Paralelogram. Paralelogram Manjša višina paralelograma

Paralelogram je štirikotnik z nasprotnimi in po paru vzporednimi stranicami.

Višina paralelograma je premica, ki je pravokotna na eno stran paralelograma in povezuje to stran z nasprotnim kotom.

Da bi ugotovili, kako najti dolžino višine paralelograma, se obrnemo na formule. Višino največkrat označujemo s črko h.

Način iskanja višine je odvisen od vrednosti, ki jih poznamo v nalogi. Razmislimo o različnih načinih na konkretnih primerih.

Primer 1

Podani sta ploščina (S) in dolžina osnove (a).

• Formula: h=S/a

Primer: Površina paralelograma je 100 cm 2, osnova, na katero je narisana višina, je 20 cm Poiščite višino.

• h=100/20=5
• Odgovor: 5 cm

Primer 2

Podana je dolžina stranice paralelograma, ki meji na višino (b), in kot nasproti same višine (a).

• Formula: h \u003d b * sin a

Primer: Označimo naš paralelogram s črkama ABCD, višina BE poteka iz kota ABC na stranico AD. Dolžina stranice AB je 20 cm, kot BAD je 30 stopinj. Poiščite višino.

• h = 20 * sin 30° = 20 * 0,5 = 10

Odgovor: 10 cm

Primer 3

Podani sta dolžina stranice paralelograma, ki meji na višino (n), in dolžina dela stranice, odrezanega od osnove (m).

• h = koren iz (n 2 - m 2)

Primer: v paralelogramu ABCD višina BE poteka od kota ABC do stranice AD. Dolžina AB je 5 cm, dolžina AE 3 cm Poišči višino.

• h = koren iz (AD 2 - AB 2)
• h = koren iz (5 2 -3 2) = 4
• Odgovor: 4 cm

Primer 4

Glede na dolžino diagonale, ki izhaja iz istega kota kot višina (d), in dolžino dela stranice, odrezanega od podlage (m).

• h= koren iz (d 2 - m 2)

Primer: v paralelogramu ABCD višina BE poteka od kota ABC do stranice AD. Diagonala BD je 5 cm, dolžina ED = 4 cm.

• h = koren iz (BD 2 - ED 2)
• h= koren iz (5 2 - 4 2) = 3
• Odgovor: 3 cm

Če se v nalogi zahteva najti večjo višino paralelograma, potem je treba izračunati dolžini obeh višin in izbrati največjo vrednost.

Kako določiti višino paralelograma, če poznate nekatere njegove druge parametre? Kot so površina, dolžine diagonal in stranic, koti.

Boste potrebovali

• kalkulator

Navodilo

Pri problemih v geometriji, natančneje v planimetriji in trigonometriji, je včasih potrebno najti višino paralelograma na podlagi danih vrednosti stranic, kotov, diagonal itd.

Če želite najti višino paralelograma, če poznate njegovo površino in dolžino osnove, morate uporabiti pravilo za določanje površine paralelograma. Kot veste, je površina paralelograma enaka produktu višine in dolžine osnove:

S je površina paralelograma,

a je dolžina osnove paralelograma,

h - dolžina višine, spuščena na stran a, (ali na njeno nadaljevanje).

Od tu dobimo, da bo višina paralelograma enaka površini, deljeni z dolžino osnove:

na primer

dano: ploščina paralelograma je 50 cm2, osnova je 10 cm.-

ugotovi: višino paralelograma.

h=50/10=5 (cm).

Ker višina paralelograma, del podlage in stran, ki meji na podlago, tvorijo pravi trikotnik, lahko za iskanje višine paralelograma uporabite nekatera razmerja stranic in kotov pravokotnih trikotnikov.

Če sta znana stranica paralelograma d (AD), ki meji na višino h (DE), in kot A (BAD) nasproti višine, morate za izračun višine paralelograma pomnožiti dolžino sosednjega dela. vzporedno s sinusom nasprotnega kota:

na primer, če je d=10 cm in kot A=30 stopinj, potem

H=10*sin(30?)=10*1/2=5 (cm).

