Cowboy Michael trifft eine Fliege. Einheitliches Staatsexamen in Mathematik. Lösungen. Geben wir eine andere Lösung

In der Lektion zum Thema „Verwenden der Ableitung zum Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion in einem Intervall“ werden relativ einfache Probleme beim Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem bestimmten Intervall mithilfe der Ableitung untersucht .

Thema: Derivat

Lektion: Verwenden der Ableitung, um die größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion über ein Intervall zu ermitteln

In dieser Lektion werden wir uns mehr ansehen einfache Aufgabe Es wird nämlich das Intervall angegeben, das kontinuierliche Funktion in diesem Intervall. Wir müssen das Beste herausfinden und kleinster Wert gegeben Funktionen auf eine gegebene zwischen.

Nr. 32.1 (b). Gegeben: , . Zeichnen wir einen Graphen der Funktion (siehe Abb. 1).

Reis. 1. Graph einer Funktion.

Es ist bekannt, dass diese Funktion im Intervall zunimmt, was bedeutet, dass sie auch im Intervall zunimmt. Das heißt, wenn Sie den Wert einer Funktion an den Punkten finden und , dann sind die Änderungsgrenzen dieser Funktion, ihre größten und kleinsten Werte bekannt.

Wenn das Argument von auf 8 steigt, erhöht sich die Funktion von auf .

Antwort: ; .

Nr. 32.2 (a) Gegeben: Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem gegebenen Intervall.

Lassen Sie uns diese Funktion grafisch darstellen (siehe Abb. 2).

Wenn sich das Argument über das Intervall ändert, erhöht sich die Funktion von -2 auf 2. Wenn das Argument von steigt, verringert sich die Funktion von 2 auf 0.

Reis. 2. Funktionsgraph.

Finden wir die Ableitung.

, . Wenn , dann gehört dieser Wert auch zum angegebenen Segment. Wenn, dann. Es lässt sich leicht überprüfen, ob andere entsprechende Werte angenommen werden stationäre Punkte den angegebenen Bereich überschreiten. Vergleichen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments und an ausgewählten Punkten, an denen die Ableitung gleich Null ist. Wir werden finden

;

Antwort: ;.

Die Antwort ist also eingegangen. Ableitung in in diesem Fall Sie können es verwenden, Sie können es nicht verwenden, Sie können die zuvor untersuchten Eigenschaften der Funktion anwenden. Dies ist nicht immer der Fall; manchmal ist die Verwendung eines Derivats die einzige Methode, mit der Sie solche Probleme lösen können.

Gegeben: , . Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem bestimmten Segment.

Wenn im vorherigen Fall auf die Ableitung verzichtet werden konnte – wir wussten, wie sich die Funktion verhält, dann ist die Funktion in diesem Fall recht komplex. Daher ist die Technik, die wir in der vorherigen Aufgabe erwähnt haben, uneingeschränkt anwendbar.

1. Finden wir die Ableitung. Finden wir kritische Punkte, also kritische Punkte. Aus ihnen wählen wir diejenigen aus, die zu diesem Segment gehören: . Vergleichen wir den Wert der Funktion an den Punkten , , . Dafür werden wir finden

Lassen Sie uns das Ergebnis in der Abbildung veranschaulichen (siehe Abb. 3).

Reis. 3. Grenzen der Änderungen von Funktionswerten

Wir sehen, dass sich die Funktion im Bereich von -3 bis 4 ändert, wenn sich das Argument von 0 auf 2 ändert. Die Funktion ändert sich nicht monoton: Sie nimmt entweder zu oder ab.

Antwort: ;.

Anhand von drei Beispielen wurde es demonstriert allgemeine Methodik Finden der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem Intervall, in diesem Fall in einem Segment.

Algorithmus zur Lösung des Problems, den größten und kleinsten Wert einer Funktion zu finden:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

2. Finden Sie die kritischen Punkte der Funktion und wählen Sie die Punkte aus, die sich auf einem bestimmten Segment befinden.

3. Finden Sie die Werte der Funktion an den Enden des Segments und an ausgewählten Punkten.

4. Vergleichen Sie diese Werte und wählen Sie den größten und den kleinsten aus.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion.

Der Graph dieser Funktion wurde zuvor betrachtet (siehe Abb. 4).

Reis. 4. Funktionsgraph.

