Was sind die Prädikate in einem Satz? Komplexes Prädikat. Typen. Zusammengesetztes Verbprädikat. Beispiele für Möglichkeiten, es auszudrücken

Definition lineare Funktion

Lassen Sie uns die Definition einer linearen Funktion einführen

Definition

Eine Funktion der Form $y=kx+b$, wobei $k$ ungleich Null ist, wird als lineare Funktion bezeichnet.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl $k$ wird Steigung der Geraden genannt.

Wenn $b=0$ ist, heißt die lineare Funktion eine Funktion der direkten Proportionalität $y=kx$.

Betrachten Sie Abbildung 1.

Reis. 1. Geometrische Bedeutung der Steigung einer Geraden

Lassen Sie uns überlegen Dreieck ABC. Wir sehen, dass $ВС=kx_0+b$. Finden wir den Schnittpunkt der Geraden $y=kx+b$ mit der Achse $Ox$:

\ \

Also $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Lassen Sie uns das Verhältnis dieser Seiten ermitteln:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Andererseits ist $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Somit können wir folgende Schlussfolgerung ziehen:

Abschluss

Geometrische Bedeutung Koeffizient $k$. Liniensteigung $k$ gleich Tangente der Neigungswinkel dieser Geraden zur $Ox$-Achse.

Untersuchung der linearen Funktion $f\left(x\right)=kx+b$ und ihres Graphen

Betrachten Sie zunächst die Funktion $f\left(x\right)=kx+b$, wobei $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Somit, diese Funktion nimmt durchgehend zu Definitionsbereich. Es gibt keine Extrempunkte.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Diagramm (Abb. 2).

Reis. 2. Graphen der Funktion $y=kx+b$, für $k > 0$.

Betrachten Sie nun die Funktion $f\left(x\right)=kx$, wobei $k

1. Der Definitionsbereich sind alle Zahlen.
2. Der Wertebereich umfasst alle Zahlen.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.
4. Für $x=0,f\left(0\right)=b$. Wenn $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ und $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Daher hat die Funktion keine Wendepunkte.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Diagramm (Abb. 3).

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>>Mathematik: Lineare Funktion und ihr Graph

Lineare Funktion und ihr Graph

Der Algorithmus zur Konstruktion eines Graphen der Gleichung ax + by + c = 0, den wir in § 28 formuliert haben, gefällt Mathematikern trotz seiner Klarheit und Sicherheit nicht wirklich. Normalerweise machen sie Aussagen über die ersten beiden Schritte des Algorithmus. Warum, sagen sie, löst man die Gleichung zweimal für die Variable y: zuerst ax1 + by + c = O, dann ax1 + by + c = O? Ist es nicht besser, y sofort aus der Gleichung ax + durch + c = 0 auszudrücken, dann lassen sich Berechnungen einfacher (und vor allem schneller) durchführen? Lass uns das Prüfen. Lassen Sie uns zunächst überlegen Die gleichung 3x - 2y + 6 = 0 (siehe Beispiel 2 aus § 28).

x geben spezifische Werte, ist es einfach, die entsprechenden Werte von y zu berechnen. Wenn beispielsweise x = 0 ist, erhalten wir y = 3; bei x = -2 haben wir y = 0; für x = 2 gilt y = 6; für x = 4 erhalten wir: y = 9.

Sie sehen, wie einfach und schnell die Punkte (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) und (4; 9) gefunden wurden, die im Beispiel 2 aus § 28 hervorgehoben wurden.

Auf die gleiche Weise ließe sich die Gleichung bx - 2y = 0 (siehe Beispiel 4 aus § 28) in die Form 2y = 16 -3x umwandeln. weiter y = 2,5x; Es ist nicht schwierig, die Punkte (0; 0) und (2; 5) zu finden, die diese Gleichung erfüllen.

