Vorteile der grafischen Methode zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen. „Vorteile der grafischen Methode zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen.“ Gleichungen und Ungleichungen grafisch lösen

Grafische Lösung von Gleichungen

Blütezeit, 2009

Einführung

Die Notwendigkeit, quadratische Gleichungen in der Antike zu lösen, wurde durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Flächenfindung zu lösen Grundstücke und mit Erdarbeiten militärischer Natur sowie mit der Entwicklung der Astronomie und Mathematik selbst. Die Babylonier konnten um 2000 v. Chr. quadratische Gleichungen lösen. Die Regel zum Lösen dieser Gleichungen, angegeben in Babylonische Texte, stimmt im Wesentlichen mit modernen überein, es ist jedoch nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel kamen.

Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen in Europa wurden erstmals im Buch Abacus aus dem Jahr 1202 dargelegt Italienischer Mathematiker Leonardo Fibonacci. Sein Buch trug zur Verbreitung algebraischer Kenntnisse nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei.

Aber allgemeine Regel Lösungen für quadratische Gleichungen für alle möglichen Kombinationen der Koeffizienten b und c wurden in Europa erst 1544 von M. Stiefel formuliert.

Im Jahr 1591 Francois Viet führte Formeln zur Lösung quadratischer Gleichungen ein.

IN altes Babylon könnte einige Arten quadratischer Gleichungen lösen.

Diophantus von Alexandria Und Euklid, Al-Khwarizmi Und Omar Khayyam löste Gleichungen mit geometrischen und grafischen Methoden.

In der 7. Klasse haben wir Funktionen gelernt y = C, y =kx, y =kx+ M, y =X 2,y = –X 2, in der 8. Klasse – y = √X, y =|X|, y =Axt2 + bx+ C, y =k/ X. Im Algebra-Lehrbuch der 9. Klasse habe ich Funktionen gesehen, die mir noch nicht bekannt waren: y =X 3, y =X 4,y =X 2n, y =X- 2n, y = 3√X, (X– A) 2 + (j –B) 2 = R 2 und andere. Es gibt Regeln für die Erstellung von Diagrammen dieser Funktionen. Ich habe mich gefragt, ob es andere Funktionen gibt, die diesen Regeln folgen.

Meine Aufgabe ist es, Funktionsgraphen zu studieren und Gleichungen grafisch zu lösen.

1. Welche Funktionen gibt es?

Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte Koordinatenebene, deren Abszissen den Werten der Argumente entsprechen und deren Ordinaten den entsprechenden Werten der Funktion entsprechen.

Lineare Funktion gegeben durch die Gleichung y =kx+ B, Wo k Und B- einige Zahlen. Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade.

Funktion umgekehrte Proportionalität y =k/ X, wobei k ¹ 0. Der Graph dieser Funktion wird Hyperbel genannt.

Funktion (X– A) 2 + (y –B) 2 = R2 , Wo A, B Und R- einige Zahlen. Der Graph dieser Funktion ist ein Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt im Punkt A ( A, B).

Quadratische Funktion j= Axt2 + bx+ C Wo A,B, Mit– einige Zahlen und A¹ 0. Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel.

Die gleichung bei2 (A– X) = X2 (A+ X) . Der Graph dieser Gleichung ist eine Kurve, die Strophoid genannt wird.

/>Gleichung (X2 + j2 ) 2 = A(X2 – j2 ) . Der Graph dieser Gleichung wird Bernoulli-Lemniskate genannt.

Die gleichung. Der Graph dieser Gleichung wird Asteroid genannt.

Kurve (X2 j2 – 2 Axt)2 =4a2 (X2 + J2 ) . Diese Kurve wird Niere genannt.

Funktionen: y =X 3 – kubische Parabel, y =X 4, y = 1/X 2.

2. Das Konzept einer Gleichung und ihre grafische Lösung

Die gleichung– ein Ausdruck, der eine Variable enthält.

Löse die Gleichung- das bedeutet, alle seine Wurzeln zu finden oder zu beweisen, dass sie nicht existieren.

Wurzel der Gleichung ist die Zahl, die, wenn sie in die Gleichung eingesetzt wird, die richtige Antwort ergibt numerische Gleichheit.

Gleichungen grafisch lösen ermöglicht es Ihnen, den genauen oder ungefähren Wert der Wurzeln zu ermitteln, ermöglicht es Ihnen, die Anzahl der Wurzeln der Gleichung zu ermitteln.

Bei der Erstellung von Graphen und der Lösung von Gleichungen werden die Eigenschaften einer Funktion genutzt, weshalb die Methode oft als funktional-grafisch bezeichnet wird.

Um die Gleichung zu lösen, „teilen“ wir sie in zwei Teile, führen zwei Funktionen ein, erstellen ihre Graphen und ermitteln die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen. Die Abszissen dieser Punkte sind die Wurzeln der Gleichung.

