Сложение умножение отрицательных чисел. Умножение положительных и отрицательных чисел. IV. Формулировка правила
Урок математики в 5 классе. (Виленкин)
Тема: Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Цель: 1. Закрепить знания по данной теме при решении задач. Подготовить к контрольной работе. Дать соотношение единиц измерения объема.
2. Повторить свойства умножения, упрощение выражений, части параллелепипеда.
3. Воспитывать экологический аспект, внимание.
Оборудование: на доске: тема, задание для устного счета; раздаточный материал: модели параллелепипеда, куба, спичечный коробок; у детей: шпаргалки, линейки, сигнальные двухцветные круги,
Ход урока.
Организационный момент.
Добрый день, веселый час, математика у нас. На парте: линейки, шпаргалки, тетради, учебники.
Устный счет (разминка) № 806 – по рядам «цепочкой»,
— примени распределительное свойство умножения:
(х + 8) 20 на доске
247 123 – 147 123
— упрости:
20а – 19а 4х + х – 2х
13в — в 27 + 13в – 10в
Сообщение темы и цели.
— С какими геометрическими фигурами познакомились? Сегодня повторим, как найти объем прямоугольного параллелепипеда и единицы измерения объема. Готовимся к контрольной работе.
IV . Повторение изученного. Модели куба,
— Показать верхнюю, заднюю, нижнюю и переднюю грани. параллелепипеда
— Показать две грани, имеющие общее ребро,
— Показать вертикальные ребра.
(показывают одновременно 2, 3 ученика)
Игра «Да — нет»
— Любой куб является прямоугольным параллелепипедом (+) сигнальные
— У прямоугольного параллелепипеда 10 вершин (-, 8) круги
— 6 граней (+) — 12 ребер (+)
— Каждая грань куба – квадрат (+)
— Если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом (+)
— Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (+)
Найди формулу.
— вычисли объем спичечного коробка, куба, параллелепипеда. наглядность
— дополнительный материал «Сколько воздуха необходимо человеку для дыхания»
При каждом вдохе человек вводит в свои легкие за 1 минуту 9 литров воздуха. Это составляет в час 9 * 60, т. е. 540 литров. Округлим до 500 литров или половины кубического метра и узнаем, что за сутки человек вдыхает 12 м³ воздуха. Такой объем равен 14 кг.
За одни сутки человек проводит через свое тело больше воздуха, чем пищи: никто не съедает и 3 кг в сутки, вдыхаем же мы 14 кг. Если учесть, что вдыхаемый воздух состоит на 4/5 из бесполезного для дыхания азота, то кажется, что наше тело потребляет всего 3 кг, т. е. примерно столько же, сколько пищи (твердой и жидкой).
Нужно ли другое доказательство необходимости обновлять воздух в жилой комнате?
— № 804, 801 – на доске,
— Как вычислить объем параллелепипеда, куба?
— В каких единицах измеряется объем?
VI . Соотношение единиц измерения объема. «шпаргалки» Записать в «шпаргалки». форзац
— Игра «Слабое звено» — № 802,
— Задание на карточках.
— Вырази в кубических см:
6 дм³, 287 дм³
5 дм³ 23 см³ 16000 мм³
5 дм³ 635 см³ 2 дм³ 80 см³
— Вырази в кубических дм:
6м³ 580см³ 7м³ 15дм³
VII . Повторение изученного. № 808
VIII . Итог: — Что запомнили с урока?
— Кто поработал на 5? на 4?
IX . Домашнее задание : § 21, № 822 (а, б), № 823.
Математика
5 класс
21. Объёмы.
Если наполнять формочку влажным песком, а потом переворачивать и снимать её, получатся фигуры, имеющие одинаковый объём (рис. 83). Если формочку наполнять водой, то объём воды будет равен объёму каждой фигуры из песка.
Рис. 83
Чтобы сравнить объёмы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить её во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объёмы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объём больше объёма второго сосуда. А если заполнить водой второй сосуд не удастся, то объём первого сосуда меньше объёма второго.
Для измерения объёмов применяют следующие единицы: кубический миллиметр (мм3), кубический сантиметр (см3), кубический дециметр (дм3), кубический метр (м3), кубический километр (км3).
