Irgendwann maß Anya. Stunden- und Minutenzeiger online. Winkel zwischen ihnen. OGE-Aufgaben
Wenden wir uns noch einmal zu Schulaufgaben und Geheimdienstaufgaben. Eine dieser Aufgaben besteht darin, herauszufinden, welchen Winkel die Minute hat und Stunden Zeiger auf einer mechanischen Uhr bei 16 Stunden 38 Minuten, oder eine der Variationen – wie viel Zeit wird es nach Beginn des ersten Tages sein, wenn Stunden- und Minutenzeiger einen Winkel von 70 Grad bilden.
Die einfachste Frage, auf die viele Menschen die falsche Antwort geben. Wie groß ist der Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger bei einer Uhr um 15:15 Uhr?
Die Antwort null Grad ist nicht die richtige Antwort :)
Lass es uns herausfinden.
In 60 Minuten macht der Minutenzeiger eine volle Umdrehung um das Zifferblatt, das heißt, er dreht sich um 360 Grad. Während der gleichen Zeit (60 Minuten) der Stundenzeiger werde den Weg gehen nur ein Zwölftel des Kreises, das heißt, er bewegt sich um 360/12 = 30 Grad
Was die Minute betrifft, ist alles sehr einfach. Einen Anteil bilden Minuten beziehen sich auf den zurückgelegten Winkel, wie eine vollständige Umdrehung (60 Minuten) 360 Grad entspricht.
Somit beträgt der vom Minutenzeiger zurückgelegte Winkel Minuten/60*360 = Minuten*6
Als Ergebnis die Schlussfolgerung Jede verstrichene Minute bewegt den Minutenzeiger um 6 Grad
Großartig! Was ist nun mit dem Wachposten? Das Prinzip ist jedoch dasselbe, nur dass Sie die Zeit (Stunden und Minuten) auf Bruchteile einer Stunde reduzieren müssen.
Zum Beispiel sind 2 Stunden 30 Minuten 2,5 Stunden (2 Stunden und eine halbe Stunde), 8 Stunden und 15 Minuten sind 8,25 (8 Stunden und eine Viertelstunde), 11 Stunden 45 Minuten sind 11 Stunden und eine Dreiviertelstunde ist 8,75)
Somit beträgt der vom Uhrzeiger zurückgelegte Winkel Stunden (in Bruchteilen einer Stunde) * 360,12 = Stunden * 30
Und als Konsequenz das Fazit Jede verstrichene Stunde bewegt den Stundenzeiger um 30 Grad
Winkel zwischen den Zeigern = (Stunde+(Minuten /60))*30 -Minuten*6
Wo Stunde+(Minuten /60)- Dies ist die Position im Uhrzeigersinn
Die Antwort auf das Problem: Welchen Winkel werden die Zeiger einnehmen, wenn die Uhr 15 Stunden und 15 Minuten anzeigt, lautet wie folgt:
15 Stunden 15 Minuten entspricht der Position der Zeiger bei 3 Stunden und 15 Minuten und somit dem Winkel (3+15/60)*30-15*6=7,5 Grad
Bestimmen Sie die Zeit anhand des Winkels zwischen den Pfeilen
Diese Aufgabe ist schwieriger, da wir sie in lösen werden Gesamtansicht, das heißt, bestimmen Sie alle Paare (Stunde und Minute), wann sie sich bilden angegebenen Winkel.
Erinnern wir uns also. Wenn die Zeit als HH:MM (Stunde:Minute) ausgedrückt wird, wird der Winkel zwischen den Zeigern durch die Formel ausgedrückt
Wenn wir nun den Winkel mit dem Buchstaben bezeichnen U und alles umwandeln alternative Ansicht, dann erhalten wir die folgende Formel
Oder wenn wir den Nenner loswerden, erhalten wir die Grundformel, die den Winkel zwischen zwei Zeigern und die Positionen dieser Zeiger auf dem Zifferblatt in Beziehung setzt.
Beachten Sie, dass der Winkel auch negativ sein kann, d. h. Oh, innerhalb einer Stunde können wir denselben Winkel zweimal treffen, Beispielsweise kann ein Winkel von 7,5 Grad bei 15 Stunden 15 Minuten und 15 Stunden und 17,72727272 Minuten liegen
Wenn uns wie im ersten Problem ein Winkel vorgegeben wird, erhalten wir eine Gleichung mit zwei Variablen. Im Prinzip kann es nicht gelöst werden, wenn man nicht die Bedingung akzeptiert, dass Stunde und Minute nur ganze Zahlen sein können.
Unter dieser Bedingung erhalten wir die klassische diophantische Gleichung. Die Lösung dafür ist sehr einfach. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen, sondern die endgültigen Formeln gleich vorstellen
wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.
Wir nehmen natürlich das Ergebnis der Stunden modulo 24 und das Ergebnis der Minuten modulo 60
Zählen wir alle Optionen, wenn Stunden- und Minutenzeiger zusammenfallen? Das heißt, wenn der Winkel zwischen ihnen 0 Grad beträgt.
Wir kennen mindestens zwei solcher Punkte: 0 Stunden und 0 Minuten und 12 Uhr mittags 0 Minuten. Was ist mit dem Rest??
Erstellen wir eine Tabelle, die die Positionen der Pfeile zeigt, wenn der Winkel zwischen ihnen null Grad beträgt
Hoppla! In der dritten Zeile haben wir bei 10 Uhr einen Fehler, die Zeiger stimmen nicht überein. Das erkennt man am Zifferblatt. Was ist los?? Es scheint, als wäre alles richtig berechnet worden.
Der springende Punkt ist jedoch, dass sich der Minutenzeiger im Intervall zwischen 10 und 11 Uhr irgendwo im Bruchteil einer Minute befinden muss, damit die Minuten- und Stundenzeiger übereinstimmen.
