Уравнение x в квадрате равно a. Определение квадратного уравнения. Полные и неполные квадратные уравнения

Цели:

• создание условий для проблемного анализа трагедии А.С. Пушкина «Моцарт и Сальери», совершенствование навыков работы с текстом художественного произведения;
• развитие мыслительной деятельности, аналитических умений и навыков;
• формирование положительных нравственных ориентаций.

Методические приемы: мини-лекция, беседа, сообщения учащихся, работа с текстом художественного произведения.

Организационные формы: фронтальная (лекция учителя, беседа), групповая (анализ текста), индивидуальная (проблемный вопрос, тестирование).

Ход урока

I. Орг.момент

(оформление рабочих карт)

(звуковой фрагмент)

II. Тема и цель урока

• сообщение темы урока;
• проблемный вопрос;
• постановка цели (обсуждение в группах, заполнение рабочей карты).

III. Объяснение нового материала

1. Из истории создания «Маленьких трагедий»

(лекция учителя с элементами беседы сопровождается слайд-презентацией)

В 1830 году в Болдино Пушкин написал четыре пьесы: «Скупой рыцарь», «Моцарт и Сальери», «Каменный гость», «Пир во время чумы».

В письме П.А. Плетневу Пушкин сообщал, что привез «несколько драматических сцен, или маленьких трагедий».

Пьесы стали называть «Маленькими трагедиями». Они действительно невелики по объему, имеют малое количество сцен и персонажей. «Драматические сцены», «Драматические очерки», «Драматические изучения» – такие названия хотел дать своим пьесам А.С. Пушкин, подчеркивая их отличие от традиционных.

Для «Маленьких трагедий» характерно быстрое развитие действия, острый драматический конфликт, глубина проникновения в психологию героев, охваченных сильной страстью, правдивое изображение характеров, отличающихся многогранностью, индивидуальными и типическими чертами.

В «Маленьких трагедиях» показаны всепоглощающие душу человека страсти или пороки:

• гордость, презирающая всех;
• жадность, не дающая человеку и минуты подумать о духовном;
• зависть, доводящая до злодеяния;
• чревоугодие, не знающее никаких постов, соединенное со страстной привязанностью к различным увеселениям;
• гнев, вызывающий страшные разрушительные действия.

В «Скупом рыцаре» отразилось средневековье Западной Европы, быт и нравы рыцарского замка, показана власть золота над душой человека.

В «Каменном госте» по-новому разработана старинная испанская легенда о Дон-Жуане, живущем только для себя, не считающемся с нравственными нормами; смелость, ловкость, остроумие – все эти качества он направил на удовлетворение своих желаний в погоне за удовольствиями.

«Пир во время чумы» – философское размышление о поведении человека перед опасностью смерти.

2. Тема трагедии «Моцарт и Сальери»

– Какая же тема раскрыта в трагедии «Моцарт и Сальери»? (В «Моцарте и Сальери» раскрылась губительная сила зависти.)

Тема – художественное творчество и зависть как всепоглощающая душу человека страсть, приводящая его к злодейству. Сохранилось первоначальное название трагедии «Зависть», во многом определяющее ее тему.

(Звуковой фрагмент)

3. Легенда и факты жизни Моцарта и Сальери.

(сообщения учеников)

Героями трагедии являются реальные люди: австрийский композитор Вольфганг Амадей Моцарт (1756-1791) и итальянский композитор, дирижер, педагог Антонио Сальери (1750-1825).

Вольфганг Амадей Моцарт – австрийский композитор. Моцарт сочинял музыку с пяти лет. В четырнадцать – стал придворным музыкантом в Зальцбурге. Затем жил и работал в Вене. Бывал в Италии, был избран членом Филармонической академии в Болонье. В 1787 году состоялось первое представление в Праге его оперы «Дон-Жуан». В следующем году она была поставлена в Вене, здесь присутствовал Сальери.

Высокую гармонию, изящество, благородство, гуманистическую направленность произведений Моцарта отмечали его современники. Критики писали, что его музыка «полна света, мира и душевной ясности, как будто земные страдания пробуждали только одни Божественные стороны этого человека, а если по временам и проносится тень скорби, то в ней виден душевный мир, проистекающий из полной покорности Провидению». Музыка Моцарта самобытна и оригинальна. Он создал 628 произведений, в том числе 17 опер: «Свадьба Фигаро», «Дон-Жуан», «Волшебная флейта» и др.