Če sta v pogojih problema podana dolžina stranice paralelograma d (AD), ki meji na višino h (DE), in dolžina dela podlage, ki je odrezana z višino (AE), potem je višina paralelograma je mogoče najti s pomočjo Pitagorovega izreka:

|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, iz česar določimo:

h=|ED|=?(|AD|^2-|AE|^2),

tiste. višina paralelograma je enaka kvadratnemu korenu razlike med kvadratoma dolžine sosednje stranice in dela osnove, ki ga višina odseka.

Na primer, če je dolžina sosednje stranice 5 cm, dolžina odrezanega dela podlage pa 3 cm, bo dolžina višine:

h=?(5^2-3^2)=4 (cm).

Če sta znani dolžina diagonale, ki meji na višino (DВ) paralelograma, in dolžina dela osnove, ki je odrezana z višino (BE), potem lahko višino paralelograma najdemo tudi z uporabo Pitagorovega izreka :

|BE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, od koder določimo:

h=|ED|=?(|BD|^2-|BE|^2),

tiste. višina paralelograma je enaka kvadratnemu korenu razlike med kvadratoma dolžine sosednje diagonale in dela osnove, ki jo višina (in diagonala) odseka.

Na primer, če je dolžina sosednje stranice 5 cm, dolžina odrezanega dela podlage pa 4 cm, bo dolžina višine:

h=?(5^2-4^2)=3 (cm).

Višina mnogokotnika je odsek ravne črte, pravokoten na eno od stranic figure, ki jo povezuje z vrhom nasprotnega kota. V ravni konveksni sliki je več takih segmentov in njihove dolžine niso enake, če ima vsaj ena od strani mnogokotnika drugačno vrednost. Zato je pri nalogah iz predmeta geometrije včasih treba določiti dolžino večje višine, na primer trikotnika ali paralelograma.

Navodilo

Določite, katera od višin mnogokotnika naj ima največjo dolžino. V trikotniku je to segment, spuščen na najkrajšo stran, tako da, če so dimenzije vseh treh strani podane v začetnih pogojih, potem ni treba ugibati.

Če je v pogojih poleg dolžine najkrajše stranice trikotnika (a) podana tudi površina (S) figure, bo formula za izračun največje višine (H?) precej preprosto. Podvojite površino in dobljeno vrednost delite z dolžino krajše stranice - to bo želena višina: H? = 2*S/a.

Ne da bi poznali površino, vendar če imate dolžine vseh strani trikotnika (a, b in c), lahko najdete tudi najdaljšo njegovo višino, vendar bo matematičnih operacij veliko več. Začnite z izračunom pomožne količine - polobod (p). Če želite to narediti, dodajte dolžine vseh strani in rezultat razdelite na polovico: p \u003d (a + b + c) / 2.

Trikrat pomnožite polobod z razliko med njim in vsako stranjo: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Iz dobljene vrednosti izvlecite kvadratni koren? (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) in ne bodite presenečeni - uporabili ste Heronovo formulo, da bi našli površino trikotnika. Za določitev dolžine največje višine ostane območje v formuli iz drugega koraka zamenjati z nastalim izrazom: H? \u003d 2 *? (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

Veliko višino paralelograma (H?) Izračunamo še lažje, če sta znani površina te figure (S) in dolžina njene kratke stranice (a). Prvo razdelite na drugo in dobite želeni rezultat: H? = S/a.

Če je znana vrednost kota (?) na kateri koli točki paralelograma, kot tudi dolžine stranic (a in b), ki tvorita ta kot, tudi iskanje največje višine ne bo zelo enostavno. Če želite to narediti, pomnožite vrednost dolge stranice s sinusom znanega kota in rezultat delite z dolžino krajše stranice: H? = b*sin(?)/a.

