Таблица тангенсов углов от 0 до 360. Разложения в ряды. Выражения через гиперболические функции
Орки - кто они? Бесчисленные орды уродливых дикарей, которые убивают людей, жгут их дома, уничтожают посевы и воруют рогатый скот. Орки Средиземья, фото которых можно увидеть не только на страницах комиксов, уже давно завоевали добрую половину всего фэнтезийного мира. Они побывали повсюду, и даже в космосе.
Происхождение слова
Дословно слово «орк» означает - «чужеземец», «демон, несущий зло и смерть». Во времена Древнего Рима «Оркус» было одним из имен Аида, бога смерти. В итальянской мифологии встречается слово «орча» - великан, который любит есть человеческих детей. Забавный факт, что в английском языке правильны оба варианта - orc и ork. В русском языке это слово читается одинаково.
Откуда же тогда взялось слово? И почему орками стали называть этих серо-зеленых дикарей. Все очень просто, причиной стал Толкин Джон Рональд Руэл. Именно он - первый человек, назвавших этих дикарей орками, после него все и завертелось. Назвал он их так еще до «Властелина колец», а не по окончании одноименного фильма.
В книге под названием «Хоббит, или Туда и обратно» в 1937 году впервые появилось это название. Данное слово автор взял из средневековой поэмы «Беовульф», где встречается слово orcnez, что означает - «подводные монстры». Позже он сам замечал, как это слово похоже с одним из имен Аида.
Воинственные народы Средиземья - орки - стали главными героями мира фэнтези и нашли свое место в книгах, фильмах, играх и других жанрах.
Создание Средиземья
С чего началась история Средиземья? Эру Илуватар - творец, обладающий могуществом мысли и воплощающий эти мысли своей волей. Он создал айнуров, первый народ Средиземья. Айнуры - провидцы, сплетают Песнь и могут предсказывать судьбу мира.
Народ айнуров раскололся, в нем появился храбрец Мелькор, который желал возвыситься над своим народом подобно Илуватару. Это темное желание повлияло на дальнейшую судьбу Средиземья и привело к разрушению мира, разрушало Песнь. Мелькор мечтал захватить мир в свои руки, за ним пошли многие из племени Айнур, которые и стали творцами Средиземья: они создали сушу и водные просторы, воздух, новую землю.
В ней жили старшие духи - Валар и Майар. Они вели бесконечную войну с Мелькором, пытаясь нарушить его планы захвата. Но Мелькор тоже не сдавал своих позиций. Это стало причиной множества катастроф и катаклизмов, которые оказали влияние на дальнейшую жизнь мифического мира.
Население
Кто такие орки Средиземья? Народы и расы, населяющие фэнтезийный мир, имели свою иерархию, отличались способом жизни и взаимодействовали между собой.
Среди них выделяют гномов, эльфов, хоббитов, людей, орков, троллей и прочих сказочных персонажей.
Гномы - свободный народ, прирожденные ремесленники и исследователи сокровищ земных глубин. Живут около 500 лет, а после смерти превращаются в камни.
Эльфы - бессмертные всевидящие существа. Их сущности тесно связаны с природой, они грациозны, разумны и обладают хорошо развитым чувством прекрасного.
Хоббиты - невысокие существа, но при этом достаточно сильные, умеют управляться с оружием.
Люди - самая многочисленная раса. Они имеют разную национальную принадлежность, собственные обычаи, работают строителями или торговцами. Живут около 65 лет.
Племена орков в Средиземье - это целая раса, которая характеризуется особой злобностью и воинственностью.
Орки Толкина
Любой фанат этого автора знает, что в фэнтезийном мире Толкина орки - это уродливые потомки первых эльфов. Об этом писалось в книге «Сильмариллиона» в 1977 году и говорилось в фильме «Властелин колец». Орки Средиземья были ужасными существами и подчинялись темному властелину Марготу. Он отлавливал эльфов Мелькора, при помощи темной магии извращал их, изменял и пытал до тех пор, пока они не становились уродливыми орками. Это были темнокожие существа с черной кровью, ростом как среднестатистический мужчина. Однако Темный Властелин, Маргот, допустил ошибку, роковую для орков. Ведь их создание происходило в темноте, поэтому они сильно слабели при свете.
Возраст
В мире Средиземья орки и гоблины - одна раса. Просто гоблинами принято называть мелких орков, а более крупных - просто орками. О долговечности орков мало что известно. Одни считают, что они бессмертны, а другие, что они просто долгоживущие создания. Но одно известно точно - ни один орк никогда не умирал от старости. Например, вождь марийских орков Поль в расцвете своих лет убил предводителя гномов Найна, и только через 150 лет погиб в битве Пяти Армий. Его отец, Азок, по некоторым данным, прожил более 300 лет, прежде чем также был убит.
