معادله درجه دوم با ضریب اول برابر با یک. روش های حل معادلات درجه دوم. مثال ها. فاکتورگیری یک بیان
با این برنامه ریاضی می توانید حل معادله درجه دوم.
این برنامه نه تنها به مشکل پاسخ می دهد، بلکه روند حل را به دو صورت نمایش می دهد:
- استفاده از تمایز
- با استفاده از قضیه Vieta (در صورت امکان).
علاوه بر این، پاسخ دقیق و نه تقریبی نمایش داده می شود.
به عنوان مثال، برای معادله \(81x^2-16x-1=0\)، پاسخ به این شکل نمایش داده می شود:
این برنامه می تواند برای دانش آموزان دبیرستانی در آماده سازی برای آزمون ها و امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون یکپارچه دولتی، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر مفید باشد. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این مورد، شما همچنین می توانید از برنامه های ما با یک راه حل دقیق استفاده کنید.
به این ترتیب می توانید آموزش خود و/یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید و در عین حال سطح تحصیلات در زمینه کارهایی که باید حل شوند افزایش می یابد.
اگر با قوانین وارد کردن چند جمله ای مربع آشنا نیستید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.
قوانین وارد کردن چند جمله ای مربع
هر حرف لاتین می تواند به عنوان یک متغیر عمل کند.
به عنوان مثال: \(x، y، z، a، b، c، o، p، q \) و غیره.
اعداد را می توان به صورت اعداد صحیح یا کسری وارد کرد.
علاوه بر این، اعداد کسری را می توان نه تنها به صورت اعشاری، بلکه در قالب یک کسری معمولی نیز وارد کرد.
قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
در کسرهای اعشاری، قسمت کسری از عدد صحیح را می توان با یک نقطه یا یک کاما جدا کرد.
به عنوان مثال، می توانید اعداد اعشاری را مانند این وارد کنید: 2.5x - 3.5x^2
قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.
مخرج نمی تواند منفی باشد.
هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
قسمت صحیح با آمپرسند از کسری جدا می شود: &
ورودی: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
نتیجه: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
هنگام وارد کردن یک عبارت می توانید از براکت استفاده کنید. در این حالت، هنگام حل یک معادله درجه دوم، ابتدا عبارت معرفی شده ساده می شود.
به عنوان مثال: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
تصميم گرفتن
مشخص شد که برخی از اسکریپت های مورد نیاز برای حل این کار بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.
جاوا اسکریپت باید فعال باشد تا راه حل ظاهر شود.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.
زیرا افراد زیادی هستند که می خواهند مشکل را حل کنند، درخواست شما در صف است.
پس از چند ثانیه، راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا منتظر بمانید ثانیه...
اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در مورد آن در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.
بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:
کمی تئوری
معادله درجه دوم و ریشه های آن. معادلات درجه دوم ناقص
هر یک از معادلات
\(-x^2+6x+1,4=0، \quad 8x^2-7x=0، \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
فرم را دارد
\(ax^2+bx+c=0، \)
جایی که x یک متغیر است، a، b و c اعداد هستند.
در رابطه اول a = -1، b = 6 و c = 1.4، در رابطه دوم a = 8، b = -7 و c = 0، در رابطه سوم a = 1، b = 0 و c = 4/9. چنین معادلاتی نامیده می شوند معادلات درجه دوم.
تعریف.
معادله درجه دوممعادله ای به شکل ax 2 +bx+c=0 فراخوانی می شود که x یک متغیر است، a، b و c تعدادی اعداد و \(a \neq 0 \) هستند.
اعداد a، b و c ضرایب معادله درجه دوم هستند. عدد a را ضریب اول، عدد b ضریب دوم و عدد c را ضریب می نامند.
در هر یک از معادلات شکل ax 2 +bx+c=0 که \(a \neq 0 \) بزرگترین توان متغیر x یک مربع است. از این رو نام: معادله درجه دوم.
توجه داشته باشید که یک معادله درجه دوم معادله درجه دوم نیز نامیده می شود، زیرا سمت چپ آن چند جمله ای درجه دوم است.