Schließlich kann die Gleichung 3x + 2y - 16 = 0 aus demselben Beispiel in die Form 2y = 16 -3x umgewandelt werden, und dann ist es nicht schwierig, Punkte (0; 0) und (2; 5) zu finden, die sie erfüllen.

Lassen Sie uns nun überlegen spezifizierte Transformationen Im Algemeinen.

Somit kann die lineare Gleichung (1) mit zwei Variablen x und y immer in die Form transformiert werden
y = kx + m,(2) wobei k,m Zahlen (Koeffizienten) sind und .

Das Privatansicht Die lineare Gleichung wird als lineare Funktion bezeichnet.

Mithilfe von Gleichung (2) ist es einfach, einen bestimmten x-Wert anzugeben und den entsprechenden y-Wert zu berechnen. Lassen Sie zum Beispiel

y = 2x + 3. Dann:
wenn x = 0, dann y = 3;
wenn x = 1, dann y = 5;
wenn x = -1, dann y = 1;
wenn x = 3, dann y = 9 usw.

Typischerweise werden diese Ergebnisse im Formular dargestellt Tische:

Die Werte von y aus der zweiten Zeile der Tabelle werden jeweils als Werte der linearen Funktion y = 2x + 3 an den Punkten x = 0, x = 1, x = -1, x = - bezeichnet 3.

In Gleichung (1) sind die Variablen hnu gleich, in Gleichung (2) jedoch nicht: Wir weisen einer von ihnen bestimmte Werte zu – der Variablen x, während der Wert der Variablen y vom ausgewählten Wert der Variablen x abhängt. Daher sagen wir normalerweise, dass x die unabhängige Variable (oder das Argument) und y die abhängige Variable ist.

Bitte beachten Sie: Es handelt sich um eine lineare Funktion spezieller Typ lineare Gleichung mit zwei Variablen. Gleichungsdiagramm y – kx + m ist wie jede lineare Gleichung mit zwei Variablen eine Gerade – sie wird auch Graph der linearen Funktion y = kx + m genannt. Somit ist der folgende Satz gültig.

Beispiel 1. Konstruieren Sie einen Graphen der linearen Funktion y = 2x + 3.

Lösung. Machen wir eine Tabelle:

In der zweiten Situation kann die unabhängige Variable x, die wie in der ersten Situation die Anzahl der Tage angibt, nur die Werte 1, 2, 3, ..., 16 annehmen. Wenn nämlich x = 16, dann finden wir mit der Formel y = 500 - 30x: y = 500 - 30 16 = 20. Das bedeutet, dass bereits am 17. Tag keine 30 Tonnen Kohle aus dem Lager entnommen werden können, da an diesem Tag nur noch 20 Tonnen werden im Lager verbleiben und der Prozess der Kohleentfernung muss gestoppt werden. Daher sieht das verfeinerte mathematische Modell der zweiten Situation wie folgt aus:

y = 500 - ZOD:, wobei x = 1, 2, 3, .... 16.

In der dritten Situation unabhängig Variable x kann theoretisch jeden nicht negativen Wert annehmen (z. B. x-Wert = 0, x-Wert = 2, x-Wert = 3,5 usw.), aber in der Praxis kann ein Tourist nicht damit laufen konstante Geschwindigkeit ohne Schlaf oder Ruhe so lange wie gewünscht. Wir mussten also vernünftige Einschränkungen für x vornehmen, sagen wir 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Denken Sie daran, dass das geometrische Modell nicht streng ist doppelte Ungleichheit 0 < х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Lassen Sie uns vereinbaren, anstelle des Ausdrucks „x gehört zur Menge X“ zu schreiben (sprich: „Element x gehört zur Menge X“, e ist das Zeichen der Zugehörigkeit). Wie Sie sehen, ist unsere Bekanntschaft mit der mathematischen Sprache ständig im Gange.