Например: кубический сантиметр - это объём куба с ребром 1 см (рис. 84).
Рис. 84
Кубический дециметр называют также литром.
Фигура на рисунке 85 состоит из 4 кубиков с ребром 1 см. Значит, её объём равен 4 см3.
Рис. 85
Выведем правило для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.
Формулы объемов параллелепипеда и куба
Пусть прямоугольный параллелепипед имеет длину 4 см, ширину 3 см и высоту 2 см (рис. 86, а). Разобьём его на два слоя толщиной 1 см (рис. 86, б). Каждый из этих слоёв состоит из 3 столбиков длиной 4 см (рис. 86, в), а каждый столбик - из 4 кубиков с ребром 1 см. (рис. 86, г). Значит, объём каждого столбика равен 4 см3, каждого слоя - 4 3 (см3), а всего прямоугольного параллелепипеда - (4 3) 2, то есть 24 см3.
Рис. 86
Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда имеет вид
где V - объём; а, Ь, с - измерения.
Если ребро куба равно 4 см, то объём куба равен 4 4 4 = 43 (см3), то есть 64 см3.
Если ребро куба равно а, то объём V куба равен a a a = a3.
Значит, формула объёма куба имеет вид
Именно поэтому запись а3 называют кубом числа а.
Объём куба с ребром 1 м равен 1 м3. А так как 1 м = 10 дм, то 1 м3 = 103 дм3, то есть 1 м3 = 1000 дм3 = 1000 л.
Таким же образом находим, что
1 л = 1 дм3 = 1000 см3; 1 см3 = 1000 мм3;
1 км3 = 1 000 000 000 м3 (см. рисунок).
Вопросы для самопроверки
- Фигура состоит из 19 кубиков со стороной 1 см каждый; чему равен объём этой фигуры?
- Что такое кубический сантиметр; кубический метр?
- Как ещё называют кубический дециметр?
- Скольким кубическим сантиметрам равен 1 литр?
- Скольким литрам равен кубический метр?
- Сколько кубических метров в кубическом километре?
- Напишите формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.
- Что означает в этой формуле буква V; буквы а, Ь, с?
- Напишите формулу объёма куба.
Выполните упражнения
819. Из кубиков с ребром 1 см составлены фигуры (рис. 87). Найдите объёмы и площади поверхностей этих фигур.
Рис. 87
820. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:
- а) а = 6 см, b = 10 см, с = 5 см;
- б) а = 30 дм, b = 20 дм, с = 30 дм;
- в) а = 8 дм, b = 6 м, с = 12 м;
- г) a = 2 дм 1 см, b = 1 дм 7 см, с = 8 см;
- д) а = 3 м, b = 2 дм, с = 15 см.
821. Площадь нижней грани прямоугольного параллелепипеда равна 24 см2. Определите высоту этого параллелепипеда, если его объём равен 96 см3.
822. Объём комнаты равен 60 м3. Высота комнаты 3 м, ширина 4 м. Найдите длину комнаты и площади пола, потолка, стен.
823. Найдите объём куба, ребро которого 8 дм; 3 дм 6 см.
824. Найдите объём куба, если площадь его поверхности равна 96 см2.
825. Выразите:
- а) в кубических сантиметрах: 5 дм3 635 см3; 2 дм3 80 см3;
- б) в кубических дециметрах: 6 м3 580 дм3; 7 м3 15 дм3;
- в) в кубических метрах и дециметрах: 3270 дм3; 12 540 000 см3.
826. Высота комнаты 3 м, ширина 5 м и длина 6 м. Сколько кубических метров воздуха находится в комнате?
827. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько литров воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?
828. Прямоугольный параллелепипед (рис. 88) разделён на две части. Найдите объём и площадь поверхности всего параллелепипеда и обеих его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? Можно ли это сказать о площадях их поверхностей? Объясните почему.
Рис. 88
829. Вычислите устно:
830. Восстановите цепочку вычислений:
831. Найдите значение выражения:
- а) 23 + З2;
- б) 33 + 52;
- в) 43 + 6;
- г) 103 — 10.
832. Сколько десятков получится в частном:
- а) 1652: 7;
- б) 774: 6;
- в) 1632: 12;
- г) 2105: 5?
