معادله خط مستقیمی که از 2 نقطه داده شده می گذرد. معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد: مثال ها، راه حل ها. ویژگی های یک خط در هندسه اقلیدسی

این مقالهمعادله یک خط مستقیم که از دو می گذرد را نشان می دهد امتیاز داده شدهدر یک سیستم مختصات مستطیلی که روی یک صفحه قرار دارد. ما معادله یک خط مستقیم را که از دو نقطه داده شده در یک سیستم مختصات مستطیلی می گذرد استخراج می کنیم. چندین مثال مرتبط با مطالب پوشش داده شده را به صورت بصری نشان داده و حل خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

قبل از به دست آوردن معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد، باید به نکاتی توجه کرد. یک اصل بدیهی وجود دارد که می گوید از طریق دو نقطه غیرمتناسب در یک صفحه می توان یک خط مستقیم و فقط یک را رسم کرد. به عبارت دیگر، دو نقطه داده شده از صفحه توسط یک خط مستقیم که از این نقاط می گذرد تعیین می شود.

اگر صفحه توسط سیستم مختصات مستطیلی Oxy داده شود، هر خط مستقیمی که در آن نشان داده شده است با معادله خط مستقیم روی صفحه مطابقت دارد. همچنین ارتباطی با بردار جهت دهنده خط مستقیم وجود دارد که این داده ها برای ترسیم معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد کافی است.

بیایید یک مثال راه حل را در نظر بگیریم کار مشابه. لازم است معادله یک خط مستقیم a که از دو نقطه ناهمخوان M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) واقع در سیستم مختصات دکارتی عبور می کند، بسازیم.

در معادله متعارف یک خط مستقیم روی یک صفحه، به شکل x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y، یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با یک خط مستقیم مشخص می شود که در نقطه ای با مختصات M با آن قطع می شود. 1 (x 1, y 1) با بردار راهنما a → = (a x , a y) .

لازم است معادله متعارف خط مستقیم a را بسازیم که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) عبور می کند.

خط مستقیم a دارای بردار جهت M 1 M 2 → با مختصات (x 2 - x 1، y 2 - y 1) است، زیرا نقاط M 1 و M 2 را قطع می کند. ما داده های لازم را به منظور تبدیل معادله متعارف با مختصات بردار جهت M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) و مختصات نقاط M 1 که روی آنها قرار دارد به دست آورده ایم. (x 1, y 1) و M 2 (x 2 , y 2) . معادله ای به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 به دست می آوریم.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

پس از محاسبات، می نویسیم معادلات پارامتریکیک خط مستقیم روی صفحه که از دو نقطه با مختصات M 1 (x 1, y 1) و M 2 (x 2, y 2) می گذرد. معادله ای به شکل x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ یا x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ بدست می آوریم y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

بیایید نگاهی دقیق تر به چند مثال بیندازیم.

مثال 1

معادله خط مستقیمی را که از 2 نقطه داده شده با مختصات M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 عبور می کند بنویسید.

راه حل

معادله متعارف خط مستقیمی که در دو نقطه با مختصات x 1 , y 1 و x 2 , y 2 قطع می شود به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 می باشد. با توجه به شرایط مشکل، ما داریم که x 1 \u003d - 5، y 1 \u003d 2 3، x 2 \u003d 1، y 2 \u003d - 1 6. نیاز به جایگزینی مقادیر عددیبه معادله x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . از اینجا دریافتیم که معادله متعارف به شکل x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 خواهد بود.

پاسخ: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

اگر حل مشکلی با نوع دیگری از معادله ضروری است، برای شروع می توانید به معادله متعارف بروید، زیرا رسیدن به هر دیگری از آن آسان تر است.

مثال 2

معادله کلی خط مستقیمی را که از نقاطی با مختصات M 1 (1, 1) و M 2 (4, 2) در سیستم مختصات O x y می گذرد بنویسید.

راه حل

ابتدا باید معادله متعارف یک خط معین را که از دو نقطه داده شده می گذرد، یادداشت کنید. معادله ای به شکل x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 بدست می آوریم.