Dies lässt sich leicht anhand der Formel überprüfen, indem man statt des Winkels die Zahl Null und statt der Stunde die Zahl 10 einsetzt
Wir erhalten, dass sich der Minutenzeiger zwischen (!!) den Unterteilungen 54 und 55 befindet (genau an der Position 54,545454 Minuten).
Deshalb haben unsere neuesten Formeln nicht funktioniert, da wir angenommen haben, dass Stunden und Minuten ganze Zahlen (!) sind.
Probleme, die beim Einheitlichen Staatsexamen auftreten
Wir werden uns mit Problemen befassen, für die es im Internet Lösungen gibt, gehen aber einen anderen Weg. Vielleicht wird es dadurch für den Teil der Schüler einfacher, der nach einer einfachen und unkomplizierten Möglichkeit sucht, Probleme zu lösen.
Denn je mehr verschiedene Optionen Je besser man Probleme löst, desto besser.
Wir kennen also nur eine Formel und werden sie auch nur verwenden.
Die Zeigeruhr zeigt 1 Stunde 35 Minuten an. In wie vielen Minuten fluchtet der Minutenzeiger zum zehnten Mal mit dem Stundenzeiger?
Die Argumentation der „Löser“ auf anderen Internetquellen hat mich ein wenig müde und verwirrt. Für „Müde“ wie mich lösen wir dieses Problem anders.
Lassen Sie uns feststellen, wann in der ersten (1) Stunde die Minuten- und Stundenzeiger zusammenfallen (Winkel 0 Grad)? Wir setzen die bekannten Zahlen in die Gleichung ein und erhalten
also 1 Stunde und knapp 5,5 Minuten. Ist es früher als 1 Stunde 35 Minuten? Ja! Super, dann berücksichtigen wir diese Stunde bei weiteren Berechnungen nicht.
Wir müssen die 10. Übereinstimmung der Minuten- und Stundenzeiger finden und beginnen mit der Analyse:
zum ersten Mal steht der Stundenzeiger auf 2 Uhr und wie viele Minuten,
das zweite Mal um 3 Uhr und wie viele Minuten
zum achten Mal um 9 Uhr und für einige Minuten
zum neunten Mal um 10 Uhr und wie viele Minuten
zum neunten Mal um 11 Uhr und für einige Minuten
Jetzt müssen Sie nur noch herausfinden, wo sich der Minutenzeiger bei 11 Uhr befindet, damit die Zeiger übereinstimmen
Und jetzt multiplizieren wir das Zehnfache der Umdrehung (also jede Stunde) mit 60 (umrechnen in Minuten) und erhalten 600 Minuten. und berechnen Sie die Differenz zwischen 60 Minuten und 35 Minuten (die angegeben wurden)
Die endgültige Antwort betrug 625 Minuten.
Q.E.D. Es sind keine Gleichungen, Proportionen oder Angaben dazu erforderlich, welcher der Pfeile sich mit welcher Geschwindigkeit bewegt. Es ist alles Lametta. Es reicht aus, eine Formel zu kennen.
Interessanter und schwierige Aufgabe hört sich so an. Bei 20 Uhr beträgt der Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger 31 Grad. Wie lange zeigt der Zeiger die Zeit an, nachdem Minuten- und Stundenzeiger fünfmal einen rechten Winkel gebildet haben?
In unserer Formel sind also wieder zwei der drei Parameter bekannt: 8 und 31 Grad. Wir ermitteln den Minutenzeiger anhand der Formel und erhalten 38 Minuten.
Wann ist der nächste Zeitpunkt, an dem die Pfeile einen rechten Winkel (90 Grad) bilden?
Das heißt, bei 8 Stunden 27,27272727 Minuten ist dies der erste rechte Winkel dieser Stunde und bei 8 Stunden und 60 Minuten der zweite rechte Winkel dieser Stunde.
Der erste rechte Winkel ist relativ zur angegebenen Zeit bereits vergangen, daher zählen wir ihn nicht.
Die ersten 90 Grad um 8 Stunden 60 Minuten (wir können das genau um 9:00 Uhr sagen) - einmal
um 9 Uhr und wie viele Minuten - das sind zwei
um 10 Uhr und wie viele Minuten sind es drei
wieder bei 10 und wie viele Minuten sind 4, also gibt es bei 10 Uhr zwei Zufälle
und um 11 Uhr und wie viele Minuten sind fünf.
Noch einfacher geht es, wenn wir einen Bot nutzen. Geben Sie 90 Grad ein und erhalten Sie die folgende Tabelle
| Zeit auf dem Zifferblatt, wann der angegebene Winkel sein wird | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Das heißt, bei 11 Stunden 10,90 Minuten wird es erst zum fünften Mal sein, dass wieder ein rechter Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger entsteht.
Wir hoffen diese Analyse, hilft Ihnen sowohl bei der Formulierung von Aufgaben für Studierende als auch bei der einfachen Lösung ähnlicher Intelligenztests im Einheitlichen Staatsexamen.
Viel Glück bei deinen Berechnungen!
B. Laborarbeit
Zeitlimit pro Test
Speicherlimit pro Test
Anya und Kirill sind dabei eine physikalische Laborarbeit. In einer der Aufgaben müssen sie einen Wert messen N mal, und das n Berechnen Sie den Durchschnittswert, um den Fehler zu verringern.
Kirill hat bereits seine Messungen vorgenommen und hat bekommen die folgenden ganzzahligen Werte: X 1 , X 2 , ..., X N. Wichtig ist, dass die Werte nahe beieinander liegen, also maximal die Differenz zwischen Maximalwert und Minimalwert beträgt 2 .
