Direkte und umgekehrte Proportionalitätsregel. Umgekehrte Proportionalität in der Mathematik und im Leben. Städtische Bildungseinrichtung

Trikhleb Daniil, Schüler der 7. Klasse

Kennenlernen der direkten Proportionalität und des direkten Proportionalitätskoeffizienten (Einführung des Konzepts). Neigung”);

Erstellen eines direkten Proportionalitätsgraphen;

Rücksichtnahme relative Position direkte Proportionalitätsdiagramme und lineare Funktion mit den gleichen Winkelkoeffizienten.

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Folienunterschriften:

Direkte Proportionalität und ihr Diagramm

Was ist das Argument und der Wert einer Funktion? Welche Variable heißt unabhängig oder abhängig? Was ist eine Funktion? RÜCKBLICK Was ist der Definitionsbereich einer Funktion?

Methoden zur Angabe einer Funktion. Analytisch (mithilfe einer Formel) Grafisch (mithilfe eines Diagramms) Tabellarisch (mithilfe einer Tabelle)

Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte Koordinatenebene, deren Abszissen den Werten des Arguments entsprechen und deren Ordinaten die entsprechenden Werte der Funktion sind. FUNKTIONSPLAN

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

SCHLIESSEN SIE DIE AUFGABE AB. Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion y = 2 x +1, wobei 0 ≤ x ≤ 4. Machen Sie einen Tisch. Ermitteln Sie anhand des Diagramms den Wert der Funktion bei x=2,5. Bei welchem ​​Wert des Arguments ist der Funktionswert gleich 8?

Definition Direkte Proportionalität ist eine Funktion, die durch eine Formel der Form y = k x angegeben werden kann, wobei x eine unabhängige Variable ist, k jedoch nicht gleich Null Nummer. (k-Koeffizient der direkten Proportionalität) Direkte Proportionalität

8 Graph der direkten Proportionalität – eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung geht (Punkt O(0,0)) Um einen Graphen der Funktion y= kx zu konstruieren, genügen zwei Punkte, von denen einer O (0,0) ist Für k > 0 befindet sich der Graph in den Koordinatenvierteln I und III. Bei k

Graphen von Funktionen der direkten Proportionalität y x k>0 k>0 k

Aufgabe: Bestimmen Sie, welcher der Graphen die Funktion der direkten Proportionalität zeigt.

Aufgabe Bestimmen Sie, welcher Funktionsgraph in der Abbildung dargestellt ist. Wählen Sie eine der drei angebotenen Formeln.

Mündliche Arbeit. Kann ein Graph einer Funktion sein gegebene Formel y= k x, wobei k

Bestimmen Sie, welche der Punkte A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) zum Graphen der direkten Proportionalität gehören, der durch die Formel y = 5x gegeben ist 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - falsch. Punkt A gehört nicht zum Graphen der Funktion y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - richtig. Punkt B gehört zum Graphen der Funktion y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - falsch Punkt C gehört nicht zum Graphen der Funktion y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - wahr. Punkt E gehört zum Graphen der Funktion y=5x

TEST 1 Option 2 Option Nr. 1. Welche der durch die Formel gegebenen Funktionen sind direkt proportional? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

Nr. 2. Notieren Sie die Anzahl der Zeilen y = kx, wobei k > 0 1 Option k

Nr. 3. Bestimmen Sie, welche der Punkte zum Graphen der direkten Proportionalität gehören, der durch die Formel Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 Option C (1, -1), E (0,0) gegeben ist ) Option 2

y =5x y =10x III A VI und IV E 1 2 3 1 2 3 Nein. Richtige Antwort Richtige Antwort Nein.

Erledigen Sie die Aufgabe: Zeigen Sie schematisch, wie der Graph der durch die Formel gegebenen Funktion liegt: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x

AUFGABE Wählen Sie aus den folgenden Diagrammen nur Diagramme mit direkter Proportionalität aus.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funktionen y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Wählen Sie Funktionen der Form y = k x (direkte Proportionalität) und schreiben Sie sie auf

Funktionen der direkten Proportionalität Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x

y Lineare Funktionen, die keine Funktionen direkter Proportionalität sind 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Hausaufgaben: Absatz 15 S. 65-67, Nr. 307; Nr. 308.