3. Algorithmus zum Zeichnen eines Funktionsgraphen

Den Graphen einer Funktion kennen y =F(X) können Sie Funktionsgraphen erstellen y =F(X+ M) ,y =F(X)+ l Und y =F(X+ M)+ l. Alle diese Diagramme werden aus dem Diagramm der Funktion erhalten y =F(X) Transformation nutzen Parallelübertragung: An │ M│ Skaleneinheiten nach rechts oder links entlang der x-Achse und weiter │ l│ Maßstabseinheiten nach oben oder unten entlang einer Achse j.

4. Grafische Lösung quadratische Gleichung

Zum Beispiel quadratische Funktion Wir werden uns die grafische Lösung einer quadratischen Gleichung ansehen. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Was wussten die alten Griechen über die Parabel?

Die moderne mathematische Symbolik entstand im 16. Jahrhundert.

Die antiken griechischen Mathematiker taten dies nicht Koordinatenmethode Es gab keinen Funktionsbegriff. Dennoch wurden die Eigenschaften der Parabel von ihnen eingehend untersucht. Der Einfallsreichtum der antiken Mathematiker ist einfach erstaunlich – schließlich konnten sie nur Zeichnungen und verwenden verbale Beschreibungen Abhängigkeiten.

Parabel, Hyperbel und Ellipse wurden am besten erforscht Apollonios von Perge, der im 3. Jahrhundert v. Chr. lebte. Er gab diesen Kurven Namen und gab an, welche Bedingungen die auf dieser oder jener Kurve liegenden Punkte erfüllen (es gab schließlich keine Formeln!).

Es gibt einen Algorithmus zur Konstruktion einer Parabel:

Finden Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel A (x0; y0): X=- B/2 A;

y0=axo2+in0+s;

Finden Sie die Symmetrieachse der Parabel (gerade x=x0);

SEITENUMBRUCH--

Wir erstellen eine Wertetabelle für die Konstruktion von Kontrollpunkten;

Wir konstruieren die resultierenden Punkte und konstruieren Punkte, die relativ zur Symmetrieachse symmetrisch zu ihnen sind.

1. Mit dem Algorithmus konstruieren wir eine Parabel j= X2 – 2 X– 3 . Abszissen der Schnittpunkte mit der Achse X und es gibt Wurzeln der quadratischen Gleichung X2 – 2 X– 3 = 0.

Es gibt fünf Möglichkeiten, diese Gleichung grafisch zu lösen.

2. Teilen wir die Gleichung in zwei Funktionen auf: j= X2 Und j= 2 X+ 3

3. Teilen wir die Gleichung in zwei Funktionen auf: j= X2 –3 Und j=2 X. Die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel und der Geraden.

4. Transformieren Sie die Gleichung X2 – 2 X– 3 = 0 indem man ein vollständiges Quadrat in Funktionen isoliert: j= (X–1) 2 Und j=4. Die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen der Schnittpunkte der Parabel und der Geraden.

5. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung Term für Term X2 – 2 X– 3 = 0 An X, wir bekommen X– 2 – 3/ X= 0 , teilen wir diese Gleichung in zwei Funktionen auf: j= X– 2, j= 3/ X. Die Wurzeln der Gleichung sind die Abszissen der Schnittpunkte der Geraden und der Hyperbel.

5. Grafische Lösung von GradgleichungenN

Beispiel 1. Löse die Gleichung X5 = 3 – 2 X.

j= X5 , j= 3 – 2 X.

Antwort: x = 1.

Beispiel 2. Löse die Gleichung 3 √ X= 10 – X.

Wurzeln gegebene Gleichung ist die Abszisse des Schnittpunkts der Graphen zweier Funktionen: j= 3 √ X, j= 10 – X.

Antwort: x = 8.

Abschluss

Nachdem ich mir die Diagramme der Funktionen angesehen habe: y =Axt2 + bx+ C, y =k/ X, ó = √X, y =|X|, y =X 3, y =X 4,y = 3√X, Mir ist aufgefallen, dass alle diese Diagramme nach der Regel der Parallelverschiebung relativ zu den Achsen aufgebaut sind X Und j.

Am Beispiel der Lösung einer quadratischen Gleichung können wir daraus schließen grafische Methode anwendbar für Gleichungen vom Grad n.

Grafische Methoden zum Lösen von Gleichungen sind schön und verständlich, bieten jedoch keine hundertprozentige Garantie für die Lösung einer Gleichung. Die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen können Näherungswerte sein.

In der 9. Klasse und im Gymnasium werde ich mich weiterhin mit anderen Funktionen vertraut machen. Mich interessiert, ob diese Funktionen bei der Erstellung ihrer Diagramme den Regeln der Parallelübertragung folgen.

An nächstes Jahr Ich möchte mich auch mit den Fragen der grafischen Lösung von Gleichungssystemen und Ungleichungen befassen.

Literatur

1. Algebra. 7. Klasse. Teil 1. Lehrbuch für Bildungsinstitutionen/ A.G. Mordkowitsch. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. Klasse. Teil 1. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / A.G. Mordkowitsch. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9.Klasse. Teil 1. Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / A.G. Mordkowitsch. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. VII–VIII-Klassen. – M.: Bildung, 1982.