Anya nicht Wenn sie die Messungen durchführen möchte, kann sie die Werte jedoch nicht einfach aus Kirills Arbeit kopieren, da der Fehler jeder Messung ein Zufallswert ist und dieser Zufall vom Lehrer notiert wird. Anya möchte solche ganzzahligen Werte schreiben j 1 , j 2 , ..., j N in ihrer Arbeit, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
- der Durchschnittswert von X 1 , X 2 , ..., X N ist gleich dem Durchschnittswert von j 1 , j 2 , ..., j N ;
- Alle Messungen von Anya liegen in den gleichen Grenzen wie alle Messungen von Kirill, d. h. der Maximalwert unter Anyas Werten ist nicht größer als der Maximalwert unter Kirills Werten und der Minimalwert unter Anyas Werten. s-Werte sind nicht kleiner als der Mindestwert unter Kirills Werten;
- die Anzahl gleicher Messungen in Anyas Arbeit und Kirills Arbeit ist so klein wie möglich unter den Optionen, bei denen die vorherigen Bedingungen erfüllt sind. Formal geht der Lehrer alle Werte von Anya einzeln durch, wenn in Kirills Arbeit der gleiche Wert vorhanden ist und dieser noch nicht gestrichen ist, streicht er diesen Anyas Wert und einer von gleichen Werten in Kirills Werk. Die Anzahl der gleichen Messungen ist dann die Gesamtzahl der Streichwerte in Anyas Werk.
Helfen Sie Anya, eine solche Reihe von Messungen zu schreiben, dass die oben genannten Bedingungen erfüllt sind.
Die erste Zeile enthält eine einzelne Ganzzahl N (1 ≤ N ≤ 100 000 ) – die Anzahl der von Kirill durchgeführten Messungen.
Die zweite Zeile enthält eine Folge von ganzen Zahlen X 1 , X 2 , ..., X N ( - 100 000 ≤ X ich ≤ 100 000 ) - die von Kirill durchgeführten Messungen. Es ist garantiert, dass die Differenz zwischen den Maximal- und Minimalwerten zwischen den Werten besteht X 1 , X 2 , ..., X N 2 nicht überschreitet.
Geben Sie in der ersten Zeile die minimal mögliche Anzahl gleicher Messungen an.
In der zweiten Zeile drucken N ganze Zahlen j 1 , j 2 , ..., j N - die Werte, die Anya schreiben sollte. Du kannst Gibt die ganzen Zahlen in beliebiger Reihenfolge aus. Beachten Sie, dass der Mindestwert unter den Werten von Anya nicht kleiner sein sollte als der Mindestwert unter den Werten von Kirill und der Höchstwert unter den Werten von Anya nicht größer sein sollte als der Höchstwert unter den Werten von Kirill.
Problem mit Uhrzeigern. Aufgabe 11
1. Aufgabe 11 (Nr. 99600)
Die Zeigeruhr zeigt 8 Stunden 00 Minuten an. In wie vielen Minuten fluchtet der Minutenzeiger zum vierten Mal mit dem Stundenzeiger?
Diese Aufgabe ist nicht schwieriger als die Aufgabe, sich im Kreis zu bewegen. Unsere Stunden- und Minutenzeiger bewegen sich im Kreis. Der Minutenzeiger vergeht in einer Stunde voller Kreis, also 360°. Bedeutet, seine Geschwindigkeit beträgt 360° pro Stunde. Der Stundenzeiger bewegt sich pro Stunde um einen Winkel von 30° (das ist der Winkel zwischen zwei benachbarten Zahlen auf dem Zifferblatt). Bedeutet, seine Geschwindigkeit beträgt 30° pro Stunde.
Um 8:00 Uhr beträgt der Abstand zwischen den Händen 240°:
Lassen Sie den Minutenzeiger nach t Stunden zum ersten Mal auf den Stundenzeiger treffen. Während dieser Zeit bewegt sich der Minutenzeiger um 360°, der Stundenzeiger um 30° und der Minutenzeiger bewegt sich um 240° weiter als der Stundenzeiger. Wir erhalten die Gleichung:
360°t-30°t=240°
t=240°/330°=8/11
Das heißt, nach 8/11 Stunden treffen sich die Zeiger zum ersten Mal.
Jetzt, vor dem nächsten Treffen, bewegt sich der Minutenzeiger um 360° weiter als der Stundenzeiger. Lassen Sie dies in x Stunden geschehen.
Wir erhalten die Gleichung:
360°x-30°x=360°. Daher ist x=12/11. Und so weiter noch zweimal.
Wir erhalten, dass der Minutenzeiger zum vierten Mal in 8/11+12/11+12/11+12/11 = 4 Stunden = 240 Minuten mit dem Stundenzeiger übereinstimmt.
Antwort: 240 Min.
2. Aufgabe 11 (№ 114773). Die Zeigeruhr zeigt 1 Stunde 35 Minuten an. In wie vielen Minuten fluchtet der Minutenzeiger zum zehnten Mal mit dem Stundenzeiger?
In dieser Aufgabe geben wir die Bewegungsgeschwindigkeit der Pfeile in Grad/Minute an.
Die Geschwindigkeit des Minutenzeigers beträgt 360˚/60=6˚ pro Minute.
Die Geschwindigkeit des Stundenzeigers beträgt 30˚/60=0,5˚ pro Minute.
Bei 0 Uhr stimmten die Positionen von Stunden- und Minutenzeiger überein. 1 Stunde 35 Minuten sind 95 Minuten. Während dieser Zeit bewegte sich der Minutenzeiger um 95x6=570˚=360˚+210˚ und der Stundenzeiger um 95x0,5˚=47,5˚. Und wir haben dieses Bild: 
Die Zeiger treffen sich zum ersten Mal, nachdem sich der Stundenzeiger um , und der Minutenzeiger um 150˚+47,5˚ weiter dreht. Wir erhalten die Gleichung für:
Das nächste Mal treffen sich die Zeiger, wenn der Minutenzeiger einen längeren Kreis durchläuft als der Stundenzeiger: 
Und so 9 Mal.
Der Minutenzeiger wird zum zehnten Mal in Übereinstimmung mit dem Stundenzeiger ausgerichtet 
Protokoll
Versuchen Sie selbst zu entscheiden!