Wiederholen wir es noch einmal. Was haben Sie Neues gelernt? Was hast du gelernt? Was ist Ihnen besonders schwer gefallen?

Die Lektion hat mir gefallen und das Thema ist verständlich: Die Lektion hat mir gefallen, aber ich verstehe immer noch nicht alles: Die Lektion hat mir nicht gefallen und das Thema ist nicht klar.

Lineare Funktion

Lineare Funktion ist eine Funktion, die durch die Formel y = kx + b angegeben werden kann,

Dabei ist x die unabhängige Variable, k und b sind einige Zahlen.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Die Zahl k heißt Steigung einer Geraden– Graph der Funktion y = kx + b.

Wenn k > 0, dann ist der Neigungswinkel der Geraden y = kx + b zur Achse X scharf; wenn k< 0, то этот угол тупой.

Wenn die Steigungen der Geraden, die Graphen zweier linearer Funktionen sind, unterschiedlich sind, dann schneiden sich diese Geraden. Und wenn die Winkelkoeffizienten gleich sind, dann sind die Geraden parallel.

Graph einer Funktion y =kx +B, wobei k ≠ 0, eine Gerade parallel zur Geraden y = kx ist.

Direkte Verhältnismäßigkeit.

Direkte Verhältnismäßigkeit ist eine Funktion, die durch die Formel y = kx angegeben werden kann, wobei x eine unabhängige Variable und k eine Zahl ungleich Null ist. Die Zahl k heißt Koeffizient der direkten Proportionalität.

Der Graph der direkten Proportionalität ist eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft (siehe Abbildung).

Die direkte Proportionalität ist ein Sonderfall einer linearen Funktion.

Funktionseigenschafteny =kx:

Umgekehrte Proportionalität

Umgekehrte Proportionalität heißt eine Funktion, die durch die Formel angegeben werden kann:

k
y = -
X

Wo X ist die unabhängige Variable und k– eine Zahl ungleich Null.

Der Graph der umgekehrten Proportionalität wird als Kurve bezeichnet Hyperbel(siehe Bild).

Für eine Kurve, die der Graph dieser Funktion ist, die Achse X Und j wirken als Asymptoten. Asymptote- das ist die Gerade, der sich die Punkte der Kurve nähern, wenn sie sich ins Unendliche entfernen.

k
Funktionseigenschafteny = -:
X

Heute schauen wir uns an, welche Größen als umgekehrt proportional bezeichnet werden, wie ein Diagramm der umgekehrten Proportionalität aussieht und wie Ihnen das alles nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch außerhalb der Schule nützlich sein kann.

So unterschiedliche Proportionen

Verhältnismäßigkeit Nennen Sie zwei Größen, die voneinander abhängig sind.

Die Abhängigkeit kann direkt und umgekehrt sein. Folglich werden die Beziehungen zwischen Größen durch direkte und umgekehrte Proportionalität beschrieben.

Direkte Verhältnismäßigkeit– Dies ist eine solche Beziehung zwischen zwei Größen, bei der eine Zunahme oder Abnahme einer von ihnen zu einer Zunahme oder Abnahme der anderen führt. Diese. Ihre Einstellung ändert sich nicht.

Je mehr Sie sich zum Beispiel für Prüfungen anstrengen, desto besser sind Ihre Noten. Oder je mehr Dinge Sie auf einer Wanderung mitnehmen, desto schwerer wird Ihr Rucksack sein. Diese. Der Aufwand für die Prüfungsvorbereitung ist direkt proportional zu den erzielten Noten. Und die Anzahl der in einen Rucksack gepackten Dinge ist direkt proportional zu seinem Gewicht.

Umgekehrte Proportionalität- Das funktionale Abhängigkeit, bei dem eine Verringerung oder Erhöhung um ein Vielfaches nicht der Fall ist abhängige Menge(es wird als Argument bezeichnet) bewirkt eine proportionale (d. h. gleich häufige) Zunahme oder Abnahme der abhängigen Größe (es wird als Funktion bezeichnet).