5. Zeitschrift Mathematik Nr. 5 2009; Nr. 8 2007; Nr. 23 2008.

6. Websites zur grafischen Lösung von Gleichungen im Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; Pege 3–6.htm.

L.A. Kustova

Mathematiklehrer

Woronesch, MBOU Lyceum Nr. 5

Projekt

„Vorteile der grafischen Methode zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen.“

Klasse:

7-11

Artikel:

Mathematik

Forschungsziel:

HerausfindenVorteile der grafischen Methode zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen.

Hypothese:

Einige Gleichungen und Ungleichungen lassen sich einfacher und ästhetisch ansprechender grafisch lösen.

Forschungsphasen:

Vergleichen Sie analytische und grafische LösungsmethodenGleichungen und Ungleichungen.

Finden Sie heraus, in welchen Fällen die grafische Methode Vorteile hat.

Erwägen Sie die Lösung von Gleichungen mit Modul und Parameter.

Forschungsergebnisse:

1. Die Schönheit der Mathematik ist ein philosophisches Problem.

2. Beim Lösen einiger Gleichungen und Ungleichungen eine grafische Lösungam praktischsten und attraktivsten.

3. Mit einer grafischen Lösung können Sie die Attraktivität der Mathematik in der Schule nutzenGleichungen und Ungleichungen.

„Die mathematischen Wissenschaften waren Antike achteten besonders auf sich selbst,

Derzeit ist ihr Einfluss auf Kunst und Industrie noch stärker ins Interesse gerückt.“

Pafnutiy Lvovich Chebyshev.

Ab der 7. Klasse berücksichtigen wir verschiedene Wege Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, einschließlich grafischer. Wer glaubt, dass Mathematik eine trockene Wissenschaft ist, ändert meiner Meinung nach seine Meinung, wenn er sieht, wie schön sich manche Typen lösen lassenGleichungen und Ungleichungen. Lassen Sie mich Ihnen einige Beispiele nennen:

1).Lösen Sie die Gleichung: = .

Sie können es analytisch lösen, das heißt, beide Seiten der Gleichung in die dritte Potenz erhöhen und so weiter.

Die grafische Methode ist für diese Gleichung praktisch, wenn Sie lediglich die Anzahl der Lösungen angeben müssen.

Ähnliche Aufgaben Wird häufig beim Lösen des Blocks „Geometrie“ der OGE der 9. Klasse angetroffen.

2).Lösen Sie die Gleichung mit dem Parameter:

││ X│- 4│= A

Nicht das beste komplexes Beispiel, aber wenn Sie analytisch lösen, müssen Sie die Modulklammern zweimal öffnen und für jeden Fall berücksichtigen mögliche Werte Parameter. Grafisch ist alles sehr einfach. Wir zeichnen Funktionsgraphen und sehen Folgendes:

Quellen:

Computer Programm Erweiterte Grafik .

Während des Unterrichts können Sie sich selbstständig mit dem Thema „Grafische Lösung von Gleichungen und Ungleichungen“ befassen. Während des Unterrichts untersucht der Lehrer grafische Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen. Erfahren Sie, wie Sie Diagramme erstellen, analysieren und Lösungen für Gleichungen und Ungleichungen erhalten. Die Lektion wird auch behandelt konkrete Beispiele Zu diesem Thema.

Thema: Numerische Funktionen

Lektion: Grafische Lösung von Gleichungen, Ungleichungen

1. Unterrichtsthema, Einführung

Wir haben uns die Charts angeschaut Elementarfunktionen, inklusive Grafiken Potenzfunktionen C verschiedene Indikatoren. Wir haben uns auch die Regeln zum Verschieben und Transformieren von Funktionsgraphen angesehen. All diese Fähigkeiten müssen bei Bedarf angewendet werden GrafikLösung Gleichungen oder grafisch LösungUngleichheiten.

2. Gleichungen und Ungleichungen grafisch lösen

Beispiel 1: Lösen Sie die Gleichung grafisch:

Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen (Abb. 1).

Der Graph einer Funktion ist eine Parabel, die durch die Punkte verläuft

Der Graph der Funktion ist eine gerade Linie. Erstellen wir ihn anhand der Tabelle.

Die Graphen schneiden sich im Punkt. Es gibt keine anderen Schnittpunkte, da die Funktion monoton zunimmt, die Funktion monoton abnimmt und daher ihr Schnittpunkt der einzige ist.

Beispiel 2: Ungleichung lösen

A. Damit die Ungleichung gilt, muss der Graph der Funktion über der Geraden liegen (Abb. 1). Dies geschieht, wenn

B. In diesem Fall hingegen muss die Parabel unter der Geraden liegen. Dies geschieht, wenn

Beispiel 3. Ungleichung lösen

Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen (Abb. 2).

Finden wir die Wurzel der Gleichung, wenn es keine Lösungen gibt. Es gibt eine Lösung.

Damit die Ungleichung gilt, muss die Hyperbel über der Geraden liegen. Dies gilt, wenn .

Beispiel 4. Lösen Sie die Ungleichung grafisch:

Domain:

Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen für (Abb. 3).

