Punkte, wo Kreise mit Mittelpunkten sind EIN und C das Fundament berühren MK Dreieck PMK(an Punkten T und E Kugeln mit Zentren EIN und C berühren Sie die Basis des Kegels).
Dann BEI MK und CE MK, dabei BEI = CE = r, meint,

BEI rechtwinkliges Dreieck MATTE

Aufgrund der Symmetrie des gleichschenkligen Dreiecks PMK verhältnismäßig PO wir haben:

In einem rechtwinkligen Dreieck OMP:

Antworten:

Kugeln und Kegelstumpf

Die Lösung des Problems für die Kombination aus Kugel und Kegelstumpf vereinfacht sich, wenn wir den Schnitt der Kombination aus Kugel und Kegelstumpf durch die die Kegelachse enthaltende Durchmesserebene der Kugel verwenden. In diesem Fall reduziert sich die Lösung dieses stereometrischen Problems auf die Lösung eines planimetrischen Problems für eine Kombination aus einem Kreis und einem gleichschenkligen Trapez.

Aufgabe 4. Der Radius einer einem Kegelstumpf einbeschriebenen Kugel ist r, der Radius der um diesen Kegelstumpf umschriebenen Kugel ist Finde den Winkel zwischen der Mantellinie des Kegelstumpfes und seiner Basis.

Lösung. Die Kreise der Grundflächen eines gegebenen Kegelstumpfes sind Schnitte parallele Ebenen Kugeln mit Zentrum B und Radius Da der Mittelpunkt jedes Kreises, der sich auf der Kugel befindet, zu einer geraden Linie gehört, die durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft und senkrecht zur Ebene dieses Kreises steht, dann die Mittelpunkte Ö und T Basen eines Kegelstumpfes und Zentrum B Kugeln liegen auf einer Geraden senkrecht zu den Ebenen Basen dieses Kegels. Das Zentrum liegt auf derselben Linie. EIN Kugel, die in einen Kegelstumpf eingeschrieben ist, da eine in einen Kegelstumpf eingeschriebene Kugel seine Basen in ihren Zentren berührt Ö und T.

Abbildung 5 zeigt einen Querschnitt einer Kombination aus einem Kegelstumpf und zwei gegebenen Kugeln durch eine Ebene, die durch den Mittelpunkt geht B Kugel senkrecht zu den Ebenen der Grundflächen des Kegelstumpfes: im Schnitt des Kegels durch diese Ebene erhält man gleichschenkliges Trapez MHPK, und die Abschnitte der Kugeln sind zwei Kreise ω und ω 1 mit Radien r bzw. mit Mittelpunkten EIN und B, von denen einer in ein Trapez eingeschrieben ist MHPK, und die andere wird daneben beschrieben.

Lassen HC- die Höhe des Kegelstumpfes (die Höhe des Trapezes) und α - der Neigungswinkel seiner Erzeugenden MH zum Flugzeug untere Basis(der Winkel an der Spitze der unteren Basis des Trapezes).

Drücken Sie die doppelte Länge der Diagonalen aus HK durch r und a. Einerseits in einem Dreieck MKH wir haben:

Andererseits in einem Dreieck HCK ( HCK= 90°) nach dem Satz des Pythagoras finden wir:

HK 2 = CK 2 + CH 2 . (*)

Äußern CH und CK durch r und ein.

Trapez MHPK umschrieben um einen Kreis mit Mittelpunkt EIN und Radius r, deshalb HC = 2r und
PS + MK = 2MH(Summe gegenüberliegende Seiten um einen Kreis umschriebene Vierecke sind gleich), woher Außerdem das Trapez MHPK gleichschenklig, das heißt Folglich, CK = MH.

In einem rechtwinkligen Dreieck MCH wir finden: Dann Ersetzen in (*) statt HK, CK und CH ihre Ausdrücke durch r und α erhalten wir:

(sin α ≠ 0, da α ≠ 0).
Durch Einsetzen von sin 2 α = t (0 < t < 1), получаем: 30t 2 – t – 1 = 0.

(befriedigt nicht t > 0), t 2 = 0,2. Dann

sin 2 α = 0,2 cos 2 α = 0,8

cos 2α = 0,6 2α = arccos 0,6
α = 0,5 arccos 0,6.

Auf diese Weise, M = K= 0,5 arccos 0,6.

Antworten: 0,5 arccos 0,6.

Kugeln, Kugel und Zylinder

Vor dem Lösen von Problemen zur Kombination einer Kugel und eines Zylinders sollte man das planimetrische Material zu Kombinationen eines Kreises und eines Rechtecks ​​(Quadrats) wiederholen, zu Kombinationen von zwei Tangenten, die sich schneiden und keine gemeinsamen Kreispunkte haben. Die Schüler müssen wissen, dass eine Kugel genau dann in einen Zylinder einbeschrieben werden kann, wenn der Zylinder gleichseitig ist, da der Durchmesser einer in einen Zylinder einbeschriebenen Kugel gleich ist gleich der Höhe(Generator) dieses Zylinders.

Bei der Lösung von Problemen für eine Kombination aus Kugel (Kugel) und Zylinder ist es überhaupt nicht erforderlich, eine Kugel und einen Zylinder darzustellen, sondern es reicht aus, den Querschnitt dieser Kombination zu berücksichtigen räumliche Figuren Flugzeug. In vielen Fällen wird die Lösung des Problems vereinfacht, wenn wir Schnitte einer Kugel (Kugel) und eines Zylinders durch die diametrale Ebene der Kugel (Kugel) verwenden, die die Achse des Zylinders (parallel zu dieser Achse) enthält, oder durch die Diametralebene der Kugel (Kugel) senkrecht zur Achse des Zylinders.

Aufgabe 5. Die Ebene α, die mit der Achse des Zylinders einen Winkel von 45 ° bildet, teilt die Achse im Verhältnis 1: 3. Finden Sie die Fläche des Kreises, entlang der diese Ebene die in den Zylinder eingeschriebene Kugel schneidet, wenn die Höhe des Zylinders gleich ist h.