Lassen Sie uns veranschaulichen einfaches Beispiel. Sie möchten Äpfel auf dem Markt kaufen. Die Äpfel auf der Theke und der Geldbetrag in Ihrem Portemonnaie stehen in einem umgekehrten Verhältnis. Diese. Je mehr Äpfel Sie kaufen, desto weniger Geld bleibt Ihnen übrig.

Funktion und ihr Graph

Die umgekehrte Proportionalitätsfunktion kann beschrieben werden als: y = k/x. Indem X≠ 0 und k≠ 0.

Diese Funktion hat die folgenden Eigenschaften:

1. Sein Definitionsbereich ist die Menge aller reale Nummern, außer X = 0. D(j): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Der Bereich umfasst alle reellen Zahlen außer j= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Hat keine Maximal- oder Minimalwerte.
4. Es ist seltsam und sein Diagramm ist symmetrisch zum Ursprung.
5. Nicht periodisch.
6. Sein Graph schneidet die Koordinatenachsen nicht.
7. Hat keine Nullen.
8. Wenn k> 0 (d. h. das Argument nimmt zu), nimmt die Funktion in jedem ihrer Intervalle proportional ab. Wenn k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Wenn das Argument zunimmt ( k> 0) negative Werte Funktionen liegen im Intervall (-∞; 0) und positive sind (0; +∞). Wenn das Argument abnimmt ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Der Graph einer Umkehrproportionalitätsfunktion wird Hyperbel genannt. Wie folgt dargestellt:

Probleme der umgekehrten Proportionalität

Um es klarer zu machen, schauen wir uns einige Aufgaben an. Sie sind nicht allzu kompliziert, und wenn Sie sie lösen, können Sie besser erkennen, was umgekehrte Proportionalität ist und wie dieses Wissen in Ihrem täglichen Leben nützlich sein kann.

Aufgabe Nr. 1. Ein Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h. Er brauchte 6 Stunden, um sein Ziel zu erreichen. Wie lange wird er brauchen, um die gleiche Strecke zurückzulegen, wenn er sich mit der doppelten Geschwindigkeit bewegt?

Wir können damit beginnen, eine Formel aufzuschreiben, die die Beziehung zwischen Zeit, Distanz und Geschwindigkeit beschreibt: t = S/V. Stimmen Sie zu, es erinnert uns sehr an die umgekehrte Proportionalitätsfunktion. Und es zeigt an, dass die Zeit, die ein Auto auf der Straße verbringt, und die Geschwindigkeit, mit der es sich bewegt, in einem umgekehrten Verhältnis zueinander stehen.

Um dies zu überprüfen, ermitteln wir V 2, das je nach Bedingung doppelt so hoch ist: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Dann berechnen wir die Entfernung mit der Formel S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nun ist es nicht schwer, die Zeit t 2 herauszufinden, die wir entsprechend den Bedingungen des Problems benötigen: t 2 = 360/120 = 3 Stunden.

Wie Sie sehen, sind Fahrzeit und Geschwindigkeit tatsächlich umgekehrt proportional: Bei einer Geschwindigkeit, die doppelt so hoch ist wie die ursprüngliche Geschwindigkeit, verbringt das Auto zweimal weniger Zeit auf der Straße.

Die Lösung dieses Problems kann auch als Proportion geschrieben werden. Erstellen wir also zunächst dieses Diagramm:

↓ 60 km/h – 6 Std

↓120 km/h – x h

Pfeile zeigen zurück proportionale Abhängigkeit. Sie schlagen dies auch bei der Ausarbeitung der Proportionen vor rechte Seite die Schallplatten müssen umgedreht werden: 60/120 = x/6. Woher bekommen wir x = 60 * 6/120 = 3 Stunden?

Aufgabe Nr. 2. In der Werkstatt sind 6 Arbeiter beschäftigt, die eine bestimmte Arbeitsmenge in 4 Stunden erledigen können. Wenn die Anzahl der Arbeiter halbiert wird, wie lange werden die verbleibenden Arbeiter dann brauchen, um die gleiche Arbeitsmenge zu erledigen?

