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Beispiele zur Funktionsdifferenzierung. Differenzierungsregeln. Herausnehmen des konstanten Faktors aus dem Vorzeichen der Ableitung. Die Konstante ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung

Erste Ebene

Funktionsableitung. Umfassender Leitfaden (2019)

Stellen Sie sich eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Ebene mit der Höhe Null, im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch aufwärts oder abwärts. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (bewegt sich entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (bewegt sich entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was könnte dieser Wert sein? Ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich werden wir auf verschiedenen Abschnitten der Straße, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts (entlang der Abszissenachse) bewegen, auf- oder absteigen unterschiedliche Menge Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der y-Achse).

Wir bezeichnen den Fortschritt vorwärts (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Größenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Genau, eine Größenänderung.

Wichtig: Der Ausdruck ist eine einzelne Entität, eine Variable. Sie sollten niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben abreißen! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal weiter vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Graphen einer Funktion vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, wenn wir vorwärts gehen, steigen wir höher.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und nach der Bewegung in einer Höhe waren, dann. Wenn sich herausstellt, dass der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Zurück zu „Steilheit“: Hierbei handelt es sich um einen Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe bei Vorwärtsbewegung pro Distanzeinheit ansteigt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Abschnitt des Weges bei einem Vorankommen von Kilometern um Kilometer ansteigt. Dann ist die Steilheit an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, wenn sie um m vorrückt, um km sinkt? Dann ist die Steigung gleich.

Betrachten Sie nun die Spitze eines Hügels. Wenn Sie den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer bis zum Gipfel und das Ende einen halben Kilometer später nehmen, können Sie sehen, dass die Höhe fast gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Nur wenige Kilometer entfernt kann sich viel ändern. Kleinere Bereiche müssen für eine angemessenere und angemessenere Nutzung in Betracht gezogen werden genaue Beurteilung Steilheit. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn mitten auf der Straße ein Pfosten steht, können wir einfach durchschlüpfen. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

IN wahres Leben Es ist mehr als ausreichend, den Abstand auf den Millimeter genau zu messen. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher war das Konzept unendlich klein, das heißt, der Modulowert ist kleiner als jede Zahl, die wir benennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass der Wert unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht gleich Null ist! Aber sehr nah dran. Dies bedeutet, dass es unterteilt werden kann in.

Das Gegenteil von unendlich klein ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich bereits darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist im Modul größer als jede andere Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie auf die größtmögliche Zahl kommen, multiplizieren Sie diese einfach mit zwei und Sie erhalten noch mehr. Aber immer noch unendlich Außerdem was wird funktionieren. Tatsächlich sind unendlich groß und unendlich klein zueinander invers, also at, und umgekehrt: at.

Nun zurück zu unserer Straße. Die ideal berechnete Steigung ist die für einen unendlich kleinen Streckenabschnitt berechnete Steigung, also:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung unendlich klein sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass „unendlich klein“ nicht bedeutet null. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, kommt man auf ein recht hohes Ergebnis gemeinsame Zahl, Zum Beispiel, . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau doppelt so groß sein wie ein anderer.

Warum das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir machen keine Rallye, aber wir lernen Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Das Konzept eines Derivats

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments.

Zuwachs In der Mathematik nennt man Veränderung Veränderung. Es wird aufgerufen, wie stark sich das Argument () bei der Bewegung entlang der Achse geändert hat Argumentinkrement und bezeichnet mit Wie stark sich die Funktion (Höhe) geändert hat, wenn man sich entlang der Achse um eine Strecke vorwärts bewegt, wird aufgerufen Funktionsinkrement und ist markiert.

Die Ableitung einer Funktion ist also die Beziehung zu when. Die Ableitung bezeichnen wir mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Strich von rechts oben: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Aber ist die Ableitung gleich Null? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Tatsächlich ändert sich die Höhe überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: der Ableitung dauerhafte Funktion(Konstante) ist Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede Null ist.

Nehmen wir das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf diese Weise anzuordnen verschiedene Seiten von oben, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Am Ende, wenn wir uns unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments unendlich klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (strebt nicht, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Dies lässt sich folgendermaßen verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links oben nimmt die Funktion zu und rechts ab. Wie wir bereits früher herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher zwischen negativ und positive Werte muss sein. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für das Tal (der Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in einen Wert. Ab welchem Wert wechseln wir? Was ist aus ihm (Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Erhöhen Sie die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wohin das Argument geht, geht die Funktion dorthin: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt mit einem Inkrement des Arguments gleich.
Das Gleiche gilt für eine Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

IN verschiedene Punkte Bei gleicher Erhöhung des Arguments ist die Erhöhung der Funktion unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt ihre eigene hat (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion wird eine Funktion genannt, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Und – in jedem Fall: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern Sie sich an die Definition eines Derivats:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Funktionsinkrement?

Inkrement ist. Aber die Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist:

Die Ableitung von ist:

b) Überlegen Sie nun quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund eines anderen Termes unbedeutend ist:

Wir haben also eine andere Regel:

c) Weiter logische Reihe: .

Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Arten vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder zerlegen Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Kubikzahlen in Faktoren. Versuchen Sie es selbst auf eine der vorgeschlagenen Arten.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel mit auf eine Potenzfunktion verallgemeinert werden kann willkürlicher Indikator, nicht einmal eine Ganzzahl:

(2)

Sie können die Regel mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und verringert sich dann um“.

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung von Funktionen:

(auf zwei Arten: durch die Formel und durch die Definition der Ableitung – durch Zählen des Inkrements der Funktion);

. Ob Sie es glauben oder nicht, dies ist eine Potenzfunktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist es? Und wo ist der Abschluss?“, Merken Sie sich das Thema „“!
Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein gebrochener:.
Unsere Quadratwurzel ist also nur eine Potenz mit einem Exponenten:
.
Wir suchen die Ableitung mit der kürzlich erlernten Formel:
Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!! (über den Abschluss mit negativer Indikator)
. Nun der Exponent:
Und nun zur Definition (haben Sie es schon vergessen?):
;
.
Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
.
. Kombination früherer Fälle: .

trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus höhere Mathematik:

Wenn Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Jahr des Instituts (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie die Prüfung gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm punktiert wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion. Dies ist das eigentliche „Streben“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nimm einen Taschenrechner, wir sind noch nicht bei der Prüfung.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, den Rechner in den Bogenmaßmodus zu schalten!

usw. Wir sehen, je kleiner die nähere Bedeutung Beziehung zu.

a) Betrachten Sie eine Funktion. Wie üblich finden wir sein Inkrement:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“):.

Nun die Ableitung:

Machen wir eine Substitution: . Dann ist es für unendlich klein auch unendlich klein: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn ein unendlich kleiner Wert in der Summe (also bei) vernachlässigt werden könnte?

Also bekommen wir nächste Regel:die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um Basisderivate („Tabellenderivate“). Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt;
Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

Zuerst finden wir die Ableitung in Gesamtansicht und ersetzen Sie es dann durch seinen Wert:
;
.
Hier haben wir etwas Ähnliches Power-Funktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
normales Aussehen:
.
Ok, jetzt können Sie die Formel verwenden:
.
.
. Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen immer noch nicht, wie wir solche Derivate finden können. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine solche Funktion, deren Ableitung für jeden gleich dem Wert der Funktion selbst für denselben ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion ist eine Konstante – sie ist unendlich Dezimal, also eine irrationale Zahl (z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Die Regel lautet also:

Es ist sehr leicht zu merken.

Nun, lasst uns nicht weit gehen, lasst uns sofort darüber nachdenken Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung von Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis eine Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennt man „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Aussteller und natürlicher Logarithmus- Funktionen sind hinsichtlich der Ableitung einzigartig einfach. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, auf die wir später noch eingehen werden Gehen wir die Regeln durch Differenzierung.

Differenzierungsregeln

Welche Regeln? Nochmal neuer Ausdruck, nochmal?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Nur und alles. Was ist ein anderes Wort für diesen Prozess? Nicht proizvodnovanie... Das Differential der Mathematik wird als Inkrement der Funktion at bezeichnet. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung.

Wenn einige konstante Zahl(konstant), also.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lassen Sie, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

am Punkt;
am Punkt;
am Punkt;
am Punkt.

Lösungen:

(Die Ableitung ist in allen Punkten gleich, da sie es ist lineare Funktion, erinnern?);

Derivat eines Produkts

Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und ermitteln deren Inkrement:

Derivat:

Beispiele:

Finden Sie Ableitungen von Funktionen und;
Finden Sie die Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung der Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion finden und nicht nur den Exponenten (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Wo ist also eine Zahl?

Wir kennen die Ableitung der Funktion bereits, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dafür verwenden wir einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung des Exponenten sehr ähnlich war: So wie es war, erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet werden kann, das heißt, es gibt keine Möglichkeit, sie in mehr aufzuschreiben einfache Form. Daher bleibt es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Sie kennen bereits die Ableitung des natürlichen Logarithmus:

Um also eine beliebige Zahl aus dem Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus zur Basis bringen. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir statt:

Es stellte sich heraus, dass der Nenner nur eine Konstante war (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung ist ganz einfach:

Ableitungen von Exponential- und logarithmische Funktionen kommen in der Prüfung fast nie vor, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arcustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Ihnen der Logarithmus jedoch schwierig erscheint, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und alles wird klappen), aber in Bezug auf die Mathematik bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Es stellt sich ein solches zusammengesetztes Objekt heraus: ein Schokoriegel, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um Schokolade zu essen, müssen Sie es tun umgekehrte Aktionen V umgekehrte Reihenfolge.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Sie geben uns also eine Zahl (Schokolade), ich ermittle ihren Kosinus (Umschlag), und dann quadrieren Sie, was ich habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist das Beispiel komplexe Funktion: Wenn wir, um ihren Wert zu ermitteln, die erste Aktion direkt mit der Variablen ausführen und dann eine weitere zweite Aktion mit dem, was als Ergebnis der ersten Aktion passiert ist.

