Die Fläche eines gekrümmten Trapezes wird mit der Formel berechnet. Ermitteln der Fläche eines gebogenen Trapezes. Welche Figur nennt man ein gebogenes Trapez?
Thema: Berechnung der Fläche einer ebenen Figur mit einem bestimmten Integral
Ziele: Erlernen der Definition und Formeln zum Finden von Flächen gebogenes Trapez;
Betrachten Sie verschiedene Fälle, in denen die Fläche eines krummlinigen Trapezes ermittelt wird.
In der Lage sein, die Fläche eines gekrümmten Trapezes zu berechnen.
Planen:
Krummliniges Trapez.
Formeln zur Berechnung der Fläche eines gebogenen Trapezes.
Krummliniges Trapez ist eine Figur, die durch den Graphen einer stetigen, nicht negativen Funktion f(x) auf dem Intervall, Liniensegmenten x=a und x=b sowie einem Segment der x-Achse zwischen den Punkten a und b begrenzt ist .
Bilder von gebogenen Trapezen:
Kommen wir nun zu Möglichkeiten die Position von Figuren, deren Fläche auf der Koordinatenebene berechnet werden muss.
Erste
Es wird die einfachste Option (das erste Bild) geben, das Übliche gebogenes Trapez, wie in der Definition. Hier müssen Sie nichts erfinden, nehmen Sie einfach das Integral von A Vor B aus der Funktion f(x). Wenn wir das Integral finden, kennen wir auch die Fläche dieses Trapezes. 
In zweite
Option wird unsere Figur nicht durch die x-Achse, sondern durch eine andere Funktion begrenzt g(x). Deshalb, um die Gegend zu finden CEFD, müssen wir zuerst den Bereich finden AEFB(unter Verwendung des Integrals von f(x)), und suchen Sie dann den Bereich ACDB(unter Verwendung des Integrals von g(x)). Und die benötigte Fläche der Figur CEFD, wird es einen Unterschied zwischen dem ersten und dem zweiten Bereich des gebogenen Trapezes geben. Da die Grenzen der Integration hier gleich sind, kann dies alles unter einem Integral geschrieben werden (siehe Formeln unter der Abbildung), es hängt alles von der Komplexität der Funktionen ab, in diesem Fall ist es einfacher, das Integral zu finden. 
Dritte
dem ersten sehr ähnlich, aber nur unser Trapez ist platziert, nicht darüber x-Achse, und darunter. Daher müssen wir hier dasselbe Integral nehmen, nur mit einem Minuszeichen, da der Wert des Integrals negativ sein wird und der Wert der Fläche positiv sein sollte. Wenn anstelle einer Funktion f(x) Funktion übernehmen –f(x), dann ist sein Graph derselbe, einfach symmetrisch relativ zur x-Achse angezeigt. 
UND vierte Option, wenn ein Teil unserer Figur über der x-Achse liegt und ein Teil darunter. Daher müssen wir zunächst die Fläche der Figur ermitteln AEFB, wie bei der ersten Option, und dann die Fläche der Figur A B C D, wie in der dritten Option, und falten Sie sie dann. Als Ergebnis erhalten wir die Fläche der Figur DEFC. Da die Grenzen der Integration hier gleich sind, kann dies alles unter einem Integral geschrieben werden (siehe Formeln unter der Abbildung), es hängt alles von der Komplexität der Funktionen ab, in diesem Fall ist es einfacher, das Integral zu finden. 
Fragen zum Selbsttest:
Welche Figur nennt man ein gebogenes Trapez?
Wie finde ich die Fläche eines gebogenen Trapezes?