Poiščite diagonalo paralelograma, narisano iz vrha topega kota, in kote, ki jih tvori s stranicami paralelograma. Z uporabo kosinusnega zakona lahko poiščete simetrale paralelograma skozi stranice. Če je znana vrednost kota (α) na kateri koli točki paralelograma, pa tudi dolžine stranic (a in b), ki tvorita ta kot, tudi iskanje največje višine ne bo zelo težko. enostavno.

Če je v pogojih poleg dolžine najkrajše stranice trikotnika (a) podana tudi ploščina (S) figure, bo formula za izračun največje višine (Hₐ) precej preprosta. . Ne da bi poznali površino, vendar če imate dolžine vseh strani trikotnika (a, b in c), lahko najdete tudi najdaljšo njegovo višino, vendar bo matematičnih operacij veliko več. Začnite z izračunom pomožne količine - polobod (p). Če želite to narediti, dodajte dolžine vseh strani in rezultat razdelite na polovico: p \u003d (a + b + c) / 2.

Iz dobljene vrednosti izvlecite kvadratni koren √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) in ne bodite presenečeni - za iskanje ploščine trikotnika ste uporabili Heronovo formulo. Za določitev dolžine največje višine ostane dobljeni izraz nadomestiti s površino v formuli iz drugega koraka: Hₐ \u003d 2 * √ (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a .

Opomba. To je del pouka s problemi iz geometrije (paralelogram). Glej tudi: Lastnosti in površina paralelograma. Potem, če poznate enega od kotov, odvisno od podane višine, ga odštejte od 180 stopinj, da najdete drugega. Z istim kosinusnim izrekom lahko najdete kot med diagonalami v enem od štirih trikotnikov, ki jih tvorijo, kjer so stranice polovica diagonal in ena od stranic paralelograma.

Tukaj imamo veliko ljudi, ki vam lahko pomagajo. Prav tako je bilo na moje zadnje vprašanje odgovorjeno v manj kot 10 minutah :D Kakorkoli že, lahko se preprosto prijavite in poskusite dodati svoje vprašanje. Paralelogram je vrsta štirikotnika, višina pa je pravokotnica iz oglišča na nasprotno stran.

Trikrat pomnožite polobod z razliko med njim in vsako stranjo: p * (p-a) * (p-b) * (p-c). Če želite to narediti, pomnožite vrednost dolge stranice s sinusom znanega kota in rezultat delite z dolžino krajše stranice: Hₐ = b*sin(α)/a. Rezultati izpita niso odvisni samo od znanja in veščin diplomanta: pomembno je tudi pravilno izpolnjevanje ...

Brezplačna pomoč pri domači nalogi

Če morate rešiti nalogo iz geometrije, ki je ni tukaj, pišite o tem na forumu. Naučiti se morate pravilno in POPOLNOMA oblikovati vprašanje. Napisati je treba celotno stanje problema. Trikotnik velja za enakokrakega, saj iz lastnosti simetrale in vsote kotov v trikotniku izhaja, da so koti na dnu takega trikotnika skladni. Pomagajte, prosim, rešiti eno težavo.

Zato je pri nalogah iz predmeta geometrije včasih treba določiti dolžino večje višine, na primer trikotnika ali paralelograma. Obseg paralelograma, če poznamo stranice, je videti kot njihova dvojna vsota, površina pa je produkt višine in strani, na katero je spuščen.

Kako določiti višino paralelograma, če poznate nekatere njegove druge parametre? Kot so površina, dolžine diagonal in stranic, koti.

