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Was spiegelt die ökologische Pyramide wider? Ökologische Pyramiden aus Biomasse und Überfluss. Der Energiefluss ist der genaueste Indikator

KOMMUNALE BILDUNGSEINRICHTUNG

GYMNASIUM Nr. 6

zum Thema „Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit“.

Abgeschlossen von einem Schüler der 8. Klasse „B“

Klimantova Alexandra.

Mathematiklehrer: Videnkina V. A.

Woronesch, 2008

Viele Spiele verwenden Würfel. Der Würfel hat 6 Seiten, jede Seite ist markiert unterschiedliche Menge Punkte – von 1 bis 6. Der Spieler würfelt und schaut, wie viele Punkte sich auf der fallengelassenen Seite (auf der Seite, die oben liegt) befinden. Sehr oft werden die Punkte auf der Seite des Würfels durch die entsprechende Zahl ersetzt und dann wird über das Würfeln einer 1, 2 oder 6 gesprochen. Das Werfen eines Würfels kann als Experiment, als Experiment, als Test betrachtet werden, und das erhaltene Ergebnis ist das Ergebnis eines Tests oder eines elementaren Ereignisses. Menschen sind daran interessiert, den Eintritt dieses oder jenes Ereignisses zu erraten und seinen Ausgang vorherzusagen. Welche Vorhersagen können sie treffen, wenn sie würfeln? Zum Beispiel diese:

Ereignis A – die Zahl 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 wird gewürfelt;
Ereignis B – die Zahl 7, 8 oder 9 wird gewürfelt;
Ereignis C – die Nummer 1 erscheint.

Das im ersten Fall vorhergesagte Ereignis A wird definitiv eintreten. Im Allgemeinen wird ein Ereignis genannt, das in einer bestimmten Erfahrung mit Sicherheit eintritt zuverlässige Veranstaltung.

Das im zweiten Fall vorhergesagte Ereignis B wird nie eintreten, es ist einfach unmöglich. Im Allgemeinen wird ein Ereignis genannt, das in einer bestimmten Erfahrung nicht auftreten kann unmögliches Ereignis.

Und wird das im dritten Fall vorhergesagte Ereignis C eintreten oder nicht? Wir sind nicht in der Lage, diese Frage mit absoluter Sicherheit zu beantworten, da eine davon möglicherweise ausfällt oder auch nicht. Ein Ereignis, das in einer bestimmten Erfahrung auftreten kann oder nicht, wird aufgerufen Zufälliges Ereignis.

Wenn wir über das Eintreten eines zuverlässigen Ereignisses nachdenken, werden wir höchstwahrscheinlich nicht das Wort „wahrscheinlich“ verwenden. Wenn zum Beispiel heute Mittwoch ist, dann ist morgen Donnerstag, das ist – zuverlässige Veranstaltung. Am Mittwoch werden wir nicht sagen: „Wahrscheinlich ist morgen Donnerstag“, sondern kurz und deutlich: „Morgen ist Donnerstag.“ Stimmt, wenn wir dazu neigen schöne Sätze, dann können wir sagen: „Mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit sage ich, dass morgen Donnerstag ist.“ Im Gegenteil, wenn heute Mittwoch ist, dann ist der Beginn des morgigen Freitags ein unmögliches Ereignis. Wenn wir dieses Ereignis am Mittwoch beurteilen, können wir sagen: „Ich bin sicher, dass morgen nicht Freitag ist.“ Oder so: „Es ist unglaublich, dass morgen Freitag ist.“ Nun, wenn wir zu schönen Phrasen neigen, können wir Folgendes sagen: „Die Wahrscheinlichkeit, dass morgen Freitag ist, ist Null.“ Ein zuverlässiges Ereignis ist also ein Ereignis, das unter bestimmten Bedingungen auftritt mit hundertprozentiger Wahrscheinlichkeit(d. h. tritt in 10 von 10 Fällen, in 100 von 100 Fällen usw. auf). Ein unmögliches Ereignis ist ein Ereignis, das unter bestimmten Bedingungen niemals eintritt, ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von Null.