Wenn die lineare Funktion y = kx + m gilt, sollte dies nicht für alle x-Werte gelten, sondern nur für x-Werte ab einem bestimmten Wert numerisches Intervall X, dann schreiben sie:

Beispiel 2. Zeichnen Sie eine lineare Funktion grafisch:

Lösung: a) Erstellen wir eine Tabelle für die lineare Funktion y = 2x + 1

Lasst uns darauf aufbauen Koordinatenebene xОу Punkte (-3; 7) und (2; -3) und zeichnen Sie eine gerade Linie durch sie. Dies ist ein Diagramm der Gleichung y = -2x: + 1. Wählen Sie als Nächstes ein Segment aus, das die konstruierten Punkte verbindet (Abb. 38). Dieses Segment ist der Graph der linearen Funktion y = -2x+1, wobei xe [-3, 2] ist.

Normalerweise sagen sie Folgendes: Wir haben eine lineare Funktion y = - 2x + 1 auf dem Segment [- 3, 2] aufgetragen.

b) Wie unterscheidet sich dieses Beispiel vom vorherigen? Die lineare Funktion ist dieselbe (y = -2x + 1), was bedeutet, dass dieselbe Gerade als ihr Graph dient. Aber sei vorsichtig! - diesmal x e (-3, 2), d.h. die Werte x = -3 und x = 2 werden nicht berücksichtigt, sie gehören nicht zum Intervall (- 3, 2). Wie haben wir die Enden eines Intervalls auf einer Koordinatenlinie markiert? Lichtkreise (Abb. 39), darüber haben wir in § 26 gesprochen. Ebenso die Punkte (- 3; 7) und B; - 3) müssen auf der Zeichnung mit hellen Kreisen markiert werden. Dies erinnert uns daran, dass nur die Punkte der Geraden y = - 2x + 1 genommen werden, die zwischen den mit Kreisen markierten Punkten liegen (Abb. 40). In solchen Fällen werden jedoch manchmal Pfeile anstelle von Lichtkreisen verwendet (Abb. 41). Das ist nicht wichtig, die Hauptsache ist zu verstehen, worum es geht wir reden über.

Beispiel 3. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer linearen Funktion auf dem Segment.
Lösung. Lassen Sie uns eine Tabelle für eine lineare Funktion erstellen

Bauen wir auf der Koordinate auf xOy-Flugzeug Punkte (0; 4) und (6; 7) und zeichnen Sie eine gerade Linie durch sie - einen Graphen der linearen x-Funktion (Abb. 42).

Wir müssen diese lineare Funktion nicht als Ganzes betrachten, sondern auf einem Segment, d. h. für x e.

Der entsprechende Abschnitt des Diagramms wird in der Zeichnung hervorgehoben. Das merken wir am meisten Hauptordinate für Punkte, die zum ausgewählten Teil gehören, ist gleich 7 - das ist Höchster Wert lineare Funktion auf dem Segment. Normalerweise wird die folgende Notation verwendet: y max =7.

Wir stellen fest, dass die kleinste Ordinate der Punkte, die zu dem in Abbildung 42 hervorgehobenen Teil der Linie gehören, gleich 4 ist – dies ist der kleinste Wert der linearen Funktion auf dem Segment.
Normalerweise wird die folgende Notation verwendet: y Name. = 4.

Beispiel 4. Finden Sie y naib und y naim. für eine lineare Funktion y = -1,5x + 3,5

a) auf dem Segment; b) im Intervall (1,5);
c) im Halbtakt.