«Реквием» – произведение, над которым Моцарт работал перед смертью, так и осталось незавершенным.

Реквием – траурное вокальное или вокально-инструментальное музыкальное произведение. (Звуковой фрагмент)

С преждевременной, ранней смертью Моцарта связана легенда о его отравлении Сальери, который с 1766 года жил и работал в Вене, являлся придворным камерным дирижером и композитором итальянской оперы в Вене. Затем уехал в Париж, где сблизился с композитором Глюком, стал его учеником и последователем. Вернувшись в Вену, занял должность придворного дирижера. Учениками Сальери были Л. ван Бетховен, Ф. Лист, Ф. Шуберт. Сальери написал 39 опер: «Та-рар», «Фальстаф» (комическая опера) и др.

Версия о том, что Сальери якобы отравил Моцарта, не имеет точного подтверждения и остается легендой. Она основана на распространившемся в немецкой прессе утверждении, будто Сальери на ложе смерти исповедался в грехе убийства Моцарта.

– Почему А.С. Пушкина заинтересовала легенда об отравлении Моцарта? (Легенда об отравлении Моцарта интересовала Пушкина потому, что позволяла раскрыть психологические причины рождения в душе человека зависти, ведущей его к непримиримому конфликту и к преступлению. Исторические лица, документальные факты из жизни приобрели художественное обобщение.)

4. Герои трагедии

(работа в группах)

Моцарт – композитор, пользующийся известностью и славой. Как человек он считает разумным и справедливым Божественный миропорядок. Он принимает земную жизнь с ее радостями и страданиями, постигает высокие идеалы, идущие от Бога. Моцарт – гений, он избран небом, чтобы передать людям в гармонии музыки добро и красоту как непреходящие, вечные ценности.

Сальери осознает гениальность Моцарта.

Сальери

Какая глубина!
Какая смелость и какая стройность!
Ты, Моцарт, бог, и сам того не знаешь;
Я знаю, я.

Сам Моцарт понимает, что служителей прекрасного на земле мало, если бы всем был дан дар творчества,

тогда б не мог
И мир существовать; никто б не стал
Заботиться о нуждах низкой жизни;
Все предались бы вольному искусству.

Осознавая свой дар, Моцарт чувствует себя обычным смертным. Назвавшему его богом Сальери он шутливо отвечает:

Ба! право? может быть...
Но божество мое проголодалось.

Веселый, беспечный от безмерности таланта, глубоко человечный Моцарт создает свои произведения легко, словно они возникают сами собой. Это не результат упорного труда и знания технических приемов, а Божественный дар – гениальность. Вместе с тем он не скрывает, что его произведения – плоды «бессонниц, легких вдохновений»:

Сальери

Что ты мне принес?

Моцарт

Нет – так; безделицу. Намедни ночью
Бессонница моя меня томила.
И в голову пришли мне две-три мысли.
Сегодня их я набросал. Хотелось
Твое мне слышать мненье...

Жизнь и искусство для Моцарта – единое целое. Истинный художник, он творит не ради личной выгоды, «презренной пользы», а ради самого искусства. Истинный художник отдает себя искусству, не требуя взамен славы – такова точка зрения Моцарта. Его музыка популярна, об этом свидетельствует ее исполнение слепым скрипачом из трактира, он не может видеть нот и запомнил и ее, и другие произведения композитора на слух. В трактире скрипач исполнял арию Керубино из оперы «Женитьба Фигаро», а у Сальери – арию из оперы «Дон-Жуан». Неточное исполнение смешит Моцарта, он не испытывает к старику презрения, благодарит за труд.

Моцарта тревожит мрачное предчувствие, его черный человек – олицетворение смерти. Свою тревогу он не связывает с Сальери, которого считает своим другом и гениальным композитором. И это вполне понятно: Моцарт не знает зависти, не способен на злодейство. Он убежден, что «избранник небес – гений, являющий в своем искусстве образцы совершенства, высокие идеалы, – не может совершить злодейство:

Моцарт

Он же гений.
Как ты да я. А гений и злодейство –
Две вещи несовместные. Не правда ль?

