Представяне на връзката между величините под формата на формули. Представяне на зависимости между количествата - Хипермаркет на знанието. Предварителна подготовка. Въпроси и задачи

За да се справите лесно с решаването на задачи, включващи топка, вписана в пирамида, е полезно да прегледате малко теоретичен материал.

Топка е вписана в пирамида (или сфера е вписана в пирамида) - това означава, че топката (сферата) докосва всяко лице на пирамидата. Равнините, съдържащи лицата на пирамидата, са допирателните равнини на топката. Сегментите, свързващи центъра на топката с точките на контакт, са перпендикулярни на допирателните равнини. Дължините им са равни на радиуса на топката. Центърът на топка, вписана в пирамида, е точката на пресичане на ъглополовящите равнини на двустенните ъгли в основата (т.е. равнините, разделящи тези ъгли наполовина).

Най-често в задачи ние говорим заза топка, вписана в правилна пирамида. Топката може да се постави във всяка правилна пирамида. Центърът на топката в този случай е на височината на пирамидата. При решаването на задачата е удобно пирамидата и топката да се изрежат с равнина, минаваща през апотемата и височината на пирамидата.

Ако пирамидата е четириъгълна или шестоъгълна, напречното сечение е такова равнобедрен триъгълник, страниот които са апотемите, а основата е диаметърът на окръжността, вписана в основата.

Ако пирамидата е триъгълна или петоъгълна, достатъчно е да разгледаме само част от това сечение - правоъгълен триъгълник, чиито крака са височината на пирамидата и радиусът на окръжността, вписана в основата на пирамидата, и хипотенузата е апотемата.

Във всеки случай, ние в крайна сметка стигаме до разглеждане на съответните правоъгълен триъгълники други свързани триъгълници.

И така, в правоъгълен триъгълник SOF, катет SO=H е височината на пирамидата, катет OF=r е радиусът на окръжността, вписана в основата на пирамидата, хипотенузата SF=l е апотемата на пирамидата. O1 е центърът на топката и съответно кръгът, вписан в триъгълника, получен в сечението (разглеждаме част от него). Ъгъл SFO - линеен ъгъл двустенен ъгълмежду основната равнина и равнината на страничната повърхност на SBC. Точките K и O са допирателни точки, следователно O1K е перпендикулярна на SF. OO1=O1K=R - радиус на топката.

Правоъгълните триъгълници OO1F и KO1F са равни (по катети и хипотенуза). Следователно KF=OF=r.

Правоъгълните триъгълници SKO1 и SOF са подобни (в остър ъгъл S), откъдето следва, че

В триъгълник SOF прилагаме свойството за ъглополовяща триъгълник:

От правоъгълен триъгълник OO1F

При решаването на задачи, включващи топка, вписана в правилна пирамида, ще бъде полезно още едно разсъждение.

Сега нека намерим отношението на обема на пирамидата към нейната повърхност.

Предмет: математика
Клас: 4
Тема на урока: Връзки между скорост, изминато разстояние и време
движения.
Цел: идентифициране и обосноваване на връзките между количествата: скорост, време,
разстояние;
Цели: насърчаване на развитието нестандартно мисленеспособност за правене на заключения,
причина; причина насърчаване на развитието на когнитивната дейност.
Оборудване: индивидуални карти различни цветове, критерии за оценяване,
карта за отражение, кръгове от два цвята.
По време на часовете.
1. Организационен момент.
Карта в два цвята: жълто и синьо. Покажете настроението си с помощта на карта
в началото и в края на урока.
Попълване на картата в началото на урока (Приложение 1.)
№ Одобрение
Край на урока
Начало на урока
да
Не
Не знам Да
Не не
Знам
1. Знам всички формули
задачи за движение
2. Разбирам решението
задачи за движение
3. Мога сам да ги реша
задачи
4. Мога да композирам
схеми за проблеми на
движение
5. Знам какви са грешките
Признавам в решението
задачи за движение
2. Повторение.
Как да намерим скорост? време? Разстояние?
Назовете единиците за измерване на скорост, разстояние, време.
3. Докладвайте темата на урока.
Какво ще научим в клас?
4. Групова работа.
Свързване на движещи се обекти (Приложение 2)
Пешеходец 70км/ч
Скиор 5км/ч