Boste potrebovali

• kalkulator

Navodilo

1. Pri problemih v geometriji, oziroma v planimetriji in trigonometriji, je včasih potrebno zaznati višino paralelograma na podlagi danih vrednosti strani, kotov, diagonal itd. Da bi našli višino paralelograma, vedo njegove površine in dolžine osnove, morate uporabiti pravilo za določanje površine paralelograma. Kot veste, je površina paralelograma enaka zmnožku višine in dolžine osnove: S \u003d a * h, kjer je: S površina paralelograma, a je dolžina osnove paralelograma, h je dolžina višine, spuščene na stranico a (ali na njeno nadaljevanje). Od tod dobimo, da bo višina paralelograma enaka ploščini, deljeni z dolžino osnova: h = S / a Na primer, dano: ploščina paralelograma je 50 kvadratnih cm, osnova je 10 cm; ).

2. Ker višina paralelograma, del podlage in stran, ki meji na podlago, tvorijo pravi trikotnik, je za iskanje višine paralelograma dovoljeno uporabiti nekatera razmerja strani in kotov pravokotnih trikotnikov.Če je stran paralelograma d (AD), ki meji na višino h (DE), in kot nasproti višine sta znana A (BAD), potem je za izračun višine paralelograma potrebno dolžino sosednje stranice pomnožiti z sinus nasprotnega kota: h=d*sinA, recimo, če je d=10 cm in kot A=30 stopinj, potem je H=10*sin(30?)= 10*1/2=5 (cm).

3. Če sta v pogojih problema podana dolžina stranice paralelograma d (AD), ki meji na višino h (DE), in dolžina dela podlage, ki je odrezana z višino (AE), potem je višina paralelograma lahko najdemo z uporabo Pitagorovega izreka: |AE|^2+|ED|^2= |AD|^2, od koder določimo: h=|ED|=?(|AD|^2-|AE |^2), tj. višina paralelograma je enaka kvadratnemu korenu razlike med kvadratoma dolžine sosednje stranice in dela osnove, odrezanega z višino. Recimo, če je dolžina sosednje stranice 5 cm in dolžina odrezanega dela osnove je 3 cm, potem bo dolžina višine: h =? (5 ^ 2- 3^2)=4 (cm).

4. Če sta znani dolžina diagonale, ki meji na višino (DВ) paralelograma, in dolžina dela osnove, ki je odrezana z višino (BE), potem lahko višino paralelograma najdemo tudi z uporabo Pitagorovega izreka : |BE|^2+|ED|^2=|BD|^2, od koder definiramo: h=|ED|=?(|ВD|^2-|BE|^2), tj. višina paralelograma je enaka kvadratnemu korenu razlike med kvadratoma dolžine sosednje diagonale in odrezane višine (in diagonale) osnovnega dela. Recimo, če je dolžina sosednje stranice 5 cm. , dolžina odrezanega dela osnove pa je 4 cm, potem bo dolžina višine: h =? ( 5^2-4^2)=3 (cm).

Višina mnogokotnika je odsek ravne črte, pravokoten na eno od stranic figure, tisto, ki jo povezuje z vrhom nasprotnega kota. V ravni konveksni sliki je več takšnih segmentov in njihove dolžine niso enake, če ima vsaj ena stran mnogokotnika velikost, ki je drugačna od drugih. Zato je pri nalogah iz predmeta geometrije včasih treba določiti dolžino večje višine, recimo trikotnika ali paralelograma.

Navodilo

1. Določite, katera od višin mnogokotnika naj ima največjo dolžino. V trikotniku je to segment, spuščen na najkrajšo stran, zato, če so dimenzije vseh treh strani podane v začetnih pogojih, potem ni treba ugibati.

2. Če je v pogojih poleg dolžine najkrajše stranice trikotnika (a) podana tudi površina (S) figure, bo formula za izračun največje višine (H?) precej primitiven. Podvojite površino in dobljeno vrednost delite z dolžino krajše stranice - to bo želena višina: H? = 2*S/a.

3. Brez poznavanja območja, vendar ob dolžinah vseh strani trikotnika (a, b in c), je mogoče najti tudi najdaljšo njegovo višino, vendar bodo matematične operacije veliko večje. Začnite z izračunom pomožne količine - polobod (p). Če želite to narediti, seštejte dolžine vseh strani in vsoto razdelite na polovico: p \u003d (a + b + c) / 2.

