چگونه ضریب اضافی کسری را پیدا کنیم. کاهش کسرها به مخرج مشترک (Moskalenko M.V.). مخرج مشترک، تعریف، مثال ها

در این مطلب، نحوه صحیح آوردن کسرها به مخرج جدید، عامل اضافی چیست و چگونگی پیدا کردن آن را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. پس از آن، قانون اساسی برای کاهش کسرها به مخرج جدید را فرموله می کنیم و آن را با مثال هایی از مسائل توضیح می دهیم.

مفهوم تقلیل کسری به مخرج متفاوت

ویژگی اصلی کسری را به یاد بیاورید. به گفته وی، کسری معمولی a b (که a و b هر عددی هستند) دارای بی نهایت کسر است که با آن برابر است. چنین کسرهایی را می توان با ضرب صورت و مخرج در همان عدد m (طبیعی) به دست آورد. به عبارت دیگر، همه کسرهای معمولی را می توان با کسرهای دیگری به شکل a m b m جایگزین کرد. این کاهش مقدار اصلی به کسری با مخرج مورد نظر است.

شما می توانید با ضرب کسر و مخرج آن در هر عدد طبیعی، کسری را به مخرج دیگری بیاورید. شرط اصلی این است که ضریب باید برای هر دو قسمت کسر یکسان باشد. نتیجه کسری برابر با اصلی است.

اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم.

مثال 1

کسر 11 25 را به مخرج جدید تبدیل کنید.

راه حل

یک عدد طبیعی دلخواه 4 بگیرید و هر دو قسمت کسر اصلی را در آن ضرب کنید. ما در نظر می گیریم: 11 4 \u003d 44 و 25 4 \u003d 100. نتیجه کسری از 44100 است.

تمام محاسبات را می توان به این شکل نوشت: 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100

به نظر می رسد که هر کسری را می توان به تعداد زیادی مخرج مختلف کاهش داد. به جای چهار، می‌توانیم یک عدد طبیعی دیگر بگیریم و کسری دیگر معادل کسری اصلی بدست آوریم.

اما هیچ عددی نمی تواند مخرج کسر جدید شود. بنابراین، برای a b مخرج فقط می تواند شامل اعداد b · m باشد که مضرب b هستند. مفاهیم اساسی تقسیم - مضرب و مقسوم علیه را به یاد بیاورید. اگر عدد مضرب b نباشد، اما نمی تواند مقسوم علیه کسر جدید باشد. اجازه دهید ایده خود را با مثالی از حل مسئله توضیح دهیم.

مثال 2

محاسبه کنید که آیا امکان کاهش کسر 5 9 به مخرج 54 و 21 وجود دارد یا خیر.

راه حل

54 مضرب 9 است که مخرج کسر جدید است (یعنی 54 را می توان بر 9 تقسیم کرد). از این رو، چنین کاهشی امکان پذیر است. و ما نمی توانیم 21 را بر 9 تقسیم کنیم، بنابراین نمی توان چنین عملی را برای این کسر انجام داد.

مفهوم یک ضریب اضافی

اجازه دهید فرمول بندی کنیم که یک عامل اضافی چیست.

تعریف 1

ضریب اضافیعددی طبیعی است که هر دو قسمت کسر را در آن ضرب می کنند تا به مخرج جدیدی برسد.

آن ها وقتی این عمل را روی کسری انجام می دهیم، یک ضریب اضافی برای آن می گیریم. به عنوان مثال، برای کاهش کسر 7 10 به شکل 21 30، به یک عامل اضافی 3 نیاز داریم. و با استفاده از ضریب 5 می توانید کسری 15 40 از 3 8 را بدست آورید.

بر این اساس، اگر مخرجی را بدانیم که کسری باید به آن تقلیل یابد، می توانیم یک عامل اضافی برای آن محاسبه کنیم. بیایید بفهمیم که چگونه آن را انجام دهیم.