Wenn etwas nicht klappt, verzweifeln Sie nicht, die Antwort und Lösung finden Sie weiter unten.
1. Wie oft am Tag haben Uhranzeigen die Eigenschaft, dass wir durch Vertauschen von Minuten- und Stundenzeiger zu einer aussagekräftigen Uhranzeige gelangen?
2. Wie oft am Tag bilden Stunden- und Minutenzeiger einen rechten Winkel?
3. Wie viele Minuten später überlappen sich die (normalen) Uhrzeiger nach der Ausrichtung wieder?
4. Wie oft ist die Zahl, die angibt, wie oft die Geschwindigkeit des Sekundenzeigers größer ist als die Geschwindigkeit des Minutenzeigers, größer als die Zahl, die angibt, wie oft die Geschwindigkeit des Minutenzeigers größer ist als die Geschwindigkeit des Stundenzeigers?
5. Wie oft werden die Stundenzeiger in 12 Stunden übereinander stehen?
6. Einige Arbeiten wurden in der fünften Stunde begonnen und in der achten Stunde abgeschlossen, und die Uhranzeigen zu Beginn und am Ende der Arbeit werden ineinander umgewandelt, wenn die Stunden- und Minutenzeiger vertauscht werden. Bestimmen Sie die Dauer der Arbeit und zeigen Sie, dass die Pfeile zu Beginn und am Ende der Arbeit gleichermaßen von der vertikalen Richtung abweichen.
7. Wie oft am Tag überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger? Wie wäre es mit einer Sekunde?
8. Die Uhr schlug Mitternacht. Wie oft und zu welchen Zeitpunkten werden die Stunden- und Minutenzeiger bis zur nächsten Mitternacht ausgerichtet?
9. Zwischen welchen Zahlen befindet sich der Sekundenzeiger, wenn der Stundenzeiger nachmittags zum ersten Mal auf den Minutenzeiger ausgerichtet ist?
10. Warum bewegen sich die Uhrzeiger von links nach rechts (im Uhrzeigersinn) und nicht umgekehrt?
11. Bei einer Uhr mit drei Zeigern – Stunde, Minute und Sekunde – stimmen bei 12 Uhr alle drei Zeiger überein. Gibt es andere Zeiten, in denen alle drei Pfeile zusammenfallen?
12. Problem vorgeschlagen Lewis Carroll : Welche Uhren zeigen die Zeit genauer an: diejenigen, die pro Tag eine Minute nachgehen, oder diejenigen, die überhaupt nicht gehen?
13. Um wie viel Grad dreht sich der Minutenzeiger pro Minute? Stunden Zeiger?
14. Bestimmen Sie den Winkel zwischen dem Stunden- und dem Minutenzeiger einer Uhr, die 1 Stunde und 10 Minuten anzeigt, vorausgesetzt, dass sich beide Zeiger mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.
15.
16. Aber Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass dies nicht der einzige Moment ist, in dem sich die Zeiger der Uhren treffen: Sie überholen sich mehrmals im Laufe des Tages. Können Sie uns alle Fälle nennen, in denen das passiert?
17. Wann findet das nächste Treffen statt?
18. Bei 6 Uhr hingegen zeigen beide Zeiger in Richtung gegenüberliegende Seiten. Aber passiert das nur bei 6 Uhr oder gibt es andere Momente, in denen die Zeiger so positioniert sind?
19. Ich schaute auf die Uhr und bemerkte, dass beide Zeiger auf beiden Seiten den gleichen Abstand von der Zahl 6 hatten. Wie spät war das?
20. Zu welcher Zeit ist der Minutenzeiger dem Stundenzeiger genau so weit voraus, wie der Stundenzeiger der Zahl 12 auf dem Zifferblatt voraus ist? Oder gibt es vielleicht mehrere solcher Momente am Tag oder gar keine?
21. Welchen Winkel bildet der Uhrzeiger bei 12:20 Uhr?
22. Finden Sie den Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger a) bei 9 Uhr 15 Minuten; b) um 14:12?
23. Wenn der Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger einer Uhr größer ist als a) um 13:45 oder 22:15; b) um 13:43 oder 22:17; c) t Minuten nach Mittag oder t Minuten vor Mitternacht?
24. Die Zeiger der Uhr sind gerade ausgerichtet. Nach wie vielen Minuten werden sie in entgegengesetzte Richtungen „schauen“?
25. Wie kann man das erklären? gute Uhr In einer Sekunde hat der Minutenzeiger 6 Minuten durchlaufen.
26. Mithilfe eines Präzisionschronometers wurde festgestellt, dass die Stunden- und Minutenzeiger einer Uhr, die gleichmäßig (aber mit der falschen Geschwindigkeit!) läuft, alle 66 Minuten zusammenfallen. Wie viele Minuten pro Stunde geht diese Uhr vor oder nach?
27. In Italien werden Uhren hergestellt, bei denen der Stundenzeiger eine Umdrehung pro Tag macht und der Minutenzeiger 24 Umdrehungen pro Tag macht, und wie üblich ist der Minutenzeiger länger als der Stundenzeiger (bei einer normalen Uhr macht der Stundenzeiger). zwei Umdrehungen pro Tag, der Minutenzeiger macht 24). Betrachten wir alle Positionen der beiden Zeiger und der Nullteilung, die sowohl bei italienischen als auch bei gewöhnlichen Uhren zu finden sind. Wie viele solcher Bestimmungen gibt es? (Die Nullmarke markiert 24 Stunden bei italienischen Uhren und 12 Stunden bei normalen Uhren).
28. Vasya maß mit einem Winkelmesser und notierte in einem Notizbuch die Winkel zwischen Stunden- und Minutenzeiger, zuerst um 8:20 und dann um 9:25. Danach nahm Petja seinen Winkelmesser. Helfen Sie Vasya, die Winkel zwischen den Pfeilen um 10:30 und 11:35 Uhr zu finden.