Aber leider (und vielleicht auch zum Glück) ist nicht alles im Leben so klar und präzise: Es wird immer so sein (bestimmtes Ereignis), es wird nie so sein (unmögliches Ereignis). Am häufigsten sind wir mit zufälligen Ereignissen konfrontiert, von denen einige wahrscheinlicher, andere weniger wahrscheinlich sind. Normalerweise verwenden Menschen die Wörter „wahrscheinlicher“ oder „weniger wahrscheinlich“, wie sie sagen, aus einer Laune heraus, basierend auf dem, was sie nennen gesunder Menschenverstand. Doch sehr oft erweisen sich solche Schätzungen als unzureichend, da es wichtig ist, dies zu wissen für wie lange Prozent wahrscheinlich ein zufälliges Ereignis oder wie oft ein zufälliges Ereignis ist wahrscheinlicher als ein anderes. Mit anderen Worten, wir brauchen Genauigkeit quantitativ Merkmale müssen Sie in der Lage sein, die Wahrscheinlichkeit mit einer Zahl zu charakterisieren.

Die ersten Schritte in diese Richtung haben wir bereits getan. Wir sagten, dass die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses wie folgt charakterisiert wird: einhundert Prozent, und die Wahrscheinlichkeit, dass ein unmögliches Ereignis eintritt, ist wie folgt null. Unter der Annahme, dass 100 % gleich 1 ist, waren sich die Menschen über Folgendes einig:

die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses wird als gleich angesehen 1;
die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses wird als gleich angesehen 0.

So berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis? Schließlich ist es passiert versehentlich, was bedeutet, dass es keinen Gesetzen, Algorithmen oder Formeln gehorcht. Es stellt sich heraus, dass sie auch in der Welt des Zufalls agieren bestimmte Gesetze, sodass Sie Wahrscheinlichkeiten berechnen können. Dies ist der Zweig der Mathematik, der heißt: Wahrscheinlichkeitstheorie.

Mathematik beschäftigt sich mit Modell ein Phänomen der Realität um uns herum. Von allen in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendeten Modellen beschränken wir uns auf das einfachste.

Klassisches Wahrscheinlichkeitsschema

Um die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A bei der Durchführung eines Experiments zu ermitteln, sollten Sie:

1) Finden Sie die Anzahl N aller möglichen Ergebnisse diese Erfahrung;

2) die Annahme der gleichen Wahrscheinlichkeit (gleicher Möglichkeit) aller dieser Ergebnisse akzeptieren;

3) Finden Sie die Anzahl N(A) der experimentellen Ergebnisse, bei denen Ereignis A auftritt;

4) Finden Sie den Quotienten ; sie entspricht der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A mit P(A) zu bezeichnen. Die Erklärung für diese Bezeichnung ist ganz einfach: Das französische Wort „Wahrscheinlichkeit“ lautet Wahrscheinlichkeit, auf Englisch- Wahrscheinlichkeit.Die Bezeichnung verwendet den ersten Buchstaben des Wortes.

Unter Verwendung dieser Notation ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A gemäß klassisches Schema kann mit der Formel ermittelt werden

P(A)=.

Oft werden alle Punkte des oben genannten klassischen Wahrscheinlichkeitsschemas in einem ziemlich langen Satz ausgedrückt.

Klassische Definition von Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A während eines bestimmten Tests ist das Verhältnis der Anzahl der Ergebnisse, aufgrund derer Ereignis A eintritt Gesamtzahl alle gleichermaßen möglichen Ergebnisse dieses Tests.

Beispiel 1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Würfelwurf das Ergebnis a) 4 ist; b) 5; c) eine gerade Anzahl von Punkten; d) Punktzahl größer als 4; e) Anzahl der Punkte, die nicht durch drei teilbar sind.

Lösung. Insgesamt gibt es N=6 mögliche Ergebnisse: Herausfallen aus einer Würfelfläche mit einer Punktezahl von 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Wir glauben, dass keines davon irgendwelche Vorteile gegenüber den anderen hat, also uns Akzeptieren Sie die Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse gleich ist.

a) In genau einem der Ergebnisse wird das Ereignis eintreten, an dem wir interessiert sind, A, die Zahl 4 fällt heraus. Das bedeutet N(A) = 1 und

P(A)= =.

b) Die Lösung und Antwort sind die gleichen wie im vorherigen Absatz.

c) Das Ereignis B, an dem wir interessiert sind, wird in genau drei Fällen auftreten, wenn die Anzahl der Punkte 2, 4 oder 6 beträgt. Das bedeutet

N(B)=3 undP(B)==.

d) Das Ereignis C, an dem wir interessiert sind, wird in genau zwei Fällen auftreten, wenn die Anzahl der Punkte 5 oder 6 beträgt. Das bedeutet

N(C) =2 und Р(С)=.

e) Von den sechs möglichen gezogenen Zahlen sind vier (1, 2, 4 und 5) kein Vielfaches von drei und die restlichen zwei (3 und 6) sind durch drei teilbar. Das bedeutet, dass das für uns interessante Ereignis in genau vier von sechs möglichen und gleichwahrscheinlichen Ausgängen des Experiments eintritt. Daher stellt sich heraus, dass die Antwort lautet.