ما یک کسری a b داریم که می توان آن را به مقداری مخرج c تقلیل داد. فاکتور اضافی m را محاسبه کنید. باید مخرج کسر اصلی را در m ضرب کنیم. b · m و با توجه به شرط مسئله b · m = c را بدست می آوریم. به یاد بیاورید که ضرب و تقسیم چگونه به هم مرتبط هستند. این ارتباط ما را به این نتیجه می رساند: عامل اضافی چیزی نیست جز ضریب تقسیم c بر b، به عبارت دیگر m = c: b.

بنابراین، برای یافتن یک عامل اضافی، باید مخرج مورد نیاز را بر مخرج اصلی تقسیم کنیم.

مثال 3

فاکتور اضافی را که با آن کسر 17 4 به مخرج 124 آورده شده است، بیابید.

راه حل

با استفاده از قانون بالا، ما به سادگی 124 را بر مخرج کسر اصلی، چهار تقسیم می کنیم.

ما در نظر می گیریم: 124: 4 \u003d 31.

این نوع محاسبه اغلب هنگام تقلیل کسرها به مخرج مشترک مورد نیاز است.

قانون کاهش کسرها به مخرج مشخص

بیایید به تعریف قانون اساسی برویم، که با آن می توانید کسرها را به مخرج مشخص شده بیاورید. بنابراین،

تعریف 2

برای آوردن کسری به مخرج مشخص شده، شما نیاز دارید:

1. تعیین یک ضریب اضافی؛
2. هم صورت و هم مخرج کسر اصلی را در آن ضرب کنید.

چگونه این قانون را در عمل اعمال کنیم؟ اجازه دهید مثالی از حل مشکل را بیان کنیم.

مثال 4

کاهش کسر 7 16 را به مخرج 336 انجام دهید.

راه حل

بیایید با محاسبه ضریب اضافی شروع کنیم. تقسیم: 336: 16 = 21.

پاسخ دریافتی را در هر دو قسمت کسر اصلی ضرب می کنیم: 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336. بنابراین کسر اصلی را به مخرج مورد نظر 336 رساندیم.

پاسخ: 7 16 = 147 336.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

هنگام جمع و تفریق کسرهای جبری با مخرج های مختلف، کسرها ابتدا به مخرج مشترک. این بدان معنی است که آنها چنین مخرج واحدی را پیدا می کنند که بر مخرج اصلی هر کسری جبری که بخشی از این عبارت است تقسیم می شود.

همانطور که می دانید اگر صورت و مخرج کسری در عددی غیر از صفر ضرب (یا تقسیم) شود، مقدار کسری تغییر نمی کند. این خاصیت اصلی کسری است. بنابراین وقتی کسرها به یک مخرج مشترک منتهی می‌شوند، در واقع مخرج اصلی هر کسر در ضریب گمشده ضرب می‌شود و به یک مخرج مشترک می‌رسد. در این صورت لازم است در این ضریب و عدد کسر ضرب شود (برای هر کسر متفاوت است).

به عنوان مثال، با توجه به مجموع کسرهای جبری زیر:

لازم است عبارت را ساده کنید، یعنی دو کسر جبری اضافه کنید. برای انجام این کار، اول از همه، لازم است که عبارت-کسرها را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم. اولین قدم یافتن یک تک جمله ای است که بر 3x و 2y بخش پذیر باشد. در این مورد، مطلوب است که کوچکترین باشد، یعنی حداقل مضرب مشترک (LCM) را برای 3x و 2y پیدا کنید.

برای ضرایب و متغیرهای عددی، LCM به طور جداگانه جستجو می شود. LCM(3، 2) = 6 و LCM(x، y) = xy. علاوه بر این، مقادیر یافت شده ضرب می شوند: 6xy.

حالا باید مشخص کنیم که با چه عاملی باید 3x را ضرب کنیم تا به 6xy برسیم:
6xy ÷ 3x = 2y

این بدان معناست که هنگام تقلیل کسر اول جبری به مخرج مشترک، صورت آن باید در 2y ضرب شود (وقتی مخرج به مخرج مشترک تقلیل یابد، قبلاً ضرب شده است). فاکتور برای شمارنده کسر دوم نیز به همین ترتیب جستجو می شود. برابر با 3 برابر خواهد بود.