معادله متعارف را به شکل مورد نظر می آوریم، سپس به دست می آوریم:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

پاسخ: x - 3 y + 2 = 0 .

نمونه هایی از این وظایف در مورد بحث قرار گرفته است کتاب های درسی مدرسهدر کلاس جبر وظایف مدرسهاز این جهت متفاوت است که معادله یک خط مستقیم با ضریب شیب شناخته شده است که به شکل y \u003d k x + b است. اگر باید مقدار شیب k و عدد b را پیدا کنید، که در آن معادله y \u003d k x + b خطی را در سیستم Oxy تعریف می کند که از نقاط M 1 (x 1, y 1) و M می گذرد. 2 (x 2، y 2)، که در آن x 1 ≠ x 2 . وقتی x 1 = x 2 ، سپس شیبمقدار بی نهایت را می گیرد و خط M 1 M 2 با کلی تعریف می شود معادله ناقصاز شکل x - x 1 = 0 .

چون نقطه ها M 1و M 2روی یک خط مستقیم هستند، سپس مختصات آنها معادله y 1 = k x 1 + b و y 2 = k x 2 + b را برآورده می کند. حل سیستم معادلات y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b نسبت به k و b ضروری است.

برای انجام این کار، k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x پیدا می کنیم 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

با چنین مقادیر k و b، معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد به شکل زیر است: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 یا y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

همین الان این را به خاطر بسپار مقدار زیادیفرمول ها کار نخواهند کرد برای این کار باید تعداد تکرارها را در حل مسائل افزایش داد.

مثال 3

معادله یک خط مستقیم با شیب عبور از نقاط با مختصات M 2 (2، 1) و y = k x + b را بنویسید.

راه حل

برای حل مشکل، از فرمولی با شیب استفاده می کنیم که به شکل y \u003d k x + b است. ضرایب k و b باید چنین مقداری بگیرند که معادله داده شدهمربوط به خط مستقیمی است که از دو نقطه با مختصات M 1 (- 7 , - 5) و M 2 (2, 1) می گذرد.

نکته ها M 1و M 2در یک خط مستقیم قرار گرفته اند، سپس مختصات آنها باید معادله y = k x + b را معکوس کند برابری واقعی. از اینجا دریافت می کنیم که - 5 = k · (- 7) + b و 1 = k · 2 + b. بیایید معادله را در سیستم ترکیب کنیم - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b و حل کنیم.

پس از تعویض، آن را دریافت می کنیم

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

اکنون مقادیر k = 2 3 و b = - 1 3 در معادله y = k x + b جایگزین می شوند. دریافتیم که معادله مورد نظر که از نقاط داده شده می گذرد معادله ای خواهد بود که به شکل y = 2 3 x - 1 3 است.

این روش حل، هزینه را از پیش تعیین می کند تعداد زیادیزمان. راهی وجود دارد که در آن کار به معنای واقعی کلمه در دو مرحله حل می شود.

ما معادله متعارف خط مستقیمی را که از M 2 (2، 1) و M 1 (- 7، - 5) می گذرد، می نویسیم که به شکل x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) است. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

حالا بیایید به معادله شیب برویم. دریافت می کنیم که: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

پاسخ: y = 2 3 x - 1 3 .

اگر در فضای سه بعدی یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z با دو نقطه داده شده غیر منطبق با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) و M 2 (x 2, y 2, z 2) وجود داشته باشد. خط مستقیم M که از آنها 1 M 2 عبور می کند، لازم است معادله این خط به دست آید.

معادلات متعارفی داریم به شکل x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z و نمای پارامتریک x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ z \u003d z 1 + a z λ می توانند خطی را در سیستم مختصات O x y z تنظیم کنند که از نقاط دارای مختصات می گذرد (x 1, y 1, z 1 ) با بردار جهت a → = (a x , a y , a z) .

راست M 1 M 2 دارای یک بردار جهت به شکل M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) ، جایی که خط از نقطه M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) می گذرد 1) و M 2 (x 2، y 2، z 2)، بنابراین معادله متعارف می تواند به شکل x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z باشد. 2 - z 1 یا x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1، به نوبه خود، پارامتری x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ یا x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

شکلی را در نظر بگیرید که 2 نقطه داده شده در فضا و معادله یک خط مستقیم را نشان می دهد.