Betrachten wir ein gekrümmtes Trapez, das durch die Ox-Achse, die Kurve y=f(x) und zwei Geraden begrenzt wird: x=a und x=b (Abb. 85). Nehmen wir einen beliebigen Wert von x (nur nicht a und nicht b). Geben wir ihm ein Inkrement h = dx und betrachten wir einen Streifen, der durch die Geraden AB und CD, die Ox-Achse und den Bogen BD begrenzt wird, der zur betrachteten Kurve gehört. Wir nennen diesen Streifen einen Elementarstreifen. Die Fläche eines Elementarstreifens unterscheidet sich von der Fläche des Rechtecks ACQB durch das krummlinige Dreieck BQD und die Fläche des letzteren weniger Fläche Rechteck BQDM mit Seiten BQ = =h=dx) QD=Ay und Fläche gleich hAy = Ay dx. Wenn die Seite h abnimmt, nimmt auch die Seite Du ab und tendiert gleichzeitig mit h gegen Null. Daher ist die Fläche von BQDM unendlich kleine Sekunde Befehl. Die Fläche eines Elementarstreifens ist das Inkrement der Fläche, und die Fläche des Rechtecks ACQB, gleich AB-AC ==/(x) dx>, ist das Differential der Fläche. Folglich finden wir die Fläche selbst, indem wir ihr Differential integrieren. Innerhalb der betrachteten Abbildung ändert sich die unabhängige Variable l: von a nach b, sodass die erforderliche Fläche 5 gleich 5= \f(x) dx ist. (I) Beispiel 1. Berechnen wir die Fläche, die durch die Parabel y - 1 -x*, die Geraden X =--Fj-, x = 1 und die O*-Achse begrenzt wird (Abb. 86). in Abb. 87. Abb. 86. 1 Hier ist f(x) = 1 - l?, die Grenzen der Integration sind a = - und £ = 1, also J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Beispiel 2. Berechnen wir die Fläche, die durch die Sinuskurve y = sinXy, die Ox-Achse und die Gerade begrenzt wird (Abb. 87). Unter Anwendung der Formel (I) erhalten wir A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Beispiel 3. Berechnen Sie die Fläche, die durch den Bogen der Sinuskurve ^у = sin jc, eingeschlossen begrenzt wird zwischen zwei benachbarten Schnittpunkten mit der Ox-Achse (zum Beispiel zwischen dem Ursprung und dem Punkt mit der Abszisse i). Beachten Sie, dass aus geometrischen Überlegungen klar ist, dass dieser Bereich doppelt so groß sein wird mehr Fläche vorheriges Beispiel. Lassen Sie uns jedoch die Berechnungen durchführen: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Tatsächlich hat sich unsere Annahme als richtig erwiesen. Beispiel 4. Berechnen Sie die Fläche, die von der Sinuskurve und der Ox-Achse in einer Periode begrenzt wird (Abb. 88). Vorläufige Berechnungen legen nahe, dass die Fläche viermal größer sein wird als in Beispiel 2. Nach Durchführung der Berechnungen erhalten wir jedoch „i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Dieses Ergebnis bedarf der Klärung. Um das Wesentliche zu verdeutlichen, berechnen wir auch die Fläche, die durch dieselbe Sinuskurve y = sin l: und die Ox-Achse im Bereich von l bis 2i begrenzt wird. Unter Anwendung der Formel (I) erhalten wir 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Wir sehen also, dass dieser Bereich negativ ausgefallen ist. Beim Vergleich mit der in Übung 3 berechneten Fläche stellen wir fest, dass ihre absolute Werte sind gleich, aber die Vorzeichen sind unterschiedlich. Wenn wir Eigenschaft V anwenden (siehe Kapitel XI, § 4), erhalten wir 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Was in diesem Beispiel passiert ist, ist kein Zufall. Bei der Berechnung mit Integralen erhält man immer die Fläche unterhalb der Ox-Achse, sofern sich die unabhängige Variable von links nach rechts ändert. In diesem Kurs werden wir immer Bereiche ohne Schilder berücksichtigen. Daher lautet die Antwort im gerade besprochenen Beispiel: Die erforderliche Fläche beträgt 2 + |-2| = 4. Beispiel 5. Berechnen wir die Fläche des in Abb. gezeigten BAB. 89. Dieser Bereich wird durch die Ox-Achse, die Parabel y = - xr und die Gerade y - = -x+\ begrenzt. Fläche eines krummlinigen Trapezes Die erforderliche Fläche OAB besteht aus zwei Teilen: OAM und MAV. Da Punkt A der Schnittpunkt einer Parabel und einer Geraden ist, ermitteln wir seine Koordinaten durch Lösen des Gleichungssystems 3 2 Y = mx. (Wir müssen nur die Abszisse von Punkt A finden). Wenn wir das System lösen, finden wir l; = ~. Daher muss die Fläche zunächst in Teilen, also im Quadrat, berechnet werden. OAM und dann pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x = 
[Ersatz:
] = 
Das bedeutet, dass das uneigentliche Integral konvergiert und sein Wert gleich ist.