Lösung. Erstellen wir eine Tabelle für die lineare Funktion y = -l.5x + 3.5:

Konstruieren wir die Punkte (1; 2) und (5; - 4) auf der xOy-Koordinatenebene und zeichnen wir eine Gerade durch sie (Abb. 43-47). Wählen wir auf der konstruierten Geraden den Teil aus, der den x-Werten entspricht, aus dem Segment (Abb. 43), aus dem Intervall A, 5) (Abb. 44), aus dem Halbintervall (Abb. 47).

a) Anhand von Abbildung 43 lässt sich leicht schließen, dass y max = 2 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 1) und y min. = - 4 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 5).

b) Anhand von Abbildung 44 schließen wir: weder die größten noch die kleinsten Werte auf gegebenes Intervall Diese lineare Funktion funktioniert nicht. Warum? Tatsache ist, dass im Gegensatz zum vorherigen Fall beide Enden des Segments, in denen die größten und kleinsten Werte erreicht wurden, von der Betrachtung ausgeschlossen sind.

c) Anhand von Abbildung 45 schließen wir, dass y max. = 2 (wie im ersten Fall) und niedrigster Wert die lineare Funktion nicht (wie im zweiten Fall).

d) Anhand von Abbildung 46 schließen wir: y max = 3,5 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 0) und y max. existiert nicht.

e) Anhand von Abbildung 47 schließen wir: y max. = -1 (die lineare Funktion erreicht diesen Wert bei x = 3) und y max. existiert nicht.

Beispiel 5. Stellen Sie eine lineare Funktion grafisch dar

y = 2x - 6. Verwenden Sie die Grafik, um die folgenden Fragen zu beantworten:

a) Bei welchem ​​Wert von x ist y = 0?
b) Für welche Werte von x gilt y > 0?
c) bei welchen Werten von x wird y< 0?

Lösung. Erstellen wir eine Tabelle für die lineare Funktion y = 2x-6:

Durch die Punkte (0; - 6) und (3; 0) zeichnen wir eine Gerade - den Graphen der Funktion y = 2x - 6 (Abb. 48).

a) y = 0 bei x = 3. Der Graph schneidet die x-Achse im Punkt x = 3, das ist der Punkt mit der Ordinate y = 0.
b) y > 0 für x > 3. Tatsächlich liegt die Gerade bei x > 3 über der x-Achse, was bedeutet, dass die Ordinaten der entsprechenden Punkte der Geraden positiv sind.

Katze< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Bitte beachten Sie, dass wir in diesem Beispiel das Diagramm zur Lösung verwendet haben:

a) Gleichung 2x - 6 = 0 (wir haben x = 3);
b) Ungleichung 2x - 6 > 0 (wir haben x > 3);
c) Ungleichung 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Kommentar. Im Russischen wird ein und dasselbe Objekt oft anders bezeichnet, zum Beispiel: „Haus“, „Gebäude“, „Bauwerk“, „Hütte“, „Herrenhaus“, „Baracke“, „Hütte“, „Hütte“. IN mathematische Sprache Die Situation ist ungefähr die gleiche. Angenommen, die Gleichheit mit zwei Variablen y = kx + m, wobei k, m bestimmte Zahlen sind, kann als lineare Funktion bezeichnet werden Lineargleichung mit zwei Variablen x und y (oder mit zwei Unbekannten x und y), kann als Formel bezeichnet werden, kann als Beziehung zwischen x und y bezeichnet werden, kann schließlich als Abhängigkeit zwischen x und y bezeichnet werden. Es spielt keine Rolle, die Hauptsache ist, zu verstehen, worüber wir in allen Fällen sprechen mathematisches Modell y = kx + m

.

Betrachten Sie den in Abbildung 49 gezeigten Graphen der linearen Funktion, a. Wenn wir uns entlang dieses Diagramms von links nach rechts bewegen, erhöhen sich die Ordinaten der Punkte im Diagramm ständig, als ob wir „einen Hügel hinaufsteigen“ würden. In solchen Fällen verwenden Mathematiker den Begriff Zunahme und sagen Folgendes: Wenn k>0, dann nimmt die lineare Funktion y = kx + m zu.

