Что такое моральная ответственность. Моральный выбор в деятельности сотрудников правоохранительных органов. Что такое личность

I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры алгебраических выражений:

2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры. Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

Решение .

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV. Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Примеры.

a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c (распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c (распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение. Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a (переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.

Решение. Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a (переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c) (сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.

Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.

Примеры. Упростите, используя сокращение дробей.

Решение. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b ; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n . Получаем:

Алгебраические выражения применяют для составления формул.

Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.

Страница 1 из 1 1

Буквенное выражение (или выражение с переменными) — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:

a + b + 4

С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики.

Любая серьезная задача в математике сводится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями.

Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно хорошо изучить базовую арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление, основные законы математики, дроби, действия с дробями, пропорции. И не просто изучить, а понять досконально.

Содержание урока

Переменные

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными . Например, в выражении a +b + 4 переменными являются буквы a и b . Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение a +b + 4 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.

Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных . Например, изменим значения переменных a и b . Для изменения значений используется знак равенства

a = 2, b = 3

Мы изменили значения переменных a и b . Переменной a присвоили значение 2 , переменной b присвоили значение 3 . В результате буквенное выражение a+b+4 обращается в обычное числовое выражение 2+3+4 значение которого можно найти:

Когда происходит умножение переменных, то они записываются вместе. Например, запись ab означает то же самое, что и запись a × b . Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3 , то мы получим 6

Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. Например, вместо a×(b + c) можно записать a(b + c) . Применив распределительный закон умножения, получим a(b + c)=ab+ac .

Коэффициенты

В буквенных выражениях часто можно встретить запись, в которой число и переменная записаны вместе, например 3a . На самом деле это короткая запись умножения числа 3 на переменную a и эта запись выглядит как 3 × a .

Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a . Число 3 в этом произведении называют коэффициентом . Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a . Данное выражение можно прочитать как «a три раза» или «трижды а «, или «увеличить значение переменной a в три раза», но наиболее часто читается как «три a «

К примеру, если переменная a равна 5 , то значение выражения 3a будет равно 15.

3 × 5 = 15

Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой (перед переменной).

Букв может быть несколько, например 5abc . Здесь коэффициентом является число 5 . Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Это выражение можно прочитать как «abc пять раз» либо «увеличить значение выражения abc в пять раз», либо «пять abc «.

Если вместо вместо переменных abc подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5abc будет равно 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можно мысленно представить, как сначала перемножились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:

Знак коэффициента относится только к коэффициенту, и не относится к переменным.

Рассмотрим выражение −6b . Минус, стоящий перед коэффициентом 6 , относится только к коэффициенту 6 , и не относится к переменной b . Понимание этого факта позволит не ошибаться в будущем со знаками.

Найдем значение выражения −6b при b = 3 .

−6b −6×b . Для наглядности запишем выражение −6b в развёрнутом виде и подставим значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Пример 2. Найти значение выражения −6b при b = −5

Запишем выражение −6b в развёрнутом виде

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Пример 3. Найти значение выражения −5a + b при a = 3 и b = 2

−5a + b это короткая форма записи от −5 × a + b , поэтому для наглядности запишем выражение −5×a+b в развёрнутом виде и подставим значения переменных a и b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab . В этом случае коэффициентом является единица:

но единицу по традиции не записывают, поэтому просто пишут a или ab

Если перед буквой стоит минус, то коэффициентом является число −1 . Например, выражение −a на самом деле выглядит как −1a . Это произведение минус единицы и переменной a. Оно получилось следующим образом:

−1 × a = −1a

Здесь кроется небольшой подвох. В выражении −a минус, стоящий перед переменной a на самом деле относится к «невидимой единице», а не к переменной a . Поэтому при решении задач следует быть внимательным.

К примеру, если дано выражение −a и нас просят найти его значение при a = 2 , то в школе мы подставляли двойку вместо переменной a и получали ответ −2 , не особо зацикливаясь на том, как это получалось. На самом деле происходило умножение минус единицы на положительное число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Если дано выражение −a и требуется найти его значение при a = −2 , то мы подставляем −2 вместо переменной a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Чтобы не допускать ошибок, первое время невидимые единицы можно записывать явно.