Antwort: a) ; B) ; V) ; G) ; D).

Ein echter Würfel kann durchaus von einem idealen (Modell-)Würfel abweichen. Um sein Verhalten zu beschreiben, ist daher ein genaueres und detaillierteres Modell erforderlich, das die Vorteile einer Seite gegenüber einer anderen, das mögliche Vorhandensein von Magneten usw. berücksichtigt. Aber „Der Teufel steckt im Detail“ und größere Genauigkeit führt in der Regel zu größerer Komplexität und die Beantwortung wird zum Problem. Wir beschränken uns auf die Betrachtung des einfachsten probabilistischen Modells, bei dem alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Anmerkung 1. Schauen wir uns ein anderes Beispiel an. Die Frage wurde gestellt: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine Drei zu bekommen?“ Der Student antwortete: „Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,5.“ Und er begründete seine Antwort: „Entweder werden drei kommen oder nicht.“ Das bedeutet, dass es insgesamt zwei Ergebnisse gibt und in genau einem davon das für uns interessante Ereignis eintritt. Mit dem klassischen Wahrscheinlichkeitsschema erhalten wir die Antwort 0,5.“ Liegt in dieser Argumentation ein Fehler vor? Auf den ersten Blick nein. Es existiert jedoch immer noch, und zwar im Wesentlichen. Ja, in der Tat wird es entweder eine Drei geben oder nicht, d. h. bei dieser Definition des Ergebnisses des Wurfs ist N=2. Es gilt auch, dass N(A) = 1 und natürlich auch =0,5, d. h. es werden drei Punkte des Wahrscheinlichkeitsschemas berücksichtigt, aber die Erfüllung von Punkt 2) ist fraglich. Natürlich mit pur rechtlicher Punkt Aus unserer Sicht haben wir das Recht anzunehmen, dass das Würfeln einer Drei genauso wahrscheinlich ist wie das Nichtwürfeln. Aber können wir so denken, ohne unsere eigenen natürlichen Annahmen über die „Gleichheit“ der Kanten zu verletzen? Natürlich nicht! Hier geht es um korrektes Denken innerhalb eines bestimmten Modells. Aber dieses Modell selbst ist „falsch“ und entspricht nicht dem realen Phänomen.

Anmerkung 2. Vergessen Sie bei der Erörterung der Wahrscheinlichkeit den folgenden wichtigen Umstand nicht aus den Augen. Wenn wir sagen, dass beim Würfeln die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt zu bekommen, gleich dem Faktor x ist, erhalten Sie genau dreimal einen Punkt usw. Das Wort ist wahrscheinlich spekulativ. Wir gehen davon aus, was am wahrscheinlichsten ist. Wenn wir 600 Mal würfeln, ergibt sich wahrscheinlich 100 Mal ein Punkt, also etwa 100.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand im 17. Jahrhundert bei der Analyse verschiedener Glücksspiel. Es ist daher nicht verwunderlich, dass die ersten Beispiele spielerischer Natur sind. Lassen Sie uns von Beispielen mit Würfeln zum zufälligen Ziehen von Spielkarten aus einem Stapel übergehen.

Beispiel 2. Aus einem Stapel mit 36 Karten werden 3 Karten gleichzeitig zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ihnen keine Pik-Dame ist?

Lösung. Wir haben einen Satz von 36 Elementen. Wir wählen drei Elemente aus, deren Reihenfolge nicht wichtig ist. Dies bedeutet, dass es möglich ist, N=C-Ergebnisse zu erhalten. Wir werden nach dem klassischen probabilistischen Schema handeln, d. h. wir gehen davon aus, dass alle diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Es bleibt die erforderliche Wahrscheinlichkeit anhand der klassischen Definition zu berechnen:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter den ausgewählten drei Karten eine gibt? Pik-Dame? Die Anzahl aller dieser Ergebnisse ist nicht schwer zu berechnen; Sie müssen lediglich von allen Ergebnissen N alle Ergebnisse subtrahieren, in denen es keine Pik-Dame gibt, d. h. die in Beispiel 3 gefundene Zahl N(A) subtrahieren. Dann sollte diese Differenz N-N(A) gemäß dem klassischen Wahrscheinlichkeitsschema durch N geteilt werden. Das erhalten wir:

Wir sehen, dass zwischen den Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse ein gewisser Zusammenhang besteht. Wenn Ereignis A das Fehlen der Pik-Dame und Ereignis B ihr Vorhandensein unter den ausgewählten drei Karten ist, dann

P(B)= 1 – P(A),

P(A)+P(B)=1.