Lösung. Lassen MT- Achse des gegebenen Zylinders, Punkt Ö- der Mittelpunkt der darin eingeschriebenen Kugel, Ö MT.

Stellen Sie sich einen Abschnitt eines Zylinders und eine Kugel vor, die von einer durch die Achse verlaufenden Ebene darin eingeschrieben ist MT. Im Schnitt erhalten wir jeweils ein Quadrat A B C D und ein Kreis mit Mittelpunkt Ö in diesem Quadrat eingeschrieben (Abb. 6). (Der Achsenschnitt eines jeden Zylinders ist ein Rechteck, aber in diesem Fall kann nur ein Quadrat der Querschnitt eines Zylinders sein, da einem Rechteck kein Kreis einbeschrieben werden kann.)

Tangente m am Punkt EIN zum Umfang der unteren Basis des Zylinders, der sich in der Ebene dieser Basis befindet, senkrecht zum Durchmesser ANZEIGE. Und da ANZEIGE- Projektion AC zu diesem Flugzeug, dann AC m(nach dem Satz der drei Senkrechten). Dann der Winkel CAD- linearer Winkel Diederwinkel, vom Flugzeug gebildet die Basis des Zylinders und die Ebene β, die durchgeht AC und m, und β ( ABC) (basierend auf der Rechtwinkligkeit zweier Ebenen) und AC = β ∩ ( ABC). Deshalb orthogonale Projektion Achsen MT zur Ebene β ist eine Gerade AC, Folglich, KOM= 45° - Winkel zwischen den Achsen MT und Ebene β.

Als CAD= 45° (im Quadrat A B C D), so ist die Ebene β zur Ebene des Zylinderbodens unter einem Winkel von 45° geneigt und bildet mit der Achse MT Winkel von 45°.
Das bedeutet, dass α β.

Als nächstes lassen Sie den Punkt E teilt die Achse MT gegenüber MICH : ET= 1:3, also MICH : MT = 1: 4.
Dann Da α β ist, geht die Ebene α durch den Punkt E und überquert das Flugzeug ABC Axialschnitt des Zylinders in einer geraden Linie, parallel AC. Bezeichnen: KP- das Segment des Schnittpunkts dieser Linie und des Kreises - der Schnitt der Kugel durch die Ebene ABC; Segmentlänge KP ist gleich dem Durchmesser des Kreises, entlang dem die Ebene α die Kugel schneidet. Lass uns ausgeben Oh B KP, dann HK = r ist der Radius dieses Kreises. Lass uns finden r. Wir haben:

KP AC KOM = MdEP = HEO= 45°,

dann in einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck EOH

In einem rechtwinkligen Dreieck KOH

wo r- der Radius des Kreises - der Schnitt der Kugel durch die Ebene α.

Finden Sie die Fläche dieses Kreises:

Antworten: Quadrat Einheiten

Aufgabe 6. Vier paarweise tangentiale Radiuskugeln werden in einem Zylinder platziert R= 3, so dass jede Kugel die gegebene Zylinderfläche berührt. In diesem Fall berühren zwei Kugeln die untere und die anderen beiden - die obere Basis des Zylinders. Berechne das Volumen dieses Zylinders.

Lösung. Lassen P und EIN sind die Mittelpunkte der Kugeln, die die obere Basis des Zylinders berühren, B und C sind die Mittelpunkte der Sphären, die seine untere Basis berühren. Dann die Punkte P und EIN gleichen Abstand von der Spitze, und die Punkte B und C- von der unteren Basis bis zu Abständen von 3. Daher gerade Linien AP und BC parallel zur oberen und unteren Basis des Zylinders (Abb. 7).

Da gleiche Sphären mit Zentren EIN und P berühren, dann die Mitte des Segments AP ist der Berührungspunkt dieser Sphären, während AP = 2R= 6. Ebenso BP = AB = AC = PC = BC= 6. Das bedeutet: a) dass Dreieckige Pyramide PABC ist ein regelmäßiges Tetraeder mit einer Kante gleich 6; b) Kanten kreuzen AP und BC dieses Tetraeders sind parallel zu den Basen des Zylinders.

Es ist bekannt, dass in regelmäßiger Tetraeder mit einer Rippe a der Abstand zwischen den sich kreuzenden Kanten ist gleich der Länge ihrer gemeinsamen Mittelsenkrechten, also gleich
In unserem Fall, wenn der Punkt H- Mitte AP, Punkt K- Mitte BC, dann das Segment HK- gemeinsame Mittelsenkrechte der Rippen AP und BC, dabei

Da Kanten überqueren AP und BC Tetraeder sind dann parallel zu den Basen des Zylinders HK senkrecht zu den Basen des Zylinders. In Anbetracht dessen direkt AP und BC, die die Mittelpunkte der Kugeln enthalten, von der oberen und unteren Basis des Zylinders parallel zu ihnen jeweils um Abstände von 3 entfernt sind, schließen wir: Höhe h Zylinder ist

Da die schiefen Kanten eines regelmäßigen Tetraeders senkrecht zueinander stehen, ist ihre Mittelsenkrechte HK- Symmetrieachse des Tetraeders PABC, mit der Achse zusammenfallend Ö 1 Ö Zylinder. Daher die Rippen AP und BC an senkrechten Durchmessern angeordnet EF und MT Zylinder, wo E, F, M und T- Berührungspunkte der Mantelfläche des Zylinders mit Kugeln, deren Mittelpunkte jeweils die Eckpunkte sind EIN und P, B und C. Dann BM = CT = R,
meint,

MT= BC + 2MB = 4R = 4∙3 = 12 = 2r,

wo r= 6, wo r ist der Radius der Basis des Zylinders.

