Как преобразовать произведение в многочлен стандартного вида. Преобразование многочленов в произведение без посредства формул сокращенного умножения и деления. Многочлены от одной переменной

Инструкция

Раскройте все скобки выражения. Для этого воспользуйтесь формулами, например, (а+b)^2=a^2+2ab+b^2. Если вы не знаете формул, или их трудно применить к данному выражению, раскрывайте скобки последовательно. Для этого умножайте первый член первого выражения на каждый член второго выражения, затем второй член первого выражения на каждый член второго и т.д. В результате все элементы обоих скобок будут перемножены между собой.

Если перед вами три выражения в скобках, сначала перемножьте первые две, оставляя третье выражение не тронутым. Упростив результат, получившийся в результате преобразования первых скобок, перемножьте его с третьим выражением.

Внимательно следите за соблюдением знаков перед множителями-одночленами. Если вы перемножаете два члена с одним знаком (например, оба положительны или оба отрицательны), одночлен будет со знаком «+». Если же один член имеет перед собой «-», не забудьте перенести его на произведение.

Приведите все одночлены к стандартному виду. То есть переставьте местами множители внутри и упростите. Например, выражение 2х*(3,5х) будет равно (2*3,5)*х*х=7х^2.

Когда все одночлены будут стандартизированы, попробуйте упростить многочлен. Для этого сгруппируйте члены, у которых одинакова часть с переменными, например, (2х+5х-6х)+(1-2). Упростив выражение, вы получите х-1.

Чтобы преобразовать в многочлен выражение, содержащее корень, выведите под ним выражение, которое будет возведено в квадрат. Например, воспользуйтесь формулой a^2+2ab+b^2 =(а+b)^2, затем уберите знак корня вместе с четной степенью. Если избавиться от знака корня невозможно, преобразовать выражение в многочлен стандартного вида не удастся.

Источники:

• преобразование многочлена калькулятор

Краткость, как говорится, - сестра таланта. Каждому хочется блеснуть талантом, но вот его сестра - штука сложная. Гениальные мысли почему-то сами собой облекаются в сложноподчинённые предложения со множеством деепричастных оборотов. Однако в ваших силах упростить свои предложения и сделать их понятными и доступными всем.

Инструкция

Чтобы облегчить адресату (будь то слушатель или читатель) , постарайтесь заменять причастные и деепричастные обороты короткими придаточными предложениями, особенно если вышеуказанных оборотов слишком много в одном предложении. "Пришедший домой кот, только что съевший мышь, громко мурлыча, ласкался к хозяину, пытаясь заглянуть ему в глаза, надеясь выпросить рыбу, принесённую из магазина" - не пойдёт. Разбейте подобную конструкцию на несколько частей, не торопитесь и не пытайтесь сказать всё одним предложением, вам счастье.

Если вы задумали гениальное высказывание, но в нём оказалось слишком много придаточных предложений (тем более с одним ), то лучше разбить высказывание на несколько отдельных предложений или опустить какой-то элемент. "Мы решили, что он расскажет Марине Васильевне, что Катя скажет Вите, что..." - можно продолжать бесконечно. Вовремя остановитесь и вспомните о том , кто будет это читать или выслушивать.

Обозначайте разные подобные члены по-разному. Для этого лучше подчеркивайте одинарными, двойными и тройными линиями, используйте цвет и другие формы линий.

Найдя все подобные члены, приступайте к их комбинированию. Для этого в найденных вынесите подобные члены за скобки. Не забывайте, что в стандартной форме у многочлена нет подобных членов.

Проверьте, не осталось ли у вас одинаковых элементов в записи. В ряде случаев у вас могут вновь подобные члены. Повторите операцию с их комбинированием.

Проследите за выполнением второго условия, требующегося для записи многочлена в стандартной форме: каждый его участник должен быть изображен в виде одночлена в стандартном виде: на первом месте – числовой множитель, на втором – переменная или переменны, следующие в уже обозначенном порядке. При этом имеет буквенная последовательность, задаваемая алфавитом. Убывание степеней учитывается во вторую очередь. Так, стандартным видом одночлена является запись 7xy2, в то время как y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не требованиям.

Видео по теме

Математическая наука изучает различные структуры, последовательности чисел, отношений между ними, составление уравнений и их решение. Это формальный язык, которым можно четко описать приближенные к идеальным свойства реальных объектов, изучаемых в других областях науки. Одной из таких структур является многочлен.