Problem 1(über die Berechnung der Fläche eines gekrümmten Trapezes).
Auf Kartesisch rechteckiges System Koordinaten xOy, eine durch die x-Achse begrenzte Figur (siehe Abbildung), gerade Linien x = a, x = b (ein gekrümmtes Trapez. Es ist erforderlich, die Fläche des gekrümmten Trapezes zu berechnen.
Lösung. Die Geometrie gibt uns Rezepte zur Berechnung der Flächen von Polygonen und einigen Teilen eines Kreises (Sektor, Segment). Mithilfe geometrischer Überlegungen können wir mit folgender Überlegung nur einen ungefähren Wert für die benötigte Fläche ermitteln.
Teilen wir das Segment [a; b] (Basis eines gebogenen Trapezes) auf n gleiche Teile; Diese Aufteilung erfolgt unter Verwendung der Punkte x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Zeichnen wir durch diese Punkte gerade Linien parallel zur y-Achse. Dann wird das gegebene krummlinige Trapez in n Teile, in n schmale Spalten, unterteilt. Die Fläche des gesamten Trapezes ist gleich der Summe der Flächen der Säulen.
Betrachten wir die k-te Spalte separat, d.h. ein gebogenes Trapez, dessen Basis ein Segment ist. Ersetzen wir es durch ein Rechteck mit derselben Grundfläche und Höhe gleich f(x k) (siehe Abbildung). Die Fläche des Rechtecks ist gleich \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), wobei \(\Delta x_k \) die Länge des Segments ist; Es ist selbstverständlich, das resultierende Produkt als ungefähren Wert der Fläche der k-ten Spalte zu betrachten. 
Wenn wir nun das Gleiche mit allen anderen Spalten machen, kommen wir zu zum nächsten Ergebnis: Die Fläche S eines gegebenen krummlinigen Trapezes ist ungefähr gleich der Fläche S n einer Stufenfigur aus n Rechtecken (siehe Abbildung):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aus Gründen der Einheitlichkeit der Notation gehen wir hier davon aus, dass a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) – Länge des Segments, \(\Delta x_1 \) – Länge des Segments usw.; in diesem Fall gilt, wie wir oben vereinbart haben, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Also gilt \(S \ approx S_n \), und diese ungefähre Gleichheit ist umso genauer, je größer n ist.
Per Definition wird angenommen, dass die erforderliche Fläche eines krummlinigen Trapezes gleich dem Grenzwert der Folge (S n) ist:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problem 2(über das Verschieben eines Punktes)
Bewegt sich in einer geraden Linie materieller Punkt. Die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit wird durch die Formel v = v(t) ausgedrückt. Finden Sie die Bewegung eines Punktes über einen bestimmten Zeitraum [a; B].
Lösung. Wäre die Bewegung gleichmäßig, dann wäre das Problem ganz einfach zu lösen: s = vt, d.h. s = v(b-a). Bei ungleichmäßiger Bewegung müssen Sie dieselben Ideen verwenden, auf denen die Lösung des vorherigen Problems basierte.
1) Teilen Sie das Zeitintervall [a; b] in n gleiche Teile.
2) Betrachten Sie einen Zeitraum und gehen Sie davon aus, dass die Geschwindigkeit während dieses Zeitraums konstant war, genau wie zum Zeitpunkt t k. Wir nehmen also an, dass v = v(t k).
3) Lassen Sie uns den ungefähren Wert der Bewegung des Punktes über einen bestimmten Zeitraum ermitteln; wir bezeichnen diesen ungefähren Wert als s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Ermitteln Sie den ungefähren Wert der Verschiebung s:
\(s \ approx S_n \) wobei
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Die erforderliche Verschiebung ist gleich dem Grenzwert der Folge (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Fassen wir zusammen. Lösungen mehrere Aufgaben auf das gleiche mathematische Modell reduziert. Viele Probleme aus verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik führen im Lösungsprozess zum gleichen Modell. Also das mathematisches Modell müssen speziell untersucht werden.