معادله درجه دومی که در آن ضریب x 2 برابر با 1 باشد نامیده می شود معادله درجه دوم کاهش یافته. به عنوان مثال، معادلات درجه دوم داده شده معادلات هستند
\(x^2-11x+30=0، \quad x^2-6x=0، \چهارار x^2-8=0 \)
اگر در معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 حداقل یکی از ضرایب b یا c برابر با صفر باشد، چنین معادله ای نامیده می شود. معادله درجه دوم ناقص. بنابراین، معادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 معادلات درجه دوم ناقص هستند. در اولی b=0، در دومی c=0، در سومی b=0 و c=0.
معادلات درجه دوم ناقص سه نوع هستند:
1) ax 2 +c=0، که در آن \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0، که در آن \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
حل معادلات هر یک از این انواع را در نظر بگیرید.
برای حل یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 +c=0 برای \(c \neq 0 \) جمله آزاد آن به سمت راست منتقل می شود و هر دو قسمت معادله به a تقسیم می شوند:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \راست فلش x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
از آنجایی که \(c \neq 0 \)، سپس \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
اگر \(-\frac(c)(a)>0 \)، معادله دو ریشه دارد.
اگر \(-\frac(c)(a) برای حل یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 +bx=0 برای \(b \neq 0 \) سمت چپ آن را فاکتور بگیرید و معادله را بدست آورید.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (آرایه)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (آرایه) \راست. \)
بنابراین، یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 +bx=0 برای \(b \neq 0 \) همیشه دو ریشه دارد.
یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 \u003d 0 معادل معادله x 2 \u003d 0 است و بنابراین دارای یک ریشه واحد 0 است.
فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم
حال بیایید در نظر بگیریم که چگونه معادلات درجه دومی حل می شوند که در آن هر دو ضرایب مجهولات و جمله آزاد غیر صفر هستند.
معادله درجه دوم را به صورت کلی حل می کنیم و در نتیجه فرمول ریشه ها را به دست می آوریم. سپس این فرمول را می توان برای حل هر معادله درجه دوم اعمال کرد.
معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 را حل کنید
با تقسیم هر دو قسمت آن بر a، معادله درجه دوم کاهش یافته معادل را به دست می آوریم
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
ما این معادله را با برجسته کردن مربع دو جمله ای تبدیل می کنیم:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ فلش راست \)
عبارت ریشه نامیده می شود تمایز یک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 ("ممیز" در لاتین - متمایز کننده). با حرف D نشان داده می شود، یعنی.
\(D = b^2-4ac\)
اکنون با استفاده از نماد ممیز، فرمول ریشه های معادله درجه دوم را بازنویسی می کنیم:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)، جایی که \(D= b^2-4ac \)
بدیهی است که:
1) اگر D>0 باشد، معادله درجه دوم دو ریشه دارد.
2) اگر D=0 باشد، معادله درجه دوم یک ریشه دارد \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) اگر D بنابراین، بسته به مقدار ممیز، معادله درجه دوم می تواند دارای دو ریشه (برای D > 0)، یک ریشه (برای D = 0) یا بدون ریشه (برای D هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول باشد. ، توصیه می شود به روش زیر عمل کنید:
1) متمایز را محاسبه کنید و آن را با صفر مقایسه کنید.
2) اگر ممیز مثبت یا مساوی صفر است، از فرمول ریشه استفاده کنید، اگر ممیز منفی است، بنویسید که ریشه وجود ندارد.
قضیه ویتا
معادله درجه دوم داده شده ax 2 -7x+10=0 دارای ریشه های 2 و 5 است. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب 10 است. می بینیم که مجموع ریشه ها برابر ضریب دوم است که با علامت مخالف، و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است. هر معادله درجه دوم کاهش یافته ای که ریشه داشته باشد این خاصیت را دارد.
مجموع ریشه های معادله درجه دوم برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است.
آن ها قضیه ویتا بیان می کند که ریشه های x 1 و x 2 معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 +px+q=0 دارای این ویژگی هستند:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \راست. \)
معادلات درجه دوم. ممیز. راه حل، مثال
توجه!
اضافی وجود دارد
مواد در بخش ویژه 555.
برای کسانی که به شدت "نه خیلی..."
و برای کسانی که "خیلی...")