Пример 4. Найти значение выражения abc при a=2 , b=3 и c=4

Выражение abc 1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc a , b и c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Пример 5. Найти значение выражения abc при a=−2 , b=−3 и c=−4

Запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a , b и c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Пример 6. Найти значение выражения − abc при a=3 , b=5 и c=7

Выражение − abc это короткая форма записи от −1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение − abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a , b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Пример 7. Найти значение выражения − abc при a=−2 , b=−4 и c=−3

Запишем выражение − abc в развёрнутом виде:

−abc = −1 × a × b × c

Подставим значение переменных a , b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Как определить коэффициент

Иногда требуется решить задачу, в которой требуется определить коэффициент выражения. В принципе, данная задача очень проста. Достаточно уметь правильно умножать числа.

Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет коэффициентом.

Пример 1. 7m×5a×(−3)×n

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. То есть, произведения 7m и 5a записать в виде 7×m и 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке. А именно, отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы (переменные):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коэффициент равен −105 . После завершения буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке:

−105amn

Пример 2. Определить коэффициент в выражении: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коэффициент равен 6.

Пример 3. Определить коэффициент в выражении:

Перемножим отдельно числа и буквы:

Коэффициент равен −1. Обратите внимание, что единица не записана, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.

Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с нами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен неверно: либо пропущен минус либо наоборот он поставлен зря. Чтобы избежать этих досадных ошибок, должна быть изучена на хорошем уровне.

Слагаемые в буквенных выражениях

При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Когда выражение состоит из слагаемых, вычислять его намного проще, поскольку складывать легче, чем вычитать. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

В этом выражении числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим выражение, состоящее из слагаемых:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не суть, что числа −3 и −5 теперь со знаком минуса. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой.

Оба выражения 1 + 2 − 3 + 4 − 5 и 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равны одному и тому значению — минус единице

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким образом, значение выражения не пострадает от того, что мы где-то заменим вычитание сложением.

Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

При любых значениях переменных a, b, c, d и s выражения 7a + 6b − 3c + 2d − 4s и 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будут равны одному и тому же значению.

Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те числа (или переменные), которые ими не являются.

Например, если на доске будет записана разность a − b , то учитель не будет говорить, что a — это уменьшаемое, а b — вычитаемое. Обе переменные он назовет одним общим словом — слагаемые . А всё потому, что выражение вида a − b математик видит, как сумму a + (−b) . В таком случае выражение становится суммой, а переменные a и (−b) становятся слагаемыми.

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. Например, рассмотрим выражение 7a + 6b + 2a . Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a . Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.

Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить какое-нибудь уравнение. Эту операцию называют приведением подобных слагаемых .

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Например приведём подобные слагаемые в выражении 3a + 4a + 5a . В данном случае, подобными являются все слагаемые. Сложим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подобные слагаемые обычно приводят в уме и результат записывают сразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Также, можно рассуждать следующим образом:

Было 3 переменные a , к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a

Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию.

Пример 1. 3a + 2a + 6a + 8 a

Сложим коэффициенты в данном выражении и полученный результат умножим на общую буквенную часть:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8)×a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a

Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1 , который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + 1a

Теперь приведем подобные слагаемые. То есть, сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишем решение покороче:

2a + a = 3a

2a+a , можно рассуждать и по-другому:

Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a

Заменим вычитание сложением:

2a + (−a)

Второе слагаемое (−a) записано без коэффициента, но на самом оно выглядит как (−1a). Коэффициент −1 опять же невидимый по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + (−1a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обычно записывают короче:

2a − a = a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a , вычли одну переменную a , в итоге осталась одна единственная переменная a

Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишем решение покороче:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Встречаются выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a + 3b + 7a + 2b . Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных, а именно складывание коэффициентов и умножение полученного результата на общую буквенную часть. Но чтобы не допустить ошибок, удобно разные группы слагаемых подчеркнуть разными линиями.

Например, в выражении 3a + 3b + 7a + 2b те слагаемые, которые содержат переменную a , можно подчеркнуть одной линией, а те слагаемые которые содержат переменную b , можно подчеркнуть двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обеих групп слагаемых: для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b .

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержание переменные b , подчеркнем двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть, сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Если в выражении содержатся обычные числа без буквенных сомножителей, то они складываются отдельно.

Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Приведем подобные слагаемые. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми — их необходимо просто сложить. А слагаемое 2b останется без изменений, поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишем решение покороче:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Слагаемые можно упорядочивать, чтобы те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения.

Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t+2x+3x+5t+x

Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t , можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Теперь можно привести подобные слагаемые:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишем решение покороче:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Если в выражении встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то от них можно избавиться на этапе приведения подобных слагаемых. Иными словами, просто вычеркнуть их из выражения, поскольку их сумма равна нулю.

Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберём. А уберём мы его обычным вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)

В итоге у нас останется выражение (−4t) + 2t . В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишем решение покороче:

Упрощение выражений

«упростите выражение» и далее приводится выражение, которое требуется упростить. Упростить выражение значит сделать его проще и короче.

На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. После сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.

Рассмотрим следующий пример. Упростить выражение .

Это задание буквально можно понять так: «Примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его проще» .

В данном случае можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:

Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь . Тогда мы получим десятичную дробь 0,5

В итоге дробь упростилась до 0,5.

Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть «а что можно сделать?» . Потому что есть действия, которые можно делать, и есть действия, которые делать нельзя.

Ещё один важный момент, о котором нужно помнить, заключается в том, что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Вернемся к выражению . Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5

Но мы упростили выражение и получили новое упрощенное выражение . Значение нового упрощенного выражения по-прежнему равно 0,5

Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.

Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно пострадать от наших действий.

Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же правила упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не изменилось значение выражения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5

Чтобы упростить данное выражение, можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким образом, выражение 5,21s × t × 2,5 упростилось до 13,025st .

Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2

Второе произведение (−6,3b) можно перевести в понятный для нас вид, а именно записать в виде (−6,3)×b , затем отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b

Пример 3. Упростить выражение

Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы:

Таким образом, выражение упростилось до −abc. Данное решение можно записать покороче:

При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого:

Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать , в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.

Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку, ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их

Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае их немного и можно перемножить в уме:

Со временем можно обнаружить, что решая ту или иную задачу, выражения начинают «толстеть», поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То, что можно вычислить в уме, нужно вычислять в уме. То, что можно быстро сократить, нужно быстро сокращать.

Пример 4. Упростить выражение

Таким образом, выражение упростилось до

Пример 5. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до mn .

Пример 6. Упростить выражение

Запишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение упростилось до

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

Пример 7. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение упростилось до abcd . Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:

Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.

Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если выражение является суммой, а не произведением.

Например, если требуется упростить выражение 5a + 4b , то нельзя записывать следующим образом:

Это равносильно тому, что если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.

При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a +4b обращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:

a = 2 , b = 3

Тогда значение выражения будет равно 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складывают. А если бы мы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22 , во втором случае 120 . Это означает, что упрощение выражения 5a + 4b было выполнено неверно.

После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.

С выражением 5a + 4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.

Если в выражении содержатся подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения.

Пример 8. Упростить выражение 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Таким образом, выражение 0,3a−0,4a+a упростилось до 0,9a

Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, поскольку его не с чем было складывать.

Пример 10. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Коэффициент был для удобства вычисления.

Таким образом, выражение упростилось до

Пример 11. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до .

В данном примере целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело оно будет следующим образом:

Пример 12. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до.

Слагаемое осталось без изменения, поскольку его не с чем было складывать.

Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробная запись, как дроби приводились к общему знаменателю.

Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как . На самом деле, это одно и то же выражение. Различие в том, что в первом случае вычитание заменено сложением, поскольку в начале когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением, и эта замена сохранилась и для ответа.

Тождества. Тождественно равные выражения

После того, как мы упростили любое выражение, оно становится проще и короче. Чтобы проверить, верно ли упрощено выражение, достаточно подставить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое, которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то выражение упрощено верно.

Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется упростить выражение 2a × 7b . Чтобы упростить данное выражение, можно по отдельности перемножить числа и буквы:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе, которое упростили.

Пусть значения переменных a , b будут следующими:

a = 4 , b = 5

Подставим их в первое выражение 2a × 7b

Теперь подставим те же значения переменных в выражение, которое получилось в результате упрощения 2a×7b , а именно в выражение 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Видим, что при a=4 и b=5 значение первого выражения 2a×7b и значение второго выражения 14ab равны

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

То же самое произойдет и для любых других значений. Например, пусть a=1 и b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Таким образом, при любых значениях переменных выражения 2a×7b и 14ab равны одному и тому же значению. Такие выражения называют тождественно равными .

Делаем вывод, что между выражениями 2a×7b и 14ab можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению.

2a × 7b = 14ab

Равенством называют любое выражение, которые соединено знаком равенства (=).