Инструкция

Многочлен или (от греч. «поли» - много и лат. «номен» - имя) – элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные коэффициенты, x – переменная.

Многочлены применяются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, отрицательных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Использование полиномиальных вычислений значительно упрощает выражение свойств разных объектов.

Основные определения :
Каждое слагаемое полинома называется или мономом.
Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом или биномом.
Коэффициенты полинома – вещественные или комплексные числа.
Если коэффициент равен 1, то называют унитарным (приведенным).
Степени переменной в каждом одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью называется целое число, равное сумме всех степеней.
Одночлен, соответствующий нулевой степени, называется свободным членом.
Многочлен, все которого имеют одинаковую полную степень, называется однородным.

Некоторые часто используемые многочлены названы по фамилии ученого, который их определил, а также функции, которые они задают. Например, Бином Ньютона – это для разложения полинома на отдельные слагаемые для вычисления степеней. Это известные из школьной программы записи квадратов суммы и разности (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 и разность квадратов (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).

Если допустить в записи многочлена отрицательные степени, то получится многочлен или ряд Лорана; многочлен Чебышева используется в теории приближений; многочлен Эрмита – в теории вероятностей; Лагранжа – для численного интегрирования и интерполяции; Тейлора – при аппроксимации функции и т.д.

Обратите внимание

Бином Ньютона часто упоминают в книгах («Мастер и Маргарита») и фильмах («Сталкер»), когда герои решают математические задачи. Этот термин на слуху, поэтому считается самым известным многочленом.

Преобразование выражений чаще всего производится с целью их упрощения. Для этого используются специальные соотношения, а также правила сокращения и приведения подобных.

Вам понадобится

• - действия с дробями;
• - формулы сокращенного умножения;
• - калькулятор.

Инструкция

Простейшим преобразованием является приведение подобных. Если есть слагаемых, которые представляют собой одночлены с одинаковыми сомножителями, коэффициент при них можно сложить, с учетом знаков, которые стоят перед этими коэффициентами. Например, выражение 2 n-4n+6n-n=3 n.

Если же одинаковые сомножители имеют степени, подобным образом свести подобные не возможно. Группируйте только те коэффициенты, которые имеют при себе сомножители с . Например, упростите выражение 4 k?-6 k+5 k?-5 k?+k-2 k?=3 k?-k?-5 k.

Если есть возможность, используйте формулы сокращенного умножения. К наиболее популярным куб и квадрат суммы или разности двух чисел. Они представляют собой частный случай Ньютона. К формулам сокращенного умножения также квадратов двух чисел. Например, чтобы найти 625-1150+529=(25-23)?=4. Или 1296-576=(36+24) (36-24)=720.

«Совершенствование вычислительных навыков» - Состав числа. Повторение действий. Умножение. Сложение. Правила раскрытия скобок. Cложение отрицательных чисел. Вычитание. Сложение обыкновенных дробей. Сложение чисел с разными знаками. Совершенствование вычислительных навыков. Вычитание однозначного числа. Опорная схема. Действие в столбик. Умножение одночлена на многочлен.

«Разность квадратов чисел» - Возведите в квадрат. Формула сокращенного умножения. Разность квадратов двух выражений. Работа с таблицей. Разность квадратов. Геометрический смысл формулы. Как можно прочитать формулу. Выполните умножение. Влияет ли порядок записи скобок на результат. Формула (а+b)(a-b)=a2-b2. Произведение разности двух выражений и их суммы.

«Умножение многочлена на многочлен» - Правило умножения многочлена на многочлен. Игра «Открой картинку». Открой картинку. Каждый член первого многочлена поочерёдно умножать на каждый член второго многочлена. Рассмотрим произведение самых простых многочленов, а именно двучленов. У одного многочлена m членов, а у другого n членов. План урока.

«Разложение многочлена на множители» - Предварительное преобразование. Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Применение формул сокращенного умножения. Метод выделения полного квадрата. Тестор. Ответы: Схема урока: Конфуций. Формулы сокращенного умножения. Способ группировки.

«Преобразование целого выражения в многочлен» - Какие из выражений являются целыми: Примерами целых выражений служат такие выражения: Цели урока: Упражнять учащихся в приведении подобных слагаемых. Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Развивать вычислительные навыки учащихся. Ввести понятие целого выражения. Преобразование целых выражений.

