Виды сечения шара. Изображение шара и его сечений. Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Определение.
Сфера (поверхность шара ) - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром сферы (О).Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение.
Шар - это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния до точки, называемой центром шара (О) (совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой).Шар можно описать как объёмную фигуру, которая образуется вращением круга вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.
Определение. Радиус сферы (шара) (R) - это расстояние от центра сферы (шара) O к любой точке сферы (поверхности шара).
Определение. Диаметр сферы (шара) (D) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара) и проходящий через ее центр.
Формула. Объём шара :
| V = | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Формула. Площадь поверхности сферы через радиус или диаметр:
S = 4π R 2 = π D 2
Уравнение сферы
1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат :
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x 0 , y 0 , z 0) в декартовой системе координат :
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Определение. Диаметрально противоположными точками называются любые две точки на поверхности шара (сфере), которые соединены диаметром.
Основные свойства сферы и шара
1. Все точки сферы одинаково удалены от центра.
2. Любое сечение сферы плоскостью является окружностью.
3. Любое сечение шара плоскостью есть кругом.
4. Сфера имеет наибольший объём среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности.
5. Через любые две диаметрально противоположные точки можно провести множество больших окружностей для сферы или кругов для шара.
6. Через любые две точки, кроме диаметрально противоположных точек, можно провести только одну большую окружность для сферы или большой круг для шара.
7. Любые два больших круга одного шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, а окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
8. Если расстояние между центрами любых двух шаров меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие шары пересекаются , а в плоскости пересечения образуется круг.
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Определение. Секущая сферы - это прямая, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками протыкания поверхности или точками входа и выхода на поверхности.
Определение. Хорда сферы (шара) - это отрезок, соединяющий две точки сферы (поверхности шара).
Определение. Секущая плоскость - это плоскость, которая пересекает сферу.
Определение. Диаметральная плоскость - это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или шара, сеченме образует соответственно большую окружность и большой круг . Большая окружность и большой круг имеют центр, который совпадают с центром сферы (шара).
Любая хорда, проходящая через центр сферы (шара) является диаметром.
Хорда является отрезком секущей прямой.
Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше чем радиус сферы:
d < R
Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:
m < R
Местом сечения секущей плоскости на сфере всегда будет малая окружность , а на шаре местом сечения будет малый круг . Малая окружность и малый круг имеют свои центры, не совпадающих с центром сферы (шара). Радиус r такого круга можно найти по формуле:
r = √R 2 - m 2 ,
Где R - радиус сферы (шара), m - расстояние от центра шара до секущей плоскости.
Определение. Полусфера (полушар) - это половина сферы (шара), которая образуется при ее сечении диаметральной плоскостью.
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Определение. Касательная к сфере - это прямая, которая касается сферы только в одной точке.
Определение. Касательная плоскость к сфере - это плоскость, которая соприкасается со сферой только в одной точке.
Касательная пряма (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы проведенному к точке соприкосновения
Расстояние от центра сферы до касательной прямой (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение. Сегмент шара - это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.
Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы с высотой h через радиус сферы R:
S = 2π Rh
Cтраница 1
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу шара.
Сечение шара плоскостью всегда представляет собой круг. На рис. 153 показан шар, пересеченный горизонтальной плоскостью R и фронтально-проектирующей плоскостью Q, заданных следами Rv и Qv. Он проектируется на плоскость Н также в виде круга, имеющего общий центр с очерком горизонтальной проекции шара. Для определения крайних точек t и t большой ог. Промежуточные точки эллипса, например / i и / 2, могут быть получены приемом, описанным при решении аналогичной задачи при построении точек, лежащих на поверхности шара.
Сечение шара любой вертикальной плоскостью, проходящей через центр, дает большой круг, называемый меридианом.
Сечение шара плоскостью, расположенной от центра шара на расстоянии, меньшем радиуса, есть круг.
Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Плоскость, проходящая через центр шара, пересекает его по кругу, диаметр которого равен диаметру шара. Для построения изображения усеченного шара строят проекции осей эллипса, а также точек эллипса, лежащих на очерковых образующих шара.
Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его радиусу, делит радиус пополам.
Сечение шара, проходящее через ось конуса - большой круг шара, в который вписан ДЛВ5 (рис. 185), где [ ЛВ ] - диаметр основания конуса.
Сечение шара плоскостью, проходящей через основание пирамиды, есть круг, в который вписан ДЛВС. Так как С 90, то центр этого круга О лежит на середине гипотенузы.
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом. Кйсательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость имеющая со сферой единственную общую точку. Эту точку называют точкой касания сферы и плоскости. Для того чтобы плоскость была касательной к сфере, необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к радиусу сферы и проходила через его конец.
Поэтому сечение шара, проходящее через его центр и касающееся основания пирамиды, будет являться кругом, вписанным в треугольник SEF, где SE и SF - апофемы боковых граней, a EF - высота ромба.
Рассмотрим сечение шара, проходящее через ось усеченного конуса. В сечении мы получим круг, в который вписана трапеция ABCD.
Каждое сечение шара плоскостью, проходящей через его центр, дает большой круг.
О Сечение шара, проходящее через ось конуса - это большой круг шара, в который вписан Д ABS (рис. 339), где [ АВ ] - диаметр основания конуса.
На рис. 11 показано построение проекций некоторых точек.
Проекции С" и D " построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0"1", построенной с
помощью проекции 1 ". Проекция С"" и D "" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции C "(D ") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций.
Проекция Е" является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции Е".
Горизонтальная проекция М" произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О"2" , фронтальная проекция которой проходит через проекции М "и 2 " . Проекция F "является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.
Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.
12. Построение сечений тора
В примере на рис. 12 показано применение вспомогательных плоскостей γ 1 (γ 1 ") и γ 2 (γ 2 ") , перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью α (α""). Тор на рис.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции.
Полуокружность радиуса R 2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной
плоскостью γ 2 ) касается проекции плоскости α(следа α""). Тем самым определяются профильная проекция 3"" и по ней фронтальная проекция 3"" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 1 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью γ 1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости α (след α"") в двух точках 5"" и 7"" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния l 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 .
Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.
Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис.12 внизу. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей - геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.