انواع معادلات درجه دوم
معادله درجه دوم چیست؟ چه شکلی است؟ در مدت معادله درجه دومکلمه کلیدی است "مربع".یعنی در معادله لزوماباید یک x مربع وجود داشته باشد. علاوه بر آن، در معادله ممکن است فقط x (تا درجه اول) و فقط یک عدد وجود داشته باشد (یا نباشد!) (عضو رایگان).و نباید x در درجه ای بیشتر از دو وجود داشته باشد.
از نظر ریاضی، یک معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:
اینجا الف، ب و ج- تعدادی اعداد ب و ج- مطلقاً، اما آ- هر چیزی جز صفر مثلا:
اینجا آ =1; ب = 3; ج = -4
اینجا آ =2; ب = -0,5; ج = 2,2
اینجا آ =-3; ب = 6; ج = -18
خوبه، تو ایده ای داری...
در این معادلات درجه دوم، سمت چپ، وجود دارد مجموعه کاملاعضا. x مربع با ضریب آ، x به توان اول با ضریب بو عضو رایگان از
چنین معادلات درجه دوم نامیده می شوند کامل.
چه می شود اگر ب= 0، چه چیزی بدست خواهیم آورد؟ ما داریم X در درجه اول ناپدید می شود.این از ضرب در صفر اتفاق می افتد.) برای مثال معلوم می شود:
5x 2 -25 = 0،
2x 2 -6x=0،
-x 2 +4x=0
و غیره. و اگر هر دو ضریب بو جبرابر با صفر هستند، سپس ساده تر است:
2x 2 \u003d 0،
-0.3x 2 \u003d 0
چنین معادلاتی، جایی که چیزی کم است، نامیده می شوند معادلات درجه دوم ناقصکه کاملاً منطقی است.) لطفاً توجه داشته باشید که x مربع در همه معادلات وجود دارد.
اتفاقا چرا آنمی تواند صفر باشد؟ و شما به جای آن جایگزین می کنید آصفر.) X در مربع ناپدید می شود! معادله خطی خواهد شد. و جور دیگری انجام می شود...
این همه انواع اصلی معادلات درجه دوم است. کامل و ناقص.
حل معادلات درجه دوم.
حل معادلات درجه دوم کامل
حل معادلات درجه دوم آسان است. طبق فرمول ها و قوانین ساده روشن. در مرحله اول، لازم است معادله داده شده را به فرم استاندارد برسانیم، یعنی. به منظره:
اگر معادله قبلاً به این شکل به شما داده شده است، لازم نیست مرحله اول را انجام دهید.) نکته اصلی این است که همه ضرایب را به درستی تعیین کنید. آ, بو ج.
فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:
عبارت زیر علامت ریشه نامیده می شود ممیز. اما بیشتر در مورد او در زیر. همانطور که می بینید، برای یافتن x از آن استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از معادله درجه دوم. فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید الف، ب و جوارد این فرمول شده و بشمارید. جایگزین با نشانه های تو! به عنوان مثال، در معادله:
آ =1; ب = 3; ج= -4. در اینجا می نویسیم:
مثال تقریباً حل شد:
این پاسخ است.
همه چیز بسیار ساده است. و چه فکر می کنید، نمی توانید اشتباه کنید؟ خب آره چطوری...
رایج ترین اشتباهات اشتباه گرفتن با نشانه های ارزش است الف، ب و ج. یا بهتر است بگوییم، نه با علائم آنها (کجا باید اشتباه گرفته شود؟)، بلکه با جایگزینی مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. در اینجا، یک رکورد دقیق از فرمول با اعداد خاص ذخیره می شود. در صورت وجود مشکل در محاسبات، پس انجامش بده!
فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:
اینجا آ = -6; ب = -5; ج = -1
فرض کنید می دانید که به ندرت بار اول پاسخ می گیرید.