А равенство вида 2a×7b = 14ab называют тождеством .

Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных.

Другие примеры тождеств:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, законы математики, которые мы изучали, являются тождествами.

Верные числовые равенства также являются тождествами. Например:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение заменяют на более простое выражение, тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения .

Например, мы упростили выражение 2a × 7b , и получили более простое выражение 14ab . Это упрощение можно называть тождественным преобразованием.

Часто можно встретить задание, в котором сказано «докажите, что равенство является тождеством» и далее приводится равенство, которое требуется доказать. Обычно это равенство состоит из двух частей: левой и правой части равенства. Наша задача состоит в том, чтобы выполнить тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо выполнить тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обеих частях равенства оказались одинаковые выражения.

Например, докажем, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Упростим левую часть этого равенства. Для этого перемножим числа и буквы по отдельности:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Значит мы доказали, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Из тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, а также упрощать некоторые выражения.

Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся.

Задания для самостоятельного решения:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Записи 2а + 8, 3а + 5b , а 4 – bс называют выражениями с переменными. Поставляя вместо букв числа, получим числовые выражения. Общее понятие выражения с переменными определяется точно так же, как и понятие числового выражения, только, кроме чисел, выражения с переменными могут содержать и буквы.

Для выражений с переменной тоже применяются упрощения: не ставят скобок, содержащих лишь число или букву, не ставят знака умножения между буквами, между числами и буквами и т.д.

Различают выражения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными. Обозначают А (х ), В (х, у ) и т.д.

Выражение с переменной нельзя назвать ни высказыванием, ни предикатом. Например, о выражении 2а + 5 нельзя сказать, истинно оно или ложно, следовательно, высказыванием оно не является. Если вместо переменной а подставить числа, то получим различные числовые выражения, которые тоже высказываниями не являются, следовательно, данное выражение предикатом тоже не является.

Каждому выражению с переменной соответствует множество чисел, при подстановке которых получается числовое выражение, имеющее смысл. Это множество называют областью определения выражения.

Пример . 8: (4 – х ) – область определения R \{4}, т.к. при х = 4 выражение 8: (4 – 4) не имеет смысла.

Если выражение содержит несколько переменных, например, х и у , то под областью определения этого выражения понимают множество пар чисел (а ; b ) таких, что при замене х на а и у на b получается числовое выражение, имеющее значение.

Пример . , область определения множество пар (а ; b ) │а ≥ b.

Определение . Два выражения с переменной называются тождественно равными, если при любых значения. Переменных из области определения выражений их соответственные значения равны.

Т.о. два выражения А (х ), В (х ) тождественно равны на множестве Х , если

1) множества допустимых значений переменной в этих выражениях совпадают;

2) для любого х 0 их множества допустимых значений, значения выражений при х 0 совпадают, т.е. А (х 0) = В (х 0) – верное числовое равенство.

Пример. (2х + 5) 2 и 4х 2 + 20х + 25 – тождественно равные выражения.

Обозначают А (х ) º В (х ). Заметим, что если два выражения тождественно равны на каком-то множестве Е , то они тождественно равны и на любом подмножестве Е 1 Ì Е. Также следует отметить, что утверждение о тождественном равенстве двух выражений с переменной является высказыванием.

Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождеством на этом множестве.

Тождествами считают и верные числовые равенства. Тожествами являются законы сложения и умножения действительных чисел, правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, правила деления суммы на число и др. Тождествами также являются правила действий с нулем и единицей.

Замена выражения другим, тожественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения.

Пример. 7х + 2 + 3х = 10 х + 2 - тождественное преобразование, не является тождественным преобразованием на R .

§ 5. Классификация выражений с переменной

1) Выражение, составленное из переменных и чисел с помощью только операций сложения, вычитания, умножения, возведения в степень, называется целым выражением или многочленом.

Пример . (3х 2 + 5) ∙ (2х – 3у )

2) Рациональным называется выражение, построенное из переменных и чисел с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Рациональное выражение можно представить в виде отношения двух целых выражений, т.е. многочленов. Заметим, что целые выражения являются частным случаем рациональных.

Пример . .

3) Иррациональным называется выражение, построенное из переменных и чисел с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, а также операциии извлечения корня п -ой степени.

В выражения с переменной могут входить буквы, числа, знаки операции, скобки. Так, 4х + 3, х +2у – 2, (у + 4) : х – выражения с переменными.