Lassen Sie uns die Bedingungen des Problems in Form eines visuellen Diagramms aufschreiben:

↓ 6 Arbeiter – 4 Stunden

↓ 3 Arbeiter – x h

Schreiben wir dies als Verhältnis: 6/3 = x/4. Und wir erhalten x = 6 * 4/3 = 8 Stunden. Wenn es 2-mal weniger Arbeiter gibt, verbringen die verbleibenden Arbeiter 2-mal mehr Zeit mit der gesamten Arbeit.

Aufgabe Nr. 3. Es führen zwei Rohre in den Pool. Durch ein Rohr fließt Wasser mit einer Geschwindigkeit von 2 l/s und füllt das Becken in 45 Minuten. Durch ein weiteres Rohr füllt sich der Pool in 75 Minuten. Mit welcher Geschwindigkeit gelangt Wasser durch dieses Rohr in das Becken?

Lassen Sie uns zunächst alle Größen, die uns entsprechend den Problembedingungen zur Verfügung gestellt werden, auf die gleichen Maßeinheiten reduzieren. Dazu geben wir die Füllgeschwindigkeit des Beckens in Litern pro Minute an: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Da sich aus der Bedingung ergibt, dass sich das Becken durch das zweite Rohr langsamer füllt, bedeutet dies, dass die Wasserdurchflussgeschwindigkeit geringer ist. Die Proportionalität ist umgekehrt. Drücken wir die unbekannte Geschwindigkeit durch x aus und erstellen wir das folgende Diagramm:

↓ 120 l/min – 45 Min

↓ x l/min – 75 min

Und dann bilden wir das Verhältnis: 120/x = 75/45, woraus x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

In der Aufgabe wird die Füllrate des Beckens in Litern pro Sekunde ausgedrückt; reduzieren wir die Antwort, die wir erhalten haben, auf die gleiche Form: 72/60 = 1,2 l/s.

Aufgabe Nr. 4. Eine kleine private Druckerei druckt Visitenkarten. Ein Mitarbeiter einer Druckerei arbeitet mit einer Geschwindigkeit von 42 Visitenkarten pro Stunde und arbeitet einen ganzen Tag – 8 Stunden. Wenn er schneller arbeiten und 48 Visitenkarten in einer Stunde drucken würde, wie viel früher könnte er dann nach Hause gehen?

Wir folgen dem bewährten Weg und erstellen entsprechend den Problembedingungen ein Diagramm, wobei wir den gewünschten Wert mit x bezeichnen:

↓ 42 Visitenkarten/Stunde – 8 Stunden

↓ 48 Visitenkarten/h – x h

Wir haben einen umgekehrt proportionalen Zusammenhang: Je mehr Visitenkarten ein Mitarbeiter einer Druckerei pro Stunde druckt, desto weniger Zeit benötigt er für die Erledigung derselben Arbeit. Wenn wir das wissen, erstellen wir eine Proportion:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 Stunden.

So konnte der Mitarbeiter der Druckerei, nachdem er die Arbeit in 7 Stunden erledigt hatte, eine Stunde früher nach Hause gehen.

Abschluss

Es scheint uns, dass diese umgekehrten Proportionalitätsprobleme wirklich einfach sind. Wir hoffen, dass Sie jetzt auch so über sie denken. Und die Hauptsache ist, dass Ihnen das Wissen über die umgekehrt proportionale Abhängigkeit von Größen wirklich mehr als einmal nützlich sein kann.

Nicht nur im Matheunterricht und bei Prüfungen. Aber auch dann, wenn Sie sich auf eine Reise vorbereiten, einkaufen gehen, sich entscheiden, in den Ferien etwas Geld dazuzuverdienen usw.

Sagen Sie uns in den Kommentaren, welche Beispiele für umgekehrte und direkte proportionale Beziehungen Sie um sich herum bemerken. Lass es so ein Spiel sein. Sie werden sehen, wie spannend es ist. Vergessen Sie nicht, diesen Artikel zu teilen in sozialen Netzwerken damit auch deine Freunde und Klassenkameraden spielen können.