Орки Средиземья и их имена плавно перекочевали из книги Толкина в комиксы, мультфильмы, настольные и компьютерные игры, стали героями множества фэнтезийных миров и цивилизаций.
Быт
Как жили орки Средиземья? Размножение происходило очень быстро. Однако об их женщинах известно ровно столько же, сколько и о женщинах гномов. Они есть, но их никто никогда не видел.
Живут и строят свои города чаще всего в горных подземельях, подальше от солнечного света. Однако большинство орков все равно предпочитает вечную тьму Мортера.
Язык
Собственного языка у орков не было. Каждое племя говорило на своем диалекте, тем не менее все понимали друг друга. Они были объединены одним языком Вестрона. Но Саруман разработал для них особое темное наречие, которым те изредка пользовались, чтобы достичь мирных соглашений с Варгами, Гномами и людьми. Между собой племена орков очень часто враждовали.
Основные занятия
Орки Средиземья, кроме войны, занимались ремеслами и овладели ими достаточно хорошо. Но специфика этих занятий была направлена на ведение военных действий и уничтожение противников. Они изготавливали не только орудия убийств, но и машины пыток.
Они научились рыть тоннели и разрабатывать рудники. Что касается еды, то они могут есть все, но наибольшим деликатесом для них является мясо дичи, которую они сами поймали. Это могут быть люди или звери. Военные операции они, как правило, проводят в темное время суток. Но есть исключение: урук-хаи - потомки людей и орков, которые могут беспрепятственно находиться на солнечном свету.
Орки Толкина - это всем оркам орки. Средиземье, фильм о котором стал культовым, - не просто среда обитания гномов и эльфов. Это целый мир, в котором есть место даже любви и состраданию. Можно сказать, они прародители всех орков фэнтези. Именно Толкин - первый человек, который их придумал, после этого появились все остальные орки.
Список орков Средиземья не ограничивается только толкиновскими существами, ведь с течением времени этот прототип оброс новыми усовершенствованными возможностями.
Орки Грейхока
1974 год. Великобритания. Именно здесь была создана настольная ролевая игра в жанре фэнтези, разработанная Гэри Гайгэксом и Дэйвом Арнесоном. Dungeons of Dragons является очень популярной настольной игрой. Игрок перемещался по столу, выполнял миссии и прокачивался. И именно там, в настольных и других играх, впервые появились орки Средиземья.
В отличие от Толкина, в D&D орки и гоблины являются разными биологическими видами, но, несмотря на это, часто действуют сообща. Внешне орки похожи на людей, отличает их только темно-серая кожа, заостренные торчащие уши и выглядывающие из пасти клыки. Если в мире Толкина орки являются бывшими потомками эльфов, то в мире D&D они дальние родственники людей. Подтверждение тому - немалое число полуорков, которые могут жить с орками и считаться изгоями в землях людей, или же, наоборот, объединяться в отдельные племена. Кстати, в одной из редакций Dungeons of Dragons полуорк - одна из доступных рас.
Особенности настольных орков
Каждый орк очень любит войну. Если он не сражается, то он либо думает о войне, либо уже умер. Поэтому обучение владению оружием у орков в обязательной программе. Несмотря на то что владеть оружием, как и следить за ним, они зачастую не умеют. Орки с неприязнью относятся к людям и чужакам, но, заметив эльфа или гнома, без раздумий кидаются в бой, даже если преимущества у них никакого перед врагом нет. Они также не любят свет, но только потому, что им просто некомфортно находиться под солнечными лучами.
В племенах орков царит полный патриархат. Орочьи женщины считаются собственностью своих мужчин. А их количество - один из показателей, по которому оценивается положение орка на социальной лестнице. Не брезгуют орки и рабством. В племени часто имеется шаман, власть которого сравнима с властью вождя. Если между этими двумя орками возникает вражда, племя может расколоться.
Наиболее крупные племена орков живут в больших городах, построенных как на поверхности земли, так и под ней. Здесь они уже стали приобретать хорошо знакомый нам вид.
Игра стала настолько популярной, что в 1980 году Майкл Мурмак создал нового героя, которого в 1983 году купила компания Games Workshop. Незначительно измененный герой был назван Warhammer, и именно он подарил миру тех самых зеленых орков.