Der Begriff eines bestimmten Integrals
Geben wir mathematische Beschreibung das Modell, das in den drei betrachteten Problemen für die Funktion y = f(x) erstellt wurde, stetig (aber nicht unbedingt nicht negativ, wie in den betrachteten Problemen angenommen wurde) auf dem Intervall [a; B]:
1) Teilen Sie das Segment [a; b] in n gleiche Teile;
2) Bilden Sie die Summe $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) Berechnen Sie $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Im Kurs mathematische Analyse Es wurde nachgewiesen, dass dieser Grenzwert im Fall einer stetigen (oder stückweise stetigen) Funktion existiert. Er heißt ein bestimmtes Integral der Funktion y = f(x) über die Strecke [a; B] und wie folgt bezeichnet:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Die Zahlen a und b werden Integrationsgrenzen (untere bzw. obere) genannt.
Kehren wir zu den oben besprochenen Aufgaben zurück. Die in Aufgabe 1 angegebene Flächendefinition kann nun wie folgt umgeschrieben werden:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
hier ist S die Fläche des in der Abbildung oben gezeigten gebogenen Trapezes. Das ist geometrische Bedeutung bestimmtes Integral.
Die in Aufgabe 2 angegebene Definition der Verschiebung s eines Punktes, der sich geradlinig mit der Geschwindigkeit v = v(t) über den Zeitraum von t = a bis t = b bewegt, kann wie folgt umgeschrieben werden:
Newton-Leibniz-Formel
Beantworten wir zunächst die Frage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem bestimmten Integral und der Stammfunktion?
Die Antwort findet sich in Aufgabe 2. Einerseits wird die Verschiebung s eines Punktes, der sich geradlinig mit der Geschwindigkeit v = v(t) über den Zeitraum von t = a bis t = b bewegt, durch berechnet die Formel
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Andererseits ist die Koordinate eines sich bewegenden Punktes eine Stammfunktion für die Geschwindigkeit – nennen wir sie s(t); das bedeutet, dass die Verschiebung s durch die Formel s = s(b) - s(a) ausgedrückt wird. Als Ergebnis erhalten wir:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
wobei s(t) die Stammfunktion von v(t) ist.
Der folgende Satz wurde im Zuge der mathematischen Analyse bewiesen.
Satz. Wenn die Funktion y = f(x) im Intervall [a; b], dann ist die Formel gültig
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
wobei F(x) die Stammfunktion von f(x) ist.
Die angegebene Formel wird normalerweise aufgerufen Newton-Leibniz-Formel zu Ehren Englischer Physiker Isaac Newton (1643–1727) und der deutsche Philosoph Gottfried Leibniz (1646–1716), die es unabhängig voneinander und nahezu gleichzeitig erhielten.
In der Praxis verwenden sie anstelle von F(b) - F(a) die Notation \(\left. F(x)\right|_a^b \) (manchmal auch so genannt). Doppelsubstitution) und schreiben Sie dementsprechend die Newton-Leibniz-Formel in dieser Form um:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Berechnen bestimmtes Integral, finden Sie zunächst die Stammfunktion und führen Sie dann eine Doppelsubstitution durch.
Basierend auf der Newton-Leibniz-Formel können wir zwei Eigenschaften des bestimmten Integrals erhalten.
Eigentum 1. Integral der Summe der Funktionen gleich der Summe Integrale:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Eigentum 2. Konstanter Multiplikator lässt sich aus dem Integralzeichen entnehmen:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Berechnen der Flächen ebener Figuren mithilfe eines bestimmten Integrals
Mit dem Integral können Sie nicht nur die Flächen krummliniger Trapeze, sondern auch flacher Figuren berechnen komplexer Typ, zum Beispiel das in der Abbildung gezeigte. Die Zahl P wird durch Geraden x = a, x = b und Graphen stetiger Funktionen y = f(x), y = g(x) und auf der Strecke [a; b] gilt die Ungleichung \(g(x) \leq f(x) \). Um die Fläche S einer solchen Figur zu berechnen, gehen wir wie folgt vor:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Also die Fläche S einer Figur, die durch Geraden x = a, x = b und Funktionsgraphen y = f(x), y = g(x) begrenzt wird, stetig auf dem Segment und so, dass für jedes x aus dem Segment [A; b] die Ungleichung \(g(x) \leq f(x) \) erfüllt ist, berechnet durch die Formel
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