خب تنبل نباش نوشتن یک خط اضافی و تعداد خطاها 30 ثانیه طول می کشد به شدت کاهش خواهد یافت. بنابراین ما با تمام پرانتزها و علائم به تفصیل می نویسیم:
به نظر می رسد نقاشی با این دقت بسیار دشوار است. اما فقط به نظر می رسد. آن را امتحان کنید. خوب یا انتخاب کن کدام بهتر است، سریع یا درست؟ علاوه بر این، من شما را خوشحال خواهم کرد. بعد از مدتی دیگر نیازی به رنگ آمیزی همه چیز با این همه دقت نخواهد بود. فقط درست خواهد شد. به خصوص اگر از تکنیک های عملی استفاده کنید که در زیر توضیح داده شده است. این مثال شیطانی با یک سری معایب به راحتی و بدون خطا حل خواهد شد!
اما، اغلب، معادلات درجه دوم کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:
آیا می دانستید؟) بله! آی تی معادلات درجه دوم ناقص.
حل معادلات درجه دوم ناقص.
آنها همچنین می توانند با فرمول کلی حل شوند. شما فقط باید به درستی بفهمید که چه چیزی در اینجا برابر است الف، ب و ج.
متوجه شد؟ در مثال اول a = 1; b = -4;آ ج? اصلا وجود نداره! خوب، بله، درست است. در ریاضیات این به این معنی است c = 0 ! همین. به جای صفر در فرمول جایگزین کنید جو همه چیز برای ما درست خواهد شد. به طور مشابه با مثال دوم. فقط صفر که اینجا نداریم با، آ ب !
اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان بسیار ساده تر حل کرد. بدون هیچ فرمولی اولین معادله ناقص را در نظر بگیرید. در سمت چپ چه کاری می توان انجام داد؟ شما می توانید X را از پرانتز خارج کنید! بیا بیرونش کنیم
و از آن چه؟ و اینکه حاصل برابر صفر است اگر و فقط در صورتی که هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنی؟ خوب پس دو عدد غیر صفر بیاورید که با ضرب آنها صفر می شود!
کار نمی کند؟ یه چیزی...
بنابراین، می توانیم با اطمینان بنویسیم: x 1 = 0, x 2 = 4.
همه چيز. اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو مناسب هستند. هنگامی که هر یک از آنها را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، هویت صحیح 0 = 0 را بدست می آوریم. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از فرمول کلی است. به هر حال، توجه می کنم که کدام X اولین خواهد بود و کدام دوم - کاملاً بی تفاوت است. به ترتیب نوشتن آسان است x 1- هر کدام که کمتر است x 2- آنچه بیشتر است.
معادله دوم را نیز می توان به راحتی حل کرد. 9 را به سمت راست حرکت می دهیم. ما گرفتیم:
باقی مانده است که ریشه را از 9 استخراج کنیم و تمام. گرفتن:
همچنین دو ریشه . x 1 = -3, x 2 = 3.
به این ترتیب تمام معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با خارج کردن X از براکت، یا با انتقال شماره به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این روش ها بسیار دشوار است. فقط به این دلیل که در حالت اول باید ریشه را از X استخراج کنید که به نوعی نامفهوم است و در مورد دوم چیزی برای خارج کردن از براکت وجود ندارد ...
ممیز. فرمول تشخیصی
واژه جادویی ممیز ! دانش آموز کمیاب دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت «تصمیم گیری از طریق متمایزکننده» اطمینان بخش و اطمینان بخش است. زیرا نیازی به انتظار نیرنگ از سوی ممیز نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است.) کلی ترین فرمول حل را به شما یادآوری می کنم هرمعادلات درجه دوم:
به عبارتی که در زیر علامت ریشه قرار دارد، ممیز می گویند. ممیز معمولاً با حرف مشخص می شود D. فرمول تشخیص:
D = b 2 - 4ac
و چه چیزی در مورد این عبارت خاص است؟ چرا شایسته یک نام خاص است؟ چی معنی ممیز؟گذشته از همه اینها -ب،یا 2aدر این فرمول آنها به طور خاص ... حروف و حروف را نام نمی برند.