833. Согласны ли вы с утверждением:
- а) любой куб является и прямоугольным параллелепипедом;
- б) если длина прямоугольного параллелепипеда не равна его высоте, то он не может быть кубом;
- в) каждая грань куба - квадрат?
834. Четыре одинаковые бочки вмещают 26 вёдер воды. Сколько вёдер воды могут вместить 10 таких бочек?
835. Сколькими способами из 7 бусинок разных цветов можно составить ожерелье (с застёжкой)?
836. Назовите в прямоугольном параллелепипеде (рис. 89):
- а) две грани, имеющие общее ребро;
- б) верхнюю, заднюю, переднюю и нижнюю грани;
- в) вертикальные рёбра.
Рис. 89
837. Решите задачу:
- Найдите площадь каждого участка, если площадь первого участка в 5 раз больше площади второго, а площадь второго на 252 га меньше площади первого.
- Найдите площадь каждого участка, если площадь второго участка на 324 га больше площади первого участка, а площадь первого участка в 7 раз меньше площади второго.
838. Выполните действия:
- 668 (3076 + 5081);
- 783 (66 161 — 65 752);
- 2 111 022: (5960 — 5646);
- 2 045 639: (6700 — 6279).
839. На Руси в старину использовались в качестве единиц измерения объёма ведро (около 12 л), штоф (десятая часть ведра), в США, Англии и других странах используются баррель (около 159 л), гяллон (около 4 л), бушель (около 36 л), пинта (от 470 до 568 кубических сантиметров). Сравните эти единицы. Какие из них больше 1 м3?
840. Найдите объёмы фигур, изображённых на рисунке 90. Объём каждого кубика равен 1 см3.
Рис. 90
841. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда (рис. 91).
Рис. 91
842. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его измерения - 48 дм, 16 дм и 12 дм.
843. Сарай, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, заполнен сеном. Длина сарая 10 м, ширина 6 м, высота 4 м. Найдите массу сена в сарае, если масса 10 м3 сена равна 6 ц.
844. Выразите в кубических дециметрах:
- 2 м3 350 дм3;
- 3 м3 7 дм3;
- 4 м3 30 дм3;
- 18 000 см3;
- 210 000 см3.
845. Объём прямоугольного параллелепипеда 1248 см3. Его длина 13 см, а ширина 8 см. Найдите высоту этого параллелепипеда.
846. С помощью формулы V = abc вычислите:
- а) V, если а — 3 дм, b = 4 дм, с = 5 дм;
- б) а, если V = 2184 см3, b = 12 см, с = 13 см;
- в) b, если V = 9200 см3, а = 23 см, с = 25 см;
- г) аb, если V = 1088 дм3, с = 17 см.
Каков смысл произведения ab?
847. Отец старше сына на 21 год. Запишите формулу, выражающую - возраст отца - через b - возраст сына. Найдите по этой формуле:
- а) а, если b = 10;
- б) а, если b = 18;
- в) b, если а = 48.
848. Найдите значение выражения:
- а) 700 700 — 6054 (47 923 — 47 884) — 65 548;
- б) 66 509 + 141 400: (39 839 — 39 739) + 1985;
- в) (851 + 2331) : 74 — 34;
- г) (14 084: 28 — 23) 27 — 12 060;
- д) (102 + 112 + 122) : 73 + 895;
- е) 2555: (132 + 142) + 35.
849. Подсчитайте по таблице (рис. 92):
- а) сколько раз встречается цифра 9;
- б) сколько всего раз в таблице встречаются цифры 6 и 7 (не считая их по отдельности);
- в) сколько всего раз встречаются цифры 5, 6 и 8 (не считая их по отдельности).
Рис. 92
Рассказы об истории возникновения и развития математики
200 лет назад в разных странах, в том числе и в России, применялись различные системы единиц для измерения длины, массы и других величин. Соотношения между мерами были сложны, существовали разные определения для единиц измерения.
Например, и до сих пор в Великобритании существуют две различные «тонны» (в 2000 и в 2940 фунтов), более 50 различных «бушелей» и т. п. Это затрудняло развитие науки, торговли между странами, поэтому назрела необходимость введения единой системы мер, удобной для всех стран, с простыми соотношениями между единицами.