Leider gibt es in der Gleichung P(A)+P(B)=1 keine Informationen über den Zusammenhang zwischen den Ereignissen A und B; Wir müssen diesen Zusammenhang im Auge behalten. Bequemer wäre es, dem Ereignis B vorab einen Namen und eine Bezeichnung zu geben, die seinen Zusammenhang mit A klar erkennen lässt.

Definition 1. Veranstaltung B angerufen im Gegensatz zu Ereignis A und bezeichnen B=Ā, wenn Ereignis B genau dann eintritt, wenn Ereignis A nicht eintritt.

TSatz 1. Um die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses zu ermitteln, subtrahieren Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses selbst von Eins: P(Ā)= 1 – P(A). Tatsächlich,

In der Praxis berechnen sie, was leichter zu finden ist: entweder P(A) oder P(Ā). Verwenden Sie anschließend die Formel aus dem Satz und finden Sie jeweils entweder P(Ā) = 1 - P(A) oder P(A) = 1 - P(Ā).

Die Methode zur Lösung eines bestimmten Problems wird häufig durch „Aufzählung von Fällen“ verwendet, wenn die Bedingungen des Problems in sich gegenseitig ausschließende Fälle unterteilt werden, die jeweils separat betrachtet werden. Zum Beispiel: „Wenn Sie nach rechts gehen, verlieren Sie Ihr Pferd, wenn Sie geradeaus gehen, lösen Sie ein Problem der Wahrscheinlichkeitstheorie, wenn Sie nach links gehen, ...“ Oder wenn Sie einen Graphen der Funktion y=│x+1│—│2x—5│konstruieren, berücksichtigen Sie die Fälle x

Beispiel 3. Von den 50 Punkten sind 17 schattiert blaue Farbe und 13 – Zoll orange Farbe. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Punkt schattiert wird.

Lösung. Insgesamt sind 30 von 50 Punkten schattiert. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit = 0,6 beträgt.

Antwort: 0,6.

Schauen wir uns dieses einfache Beispiel jedoch genauer an. Sei Ereignis A, dass der ausgewählte Punkt blau ist, und Ereignis B, dass der ausgewählte Punkt orange ist. Aufgrund der Bedingung können die Ereignisse A und B nicht gleichzeitig auftreten.

Bezeichnen wir das für uns interessante Ereignis mit dem Buchstaben C. Ereignis C tritt genau dann ein, wenn es auftritt mindestens eines der Ereignisse A oder B. Es ist klar, dass N(C)= N(A)+N(B).

Teilen wir beide Seiten dieser Gleichheit durch N – die Anzahl aller möglichen Ergebnisse dieses Experiments; wir bekommen

Wir sind dabei einfaches Beispiel Wir haben eine wichtige und häufig vorkommende Situation analysiert. Dafür gibt es einen besonderen Namen.

Definition 2. Die Ereignisse A und B werden aufgerufen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können.

Satz 2. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mindestens eines von zwei inkompatiblen Ereignissen ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Bei der Übersetzung dieses Theorems in mathematische Sprache besteht die Notwendigkeit, ein Ereignis, das aus dem Auftreten von mindestens einem von zwei gegebenen Ereignissen A und B besteht, irgendwie zu benennen und zu bezeichnen. Ein solches Ereignis wird als Summe der Ereignisse A und B bezeichnet und mit A + B bezeichnet.

Wenn A und B inkompatibel sind, gilt P(A+B)=P(A)+P(B).

Tatsächlich,

Es ist zweckmäßig, die Inkompatibilität der Ereignisse A und B anhand einer Zeichnung zu veranschaulichen. Wenn alle Ergebnisse des Experiments eine bestimmte Menge von Punkten in der Abbildung darstellen, dann sind die Ereignisse A und B einige Teilmengen gegebener Satz . Die Inkompatibilität von A und B bedeutet, dass sich diese beiden Teilmengen nicht überschneiden. Typisches Beispiel inkompatible Ereignisse – jedes Ereignis A und das entgegengesetzte Ereignis Ā.