Daher ist das Volumen des Zylinders

Antworten: Würfel Einheiten

Aufgabe 7. Eine der Erzeugenden des Zylinders befindet sich auf dem Durchmesser der Kugel, und die anderen beiden sind die Sehnen dieser Kugel. Finden Sie den Radius der Basis und die Höhe des Zylinders, wenn der Abstand zwischen jedem der Paare dieser Generatoren 6 ist und der Radius der Kugel 10 ist. Bestimmen Sie, ob sich der gesamte Zylinder innerhalb der Kugel befindet?

Lösung. Abbildung 8 zeigt einen Schnitt einer Kugel (Kreis ω) und eines Zylinders (Kreis ω 1) durch eine Ebene, die durch den Mittelpunkt geht Ö die Kugel senkrecht zu den Erzeugenden des Zylinders (diese Ebene teilt alle Erzeugenden des Zylinders in zwei Hälften), während der Punkt Ö- die Mitte der Erzeugenden des Zylinders, die sich auf dem Durchmesser der Kugel befindet, und die Punkte EIN und B- die Mittelpunkte der Erzeugenden des Zylinders, die Akkorde des Balls erhalten.

Der Abstand zwischen den Generatoren jedes dieser Paare beträgt 6, also gleichseitiges Dreieck OAB mit Seite 6 ist einem Kreis ω 1 mit Mittelpunkt einbeschrieben Ö 1 , gleich der Basis Zylinder und mit einem Radius Und da der Radius der Kugel 10 ist, liegt der Kreis ω 1 innerhalb des Kreises ω mit Mittelpunkt Ö- Durchmesserabschnitt der Kugel. Dies bedeutet, dass die Linie, die die Mantellinie des Zylinders enthält, durch den Punkt verläuft C, diametral gegenüber dem Punkt Ö(Fig. 9), schneidet die Oberfläche der Kugel an einigen Stellen M und K, symmetrisch in Bezug auf die diametrale Ebene OAB.

Lassen Sie den Punkt EIN- die Mitte der Erzeugenden PH Zylinder, der eine gegebene Sehne des Balls ist.

Dann OP = Oh= 10 (wie die Radien einer Kugel) und in einem rechtwinkligen Dreieck OAP finden

Die Länge der Erzeugenden des Zylinders ist also:

PH = 2AP = 16.

Finde die Länge des Akkords MK Kugel, die auf der Erzeugenden liegt ET ein Zylinder, der einen Punkt enthält C und in einem Abstand von der Mitte der Kugel entfernt.Betrachten Sie dazu den Schnitt dieser Körperkombination durch die diametrale Ebene der Kugel, die durch die Achse geht Q 1 Q Zylinder. Abbildung 9 zeigt: einen Abschnitt einer Kugel - einen Kreis mit Mittelpunkt Ö und Radius Om= 10; Zylinderabschnitt - Rechteck ELDT.

In einem rechtwinkligen Dreieck OCM wir finden:

deshalb Seit 16 2 > 1613 also PH > MK. Also der Generator ET der Zylinder ist größer als die Sehne MK Kugel, die auf dieser Erzeugenden liegt. Dies bedeutet, dass das Ende E und T Erzeugerin ET Zylinder, und damit etwa zwei seiner Teile, symmetrisch in Bezug auf die gezeichnete diametrale Ebene AOB, befinden sich außerhalb der Sphäre.

Antworten: nein, ein Teil des Zylinders befindet sich außerhalb der Kugel.

Beim Lösen von Problemen mit einer Kombination von Tangentenrotationsfiguren ist es für die Schüler nützlich, dies zu wiederholen, wenn zwei Tangenten nach außen Kreis ω( EIN; R) und ω 1 ( B; r) und die Gerade m ihre gemeinsame äußere Tangente ist, dann der Abstand HK zwischen Berührungspunkten H und K diese Linie mit Kreisen ω und ω 1 ist gleich

Außerdem muss den Studierenden erklärt werden, dass in manchen Fällen die Lösung des Problems einer Kombination von tangentialen Rotationsfiguren durch eine „Betrachtung aus verschiedenen Blickwinkeln“ auf diese Kombination erleichtert wird.

Betrachten Sie zum Beispiel das folgende Problem.

Aufgabe 8. Ein Radiuszylinder liegt auf einer Ebene R und zwei Kugeln mit Radius r (R > r). Der Zylinder berührt die Ebene entlang seiner Mantellinie; die Kugeln berühren einander und die Seitenfläche des Zylinders. Finden Sie den Radius einer Kugel, die größer als die angegebene Zahl ist und die beide gegebenen Kugeln, die Seitenfläche des Zylinders und die Ebene berührt.

Lösung. Bezeichnen wir: α - die Ebene, die von allen Daten in der Bedingung des Körperproblems berührt wird. Lassen x (x > r) - die gewünschte Länge des Radius der Kugel, die diese beiden Kugeln, die Seitenfläche des Zylinders und die Ebene α berührt.

Abbildung 10, b(Blick von oben): B und C- Punkte, an denen Kugeln mit Radius r berühre die Ebene α, BC = 2r; DE- Erzeugende, entlang derer der Zylinder die Ebene α berührt; EIN- Berührungspunkt des Kugelradius x und Ebene α .

Abbildung 10, a diese Kugeln und ein Zylinder sind in einer Ebene senkrecht zur Zylinderachse dargestellt (die Ansicht erfolgt entlang der Zylinderachse). Punkte Ö und Ö 1 - Mittelpunkte von Kugeln mit Radius r und die Basis des Zylinders, Punkt Ö 2 - Kugelmittenradius x.

Bei der Lösung eines Problems, bei dem zwei, drei oder mehr paarweise tangentiale Kugeln gegeben sind, ist es zweckmäßig, den Schnitt dieser Kugeln durch eine Ebene zu verwenden, die durch ihre Mittelpunkte verläuft (Diametralebene). Dann wird dieses Problem zu einem planimetrischen Problem weiter reduziert gegenseitiges Einverständnis zwei, drei oder mehr paarweise Tangentenkreise.

Manchmal ist es praktisch, ein Dreieck oder ein Tetraeder mit Spitzen in den Zentren von drei oder vier Kugeln, die die Daten berühren, "zu Hilfe zu bringen". in diesem Fall sind die Seiten des Dreiecks und die Kanten des Tetraeders gleich der Summe der Radien dieser Kugeln.