Wir können die gleichen Aktionen auch in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst quadrierst du und dann suchst du nach dem Kosinus der resultierenden Zahl:. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Wichtiges Merkmal komplexe Funktionen: Wenn Sie die Reihenfolge der Aktionen ändern, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (gleich). .

Die letzte Aktion, die wir ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion bzw. die zuerst ausgeführte Aktion „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Die Trennung von inneren und äußeren Funktionen ähnelt stark der Veränderung von Variablen: zum Beispiel in der Funktion

Welche Maßnahmen werden wir zuerst ergreifen? Zuerst berechnen wir den Sinus und erhöhen ihn erst dann auf einen Würfel. Es handelt sich also um eine interne Funktion, nicht um eine externe.
Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun extrahieren wir unsere Schokolade – suchen Sie nach dem Derivat. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Angewendet Originalbeispiel es sieht aus wie das:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Alles scheint einfach zu sein, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt nur noch nicht zu reduzieren! Unter dem Kosinus wird nichts herausgenommen, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich hier um eine dreistufige komplexe Funktion handelt: Schließlich ist dies an sich bereits eine komplexe Funktion, und wir extrahieren daraus noch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (Schokolade in eine Hülle legen). und mit einer Schleife in einer Aktentasche). Aber es gibt keinen Grund zur Angst: Wie auch immer, wir werden diese Funktion in der gleichen Reihenfolge wie gewohnt „entpacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf - wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Funktionsableitung- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments bei einem infinitesimalen Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante ergibt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung:

Ableitung der Summe:

Derivatprodukt:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen beim Finden von Ableitungen für die einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen entstand durch die Definition der Ableitung als Grenze des Verhältnisses von Inkrement zu Inkrement des Arguments eine Tabelle mit Ableitungen, und zwar genau bestimmte Regeln Differenzierung. Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) waren die ersten, die sich mit der Suche nach Derivaten beschäftigten.

Daher ist es heutzutage zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion nicht erforderlich, die oben genannte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern lediglich die Tabelle zu verwenden von Derivaten und die Regeln der Differenzierung. Zur Ermittlung der Ableitung eignet sich der folgende Algorithmus.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Strichzeichen in Einzelteile zerlegen einfache Funktionen und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) Diese Funktionen hängen zusammen. Weitere Derivate elementare Funktionen wir finden in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen von Produkt, Summe und Quotient - in den Differenzierungsregeln. Die Tabelle der Ableitungen und Differenzierungsregeln folgt den ersten beiden Beispielen.

Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Differenzierungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung der Summe der Funktionen die Summe der Ableitungen von Funktionen ist, d.h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von „X“ gleich eins ist und die Ableitung des Sinus der Kosinus ist. Wir ersetzen diese Werte in der Summe der Ableitungen und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Differenzieren als Ableitung der Summe, bei der der zweite Term mit einem konstanten Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden kann:

Wenn es noch Fragen gibt, woher etwas kommt, werden diese in der Regel nach der Lektüre der Ableitungstabelle und der einfachsten Differenzierungsregeln klar. Wir gehen jetzt zu ihnen.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstante (Zahl). Beliebige Zahl (1, 2, 5, 200...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer Null. Dies ist sehr wichtig, da dies sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Am häufigsten „x“. Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, sich daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nicht-Quadratwurzeln in eine Potenz umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen hoch -1
5. Ableitung Quadratwurzel
6. Sinusableitung
7. Kosinus-Ableitung
8. Tangentenableitung
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arcuskosinus
12. Ableitung des Arcustangens
13. Ableitung des Umkehrtangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung der Exponentialfunktion

Differenzierungsregeln

1. Ableitung der Summe oder Differenz
2. Derivat eines Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1Wenn funktioniert

sind irgendwann differenzierbar, dann am gleichen Punkt die Funktionen

Und

diese. Derivat algebraische Summe Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen um eine Konstante unterscheiden, dann sind es auch ihre Ableitungen, d.h.

Regel 2Wenn funktioniert

sind irgendwann differenzierbar, dann ist auch ihr Produkt am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Konsequenz 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden:

Konsequenz 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes einzelnen Faktors und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar Und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbar.u/v , und

diese. Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist und dessen Nenner das Quadrat des ersteren Zählers ist .

Wo Sie auf anderen Seiten suchen können

Bei der Ermittlung der Ableitung des Produkts und des Quotienten in echte Aufgaben Es ist daher immer erforderlich, mehrere Differenzierungsregeln gleichzeitig anzuwenden mehr Beispiele zu diesen Derivaten - im Artikel„Die Ableitung eines Produkts und eines Quotienten“.