«Заметьте: Моцарт не только не отвергает подносимого ему другими титула гения, но и сам называет себя гением, вместе с тем называя гением и Сальери. В этом видны удивительное добродушие и беспечность: для Моцарта слово "гений" нипочем; скажите ему, что он гений, он преважно согласится с этим; начните доказывать ему, что он вовсе не гений, он согласится и с этим, и в обоих случаях равно искренно. В лице Моцарта Пушкин представил тип непосредственной гениальности, которая проявляет себя без усилия, без расчета на успех, нисколько не подозревая своего величия. Нельзя сказать, чтобы все гении были таковы; но такие особенно невыносимы для талантов вроде Сальери», – писал В.Г. Белинский в одиннадцатой статье «О творчестве Пушкина».

Сальери тоже принадлежит к миру искусства, он тоже известный композитор. Но его отношение к Божественному миропорядку иное, чем у Моцарта:

Все говорят: нет правды на земле.
Но правды нет – и выше. Для меня
Так это ясно, как простая гамма.

Этими словами Сальери начинается трагедия. В них выражено его противостояние Божественному миропорядку, его конфликт с жизнью. Служа искусству, Сальери поставил целью добиться славы, он любит искусство и не любит жизнь, он отгородился от нее, стал заниматься только музыкой:

Сальери

Отверг я рано праздные забавы;
Науки, чуждые музыке, были
Постылы мне; упрямо и надменно
От них отрекся я и предался
Одной музыке. <...>
Ремесло
Поставил я подножием искусству...

В его музыке «гармония» поверялась «алгеброй», умерщвленная музыка препарировалась, как труп. Иными словами, она создавалась на основе владения техническими приемами. Сальери не понимал, что подлинное художественное произведение невозможно сконструировать чисто технически, оно всегда плод вдохновения, даруемого свыше. Он стал последователем Глюка и упорным трудом наконец добился признания и славы, потому считает служение искусству своим подвигом и с презрением относится к непосвященным, возносится над ними, считая ремесленниками.

Почему в душе Сальери, как он сам говорит об этом, рождается непримиримая зависть к Моцарту? Сальери понял, что Моцарт наделен Божьим даром, и не может принять того, что этот дар дан обыкновенному человеку, «гуляке праздному», а не ему, неустанному труженику. Он завидует гениальности друга. Некоторые исследователи полагают, что в его словах, сравнивающих завистника со змеей, отражается понимание зависти как бесовского наваждения, ибо змея – одна из ипостасей сатаны. Так соединяются непримиримые конфликты Сальери с миропорядком и с Моцартом. Сальери берет на себя право исправить, как ему кажется, несправедливость неба.

Он осознает, что музыка Моцарта бессмертна и, пытаясь найти оправдание своему злодеянию, все больше и больше раскрывает злобную сущность как человек и посредственность как композитор. Он говорит о своей «глухой» славе, о том, что принадлежит к «чадам праха». Он много лет носит яд, бывший «даром любви», и отправляет его в «чашу дружбы».

Сальери, отравив Моцарта, слушает его игру и плачет. Но не гармония музыки, как думает Моцарт, трогает убийцу: теперь не будет друга и он почувствует себя гением. Злодейство свершилось, но в душе Сальери нет покоя:

Ты заснешь
Надолго, Моцарт! Но ужель он прав,
И я не гений? Гений и злодейство
Две вещи несовместные.

IV. Итоги урока.

• ответ на проблемный вопрос (индивидуально)

Моцарт был убежден в этой вечной, непреходящей истине, он – гений. Совершивший убийство Сальери – злодей. Так раскрывается идейный смысл трагедии А.С. Пушкина.

• тестирование
• заполнение рабочей карты

V. Домашнее задание

Р: работа над ошибками (по тесту)

К: ответ на вопрос «Какие жизненные уроки дает нам изучение классики?» (на примере трагедии А.С. Пушкина «Моцарт и Сальери»)

П: сочинение-миниатюра «Современны ли «Маленькие трагедии» А.С. Пушкина?»

Список использованной литературы и материалов:

1. А.С. Пушкин «Моцарт и Сальери»
2. Пушкин в школе. Пособие для учителей, студентов, учащихся старших классов. Сост. В.Я.Коровина. – М.: РОСТ, 1999
3. Калганова Т.А. – Изучение трагедии А.С.Пушкина «Моцарт и Сальери». Материалы к уроку. X класс// Уроки литературы, 2005. - № 6. – С.7

Цели:

создание условий для проблемного анализа трагедии «Моцарт и Сальери», совершенствование навыков работы с текстом художественного произведения; развитие мыслительной деятельности, аналитических умений и навыков; формирование положительных нравственных ориентаций.