Кола 10км/ч
Реактивен самолет 12 км/ч
Влак 50 км/ч
Охлюв 900км/ч
Кон 90 км/ч
Проверка на работата.
5. Математически пъзел (самостоятелна работа)
Колко по-малка е скоростта на велосипедиста от скоростта на влака?
Колко km е по-голяма скоростта на скиор от скоростта на пешеходец?
Колко пъти скоростта на автомобила е по-малка от скоростта реактивен самолет?
Намерете общата скорост на най-бързо движещото се превозно средство и едно
бавен.
Намерете общата скорост на влака на велосипедиста и скиора.
6. Самопроверка на работата по критерии.
7. Физически упражнения.
Квадратна стойка в червен цвят
Зелено - да вървим
Жълто – пляснете с ръце веднъж
8. Работа в група. (Карта жълт цвят) (метод Джегсо)
Задача.
Две жени спореха, че с хаван или с метла е по-бързо? Същото
Бабаягата прелетя разстояние от 228 км с минохвъргачка за 4 часа, а бабаягата с метла за 3 часа. Какво
повече, скоростта на хоросан или метла?
9. Работа по двойки “Експеримент”.
Измислете задача за движение, като използвате следните стойности: 18 км/ч, 4 часа, 24 км, 3 часа.
Проверка на работата.
10. Тествайте.
1. Запишете формулата за намиране на скоростта.
2. Запишете формулата за намиране на времето.
3. Как да намерим разстоянието? Запишете формулата.
4. Запишете 8 km/min в km/h
5. Намерете времето, за което пешеходецът изминава 42 км, движейки се със скорост 5 км/ч.
6. Какво разстояние ще измине пешеходецът, движещ се със скорост 5 km/h за 6 часа?
11. Обобщение на урока.
Попълнете таблицата с резултатите, до които стигнахме в края на урока.
Покажете карта, която отговаря на вашето настроение.

Начало на урока
да
Не
Приложение 1.
Край на урока
Не знам Да
№ Одобрение
1. Знам всички формули
задачи за движение
2. Разбирам решението
задачи за движение
3. Мога сам да ги реша
задачи
4. Мога да композирам
схеми за проблеми на
движение
5. Знам какви са грешките
Признавам в решението
задачи за движение
Свържете движещи се обекти.
Пешеходец 70км/ч
Скиор 5км/ч
Кола 10км/ч
Реактивен самолет 12 км/ч
Влак 50 км/ч
Охлюв 900км/ч
Кон 90 км/ч
Не не
Знам
Приложение 2.

Моделиране на зависимости

между стойностите

« Единствения начинкоето води до познание е ДЕЙНОСТ“ Б. Шоу

Нарече себе си млечна гъба - изкачи се

в гърба

Както се върне, така ще отговори.

Значение

• Име: семантично (налягане на газа, време) и символно (P,t)
• Стойност: постоянна стойност (константа) или променлива
• Тип: числова, символна, логическа

По начин на представяне

информационен

материал

глаголен

емблематичен

преносен

компютър

некомпютърни

Информационни модели

Тип дума

Математически Таблична графика

Времето за падане на тялото на земята зависи от първоначалната му височина

t(s) – време на падане; H (m) – височина на падане. Ще представим зависимостта, като пренебрегнем въздушното съпротивление; ускорение свободно падане g (m/s 2) ще се счита за константа

Налягането на газа в цилиндъра зависи от неговата температура

P (n/m 2) – налягане на газа; t (°C) – температура на газа. Налягането при нула градуса P 0 ще се счита за константа за даден газ.

Честотата на заболеваемостта на жителите на града с бронхиална астма зависи от концентрацията на вредни примеси в градския въздух

Ще характеризираме замърсяването на въздуха чрез концентрацията на примеси – С (mg/m3). Мерна единица е масата на примесите, съдържащи се в 1 кубичен метървъздух, изразено в милиграми. Заболеваемостта ще се характеризира с броя на болните от хронична астма на 1000 жители

Математически модел

Това е съвкупността количествени характеристикинякакъв обект (процес) и връзките между тях, представени на езика на математиката

Таблични и графични модели

Нека проверим експериментално закона за свободното падане на тялото.