بنابراین، دریافت می کنیم:

علاوه بر این، از قبل می توان مانند کسری با مخرج مشابه عمل کرد: اعداد اضافه می شوند و یک مشترک در مخرج نوشته می شود:

پس از تبدیل، یک عبارت ساده شده به دست می آید که یک کسر جبری است که مجموع دو کسر اصلی است:

کسرهای جبری در عبارت اصلی ممکن است حاوی مخرج هایی باشند که چند جمله ای هستند نه تک جمله ای (مانند مثال بالا). در این صورت، قبل از یافتن مخرج مشترک، مخرج ها را فاکتور بگیرید (در صورت امکان). علاوه بر این، مخرج مشترک از عوامل مختلف جمع آوری می شود. اگر ضریب در چند مخرج اولیه باشد، یک بار گرفته می شود. اگر ضریب در مخرج اصلی درجات متفاوتی داشته باشد، با یک بزرگتر گرفته می شود. مثلا:

در اینجا چند جمله ای a 2 - b 2 را می توان به صورت حاصلضرب (a - b) (a + b) نشان داد. ضریب 2a – 2b به صورت 2(a – b) بسط می یابد. بنابراین، مخرج مشترک برابر با 2 (a - b) (a + b) خواهد بود.

برای آوردن کسرها به کمترین مخرج مشترک، باید: 1) کمترین مضرب مشترک مخرج این کسرها را پیدا کنید، آن کمترین مخرج مشترک خواهد بود. 2) برای هر یک از کسرها یک عامل اضافی پیدا کنید که برای آن مخرج جدید را بر مخرج هر کسر تقسیم می کنیم. 3) صورت و مخرج هر کسر را در ضریب اضافی آن ضرب کنید.

مثال ها. کسرهای زیر را به کمترین مخرج مشترک کاهش دهید.

ما کمترین مضرب مشترک مخرج ها را پیدا می کنیم: LCM(5; 4) = 20، زیرا 20 کوچکترین عددی است که بر 5 و 4 بخش پذیر است. برای کسر اول یک عامل اضافی 4 پیدا می کنیم (20). : 5=4). برای کسر دوم، ضریب اضافی 5 (20) است : 4=5). صورت و مخرج کسر اول را در 4 ضرب می کنیم و صورت و مخرج کسر دوم را در 5 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم ( 20 ).

کمترین مخرج مشترک این کسرها 8 است، زیرا 8 بر 4 و خودش بخش پذیر است. ضریب اضافی برای کسر 1 وجود نخواهد داشت (یا می توانیم بگوییم که برابر است با یک)، در کسری 2 ضریب اضافی 2 است (8) : 4=2). صورت و مخرج کسر دوم را در 2 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم ( 8 ).

این کسرها تقلیل ناپذیر نیستند.

کسر اول را 4 کاهش می دهیم و کسر دوم را 2 کاهش می دهیم. نمونه هایی در مورد کاهش کسرهای معمولی را ببینید: نقشه سایت → 5.4.2. نمونه هایی از کاهش کسرهای معمولی). پیدا کردن LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. ضریب اضافی برای کسر اول 5 (80) است : 16=5). ضریب اضافی برای کسر دوم 4 (80) است : 20=4). صورت و مخرج کسر اول را در 5 ضرب می کنیم و صورت و مخرج کسر دوم را در 4 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم ( 80 ).

کمترین مخرج مشترک NOC را پیدا کنید(5 ; 6 و 15) = LCM(5 ; 6 و 15) = 30. ضریب اضافی به کسر اول 6 (30) است : 5=6)، ضریب اضافی به کسر دوم 5 (30) است : 6=5)، ضریب اضافی به کسر سوم 2 (30) است : 15=2). صورت و مخرج کسر اول را در 6 ضرب می کنیم، صورت و مخرج کسر دوم را در 5، صورت و مخرج کسر سوم را در 2 ضرب می کنیم. این کسرها را به کمترین مخرج مشترک تقلیل می دهیم. 30 ).