Betrachten Sie den Graphen der linearen Funktion in Abbildung 49, b. Wenn wir uns entlang dieses Diagramms von links nach rechts bewegen, nehmen die Ordinaten der Punkte im Diagramm ständig ab, als ob wir „einen Hügel hinuntergehen“ würden. In solchen Fällen verwenden Mathematiker den Begriff Abnahme und sagen Folgendes: wenn k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Lineare Funktion im Leben

Fassen wir nun dieses Thema zusammen. Wir haben ein solches Konzept als lineare Funktion bereits kennengelernt, wir kennen seine Eigenschaften und haben gelernt, wie man Graphen erstellt. Außerdem haben Sie sich Sonderfälle einer linearen Funktion angesehen und herausgefunden, wovon sie abhängt gegenseitige Übereinkunft Graphen linearer Funktionen. Aber es stellt sich heraus, dass in unserem Alltagsleben Auch wir kreuzen uns ständig mit diesem mathematischen Modell.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Situationen im wirklichen Leben mit einem Konzept wie linearen Funktionen verbunden sind. Und auch, zwischen welchen Mengen bzw Lebenssituationen vielleicht einen linearen Zusammenhang herstellen?

Viele von Ihnen verstehen wahrscheinlich nicht ganz, warum sie lineare Funktionen studieren müssen, weil es unwahrscheinlich ist, dass sie nützlich sind späteres Leben. Aber hier irren Sie sich zutiefst, denn Funktionen begegnen uns immer und überall. Denn auch eine regelmäßige Monatsmiete ist eine Funktion, die von vielen Variablen abhängt. Zu diesen Variablen gehören Quadratmeterzahl, Einwohnerzahl, Tarife, Stromverbrauch usw.

Natürlich die häufigsten Beispiele für Funktionen lineare Abhängigkeit, die uns begegnet sind, sind Mathematikunterricht.

Sie und ich haben Probleme gelöst, bei denen wir die Entfernungen ermittelt haben, die Autos, Züge oder Fußgänger bei einer bestimmten Geschwindigkeit zurücklegen. Dies sind lineare Funktionen der Bewegungszeit. Aber diese Beispiele sind nicht nur in der Mathematik anwendbar, sie sind auch in unserem Alltag präsent.

Der Kaloriengehalt von Milchprodukten hängt vom Fettgehalt ab, und eine solche Abhängigkeit ist normalerweise eine lineare Funktion. Wenn beispielsweise der Fettanteil in Sauerrahm steigt, steigt auch der Kaloriengehalt des Produkts.

Lassen Sie uns nun die Berechnungen durchführen und die Werte von k und b ermitteln, indem wir das Gleichungssystem lösen:

Lassen Sie uns nun die Abhängigkeitsformel ableiten:

Als Ergebnis haben wir eine lineare Beziehung erhalten.

Um die Geschwindigkeit der Schallausbreitung in Abhängigkeit von der Temperatur zu ermitteln, kann man die Formel verwenden: v = 331 +0,6t, wobei v die Geschwindigkeit (in m/s) und t die Temperatur ist. Wenn wir ein Diagramm dieser Beziehung zeichnen, werden wir sehen, dass sie linear ist, das heißt, sie stellt eine gerade Linie dar.

Und derartige praktische Anwendungen Kenntnisse in der Anwendung linearer funktionale Abhängigkeit Die Liste könnte lange dauern. Angefangen bei Telefongebühren, Haarlänge und -wachstum bis hin zu Sprichwörtern in der Literatur. Und diese Liste geht weiter und weiter.

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A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

Das Konzept einer numerischen Funktion. Methoden zur Angabe einer Funktion. Eigenschaften von Funktionen.

Numerische Funktion- eine Funktion, die von einem Zahlenraum (Menge) zu einem anderen Zahlenraum (Menge) wirkt.

Drei Hauptmethoden zum Definieren einer Funktion: analytisch, tabellarisch und grafisch.

1. Analytisch.

Die Methode zur Angabe einer Funktion mithilfe einer Formel wird als analytisch bezeichnet. Diese Methode ist die wichtigste in der Matte. Analyse, aber in der Praxis ist es nicht praktisch.