Ще хвърлим стоманена топка от височина 6 метра, 9 метра и т.н. (след 3 метра), измервайки височината начална позициятопката и времето на нейното падане.

Таблица и графика на резултатите от експеримента

H, m

t, s

• Има три начина за моделиране числови величини: функционални (формула), таблични и графични;

• Формулата е по-гъвкава; Имайки формула, можете лесно да създадете таблица и да начертаете графика

Представете си математически модел на зависимостта на налягането на газа от температурата

T= от 10 до 150 на стъпки от 10

Отражение

Мишена : идентифициране на нивото на информираност за съдържанието на обхванатия материал

Продължете изречението:

• Днес разбрах...
• Купих...
• успях…
• Аз бях в състояние...
• Даде ми урок за цял живот...
• Исках…
• Беше интересно…
• Беше трудно…
• Изпълних задачи...
• Най-трудната част от задачата за мен беше...
• Най-лесно изпълних задачата...
• Най-интересното за мен при изпълнението на задачата беше...

Рефлексията (от къснолатински reflexio - връщане назад) е насочването на вниманието на субекта към себе си и неговото съзнание, по-специално към продуктите собствена дейност, както и всяко тяхно преосмисляне.

Домашна работа

• От прозорец на къща на височина 19,6 m е хвърлена монета със скорост 5 m/s. Определете времето, след което монетата ще падне на земята. Използвайки MS EXCEL, изградете есенен модел с промяна начална скоростот 5 m/s до 20 m/s

Стъпката на промяна на скоростта е 1 m/s.

Изпратете резултата на:

Първият слайд на екрана.

Добър ден Седни. Нека отворим работните си тетрадки и напишем днешната дата и темата на урока:

„Моделиране на зависимости между количествата.“ Отворете работните си тетрадки и запишете днешната дата и името на темата. И като епиграф към урока, бих искал да взема известна фразалауреат Нобелова наградав областта на литературата от Джордж Бърнард Шоу: „Единственият път, който води до знанието, е

ДЕЙНОСТ"

Определете целта на днешния урок. (Научете се да моделирате зависимости между количествата).

какво е модел?

Опростена представа за реален обект, процес или явление, която отразява основните му свойства.

какво е моделиране?

Моделиране

Процесът на изграждане на модели за изследване и изследване на обекти, процеси или явления;

Метод на познание, състоящ се в създаването и изучаването на модели.

Какви модели познавате въз основа на начина, по който са представени?

Материал и информация

Какъв стандартен софтуер ни позволява да изграждаме

информационни модели?

Microsoft Access

Microsoft Excel

Кое от следните приложения включва по-разширеното математически апарат?

Microsoft Excel

Какво според вас е стандартно? софтуерТрябва ли да научите как да го използвате, за да получите резултата, посочен в темата на урока?

Microsoft Excel

Втори слайд.

Така че да започваме. Пред вас на слайда има поговорки:

4. Както се върне, така ще отговори.

5. Нарекохте се млечна гъба - влезте в задната част.

Определете понятието, което обединява всички тези поговорки.

ПРИСТРАСТЯВАНЕ

В какви уроци се сблъскахте с тази концепция?

(по математика, физика, химия, биология, компютърни науки и др.).

Какви са видовете зависимости?

Зависимостите могат да бъдат математически, физически, социални, информационни и др.

Нека дефинираме понятието зависимост като вид връзка между количества, обекти и субекти.

Запишете това определение. Имайте предвид, че определението за зависимост може да варира в зависимост от обхвата на концепцията. (Например определението наркотична зависимостще включва компоненти, различни от тези на информационната зависимост).

Нека отбележим още две значими форми на зависимост на количествата, имащи

утилитарен смисъл

Те са функционални и статистически. В математиката функционалната зависимост на променливата Y от променливата X се нарича зависимост от вида y=f(x). Въпреки това, ако X и Y случайни променливи, тогава може да има връзка от различен вид между тях, наречена статистическа.

Вид статистическа зависимост е корелационната зависимост, която ще моделираме през следващото тримесечие.

Трети слайд

Нека дефинираме понятието количество.

Какво е величина?