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in der Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Im Fall eines Termes ist seine Ableitung gleich Null und im Fall von konstanter Faktor es wird aus dem Vorzeichen der Derivate genommen. Das typischer Fehler, was am auftritt Erstphase Ableitungen lernen, aber da sie mehrere Ein-Zwei-Komponenten-Beispiele lösen, macht der durchschnittliche Schüler diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn man bei der Differenzierung eines Produkts oder eines Quotienten einen Term hat u"v, indem u- eine Zahl, zum Beispiel 2 oder 5, also eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (ein solcher Fall wird in Beispiel 10 analysiert) .

Andere häufiger Fehler - mechanische Lösung Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion einem separaten Artikel gewidmet. Aber zuerst lernen wir, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Auf Transformationen von Ausdrücken kann man dabei nicht verzichten. Dazu müssen Sie möglicherweise neue Windows-Handbücher öffnen Taten mit Kraft und Wurzeln Und Aktionen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen mit Potenzen und Wurzeln suchen, also wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion „Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln“.

Wenn Sie eine Aufgabe haben wie , dann befinden Sie sich in der Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“.

Schritt-für-Schritt-Beispiele – wie man die Ableitung findet

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir bestimmen die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt das Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, in deren zweitem einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall ist in jeder Summe der zweite Term mit einem Minuszeichen versehen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. „x“ wird also zu eins und minus 5 zu null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir bekommen die folgenden Werte Derivate:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die für die Problembedingung erforderlich ist:

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten ermitteln. Wir wenden die Formel zur Differenzierung eines Quotienten an: Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und Der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für solche Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Stapel von Wurzeln und Graden gibt, wie zum Beispiel: Dann willkommen im Unterricht „Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln“ .

Wenn Sie mehr über Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen erfahren möchten trigonometrische Funktionen, das heißt, wenn die Funktion aussieht , dann hast du eine Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ .

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen Faktor die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, deren Ableitung wir in der Ableitungstabelle kennengelernt haben. Durch die Differenzierungsregel des Produkts und Tabellenwert Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir den Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Nach der Differenzierungsregel des Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um den Bruch im Zähler zu entfernen, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit .

Wenn wir der Definition folgen, ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Inkrementverhältnisses der Funktion Δ j zum Inkrement des Arguments Δ X:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, mit dieser Formel beispielsweise die Ableitung der Funktion zu berechnen F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X Sünde X. Wenn Sie alles per Definition machen, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Möglichkeiten.

Zunächst stellen wir fest, dass aus der gesamten Funktionsvielfalt die sogenannten Elementarfunktionen unterschieden werden können. Es ist relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in die Tabelle eingetragen sind. Solche Funktionen und ihre Ableitungen sind leicht zu merken.

Ableitungen elementarer Funktionen

Elementare Funktionen sind alles, was unten aufgeführt ist. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Außerdem ist es nicht schwer, sie auswendig zu lernen – deshalb sind sie elementar.

Also die Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	F(X) = C, C ∈ R	0 (ja, ja, null!)
Grad mit rationalem Exponenten	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = Sünde X	cos X
Kosinus	F(X) = cos X	− Sünde X(minus Sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/sin2 X
natürlicher Logarithmus	F(X) = log X	1/X
Beliebiger Logarithmus	F(X) = log A X	1/(X ln A)
Exponentialfunktion	F(X) = e X	e X(nichts hat sich geändert)

Wird eine Elementarfunktion mit einer beliebigen Konstante multipliziert, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Zum Beispiel:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Natürlich können Elementarfunktionen addiert, multipliziert, dividiert und vieles mehr werden. Auf diese Weise entstehen neue Funktionen, die zwar nicht mehr sehr elementar, aber dennoch differenzierbar sind bestimmte Regeln. Diese Regeln werden im Folgenden besprochen.

Ableitung von Summe und Differenz

Lassen Sie die Funktionen F(X) Und G(X), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher der Unterschied F − G kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) G, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.

F(X) = X 2 + sinx; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funktion F(X) ist die Summe zweier Elementarfunktionen, also:

F ’(X) = (X 2+ Sünde X)’ = (X 2)' + (Sünde X)’ = 2X+ cosx;

Wir argumentieren ähnlich für die Funktion G(X). Nur gibt es bereits drei Begriffe (aus algebraischer Sicht):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Antworten:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat eines Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, daher glauben viele Menschen, dass, wenn die Ableitung der Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts gleich ist schlagen"\u003e gleich dem Produkt der Ableitungen. Aber Feigen für Sie! Die Ableitung des Produkts wird nach einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Die Folge sind falsch gelöste Probleme.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = X 3 cosx; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funktion F(X) ist ein Produkt zweier Elementarfunktionen, daher ist alles einfach:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' weil X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X Sünde X)