A. Der Graph der Funktion muss sich unterhalb des Graphen befinden; dies geschieht, wenn

B. Der Graph der Funktion befindet sich oberhalb des Graphen bei Aber da in der Bedingung, die wir haben laxes Zeichen Dabei ist es wichtig, die isolierte Wurzel nicht zu verlieren

3. Fazit

Wir haben überprüft grafische Methode Gleichungen und Ungleichungen lösen; Wir haben uns konkrete Beispiele angesehen, deren Lösung Eigenschaften von Funktionen wie Monotonie und Parität nutzte.

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Lehrbuch. Für die Allgemeinbildung Institutionen. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: Abb.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. Klasse: pädagogisch. für Studierende der Allgemeinbildung. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. Algebra. 9.Klasse. 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12. Aufl., gelöscht. - M.: 2010. - 224 S.: Abb.

6. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 2. Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. – 12. Auflage, rev. - M.: 2010.-223 S.: Abb.

1. College-Bereich. ru in Mathematik.

2. Internetprojekt „Aufgaben“.

3. Bildungsportal„ICH WERDE DIE VERWENDUNG LÖSEN.“

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 355, 356, 364.

siehe auch Ein lineares Programmierproblem grafisch lösen, Kanonische Form linearer Programmierprobleme

Das System der Beschränkungen für ein solches Problem besteht aus Ungleichungen in zwei Variablen:
und die Zielfunktion hat die Form F = C 1 X + C 2 j was maximiert werden muss.

Beantworten wir die Frage: Welche Zahlenpaare ( X; j) sind Lösungen für das System der Ungleichungen, d. h. erfüllen sie jede der Ungleichungen gleichzeitig? Mit anderen Worten: Was bedeutet es, ein System grafisch zu lösen?
Zuerst müssen Sie verstehen, was die Lösung für eine lineare Ungleichung mit zwei Unbekannten ist.
Eine lineare Ungleichung mit zwei Unbekannten zu lösen bedeutet, alle Paare unbekannter Werte zu bestimmen, für die die Ungleichung gilt.
Zum Beispiel Ungleichung 3 X – 5j≥ 42 erfüllen Paare ( X , j) : (100, 2); (3, –10) usw. Die Aufgabe besteht darin, alle solchen Paare zu finden.
Betrachten wir zwei Ungleichungen: Axt + von≤ C, Axt + von≥ C. Gerade Axt + von = C teilt die Ebene in zwei Halbebenen, sodass die Koordinaten der Punkte einer von ihnen die Ungleichung erfüllen Axt + von >C und die andere Ungleichung Axt + +von <C.
Nehmen wir tatsächlich einen Punkt mit Koordinaten X = X 0 ; dann ein Punkt, der auf einer Geraden liegt und eine Abszisse hat X 0, hat eine Ordinate

Lassen Sie es zur Gewissheit kommen A< 0, B>0, C>0. Alle Punkte mit Abszisse X 0 oben liegend P(zum Beispiel Punkt M), haben y M>j 0 und alle Punkte unterhalb des Punktes P, mit Abszisse X 0 , haben y N<j 0 . Weil das X 0 ist ein beliebiger Punkt, dann wird es immer Punkte auf einer Seite der Linie geben, für die Axt+ von > C, eine Halbebene bildend, und auf der anderen Seite - Punkte für die Axt + von< C.

Bild 1

Das Ungleichheitszeichen in der Halbebene hängt von den Zahlen ab A, B , C.
Daraus folgt nächster Weg grafische Lösungen für Systeme Lineare Ungleichungen aus zwei Variablen. Um das System zu lösen, benötigen Sie:

1. Schreiben Sie für jede Ungleichung die dieser Ungleichung entsprechende Gleichung.
2. Konstruieren Sie gerade Linien, die Graphen von durch Gleichungen angegebenen Funktionen sind.
3. Bestimmen Sie für jede Gerade die Halbebene, die durch die Ungleichung gegeben ist. Um dies zu tun, nehmen Sie beliebiger Punkt, nicht auf einer Geraden liegend, setzen Sie seine Koordinaten in die Ungleichung ein. Wenn die Ungleichung wahr ist, ist die Halbebene, die den gewählten Punkt enthält, die Lösung der ursprünglichen Ungleichung. Wenn die Ungleichung falsch ist, dann ist die Halbebene auf der anderen Seite der Linie die Lösungsmenge dieser Ungleichung.
4. Um ein System von Ungleichungen zu lösen, ist es notwendig, die Schnittfläche aller Halbebenen zu finden, die die Lösung für jede Ungleichung des Systems darstellen.

Dieser Bereich kann sich als leer erweisen, dann hat das Ungleichungssystem keine Lösungen und ist inkonsistent. IN ansonsten Das System soll kooperativ sein.
Möglicherweise gibt es Lösungen letzte Zahl Und unendliche Menge. Der Bereich kann sein geschlossenes Polygon oder unbegrenzt sein.

Schauen wir uns drei relevante Beispiele an.

Beispiel 1. Lösen Sie das System grafisch:
X + j – 1 ≤ 0;
–2X - 2j + 5 ≤ 0.