Количеството е количествена характеристика на изследвания обект.

Нека запишем това определение и изброим свойствата на количествата.

Свойства на количествата:

Име на количеството.

може да бъде пълен (подчертавайки значението му) или може да бъде символичен.

Значение.

Ако стойността на дадено количество не се променя, то се извиква постоянна стойностили константа. Пример за константа е числото на Питагор n =3,14159... Величина, която променя стойността си, се нарича променлива.

дефинира набор от стойности, които количеството може да приеме. Основни видове стойности: числови, символни, логически.

Тъй като при разкриването на темата на урока ще говорим само за количествени характеристики, тогава ще се разглеждат само количества от числен тип, описани с математически, таблични и графични модели.

Четвърти слайд

Слайд „Мястото на компютърните науки в системата на науките“

Интердисциплинарното значение на компютърните науки до голяма степен се проявява чрез внедряването компютърно моделиранев различни научни и области на приложение: математика и физика, технологии, биология и медицина, икономика, мениджмънт и много други. С помощта на компютърно моделиране се решават много научни и индустриални проблеми. MS Excel е гъвкав инструмент за компютърно моделиране.

Шести слайд

Нека разгледаме конструкцията компютърни моделиНа

Примери за следните зависимости:

1) времето за падане на тялото на земята зависи от първоначалната височина;

2) налягането зависи от температурата на газа в цилиндъра;

3) честотата на бронхиална астма сред жителите зависи от качеството на градския въздух.

Нека помислим различни методиизгледи на зависимост.

Всяко изследване трябва да започне с идентифициране на количествените характеристики на обекта (процес, явление), който се изучава.

Например, при описване на процеса на падане на тяло, променливите величини са височина (H) и време на падане (t).

Освен наименованията посочваме и размерите на количествата.

t (sec) - време на падане; H (g) - височина на падане. Ще представим зависимостта, като пренебрегнем въздушното съпротивление. Гравитационно ускорение g (m/sec2) - постоянно.

Забележи, че

Ако зависимите между количествата могат да бъдат представени в математическа форма, тогава имаме математически модел.

Математическият модел е набор от количествени характеристики на определен обект (процес) и връзките между тях, представени на езика на математиката.

Математическите модели за първите два примера, изброени по-горе, са добре известни. Те отразяват физични законии са представени под формата на формули:

Изградете свой собствен табличен и графичен модел на процеса на промяна на налягането на газа при промяна на температурата.

За да запомните основните принципи на работа с MS Excel, ще изградим модел на процеса на падане на тяло от височина.

Демонстрация на екрана.

В този пример разгледахме три начина за показване на зависимостта на количествата: функционален (формула), табличен и графичен. Въпреки това, само формула може да се нарече математически модел на процеса на падане на тялото на земята. Защо? Защото формулата е универсална. Позволява ви да определите времето на падане на тяло от всякаква височина, а не само за експерименталния набор от H стойности, показани на фиг. 2.11.

Освен това таблица и диаграма (графика) излагат фактите, а математическият модел позволява да се правят прогнози чрез изчисления.

Сега ще вземете компютърния тест.

Вдигнете ръце, ако сте получили 5 на теста.

Идентифицирайте проблемните области.

и след завършване на тестването изградете модел на процеса на промяна на налягането.

Първоначални данни:

t се променя от 0 до 150 на стъпки от 10 ПРОВЕРКА!!!

Накратко за основното

Величината е някаква количествена характеристика на даден обект.

Зависимостите между количествата могат да бъдат представени във формата математически модел, в табличен и графичен вид.

Връзката, представена под формата на формула, е математически модел.

MS Excel е гъвкав, достъпен и разбираем инструмент за моделиране.

Нека си припомним целта, която си поставихме в началото на урока.

Стигнахте ли до него?

Всичко ясно ли беше в урока? - Размисъл

Въпроси и задачи

1. а) Какви форми на представяне на зависимостите между величините познавате?

б) Какво е математически модел?

в) Може ли един математически модел да включва само константи?

2. Дайте пример за нещо, което знаете функционална зависимост(формули) между характеристиките на дадена система.

3. Обосновете предимствата и недостатъците на всяка от трите форми на представяне на зависимости.