Funktion G(X) Der erste Multiplikator ist etwas komplizierter, aber allgemeines Schema das ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Multiplikator der Funktion G(X) ist ein Polynom und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Antworten:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X Sünde X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht notwendig, aber die meisten Ableitungen werden nicht allein berechnet, sondern zur Erkundung der Funktion. Das bedeutet, dass die Ableitung weiter mit Null gleichgesetzt wird, ihre Vorzeichen ermittelt werden und so weiter. In einem solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck in Faktoren zu zerlegen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(X) Und G(X), Und G(X) ≠ 0 auf der für uns interessanten Menge, können wir eine neue Funktion definieren H(X) = F(X)/G(X). Für eine solche Funktion kann man auch die Ableitung finden:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum G 2? Und so! Dies ist eines der meisten komplexe Formeln Ohne eine Flasche kommt man nicht dahinter. Daher ist es besser, es weiter zu studieren konkrete Beispiele.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Im Zähler und Nenner jedes Bruchs gibt es Elementarfunktionen, wir brauchen also nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Traditionell zerlegen wir den Zähler in Faktoren – das vereinfacht die Antwort erheblich:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Es reicht beispielsweise aus, die Funktion zu übernehmen F(X) = Sünde X und ersetzen Sie die Variable X, sagen wir, auf X 2+ln X. Es stellt sich heraus F(X) = Sünde ( X 2+ln X) ist eine komplexe Funktion. Sie hat auch eine Ableitung, aber es wird nicht funktionieren, sie nach den oben besprochenen Regeln zu finden.

Wie sein? In solchen Fällen hilft der Ersatz einer Variablen und die Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(X) = F ’(T) · T', Wenn X wird ersetzt durch T(X).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es anhand konkreter Beispiele zu erklären detaillierte Beschreibung jeder Schritt.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = Sünde ( X 2+ln X)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(X) anstelle von Ausdruck 2 X+ 3 wird einfach sein X, dann erhalten wir eine Elementarfunktion F(X) = e X. Deshalb nehmen wir eine Substitution vor: sei 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Wir suchen die Ableitung einer komplexen Funktion nach der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt – Achtung! Durchführen einer umgekehrten Substitution: T = 2X+ 3. Wir erhalten:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an G(X). Muss offensichtlich ersetzt werden. X 2+ln X = T. Wir haben:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (Sünde T)’ · T' = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = X 2+ln X. Dann:

G ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

Das ist alles! Wie aus gesehen letzter Ausdruck, das ganze Problem wurde auf die Berechnung der Ableitung der Summe reduziert.

Antworten:
F ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) weil( X 2+ln X).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Schlaganfall“. Zum Beispiel ein Strich aus der Summe ist gleich der Summe Schlaganfälle. Ist das klarer? Das ist gut.

Daher kommt es bei der Berechnung der Ableitung darauf an, genau diese Striche gemäß den oben diskutierten Regeln zu beseitigen. Als letztes Beispiel Kehren wir zur Ableitungspotenz mit einem rationalen Exponenten zurück:

(X N)’ = N · X N − 1

Das wissen nur wenige in der Rolle N kann durchaus handeln eine Bruchzahl. Zum Beispiel ist die Wurzel X 0,5 . Was aber, wenn unter der Wurzel etwas Kniffliges steckt? Auch hier entsteht eine komplexe Funktion – solche Konstruktionen gibt man gerne weiter Kontrollarbeit und Prüfungen.

Aufgabe. Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Schreiben wir zunächst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten um:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Jetzt nehmen wir eine Substitution vor: let X 2 + 8X − 7 = T. Wir finden die Ableitung nach der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' T' = 0,5 T−0,5 T ’.

Wir führen eine umgekehrte Substitution durch: T = X 2 + 8X− 7. Wir haben:

F ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Zum Schluss zurück zu den Wurzeln:

Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen bei der Suche nach Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen durch Definition der Ableitung als Grenze des Verhältnisses von Inkrement zu Inkrement des Arguments entstand eine Tabelle mit Ableitungen und genau definierten Differenzierungsregeln . Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) waren die ersten, die sich mit der Suche nach Derivaten beschäftigten.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Strichzeichen Zerlegen Sie einfache Funktionen und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) Diese Funktionen hängen zusammen. Darüber hinaus finden sich die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen von Produkt, Summe und Quotient in den Differenzierungsregeln. Die Tabelle der Ableitungen und Differenzierungsregeln folgt den ersten beiden Beispielen.

Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Differenzierungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung der Summe der Funktionen die Summe der Ableitungen von Funktionen ist, d.h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von „x“ gleich eins und die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist. Wir ersetzen diese Werte in der Summe der Ableitungen und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Differenzieren als Ableitung der Summe, bei der der zweite Term mit einem konstanten Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden kann:

Wenn es noch Fragen gibt, woher etwas kommt, werden diese in der Regel nach der Lektüre der Ableitungstabelle und der einfachsten Differenzierungsregeln klar. Wir gehen jetzt zu ihnen.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

Regel 1 Wenn funktioniert

sind irgendwann differenzierbar, dann am gleichen Punkt die Funktionen

diese. die Ableitung der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen um eine Konstante unterscheiden, dann sind es auch ihre Ableitungen, d.h.