Методические приемы: мини-лекция, беседа, сообщения учащихся, работа с текстом художественного произведения, просмотр слайдов по теме урока.

Организационные формы: фронтальная (лекция учителя, беседа, просмотр слайдов), групповая (анализ текста), индивидуальная (проблемный вопрос, тестирование).

Материалы к уроку: текст трагедии «Моцарт и Сальери», слайд-презентация по теме урока , рабочие карты урока (приложение 1 ), карточки с заданиями для работы в группах (приложение 2 ), тесты для контроля знаний по теме урока (приложение 3 ).

Ход урока

I. Орг. момент

(звуковой фрагмент)

II. Тема и цель урока

сообщение темы урока; проблемный вопрос; постановка цели (обсуждение в группах, заполнение рабочей карты).

III. Объяснение нового материала

1. Из истории создания «Маленьких трагедий»

(лекция учителя с элементами беседы сопровождается слайд-презентацией)

В 1830 году в Болдино Пушкин написал четыре пьесы: «Скупой рыцарь», «Моцарт и Сальери», «Каменный гость», «Пир во время чумы».

В письме Пушкин сообщал, что привез «несколько драматических сцен, или маленьких трагедий».

Пьесы стали называть «Маленькими трагедиями». Они действительно невелики по объему, имеют малое количество сцен и персонажей. «Драматические сцены», «Драматические очерки», «Драматические изучения» – такие названия хотел дать своим пьесам, подчеркивая их отличие от традиционных.

Для «Маленьких трагедий» характерно быстрое развитие действия, острый драматический конфликт, глубина проникновения в психологию героев, охваченных сильной страстью, правдивое изображение характеров, отличающихся многогранностью, индивидуальными и типическими чертами.

В «Маленьких трагедиях» показаны всепоглощающие душу человека страсти или пороки:

гордость, презирающая всех; жадность, не дающая человеку и минуты подумать о духовном; зависть, доводящая до злодеяния; чревоугодие, не знающее никаких постов, соединенное со страстной привязанностью к различным увеселениям; гнев, вызывающий страшные разрушительные действия.

В «Скупом рыцаре» отразилось средневековье Западной Европы, быт и нравы рыцарского замка, показана власть золота над душой человека.

В «Каменном госте» по-новому разработана старинная испанская легенда о Дон-Жуане, живущем только для себя, не считающемся с нравственными нормами; смелость, ловкость, остроумие – все эти качества он направил на удовлетворение своих желаний в погоне за удовольствиями.

«Пир во время чумы» – философское размышление о поведении человека перед опасностью смерти.

2. Тема трагедии «Моцарт и Сальери»

– Какая же тема раскрыта в трагедии «Моцарт и Сальери»? (В «Моцарте и Сальери» раскрылась губительная сила зависти.)

Тема – художественное творчество и зависть как всепоглощающая душу человека страсть, приводящая его к злодейству. Сохранилось первоначальное название трагедии «Зависть», во многом определяющее ее тему.

3. Легенда и факты жизни Моцарта и Сальери.

(сообщения учеников)

Героями трагедии являются реальные люди: австрийский композитор Вольфганг Амадей Моцарт (1756-1791) и итальянский композитор, дирижер, педагог Антонио Сальери (1750-1825).

Вольфганг Амадей Моцарт – австрийский композитор. Моцарт сочинял музыку с пяти лет. В четырнадцать – стал придворным музыкантом в Зальцбурге. Затем жил и работал в Вене. Бывал в Италии, был избран членом Филармонической академии в Болонье. В 1787 году состоялось первое представление в Праге его оперы «Дон-Жуан». В следующем году она была поставлена в Вене, здесь присутствовал Сальери.

Высокую гармонию, изящество, благородство, гуманистическую направленность произведений Моцарта отмечали его современники. Критики писали, что его музыка «полна света, мира и душевной ясности, как будто земные страдания пробуждали только одни Божественные стороны этого человека, а если по временам и проносится тень скорби, то в ней виден душевный мир, проистекающий из полной покорности Провидению». Музыка Моцарта самобытна и оригинальна. Он создал 628 произведений, в том числе 17 опер: «Свадьба Фигаро», «Дон-Жуан», «Волшебная флейта» и др.

«Реквием» – произведение, над которым Моцарт работал перед смертью, так и осталось незавершенным.