Aufgabe 9. Drei gleiche Kugeln mit Radius 6 berühren sich. Finden Sie den Radius einer Kugel, die alle diese Kugeln berührt, wenn ihr Mittelpunkt in der Ebene der Mittelpunkte der drei gegebenen Kugeln liegt.

Lösung. Bezeichnen: Punkte EIN, B, C- Mittelpunkte von drei Datensphären mit Radius 6, die sich berühren; Punkt K ist das Zentrum der berührenden Sphäre.

Betrachten Sie einen Schnitt einer gegebenen Kombination von Kugeln durch eine Ebene ABC, gezogen durch ihre Zentren, während K (ABC).

Im Schnitt erhalten wir drei gleiche paarweise tangentiale Kreise ω 1 , ω 2 , ω 3 mit Mittelpunkten EIN, B und C Radius 6 (Abb. 11).
Dann das Dreieck ABC- gleichseitig; AB = 12;

wo M- Dreiecksschwerpunkt ABC.

Kreis ω 4 zentriert K- Abschnitt der Kugel, der drei gegebene Kugeln berührt - berührt die Kreise ω 1 , ω 2 , ω 3 . Da einerseits (im Dreieck ABC) und andererseits das Zentrum K Kreis ω 4 tangential zu gleiche Kreiseω 1 , ω 2 , ω 3 , äquidistant von ihren Mittelpunkten EIN, B und C, dann die Mitte K Kreis ω 4 fällt mit dem Schwerpunkt zusammen M Dreieck ABC.

Bezeichne mit T und H Schnittpunkt einer Linie MA mit Kreis ω 1 .
Dann die Segmente MT und MH sind gleich den Radien konzentrischer Kreise ω 4 und ω 5 mit Mittelpunkt M, von denen einer die Kreise ω 1 , ω 2 , ω 3 intern berührt, der andere - extern. Als

MT = BIN – BEI, MH = BIN + AH,

Somit gibt es zwei konzentrische Kugeln, die zentriert sind M, bezogen auf alle gegebenen drei Sphären: Der Radius einer Sphäre ist , und der Radius der anderen ist

Antworten: ; .

Aufgabe 10. An den Ecken eines regelmäßigen Tetraeders mit Kante 18 liegen die Mittelpunkte von vier gleiche Sphären sich paarweise berühren. Finden Sie den Radius der Kugel, die alle diese Kugeln berührt.

Lösung. Die Mittelpunkte dieser Kugeln seien die Ecken eines regelmäßigen Tetraeders PABC, und der Mittelpunkt der Kugel, die alle diese Kugeln berührt, ist ein Punkt F.

Es ist bekannt, dass der Berührungspunkt zweier Kugeln zur Linie ihrer Mittelpunkte gehört und der Abstand zwischen den Mittelpunkten dieser Kugeln gleich der Summe der Längen ihrer Radien ist (die Kugeln berühren sich außen). Das heisst: FA = Facebook = FC = FP(da vier Kugeln gleich sind), also der Punkt Fäquidistant von den Ecken eines gegebenen regelmäßigen Tetraeders.

Es ist bekannt, dass in einem regelmäßigen Tetraeder PABC der Punkt, der von allen seinen Ecken gleich weit entfernt ist, ist der Punkt M Schnittpunkte der Schnitte, die die Eckpunkte des Tetraeders mit den Schwerpunkten verbinden gegenüberliegende Gesichter, und wo Ö- Schwerpunkt eines gleichseitigen Dreiecks ABC. Somit ist der Mittelpunkt der Kugel, die alle vier gegebenen Kugeln berührt, der Punkt M.

Abbildung 12 zeigt einen Schnitt dieser Kombination von Körpern durch eine Ebene APH (H- Mitte BC), wo ( APH) BC, (APH) (ABC), seit der Höhe des Tetraeders PO befindet sich im Flugzeug APH. Der Schnitt des Tetraeders durch diese Ebene ist ein Dreieck APH, und der Querschnitt von zwei gegebenen Kugeln mit Zentren EIN und P- zwei gleiche Tangentenkreise ω 1 und ω 2 mit den gleichen Mittelpunkten und Radius 6. Da der Mittelpunkt M Kugel, die alle vier gegebenen Kugeln tangiert, gehört zur Schnittebene APH, dann ist sein Schnitt der Kreis ω 3 , der die Kreise ω 1 und ω 2 tangiert, und der Radius des Kreises ω 3 ist gleich dem Radius dieser Kugel. Finden Sie den Radius des Kreises ω 3 .

BEI rechtwinkliges Dreieck ABC mit Seite 18 haben wir:

Dann in einem rechtwinkligen Dreieck AOP (OP

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1 Ausbildungsarbeit in MATHEMATIK Klasse 11 1. September 017 Option MA10111 (ohne Ableitungen) Auszufüllen von: Vollständiger Name Klasse Anweisungen zur Durchführung der Arbeit 3 ​​Stunden 55 Minuten (35 Minuten) sind vorgesehen, um die Arbeit in Mathematik zu vervollständigen. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen mit 19 Aufgaben. Teil 1 enthält 8 Aufgaben einer einfachen Schwierigkeitsstufe mit einer kurzen Antwort. Teil enthält 4 Aufgaben fortgeschrittenes Level Schwierigkeit mit einer kurzen Antwort und 7 Aufgaben für Fortgeschrittene und hohe Levels Schwierigkeiten mit erweiterten Antworten. Die Antworten auf die Aufgaben 1 1 werden als ganze Zahl oder als letzter Dezimalbruch geschrieben. Wenn Sie Aufgaben erledigen, müssen Sie aufschreiben komplette Lösung auf einem gesonderten Blatt Papier. Beim Abschließen von Aufgaben können Sie einen Entwurf verwenden. Entwürfe zählen nicht zur Bewertung der Arbeit. Die Punkte, die Sie für abgeschlossene Aufgaben erhalten, werden summiert. Versuchen Sie, so viele Aufgaben wie möglich zu erledigen und zu punkten die größte Zahl Punkte. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