Орки Старого Света
Неизвестно, почему орки в Вархамере зеленые. Однако некоторые фанаты игры уверены, что разработчики хотели придать им визуально запоминающийся образ. И в этом они не прогадали. Однако зеленый цвет - не единственное, чем орки Вархамера выделяются на фоне других. Если во всех других произведениях они по умолчанию были злобной расой и убивали людей, эльфов, гномов, которых только могли встретить, то здесь они убивают, потому что война - это вся их жизнь и часть их культуры. И возможно, в душе они не такие плохие сущности.
Откуда пришли орки? Средиземье, фильм о котором сняли спустя много лет после написания книги, не всегда было их домом. Они не имеют пола, но размножаются очень быстро через споры, как грибы. Живут племенами, которые возглавляют самые здоровые и сильные представители. Обычно их называют вожаками или военачальниками. Чем успешнее военачальник, тем больше орков присоединяется к его племени, ведь сильный управитель принесет им гораздо больше побед и трофеев.
В качестве валюты используют зубы, которые у тех растут и выпадают на протяжении всей жизни. Сколько они живут неизвестно, ибо ровно, как и толкиновские орки, ни один орк Вархамера никогда не умирал от старости. В расовую принадлежность вернулись гоблины и добавились снотлинги. Это самые маленькие из зеленокожих, а еще самые глупые. Они считаются самым низшим сословием, орки поручают им самые легкие задания. Гоблины слабее орков, но гораздо хитрее и изворотливее.
Черные орки
Чем отличались между собой орки Средиземья? Расы этих существ существенно разнились. Это были гоблины - маленькие орки, урук-хаи - полуорки, еще известны черные орки.
Самые зеленые и крупные особи были созданы колдунами гномов Хаоса в качестве дешевой и покорной рабочей силы. Гномы и раньше использовали орков в качестве рабов, но зеленокожие воинственные создания вместо работы предпочитали разбивать друг другу морды. Поэтому колдуны и вывели новую породу - черных орков. Они были умнее, здоровее и сильнее, но у них был и минус для гномов Хаоса - они сплотились против своих хозяев и сбросили с себя рабские оковы.
Обычно именно черные орки возглавляют племена и ведут других в бой. Они являются элитой орков и подходят к вопросу войны основательно. Они с презрением смотрят на остальных орков, особенно на гоблинов, ведь те часто сбегают с поля боя. Они всегда носят лучшее оружие и доспехи.
У орков есть свои боги - Горк и Морк. Один сильный и глупый, а другой - умный, но менее сильный. Они любят и почитают своих богов и всюду, где только можно, строят им памятники и тотемы. Орки любят рассказывать друг другу о том, как Горк или Морк избивают Корна.
Именно для Games Workshop придумали зеленых орков, но стали они популярными благодаря другой игре.
Орки Дренора
В 1994 году вышел первый релиз легендарной игры. Изначально орки не были зелеными в мире Warcraft, но, после того как их обманул демон Кел Дже Ден и заставил их выпить кровь монорота, они стали зелеными и пошли войной против своих бывших союзников. Позже в Дреноре открылся портал, орки перебрались в Новый Мир, где и живут до сих пор.
Какие еще жанры освоили фантазийные персонажи? "Средиземье: Тени Мордора (Орки)" - еще одна компьютерная игра, но уже последнего поколения, с интересным сюжетом и новыми героями. Игрок может воплотиться в доброго героя и спасти вымышленный мир от катастрофы.
Начнем с того, что гоблины фигурируют, главным образом, в повести «Хоббит, или Туда и обратно» (1937), а орки – в трилогии «Властелин колец» (1954-55). Поэтому разница, можно сказать, скорее стилистическая. Для детской сказки (а «Хоббит» изначально создавался именно в этом жанре) нужно было использовать знакомое юным читателям слово. Любопытно, что в некоторых предисловиях к «Хоббиту» сам Толкин подчеркивал, что слово «орк» не является английским.
Само слово «гоблин» намного привычней английскому уху. Гоблин имеет своим прототипом закрепившееся в средневерхненемецком языке слово «кобольд». В английском же «гоблин» зафиксирован впервые в XIV веке и, вполне вероятно, своим появлением обязан т.н. среднефранцузскому языку.
Тем не менее, в «Хоббите» дважды упомянуты и орки, причем подчеркнута разница в размерах между ними. Подразумевается, что орки гораздо крупнее и злобнее, чем гоблины.
Так что будем откровенны, между мультипликационным Шреком и толкиновскими орками существует как минимум лингвистическое родство.
Возникает вопрос – почему во «Властелине колец» Толкин решает использовать именно слово «орк», хотя в ранних черновиках еще фигурируют гоблины и хобгоблины? Скорее всего, ему необходимо было вывести культурное пространство трилогии за грань детской (и комнаты, и сказки).