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Die beiden Größen werden aufgerufen direkt proportional, wenn einer von ihnen mehrmals zunimmt, erhöht sich der andere um den gleichen Betrag. Wenn also einer von ihnen mehrmals abnimmt, verringert sich der andere um den gleichen Betrag.

Die Beziehung zwischen solchen Größen ist eine direkt proportionale Beziehung. Beispiele für direkte proportionale Abhängigkeit:

1) wann konstante Geschwindigkeit die zurückgelegte Strecke ist direkt proportional zur Zeit;

2) Der Umfang des Quadrats und seine Seite sind gerade proportionale Mengen;

3) Die Kosten eines zu einem Preis gekauften Produkts sind direkt proportional zu seiner Menge.

Um einen direkten proportionalen Zusammenhang von einem umgekehrten zu unterscheiden, können Sie das Sprichwort verwenden: „Je weiter in den Wald hinein, desto mehr Brennholz.“

Es ist praktisch, Probleme mit direkt proportionalen Größen mithilfe von Proportionen zu lösen.

1) Um 10 Teile herzustellen, benötigt man 3,5 kg Metall. Wie viel Metall wird für die Herstellung von 12 dieser Teile benötigt?

(Wir argumentieren so:

1. Platzieren Sie in der gefüllten Spalte einen Pfeil in Richtung von mehr zu weniger.

2. Je mehr Teile, desto mehr Metall wird für ihre Herstellung benötigt. Dies bedeutet, dass es sich um einen direkt proportionalen Zusammenhang handelt.

Für die Herstellung von 12 Teilen werden x kg Metall benötigt. Wir bilden den Anteil (in der Richtung vom Anfang des Pfeils bis zu seinem Ende):

12:10=x:3,5

Um zu finden, müssen Sie das Produkt der Extremterme durch den bekannten Mittelterm dividieren:

Das bedeutet, dass 4,2 kg Metall benötigt werden.

Antwort: 4,2 kg.

2) Für 15 Meter Stoff zahlten sie 1680 Rubel. Wie viel kosten 12 Meter eines solchen Stoffes?

(1. Platzieren Sie in der ausgefüllten Spalte einen Pfeil in der Richtung von der größten zur kleinsten Zahl.

2. Je weniger Stoff Sie kaufen, desto weniger müssen Sie dafür bezahlen. Dies bedeutet, dass es sich um einen direkt proportionalen Zusammenhang handelt.

3. Daher zeigt der zweite Pfeil in die gleiche Richtung wie der erste.

Angenommen, x Rubel kosten 12 Meter Stoff. Wir machen einen Anteil (vom Anfang des Pfeils bis zu seinem Ende):

15:12=1680:x

Um den unbekannten Extremwert der Proportion zu ermitteln, dividieren Sie das Produkt der Mittelwerte durch den bekannten Extremwert der Proportion:

Das bedeutet, dass 12 Meter 1344 Rubel kosten.

Antwort: 1344 Rubel.

Das Konzept der direkten Verhältnismäßigkeit

Stellen Sie sich vor, Sie planen, Ihre Lieblingssüßigkeiten (oder alles, was Ihnen wirklich schmeckt) zu kaufen. Süßigkeiten im Laden haben ihren eigenen Preis. Sagen wir 300 Rubel pro Kilogramm. Je mehr Süßigkeiten Sie kaufen, desto mehr Geld zahlen. Das heißt, wenn Sie 2 Kilogramm wollen, zahlen Sie 600 Rubel, und wenn Sie 3 Kilogramm wollen, zahlen Sie 900 Rubel. Das scheint alles klar zu sein, oder?

Wenn ja, dann ist Ihnen jetzt klar, was direkte Proportionalität ist – ein Konzept, das das Verhältnis zweier voneinander abhängiger Größen beschreibt. Und das Verhältnis dieser Größen bleibt unverändert und konstant: um wie viele Teile einer von ihnen zunimmt oder abnimmt, um die gleiche Anzahl von Teilen nimmt der zweite proportional zu oder ab.