نکته این است. هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول، ممکن است فقط سه مورد
1. ممیز مثبت است.این بدان معنی است که می توانید ریشه را از آن استخراج کنید. اینکه ریشه به خوبی استخراج شود یا بد، سوال دیگری است. این مهم است که در اصل چه چیزی استخراج می شود. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت
2. ممیز صفر است.سپس شما یک راه حل دارید. از آنجایی که با جمع یا تفریق صفر در صورت، چیزی تغییر نمی کند. به طور دقیق، این یک ریشه واحد نیست، بلکه دو تا یکسان. اما، در یک نسخه ساده شده، مرسوم است که در مورد آن صحبت شود یک راه حل
3. ممیز منفی است.یک عدد منفی جذر را نمی گیرد. بسیار خوب. این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.
صادقانه بگویم، با حل ساده معادلات درجه دوم، مفهوم ممیز واقعاً مورد نیاز نیست. مقادیر ضرایب را در فرمول جایگزین می کنیم و در نظر می گیریم. آنجا همه چیز به خودی خود معلوم می شود، و دو ریشه، و یک، و نه یک. با این حال، هنگام حل وظایف پیچیده تر، بدون دانش معنی و فرمول تمایزکافی نیست. به خصوص - در معادلات با پارامترها. چنین معادلاتی برای GIA و آزمون یکپارچه ایالتی هوازی هستند!)
بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیماز طریق تمایزی که به یاد آوردی یا آموخته شده، که آن هم بد نیست.) شما می دانید که چگونه به درستی شناسایی کنید الف، ب و ج. آیا می دانید چگونه با دقتآنها را به فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بشمار آیا متوجه شدید که کلمه کلیدی در اینجا این است - با دقت؟
اکنون به تکنیک های عملی که به طور چشمگیری تعداد خطاها را کاهش می دهد توجه داشته باشید. همان هایی که ناشی از بی توجهی است ... برای آنها دردناک و توهین آمیز است ...
اولین پذیرایی
. قبل از حل یک معادله درجه دوم تنبلی نکنید تا آن را به فرم استاندارد برسانید. این یعنی چی؟
فرض کنید بعد از هر تغییری معادله زیر بدست می آید:
برای نوشتن فرمول ریشه ها عجله نکنید! تقریباً مطمئناً شانس ها را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.مثال را درست بسازید. ابتدا x مربع، سپس بدون مربع، سپس یک عضو آزاد. مثل این:
و باز هم عجله نکنید! منهای قبل از مربع x می تواند شما را بسیار ناراحت کند. فراموش کردن آن آسان است ... از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ بله همانطور که در مبحث قبل آموزش داده شد! باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. ما گرفتیم:
و اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را بنویسید، تفکیک کننده را محاسبه کرده و مثال را کامل کنید. خودت تصمیم بگیر شما باید به ریشه های 2 و -1 برسید.
پذیرایی دوم. ریشه های خود را بررسی کنید! طبق قضیه ویتا. نگران نباش، همه چیز را توضیح می دهم! چک کردن آخرین چیزمعادله. آن ها فرمول ریشه ها را با آن نوشتیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، ریشه ها را به راحتی بررسی کنید. کافی است آنها را ضرب کنیم. شما باید یک ترم رایگان دریافت کنید، یعنی. در مورد ما -2. توجه کنید، نه 2، بلکه -2! عضو رایگان با علامت شما . اگر درست نشد، به این معنی است که آنها قبلاً جایی را خراب کرده اند. به دنبال خطا باشید.
اگر درست شد، باید ریشه ها را تا کنید. آخرین و آخرین بررسی باید یک نسبت باشد ببا مقابل
امضاء کردن. در مورد ما -1+2 = +1. یک ضریب بکه قبل از x است برابر با 1- است. بنابراین، همه چیز درست است!
حیف است که فقط برای مثال هایی که x مجذور خالص است، با ضریب، اینقدر ساده است a = 1.اما حداقل در چنین معادلاتی بررسی کنید! اشتباهات کمتری وجود خواهد داشت.
پذیرایی سوم . اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! معادله را همانطور که در درس "چگونه معادلات را حل کنیم؟ تبدیل هویت" در مخرج مشترک ضرب کنید. هنگام کار با کسرها، خطاها، به دلایلی، صعود ...
ضمناً من قول یک مثال شیطانی با یک سری موارد منفی را دادم که ساده کنم. لطفا! او اینجا است.
برای اینکه در منفی ها گیج نشویم، معادله را در -1 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:
همین! تصمیم گیری سرگرم کننده است!