29. Wie oft fallen Minuten- und Stundenzeiger einer Uhr von 12:00 bis 23:59 Uhr zusammen?
30. Es ist Mittag. Wann stimmen Stunden- und Minutenzeiger das nächste Mal überein?
31. Geben Sie mindestens einen anderen Zeitpunkt als 6:00 und 18:00 Uhr an, wenn die Stunden- und Minutenzeiger einer korrekt laufenden Uhr in entgegengesetzte Richtungen zeigen.
32. Als Petja begann, dieses Problem zu lösen, bemerkte er, dass die Stunden- und Minutenzeiger seiner Uhr einen rechten Winkel bildeten. Während er es löste, war der Winkel immer stumpf, und sobald Petja mit dem Lösen fertig war, wurde der Winkel wieder richtig. Wie lange hat Petja damit verbracht, dieses Problem zu lösen?
33. Petja wachte um acht Uhr morgens auf und bemerkte, dass der Stundenzeiger seines Weckers den Winkel zwischen dem Minutenzeiger und dem Glockenzeiger halbierte und auf die Zahl 8 zeigte. Nach welcher Zeit sollte der Wecker klingeln?
34. Kolya ging zwischen acht und neun Uhr morgens Pilze sammeln, als die Stunden- und Minutenzeiger seiner Uhr ausgerichtet waren. Er kehrte zwischen zwei und drei Uhr nachmittags nach Hause zurück, während die Zeiger seiner Uhr in entgegengesetzte Richtungen zeigten. Wie lange dauerte Kolyas Spaziergang?
35. Der Schüler begann zwischen 9 und 10 Uhr mit der Lösung der Aufgabe und endete zwischen 12 und 13 Uhr. Wie lange hat er gebraucht, um das Problem zu lösen, wenn in dieser Zeit Stunden- und Minutenzeiger der Uhr ihre Plätze getauscht haben?
36. Wie oft am Tag bilden die Stunden- und Minutenzeiger einer ordnungsgemäß laufenden Uhr einen Winkel von 30 Grad?
37. Vor Ihnen steht eine Uhr. Wie viele Zeigerpositionen gibt es, die die Zeit nicht anzeigen können, wenn Sie nicht wissen, welcher Zeiger der Stundenzeiger und welcher Zeiger der Minutenzeiger ist? (Man geht davon aus, dass die Position jedes einzelnen Pfeils genau bestimmt werden kann, es ist jedoch unmöglich, die Bewegung der Pfeile zu überwachen.)
38. In der Welt der Antipoden der Minutenzeiger Die Stunden ticken Mit normale Geschwindigkeit, aber in die entgegengesetzte Richtung. Wie oft pro Tag fallen die Zeiger der antipodischen Uhren a) zusammen; b) Gegenteil?
39. Wie oft am Tag können antipodische Uhren nicht von normalen Uhren zu unterscheiden sein (wenn Sie nicht wissen, wie spät es wirklich ist)?
40. Mittags saß eine Fliege auf dem Sekundenzeiger der Uhr und bewegte sich haltend Regeln befolgen: Wenn es einen Zeiger überholt oder von einem Zeiger überholt wird (außer dem Sekundenzeiger hat die Uhr einen Stunden- und einen Minutenzeiger), dann kriecht die Fliege auf diesen Zeiger. Wie viele Kreise fliegt eine Fliege in einer Stunde?
Muster der Zeit
Finden Sie das Muster der Zeitumstellung auf der Uhr heraus und bestimmen Sie, was die Uhr bei Nummer fünf anzeigen soll.
OGE-Aufgaben
1. Welchen Winkel (in Grad) bilden die Minuten- und Stundenzeiger einer Uhr bei 4 Uhr?2. Welchen Winkel (in Grad) beschreibt der Minutenzeiger in 6 Minuten?
Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen
1. Die Uhr mit Zeigern zeigt 8 Stunden 00 Minuten an. In wie vielen Minuten fluchtet der Minutenzeiger zum vierten Mal mit dem Stundenzeiger?
Diese Aufgabe ist nicht schwieriger als die Aufgabe, sich im Kreis zu bewegen. Unsere Stunden- und Minutenzeiger bewegen sich im Kreis. Der Minutenzeiger dreht in einer Stunde einen vollen Kreis, also 360°. Bedeutet, seine Geschwindigkeit beträgt 360° pro Stunde. Der Stundenzeiger bewegt sich pro Stunde um einen Winkel von 30° (das ist der Winkel zwischen zwei benachbarten Zahlen auf dem Zifferblatt). Bedeutet, seine Geschwindigkeit beträgt 30° pro Stunde.
Um 8:00 Uhr beträgt der Abstand zwischen den Händen 240°:
Lassen Sie den Minutenzeiger nach t Stunden zum ersten Mal auf den Stundenzeiger treffen. Während dieser Zeit bewegt sich der Minutenzeiger um 360°, der Stundenzeiger um 30° und der Minutenzeiger bewegt sich um 240° weiter als der Stundenzeiger. Wir erhalten die Gleichung:
360°t-30°t=240°
t=240°/330°=8/11
Das heißt, nach 8/11 Stunden treffen sich die Zeiger zum ersten Mal.
Jetzt, vor dem nächsten Treffen, bewegt sich der Minutenzeiger um 360° weiter als der Stundenzeiger. Lassen Sie dies in x Stunden geschehen.
Wir erhalten die Gleichung:
360°x-30°x=360°. Daher ist x=12/11. Und so weiter noch zweimal.
Wir erhalten, dass der Minutenzeiger zum vierten Mal in 8/11+12/11+12/11+12/11 = 4 Stunden = 240 Minuten mit dem Stundenzeiger übereinstimmt.
Antwort: 240 Min.
2. Die Zeigeruhr zeigt 1 Stunde 35 Minuten an. In wie vielen Minuten fluchtet der Minutenzeiger zum zehnten Mal mit dem Stundenzeiger?