• Betrachten Sie die Gleichungen x+y–1=0 und –2x–2y+5=0, die den Ungleichungen entsprechen;
• Konstruieren wir gerade Linien, die durch diese Gleichungen gegeben sind.

Figur 2

Definieren wir die durch die Ungleichungen definierten Halbebenen. Nehmen wir einen beliebigen Punkt, sei (0; 0). Lassen Sie uns überlegen X+ y– 1 0, ersetzen Sie den Punkt (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Das bedeutet, dass in der Halbebene, in der der Punkt (0; 0) liegt, X + j – 1 ≤ 0, d.h. die unter der Geraden liegende Halbebene ist eine Lösung der ersten Ungleichung. Wenn wir diesen Punkt (0; 0) in den zweiten einsetzen, erhalten wir: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, d.h. in der Halbebene, in der der Punkt (0; 0) liegt, –2 X – 2j+ 5≥ 0, und wir wurden gefragt, wo –2 X – 2j+ 5 ≤ 0 also in der anderen Halbebene – in der über der Geraden.
Finden wir den Schnittpunkt dieser beiden Halbebenen. Die Geraden sind parallel, die Ebenen schneiden sich also nirgendwo, was bedeutet, dass das System dieser Ungleichungen keine Lösungen hat und inkonsistent ist.

Beispiel 2. Finden Sie grafisch Lösungen für das Ungleichungssystem:

Figur 3
1. Schreiben wir die Gleichungen auf, die den Ungleichungen entsprechen, und konstruieren wir Geraden.
X + 2j– 2 = 0

X	2	0
j	0	1

j – X – 1 = 0

X	0	2
j	1	3

j + 2 = 0;
j = –2.
2. Nachdem wir den Punkt (0; 0) gewählt haben, bestimmen wir die Vorzeichen der Ungleichungen in den Halbebenen:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, d.h. X + 2j– 2 ≤ 0 in der Halbebene unterhalb der Geraden;
0 – 0 – 1 ≤ 0, d.h. j –X– 1 ≤ 0 in der Halbebene unterhalb der Geraden;
0 + 2 =2 ≥ 0, d.h. j+ 2 ≥ 0 in der Halbebene über der Geraden.
3. Der Schnittpunkt dieser drei Halbebenen ergibt eine Fläche, die einem Dreieck entspricht. Es ist nicht schwierig, die Eckpunkte der Region als Schnittpunkte der entsprechenden Linien zu finden


Auf diese Weise, A(–3; –2), IN(0; 1), MIT(6; –2).

Betrachten wir ein weiteres Beispiel, bei dem der resultierende Lösungsbereich des Systems nicht eingeschränkt ist.

Ministerium für Bildung und Jugendpolitik Gebiet Stawropol

Fachmann für Staatshaushalt Bildungseinrichtung

Georgievsk Regional College „Integral“

INDIVIDUELLES PROJEKT

In der Disziplin „Mathematik: Algebra, Anfang mathematische Analyse, Geometrie"

Zum Thema: „Grafische Lösung von Gleichungen und Ungleichungen“

Abgeschlossen von einem Studenten der Gruppe PK-61, der in der Fachrichtung studiert

„Programmieren Computersysteme»

Zeller Timur Vitalievich

Leiter: Lehrerin Serkova N.A.

Liefertermin:" " 2017

Datum der Verteidigung:" " 2017

Georgievsk 2017

ERLÄUTERUNGEN

ZIEL DES PROJEKTS:

Ziel: Entdecken Sie die Vorteile der grafischen Methode zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen.

Aufgaben:

Vergleichen Sie die analytischen und grafischen Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen.

Finden Sie heraus, in welchen Fällen die grafische Methode Vorteile hat.

Erwägen Sie die Lösung von Gleichungen mit Modul und Parameter.

Die Relevanz der Forschung: Analyse des Materials gewidmet grafische Lösung Gleichungen und Ungleichungen in Lehrbücher„Algebra und Beginn der mathematischen Analyse“ verschiedene Autoren, unter Berücksichtigung der Ziele des Studiums dieses Themas. Und auch erforderlichen Ergebnisse Schulungen zum jeweiligen Thema.

Inhalt

Einführung

1. Gleichungen mit Parametern

1.1. Definitionen

1.2. Lösungsalgorithmus

1.3. Beispiele

2. Ungleichungen mit Parametern

2.1. Definitionen

2.2. Lösungsalgorithmus

2.3. Beispiele

3. Verwendung von Graphen beim Lösen von Gleichungen

3.1. Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung

3.2. Gleichungssysteme

3.3. Trigonometrische Gleichungen

4. Anwendung von Graphen zur Lösung von Ungleichungen

5. Schlussfolgerung

6. Referenzen

Einführung

Studieren viele physikalische Prozesse und geometrische Muster führen oft zur Lösung von Problemen mit Parametern. Einige Universitäten umfassen auch Prüfungsunterlagen Gleichungen, Ungleichungen und ihre Systeme, die oft sehr komplex und anspruchsvoll sind Nicht-Standard-Ansatz zu einer Entscheidung. In der Schule ist dies einer der schwierigsten Abschnitte. Schulkurs Mathematik wird nur in wenigen Wahlpflichtfächern behandelt.