прочетете &36. Отговорете писмено на въпросите след параграфа.

В началото на урока ще има тест за създаване на връзка между количествата в програма Excelза малко.

Двете величини се наричат право-пропорционален, ако когато едното от тях се увеличи няколко пъти, другото се увеличи със същото количество. Съответно, когато единият от тях намалее няколко пъти, другият намалява със същото количество.

Връзката между тези количества е правопропорционална. Примери за пряка пропорционална зависимост:

1) когато постоянна скоростизминатото разстояние е правопропорционално на времето;

2) периметърът на квадрата и неговата страна са прави пропорционални количества;

3) цената на продукт, закупен на една цена, е пряко пропорционална на неговото количество.

Да се ​​разграничат направо пропорционална зависимостот обратната страна можете да използвате поговорката: „Колкото по-навътре в гората, толкова повече дърва за огрев“.

Удобно е да се решават задачи, включващи правопропорционални количества, като се използват пропорции.

1) За да направите 10 части са ви необходими 3,5 кг метал. Колко метал ще отиде за направата на 12 от тези части?

(Разсъждаваме така:

1. В попълнената колона поставете стрелка в посока от Повече ▼към по-малко.

2. Колкото повече части, толкова повече метал е необходим за направата им. Това означава, че това е правопропорционална зависимост.

Нека са необходими x kg метал, за да се направят 12 части. Съставяме пропорцията (в посока от началото на стрелката към нейния край):

12:10=х:3,5

За да намерите, трябва да разделите произведението на екстремните членове на известния среден член:

Това означава, че ще са необходими 4,2 кг метал.

Отговор: 4,2 кг.

2) За 15 метра плат те платиха 1680 рубли. Колко струват 12 метра такъв плат?

(1. В попълнената колона поставете стрелка в посока от най-голямото число към най-малкото.

2. Колкото по-малко плат купувате, толкова по-малко трябва да платите за него. Това означава, че това е правопропорционална зависимост.

3. Следователно втората стрелка е в същата посока като първата).

Нека х рубли струват 12 метра плат. Правим пропорция (от началото на стрелката до нейния край):

15:12=1680:x

За да намерите неизвестния екстремен член на пропорцията, разделете произведението на средните членове на известния екстремен член на пропорцията:

Това означава, че 12 метра струват 1344 рубли.

Отговор: 1344 рубли.

Предварителна подготовка. Въпроси и задачи

Когато решавате кое информационни задачиса използвани
електронни таблици?

а) Как се адресират данните в електронна таблица?

б) Какви типове данни могат да се съхраняват в ET клетки?

в) Какъв е принципът на относителното адресиране?

d) Как можете да отмените ефекта от относителното адресиране?

Каква е целта на диаграмите?

Как се определя областта за избор на данни от таблица за изграждане на диаграма и редът на избор? Какви количества са нанесени по хоризонталната (OX) ос и вертикалната (OY) ос?

В какви ситуации е за предпочитане да се използват: хистограми; графики; кръгови диаграми?

Информационно моделиранев планирането и управлението на производството

Проучени въпроси

Най-често срещаните видове проблеми на планирането и контрола

Представяне на зависимости между величини

Статистика и статистически данни

Метод най-малки квадрати

Изграждане на регресионни модели с помощта на процесор за електронни таблици

Прогнозиране от регресионен модел

Концепцията за корелационни зависимости. Изчисляване корелационни зависимостив електронна таблица

Оптимално планиране. Използване на MS Excel за решаване на проблема с оптималното планиране

Най-често срещаните видове проблеми на планирането и контрола

В управлението и планирането има цяла линиятипични задачи, които могат да бъдат делегирани на компютър. Потребителят на такъв софтуер може дори да не познава задълбочено математиката зад използваното устройство. Той трябва само да разбере същността на проблема, който се решава, да подготви и въведе първоначални данни в компютъра и да интерпретира получените резултати.