پس بیایید موضوع را دوباره مرور کنیم.
نکات کاربردی:
1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم، آن را می سازیم درست.
2. اگر جلوی x در مربع ضریب منفی باشد با ضرب کل معادله در -1 آن را حذف می کنیم.
3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در ضریب مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.
4. اگر x مجذور خالص باشد، ضریب آن برابر با یک است، جواب را می توان به راحتی با قضیه ویتا بررسی کرد. انجام دهید!
حالا شما می توانید تصمیم بگیرید.)
حل معادلات:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)
پاسخ ها (به هم ریخته):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1.2 =2
x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5
x - هر عدد
x 1 = -3
x 2 = 3
بدون راه حل
x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5
آیا همه چیز مناسب است؟ عالی! معادلات درجه دوم سردرد شما نیستند. سه مورد اول معلوم شد، اما بقیه نه؟ پس مشکل در معادلات درجه دوم نیست. مشکل در تبدیل معادلات یکسان است. به لینک نگاه کنید مفید است
کاملا کار نمی کند؟ یا اصلا کار نمیکنه؟ سپس بخش 555 به شما کمک می کند.در آنجا همه این نمونه ها بر اساس استخوان مرتب شده اند. در حال نمایش اصلیاشتباهات در راه حل البته کاربرد تبدیل های یکسان در حل معادلات مختلف نیز شرح داده شده است. کمک زیادی می کند!
اگر این سایت را دوست دارید ...
به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)
می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)
می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.
معادله درجه دوم معادله ای به شکل a*x^2 +b*x+c=0 است که در آن a,b,c برخی از اعداد واقعی دلخواه (واقعی) هستند و x یک متغیر است. و عدد a=0.
اعداد a,b,c را ضریب می گویند. عدد a - را ضریب پیشرو، عدد b ضریب x و عدد c را عضو آزاد می نامند.
حل معادلات درجه دوم
حل یک معادله درجه دوم به معنای یافتن تمام ریشه های آن یا اثبات این واقعیت است که معادله درجه دوم ریشه ندارد. ریشه معادله درجه دوم a*x^2 +b*x+c=0 هر مقدار از متغیر x است، به طوری که مثلث مربع a*x^2 +b*x+c ناپدید می شود. گاهی چنین مقدار x را ریشه یک مثلث مربع می نامند.
روش های مختلفی برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد. یکی از آنها را در نظر بگیرید - همه کاره ترین. می توان از آن برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.
فرمول های حل معادلات درجه دوم
فرمول ریشه های معادله درجه دوم a*x^2 +b*x+c=0 است.
x=(-b±√D)/(2*a)، که در آن D =b^2-4*a*c.
این فرمول با حل معادله a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 به صورت کلی و با برجسته کردن مربع دو جمله ای به دست می آید.
در فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم به عبارت D (b^2-4*a*c) ممیز معادله درجه دوم a*x^2 +b*x+c=0 گفته می شود. این نام از زبان لاتین آمده است که به "مشخص کننده" ترجمه شده است. بسته به مقدار ممیز، معادله درجه دوم دو یا یک ریشه یا اصلاً ریشه نخواهد داشت.
اگر تفکیک کننده بزرگتر از صفر باشد،پس معادله درجه دوم دو ریشه دارد. (x=(-b±√D)/(2*a))
اگر ممیز صفر باشد،پس معادله درجه دوم یک ریشه دارد. (x=(-b/(2*a))
اگر تمایز منفی باشد،پس معادله درجه دوم ریشه ندارد.
الگوریتم کلی برای حل معادله درجه دوم
با توجه به موارد فوق، یک الگوریتم کلی برای حل معادله درجه دوم a*x^2 +b*x+c=0 با استفاده از فرمول فرموله می کنیم:
1. مقدار تفکیک کننده را با استفاده از فرمول D =b^2-4*a*c بیابید.
2. بسته به مقدار ممیز، ریشه ها را با استفاده از فرمول ها محاسبه کنید:
D<0, корней нет.
D=0، x=(-b/(2*a)
D>0، x=(-b+√D)/(2*a)، x=(-b-√D)/(2*a)
این الگوریتم جهانی و مناسب برای حل هر معادله درجه دوم است. کامل و ناقص، مورد استناد و عدم استناد.