Regel 2 Wenn funktioniert

sind irgendwann differenzierbar, dann ist auch ihr Produkt am selben Punkt differenzierbar

diese. Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Konsequenz 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden:

Konsequenz 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes einzelnen Faktors und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3 Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar Und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbar. u/v , und

Wo Sie auf anderen Seiten suchen können

Bei der Bestimmung der Ableitung des Produkts und des Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Differenzierungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie im Artikel weitere Beispiele zu diesen Ableitungen. „Ableitung von Produkt und Quotient von Funktionen“.

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in der Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist seine Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird sie aus dem Vorzeichen der Ableitungen genommen. Dies ist ein typischer Fehler, der in der Anfangsphase des Studiums von Derivaten auftritt, aber wenn der durchschnittliche Schüler mehrere Ein-Zwei-Komponenten-Beispiele löst, macht der durchschnittliche Schüler diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn man bei der Differenzierung eines Produkts oder eines Quotienten einen Term hat u‘v, indem u- eine Zahl, zum Beispiel 2 oder 5, also eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (ein solcher Fall wird in Beispiel 10 analysiert) .

Ein weiterer häufiger Fehler ist die mechanische Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion einem separaten Artikel gewidmet. Aber zuerst lernen wir, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Auf Transformationen von Ausdrücken kann man dabei nicht verzichten. Dazu müssen Sie möglicherweise neue Windows-Handbücher öffnen Taten mit Kraft und Wurzeln Und Aktionen mit Brüchen.

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen mit Potenzen und Wurzeln suchen, also wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion „Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln“.

Wenn Sie eine Aufgabe haben wie , dann befinden Sie sich in der Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“.

Schritt-für-Schritt-Beispiele – wie man die Ableitung findet

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall ist in jeder Summe der zweite Term mit einem Minuszeichen versehen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. „X“ wird also zu Eins und minus 5 zu Null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten die folgenden Werte von Derivaten:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die für die Problembedingung erforderlich ist:

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen trigonometrischen Funktionen erfahren möchten, dann erfahren Sie, wie die Funktion aussieht , dann hast du eine Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“.

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen Faktor die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, deren Ableitung wir in der Ableitungstabelle kennengelernt haben. Nach der Produktdifferenzierungsregel und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Um den Bruch im Zähler zu entfernen, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit:

Finden Sie selbst Derivate und sehen Sie sich dann Lösungen an

Beispiel 7 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 8 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach Derivaten

Beispiel 9 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wenn wir die Regeln zur Berechnung der Ableitung der algebraischen Funktionssumme anwenden, den konstanten Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung und die Formel für den Ableitungsgrad (in der Ableitungstabelle - unter Nummer 3) herausnehmen, erhalten wir

Beispiel 10 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an und ermitteln dann die Ableitungen der Faktoren, genau wie im vorherigen Problem, indem wir Formel 3 aus der Ableitungstabelle verwenden. Dann bekommen wir

Beispiel 11. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wie in den Beispielen 4 und 6 wenden wir die Differenzierungsregel des Quotienten an:

Jetzt berechnen wir die Ableitungen im Zähler und haben das gewünschte Ergebnis:

Beispiel 12. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Schritt 1. Wir wenden die Differenzierungsregel der Summe an:

Schritt 2. Finden Sie die Ableitung des ersten Termes. Dies ist die tabellarische Ableitung der Quadratwurzel (Nummer 5 in der Ableitungstabelle):

Schritt 3. Privat ist der Nenner auch eine Wurzel, aber keine Quadratzahl. Deshalb wandeln wir diese Wurzel in eine Potenz um:

Die Wurzel der Konstante ist, wie Sie sich vorstellen können, ebenfalls eine Konstante, und die Ableitung der Konstante ist, wie wir aus der Ableitungstabelle wissen, gleich Null:

und die im Zustand des Problems erforderliche Ableitung:

Holen Sie sich KOSTENLOS ein PDF-Tutorial mit 33 Lösungsbeispielen. Finden Sie die Ableitung: einen Algorithmus am Beispiel einfacher Elementarfunktionen

Wir erinnern Sie noch einmal daran komplexe Beispiele zur Ableitung des Produkts und des Quotienten - in den Artikeln „Die Ableitung des Produkts und des Quotienten von Funktionen“ und „Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln“.

Differenzierungsregeln. Ableitung des Produkts von Funktionen.

Differenzierung- Definition von Ableitungen und Differentialen aller Ordnungen aus einer Funktion einer Variablen und zusätzlich partieller Ableitungen und Differentiale, Gesamtdifferenzen aus Funktionen der meisten Variablen.

Beweis der Regel zur Differenzierung des Produkts zweier Funktionen:

Wir schreiben den Grenzwert des Verhältnisses des Inkrements des Funktionsprodukts zum Inkrement des Arguments auf. Wir berücksichtigen Folgendes:

(Das Erhöhen der Funktion tendiert zu 0, wenn das Argument erhöht wird, das zu 0 tendiert.)

Schauen wir uns nun einige Beispiele der oben genannten Regel an.