В тази тема ще разгледаме три вида проблеми, които специалистите в областта на планирането и управлението често трябва да решават:

1) прогнозиране- търсене на отговори на въпросите “Какво ще се случи след известно време?”, или “Какво ще стане, ако...?”;

2) определяне влиянието на едни фактори върху други- търсене на отговор на въпроса „Колко фактор Б влияе по-силно на фактор А?“ или „Кой фактор – В или С – влияе по-силно на фактор А?“;

3) търсене на оптимални решения- търсене на отговор на въпроса „Как да планираме производството, за да постигнем оптималната стойност на даден показател (например максимална печалба или минимално потребление на енергия)? "

Инструмент информационни технологиитози, който ще използваме, е табличен процесор MS Excel.

Представяне на зависимости между величини

Решаването на проблемите на планирането и управлението постоянно изисква отчитане на зависимостите на едни фактори от други. Примери за зависимости:

- времето за падане на тялото на земята зависи от първоначалната височина;

- налягането зависи от температурата на газа в цилиндъра;

‒ заболеваемостта от бронхиална астма сред жителите зависи от качеството на градския въздух.

Нека разгледаме различни методи за представяне на зависимости.

Всяко изследване трябва да започне с идентифициране на количествените характеристики на обекта (процес, явление), който се изучава. Такива характеристики се наричат ​​количества.

Свързано с всяко количество три основни свойства: име, стойност, тип.

Наименованието на величина може да бъде пълно (подчертаващо нейното значение) или може да бъде символично. Пример за пълно име е „Налягане на газа“; и символното име за същата стойност е P. В базите данни стойностите са полета за запис. За тях, като правило, те се използват пълни имена, например: „Фамилия“, „Тегло“, „Рейтинг“ и т.н. Във физиката и други науки, които използват математически апарат, символните имена се използват за означаване на количества.

Ако s значениеколичеството не се променя, то се нарича постоянно количество или константа. Пример константи- Питагорово число π=3,14159... Величина, която променя стойността си, се нарича променлива. Например, при описване на процеса на падане на тяло, променливите величини са височина (H) и време на падане (t).

Третото свойство на една величина е нейното Тип. Типът определя набора от стойности, които стойността може да приеме. Основни видове стойности: числови, символни, логически.

Сега да се върнем към примери 1-3 и да обозначим (именуваме) всички променливи величини, зависимостите между които ще ни интересуват. Освен наименованията посочваме и размерите на количествата. Размерите определят единиците, в които са представени стойностите на количествата.

1. t (сек) - време на падане; N (m) - височина на падане. Ще представим зависимостта, като пренебрегнем въздушното съпротивление. Гравитационно ускорение g (m/sec 2) - постоянно.

2. P (kg/m2) - налягане на газа; t (C) - температура на газа. Налягането при нула градуса P o се счита за константа за даден газ.

3. Замърсеността на въздуха ще се характеризира с концентрацията на примеси - C (mg/куб.м). Мерната единица е масата на примесите, съдържащи се в 1 кубичен метър въздух, изразена в милиграми. Заболеваемостта ще се характеризира с броя на болните от хронична астма на 1000 жители на този град- P (бол./хиляда).

Ако връзката между количествата може да бъде представена в математическа форма, тогава имаме математически модел.

Математически моделе набор от количествени характеристики на някакъв обект (процес) и връзки между тях, представени на езика на математиката.

Математическите модели за първите два примера, изброени по-горе, са добре известни. Те отразяват физичните закони и са представени под формата на формули:

Това са примери за зависимости, представени във функционална форма. Първата зависимост се нарича коренна зависимост (времето е пропорционално на корен квадратенот височина), вторият - линеен (налягането е право пропорционално на температурата).

В повече сложни задачиматематическите модели се представят под формата на уравнения или системи от уравнения. В този случай, за да извлечете функционалната зависимост на количествата, трябва да можете да решавате тези уравнения. В края на тази глава ще разгледаме пример за математически модел, който е изразен чрез система от неравенства.

Нека да разгледаме примери за два други начина за представяне на зависимости между количествата: табличен и графичен. Представете си, че решихме да проверим експериментално закона за свободното падане на тялото. Експериментът беше организиран по следния начин: хвърляме стоманена топка от балкона на 2-ри етаж, 3-ти етаж (и т.н.) на десететажна сграда, като измерваме височината на първоначалната позиция на топката и времето на падане. Въз основа на резултатите от експеримента съставихме таблица и начертахме графика.