فقط طبق فرمول ها و قوانین ساده روشن. در مرحله اول
لازم است معادله داده شده را به شکل استاندارد برسانیم، یعنی. به منظره:
اگر معادله قبلاً به این شکل به شما داده شده است، لازم نیست مرحله اول را انجام دهید. مهم ترین چیز درست است
تعیین تمام ضرایب آ, بو ج.
فرمول یافتن ریشه یک معادله درجه دوم.
عبارت زیر علامت ریشه نامیده می شود ممیز . همانطور که می بینید، برای پیدا کردن x، ما
استفاده کنید فقط الف، ب و ج. آن ها شانس از معادله درجه دوم. فقط با دقت وارد کنید
ارزش های الف، ب و جوارد این فرمول شده و بشمارید. جایگزین با آنهانشانه ها!
مثلا، در معادله:
آ =1; ب = 3; ج = -4.
مقادیر را جایگزین کنید و بنویسید:
مثال تقریباً حل شد:
این پاسخ است.
رایج ترین اشتباهات اشتباه گرفتن با نشانه های ارزش است الف، بو با. بلکه با تعویض
مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. در اینجا فرمول دقیق ذخیره می کند
با اعداد مشخص اگر در محاسبات مشکلی وجود دارد، این کار را انجام دهید!
فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:
اینجا آ = -6; ب = -5; ج = -1
ما همه چیز را با جزئیات، با دقت، بدون از دست دادن چیزی با همه علائم و براکت ها نقاشی می کنیم:
اغلب معادلات درجه دوم کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:
اکنون به تکنیک های عملی که به طور چشمگیری تعداد خطاها را کاهش می دهد توجه داشته باشید.
اولین پذیرایی. قبلش تنبل نباش حل یک معادله درجه دومآن را به فرم استاندارد برسانید.
این یعنی چی؟
فرض کنید بعد از هر تغییری معادله زیر بدست می آید:
برای نوشتن فرمول ریشه ها عجله نکنید! تقریباً مطمئناً شانس ها را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.
مثال را درست بسازید. ابتدا x مربع، سپس بدون مربع، سپس یک عضو آزاد. مثل این:
از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. ما گرفتیم:
و اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را بنویسید، تفکیک کننده را محاسبه کرده و مثال را کامل کنید.
خودت تصمیم بگیر شما باید به ریشه های 2 و -1 برسید.
پذیرایی دوم.ریشه های خود را بررسی کنید! توسط قضیه ویتا.
برای حل معادلات درجه دوم داده شده، i.e. اگر ضریب
x2+bx+c=0،
سپسx 1 x 2 = c
x1 +x2 =-ب
برای یک معادله درجه دوم کامل که در آن a≠1:
x 2 +بx+ج=0,
کل معادله را بر تقسیم کنید آ:
→ 
→
جایی که x 1و ایکس 2 - ریشه های معادله.
پذیرایی سوم. اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! تکثیر کردن
معادله برای یک مخرج مشترک
نتیجه. نکات کاربردی:
1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم، آن را می سازیم درست.
2. اگر جلوی x در مربع یک ضریب منفی باشد، آن را با ضرب همه چیز حذف می کنیم.
معادلات برای -1.
3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در معادله مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.
عامل.
4. اگر x مربع خالص باشد، ضریب آن برابر با یک است، راه حل را می توان به راحتی با
معادلات درجه دوم با معادلات خطی با افزایش یک مجهول به توان دوم متفاوت است. در شکل کلاسیک (متعارف) عوامل a، b و جمله آزاد c برابر با صفر نیستند.
معادله درجه دوم معادله ای است که سمت چپ آن صفر است و سمت راست آن مثلثی از درجه دوم شکل است:
حل یک مثلثی یا یافتن ریشه های آن به معنای یافتن مقادیر x است که برابری برای آنها صادق است. نتیجه این است که ریشه های چنین معادله ای مقادیر متغیر x هستند.