2 Mathematik. Klasse 11. Variante MA10111 (ohne Derivate) Teil 1 Die Lösung zu jeder der Aufgaben 1 1 ist die endgültige Dezimal, eine ganze Zahl oder eine Ziffernfolge. Notieren Sie die Antworten zu den Aufgaben im Antwortfeld im Text der Arbeit. 1 Der Preis für einen Wasserkocher wurde um 3 % erhöht und betrug 337 Rubel. Wie viel war der Wasserkocher vor der Preiserhöhung wert? Die fetten Punkte in der Abbildung zeigen den Ölpreis zum Börsenschluss an allen Werktagen vom 4. April bis 19. April 00. Die Daten des Monats sind horizontal angegeben, der Preis für ein Barrel Öl in US-Dollar ist vertikal angegeben. Zur Verdeutlichung sind fettgedruckte Punkte in der Figur durch eine Linie verbunden. Bestimmen Sie anhand der Zahl, an welchem ​​Datum der Ölpreis zum Handelsschluss am höchsten war gegebene Periode. 3 Ein kariertes Papier bei einer Zellengröße von 1 1 ist ein Trapez abgebildet. Finde seinen Bereich.

3 Mathematik. Klasse 11. Variante MA10111 (ohne Derivate) 3 4 V Magisches Land Es gibt zwei Arten von Wetter: gut und ausgezeichnet, und das Wetter, das sich am Morgen beruhigt hat, bleibt den ganzen Tag unverändert. Es ist bekannt, dass das Wetter morgen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 genauso sein wird wie heute. Am 14. Oktober ist das Wetter im Märchenland gut. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass es am 17. Oktober tolles Wetter in Magicland geben wird. 5 Finden Sie die Wurzel der Gleichung x log Zwei Winkel eines Vierecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, sind 9 und 57. Finden Sie den größten der verbleibenden Winkel. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. 7 Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion 7; 5. Finden Sie die Summe der Extrempunkte der Funktion y f x definiert auf dem Intervall f x.

4 Mathematik. Klasse 11. Variante MA10111 (ohne Ableitungen) 4 8 Wenn jede Kante des Würfels um 5 vergrößert wird, vergrößert sich seine Oberfläche um 70. Finden Sie die Kante des Würfels. 9 Teil Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks: Auf dem Fernseher beträgt die Kapazität des Hochspannungskondensators C 610 F. Ein Widerstand mit einem Widerstandswert von 6 R 610 Ohm ist parallel zum Kondensator geschaltet. Während des Betriebs des Fernsehgeräts beträgt die Spannung am Kondensator U0 6 kV. Nach dem Ausschalten des Fernsehgeräts nimmt die Spannung am Kondensator in einer durch den Ausdruck 0 t α RClog U (s) bestimmten Zeit auf den Wert U (kv) ab, wobei α 1 eine Konstante ist. Bestimmen Sie die Spannung am U-Kondensator, wenn seit dem Ausschalten des Fernsehers 43 s vergangen sind. Geben Sie Ihre Antwort in Kilovolt an Von einem Punkt aus Kreisbahn, dessen Länge 5 km beträgt, starteten zwei Autos gleichzeitig in die gleiche Richtung. Die Geschwindigkeit des ersten Autos beträgt 11 km/h, und 5 Minuten nach dem Start war es dem zweiten Auto eine Runde voraus. Finden Sie die Geschwindigkeit des zweiten Autos. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an. 1 Finden Höchster Wert Funktionen y x x auf dem Segment 1;8.

5 Mathematik. Klasse 11. Option MA10111 (ohne Ableitungen) 5 Zum Aufzeichnen von Lösungen und Antworten zu Aufgaben verwenden separates Blatt. Notieren Sie zuerst die Nummer der auszuführenden Aufgabe (13, 14 usw.) und dann die vollständige begründete Entscheidung und Antwort. Schreiben Sie Ihre Antworten klar und leserlich. 13 7π 3 a) Lösen Sie die Gleichung 4sin x. cosx b) Geben Sie die Wurzeln dieser Gleichung an, die zum Segment 13π gehören; 5π. 14 Rechteck ABCD und Zylinder werden so platziert, dass AB der Durchmesser der oberen Basis des Zylinders ist und CD in der Ebene der unteren Basis liegt und deren Umfang berührt, während die Ebene des Rechtecks ​​zur Ebene geneigt ist der Basis des Zylinders in einem Winkel von 60. a) Beweisen Sie, dass ABCD ein Quadrat ist. b) Finden Sie die Länge des Teils der Strecke BD, der außerhalb des Zylinders liegt, wenn der Radius des Zylinders gleich ist. 15 x x 45x Lösen Sie die Ungleichung 3 3 x. 16 Punkt I ist der Mittelpunkt des dem Dreieck ABC einbeschriebenen Kreises S 1 , Punkt O ist der Mittelpunkt des um das Dreieck BIC umschriebenen Kreises S . a) Beweisen Sie, dass der Punkt O auf dem Umkreis liegt. Dreieck ABC. b) Bestimmen Sie den Kosinus des Winkels BAC, wenn der Radius des Umkreises des Dreiecks ABC im Verhältnis 3:5 zum Radius des Kreises S steht.