Natürlich sagte Satz wahr für drei und für vier und für alle endliche Zahl Paare inkompatibler Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit der Summe einer beliebigen Anzahl paarweise inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. Das wichtige Aussage entspricht genau der Methode der Problemlösung „durch Aufzählen von Fällen“.

Es kann einige Beziehungen, Abhängigkeiten, Verbindungen usw. zwischen Ereignissen geben, die als Ergebnis einiger Erfahrungen auftreten, und zwischen den Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. Beispielsweise können Ereignisse „addiert“ werden und die Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse ist gleich zur Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Lassen Sie uns abschließend die folgende grundlegende Frage diskutieren: Ist dies möglich? beweisen dass die Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf „Kopf“ zu bekommen, beträgt

Die Antwort ist negativ. Im Allgemeinen ist die Frage selbst nicht richtig; die genaue Bedeutung des Wortes „beweisen“ ist unklar. Schließlich beweisen wir immer etwas innerhalb eines gewissen Rahmens Modelle, in dem die Regeln, Gesetze, Axiome, Formeln, Theoreme usw. bereits bekannt sind wir reden überüber eine imaginäre, „ideale“ Münze, dann gilt sie deshalb als ideal, weil, a-priorat, ist die Wahrscheinlichkeit, „Zahl“ zu bekommen, gleich der Wahrscheinlichkeit, „Kopf“ zu bekommen. Und im Prinzip können wir ein Modell in Betracht ziehen, bei dem sich die Wahrscheinlichkeit, „Zahlen“ zu landen, verdoppelt wahrscheinlicher„Kopf“ herausfallen oder dreimal weniger usw. Dann stellt sich die Frage: Aus welchem Grund wählen wir aus den verschiedenen möglichen Münzwurfmodellen dasjenige aus, bei dem beide Ergebnisse des Münzwurfs gleich wahrscheinlich sind?

Die ganz klare Antwort lautet: „Aber für uns ist es einfacher, klarer und natürlicher!“ Es gibt aber auch sachlichere Argumente. Sie kommen aus der Praxis. Die überwiegende Mehrheit der Lehrbücher zur Wahrscheinlichkeitstheorie nennt Beispiele des französischen Naturforschers J. Buffon (18. Jahrhundert) und des englischen Mathematikers und Statistikers K. Pearson ( Ende des 19. Jahrhunderts c.), der eine Münze 4040 bzw. 24000 Mal warf und dabei die Anzahl der Kopf- und Zahlzahlen zählte. Sie landeten 1992 bzw. 11998 Mal Kopf. Wenn Sie zählen Verlusthäufigkeit„Zahlen“, dann ergibt sich = = 0,493069... für Buffon und = = 0,4995 für Pearson. Natürlich entsteht Annahme, dass mit einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl der Münzwürfe die Häufigkeit des Herausfallens von „Zahl“ sowie die Häufigkeit des Herausfallens von „Kopf“ sich zunehmend 0,5 nähern wird. Diese auf praktischen Daten basierende Annahme ist die Grundlage für die Auswahl eines Modells mit gleichwahrscheinlichen Ergebnissen.

Jetzt können wir zusammenfassen. Basiskonzept- Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses, die im einfachsten Modell berechnet wird – klassisches probabilistisches Schema. Bedeutung Sowohl in der Theorie als auch in der Praxis gilt das Konzept entgegengesetztes Ereignis und die Formel P(Ā)= 1—P(A), um die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses zu ermitteln.

Endlich trafen wir uns inkompatible Ereignisse und mit Formeln.

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

So können Sie Wahrscheinlichkeiten ermitteln Beträge solche Ereignisse.

Referenzliste

1.Veranstaltungen. Wahrscheinlichkeiten. Statistische Datenverarbeitung: Zusätzlich. Absätze für den Algebrakurs 7-9 Klassen. Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 4. Auflage – M.: Mnemosyne, 2006. – 112 Seiten: Abb.

2.Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk „Algebra. Elemente der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.“ – Moskau, „Prosveshchenie“, 2006.

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Das Hauptkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Konzept eines zufälligen Ereignisses. Zufälliges Ereignis ist ein Ereignis, das eintreten kann oder auch nicht, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind. Beispielsweise ist das Treffen eines bestimmten Objekts oder das Fehlschlagen beim Schießen auf dieses Objekt mit einer bestimmten Waffe ein Zufallsereignis.