مثال 4

معادله یک خط مستقیم تعریف شده در یک سیستم مختصات مستطیلی O x y z فضای سه بعدی را بنویسید که از دو نقطه داده شده با مختصات M 1 (2, - 3, 0) و M 2 (1, - 3, - 5) عبور می کند. ) .

راه حل

ما باید معادله متعارف را پیدا کنیم. زیرا ما داریم صحبت می کنیمدر مورد فضای سه بعدی، به این معنی که وقتی یک خط مستقیم از نقاط داده شده عبور می کند، معادله متعارف مورد نظر به شکل x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - خواهد بود. z 1 z 2 - z 1.

با شرط، داریم که x 1 = 2، y 1 = - 3، z 1 = 0، x 2 = 1، y 2 = - 3، z 2 = - 5. از این رو می توان معادلات لازم را به صورت زیر نوشت:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

پاسخ: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده نامتناسب می گذرد و

یا در نمای کلی

68. شرایط توازی و عمود بودن خطوط. فاصله از نقطه به خط

دو خط مستقیم که توسط معادلات داده می شود

این خطوط موازی هستند اگر آ 1 ب 2 − آ 2 ب 1 = 0 یا ک 1 = ک 2، و

عمود بر اگر آ 1 آ 2 + ب 1 ب 2 = 0 یا

فاصله نقطه ای آ(ایکس 1 , y 1) مستقیم تبر + توسط + سی= 0 طول عمود کاهش یافته از این نقطه به خط است. با فرمول مشخص می شود

69. دستگاه مختصات دکارتی. روش های تعیین سطوح معادله کلی یک سطح در فضا.

CARTESE COORDINATE SYSTEM، یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه یا در فضا (معمولا با محورهای متقابل عمود بر هم و مقیاس یکسان در امتداد محورها). به نام R. Descartes ( سانتی متر.رنه دکارت).
دکارت اولین کسی بود که یک سیستم مختصات را معرفی کرد که به طور قابل توجهی با سیستمی که امروزه عموماً پذیرفته شده بود متفاوت بود. برای تنظیم یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی، خطوط عمود بر یکدیگر، که محور نامیده می شوند، انتخاب می شوند. نقطه تقاطع Oمنشا مختصات نامیده می شود. به هر محور جهت مثبت داده می شود و واحد مقیاس انتخاب می شود. مختصات نقطه پبسته به اینکه برآمدگی نقطه روی کدام نیمه محور قرار می گیرد، مثبت یا منفی در نظر گرفته می شوند پ.

روش تعیین سطح با وایرفریم نامیده می شود.

روش تحلیلی تعیین یافته های سطحی کاربرد گستردهدر عمل، به خصوص اگر می خواهید کاوش کنید خواص داخلیسطوح هنگام طراحی سطوح فرم های فنیو تکثیر آنها بر روی ماشین های با مدیریت برنامهگرافیکی و روش های تحلیلیتکالیف سطحی

سطوح به عنوان مجموعه ای از نقاط و خطوط در نظر گرفته می شوند. مختصات نقاط این مجموعه برخی را راضی می کند معادله داده شدهبه شکل F(x، y، z) = 0.

سطح جبری مرتبه n، سطحی است که معادله آن است معادله جبریدرجه n

روش گرافیکیتکالیف سطحی

راه ها کار تحلیلی

1. - معادله برداری-پارامتری.

2. - معادلات پارامتریک

3. - معادله صریح.

4. - معادله ضمنی

هر معادله ای که مختصات x، y، z هر نقطه روی یک سطح را به هم مرتبط کند، معادله آن سطح است. برای اینکه یک صفحه از هر سه نقطه در فضا کشیده شود، لازم است که این نقاط روی یک خط مستقیم قرار نگیرند.