Auf dem Intervall liegt der Wertebereich dieser Funktion . Punkt - Maximalpunkt. Wenn – die Funktion zunimmt, wenn – die Funktion abnimmt. Aus der Zeichnung geht hervor, dass , - nicht existiert.

In der Lektion haben wir uns also mit dem Problem der größten und kleinsten Werte einer Funktion befasst, wenn das gegebene Intervall ein Segment ist; formulierte einen Algorithmus zur Lösung solcher Probleme.

1. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Anleitung für Bildungsinstitutionen (Profilebene) Hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse ( Lernprogramm für Schüler von Schulen und Klassen mit vertiefendes Studium Mathematik).-M.: Pädagogik, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Eingehendes Studium der Algebra und mathematischen Analyse.-M.: Bildung, 1997.

5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an Hochschulen (herausgegeben von M.I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra und die Anfänge der Analysis. 8.-11. Klassen: Ein Handbuch für Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium (didaktische Materialien). - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme der Algebra und Prinzipien der Analysis (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Einrichtungen). - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.

10. Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Klassen 9-10 (Handbuch für Lehrer).-M.: Bildung, 1983

Zusätzliche Webressourcen

2. Portal Naturwissenschaften ().

Machen Sie es zu Hause

Nr. 46.16, 46.17 (c) (Algebra und Anfänge der Analyse, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für allgemeinbildende Einrichtungen (Profilebene), herausgegeben von A. G. Mordkovich. - M.: Mnemozina, 2007.)

Was ist ein Extremum einer Funktion und was ist die notwendige Bedingung für ein Extremum?

Das Extremum einer Funktion ist das Maximum und Minimum der Funktion.

Voraussetzung Das Maximum und das Minimum (Extremum) einer Funktion sind wie folgt: Wenn die Funktion f(x) am Punkt x = a ein Extremum hat, dann ist die Ableitung an diesem Punkt entweder Null oder unendlich oder existiert nicht.

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht ausreichend. Die Ableitung am Punkt x = a kann gegen Null oder Unendlich gehen oder nicht existieren, ohne dass die Funktion an diesem Punkt ein Extremum aufweist.

Was ist die hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion (Maximum oder Minimum)?

Erste Bedingung:

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a positiv und rechts von a negativ ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). maximal

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a negativ und rechts von a positiv ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). Minimum vorausgesetzt, dass die Funktion f(x) hier stetig ist.

Stattdessen können Sie die zweite verwenden ausreichender Zustand Extremum der Funktion:

An der Stelle x = a sei die erste Ableitung f?(x) verschwunden; ist die zweite Ableitung f??(a) negativ, dann hat die Funktion f(x) im Punkt x = a ein Maximum, ist sie positiv, dann hat sie ein Minimum.

Was ist der kritische Punkt einer Funktion und wie findet man ihn?

Dies ist der Wert des Funktionsarguments, bei dem die Funktion ein Extremum (d. h. Maximum oder Minimum) hat. Um es zu finden, brauchen Sie Finden Sie die Ableitung Funktion f?(x) und, indem man sie mit Null gleichsetzt, löse die Gleichung f?(x) = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sowie die Punkte, an denen die Ableitung dieser Funktion nicht existiert, sind kritische Punkte, also Werte des Arguments, bei denen es ein Extremum geben kann. Sie können leicht durch Hinsehen identifiziert werden Ableitungsgraph: Uns interessieren die Werte des Arguments, bei denen der Graph der Funktion die Abszissenachse (Ox-Achse) schneidet, und diejenigen, bei denen der Graph Diskontinuitäten aufweist.

Lassen Sie uns zum Beispiel finden Extremum einer Parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Ableitung der Funktion: y?(x) = 6x + 2

Lösen Sie die Gleichung: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In diesem Fall liegt der kritische Punkt bei x0=-1/3. Mit diesem Argument hat die Funktion den Wert Extremum. Zu ihm finden Ersetzen Sie anstelle von „x“ die gefundene Zahl im Ausdruck für die Funktion:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

So bestimmen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion, d. h. seine größten und kleinsten Werte?

Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes x0 von „Plus“ nach „Minus“ ändert, dann ist x0 Maximalpunkt; Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus ändert, dann ist x0 Mindestpunktzahl; Wenn sich das Vorzeichen nicht ändert, gibt es am Punkt x0 weder ein Maximum noch ein Minimum.