Direkte Proportionalität kann mit der folgenden Formel beschrieben werden: f(x) = a*x, und a in dieser Formel ist Konstante(a = const). In unserem Beispiel über Süßigkeiten ist der Preis ein konstanter Wert, eine Konstante. Es nimmt nicht zu oder ab, egal wie viele Bonbons Sie kaufen. Die unabhängige Variable (Argument) x gibt an, wie viele Kilogramm Süßigkeiten Sie kaufen werden. Und die abhängige Variable f(x) (Funktion) gibt an, wie viel Geld Sie am Ende für Ihren Kauf bezahlen. Wir können die Zahlen also in die Formel einsetzen und erhalten: 600 Rubel. = 300 Rubel. * 2 kg.

Die Zwischenschlussfolgerung lautet: Wenn das Argument zunimmt, nimmt auch die Funktion zu, wenn das Argument abnimmt, nimmt auch die Funktion ab

Funktion und ihre Eigenschaften

Direkte Proportionalfunktion Ist besonderer Fall lineare Funktion. Wenn die lineare Funktion y = k*x + b ist, dann sieht sie für die direkte Proportionalität so aus: y = k*x, wobei k als Proportionalitätskoeffizient bezeichnet wird und immer eine Zahl ungleich Null ist. Es ist einfach, k zu berechnen – es wird als Quotient einer Funktion und eines Arguments ermittelt: k = y/x.

Um es klarer zu machen, nehmen wir ein anderes Beispiel. Stellen Sie sich vor, ein Auto fährt von Punkt A nach Punkt B. Seine Geschwindigkeit beträgt 60 km/h. Wenn wir davon ausgehen, dass die Bewegungsgeschwindigkeit konstant bleibt, kann sie als konstant angenommen werden. Und dann schreiben wir die Bedingungen in der Form: S = 60*t, und diese Formel ähnelt der Funktion der direkten Proportionalität y = k *x. Ziehen wir noch eine Parallele: Wenn k = y/x, dann kann die Geschwindigkeit des Autos berechnet werden, wenn man den Abstand zwischen A und B und die auf der Straße verbrachte Zeit kennt: V = S /t.

Und jetzt von angewandte Anwendungen Nachdem wir über die direkte Proportionalität Bescheid wissen, kehren wir zu ihrer Funktion zurück. Zu den Eigenschaften gehören:

sein Definitionsbereich ist die Menge aller reellen Zahlen (sowie ihre Teilmengen);

Funktion ist ungerade;

Die Änderung der Variablen ist entlang der gesamten Länge der Zahlenlinie direkt proportional.

Direkte Proportionalität und ihr Diagramm

Der Graph einer direkten Proportionalitätsfunktion ist eine Gerade, die den Ursprung schneidet. Um es aufzubauen, reicht es aus, nur einen weiteren Punkt zu markieren. Und verbinden Sie es und den Koordinatenursprung mit einer geraden Linie.

Im Fall eines Graphen ist k die Steigung. Wenn die Steigung kleiner als Null ist (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент Über Null(k > 0), der Graph und die x-Achsenform scharfe Ecke, und die Funktion nimmt zu.

Und eine weitere Eigenschaft des Graphen der direkten Proportionalitätsfunktion steht in direktem Zusammenhang mit der Steigung k. Angenommen, wir haben zwei nichtidentische Funktionen und dementsprechend zwei Graphen. Wenn also die Koeffizienten k dieser Funktionen gleich sind, liegen ihre Graphen parallel zur Koordinatenachse. Und wenn die Koeffizienten k nicht gleich sind, schneiden sich die Graphen.

Beispielprobleme

Lassen Sie uns nun ein paar lösen direkte Proportionalitätsprobleme

Beginnen wir mit etwas Einfachem.

Problem 1: Stellen Sie sich vor, dass 5 Hühner in 5 Tagen 5 Eier gelegt haben. Und wenn es 20 Hühner gibt, wie viele Eier legen sie in 20 Tagen?

Lösung: Bezeichnen wir das Unbekannte mit kx. Und wir werden wie folgt argumentieren: Wie oft mehr Hühner wurde? Teilen Sie 20 durch 5 und finden Sie heraus, dass es 4 ist. Wie oft legen 20 Hennen in den gleichen 5 Tagen mehr Eier? Auch 4 mal mehr. Also, wir finden unsere Eier so: 5*4*4 = 80 Eier werden von 20 Hühnern in 20 Tagen gelegt.