Kochen diese Arbeit Ich habe mir zum Ziel gesetzt, dieses Thema eingehender zu untersuchen und die meisten zu identifizieren rationale Entscheidung, was schnell zu einer Antwort führt. Meiner Meinung nach ist die grafische Methode eine bequeme und schnelle Möglichkeit, Gleichungen und Ungleichungen mit Parametern zu lösen.

Mein Projekt untersucht häufig vorkommende Gleichungstypen, Ungleichungen und deren Systeme.

1. Gleichungen mit Parametern

1. Grundlegende Definitionen

Betrachten Sie die Gleichung

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

wobei a, b, c, …, k, x variable Größen sind.

Jedes System variabler Werte

a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

wobei sowohl die linke als auch die rechte Seite dieser Gleichung gelten echte Werte, nennt man ein System akzeptable Werte Variablen a, b, c, …, k, x. Sei A die Menge aller zulässigen Werte von a, B die Menge aller zulässigen Werte von b usw., X die Menge aller zulässigen Werte von x, d. h. aA, bB, …, xX. Wenn wir für jede der Mengen A, B, C, …, K jeweils einen Wert a, b, c, …, k auswählen und festlegen und in Gleichung (1) einsetzen, erhalten wir eine Gleichung für x, d.h. Gleichung mit einer Unbekannten.

Die Variablen a, b, c, ..., k, die beim Lösen einer Gleichung als konstant betrachtet werden, werden Parameter genannt, und die Gleichung selbst wird als Gleichung mit Parametern bezeichnet.

Parameter werden durch die Anfangsbuchstaben gekennzeichnet Lateinisches Alphabet: a, b, c, d, …, k, l, m, n und die Unbekannten – durch die Buchstaben x, y, z.

Eine Gleichung mit Parametern zu lösen bedeutet, anzugeben, bei welchen Werten der Parameter Lösungen existieren und was diese sind.

Zwei Gleichungen mit denselben Parametern heißen äquivalent, wenn:

a) sie sind für die gleichen Parameterwerte sinnvoll;

b) Jede Lösung der ersten Gleichung ist eine Lösung der zweiten und umgekehrt.

1. Lösungsalgorithmus

Finden Sie den Definitionsbereich der Gleichung.

Wir drücken a als Funktion von x aus.

Im xOa-Koordinatensystem erstellen wir einen Graphen der Funktion a=(x) für die Werte von x, die im Definitionsbereich dieser Gleichung enthalten sind.

Wir finden die Schnittpunkte der Geraden a=c, wobei c(-;+) mit dem Graphen der Funktion a=(x). Wenn die Gerade a=c den Graphen a=( schneidet x), dann bestimmen wir die Abszissen der Schnittpunkte. Dazu genügt es, die Gleichung a=(x) nach x aufzulösen.

Wir schreiben die Antwort auf.

1. Beispiele

I. Lösen Sie die Gleichung

(1)

Lösung.

Da x=0 keine Wurzel der Gleichung ist, kann die Gleichung nach a aufgelöst werden:

oder

Der Graph einer Funktion besteht aus zwei „zusammengeklebten“ Hyperbeln. Die Anzahl der Lösungen der ursprünglichen Gleichung wird durch die Anzahl der Schnittpunkte der konstruierten Linie und der Geraden y=a bestimmt.

Wenn a  (-;-1](1;+) , dann schneidet die Gerade y=a den Graphen der Gleichung (1) an einem Punkt. Die Abszisse dieses Punktes finden wir beim Lösen der Gleichung für x.

Somit hat Gleichung (1) in diesem Intervall eine Lösung.

Wenn a , dann schneidet die Gerade y=a den Graphen von Gleichung (1) an zwei Punkten. Die Abszissen dieser Punkte können aus den Gleichungen ermittelt werden und wir erhalten

Und.

Wenn a , dann schneidet die Gerade y=a den Graphen von Gleichung (1) nicht, daher gibt es keine Lösungen.

Antwort:

Wenn ein  (-;-1](1;+), dann;

Wenn ein  , dann ;

Wenn ein  , dann gibt es keine Lösungen.

II. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die die Gleichung drei verschiedene Wurzeln hat.

Lösung.

Nachdem Sie die Gleichung in die Form umgeschrieben und ein Funktionspaar betrachtet haben, können Sie feststellen, dass die gewünschten Werte des Parameters a und nur sie den Positionen des Funktionsgraphen entsprechen, an denen er genau drei Schnittpunkte mit dem hat Funktionsgraph.

Im xOy-Koordinatensystem erstellen wir einen Graphen der Funktion. Dazu können wir sie in der Form darstellen und, nachdem wir vier auftretende Fälle betrachtet haben, diese Funktion in die Form schreiben

Da der Graph einer Funktion eine gerade Linie ist, deren Neigungswinkel zur Ox-Achse gleich ist und die Oy-Achse an einem Punkt mit den Koordinaten (0, a) schneidet, schließen wir, dass nur die drei angegebenen Schnittpunkte erhalten werden können für den Fall, dass diese Linie den Graphen der Funktion berührt. Deshalb finden wir die Ableitung

Antwort: .