«Урок Формулы сокращённого умножения» - Цель урока: Повторить и обобщить практические навыки и умения по теме «Формулы сокращённого умножения». Тема урока: ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ. Подготовиться к предстоящей контрольной работе. Задача: Стороны первого квадрата на 1 см больше сторон второго квадрата, а площадь первого квадрата на 9см2 больше площади второго квадрата.

Всего в теме 24 презентации

ОТДЕЛЕНИЕ IV.

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ.

§ 1.Преобразование многочленов в произведение без посредства формул сокращенного умножения и деления.

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то можно разделить весь многочлен на этот множитель и обозначить умножение того же множителя на полученное многочленное частное. От этого данное выражение не изменит своего количественного значения, но примет форму произведения. Например, двучлен аb+ас можно представить в виде а (b+с ).

Такое преобразование формы называется вынесением общего множителя за скобки. Производя это действие, следует заботиться выносить.за скобку все, что можно, так чтобы в членах частного, заключаемого в скобки, не оставалось больше никакого общего множителя.

Иногда при вынесении за скобку придают общему миожителю знак минус. В таком случае члены частного в скобках пишутся со знаками, противоположными тем, какие имели перед собой члены данного многочлена. Отрицательный знак общего множителя относится при этом ко всему произведению. Напр., двучлен -аb+ас может быть представлен в виде (-а )(b-с ), а вместо этого пишут -а (b-с ), причем минус относится уже не к одному множителю а , но ко всему произведению.

Когда члены многочлона не имeют общего множителя, то иногда удачной группировкой членов в нeсколько групп, содержащих по нeсколько члeнов в каждой грусшe, находят в этих образовавшихся группах общий и притом многочленный множитель. Нерeдко для такой группировки оказывается достаточным заключить нeсколько членов в скобки со знаком +, или со знаком -.

Напр., имeя трeхчленное выражение а (b +с )+b+с мы заключаем два послeдние члена в скобки с плюсом и находим выражение а (b +с )+(b+с ), которое можно рассматривать как двучлен и котороe преобразовывается в произведоние (а +1 )(b+с ).

Подобно этому в выражении а (b-с )-b+с заключаем два послeдние члена в скобки с минусом, отчего выражение примет вид а (b-с )-(b-с ), а затeм преобразуется в произведение (а - 1 )(b-с ).

В большинствe случаев, встрeчающихся на практикe, требуется для открытия общего многочленного множителя не только соединить члены данного многочлена в группы, но еще вынести в этих группах общий одночленный множитель, различный для каждой. группы. При удачном выборe групп и при обязатeльном условии выносить за скобку все, что можно, общий множитель всего данного многочлена легко обнаруживаeтся.

Напр., имeя многочлен а 3 +а 2 b +2аb 2 +2b 3 , соединяем первыe два члена в одну группу и послeдниe два в другую и выносим в первой группe за скобки а 2 и во второй 2b 2 ; получим а 2 (а+b )+ 2b 2 (а+b ) или (а+b )(а 2 +2b 2 ). Того жe результата можно достигнуть, вынося в пeрвом и трeтьем членах множитeль а , а во втором и четвeртом множитель b .

Подобно этому, соeдиняя в многочленe 3а 3 - 3а 2 b -аb 2 +b 3 пeрвый член с третьим и второй с четвeртым и вынося в пeрвой груапe множитeль а , а во второй множитeль- b , получии а (3а 2 -b 2 )-b (3а 2 -b 2 ) или (а-b )(3а 2 -b 2 ). Тот жо результат оказался бы при вынесении из пeрвых двух члонов за скобки 3а 2 , а из послeдних двух -b 2 .

Нужно замeтить, что подобного рода преобразования отличаются большим разнообразием, в особенности при соединeнии их с другими алгебраическими дeйствиями. Поэтому нельзя дать для этих преобразований общих и вполнe опродeленных правил; навык в них приобрeтается лишь обстоятельным и мeтодическим упражнeнием.

Иногда, преждe чeм группировать члeны мкогочлена для вынeсения в нeм многочлeнного множителя, требуeтся разложить нeкоторыe из членов в алгебраическую сумму новых членов, подобных разлагаемым. В таком случаe части разложенных членов относятся при группировкe к различным группам. Примeним способ разложения к преобразованию трехчленных выражeний.