In diesem Beispiel. Wenden wir die Derivatproduktregel an:

Wir schauen uns die Ableitungstabelle der wichtigsten Elementarfunktionen an und finden die Lösung:

Finden wir die Ableitung der Funktion:

IN dieses Beispiel . Bedeutet:

Schauen wir uns nun die Variante zur Bestimmung der Ableitung des Produkts von 3 Funktionen an. Nach einem solchen System wird das Produkt aus 4, 5 und 25 Funktionen differenziert.

Wir gehen von der Differenzierungsregel des Produkts zweier Funktionen aus. Funktion f(x) wir betrachten die Arbeit (1+x) sinx, aber die Funktion g(x) Lass uns nehmen lnx:

Bestimmen Wir wenden erneut die Derivativproduktregel an:

Verwenden wir die Ableitungssummenregel und die Ableitungstabelle:

Wir ersetzen das Ergebnis, das wir erhalten haben:

Aus dem oben Gesagten ist ersichtlich, dass es manchmal notwendig ist, mehr als eine Differenzierungsregel in einem Beispiel anzuwenden. Es ist wichtig, alles konsequent und sorgfältig zu erledigen.

Die Funktion ist der Unterschied zwischen den Ausdrücken und , was bedeutet:

Im ersten Ausdruck nehmen wir den 2. als Vorzeichen der Ableitung heraus und im 2. Ausdruck verwenden wir die Produktdifferenzierungsregel:

Was ist ein Derivat?

Die Ableitung ist eines der Hauptkonzepte der höheren Mathematik. In dieser Lektion stellen wir dieses Konzept vor. Lernen Sie sich einfach kennen, ohne streng mathematische Formulierungen und Beweise.

Mit dieser Einführung können Sie:

- das Wesen einfacher Aufgaben mit einer Ableitung verstehen;

- genau diese Probleme erfolgreich lösen schwierige Aufgaben;

— Bereiten Sie sich auf ernsthaftere Lektionen zum Derivat vor.

Zunächst eine angenehme Überraschung.

Die strenge Definition der Ableitung basiert auf der Grenzwerttheorie und ist ziemlich kompliziert. Es ist ärgerlich. Aber die praktische Anwendung des Derivats erfordert in der Regel kein so umfangreiches und tiefes Wissen!

Für erfolgreiche Umsetzung Bei den meisten Aufgaben in Schule und Universität reicht es aus, es zu wissen nur ein paar Begriffe- die Aufgabe verstehen und nur ein paar Regeln- um es zu lösen. Und alle. Es gefällt.

Sollen wir uns kennenlernen?)

Begriffe und Bezeichnungen.

In der Elementarmathematik gibt es viele davon mathematische Operationen. Addition, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung, Logarithmus usw. Wenn zu diesen Operationen eine weitere Operation hinzugefügt wird, wird die elementare Mathematik höher. Das neuer Betrieb genannt Differenzierung. Die Definition und Bedeutung dieser Operation werden in separaten Lektionen besprochen.

Hier ist es wichtig zu verstehen, dass die Differenzierung nur eine mathematische Operation an einer Funktion ist. Wir nehmen jede Funktion und transformieren sie nach bestimmten Regeln. Das Ergebnis wird sein neue Funktion. Diese neue Funktion heißt: Derivat.

Differenzierung– Aktion auf eine Funktion.

Derivat ist das Ergebnis dieser Aktion.

So wie zum Beispiel Summe ist das Ergebnis der Addition. Oder Privatgelände ist das Ergebnis der Division.

Wenn man die Begriffe kennt, kann man zumindest die Aufgaben verstehen. Der Wortlaut lautet wie folgt: finde die Ableitung einer Funktion; nimm die Ableitung; die Funktion differenzieren; Ableitung berechnen usw. Das ist alles Dasselbe. Natürlich gibt es komplexere Aufgaben, bei denen das Finden der Ableitung (Differenzierung) nur einer der Schritte zur Lösung der Aufgabe ist.

Die Ableitung wird durch einen Strich oben rechts über der Funktion gekennzeichnet. So: du oder f"(x) oder S"(t) usw.

lesen y-Strich, ef-Strich von x, es-Strich von te, na ja, du verstehst es.)

Eine Primzahl kann auch die Ableitung einer bestimmten Funktion bezeichnen, zum Beispiel: (2x+3)‘, (X 3 )’ , (sinx)' usw. Oft wird die Ableitung durch Differentiale dargestellt, aber wir werden eine solche Notation in dieser Lektion nicht betrachten.

Angenommen, wir haben gelernt, die Aufgaben zu verstehen. Es bleibt nichts übrig – zu lernen, wie man sie löst.) Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern: Die Ableitung zu finden ist Transformation einer Funktion nach bestimmten Regeln. Es gibt überraschend wenige dieser Regeln.

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, müssen Sie nur drei Dinge wissen. Drei Säulen, auf denen jede Differenzierung ruht. Hier sind die drei Wale:

1. Tabelle der Ableitungen (Differenzierungsformeln).

3. Ableitung einer komplexen Funktion.

Beginnen wir der Reihe nach. In dieser Lektion betrachten wir die Ableitungstabelle.