Für das betrachtete Beispiel:

Nehmen Sie einen beliebigen Argumentwert links von kritischer Punkt: x = -1

Bei x = -1 beträgt der Wert der Ableitung y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d. h. das Vorzeichen ist „Minus“).

Nun nehmen wir einen beliebigen Wert des Arguments rechts vom kritischen Punkt: x = 1

Bei x = 1 beträgt der Wert der Ableitung y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d. h. das Vorzeichen ist „Plus“).

Wie Sie sehen können, änderte die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen von Minus zu Plus. Das bedeutet, dass wir beim kritischen Wert x0 einen Minimalpunkt haben.

Größter und kleinster Wert einer Funktion auf dem Intervall(auf einem Segment) werden mit dem gleichen Verfahren gefunden, nur unter Berücksichtigung der Tatsache, dass möglicherweise nicht alle kritischen Punkte innerhalb des angegebenen Intervalls liegen. Die kritischen Punkte, die außerhalb des Intervalls liegen, müssen von der Betrachtung ausgeschlossen werden. Wenn es innerhalb des Intervalls nur einen kritischen Punkt gibt, weist dieser entweder ein Maximum oder ein Minimum auf. In diesem Fall berücksichtigen wir zur Bestimmung der größten und kleinsten Werte der Funktion auch die Werte der Funktion an den Enden des Intervalls.

Lassen Sie uns zum Beispiel den größten und kleinsten Wert der Funktion ermitteln

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

in Intervallen:

Die Ableitung der Funktion ist also

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Wir lösen die Gleichung 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Wir finden kritische Punkte im Intervall [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nicht im Intervall enthalten)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nicht im Intervall enthalten)

Wir finden die Werte der Funktion bei kritische Werte Streit:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Es ist ersichtlich, dass im Intervall [-9; 9] Höchster Wert die Funktion hat bei x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

und das kleinste - bei x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Im Intervall [-6; -3] wir haben nur einen kritischen Punkt: x = -4,88. Der Wert der Funktion bei x = -4,88 ist gleich y = 5,398.

Finden Sie den Wert der Funktion am Ende des Intervalls:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Im Intervall [-6; -3] haben wir den größten Wert der Funktion

y = 5,398 bei x = -4,88

kleinster Wert -

y = 1,077 bei x = -3

Wie finde ich die Wendepunkte eines Funktionsgraphen und bestimme die konvexen und konkaven Seiten?

Um alle Wendepunkte der Geraden y = f(x) zu finden, müssen Sie die zweite Ableitung finden, sie mit Null gleichsetzen (die Gleichung lösen) und alle Werte von x testen, für die die zweite Ableitung Null ist. unendlich oder existiert nicht. Wenn beim Durchlaufen eines dieser Werte die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert, dann weist der Graph der Funktion an dieser Stelle eine Wende auf. Wenn es sich nicht ändert, gibt es keine Biegung.

Die Wurzeln der Gleichung f? (x) = 0 sowie mögliche Unstetigkeitspunkte der Funktion und der zweiten Ableitung unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in eine Reihe von Intervallen. Die Konvexität in jedem ihrer Intervalle wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt. Wenn die zweite Ableitung an einem Punkt des untersuchten Intervalls positiv ist, dann ist die Linie y = f(x) nach oben konkav, und wenn sie negativ ist, dann nach unten.

Wie finde ich die Extrema einer Funktion zweier Variablen?

Um die Extrema der Funktion f(x,y) zu finden, die im Definitionsbereich differenzierbar ist, benötigen Sie:

1) Finden Sie die kritischen Punkte und lösen Sie dafür das Gleichungssystem

fx? (x,y) = 0, fó? (x,y) = 0

2) Untersuchen Sie für jeden kritischen Punkt P0(a;b), ob das Vorzeichen der Differenz unverändert bleibt

für alle Punkte (x;y) ausreichend nahe an P0. Wenn der Unterschied bestehen bleibt positives Vorzeichen, dann haben wir am Punkt P0 ein Minimum, wenn negativ, dann haben wir ein Maximum. Wenn die Differenz ihr Vorzeichen nicht behält, gibt es im Punkt P0 kein Extremum.

Die Extrema der Funktion werden auf ähnliche Weise bestimmt mehr Argumente.