6 Mathematik. Klasse 11. Option MA10111 (ohne Derivate) im Januar ist geplant, um einen Kredit von einer Bank für 16 Monate aufzunehmen. Die Bedingungen für die Rückgabe sind wie folgt: am 1. eines jeden Monats erhöht sich die Schuld um % im Vergleich zum Ende des Vormonats; vom 14. bis zum 14. eines jeden Monats muss ein Teil der Schuld beglichen werden; Am 15. Tag jedes Monats muss die Schuld um denselben Betrag geringer sein als die Schuld am 15. Tag des Vormonats. Wie viel sollte man sich leihen Gesamtbetrag Zahlungen nach vollständiger Rückzahlung beliefen sich auf 34 Millionen Rubel? 18 Finden Sie alle Werte von x, von denen jeder eine Lösung der Gleichung (a 1) 3sin x (1 3 a) cosx 1 für einen beliebigen Wert von a aus dem Segment 6sinx 3cosx ist. 19 An die Tafel schrieben sie mehrere, nicht unbedingt unterschiedliche, zweistellige Ziffern natürliche Zahlen keine Nullen drin Dezimalschreibweise. Die Summe dieser Zahlen ergab 165. Dann wurden die erste und die zweite Ziffer in jeder Zahl vertauscht (z. B. wurde die Zahl 17 durch die Zahl 71 ersetzt). a) Nennen Sie ein Beispiel Anfangszahlen, für die die Summe der resultierenden Zahlen genau 4-mal größer ist als die Summe der ursprünglichen Zahlen. b) Könnte die Summe der resultierenden Zahlen genau 5-mal größer sein als die Summe der ursprünglichen Zahlen? c) Finden Sie den größten mögliche Bedeutung die Summe der resultierenden Zahlen.

7 Mathematik. Klasse 11. Option MA10111 (ohne Derivate) im Januar ist geplant, um einen Kredit von einer Bank für 16 Monate aufzunehmen. Die Bedingungen für die Rückgabe sind wie folgt: am 1. eines jeden Monats erhöht sich die Schuld um % im Vergleich zum Ende des Vormonats; vom 14. bis zum 14. eines jeden Monats muss ein Teil der Schuld beglichen werden; Am 15. Tag jedes Monats muss die Schuld um denselben Betrag geringer sein als die Schuld am 15. Tag des Vormonats. Welcher Betrag sollte geliehen werden, damit der Gesamtbetrag der Zahlungen nach vollständiger Rückzahlung 34 Millionen Rubel beträgt? 18 Finden Sie alle Werte von x, von denen jeder eine Lösung der Gleichung (a 1) 3 sin x + (1 + 3 a) cos x = 1 für jeden Wert von a aus dem Segment 6sin x 3 cosx ist. 19 Schreiben Sie mehrere nicht unbedingt unterschiedliche zweistellige natürliche Zahlen ohne Nullen in Dezimalschreibweise an die Tafel. Die Summe dieser Zahlen ergab 165. Dann wurden die erste und die zweite Ziffer in jeder Zahl vertauscht (z. B. wurde die Zahl 17 durch die Zahl 71 ersetzt). a) Geben Sie ein Beispiel für Anfangszahlen an, bei denen die Summe der resultierenden Zahlen genau 4 mal größer ist als die Summe der ursprünglichen Zahlen. b) Könnte die Summe der resultierenden Zahlen genau 5-mal größer sein als die Summe der ursprünglichen Zahlen? c) Finden Sie den größtmöglichen Wert der Summe der resultierenden Zahlen.

8 Ausbildungsarbeit in MATHEMATIK Klasse 11 1. September 017 Option MA1011 (ohne Ableitungen) Absolviert: Vollständige Namensklasse Anleitung zur Durchführung von Arbeiten 3 Stunden 55 Minuten (35 Minuten) sind für Arbeiten in Mathematik vorgesehen. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen mit 19 Aufgaben. Teil 1 enthält 8 Aufgaben einer einfachen Schwierigkeitsstufe mit einer kurzen Antwort. Der Teil enthält 4 Aufgaben mit erhöhter Komplexität mit kurzer Antwort und 7 Aufgaben mit erhöhter und hoher Komplexität mit ausführlicher Antwort. Die Antworten auf die Aufgaben 1 1 werden als ganze Zahl oder als letzter Dezimalbruch geschrieben. Wenn Sie Aufgaben erledigen, müssen Sie die vollständige Lösung auf einem separaten Blatt Papier notieren. Beim Abschließen von Aufgaben können Sie einen Entwurf verwenden. Entwürfe zählen nicht zur Bewertung der Arbeit. Die Punkte, die Sie für abgeschlossene Aufgaben erhalten, werden summiert. Versuchen Sie, so viele Aufgaben wie möglich zu erledigen und die meisten Punkte zu erzielen. Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

9 Mathematik. Klasse 11. Variante MA1011 (ohne Ableitungen) Teil 1 Die Antwort auf die Aufgaben 1 1 ist jeweils ein Dezimalbruch am Ende, eine ganze Zahl oder eine Ziffernfolge. Notieren Sie die Antworten zu den Aufgaben im Antwortfeld im Text der Arbeit. 1 Der Preis für einen Wasserkocher wurde um 17 % erhöht und betrug 1989 Rubel. Wie viel war der Wasserkocher vor der Preiserhöhung wert? Die fetten Punkte in der Abbildung zeigen den Nickelpreis zum Börsenschluss an allen Werktagen vom 6. Mai bis 0. Mai 009. Horizontal sind die Monatsdaten, vertikal der Preis einer Tonne Nickel in US-Dollar angegeben. Zur Verdeutlichung sind fettgedruckte Punkte in der Figur durch eine Linie verbunden. Bestimmen Sie anhand der Zahl, an welchem ​​Tag der Nickelpreis bei Handelsschluss für einen bestimmten Zeitraum am höchsten war. 3 Ein Trapez wird auf kariertem Papier mit einer Zellengröße von 1 1 dargestellt. Finde seinen Bereich.

10 Mathematik. Klasse 11. Variante MA1011 (ohne Derivate) 3 4 Es gibt zwei Arten von Wetter im Märchenland: gut und ausgezeichnet, und das Wetter, das sich am Morgen beruhigt hat, bleibt den ganzen Tag unverändert. Es ist bekannt, dass das Wetter morgen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 genauso sein wird wie heute. Am 5. April ist das Wetter im Märchenland gut. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass es am 8. April tolles Wetter in Magicland geben wird. 5 Finden Sie die Wurzel der Gleichung x log Zwei Winkel eines Vierecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, sind 4 und 67. Finden Sie den größten der verbleibenden Winkel. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an. 7 Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion 4; 8. Finden Sie die Summe der Extrempunkte der Funktion y f x definiert auf dem Intervall f x.