صفحه 1 از 1 1

من در ابتدا می‌خواستم روش‌های مخرج مشترک را در پاراگراف «افزودن و تفریق کسرها» قرار دهم. اما اطلاعات بسیار زیادی وجود داشت و اهمیت آن به قدری زیاد است (بالاخره، نه تنها کسرهای عددی مخرج مشترک دارند)، که بهتر است این موضوع را جداگانه بررسی کنید.

پس فرض کنید دو کسر با مخرج های متفاوت داریم. و ما می خواهیم مطمئن شویم که مخرج ها یکسان می شوند. ویژگی اصلی یک کسری به کمک می آید، که، اجازه دهید یادآوری کنم، به نظر می رسد:

کسری تغییر نمی کند اگر صورت و مخرج آن در یک عدد غیر صفر یکسان ضرب شود.

بنابراین، اگر عوامل را به درستی انتخاب کنید، مخرج کسری برابر خواهد بود - این فرآیند کاهش به مخرج مشترک نامیده می شود. و اعداد مورد نظر، "تراز کردن" مخرج ها، عوامل اضافی نامیده می شوند.

چرا باید کسرها را به یک مخرج مشترک بیاورید؟ در اینجا فقط چند دلیل وجود دارد:

1. جمع و تفریق کسری با مخرج های مختلف. هیچ راه دیگری برای انجام این عملیات وجود ندارد.
2. مقایسه کسری گاهی اوقات تقلیل به یک مخرج مشترک این کار را بسیار ساده می کند.
3. حل مشکلات سهام و درصد. درصدها در واقع عبارات معمولی هستند که شامل کسری هستند.

راه های زیادی برای یافتن اعدادی وجود دارد که مخرج ها را با ضرب برابر می کنند. ما فقط سه مورد از آنها را در نظر خواهیم گرفت - به ترتیب افزایش پیچیدگی و به یک معنا، کارایی.

ضرب "تقاطع"

ساده ترین و مطمئن ترین راه، که تضمین شده است که مخرج ها را برابر می کند. ما "پیشتر" عمل خواهیم کرد: کسر اول را در مخرج کسر دوم و کسر دوم را در مخرج اول ضرب می کنیم. در نتیجه، مخرج هر دو کسر برابر با حاصلضرب مخرج اصلی می شود. نگاهی بیاندازید:

به عنوان عوامل اضافی، مخرج کسرهای همسایه را در نظر بگیرید. ما گرفتیم:

بله، به همین سادگی است. اگر تازه شروع به مطالعه کسری کرده اید، بهتر است با این روش کار کنید - به این ترتیب خود را در برابر بسیاری از اشتباهات بیمه خواهید کرد و نتیجه را تضمین خواهید کرد.

تنها عیب این روش این است که باید زیاد بشمارید، زیرا مخرج ها «پیشتر» ضرب می شوند و در نتیجه می توان اعداد بسیار زیادی را به دست آورد. این بهای قابلیت اطمینان است.

روش مقسوم علیه مشترک

این تکنیک به کاهش محاسبات بسیار کمک می کند، اما، متأسفانه، به ندرت از آن استفاده می شود. روش به شرح زیر است:

1. قبل از رفتن به "از طریق" (یعنی "تقاطع") به مخرج ها نگاه کنید. شاید یکی از آنها (یکی که بزرگتر است) بر دیگری قابل تقسیم باشد.
2. عدد حاصل از چنین تقسیمی یک عامل اضافی برای کسری با مخرج کوچکتر خواهد بود.
3. در عین حال، کسری با مخرج بزرگ اصلاً نیازی به ضرب در هیچ چیز ندارد - این پس انداز است. در عین حال، احتمال خطا به شدت کاهش می یابد.