نقاط M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، M 3 (x 3، y 3، z 3) را در یک سیستم مختصات دکارتی رایج در نظر بگیرید. به نقطه دلخواهМ(x, y, z) در همان صفحه با نقاط М 1 , М 2 , М 3 قرار می گیرند لازم است که بردارها همسطح بودند ( ) = 0 بنابراین، معادله صفحه ای که از سه نقطه عبور می کند:

70. معادله کلی هواپیما در فضا. معادله یک صفحه در قطعات

سطحسطحی نامیده می شود که وزن نقاط آن معادله کلی را برآورده می کند:

Ax + By + Cz + D = 0،

که در آن A، B، C مختصات بردار هستند -بردار عادیبه هواپیما

موارد خاص زیر ممکن است:

A \u003d 0 - هواپیما موازی با محور Ox است

B \u003d 0 - هواپیما موازی با محور Oy است

C \u003d 0 - هواپیما موازی با محور Oz است

D = 0 - هواپیما از مبدأ عبور می کند

A \u003d B \u003d 0 - هواپیما موازی است هواپیما xy

A \u003d C \u003d 0 - هواپیما موازی با صفحه xOz است

B = C = 0 - صفحه موازی با صفحه yOz است

A \u003d D \u003d 0 - هواپیما از محور Ox عبور می کند

B \u003d D \u003d 0 - هواپیما از محور Oy عبور می کند

تقسیم یک بخش در یک نسبت معین.

در فضای دو در نظر بگیرید نقاط مختلف M 1 و M 2 و خط تعریف شده توسط این نقاط. بیایید مسیری را در این خط انتخاب کنیم. در محور حاصل، نقاط M 1 و M 2 یک قطعه جهت دار M 1 M 2 را تعریف می کنند. فرض کنید M هر نقطه ای متفاوت از M 2 باشد محور مشخص شده. عدد

l=M 1 M/MM 2 (*)

تماس گرفت نسبتی که در آن نقطه M بخش جهت دار M 1 M 2 را تقسیم می کند. بنابراین، هر نقطه M غیر از M 2، بخش M 1 M 2 را به نسبت l تقسیم می کند، جایی که l با تساوی (*) تعریف می شود.

معادله یک خط مستقیم با شیب.

بگذارید دو خط و () داده شود. سپس، اگر، زاویه بین این خطوط را می توان از فرمول پیدا کرد

اگر، پس خطوط عمود هستند.

اثبات. همانطور که از دوره مدرسهریاضیات، شیب در معادله یک خط مستقیم برابر با مماسزاویه تمایل خط مستقیم به محور. از انجیر 11.10 نشان می دهد که .

از آنجایی که، , پس برای , برابری

که فرمول را می دهد

اگر پس از آن ، جایی که

بنابراین، و .

معادله کلی یک خط مستقیم

اجازه دهید ابتدا ثابت کنیم که اگر یک خط مستقیم دلخواه L و یک سیستم مستطیلی دلخواه دکارتی Oxy روی صفحه П داده شود، آنگاه خط L در این سیستم با معادله درجه اول تعیین می شود.

کافی است ثابت کنیم که خط L با یک معادله درجه اول با یک انتخاب خاص از سیستم مستطیلی دکارتی در صفحه P تعیین می شود، زیرا در این صورت با معادله درجه اول و برای هر انتخابی تعیین می شود. سیستم مستطیلی دکارتی در صفحه P. اجازه دهید محور Ox را در امتداد خط L هدایت کنیم، و محور y بر آن عمود است. سپس معادله خط مستقیم معادله درجه اول y \u003d 0 خواهد بود. در واقع، این معادله مختصات هر نقطه ای که روی خط L قرار دارد را برآورده می کند و مختصات هیچ نقطه ای را که روی خط L قرار ندارد را برآورده نمی کند.

اکنون اجازه دهید ثابت کنیم که اگر یک سیستم دکارتی دلخواه Oxy روی صفحه П ثابت باشد، آنگاه هر معادله درجه اول با دو متغیر x و y یک خط مستقیم را نسبت به این سیستم تعریف می‌کند.