Da das Beispiel nun etwas komplizierter ist, paraphrasieren wir das Problem aus Newtons „Allgemeiner Arithmetik“. Problem 2: Ein Autor kann in 8 Tagen 14 Seiten eines neuen Buches verfassen. Wenn er Assistenten hätte, wie viele Leute wären nötig, um in 12 Tagen 420 Seiten zu schreiben?

Lösung: Wir gehen davon aus, dass die Anzahl der Personen (Autor + Assistenten) mit dem Arbeitsvolumen zunimmt, wenn diese in der gleichen Zeit erledigt werden müssten. Aber wie oft? Wenn wir 420 durch 14 dividieren, stellen wir fest, dass sich die Zahl um das 30-fache erhöht. Da aber je nach Aufgabenstellung mehr Zeit für die Arbeit zur Verfügung steht, erhöht sich die Zahl der Gehilfen nicht um das 30-fache, sondern auf diese Weise: x = 1 (Schreiber) * 30 (mal): 12/8 ( Tage). Lassen Sie uns transformieren und herausfinden, dass x = 20 Personen in 12 Tagen 420 Seiten schreiben.

Lassen Sie uns ein weiteres Problem lösen, das denen in unseren Beispielen ähnelt.

Problem 3: Zwei Autos machen sich auf den gleichen Weg. Einer bewegte sich mit einer Geschwindigkeit von 70 km/h und legte die gleiche Strecke in 2 Stunden zurück, während der andere 7 Stunden brauchte. Finden Sie die Geschwindigkeit des zweiten Autos.

Lösung: Wie Sie sich erinnern, wird der Weg durch Geschwindigkeit und Zeit bestimmt – S = V *t. Da beide Autos die gleiche Distanz zurückgelegt haben, können wir die beiden Ausdrücke gleichsetzen: 70*2 = V*7. Wie finden wir heraus, dass die Geschwindigkeit des zweiten Autos V = 70*2/7 = 20 km/h beträgt?

Und noch ein paar Beispiele für Aufgaben mit Funktionen direkter Proportionalität. Manchmal ist es bei Problemen erforderlich, den Koeffizienten k zu finden.

Aufgabe 4: Bestimmen Sie anhand der Funktionen y = - x/16 und y = 5x/2 deren Proportionalitätskoeffizienten.

Lösung: Wie Sie sich erinnern, ist k = y/x. Das bedeutet, dass für die erste Funktion der Koeffizient gleich -1/16 ist und für die zweite k = 5/2.

Möglicherweise stoßen Sie auch auf eine Aufgabe wie Aufgabe 5: Schreiben Sie die direkte Proportionalität mit einer Formel auf. Sein Graph und der Graph der Funktion y = -5x + 3 liegen parallel.

Lösung: Die Funktion, die uns in der Bedingung gegeben wird, ist linear. Wir wissen, dass die direkte Proportionalität ein Sonderfall einer linearen Funktion ist. Und wir wissen auch, dass ihre Graphen parallel sind, wenn die Koeffizienten von k Funktionen gleich sind. Das bedeutet, dass lediglich der Koeffizient berechnet werden muss bekannte Funktion und stellen Sie die direkte Proportionalität mit der uns bekannten Formel ein: y = k *x. Koeffizient k = -5, direkte Proportionalität: y = -5*x.

Abschluss

Jetzt haben Sie gelernt (oder sich daran erinnert, wenn Sie sich bereits mit diesem Thema befasst haben), wie man es nennt direkte Proportionalität, und schaute es sich an Beispiele. Wir haben auch über die direkte Proportionalitätsfunktion und ihren Graphen gesprochen und mehrere Beispielaufgaben gelöst.

Wenn dieser Artikel nützlich war und Ihnen geholfen hat, das Thema zu verstehen, teilen Sie uns dies in den Kommentaren mit. Damit wir wissen, ob wir für Sie von Nutzen sein können.

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