11 Mathematik. Klasse 11. Variante MA1011 (ohne Ableitungen) 4 8 Wenn jede Kante des Würfels um 3 vergrößert wird, vergrößert sich seine Oberfläche um 16. Finden Sie die Kante des Würfels. 9 Teil Finden Sie den Wert des Ausdrucks 65 5: Im Fernseher beträgt die Kapazität des Hochspannungskondensators C 310 F. Ein Widerstand mit einem Widerstandswert von 6 R 810 Ohm ist parallel zum Kondensator geschaltet. Während des Betriebs des Fernsehgeräts beträgt die Spannung am Kondensator U0 4 kV. Nach dem Ausschalten des Fernsehgeräts sinkt die Spannung am Kondensator in der durch den Ausdruck 0 t α RClog U (s) bestimmten Zeit auf den Wert U (kv), wobei α 1, 4 eine Konstante ist. Bestimmen Sie die Spannung am U-Kondensator, wenn 33,6 Sekunden vergangen sind, seit der Fernseher ausgeschaltet wurde. Geben Sie Ihre Antwort in Kilovolt an Von einem Punkt einer kreisförmigen Strecke, deren Länge 3 km beträgt, starteten zwei Autos gleichzeitig in die gleiche Richtung. Die Geschwindigkeit des ersten Autos beträgt 119 km/h und war 40 Minuten nach dem Start eine Runde vor dem zweiten Auto. Finden Sie die Geschwindigkeit des zweiten Autos. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an. 1 Finde den größten Wert der Funktion y x x im Intervall 9;1.

12 Mathematik. Klasse 11. Option MA1011 (ohne Derivate) 5 Lösungen und Antworten zu Aufgaben auf einem separaten Blatt festhalten. Notieren Sie zuerst die Nummer der auszuführenden Aufgabe (13, 14 usw.) und dann die vollständige begründete Entscheidung und Antwort. Schreiben Sie Ihre Antworten klar und leserlich. 13 5π 1 a) Lösen Sie die Gleichung 4sin x. cosx b) Geben Sie die Nullstellen dieser Gleichung an, die zur Strecke 7π 5π; gehören. 14 Rechteck ABCD und Zylinder werden so platziert, dass AB der Durchmesser der oberen Basis des Zylinders ist und CD in der Ebene der unteren Basis liegt und deren Umfang berührt, während die Ebene des Rechtecks ​​zur Ebene geneigt ist der Basis des Zylinders in einem Winkel von 60. a) Beweisen Sie, dass ABCD ein Quadrat ist. b) Finden Sie die Länge des Teils der Strecke BD, der außerhalb des Zylinders liegt, wenn der Radius des Zylinders x x 15x ist. Lösen Sie die Ungleichung 5 5 x. 16 Punkt I ist der Mittelpunkt des dem Dreieck ABC einbeschriebenen Kreises S 1 , Punkt O ist der Mittelpunkt des um das Dreieck BIC umschriebenen Kreises S . a) Beweisen Sie, dass der Punkt O auf dem Umkreis des Dreiecks ABC liegt. b) Finden Sie den Kosinus des Winkels BAC, wenn der Radius des Umkreises des Dreiecks ABC mit dem Radius des Kreises S in Beziehung steht zu: 3.

13 Mathematik. Klasse 11. Option MA1011 (ohne Derivate) im Januar ist geplant, um einen Kredit von der Bank für 10 Monate aufzunehmen. Die Bedingungen für die Rückgabe sind wie folgt: Am 1. eines jeden Monats erhöht sich die Schuld um 4 % gegenüber dem Ende des Vormonats; vom 14. bis zum 14. eines jeden Monats muss ein Teil der Schuld beglichen werden; Am 15. Tag jedes Monats muss die Schuld um denselben Betrag geringer sein als die Schuld am 15. Tag des Vormonats. Welcher Betrag sollte geliehen werden, damit der Gesamtbetrag der Zahlungen nach vollständiger Rückzahlung 1,83 Millionen Rubel beträgt? 18 Finden Sie alle Werte von x, von denen jeder eine Lösung der Gleichung x x a 3sin (3 a) cos 1 für jeden Wert von a aus dem Intervall [ ; 5 ] ist. x x 6sin 3cos 19 Schreiben Sie mehrere nicht unbedingt verschiedene zweistellige natürliche Zahlen ohne Nullen in Dezimalschreibweise an die Tafel. Die Summe dieser Zahlen ergab 64. Dann wurden die erste und die zweite Ziffer in jeder Zahl vertauscht (z. B. wurde die Zahl 17 durch die Zahl 71 ersetzt). a) Geben Sie ein Beispiel für Anfangszahlen an, bei denen die Summe der resultierenden Zahlen genau 4 mal größer ist als die Summe der ursprünglichen Zahlen. b) Könnte die Summe der resultierenden Zahlen genau dreimal größer sein als die Summe der ursprünglichen Zahlen? c) Finden Sie den größtmöglichen Wert der Summe der resultierenden Zahlen.