Реквием – траурное вокальное или вокально-инструментальное музыкальное произведение. (Звуковой фрагмент)

С преждевременной, ранней смертью Моцарта связана легенда о его отравлении Сальери, который с 1766 года жил и работал в Вене, являлся придворным камерным дирижером и композитором итальянской оперы в Вене. Затем уехал в Париж, где сблизился с композитором Глюком, стал его учеником и последователем. Вернувшись в Вену, занял должность придворного дирижера. Учениками Сальери были Л. ван Бетховен, Ф. Лист, Ф. Шуберт. Сальери написал 39 опер: «Та-рар», «Фальстаф» (комическая опера) и др.

Версия о том, что Сальери якобы отравил Моцарта, не имеет точного подтверждения и остается легендой. Она основана на распространившемся в немецкой прессе утверждении, будто Сальери на ложе смерти исповедался в грехе убийства Моцарта.

– Почему заинтересовала легенда об отравлении Моцарта? (Легенда об отравлении Моцарта интересовала Пушкина потому, что позволяла раскрыть психологические причины рождения в душе человека зависти, ведущей его к непримиримому конфликту и к преступлению. Исторические лица, документальные факты из жизни приобрели художественное обобщение.)

4. Герои трагедии

(работа в группах)

Моцарт – композитор, пользующийся известностью и славой. Как человек он считает разумным и справедливым Божественный миропорядок. Он принимает земную жизнь с ее радостями и страданиями, постигает высокие идеалы, идущие от Бога. Моцарт – гений, он избран небом, чтобы передать людям в гармонии музыки добро и красоту как непреходящие, вечные ценности.

Сальери осознает гениальность Моцарта.

Сальери

Какая глубина!
Какая смелость и какая стройность!
Ты, Моцарт, бог, и сам того не знаешь;
Я знаю, я.

Сам Моцарт понимает, что служителей прекрасного на земле мало, если бы всем был дан дар творчества,

тогда б не мог
И мир существовать; никто б не стал
Заботиться о нуждах низкой жизни;
Все предались бы вольному искусству.

Осознавая свой дар, Моцарт чувствует себя обычным смертным. Назвавшему его богом Сальери он шутливо отвечает:

Ба! право? может быть...
Но божество мое проголодалось.

Веселый, беспечный от безмерности таланта, глубоко человечный Моцарт создает свои произведения легко, словно они возникают сами собой. Это не результат упорного труда и знания технических приемов, а Божественный дар – гениальность. Вместе с тем он не скрывает, что его произведения – плоды «бессонниц , легких вдохновений»:

Сальери

Что ты мне принес?

Моцарт

Нет – так; безделицу. Намедни ночью
Бессонница моя меня томила.
И в голову пришли мне две-три мысли.
Сегодня их я набросал. Хотелось
Твое мне слышать мненье...

Жизнь и искусство для Моцарта – единое целое. Истинный художник, он творит не ради личной выгоды, «презренной пользы», а ради самого искусства. Истинный художник отдает себя искусству, не требуя взамен славы – такова точка зрения Моцарта. Его музыка популярна, об этом свидетельствует ее исполнение слепым скрипачом из трактира, он не может видеть нот и запомнил и ее, и другие произведения композитора на слух. В трактире скрипач исполнял арию Керубино из оперы «Женитьба Фигаро», а у Сальери – арию из оперы «Дон-Жуан». Неточное исполнение смешит Моцарта, он не испытывает к старику презрения, благодарит за труд.

Моцарта тревожит мрачное предчувствие, его черный человек – олицетворение смерти. Свою тревогу он не связывает с Сальери, которого считает своим другом и гениальным композитором. И это вполне понятно: Моцарт не знает зависти, не способен на злодейство. Он убежден, что «избранник небес – гений, являющий в своем искусстве образцы совершенства, высокие идеалы, – не может совершить злодейство:

Моцарт

Он же гений.
Как ты да я. А гений и злодейство –
Две вещи несовместные. Не правда ль?

«Заметьте: Моцарт не только не отвергает подносимого ему другими титула гения, но и сам называет себя гением, вместе с тем называя гением и Сальери. В этом видны удивительное добродушие и беспечность: для Моцарта слово "гений" нипочем; скажите ему, что он гений, он преважно согласится с этим; начните доказывать ему, что он вовсе не гений, он согласится и с этим, и в обоих случаях равно искренно. В лице Моцарта Пушкин представил тип непосредственной гениальности, которая проявляет себя без усилия, без расчета на успех, нисколько не подозревая своего величия. Нельзя сказать, чтобы все гении были таковы; но такие особенно невыносимы для талантов вроде Сальери», – писал в одиннадцатой статье «О творчестве Пушкина».