Областью определения выражения с переменной называется множество значений переменной, при которых это значение имеет смысл. Если дано выражение с двумя переменными х и у , то областью его определения является множество пар чисел (х, у ), при которых это выражение имеет смысл.

Тождества

Два математических выражения называются тождеством , если оно превращается в верное числовое равенство при любых значениях переменных, принадлежащих общей области определения (т.е. при значениях переменных, при которых выражения имеют смысл).

Неравенства с одной переменной. Основные понятия. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильных неравенствах, следствия из них.

Предложения 2х+7>10-х, х²+7х<2 называют неравенством с одной переменной.

Пусть f(x) и g(х) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(х)>g(х) или f(х)

Значение переменной х из множества Х, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называют его решением. Решить неравенство – это значит найти множество его решений.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Два неравенства называют равносильными , если их множества решений равны.

Неравенства 2х+7>10 и 2х>3 равносильны, так как множества их решений равны и представляют промежуток (2/3; ∞).

Теорема 3. Пусть неравенство f(х)>g(х) задано на множестве Х, h(х) – выражение, определённое на том же множестве. Тогда неравенства f(х)>g(х) и f(х)+ h(х)> g(х)+ h(х) равносильны на множестве Х.

Следствия:

1. Если к обеим частям неравенства f(х)>g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х)+ d>g(х)+d, равносильное исходному.

2. если какое-либо слагаемое перенести из одной части в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х)>g(х) задано на множестве Х и h(х) – выражение, определённое на том же множестве и для всех х из множества Х выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х)>g(х) и f(х)·h(х)

Следствие: если обе части неравенства f(х)>g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d

Уравнения с двумя переменными. Основные понятия (область определения, решение, множество решений, соотношение между ними).

Равенство f(х; у) = 0 представляет уравнение с двумя переменными.

Решением такого уравнения является пара значений переменных , которая обращает уравнение с двумя переменными в верное равенство.

Если перед нами уравнение с двумя переменными, то в его записи на первое место мы должны поставить х, на второе – у.

Рассмотрим уравнение х – 3у = 10. Пары (10; 0), (16; 2), (-2; -4) являются решениями рассматриваемого уравнения, в то время как пара (1; 5) решением не является.

Чтобы найти другие пары решений данного уравнения, необходимо одну переменную выразить посредством другой – например, х через у. В результате мы получим уравнение

Если уравнения с двумя переменными имеют одинаковые корни, то такие уравнения называются равносильными.

Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы о равносильных преобразованиях уравнений.

Рассмотрим график уравнения с двумя переменными.

Пусть дано уравнение с двумя переменными f(х; у) = 0. Все его решения можно изобразить точками на координатной плоскости. Это множество точек плоскости и называется графиком уравнения f(х; у) = 0.

Так, графиком уравнения у – х 2 = 0 является парабола у = х 2 ; графиком уравнения у – х = 0 является прямая; графиком уравнения у – 3 = 0 является прямая, параллельная оси х, и др.

Уравнение вида ax + by = c, где x и y – переменные, а a, b и c – числа, называется линейным; числа a, b называются коэффициентами при переменных, с – свободным членом.

Графиком линейного уравнения ax + by = c является:

Если линейное уравнение ax + by = c имеет вид 0 ∙ х + 0 ∙ y = c, то мы должны рассмотреть два случая:

1. с = 0. В таком случае уравнению удовлетворяет любая пара (х; у), а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость;

2. с ≠ 0. В таком случае уравнение не имеет решения, значит, его график не содержит ни одной точки.

25. графическое решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными .

Предикат вида f₁(х, у)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) -выраже­ния с переменными х и у, определенные на множестве ХхУ называется неравенст­вом с двумя переменными (с двумя неизвестными) х и у. Ясно, что любое нера­венство вида с двумя переменными можно записать в виде f(х, у) > 0,хÎХ, уÎ У. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений пере­менных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел(х, у) однозначно определяет точку координатной плос­кости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы нера­венств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек коорди­натной плоскости. Если уравнение. f(х, у) = 0 определяет некоторую линию на координат­ной плоскости, то множество точек плоско­сти, не лежащих на этой линии, состоит из конечного числа областей С₁,С 2 , ...,С п (рис. 17.8). В каждой из областей С, функцияf(х, у) отлична от нуля, т.к. точки, в которыхf(х, у) = 0 принадлежат границам этих областей

Уравнение прямой

Общее уравнение прямой - уравнение первой степени относительно пе­ременных х и у, т.е. уравнение вида Ах +Ву + С = 0 при условии, что коэффици­енты А и В одновременно не равны нулю.