In dieser Aufgabe geben wir die Bewegungsgeschwindigkeit der Pfeile in Grad/Minute an.
Die Geschwindigkeit des Minutenzeigers beträgt 360˚/60=6˚ pro Minute.
Die Geschwindigkeit des Stundenzeigers beträgt 30˚/60=0,5˚ pro Minute.
Bei 0 Uhr stimmten die Positionen von Stunden- und Minutenzeiger überein. 1 Stunde 35 Minuten sind 95 Minuten. Während dieser Zeit bewegte sich der Minutenzeiger um 95x6=570˚=360˚+210˚ und der Stundenzeiger um 95x0,5˚=47,5˚. Und wir haben dieses Bild: 
Die Zeiger treffen sich zum ersten Mal, nachdem sich der Stundenzeiger um , und der Minutenzeiger um 150˚+47,5˚ weiter dreht. Wir erhalten die Gleichung für:
Das nächste Mal treffen sich die Zeiger, wenn der Minutenzeiger einen längeren Kreis durchläuft als der Stundenzeiger:
Und so 9 Mal.
Der Minutenzeiger wird zum zehnten Mal in Übereinstimmung mit dem Stundenzeiger ausgerichtet Protokoll
1. in 12 Stunden 132, in 24 Stunden 264 Momente plus 22 Overlays insgesamt 286
2. Der Stundenzeiger macht 2 Umdrehungen pro Tag und der Minutenzeiger macht 24 Umdrehungen. Von hier aus überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger 22 Mal und jedes Mal werden zwei rechte Winkel mit dem Stundenzeiger gebildet, d. h. Antwort - 44 .
3. Es ist nicht schwer herauszufinden, dass dies nach 1 Stunde 5 5/11 Minuten, also nach 2 Stunden 10 10/11 Minuten, passieren wird. Das nächste findet nach weiteren 1 Stunde 5 5/11 Minuten statt, also um 3 Stunden 16 4/11 Minuten usw. Alle Treffen werden, wie Sie leicht erkennen können, 11 sein; Der 11. wird 1 1/11 – 12 Stunden nach dem ersten stattfinden, also um 12 Uhr; mit anderen Worten, es fällt mit dem ersten Treffen zusammen und weitere Treffen werden zu denselben Zeitpunkten noch einmal wiederholt.
Hier sind alle Momente der Treffen:
1. Treffen – um 1 Stunde 5 5/11 Minuten
2. " - "2 Stunden 10 10/11 "
3. " - "3 Stunden 16 4/11 "
4. " - "4 Stunden 21 9/11 "
5. " - "5 Uhr 27 3/11 "
6. " - "6 Uhr 32 8/11 "
2 Stunden 46, 153 Min.
7. Der Stundenzeiger macht 2 Umdrehungen pro Tag und der Minutenzeiger macht 24 Umdrehungen. Ab hier überholt der Minutenzeiger den Stundenzeiger 22 mal.
9 . 4 und 5
10. Genau so bewegt sich in den allerersten Stunden der Schatten – die Sonne. Und dann mechanische Uhren kopierte die Bewegungsrichtung der Pfeile. Übrigens, in Südlichen Hemisphäre Das Gegenteil ist der Fall – der Schatten einer Sonnenuhr bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn. In einer Stunde macht der Minutenzeiger eine volle Umdrehung. Das bedeutet, dass es sich in einer Minute um 1/60 eines Winkels von 360°, also 6°, dreht. Der Stundenzeiger bewegt sich in einer Stunde um 1/12 des Kreises, d. h. er bewegt sich 12-mal langsamer als der Minutenzeiger. In einer Minute dreht es sich um 0,5°.
14 . Bei 1:00 Uhr stand der Minutenzeiger 30° hinter dem Stundenzeiger. In den 10 Minuten, die seit diesem Moment vergangen sind, „läuft“ der Stundenzeiger um 5° und der Minutenzeiger um 60°, sodass der Winkel zwischen ihnen 60° – 30° – 5° = 25° beträgt.
15 . Sei x die Zeitspanne in Minuten, die vergehen muss, bevor die Pfeile auf derselben geraden Linie platziert und nach innen gerichtet werden verschiedene Seiten. Während dieser Zeit hat der Minutenzeiger Zeit, sich um x Minutenteilungen des Zifferblatts zu bewegen, und der Stundenzeiger hat Zeit, sich um x/12-Minutenteilungen zu bewegen. Wenn die Zeiger auf derselben geraden Linie platziert und in unterschiedliche Richtungen ausgerichtet sind, werden sie durch 30-Minuten-Unterteilungen des Zifferblatts getrennt. Dies bedeutet, dass zu diesem Zeitpunkt x – x/12 = 30, also x = 32 (8/11). Nach 32 (8/11) Minuten „schauen“ die Pfeile in entgegengesetzte Richtungen.
16 . Beginnen wir mit der Beobachtung der Bewegung der Zeiger bei 12 Uhr. In diesem Moment überdecken sich beide Pfeile gegenseitig. Da sich der Stundenzeiger zwölfmal langsamer bewegt als der Minutenzeiger (er beschreibt einen Vollkreis bei 12 Uhr und der Minutenzeiger bei 1 Stunde), können sich die Zeiger natürlich nicht in der nächsten Stunde treffen. Aber eine Stunde verging; der Stundenzeiger steht auf der Nummer 1, nachdem er 1/12 einer vollen Umdrehung gemacht hat; Die Minutenuhr hat eine volle Umdrehung gemacht und steht wieder bei 12 - 1/12 eines Kreises hinter der Stundenuhr. Jetzt sind die Wettbewerbsbedingungen andere als zuvor: Der Stundenzeiger bewegt sich langsamer als der Minutenzeiger, aber er ist voraus, und der Minutenzeiger muss ihn einholen. Wenn der Wettbewerb eine ganze Stunde dauern würde, würde der Minutenzeiger in dieser Zeit einen vollen Kreis machen und der Stundenzeiger würde 1/12 eines Kreises machen, das heißt, der Minutenzeiger würde 11/12 eines Kreises mehr machen. Um jedoch mit dem Stundenzeiger Schritt halten zu können, muss der Minutenzeiger mehr zurücklegen als der Stundenzeiger, und zwar nur um das 1/12 eines Kreises, der sie trennt. Dies dauert nicht eine ganze Stunde, sondern weniger als 1/12, also weniger als 11/12, also 11 Mal. Das bedeutet, dass sich die Zeiger in 1/11 einer Stunde treffen, also in 60/11 = 5 5/11 Minuten. Die Zeiger treffen sich also 5 5/11 Minuten nach Ablauf einer Stunde, also 5 5/11 Minuten nach zwei.