2. Tabellarische Methode Funktionszuordnungen.

Eine Funktion kann mithilfe einer Tabelle angegeben werden, die die Argumentwerte und die entsprechenden Funktionswerte enthält.

3. Grafische Methode Funktionszuordnungen.

Eine Funktion y=f(x) heißt grafisch gegeben, wenn ihr Graph konstruiert ist. Diese Methode zur Angabe einer Funktion ermöglicht es, die Funktionswerte nur näherungsweise zu bestimmen, da das Erstellen eines Diagramms und das Auffinden der Funktionswerte darauf mit Fehlern verbunden sind.

Eigenschaften einer Funktion, die bei der Erstellung ihres Diagramms berücksichtigt werden müssen:

1)Bereich Funktionsdefinitionen.

Domäne der Funktion, das heißt, jene Werte, die das Argument x der Funktion F =y (x) annehmen kann.

2) Intervalle steigender und fallender Funktionen.

Die Funktion heißt erhöhend auf dem betrachteten Intervall, wenn höherer Wert das Argument entspricht einem größeren Wert der Funktion y(x). Das heißt, wenn zwei beliebige Argumente x 1 und x 2 aus dem betrachteten Intervall genommen werden und x 1 > x 2, dann ist y(x 1) > y(x 2).

Die Funktion heißt abnehmend auf dem betrachteten Intervall, wenn einem größeren Wert des Arguments ein kleinerer Wert der Funktion y(x) entspricht. Dies bedeutet, dass, wenn zwei beliebige Argumente x 1 und x 2 aus dem betrachteten Intervall entnommen werden, und x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funktionsnullstellen.

Die Punkte, an denen die Funktion F = y (x) die Abszissenachse schneidet (sie werden durch Lösen der Gleichung y(x) = 0 erhalten), werden Nullstellen der Funktion genannt.

4) Gerade und ungerade Funktionen.

Die Funktion heißt gerade, wenn für alle Argumentwerte aus dem Gültigkeitsbereich

y(-x) = y(x).

Zeitplan gleiche Funktion symmetrisch zur Ordinatenachse.

Die Funktion heißt ungerade, wenn für alle Werte des Arguments aus dem Definitionsbereich

y(-x) = -y(x).

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Viele Funktionen sind weder gerade noch ungerade.

5) Periodizität der Funktion.

Die Funktion heißt periodisch, wenn es eine Zahl P gibt, die für alle Werte des Arguments aus dem Definitionsbereich gilt

y(x + P) = y(x).

Lineare Funktion, ihre Eigenschaften und Diagramm.

Eine lineare Funktion ist eine Funktion der Form y = kx + b, definiert auf der Menge aller reellen Zahlen.

k – Neigung (reelle Zahl)

B– Dummy-Begriff (reelle Zahl)

X- unabhängige Variable.

· Im Sonderfall k = 0 erhalten wir eine konstante Funktion y = b, deren Graph eine Gerade parallel zur Ox-Achse ist, die durch den Punkt mit den Koordinaten (0; b) verläuft.

· Wenn b = 0, dann erhalten wir die Funktion y = kx, die direkte Proportionalität ist.

o Die geometrische Bedeutung des Koeffizienten b ist die Länge des Segments, das die Gerade entlang der Oy-Achse abschneidet, vom Ursprung aus gezählt.

o Die geometrische Bedeutung des Koeffizienten k ist der Neigungswinkel der Geraden zur positiven Richtung der Ox-Achse, berechnet gegen den Uhrzeigersinn.

Eigenschaften einer linearen Funktion:

1) Der Definitionsbereich einer linearen Funktion ist die gesamte reelle Achse;

2) Wenn k ≠ 0, dann ist der Wertebereich der linearen Funktion die gesamte reelle Achse.