Сальери тоже принадлежит к миру искусства, он тоже известный композитор. Но его отношение к Божественному миропорядку иное, чем у Моцарта:

Все говорят: нет правды на земле.
Но правды нет – и выше. Для меня
Так это ясно, как простая гамма.

Этими словами Сальери начинается трагедия. В них выражено его противостояние Божественному миропорядку, его конфликт с жизнью. Служа искусству, Сальери поставил целью добиться славы, он любит искусство и не любит жизнь, он отгородился от нее, стал заниматься только музыкой:

Сальери

Отверг я рано праздные забавы;
Науки, чуждые музыке, были
Постылы мне; упрямо и надменно
От них отрекся я и предался
Одной музыке. <...>
Ремесло
Поставил я подножием искусству...

В его музыке «гармония» поверялась «алгеброй», умерщвленная музыка препарировалась, как труп. Иными словами, она создавалась на основе владения техническими приемами. Сальери не понимал, что подлинное художественное произведение невозможно сконструировать чисто технически, оно всегда плод вдохновения, даруемого свыше. Он стал последователем Глюка и упорным трудом наконец добился признания и славы, потому считает служение искусству своим подвигом и с презрением относится к непосвященным, возносится над ними, считая ремесленниками.

Почему в душе Сальери, как он сам говорит об этом, рождается непримиримая зависть к Моцарту? Сальери понял, что Моцарт наделен Божьим даром, и не может принять того, что этот дар дан обыкновенному человеку, «гуляке праздному», а не ему, неустанному труженику. Он завидует гениальности друга. Некоторые исследователи полагают, что в его словах, сравнивающих завистника со змеей, отражается понимание зависти как бесовского наваждения, ибо змея – одна из ипостасей сатаны. Так соединяются непримиримые конфликты Сальери с миропорядком и с Моцартом. Сальери берет на себя право исправить, как ему кажется, несправедливость неба.

Он осознает, что музыка Моцарта бессмертна и, пытаясь найти оправдание своему злодеянию, все больше и больше раскрывает злобную сущность как человек и посредственность как композитор. Он говорит о своей «глухой» славе, о том, что принадлежит к «чадам праха». Он много лет носит яд, бывший «даром любви», и отправляет его в «чашу дружбы».

Сальери, отравив Моцарта, слушает его игру и плачет. Но не гармония музыки, как думает Моцарт, трогает убийцу: теперь не будет друга и он почувствует себя гением. Злодейство свершилось, но в душе Сальери нет покоя:

Ты заснешь
Надолго, Моцарт! Но ужель он прав,
И я не гений? Гений и злодейство
Две вещи несовместные.

IV. Итоги урока.

ответ на проблемный вопрос (индивидуально)

Моцарт был убежден в этой вечной, непреходящей истине, он – гений. Совершивший убийство Сальери – злодей. Так раскрывается идейный смысл трагедии.

заполнение рабочей карты

V. Домашнее задание

1. Каким образом можно бороться с таким чувством как зависть? (напишите свои рецепты)

2 . О твет на вопрос «Какие жизненные уроки дает нам изучение классики?» (на примере трагедии «Моцарт и Сальери»)

Список использованной литературы и материалов:

1. «Моцарт и Сальери»

2. Пушкин в школе. Пособие для учителей, студентов, учащихся старших классов. Сост. . – М.: РОСТ, 1999

3. – Изучение трагедии «Моцарт и Сальери». Материалы к уроку. X класс// Уроки литературы, 2005. - № 6. – С.7

Рассмотрим квадратное уравнение:
(1) .
Корни квадратного уравнения (1) определяются по формулам:
; .
Эти формулы можно объединить так:
.
Когда корни квадратного уравнения известны, то многочлен второй степени можно представить в виде произведения сомножителей (разложить на множители):
.

Далее считаем, что - действительные числа.
Рассмотрим дискриминант квадратного уравнения :
.
Если дискриминант положителен, , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:
; .
Тогда разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид:
.
Если дискриминант равен нулю, , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных (равных) действительных корня:
.
Разложение на множители:
.
Если дискриминант отрицателен, , то квадратное уравнение (1) имеет два комплексно сопряженных корня:
;
.
Здесь - мнимая единица, ;
и - действительная и мнимая части корней:
; .
Тогда

.