Уравнение прямой в отрезках имеет вид х/а + у/b= 1, гдеа иb- соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осямиОх иОу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид у =кх + b, гдек = tgά - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к осиОх, а b~ ордината точки пересечения прямой с осьюОу

Уравнение прямой, проходящей через две точки А(х ] , у ]) иВ(х 2 ,у 2), имеет вид

(х – х ₁) )(х₂ -х ₁ ) = (у - у₁ ) / (у₂ - у₁ )

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, находится по формуле

k = (у₂ - у₁ ) / (х₂ -х ₁ )

27.Взаимное расположение прямых на плоскости

На плоскости заданы прямые общими уравнениями:

Если выполнены условия , то прямые совпадают.

Если выполнены условия , то прямые параллельны.

Векторы - нормальные векторы прямых и соответственно.

Если скалярное произведение векторов и обращается в ноль, т. е. то прямые и перпендикулярны.

Условие перпендикулярности прямых и в координатной форме:

Время и его измерение

Время - одна из основных величин. Изучение мер времени, и ориентировка во времени представляют для детей значительные трудности. Время течет непрерывно, его нельзя ни остановить, ни возвратить, поэтому восприятие промежутков времени, сравнение событий по продолжительности вызывает определенные трудности.

Промежутки времени можно сравнивать.

Промежутки времени можно складывать, вычитать, умножать на положительное действительное число.

Промежутки времени измеряют.. Единицей времени должен быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда.

Век - это такая единица измерения времени, длительность которой ощутить практически невозможно. Надо учить детей определять, сколько целых столетий прошло за определенный промежуток.

Год – это промежуток времени, близкий по продолжительности к периоду обращения Земли вокруг Солнца. Год делится на 12 календарных месяцев разной продолжительности (28, 29, 30, 31 день). В году примерно 365 дней. Различаю: календарный (юлианский, григорианский), лунный, звездный, тропический, драконический, аномалистический.

Месяц – это промежуток времени, близкий к периоду обращения Луны вокруг Земли. Месяц делится на 4 недели, в каждой из которых 7 дней. Различают: календарный, звездный, синодический, драконический.

Сутки бывают эфемеридные (24 ч = 1440 мин = 86400 с), солнечные, средние солнечные, звездные.

Неделя – это единица измерения времени равная 7 суткам. В недели примерно168 часов.

Минута (от лат. minutus – «маленький», «мелкий») – это единица измерения времени, которая равна 1/60 части часа, т.е. 60 секундам.

Секунда (от лат. secunda divisio – «второе деление») – это единица измерения времени, равная 1/60 минуты.

1 г = 12 мес = 52 недели 1 мес= 4 недели 1 неделя = 7 суток

1 сутки = 24 часа = 1440 минут = 86400 секунд

1 час = 1/24 суток = 60 минут = 3600 секунд

1 минута = 1/1440 суток = 1/60 часа = 60 секунд

1 секунда = 1000 миллисекунд

Календарь – система счисления длительных промежутков времени, основанная на периодичности таких явлений природы, как смена дня и ночи, смен фаз Луны, смена времени года. Лунный календарь;Солнечно – лунный календарь;Юлианский календарь («старый стиль»); Григорианский календарь («новый стиль») и др.

35. Зависимость между величинами. Зависимости между величинами многообразны. Рассмотрим величины, связанные с равномерным прямолинейным движением - время, скорость и расстояние. Зависимость между временем (t), скоростью(v) и расстоянием (S), пройденным телом при прямолинейном равномерном движении, может быть выражена формулой S = v · t.

Если движение таково, что скорость принимает одно и то же значение, то зависимость пройденного расстояния от времени прямо пропорциональная, так как выражается формулой вида.у =kх (S = v · t)/ Пере­менная х есть время движения, а переменная у - пройденное раcстояние/ Коэффициент k обозначает скорость движения.

Прямо пропорциональная зависимость между временем и пройденным рассто­янием обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьша­ется) время движения, во столько же раз увеличивается (умень­шается) пройденное расстояние.