Wenn k = 0, dann besteht der Wertebereich der linearen Funktion aus der Zahl b;

3) Geradeheit und Ungeradeheit einer linearen Funktion hängen von den Werten der Koeffizienten k und b ab.

a) b ≠ 0, k = 0, also y = b – gerade;

b) b = 0, k ≠ 0, also y = kx – ungerade;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, daher ist y = kx + b eine Funktion Gesamtansicht;

d) b = 0, k = 0, daher ist y = 0 sowohl eine gerade als auch eine ungerade Funktion.

4) Eine lineare Funktion hat nicht die Eigenschaft der Periodizität;

5) Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, daher ist (-b/k; 0) der Schnittpunkt mit der x-Achse.

Oy: y = 0k + b = b, daher ist (0; b) der Schnittpunkt mit der Ordinate.

Kommentar. Wenn b = 0 und k = 0, dann verschwindet die Funktion y = 0 für jeden Wert der Variablen x. Wenn b ≠ 0 und k = 0, dann verschwindet die Funktion y = b für keinen Wert der Variablen x.

6) Die Intervalle mit konstantem Vorzeichen hängen vom Koeffizienten k ab.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – positiv bei x aus (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativ für x aus (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – positiv bei x von (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativ für x von (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b ist im gesamten Definitionsbereich positiv,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Die Monotonieintervalle einer linearen Funktion hängen vom Koeffizienten k ab.

k > 0, daher nimmt y = kx + b im gesamten Definitionsbereich zu,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funktion y = ax 2 + bx + c, ihre Eigenschaften und Graph.

Funktion y = ax 2 + bx + c (a, b, c - Konstanten, a ≠ 0) heißt quadratisch Im einfachsten Fall, y = ax 2 (b = c = 0), ist der Graph eine gekrümmte Linie, die durch den Ursprung verläuft. Die Kurve, die als Graph der Funktion y = ax 2 dient, ist eine Parabel. Jede Parabel hat eine sogenannte Symmetrieachse die Achse der Parabel. Der Punkt O des Schnittpunkts einer Parabel mit ihrer Achse heißt der Scheitelpunkt der Parabel.

Der Graph kann nach dem folgenden Schema erstellt werden: 1) Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Wir konstruieren mehrere weitere Punkte, die zur Parabel gehören; bei der Konstruktion können wir die Symmetrien der Parabel relativ zur Geraden x = -b/2a nutzen. 3) Verbinden Sie die angegebenen Punkte mit einer glatten Linie. Beispiel. Stellen Sie die Funktion b = x 2 + 2x - 3 grafisch dar. Lösungen. Der Graph der Funktion ist eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind. Die Abszisse des Scheitelpunkts der Parabel x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, ihre Ordinate y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Der Scheitelpunkt der Parabel ist also der Punkt (-1; -4). Lassen Sie uns eine Wertetabelle für mehrere Punkte erstellen, die rechts von der Symmetrieachse der Parabel liegen - Gerade x = -1. Funktionseigenschaften.

Das Prädikat kann entweder verbal oder nominal sein. Beide wiederum können einfach und zusammengesetzt sein. Ein komplexes Prädikat, das aus drei oder mehr Mitgliedern besteht, wird separat unterschieden.

Die wichtigsten Möglichkeiten, das Prädikat auszudrücken, sind die Verwendung verschiedene Formen Verb. Dies gilt nicht für Nominalprädikat, zu dessen Nominalteil das Verb-Konnektiv nicht hinzugefügt werden darf.

Einfach verbale Prädikat ist zweigeteilt große Gruppen. Dies sind diejenigen, die formal mit dem Thema verglichen werden, und diejenigen, die nicht damit verglichen werden. Darüber hinaus bildet ein solches Prädikat, das eine komplizierte Form hat, ein anderes besondere Gruppe.

Dieses einfache verbale Prädikat, das formal mit dem Subjekt verglichen wird, wird durch Verbformen jeder Person, Zeitform und Stimmung ausgedrückt. Zum Beispiel:

1) Verb in der Form Winterwind macht mich traurig.