Такая система - её назвали метрической системой мер - была разработана во Франции. Основную единицу длины, 1 метр (от греческого слова «метрон» - мера), определили как сорокамиллионную долю окружности Земли, основную единицу массы, 1 килограмм - как массу 1 дм3 чистой воды. Остальные единицы определялись через эти две, соотношения между единицами одной величины равнялись 10, 100, 1000 и т. д.
Метрическая система мер принята большинством стран мира, в России её введение началось с 1899 года. Большие заслуги во введении и распространении метрической системы мер в нашей стране принадлежат Дмитрию Ивановичу Менделееву, великому русскому химику.
Однако по традиции и в настоящее время иногда пользуются старыми единицами. моряки измеряют расстояния милями (1852 м) и кабельтовыми (десятая часть мили, то есть около 185 м), скорость - узлами (1 миля в час). Массу алмазов измеряют в каратах (200 мг, то есть пятая часть грамма - масса пшеничного зерна). Объём нефти измеряют в баррелях (159 л) и т. д.
Это можно осуществить разными способами, все зависит от того, какие величины и предметы мы имеем.
Итак, способ первый, который подходит исключительно для прямоугольного параллелепипеда.
Для определения объема параллелепипеда Вам потребуется его высота, ширина и длина.
Поскольку параллелепипед образуют прямоугольники, давайте отметим длину и ширину их буквами а и b соответственно. Тогда площадь прямоугольника будет рассчитана как а*b.
Высотой параллелепипеда называют высоту бокового ребра, и поскольку высота является величиной постоянной, для нахождения объема нужно площадь основания параллелепипеда умножить на высоту. Это выражается следующей формулой: V = а*b*с = S*с, где с – это высота.
Рассмотри м на примере. Допустим, у нас имеется параллелепипед с длиной и шириной основания 5 и 8 см, а его высота составляет 11 см. Необходимо вычислить объем.
Находим площадь основания: 5*8=40 кв. см. Теперь полученное значение умножаем на высоту 40*11=440 куб. см – это объем фигуры.
Второй способ.
Поскольку основанием параллелепипеда является геометрическая фигура параллелограмм, нужно определить его площадь. Для нахождения площади параллелограмма в зависимости от известных данных можно использовать следующие формулы:
- S = а*h, где а является стороной параллелограмма, h – высотой проведенной к а.
- S = а*b*sinα, где а и b это сторона фигуры, α – угол между этими сторонами.
После того. как Вы разобрались. Как найти площадь параллелограмма, можно приступить к нахождению объема нашего параллелепипеда. Для этого используем формулу:
V = S*h, где S – это полученная ранее площадь основания, h – высота нашего параллелепипеда.
Рассмотрим пример.
Нам дан параллелепипед с высотой 50см, основание (параллелограмм) которого имеет сторону равную 23 см и высоту, проведенную именно к этой стороне – 8 см. Подставляем вышеуказанную формулу:
S = 23*8 = 184 кв. cм.
Теперь подставляем формулу для нахождения объема параллелепипеда:
V = 184*50 = 9 200 куб.
Урок математики ‘Объём прямоугольного параллелепипеда’ (5 класс)
Ответ: объем данного параллелепипеда 9200 кубических сантиметров.
Третий способ.
Этот вариант подойдет только для прямоугольного типа параллелепипеда, стороны, основания которого будут равны. Для этого Вам потребуется всего лишь возвести в куб данные стороны.
V = а3, т.е. возведенное в куб.
Дан параллелепипед со стороной основания 12. Значит, объем данной фигуры вычисляется по следующей формуле V = 123 = 1728 куб. см.
Любой из способов является очень простым. Главное вооружиться калькулятором и правильно выполнить все расчеты. Удачи!
объём прямоугольного параллелепипеда
S1*2 + S2*2 + S3*2 = S
Основание параллелепипеда
Калькулятор вычислит и распишет решение подробно и с комментариями. Вам останется только переписать строчное решение параллелепипеда себе в тетрадь. Подробное текстовое решение с разъяснениями позволит найти понимание методики решения таких задач и при необходимости снять вопросы, дав развёрнутый и грамотный ответ.
Расчёты объёма и площадь параллелограмма — это элементарная основа для многих технических и бытовых расчётов!
Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда
Например для расчёта ремонта в комнате, вычисления данных для отопления помещений или их кондиционирования.
Формула используемая в нашем калькуляторе найдёт объём прямоугольного параллелепипеда . А если ваш параллелепипед имеет косые грани, вместо длины соответствующего косого ребра — необходимо ввести значение высоты этой части фигуры.
Формула объёма прямоугольного параллелепипеда
Чтобы его найти, необходимо знать размеры рёбер: высоту, ширину и длину. По формуле, размеры граней параллелепипеда необходимо перемножить в произвольном порядке.
Объём можно представить в литрах или куб.см., кубических миллиметрах.
Формула площади поверхности параллелепипеда
S1*2 + S2*2 + S3*2 = S
По формуле площади параллелепипеда необходимо найти площади всех сторон параллелепипеда, а затем их сложить. Противоположные стороны, грани, и рёбра параллелепипеда равны между собой, по этому при вычислении площадей можно применять умножение на два.
Основание параллелепипеда
В некоторых случаях бывает известна площадь основания параллелепипеда, тогда для того, что бы найти объём достаточно площадь основания умножить на высоту. ! ВАЖНО! — это верно, только для прямоугольного параллелепипеда.
Как найти объём параллелепипеда?
Проще всего найти объём введя три известных значения в графы онлайн калькулятора объёма! Затем — нажми на кнопу — получишь результат)!
Калькулятор вычислит объём параллелепипеда abcda1b1c1d1 и распишет решение подробно и с комментариями.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Вам останется только переписать строчное решение параллелепипеда себе в тетрадь. Подробное текстовое решение с разъяснениями позволит найти понимание методики решения таких задач и при необходимости снять вопросы, дав развёрнутый и грамотный ответ.
Расчёты объёма и площадь параллелограмма — это элементарная основа для многих технических и бытовых расчётов! Например для расчёта ремонта в комнате, вычисления данных для отопления помещений или их кондиционирования.
Параллелограмм это объёмная геометрическая фигура, имеющая шесть сторон, каждая из сторон при этом параллелограмм. Стороны параллелограмма обычно называются гранями. Если все грани параллелепипеда имеют форму прямоугольника — то это уже прямоугольный параллелограмм ! Обозначается эта фигура буквами abcda1b1c1d1.
Прямоугольник - одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед - такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.
Так же похожи, как круг и шар.
Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед
Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объемы - с объема прямоугольного параллелепипеда.
Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.
Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры. (Рис. 2.)
Рис. 2. Фигура
Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам
Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.
Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счет верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.
То есть прямоугольник - это инструмент для вычисления площадей любых фигур.
Такая же ситуация, когда речь идет об объемах.
Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объем (рис. 4, рис.5).
Рис. 4. Вычисление площади с помощью прямоугольных параллелепипедов
Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объемов любых фигур.
Рис. 5. Вычисление площади с помощью маленьких параллелепипедов
Давайте немного вспомним.
Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.
Например, 1 см 2 - это площадь квадрата со стороной 1 см.
Рис. 6. Квадрат и прямоугольник
Площадь прямоугольника - это количество таких квадратов, которые в него поместятся. (Рис. 6.)
Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.
В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.
Итого площадь равна .
Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.
Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.
Или в общем виде:
Очень похоже обстоят дела с объемом прямоугольного параллелепипеда.
Объем куба со стороной 1 единица - это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.
Например, 1 см 3 - это объем куба со стороной 1 см, а 1 км 3 - это объем куба со стороной 1 км.
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см. (Рис. 7.)
Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед
Объем нашего прямоугольного параллелепипеда - это количество единичных кубов, помещающихся в него.
Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:
Назовем это слой. Сколько таких слоев мы можем уложить друг на друга?
Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:
А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трех сторон.
Но это и есть объем нашего прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: 140
Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.)
Рис. 8. Объем параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами , , равен произведению всех трех сторон.
Если длины сторон даны в сантиметрах, то объем получится в кубических сантиметрах (см 3).
Если в метрах, то объем в кубических метрах (м 3).
Аналогично объем может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.
Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды? (Рис. 9.)
Рис. 9. Куб
Куб является единичным. Сторона - 1 м. Объем - 1 м 3 .
Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.
Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.
Длина стороны .