یافتن ریشه از طریق فرمول تفکیک
یک مثال ممکن است یک یا دو ریشه داشته باشد یا ممکن است هیچ ریشه ای نداشته باشد. یک الگوریتم بسیار ساده و قابل درک از اقدامات برای تعیین تعداد راه حل ها وجود دارد. برای انجام این کار، کافی است متمایز را پیدا کنید - یک مقدار محاسبه شده خاص که در جستجوی ریشه ها استفاده می شود. فرمول محاسبات به شرح زیر است:
بر اساس نتایج به‌دست‌آمده، می‌توان به نتایج زیر دست یافت:
- اگر D > 0 باشد دو ریشه وجود دارد.
- یک راه حل وجود دارد اگر D = 0;
- هیچ ریشه ای وجود ندارد اگر D< 0.
اگر D ≥ 0 باشد، باید محاسبات را طبق فرمول ادامه دهید:
مقدار x1 خواهد بود و x2 − . اگر D = 0 باشد، علامت "±" معنی خود را از دست می دهد، زیرا √0 = 0. در این حالت، تنها ریشه است.
نمونه هایی از حل معادله درجه دوم
الگوریتم حل چند جمله ای بسیار ساده است:
- عبارت را به شکل کلاسیک بیاورید.
- تعیین کنید که آیا یک معادله درجه دوم ریشه دارد (فرمول تمایز).
- اگر D ≥ 0 باشد، با استفاده از هر یک از روش های شناخته شده، مقادیر متغیر x را پیدا کنید.
در اینجا یک مثال خوب از نحوه حل معادله درجه دوم آورده شده است.
وظیفه 1. ریشه ها را پیدا کنید و مساحت حل معادله را به صورت گرافیکی مشخص کنید 6x + 8 - 2 × 2 = 0.
ابتدا لازم است تساوی را به شکل متعارف ax2+bx+c=0 کاهش دهیم. برای این کار، اصطلاحات چند جمله ای را در مکان هایی دوباره مرتب می کنیم.
سپس، با خلاص شدن از ضریب مقابل x2، عبارت را ساده می کنیم. با ضرب ضلع چپ و راست در (-1)⁄2 به دست می آید:
مزایای فرمول برای یافتن ریشه یک معادله درجه دوم از طریق ممیز این است که می توان از آنها برای حل هر سه جمله ای درجه دوم استفاده کرد.
بنابراین، در چند جمله ای کاهش یافته a=1، b=-3 و c=-4. بیایید مقدار متمایز کننده را برای یک مثال خاص محاسبه کنیم.
بنابراین معادله دو ریشه دارد. برای یافتن گرافیکی ناحیه حل یک مثال، باید سهمی بسازید که عملکرد آن برابر است 
.
نمودارهای عبارت به شکل زیر خواهند بود:
در مثال مورد بررسی، D>0، بنابراین، دو ریشه وجود دارد.
نکته 1: اگر ضریب a یک عدد منفی است، باید هر دو قسمت مثال را در (-1) ضرب کنید.
نکته 2: اگر در مثال کسری وجود دارد، سعی کنید با ضرب سمت چپ و راست عبارت در متقابل آنها، از شر آنها خلاص شوید.
نکته 3: شما باید همیشه معادله را به شکل متعارف بیاورید، این به از بین بردن احتمال اشتباه در ضرایب کمک می کند.
قضیه ویتا
روش هایی وجود دارد که می تواند محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش دهد. آنها شامل قضیه ویتا هستند. این روش را می توان نه برای همه انواع معادلات، بلکه تنها در صورتی اعمال کرد که ضریب برای متغیر x2 برابر با یک باشد، یعنی a = 1.
این بیانیه را با مثال های خاص در نظر بگیرید:
- 5 × 2 - 2x + 9 = 0 - استفاده از قضیه در این مورد نامناسب است، زیرا a = 5.
- –x2 + 11x - 8 \u003d 0 - a \u003d -1، به این معنی که معادله را می توان با روش Vieta فقط پس از کاهش به شکل کلاسیک، یعنی با ضرب هر دو قسمت در -1 حل کرد.
- x2 + 4x - 5 = 0 - این کار برای تجزیه و تحلیل روش حل ایده آل است.
برای یافتن سریع ریشه های عبارت، لازم است یک جفت از مقادیر x را انتخاب کنید که سیستم معادلات خطی زیر برای آنها معتبر است.