2) Verb in der Form Lass den Donner lauter schlagen.

3) Verb in der Form Du solltest dich ausruhen, Oma.

Die Einstellung zur Botschaft, zur Wirklichkeit, zum Willen des Sprechenden wird mit Hilfe dessen ausgedrückt, das dem Prädikat sehr nahe kommt. Zum Beispiel: Lasst uns gemeinsam schweigen und nachdenken. Der Wald raschelt nicht, die Blätter fallen nicht.

Es wird das einfache verbale Prädikat ausgedrückt, das formal nicht mit dem Subjekt verglichen wird in den folgenden Formen Verb:

1) die interjektive Form dieser bedeutungsvollen Handlung, die sofort auftritt: Das Kind sprang in die andere Richtung;

2) ein Infinitiv, der die Bedeutung des aktiven Beginns einer Handlung hat: Und die Freunde trafen sich, na ja, küssen, na ja, umarmen;

3) das Verb „ist“, verwendet mit der Bedeutung „es gibt“: Wir haben Farben und wir haben Pinsel.

4) Form zwingende Stimmung:

a) die Bedeutung eines Wunsches haben, der die 3. Person betrifft: Übergebe uns, den Zorn des Tyrannen, übergebe seine Liebe;

b) im Sinne von Verpflichtung: Du bist unartig und der Lehrer ist für dich verantwortlich;

c) im Sinne von Zugeständnis: Auch wenn er der Klügste ist, muss er sich an die Regeln halten;

d) mit der Bedeutung der Bedingung: Wäre er früher aufgetreten, hätte sich noch etwas ändern können;

5) die Form des Verbs, die gleichbedeutend mit der Form des Imperativs ist und die Bedeutung von Willkür oder Überraschung der ausgeführten Handlung hat: Ein Lastwagen fuhr gegen diesen Baum und überschritt dabei die zulässige Geschwindigkeit.

Ein einfaches verbale Prädikat kann, wie oben erwähnt, auch komplizierte Formen haben. Dies ist eine Kombination aus einem Verb mit Partikeln oder eine Kombination aus zwei Verben. Diese beinhalten:

1. Die Verbindung eines beliebigen „nehmen“ und einer Form eines anderen Verbs unter Verwendung der Konjunktionen „ja und“, „und“, „ja“, um eine unerwartete Handlung zu bezeichnen, die durch die Laune der betreffenden Person im Satz verursacht wird.

2. Verbindung ein gleiche Form zwei Verben, von denen das erste anzeigt spezifische Aktion, und der zweite - auf sein Ziel.

3. Die Kombination zweier Verben mit derselben Wurzel und die Verwendung des Partikels „nicht“ zwischen ihnen mit der Bedeutung von Unmöglichkeit.

4. Eine Kombination aus zwei Verben mit derselben Wurzel, von denen eines eine Personalform und das zweite eine Infinitivform hat. Negative Bedeutung Das Prädikat wird durch die vorherige Verwendung des Partikels „nicht“ verstärkt persönliche Form Verb.

5. Eine Verbindung, um die Intensität der Aktion anzuzeigen, die Phrase „Ich mache das einfach“ mit einem anderen Verb in derselben Form.

6. Zweimalige Verwendung desselben Prädikats, um die Dauer der ausgeführten Aktion anzugeben.

7. Zweimalige Verwendung desselben Prädikats mit dem verstärkenden Teilchen „so“, um eine vollständig abgeschlossene Handlung zu bezeichnen.

8. Die Kombination der Partikel „wissen“ oder „erkenne dich selbst“ mit einem Verb, um eine Handlung zu bezeichnen, die trotz Hindernissen ausgeführt wird.

Ein einfaches Prädikat kann auch durch have ausgedrückt werden unterschiedliche Grade Zusammenhalt der Komponenten.