Зависимость расстояния прямолинейного равномерного движения от времени (при постоянной скорости) может быть и линейной, т. е. она может выражаться формулой вида у = kх +b, где k и b - некоторые данные числа

Если среди величин S, v, tдве величины - скорость и время - принимают различные значения, а расстояние постоянно, то зависимость между скоростью и временем движения обратно пропорциональная, так как может быть выражена формулой у =k: х, где переменная х есть скорость движения, переменная у - время движения (или наоборот), достояннаяkесть расстояние, которое на­до пройти телу.

Обратно пропорциональная зависимость между скоростью и временем движения обладает свойством: во сколько раз увеличивает­ся (уменьшается) скорость движения, во столько же раз уменьшается (увеличивается) время, затраченное на движение.

36. Зависимость между величинами, хар-ми процессы купли-продажи

37. Прямолинейное равномерное движение - это такое движение, при котором за одинаковые промежутки времени, тело проходит одинаковое расстояние.

Равномерное движение - это такое движение тела, при котором его скорость остается постоянной (),то есть все время движется с одной скоростью, а ускорение или замедление не происходит ().

Прямолинейное движение - это движение тела по прямой линии, то есть траектория у нас получается - прямая.

Не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор скорости совпадает с вектором перемещения. При всем этом средняя скорость в любой промежуток времени равна начальной и мгновенной скорости:

Скорость равномерного прямолинейного движения - это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времен к значению этого промежутка t:

Из данной формулы. мы легко можем выразить перемещение тела при равномерном движении:

38. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла , а их общее начало – вершиной угла.

Угол называется развёрнутым , если обе его стороны лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением другой стороны.

Угол называется прямым , если он равен 90°, острым , если он меньше прямого угла, т.е. меньше 90°, тупым , если он больше 90°, но меньше 180°, т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого угла.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными .

Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными , если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

39. Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трёх тчек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти три точки.

Элементы: стороны, углы, высоты,биссектрисы, медианы, средние линии.

Высотой труегол., опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства:

1.Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

2.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

3.Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса угла - это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства

1.Биссектриса угла - это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

2.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .

3.Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Высота

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-08

Рассмотрим небольшую задачу, которая часто встречаются в различных журналах и фокусах.

Фокусник предлагает загадать вам некоторое число. Далее просит умножить его на три, а к полученному результату прибавить шесть. Затем он просит разделить полученную сумму на три и вычесть из результата полученное число. Далее он говорит вам верный ответ.

Как же так происходит, неужто это магия?

Нет, на самом деле все проще. Пускай мы задумали число 5. Теперь выполним все действия которые предлагал нам фокусник.

• 1. 5*3=15.
• 2. 15+6=21.
• 3. 21:3=7.
• 4. 7-5=2.

Получили в ответе двойку. Это же решение мы могли бы записать в виде числового выражения (5*3+6):3 - 5. А его значением было бы число 2.

Теперь, допустим мы задумали число 3. Получилось бы числовое выражение (3*3+6):3 - 3. А его значением было бы число 2.

Снова двойка. Возникает мысль, что никакого фокуса тут нет, и в любом случае будет получаться число 2. Попытаемся это проверить. Обозначим число, задуманное нами, буквой х, и запишем все действия, которые просил сделать фокусник в необходимом порядке.

• Получим (х*3+6):3 -х.

• (х*3+6):3 –х = х+2-х=2.

Получается, что задуманное нами число вообще не играет никакой роли, оно в любом случае сократится.

В разборе задачи мы получили выражение (х*3+6):3 –х, которое записано с помощью буквы, обозначающей любое число, чисел 3 и 6, скобок и знаков действий. Такое выражение называется алгебраическим выражением или выражением с переменной.

Определение выражения с переменным

• Алгебраическое выражение или выражение с переменной называется, любая имеющая смысл запись, состоящая из букв, обозначающих любое число, чисел и знаков действий.

Например, следующие записи будут алгебраическими выражениями:

• 2*(х+у),
• 34*а-13*а*х,
• (123-65*а):3 +4.

Если вместо каждой буквы, которая входит в алгебраическое выражение подставить некоторое числовое значение, а потом выполнить все действия, то в результате получится некоторое число. Это число называют значением алгебраического выражения.

Например, значением алгебраического выражения 5*а+2*х-7 при а=2 и х=3 будет являться число 9, так как 5*2+2*3 -7 = 9.

В задаче, которую мы рассматривали в начале, значением алгебраического выражения (х*3+6):3 – х будет являться число 2, при любом значении переменной х.