یک وظیفه. یافتن مقادیر عبارت:

توجه داشته باشید که 84: 21 = 4; 72:12 = 6. از آنجایی که در هر دو صورت یک مخرج بدون باقی مانده بر دیگری قابل تقسیم است، از روش عوامل مشترک استفاده می کنیم. ما داریم:

توجه داشته باشید که کسر دوم اصلاً در هیچ چیز ضرب نشده است. در واقع مقدار محاسبات را نصف کرده ایم!

به هر حال، من کسرها را در این مثال به دلیلی گرفتم. اگر علاقه دارید، سعی کنید آنها را با استفاده از روش متقاطع بشمارید. پس از کاهش، پاسخ ها یکسان خواهد بود، اما کار بسیار بیشتر خواهد بود.

این نقطه قوت روش مقسوم‌گیرنده‌های مشترک است، اما باز هم می‌توان آن را زمانی اعمال کرد که یکی از مخرج‌ها بر دیگری بدون باقیمانده تقسیم شود. که بسیار به ندرت اتفاق می افتد.

متداول ترین روش چندگانه

وقتی کسرها را به یک مخرج مشترک تقلیل می‌دهیم، اساساً سعی می‌کنیم عددی را پیدا کنیم که بر هر یک از مخرج‌ها بخش پذیر باشد. سپس مخرج هر دو کسر را به این عدد می آوریم.

تعداد زیادی از این اعداد وجود دارد و کوچکترین آنها لزوماً برابر با حاصلضرب مستقیم مخرج کسرهای اصلی نخواهد بود، همانطور که در روش "متقاطع" فرض می شود.

به عنوان مثال، برای مخرج 8 و 12، عدد 24 کاملا مناسب است، زیرا 24: 8 = 3. 24:12 = 2. این عدد بسیار کمتر از حاصل ضرب 8 12 = 96 است.

کوچکترین عددی که بر هر یک از مخرج ها بخش پذیر باشد، کمترین مضرب مشترک آنها (LCM) نامیده می شود.

علامت گذاری: کمترین مضرب مشترک a و b با LCM(a ; b) نشان داده می شود. برای مثال، LCM(16; 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

اگر بتوانید چنین عددی را بیابید، مقدار کل محاسبات حداقل خواهد بود. به نمونه ها نگاه کنید:

یک وظیفه. یافتن مقادیر عبارت:

توجه داشته باشید که 234 = 117 2; 351 = 117 3. فاکتورهای 2 و 3 هم اول هستند (به جز 1 مقسوم علیه مشترک ندارند) و عامل 117 مشترک است. بنابراین LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.

به طور مشابه، 15 = 5 3; 20 = 5 4 . فاکتورهای 3 و 4 نسبتاً اول هستند و عامل 5 رایج است. بنابراین LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.

حالا بیایید کسرها را به مخرج مشترک بیاوریم:

توجه داشته باشید که فاکتورسازی مخرج اصلی چقدر مفید است:

1. با یافتن عوامل یکسان، بلافاصله به کمترین مضرب مشترک رسیدیم، که به طور کلی، مشکلی غیر پیش پا افتاده است.
2. از بسط حاصل، می توانید دریابید که کدام عوامل برای هر یک از کسری ها "مفقود" هستند. به عنوان مثال، 234 3 \u003d 702، بنابراین، برای کسر اول، ضریب اضافی 3 است.

برای درک میزان بردی که روش چندگانه کمتر متداول می دهد، سعی کنید نمونه های مشابه را با استفاده از روش متقاطع محاسبه کنید. البته بدون ماشین حساب. من فکر می کنم پس از آن نظرات اضافی خواهد بود.

فکر نکنید که چنین کسرهای پیچیده ای در نمونه های واقعی نخواهند بود. آنها همیشه ملاقات می کنند، و وظایف فوق محدودیت نیستند!

تنها مشکل این است که چگونه این NOC را پیدا کنیم. گاهی اوقات همه چیز در چند ثانیه، به معنای واقعی کلمه "با چشم" پیدا می شود، اما به طور کلی این یک مشکل محاسباتی پیچیده است که نیاز به بررسی جداگانه دارد. در اینجا ما به این موضوع نمی پردازیم.