Посчитаем объем в дм 3 .
Но 1 дм 3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.
Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.
Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.
Ответ: 1 т.
Рис. 10. Холодильник
Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.
Прежде чем мы воспользуемся формулой объема - произведение длин всех сторон - необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.
Мы можем перевести все в сантиметры.
Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.
Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.
Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.
Часто нам нужно перевести одну единицу объема в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.
Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?
Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м. (Рис. 11.)
Рис. 11. Куб
В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).
В один слой укладывается 100 рядов или кубиков.
Всего помещается 100 слоев.
Таким образом,
То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.
Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.
Параллелепипед: определение, виды и свойства
Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.
У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.
Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.
Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:
- Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
- Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
- Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
- Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).
Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.
Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.
Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.
Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).
Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.
Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.
Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда
Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.
Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.
Примеры решения задач
Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.
Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.
Объем параллелепипеда
Величина объема дает нам представление о том, какую часть пространства занимает интересующий нас объект, а чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда нужно умножить его площадь основания на высоту.
В повседневной жизни, чаще всего для измерения объема жидкости, как правило, используют такую измерительную единицу, как литр = 1дм3.
Кроме этой единицы измерения для определения объема применяют:
Параллелепипед относится к простейшим трехмерным фигурам и поэтому найти его объем не представляет никаких сложностей.
Объем параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
Т.е. для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда, достаточно умножить все его три измерения.
Чтобы найти объем куба, нужно взять его длину и возвести в третью степень.
Определение параллелепипеда
А теперь давайте вспомним, что же такое параллелепипед и чем он отличается от куба.
Параллелепипедом называют такую объемную фигуру, в основании которой лежит многоугольник. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников, которые являются гранями данного параллелепипеда. Поэтому логично, что параллелепипед имеет шесть граней, которые состоят из параллелограммов. Все грани этого многоугольника, которые расположены друг против друга, имеют одинаковые размеры.
Все ребра параллелепипеда и есть сторонами граней. А вот точки соприкосновения граней являются вершинами данной фигуры.
Задание:
1. Посмотрите внимательно на рисунок и скажите, что она вам напоминает?
2. Подумайте и дайте ответ, где в повседневной жизни вы можете столкнуться с такой фигурой?
3. Сколько ребер имеет параллелепипед?
Разновидности параллелепипедов
Параллелепипеды делятся на несколько разновидностей, таких как:
Прямоугольный;
Наклонный;
Куб.
К прямоугольным параллелепипедам относятся те фигуры, у которых грани состоят из прямоугольников.
Если же боковые грани не являются перпендикулярными его основанию, то перед вами наклонный параллелепипед.
Такая фигура, как куб, также является параллелепипедом. Его все без исключения грани имеют форму квадратов.
Свойства параллелепипеда
Изучаемая фигура имеет ряд свойств, о которых мы сейчас с вами узнаем:
Во-первых, противоположные грани этой фигуры равны и параллельны друг другу;
Во-вторых, он симметричен лишь относительно средины любой без исключения своей диагонали;
В-третьих, если взять и провести диагонали между всеми противоположными вершинами параллелограмма, то у них окажется всего одна точка пересечения.
В-четвертых, квадрат длинны его диагонали, равен сумме квадратов 3-х его измерений.
Историческая справка
За период разных исторических эпох в разных странах использовали различные системы измерения массы, длины и других величин. Но так как это затрудняло торговые отношения между странами, а также тормозило развитие наук, то появилась необходимость иметь единую международную систему мер, которая была бы удобна для всех стран.
Метрическая система мер СИ, которая устраивала большинство стран, была разработана во Франции. Благодаря Менделееву метрическая система мер была внедрена и в России.
Но многие профессии по сей день используют свои специфические метрики, иногда это дань традициям, иногда вопрос удобства. Так, например, моряки все еще предпочитают измерять скорость в узлах, а расстояние в милях – для них это традиция. А вот ювелиры всего мира отдают предпочтение такой единице измерения, как карат – и в их случае это и традиция и удобство.
Вопросы:
1. А кто знает, сколько метров в одной миле? А что такое один узел?
2. Почему единица измерения алмазов называется «карат»? Почему ювелирам исторически удобно измерять массу в таких единицах?
3. А кто помнит, в каких единицах измеряется нефть?