21. Antwort: Es ist nicht schwer herauszufinden, dass dies nach 1 Stunde 5 5/11 Minuten, also nach 2 Stunden 10 10/11 Minuten, passieren wird. Das nächste findet nach weiteren 1 Stunde 5 5/11 Minuten statt, also um 3 Stunden 16 4/11 Minuten usw. Alle Treffen werden, wie Sie leicht erkennen können, 11 sein; Der 11. wird 1 1/11 – 12 Stunden nach dem ersten stattfinden, also um 12 Uhr; mit anderen Worten, es fällt mit dem ersten Treffen zusammen und weitere Treffen werden zu den gleichen Zeitpunkten noch einmal wiederholt. Hier sind alle Zeitpunkte der Treffen:
24. Lassen Sie beide Zeiger auf 12 stehen, dann bewegt sich der Stundenzeiger um einen bestimmten Teil einer vollen Umdrehung von 12 weg, den wir mit dem Buchstaben x bezeichnen. Gleichzeitig gelang es dem Minutenzeiger, sich 12x zu drehen. Wenn nicht mehr als eine Stunde vergangen ist, ist es zur Erfüllung der Anforderung unserer Aufgabe erforderlich, dass der Minutenzeiger um den gleichen Abstand vom Ende des gesamten Kreises entfernt ist, wie der Stundenzeiger Zeit hat, sich vom Ende des gesamten Kreises zu entfernen Anfang; mit anderen Worten: 1 - 12 x = x Daher 1 = 13 x. Daher ist x = 1/13 einer ganzen Umdrehung. Der Stundenzeiger vollendet diesen Bruchteil einer Umdrehung bei 12/13 Uhr, das heißt, er zeigt 55 5/13 Minuten nach Mitternacht an. Der Minutenzeiger hat gleichzeitig 12 Mal mehr zurückgelegt, also 12/13 einer vollen Umdrehung; Wie Sie sehen können, haben beide Pfeile den gleichen Abstand von 12 und daher auf gegenüberliegenden Seiten den gleichen Abstand von 6. Wir haben eine Position der Pfeile gefunden – genau die, die in der ersten Stunde auftritt. In der zweiten Stunde wird eine ähnliche Situation erneut auftreten; Wir werden es finden, wenn wir gemäß der vorherigen Argumentation argumentieren, aus der Gleichheit 1 – (12x – 1) = x oder 2 – 12x = x, woraus 2 = 13x und daher x = 2/13 einer vollen Umdrehung . In dieser Position stehen die Zeiger bei 1 11/13 Uhr, also bei 50 10/13 Minuten. Beim dritten Mal nehmen die Zeiger die gewünschte Position ein, wenn sich der Stundenzeiger von 12 auf 3/13 eines Vollkreises bewegt, also 2 10/13 Stunden usw. Es gibt 11 Positionen und nach 6 Uhr Die Zeiger wechseln ihre Plätze: Der Stundenzeiger nimmt die Stelle ein, an der sich zuvor der Minutenzeiger befand, und der Minutenzeiger ersetzt den Stundenzeiger. Wenn Sie die Uhr genau beobachten, haben Sie vielleicht die genau entgegengesetzte Anordnung der Zeiger gesehen Jetzt beschrieben: Der Stundenzeiger ist dem Minutenzeiger um den gleichen Betrag voraus, um wie viel ist die Minute von der Zahl 12 nach vorne gerückt. Wann passiert das? Antwort: Zum ersten Mal wird die erforderliche Anordnung der Hände in dem Moment sein, der durch die Gleichheit bestimmt wird: 12x - 1 = x/2, woraus 1 = 11 ½ x, oder x = 2/23 eines Ganzen Umdrehung, also 1 1/23 Stunden nach 12. Das bedeutet, dass bei 1 Stunde 21 4/23 Minuten die Zeiger wie gewünscht positioniert sind. Tatsächlich sollte sich der Minutenzeiger in der Mitte zwischen 12 und 1 1/23 Uhr befinden, also bei 12/23 Uhr, was genau 1/23 einer vollen Umdrehung entspricht (der Stundenzeiger bewegt sich 2/1). 23 einer ganzen Revolution). Beim zweiten Mal werden die Pfeile in der erforderlichen Weise im Moment positioniert, der aus der Gleichung bestimmt wird: 12x - 2 = x/2, woraus 2 = 11 1/2 x und x = 4/23; Der erforderliche Zeitpunkt beträgt 2 Stunden 5 5/23 Minuten. Der dritte gewünschte Zeitpunkt beträgt 3 Stunden 7 19/23 Minuten usw.
Aufgabe 1. (7 Punkte)
Zähler und Nenner des Bruchs - positive Zahlen. Der Zähler wird um 1 und der Nenner um 100 erhöht. Kann der resultierende Bruch größer als der ursprüngliche sein?
Antwort: Ja.
Lösung. Zum Beispiel, . Es gibt viele andere Beispiele.
Kriterien. Beliebig richtiges Beispiel: 7 Punkte.