III. Finden Sie alle Werte des Parameters a, für die jeweils das Gleichungssystem gilt

hat Lösungen.

Lösung.

Aus der ersten Gleichung des Systems erhalten wir bei. Daher definiert diese Gleichung eine Familie von „Halbparabeln“ – die rechten Äste der Parabel „gleiten“ mit ihren Scheitelpunkten entlang der Abszissenachse.

Wählen wir auf der linken Seite der zweiten Gleichung aus perfekte Quadrate und faktorisieren Sie es in Faktoren

Die Punktmenge der Ebene, die die zweite Gleichung erfüllt, sind zwei Geraden

Lassen Sie uns herausfinden, bei welchen Werten des Parameters a eine Kurve aus der Familie der „Halbparabeln“ mindestens einen gemeinsamen Punkt mit einer der resultierenden Geraden hat.

Wenn die Scheitelpunkte der Halbparabeln rechts vom Punkt A, aber links vom Punkt B liegen (Punkt B entspricht dem Scheitelpunkt der „Halbparabel“, die sich berührt

gerade), dann haben die betrachteten Graphen dies nicht Gemeinsame Punkte. Wenn der Scheitelpunkt der „Halbparabel“ mit Punkt A zusammenfällt, dann.

Wir bestimmen den Fall einer „Halbparabel“, die eine Gerade berührt, aus der Bedingung der Existenz einer eindeutigen Lösung des Systems

In diesem Fall die Gleichung

hat eine Wurzel, von wo aus wir finden:

Folglich hat das ursprüngliche System keine Lösungen bei, aber bei oder hat mindestens eine Lösung.

Antwort: a  (-;-3] (;+).

IV. Löse die Gleichung

Lösung.

Mit Gleichheit, gegebene Gleichung Schreiben wir es im Formular um

Diese Gleichung entspricht dem System

Wir schreiben die Gleichung im Formular um

. (*)

Die letzte Gleichung lässt sich am einfachsten mit geometrischen Überlegungen lösen. Erstellen wir Diagramme der Funktionen und. Aus dem Diagramm folgt, dass sich die Diagramme nicht schneiden und die Gleichung daher keine Lösungen hat.

Wenn, dann wenn die Graphen der Funktionen übereinstimmen und daher alle Werte Lösungen der Gleichung (*) sind.

Wenn sich die Graphen in einem Punkt schneiden, dessen Abszisse ist. Also, wenn Gleichung (*) hat einzige Entscheidung - .

Lassen Sie uns nun untersuchen, bei welchen Werten von a die gefundenen Lösungen der Gleichung (*) die Bedingungen erfüllen

Dann lass es sein. Das System nimmt das Formular an

Seine Lösung wird das Intervall x (1;5) sein. In Anbetracht dessen können wir schließen, dass die ursprüngliche Ungleichung äquivalent zu wahr ist, wenn die ursprüngliche Gleichung von allen Werten von x aus dem Intervall erfüllt wird numerische Ungleichheit 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

Über das Integral (1;+∞) erhalten wir wiederum die lineare Ungleichung 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Das gleiche Ergebnis kann jedoch aus visuellen und gleichzeitig streng geometrischen Überlegungen erzielt werden. Abbildung 7 zeigt die Funktionsgraphen:j= F( X)=| X-1|+| X+1| Undj=4.

Abbildung 7.

Auf dem Integralgraphen (-2;2) der Funktionj= F(X) liegt unter dem Graphen der Funktion y=4, was bedeutet, dass die UngleichungF(X)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Ungleichungen mit Parametern.

Die Lösung von Ungleichungen mit einem oder mehreren Parametern ist in der Regel eine komplexere Aufgabe als ein Problem, bei dem es keine Parameter gibt.

Beispielsweise erfordert die Lösung der Ungleichung √a+x+√a-x>4, die den Parameter a enthält, natürlich viel mehr Aufwand als die Ungleichung √1+x + √1-x>1.

Was bedeutet es, die erste dieser Ungleichungen zu lösen? Dies bedeutet im Wesentlichen, dass wir nicht nur eine Ungleichung lösen, sondern eine ganze Klasse, einen ganzen Satz von Ungleichungen, die wir erhalten, wenn wir dem Parameter einen bestimmten numerischen Wert zuweisen. Die zweite der geschriebenen Ungleichungen ist ein Sonderfall der ersten, da sie sich daraus mit dem Wert a = 1 ergibt.

Eine Ungleichung mit Parametern zu lösen bedeutet also, zu bestimmen, bei welchen Werten der Parameter die Ungleichung Lösungen hat, und für alle diese Parameterwerte alle Lösungen zu finden.

Beispiel 1:

Lösen Sie die Ungleichung |x-a|+|x+a|< B, A<>0.

Diese Ungleichung mit zwei Parametern lösenA u BLassen Sie uns geometrische Überlegungen verwenden. Die Abbildungen 8 und 9 zeigen die Funktionsgraphen.