Чтобы преобразовать трехчлен х 2 +5х +6 , разлагаем член 5 х в сумму членов 2 х и 3 х . Таким образом получим:

х 2 +5х +6 = х 2 +2х+ 3 х +6 = х (х +2 )+3 (х +2 )==(х +2 )(х +3 ).

Для преобразования трехчлена х 2 +2х -15 , разлагаем член +2х в сумму членов +5х и -3х Найдем:

х 2 +2х -15 = х 2 +5х - 3х -15 = х (х +5 )-3 (х +5 )==(х -3 )(х +5 ).

Существует общее правило, указывающее, когда возможно преобразованиe трехчленов ппдобного вида в произведение, и как производить такое преобразование. Для вывода и уяснeния этого правила нужно только разложить четыре вида трехчлена х 2 ± (а+b )х +аb и х 2 ± (а-b )х -аb , взяв каждый из них отдeльно и начав прeобразованиe с раскрытия скобок. Тогда окажется, что в произведение преобразовываются тe трехчлены, у которых пeрвый коэффициент при х 2 есть единица, второй коэффициент при х какой угодно, а третий коэффидиeнт или член, нe содержащий х есть алгебраическое произведение тeх самых количеств, на алгeбраическую сумму которых разлагается второй коэффицинт. Так, в трехчленe х 2 +5х +6 коэффициент 5 есть сумма чисел 3 и 2 , а 6 eсть произвeдениe тeх жe чисел, в трехчленe х 2 +2х -15 коэффициeнт -2 есть сумма количеств -5 и +3 , а -15 есть произведение тех жe количеств. Чтобы произвести прeобразованиe трехчлена, когда оно возиожно, нужно по знакам и числовым величинам третьего и второго коэффициента подыскать способ разложeния трeтьего коэффициeнта в произвeдeниe двух количеств, а второго в сумму тeх жe количеств. Рассмотрим примeры:

Пусть, напр., дан трехчлеч х 2 -11х +24 . Так как коэффициент 24 положитeлен, то искомые производитeли eго должны имeть одинаковыe знаки. Судя по тому, что второй коэффициент -11 отрицатeльный, видим, что эти производитeли коэффициента 24 или слагаeмыe коэффициента -11 оба отрицатeльны. Наконец, разлагая 24 на два отрицательных множителя и сравнивая сумму их с - 11 , убeдимся в том, что для преобразования трeхчлeна в произвeдение нужно разложить средний член - 11 х на члены -3 х и - 8 х.

Положим еще, что дан трехчлен х 2 - 7х -30 . Здeсь коэффициент -30 отрицательный; поэтому производители его имeют разные знаки. Коэффициснт -7 отрицательный; слeдовательно, при составлении его сложением берет перевeс отрицательное слагаемое, имeющее таким образом большую числовую величину. Поэтому член - 7х нужно разложить на члены -10х и +3х .

В произведение прeобразовываются такжe нерeдко трехчлены, у которых первый коэффициeнт нe есть единица. Для таких преобразований не будeм указывать тепeрь общего правила, вывод которого требует болee сложных рассуждений.

Развивая выше рассмотрeнный способ преобразования трехчленов в произведение, можно разлагать многочлены высших степеней в тeх случаях, когда они представляют произведения простeйпшх двучленов первой степени. Для упрощения подобных преобразований полезно выяснить слeдующее замeчание: положим, что какой-либо многочлен содержит множителем нeкоторый двучлен х + а . Так как двучлен этот, при замeнe х через -а , обращается в нуль, то многочлен, содержащий х+а множителем, должен также обращаться в нуль при этой замeнe. Подобно этому если многочлен содержит множителем двучлен х-а , обращающийся в нуль при замeнe х через а , то и сам многочлен обращается в нуль при той же замeнe. Справедливо и обратное заключение: если многочлен, содержащий разные степени х , обращается в нуль при замeнe х через -а или через а , то он навeрноe дeлится в первом случаe на х+а , а во втором на х-а , потому что обращение многочлена в нуль при одной из указанных подстановок может быть объяснено только тeм, что в состав многочлена входит соотвeтствующий двучленный множитель. Вышеуказанные замeчания дают простое средство для открытия в многочленe двучленного множителя, а затeм этот множитель может быть вынесен за скобки посредством разложения средних членов многочлена в алгебраические суммы.