Ausbildungsarbeit in MATHEMATIK Klasse 10 18.05.2016 Wahlmöglichkeit MA00609 (Profilstufe) Abgeschlossen: Vollständige Namensklasse Anleitung zur Anfertigung der Arbeit Für die Anfertigung der Arbeit in Mathematik stehen 3 Stunden zur Verfügung

Ausbildungsarbeit in MATHEMATIK Klasse 11. September 016 Wahlmöglichkeit MA10109 (Profilstufe) Abgeschlossen: Vollständige Namensklasse Anleitung zur Anfertigung der Arbeit 3 ​​Stunden stehen zur Anfertigung der Arbeit in Mathematik zur Verfügung

Ausbildungsarbeit im MATHEMATIK-Unterricht vom März 206 Option MA0409 (Profilebene) Abgeschlossen: Vollständiger Name des Unterrichts Anweisungen für die Durchführung der Arbeit Stunden Minuten sind für die Durchführung der Arbeit in Mathematik vorgesehen

Ausbildungsarbeit in MATHEMATIK Klasse 11. September 016 Wahlmöglichkeit MA10111 (Profilstufe) Abgeschlossen: Vollständige Namensklasse Anleitung zur Arbeitsausführung 3 Stunden sind für die Arbeitsausführung in Mathematik vorgesehen

Ausbildungsarbeit in MATHEMATIK Klasse 0 Februar 06 Option MA00309 (Profilstufe) Abgeschlossen: Vollständiger Name Klasse Anweisungen zur Fertigstellung der Arbeit 3 ​​Stunden sind vorgesehen, um die Arbeit in Mathematik zu vervollständigen

Ausbildungsarbeit in MATHEMATIK Klasse 11 3. März 016 Option MA1041 (Profilstufe) Abgeschlossen: Vollständige Namensklasse Anweisungen zur Durchführung von Arbeiten 3 Stunden sind für die Durchführung von Arbeiten in Mathematik vorgesehen

Ausbildungsarbeit 4 in MATHEMATIK 1. Mai 11, 11. Klasse Option 1 Mathematik 11. Klasse Option 1 Anleitung zur Arbeitsausführung Auszufüllen Prüfungsarbeit Mathe wird 4 Stunden (4 min) gegeben

Übungsarbeit im MATHEMATIK-Unterricht 06.01.07 Option MA03 (Profilstufe) Absolviert: Vollständiger Name Klasse Anleitung zur Arbeitsausführung 3 Stunden 55 Minuten sind für die Durchführung der mathematischen Arbeiten vorgesehen

Single Staatsexamen, 2016 MATHEMATIK. Profilebene Trainingsoption 10 vom 09.01.2016 1 / 5 Einheitliches Staatsexamen MATHEMATIK Profilstufe Anleitung zur Durchführung

Übungsarbeit im MATHEMATIK-Unterricht 08.12.05 Option MA009 (Profilebene) Erledigt: Vollständiger Name Klasse Anleitung zur Arbeitsausführung 3 Stunden sind für die Durchführung der Mathematikarbeit 55 vorgesehen

Einheitliches Staatsexamen MATHEMATIK 1 / Einheitliches Staatsexamen MATHEMATIK Anleitung zur Durchführung von Arbeiten

Ausbildungsarbeit in MATHEMATIK Klasse 11 20.01.2016 Option MA10309 (Profilstufe) Abgeschlossen: Vollständiger Name Klasse Arbeitsanweisung 3 ist der Erbringung mathematischer Arbeiten zugeordnet

Ausbildungsarbeit 3 ​​in MATHEMATIK 12.04.2011 Klasse 11 Option 1 Mathematik. Klasse 11. Option 1 2 Anweisungen zur Durchführung der Arbeiten 4

Option 3-1 Option 3 Anleitung zur Fertigstellung der Arbeit 4 Stunden (40 Minuten) werden zur Bearbeitung der Prüfungsarbeit in Mathematik gegeben. Die Arbeit besteht aus zwei Teilen und enthält 18 Aufgaben. Teil 1 enthält 1

Mathe. Klasse 11. Variante MA10203 r04000 2 Trainingsarbeit in USE-Format in MATHEMATIK 14. November 2013 Klasse 11 Wahlmöglichkeit MA10203 Anleitung zur Durchführung von Arbeiten Zur Durchführung von Arbeiten in Mathematik

Diagnostische Arbeit zur Vorbereitung auf die Einheitliche Staatsprüfung in MATHEMATIK 03.02.205 0-Klasse Option MA00409 Profilstufe Abgeschlossen: Vollständige Bezeichnung Klasse Anleitung zur Durchführung von Arbeiten Zur Durchführung mathematischer Arbeiten

Mathe. Klasse 11. Option MA10201 2 Übungsarbeit im USE-Format in MATHEMATIK 14. November 2013 Klasse 11 Option MA10201 Anleitung zur Durchführung von Arbeiten Zur Durchführung mathematischer Arbeiten

Einheitliches Staatsexamen, 06 Mathematik, Kl. 03.6 Frühe Mustervariante Part. Ein Läufer lief 400 Meter in 45 Sekunden. Finden Durchschnittsgeschwindigkeit Läufer. Geben Sie Ihre Antwort in Kilometern pro Stunde an.

Übungsarbeit 5 im MATHEMATIK-Unterricht Option Mathematik. Klasse. Option Teil Die Antwort auf die Aufgaben B B muss eine ganze Zahl oder ein Dezimalbruch sein. Maßeinheiten sind nicht erforderlich. B Anya

Diagnostische Arbeit 3 ​​in MATHEMATIK 3. März 2011 Klasse 11 Option 1 Mathematik. Klasse 11. Option 1 2 Anweisungen zur Durchführung der Arbeiten 4

Diagnostische Arbeit in MATHEMATIK 1. Januar 015 Klasse 11 Option MA10113 ( fortgeschrittenes Level) Kreisstadt ( Ortschaft) Schulklasse Nachname Vorname Vatersname Mathematik. Klasse 11. Variante MA10113

Einheitliches Staatsexamen MATHEMATIK 2016 Ausbildungsoption 6 vom 07.11.2015 1 / 5 Einheitliches Staatsexamen MATHEMATIK Profilstufe Arbeitsanweisungen Prüfung

Diagnostische Arbeit in MATHEMATIK 01.01.015 Klasse 11 Option MA10109 (Oberstufe) Bezirk Stadt (Siedlung) Schulklasse Name Vorname Patronym Mathematik. Klasse 11. Variante MA10109

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Die Antwort auf die Aufgaben 1-14 ist eine ganze Zahl oder ein letzter Dezimalbruch. Schreiben Sie die Nummer in das Antwortfeld im Text der Arbeit und übertragen Sie sie dann auf das ANTWORTFORMULAR 1 rechts neben der Nummer der entsprechenden Aufgabe.

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