Eine Antwort ohne Beispiel oder eine falsche Antwort: 0 Punkte.
Aufgabe 2. (7 Punkte)
Die Jungs erhielten die Aufgabe, die Geschwindigkeit der Schildkröte von Zentimetern pro Sekunde in Meter pro Minute umzurechnen. Mascha erhielt die Antwort 25 m/min, glaubte aber gleichzeitig, dass ein Meter 60 cm und eine Minute 100 Sekunden habe. Hilf Mascha, die richtige Antwort zu finden.
Antwort: 9 m/min.
Lösung. In einer Maschinen-„Minute“ legt eine Schildkröte eine Strecke von 25 Maschinen-„Metern“ zurück, das heißt, in 100 Sekunden kriecht sie 25 · 60 Zentimeter. Dann beträgt die Geschwindigkeit der Schildkröte (25 · 60)/100 = 15 cm/Sek. Das bedeutet, dass die Schildkröte in 60 Sekunden 15 Sekunden lang kriecht · 60 Zentimeter, also (15 · 60)/100 = 9 Meter.
Kriterien.
Die Geschwindigkeit in Zentimetern pro Sekunde wurde korrekt ermittelt, der nächste Teil wurde jedoch nicht oder mit einem Fehler ausgeführt: 3 Punkte.
Aufgabe 3. (7 Punkte)
Irgendwann maß Anya den Winkel zwischen den Stunden- und Minutenzeigern ihrer Uhr. Genau eine Stunde später maß sie erneut den Winkel zwischen den Pfeilen. Es stellte sich heraus, dass der Winkel derselbe war. Was könnte dieser Winkel sein?
(Untersuchen Sie alle Fälle.)
Antwort: 15° oder 165°.
Lösung. Nach einer Stunde bleibt der Minutenzeiger an seinem Platz. Gleichzeitig drehte sich der Stundenzeiger um 30°. Da sich der Winkel nicht geändert hat, halbiert der Minutenzeiger einen der Winkel zwischen den Positionen des Stundenzeigers (entweder den Winkel von 30° oder einen zusätzlichen Winkel von 330°).
Das bedeutet, dass entweder der Stundenzeiger auf 15° stand früher oder 165° Später.
Kriterien. Beliebig richtige Lösung: 7 Punkte.
Beide richtigen Antworten werden ohne Begründung oder mit falscher Begründung gegeben: 3 Punkte.
Eine der richtigen Antworten wird vergeben: 1 Punkt.
Aufgabe 4. (7 Punkte)
Zwei Fußgänger machten sich im Morgengrauen auf den Weg. Alle gingen mit konstante Geschwindigkeit. Einer kam von A V B, der andere ist von B V A. Sie trafen sich mittags (d. h. genau um 12 Uhr) und kamen, ohne ihre Bewegungen anzuhalten, an: eins - um B um 16 Uhr und der andere um A um 9 Uhr abends. Wie spät war es an diesem Tag?
Antwort: um 6 Uhr morgens.
Lösung. Wir bezeichnen den Treffpunkt als C. Lass es vom Morgengrauen bis zum Mittag vergehen X Std.
Geschwindigkeit des ersten Fußgängers auf dem Gelände A.C. gleich AC/x, Standort auf B.C. gleich BC/ 4. Seine Geschwindigkeit ist konstant, das heißt AC/x= BC/ 4, das umgeschrieben werden kann als AC/BC= X/ 4 .
Ebenso für den zweiten Fußgänger: Geschwindigkeitsgleichheit in Abschnitten B.C., A.C. ergibt ein Verhältnis BC/x = AC/9, die wir im Formular umschreiben werden Wechselstrom/B.C.= 9X.
Wir verstehen das X/ 4 = 9/x und durch die Proportionalitätseigenschaft X 2 = 36, X= 6 . Die Morgendämmerung war 6 Stunden früher als Mittag, also um 6 Uhr morgens.
Kriterien. Jede richtige Lösung: 7 Punkte.
Der Zeitraum von der Morgendämmerung bis zum Treffen wurde korrekt gefunden, die Zeit der Morgendämmerung wurde jedoch nicht oder mit einem Fehler gefunden: 5 Punkte.
Nur Antwort ohne Lösung: 1 Punkt.
Aufgabe 5. (7 Punkte)
Bestimmen Sie, in wie vielen Punkten sich 10 Geraden schneiden, wenn es unter ihnen nur zwei parallele Geraden gibt und sich genau drei dieser Geraden in einem Punkt schneiden.
Antwort: 42.
Lösung. Nummerieren wir die Linien so, dass sich genau die Linien 1, 2 und 3 in einem Punkt schneiden (wir bezeichnen diesen Punkt als). X). Schreiben wir alle möglichen Linienpaare (1 und 2, 1 und 3, 1 und 4, ..., 8 und 9, 8 und 10, 9 und 10) und ihre Schnittpunkte auf. Es gibt 45 gerade Paare (Paare vom Typ 1 und ` genau 9, Paare vom Typ 2 und ` genau 8 und so weiter; 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45). Bedingung: Genau zwei Geraden sind parallel. Das bedeutet, dass insgesamt 44 Schnittpunkte ausgeschrieben werden. Darüber hinaus sind alle Schnittpunkte von Linien außer X wird genau einmal ausgeschrieben, und der Punkt X erscheint dreimal: für die Linienpaare 1 und 2, 1 und 3, 2 und 3. Löschen Sie zwei aus der Liste der Schnittpunkte zusätzliche Buchstaben X. Es bleiben genau 42 Punkte übrig, und dieses Mal werden alle Schnittpunkte genau einmal gezählt.
Kriterien. Jede richtige Lösung: 7 Punkte.
Die Anzahl der Linienpaare wird richtig berechnet und die richtige Antwort gegeben: 2 Punkte.
Es werden nur Sonderfälle berücksichtigt oder die richtige Antwort wird ohne Begründung gegeben: 1 Punkt.