Ableitungstabelle.

In der Welt - unendliche Menge Funktionen. Unter diesem Satz gibt es Funktionen, die für am wichtigsten sind praktische Anwendung. Diese Funktionen liegen in allen Naturgesetzen vor. Aus diesen Funktionen können Sie alle anderen wie aus Bausteinen konstruieren. Diese Klasse von Funktionen wird aufgerufen elementare Funktionen. Es sind diese Funktionen, die in der Schule studiert werden – linear, quadratisch, Hyperbel usw.

Differenzierung von Funktionen „von Grund auf“, d.h. basierend auf der Definition der Ableitung und der Grenzwerttheorie - eine ziemlich zeitaufwändige Sache. Und Mathematiker sind auch Menschen, ja, ja! Also haben sie ihr Leben (und unser Leben) vereinfacht. Sie berechneten vor uns Ableitungen elementarer Funktionen. Das Ergebnis ist eine Ableitungstabelle, in der alles fertig ist.)

Hier ist sie, diese Platte für die gängigsten Funktionen. Links ist die Elementarfunktion, rechts ihre Ableitung.

Differenzierungsformeln

Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen

Die Berechnung der Ableitung heißt Differenzierung.

Bezeichnen Sie die Ableitung $y'$ oder $\frac $.

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, wird diese nach bestimmten Regeln in eine andere Funktion umgewandelt.

In Betracht ziehen Ableitungstabelle. Achten wir auf die Tatsache, dass Funktionen nach dem Finden ihrer Ableitungen in andere Funktionen umgewandelt werden.

Die einzige Ausnahme ist $y=e^x$, das sich in sich selbst verwandelt.

Differenzierungsregeln

Am häufigsten ist es bei der Suche nach einer Ableitung erforderlich, nicht nur einen Blick auf die Ableitungstabelle zu werfen, sondern zunächst die Differenzierungsregeln anzuwenden und erst dann die Ableitungstabelle elementarer Funktionen zu verwenden.

1. Die Konstante wird aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen

Differenzieren Sie die Funktion $y=7x^4$.

Finden Sie $y'=(7x^4)'$. Nehmen wir die Zahl $7$ als Vorzeichen der Ableitung heraus, erhalten wir:

Verwenden Sie die Tabelle und ermitteln Sie den Wert der Ableitung der Potenzfunktion:

Wir transformieren das Ergebnis in die in der Mathematik akzeptierte Form:

2. Die Ableitung der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen:

Differenzieren Sie die Funktion $y=7+x-5x^3+4 \sin ⁡x-9\sqrt +\frac -11\cot x$.

Beachten Sie, dass beim Differenzieren alle Potenzen und Wurzeln in die Form $x^>$ umgewandelt werden müssen;

wir nehmen alle Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung:

Nachdem wir uns mit den Regeln befasst haben, werden einige davon (z. B. die letzten beiden) gleichzeitig angewendet, um das Umschreiben eines langen Ausdrucks zu vermeiden.

wir haben einen Ausdruck aus Elementarfunktionen unter dem Vorzeichen der Ableitung erhalten; Verwenden wir die Ableitungstabelle:

in die in der Mathematik akzeptierte Form umwandeln:

$=1-25x^4+4 \cos ⁡x-\frac >+\frac +\frac $ . Beachten Sie, dass beim Finden des Ergebnisses die Begriffe mit Teilkräfte in Wurzeln umwandeln und mit negativen in Brüche.

Kannst du nichts verstehen?

Versuchen Sie, Lehrer um Hilfe zu bitten.

3. Die Formel für die Ableitung des Funktionsprodukts:

Differenzieren Sie die Funktion $y=x^ \ln⁡x$.

Zuerst wenden wir die Regel zur Berechnung der Ableitung des Funktionsprodukts an und verwenden dann die Ableitungstabelle:

4. Die Formel für die Ableitung privater Funktionen:

Differenzieren Sie die Funktion $y=\frac $.

Gemäß den Prioritätsregeln mathematischer Operationen führen wir zuerst eine Division und dann eine Addition und Subtraktion durch. Daher wenden wir zunächst die Regel zur Berechnung der Ableitung des Quotienten an:

Wenden Sie die Regeln für die Ableitung von Summe und Differenz an, öffnen Sie die Klammern und vereinfachen Sie den Ausdruck:

Lassen Sie uns die Funktion $y=\frac $ differenzieren.

Die Funktion y ist ein Quotient zweier Funktionen, daher können wir die Regel zur Berechnung der Ableitung eines Quotienten anwenden, erhalten in diesem Fall jedoch eine umständliche Funktion. Um diese Funktion zu vereinfachen, können Sie den Zähler durch den Nenner Term für Term dividieren:

Wenden wir auf die vereinfachte Funktion die Differenzierungsregel der Summe und Differenz von Funktionen an.

Typ