Графическая интерпретация

Если построить график функции
,
который является параболой, то точки пересечения графика с осью будут корнями уравнения
.
При , график пересекает ось абсцисс (ось ) в двух точках.
При , график касается оси абсцисс в одной точке.
При , график не пересекает ось абсцисс.

Ниже приводятся примеры таких графиков.

Полезные формулы, связанные с квадратным уравнением

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Вывод формулы для корней квадратного уравнения

Выполняем преобразования и применяем формулы (f.1) и (f.3):




,
где
; .

Итак, мы получили формулу для многочлена второй степени в виде:
.
Отсюда видно, что уравнение

выполняется при
и .
То есть и являются корнями квадратного уравнения
.

Примеры определения корней квадратного уравнения

Пример 1

(1.1) .

Решение

.
Сравнивая с нашим уравнением (1.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант положителен, , то уравнение имеет два действительных корня:
;
;
.

Отсюда получаем разложение квадратного трехчлена на множители:

.

График функции y = 2 x 2 + 7 x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она пересевает ось абсцисс (ось ) в двух точках:
и .
Эти точки являются корнями исходного уравнения (1.1).

Ответ

;
;
.

Пример 2

Найти корни квадратного уравнения:
(2.1) .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
.
Сравнивая с исходным уравнением (2.1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Поскольку дискриминант равен нулю, , то уравнение имеет два кратных (равных) корня:
;
.

Тогда разложение трехчлена на множители имеет вид:
.

График функции y = x 2 - 4 x + 4 касается оси абсцисс в одной точке.

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она касается оси абсцисс (ось ) в одной точке:
.
Эта точка является корнем исходного уравнения (2.1). Поскольку этот корень входит в разложение на множители два раза:
,
то такой корень принято называть кратным. То есть считают, что имеется два равных корня:
.

Ответ

;
.

Пример 3

Найти корни квадратного уравнения:
(3.1) .

Решение

Запишем квадратное уравнение в общем виде:
(1) .
Перепишем исходное уравнение (3.1):
.
Сравнивая с (1), находим значения коэффициентов:
.
Находим дискриминант:
.
Дискриминант отрицателен, . Поэтому действительных корней нет.

Можно найти комплексные корни:
;
;

Построим график функции
.
График этой функции является параболой. Она не пересекает ось абсцисс (ось ). Поэтому действительных корней нет.

Ответ

Действительных корней нет. Корни комплексные:
;
;
.

Квадратные уравнения. Дискриминант. Решение, примеры.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является "квадратное". Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение - это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе...

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде - первый этап делать не нужно.) Главное - правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём - ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым - абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 - то, что меньше, а х 2 - то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

D = b 2 - 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют... Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно - в уравнениях с параметрами. Такие уравнения - высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось - надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке "Как решать уравнения? Тождественные преобразования". При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 - 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 - 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х - любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения - не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные - нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0 ,где x - переменная, a,b,c – константы; a<>0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения - это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х) . Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше - существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.

На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.

1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный - ветки параболы направлены вниз.

2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение - то в правой.

Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Перенесем константу с квадратного уравнения

за знак равенства, получим выражение

Умножим обе части на 4а

Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0 При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.

Расписание квадратного уравнения на множители

Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравненияНа этом задача будет разрешен.

Задачи на квадратное уравнение

Задача 1. Найти корни квадратного уравнения

x^2-26x+120=0 .

Решение: Запишем коэффициенты и подставим в формулу дискриминанта

Корень из данного значения равен 14 , его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней

и получаем

Задача 2. Решить уравнение

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант


По известным формулам находим корни квадратного уравнения

Задача 3. Решить уравнение

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант

Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле

Задача 4. Решить уравнение

x^2+x-6=0 .

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6 . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2} . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11 , то 18-х=7 , наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9 ).

Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество.

Квадратное уравнение с параметром

Пример 1. При каких значениях параметра а , уравнение (а-3)х 2 +(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?

Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2 . Выпишем дискриминант

упростим его и приравняем к нулю

Получили квадратное уравнение относительно параметра а , решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7 , а их произведение 12 . Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет - а=4 . Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.

Пример 2. При каких значениях параметра а , уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3 . При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0 .
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3 . Для второго находим дискриминант и корни уравнения


Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0 . Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0 , которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.