در واقع، اجازه دهید دکارتی خودسرانه سیستم مستطیل شکلاکسی و یک معادله درجه اول Ax + By + c = 0 داده شده است که در آن A B C هر ثابتی است و حداقل یکی از ثابت های A و B با 0 متفاوت است. این معادله قطعا حداقل یک جواب x0 دارد. و y0، یعنی e. حداقل یک نقطه M(x 0, y 0) وجود دارد که مختصات آن معادله Ax 0 + Vy 0 + C=0 را برآورده می کند. با تفریق از معادله درجه اول معادله ای که در آن نقطه M (x 0, y 0) جایگزین شده است، معادله را بدست می آوریم: A (x- x 0) + B (y-y 0) \u003d 0 (1) معادل معادله درجه اول. برای اثبات اینکه معادله یک خط مستقیم مشخص را نسبت به سیستم تعریف می کند، کافی است. ما ثابت خواهیم کرد که رابطه (1) خطی L را تعریف می کند که از نقطه M (x 0, y 0) می گذرد و عمود بر بردار n=(A,B). در واقع، اگر نقطه M (x، y) روی خط مشخص شده L قرار داشته باشد، مختصات آن معادله (1) را برآورده می کند، زیرا در این مورد بردارهای n \u003d (A, B) و M 0 M \u003d (x-x 0) , y-y 0 ) متعامد به آنها حاصلضرب عددی A(x- x 0) + B(y-y 0) برابر با صفر است. اگر نقطه M (x، y) روی خط مشخص شده نباشد، مختصات آن معادله (1) را برآورده نمی کند، زیرا در این حالت بردارهای n \u003d (A, B) و M 0 M \u003d (x-x) 0, y-y 0 ) متعامد نیستند و بنابراین حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر نیست. بیانیه ثابت شده است

معادله Ax + Vy + C \u003d 0 با ضرایب دلخواه A B و C به طوری که A و B همزمان با صفر برابر نباشند نامیده می شود. معادله کلیسر راست. ما ثابت کردیم که خطی که با معادله کلی Ax+By+C=0 تعریف می‌شود متعامد بردار n=(A,B) است. این آخرین بردار را فرا خواهیم خواند بردار معمولیسر راست.

معادله متعارفسر راست. هر بردار غیر صفر موازی با یک خط مستقیم معین، بردار هدایت کننده این خط مستقیم نامیده می شود. بیایید وظیفه خود را تعیین کنیم: معادله خط مستقیمی را که از آن می گذرد، پیدا کنیم نقطه داده شده M 1 (x 1, y 1) و دارای جهت معین q=(l,m). بدیهی است که نقطه M(x, y) روی خط نشان داده شده قرار می گیرد اگر و فقط اگر بردارهای M 1 M=(x-x 1, y-y 1 ) و q=(m, l) خطی باشند، اگر و فقط اگر مختصات این بردارها متناسب هستند، یعنی.

اکنون در نظر بگیرید معادله کاملهواپیما و نشان می دهد که می توان آن را کاهش داد نوع بعدی. ، معادله هواپیما را "در قطعه" می نامند. از آنجایی که ضرایب A B C غیر صفر هستند، می توانیم معادله را به شکل بازنویسی کنیم. و سپس A=-C/A b=-C/B را قرار دهید. در معادله صفحه در پاره ها، اعداد a، b دارای یک ساده هستند حس هندسی: آنها برابر مقادیر بخش هایی هستند که هواپیما به ترتیب روی محورهای Ox، Oy قطع می کند (قطعات از مبدا اندازه گیری می شوند). برای تأیید این موضوع کافی است نقاط تقاطع خط مستقیم که با معادله خط مستقیم در پاره ها با محورهای مختصات تعریف شده است را بیابید. به عنوان مثال، نقطه تقاطع با محور Ox از در نظر گرفتن مشترک معادله خط مستقیم در قطعات با معادله y=0 محور Ox تعیین می شود. مختصات نقطه تقاطع x=a y=0 را بدست می آوریم. به همین ترتیب مشخص می شود که مختصات نقطه تلاقی خط مستقیم با محور Oy به صورت x=0 و y=b است.

معادله خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد

M 1 (x 1، y 1) و M 2 (x 2، y 2)