Возьмем, напр., многочлен х 3 +6х 2 +11х +6 . Он обращается в нуль при замeнe х через -1 и потому дeлится на х +1. Зная этот множитель наперед, мы облегчаем себe разложение членов в суммы тeм, что опредeленно подбираем к каждому члену, начиная с высшего, часть слeдующего члена так, чтобы пара группируемых членов содержала множителем х +1 . Поэтому преобразование ведется слeдующим образом:

х 3 +6х 2 +11х +6 = х 3 +х 2 +5х 2 +5х +6х +6 = х 2 (х +1 )+ 5х (х +1 )+ 6 (х +1 )= (х +1 )(х 2 +5х +6 ) =
= (х +1 )(х +2 )(х +3 )

ІІодобно этому замeчаем, что многочлен х 3 -4х 2 -11х +30 обращаeтся в нуль при замeнe х через 2 и слeдовательно дeлится на х- 2 . Поэтому выполняем преобразование так:

х 3 -4х 2 -11х +30 = х 3 -2х 2 -2х 2 +4х -15х +30 = х 2 (х -2 ) -2х (х -2)-15 (х -2 )=
=(х -2 )(х 2 -2х -15 )=(х -2 )(х +3 )(х -5 ).

Первоначальный подбор множителя облегчается тeм, что в многочлен требуется подставлять талько тe количества, числовая величина которых входит множителeм в послeдний член многочлена. Это обнаруживается при рассмотрeнии многочлена, выражающего общий вид произведения (х +а )(х +b )(х +c ) . Последний член этого многочлена есть abc.

Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида - в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

Рассмотрим примеры, в которых целое выражение нужно привести к стандартному виду многочлена.

Решение. Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена. Получим После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида

Решение. Если перед скобками стоит знак «плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим:

Решение. Если перед скобками стоит зиак «минус», то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых» заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом паскрытия скобок, получим:

Решение. Произведение одночлена и многочлена согласно распределительному закону равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена. Получаем

Решение. Имеем

Решение. Имеем

Осталось привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим:

53. Формулы сокращенного умножения.

В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:

Эти тождества называют формулами сокращенного умножения,

Рассмотрим примеры, в которых нужно преобразовать заданное выражение в миогочлеи стандартного вида.

Пример 1. .

Решение. Воспользовавшись формулой (1), получим:

Пример 2. .

Решение.

Пример 3. .

Решение. Воспользовавшись формулой (3), получим:

Пример 4.

Решение. Воспользовавшись формулой (4), получим:

54. Разложение многочленов на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких сомножителей - многочленов или одпочленов. Такое тождественное преобразование называется разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители,

1) Вынесение общего множителя за скобку. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона (для наглядности нужно лишь переписать этот закон «справа налево»):

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Решение. .

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена - целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

2) Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) - (7) из п. 53, будучи прочитанными «справа налево, во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.

Пример 2. Разложить на множители .

Решение. Имеем . Применив формулу (1) (разность квадратов), получим . Применив

теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим:

Пример 3. .

Решение. Сначала вынесем за скобку общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а и b входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим:

3) Способ группировки. Он основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается однн и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители.

Пример 4. .

Решение. Произведем группировку следующим образом:

В первой группе вынесем за скобку общий множитель во второй - общий множитель 5. Получим Теперь многочлен как общий множитель вынесем за скобку: Таким образом, получаем:

Пример 5.

Решение. .

Пример 6.

Решение. Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить в виде суммы Получим

Пример 7.

Решение. Прибавим и отнимем одночлен Получим

55. Многочлены от одной переменной.

Многочлен , где a, b - числа переменная, называется многочленом первой степени; многочлен где а, b, с - числа переменная, называется многочленом второй степени или квадратным трехчленом; многочлен где а, b, с, d - числа переменная называется многочленом третьей степени.

Вообще если о, переменная, то многочлен

называется лсмогочленол степени (относительно х); , m-члены многочлена, коэффициенты, старший член многочлена, а - коэффициент при старшем члене, свободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной постепенно уменьшаются, в частности, на первом месте стоит старший член, на последнем - свободный член. Степень многочлена - это степень старшего члена.

Например, многочлен пятой степени, в котором старший член, 1 - свободный член многочлена.

Корнем многочлена называют такое значение при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена так как

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \(12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \(2b^2 -7b + 6 \) - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \((a + b)^2 \) - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.