4. Trikrat pomnožite polobod z razliko med njim in obema stranema: p*(p-a)*(p-b)*(p-c). Iz dobljene vrednosti izvlecite kvadratni koren? (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) in ne bodite presenečeni - uporabili ste Heronovo formulo, da bi našli površino trikotnika. Za določitev dolžine največje višine ostane območje v formuli iz drugega koraka zamenjati z nastalim izrazom: H? \u003d 2 *? (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) / a.

5. Ogromna višina paralelograma (H?) se izračuna še preprosteje, če sta znani površina te figure (S) in dolžina njene kratke stranice (a). Prvo razdelite na drugo in dobite želeni rezultat: H? = S/a.

6. Če poznate vrednost kota (?) pri katerem koli oglišču paralelograma, kot tudi dolžine stranic (a in b), ki tvorita ta kot, prav tako ne bo težko najti največjega od višine. Če želite to narediti, pomnožite vrednost dolge stranice s sinusom znanega kota in skupno vsoto delite z dolžino krajše stranice: H? = b*sin(?)/a.

Sorodni videoposnetki

katerih nasprotni stranici sta vzporedni. Če ima paralelogram vse prave kote, se tak paralelogram imenuje pravokotnik, pravokotnik, katerega vse stranice so enake, pa kvadrat.

Vsi paralelogrami imajo naslednje lastnosti:

• nasprotni stranici sta enaki:

  AB = CD in pr. n. št = DA

• nasprotni koti so:

  ∠ABC = ∠CDA in ∠ DAB = ∠BCD

• vsota kotov, ki mejijo na eno stran, je 180°:

  ∠ABC + ∠BCD= 180°
  ∠BCD + ∠CDA= 180°
  ∠CDA + ∠DAB= 180°
  ∠DAB + ∠ABC= 180°

• na presečišču so diagonale razdeljene na pol:

  AO = OC in BO = OD

• vsaka diagonala deli paralelogram na dva enaka trikotnika:

  Δ ABC = Δ CDA in Δ ABD = Δ BCD

• točka presečišča diagonal je središče simetrije paralelograma:

  Pika O je središče simetrije.

Višina

Spodnja stranica paralelograma se imenuje njegova osnova, in navpičnica, spuščena na podlago iz katere koli točke na nasprotni strani - visok.

AD je osnova paralelograma h- višina.

Višina izraža razdaljo med nasprotnima stranema, zato lahko definicijo višine formuliramo tudi takole: višina paralelograma je pravokotnica iz katere koli točke na eni strani na nasprotno stran.

kvadrat

Če želite izmeriti površino paralelograma, ga lahko predstavite kot pravokotnik. Razmislite o paralelogramu ABCD:

Zgrajene višine BITI in CF tvorijo pravokotnik EBCF in dva trikotnika: Δ ABE in Δ DCF. Paralelogram ABCD sestavljen iz štirikotnika EBCD in trikotnik ABE, pravokotnik EBCF sestavljen iz istega štirikotnika in trikotnika DCF. trikotniki ABE in DCF sta enaki (po četrtem znaku enakosti pravokotnih trikotnikov), kar pomeni, da sta ploščini pravokotnika s paralelogramom enaki, saj sta sestavljeni iz enakih delov.

Torej lahko paralelogram predstavimo kot pravokotnik z enako osnovo in višino. In ker se za iskanje površine pravokotnika dolžine osnove in višine pomnožijo, morate za iskanje površine paralelograma storiti enako:

kvadrat ABCD = AD · BITI

Iz tega primera je mogoče sklepati, da Ploščina paralelograma je enaka zmnožku njegove osnove in višine.. Splošna formula:

S = ah

Kje S je ploščina paralelograma, a- osnova, h- višina.