Автор писал не формальное продолжение «Хоббита», как ему заказывали издатели, а совершенно новый текст, основанный на созданных ранее сюжетах «Сильмариллиона». Эта область толкиновской вселенной подчиняется иной внутренней логике, и поэтому требовалось закрепить это различие даже на уровне лексики.
Если же говорить о происхождении орков, то здесь Толкин предлагает нам лишь отдельные намеки. Его основная мысль такова: зло не может сотворить ничего нового, оно лишь может искажать до неузнаваемости уже существующее. Именно поэтому по одной из версий (упомянутых во «Властелине Колец») орки – это бывшие эльфы, душа и тело которых были изуродованы Морготом под покровом Тьмы. Именно поэтому они «множатся» по приказу того или иного темного владыки – Моргота и позже Саурона – и не выносят солнечного света.
Саруман идет даже дальше и создает «полуорков» - некий генетический гибрид между орками и людьми, которые не боятся солнца и испытывают особую, гипертрофированную ненависть к природе. Все они в итоге погибают – большая часть от разгневанных оживших деревьев Фангорна, а меньшая (отряд побежденного Сарумана, который пытался укрыться в Хоббитании) – от рук хоббитов, освобождающих в финале свою страну.
Иными словами, сила и мощь орков напрямую зависит от могущества их господина. С гибелью Саурона и Сарумана орки (они же гоблины) навсегда исчезают из Средиземья.
>>С точки зрения этимологии, слово «орк» происходит от латинского Оркус (бог смерти в римской мифологии). В английском языке оно закрепилось благодаря французским сказкам XVII века, где довольно часто встречалось слово ogre (куда оно, в свою очередь, перекочевало из итальянского).
Слово "orc-neas" - содержится в "Беовульфе", написанном на древне-английском языке.
"eotenas ond ylfe ond orcneas" - гиганты (те самые что и ogres) и эльфы и орки?
форма Orc есть и еще в одном памятнике 10 века.
Ответить
>>С точки зрения этимологии, слово «орк» происходит от латинского Оркус (бог смерти в римской мифологии). В английском языке оно закрепилось благодаря французским сказкам XVII века, где довольно часто встречалось слово ogre (куда оно, в свою очередь, перекочевало из итальянского).
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений тангенса, tg
Подробная таблица тангенсов. Шаг — 1 градус.
Таблица тангенсов углов углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°.
Углы |
Углы |
Углы |
Углы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
таблица тангенсов, таблица тангенсов и синусов, таблица тангенсов косинусов, таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов
Оценка статьи:
В таблице значения тангенсов от 0° до 360°.
Таблица тангенсов нужна, когда у вас под рукой нет калькулятора. Чтобы узнать, чему равен тангенс угла, просто найдите его в таблице. Для начала короткая версия таблицы:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov — uchim.org
Таблица тангенсов для 0°-180°
|
|
|
Таблица тангенсов для 180° — 360°
|
|
|
Существуют также следующие таблицы тригонометрических функций по геометрии: таблица синусов, таблица косинусов и таблица котангенсов.
Всё для учебы » Математика в школе » Таблица тангенсов углов (углы, значения)
Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.
Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):
Знаки тригонометрических функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.
В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
угла α - это ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α - это абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α - это отношение синуса к косинусу.
Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .
Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y: x .
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным - положительное направление оси OX (ось абсцисс).
На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус - это ордината(координата y).
А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же - абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y: x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают.
Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти (x < 0, y < 0).
Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции - синуса, косинуса и тангенса - на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции - котангенсе.
Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса - никаких специальных правил там нет.
Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию - это практика. Желательно - много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число.
Зная четверти, мы легко найдем знаки - по только что описанным правилам. Имеем:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ , это угол из II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ , это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны.
Следовательно, cos (7π/6) < 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ , мы находимся в IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ , это II четверть, в которой синусы положительны, т.е.
sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ - снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ - это II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ , речь идет о II координатной четверти, где синусы положительны.
Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ - это IV координатная четверть, косинусы там положительны.
Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел - такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°.
Но угол 135° ∈ - это II четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ - это III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ - это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения - их произведение тоже будет положительным.
Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать - именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Найдите sin α, если sin2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8.
Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] - это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 - неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е.
извлекаем квадратный корень: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,25 и α ∈ .
Имеем: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5.
Тригонометрические функции любого угла
Снова смотрим на угол: α ∈ - это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg2 α = 9 и α ∈ .
Все то же самое, только для тангенса.
Извлекаем квадратный корень: tg2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ - это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
y = tg x | y = ctg x | |
Область определения и непрерывность | ||
Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
Возрастание | - | |
Убывание | - | |
Экстремумы | - | - |
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.