Y= F(X)=| X- A|+| X+ A| u j= B.

Es ist offensichtlich, wannB<=2| A| geradej= Büberschreitet nicht den horizontalen Abschnitt der Kurvej=| X- A|+| X+ A| und daher hat die Ungleichung in diesem Fall keine Lösungen (Abbildung 8). WennB>2| A|, dann die Zeilej= Bschneidet den Graphen einer Funktionj= F(X) an zwei Punkten (-B/2; B) u (B/2; B)(Abbildung 6) und die Ungleichung gilt in diesem Fall für –B/2< X< B/2, da für diese Werte der Variablen die Kurvej=| X+ A|+| X- A| liegt unter der Geradenj= B.

Antwort: WennB<=2| A| , dann gibt es keine Lösungen,

WennB>2| A|, dannX €(- B/2; B/2).

III) Trigonometrische Ungleichungen:

Bei der Lösung von Ungleichungen mit trigonometrischen Funktionen werden im Wesentlichen die Periodizität dieser Funktionen und ihre Monotonie auf den entsprechenden Intervallen ausgenutzt. Die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen. FunktionSünde Xhat eine positive Periode von 2π. Daher Ungleichungen der Form:sin x>a, sin x>=a,

Sünde x

Es reicht aus, zunächst ein Segment der Länge 2 zu lösenπ . Wir erhalten die Menge aller Lösungen, indem wir zu jeder der in diesem Segment gefundenen Lösungen Zahlen der Form 2 addierenπ p, pЄZ.

Beispiel 1: Ungleichung lösenSünde X>-1/2. (Abbildung 10)

Lösen wir zunächst diese Ungleichung im Intervall [-π/2;3π/2]. Betrachten wir seine linke Seite – das Segment [-π/2;3π/2]. Hier ist die GleichungSünde X=-1/2 hat eine Lösung x=-π/6; und die FunktionSünde Xsteigt monoton an. Das heißt, wenn –π/2<= X<= -π/6, то Sünde X<= Sünde(- π /6)=-1/2, d.h. Diese Werte von x sind keine Lösungen der Ungleichung. Wenn –π/6<х<=π/2 то Sünde X> Sünde(-π/6) = –1/2. Alle diese Werte von x sind keine Lösungen der Ungleichung.

Auf dem verbleibenden Segment [π/2;3π/2] die FunktionSünde Xdie Gleichung nimmt auch monoton abSünde X= -1/2 hat eine Lösung x=7π/6. Wenn also π/2<= X<7π/, то Sünde X> Sünde(7π/6)=-1/2, d.h. Alle diese Werte von x sind Lösungen der Ungleichung. FürXWir habenSünde X<= Sünde(7π/6)=-1/2, diese x-Werte sind keine Lösungen. Somit ist die Menge aller Lösungen dieser Ungleichung im Intervall [-π/2;3π/2] das Integral (-π/6;7π/6).

Aufgrund der Periodizität der FunktionSünde Xmit einer Periode von 2π Werten von x aus einem beliebigen Integral der Form: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, sind auch Lösungen für die Ungleichung. Keine anderen Werte von x sind Lösungen für diese Ungleichung.

Antwort: -π/6+2πN< X<7π/6+2π N, WoNЄ Z.

Abschluss

Wir haben uns die grafische Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen angesehen; Wir haben uns konkrete Beispiele angesehen, deren Lösung Eigenschaften von Funktionen wie Monotonie und Parität nutzte.Die Analyse wissenschaftlicher Literatur und Mathematiklehrbücher ermöglichte es, das ausgewählte Material entsprechend den Zielen des Studiums zu strukturieren, wirksame Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen auszuwählen und zu entwickeln. Der Artikel stellt eine grafische Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen sowie Beispiele vor, in denen diese Methoden verwendet werden. Das Ergebnis des Projekts kann als kreative Aufgabe betrachtet werden, als Hilfsmittel zur Entwicklung der Fähigkeit, Gleichungen und Ungleichungen mit der grafischen Methode zu lösen.

Liste der verwendeten Literatur

Dalinger V. A. „Geometrie hilft der Algebra.“ Verlag „Schule – Presse“. Moskau 1996

Dalinger V. A. „Alles für den Erfolg bei Abschluss- und Aufnahmeprüfungen in Mathematik.“ Verlag der Pädagogischen Universität Omsk. Omsk 1995

Okunev A. A. „Grafische Lösung von Gleichungen mit Parametern.“ Verlag „Schule – Presse“. Moskau 1986

Pismensky D. T. „Mathematik für Gymnasiasten.“ Verlag „Iris“. Moskau 1996

Yastribinetsky G. A. „Gleichungen und Ungleichungen, die Parameter enthalten.“ Verlag „Prosveshcheniye“. Moskau 1972

G. Korn und T. Korn „Handbook of Mathematics“. Verlag „Science“ für physikalische und mathematische Literatur. Moskau 1977

Amelkin V.V. und Rabtsevich V.L. „Probleme mit Parametern“. Verlag „Asar“. Minsk 1996

Internetressourcen