Das Ereignis wird aufgerufen zuverlässig, wenn es als Ergebnis der Prüfung notwendigerweise auftritt. Unmöglich Es wird ein Ereignis aufgerufen, das aufgrund des Tests nicht eintreten kann.

Zufällige Ereignisse werden aufgerufen unvereinbar in einer bestimmten Verhandlung, wenn nicht zwei von ihnen zusammen auftreten können.

Es bilden sich zufällige Ereignisse volle Gruppe , wenn während jedes Versuchs einer von ihnen auftreten kann und kein anderes damit unvereinbares Ereignis auftreten kann.

Betrachten wir die vollständige Gruppe gleichermaßen möglicher inkompatibler Zufallsereignisse. Wir werden solche Ereignisse nennen Ergebnisse oder elementare Ereignisse. Das Ergebnis heißt günstig das Eintreten des Ereignisses $A$, wenn das Eintreten dieses Ergebnisses das Eintreten des Ereignisses $A$ mit sich bringt.

Beispiel. Die Urne enthält 8 nummerierte Kugeln (jede Kugel hat eine Nummer von 1 bis 8). Kugeln mit den Nummern 1, 2, 3 sind rot, der Rest ist schwarz. Das Erscheinen eines Balls mit der Nummer 1 (oder Nummer 2 oder Nummer 3) ist ein Ereignis, das das Erscheinen des roten Balls begünstigt. Das Erscheinen einer Kugel mit der Nummer 4 (oder der Nummer 5, 6, 7, 8) ist ein begünstigendes Ereignis für das Erscheinen einer schwarzen Kugel.

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses$A$ ist das Verhältnis der Anzahl $m$ der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl $n$ aller gleichermaßen möglichen inkompatiblen Elementarergebnisse, die die vollständige Gruppe $$P(A)=\frac(m)( N). \quad(1)$$

Eigentum 1. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins
Eigentum 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.
Eigentum 3. Es besteht die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses positive Zahl, eingeschlossen zwischen Null und Eins.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist also erfüllt doppelte Ungleichheit$0 \le P(A) \le 1$ .

Online-Rechner

Eine Vielzahl der mit Formel (1) gelösten Probleme beziehen sich auf das Thema hypergeometrische Wahrscheinlichkeit. Nachfolgend finden Sie Beschreibungen beliebter Probleme und Online-Rechner für deren Lösungen über die Links:

Problem mit Kugeln (in einer Urne sind $k$ weiße und $n$ schwarze Kugeln, es werden $m$ Kugeln herausgenommen...)
Problem mit Teilen (ein Karton enthält $k$ Standard- und $n$ defekte Teile, $m$ Teile werden herausgenommen...)
Problem mit Lottoscheinen (es gibt $k$ Gewinnlose und $n$ Nichtgewinnlose, es werden $m$ Lose gekauft...)

Beispiele für Lösungen klassischer Wahrscheinlichkeitsprobleme

Beispiel. In der Urne befinden sich 10 nummerierte Kugeln mit den Nummern 1 bis 10. Eine Kugel wird herausgenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der gezogenen Kugeln 10 nicht überschreitet?

Lösung. Lassen Sie die Veranstaltung A= (Die Anzahl der gezogenen Kugeln überschreitet nicht 10). Anzahl der für den Eintritt des Ereignisses günstigen Fälle A gleich der Anzahl aller möglichen Fälle M=N=10. Somit, R(A)=1. Ereignis Und verlässlich.

Beispiel. In einer Urne befinden sich 10 Kugeln: 6 weiße und 4 schwarze. Zwei Bälle wurden herausgenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind?

Lösung. Sie können zwei von zehn Bällen nehmen nächster Termin Wege: .
Die Häufigkeit, mit der sich zwischen diesen beiden Bällen zwei weiße Bälle befinden, beträgt .
Erforderliche Wahrscheinlichkeit
.

Beispiel. In einer Urne befinden sich 15 Kugeln: 5 weiße und 10 schwarze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Kugel aus der Urne zu ziehen?

Lösung. Da es also keine blauen Kugeln in der Urne gibt M=0, N=15. Daher die erforderliche Wahrscheinlichkeit R=0. Das Ereignis, bei dem die blaue Kugel gezogen wird unmöglich.

Beispiel. Aus einem Stapel mit 36 Karten wird eine Karte gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte in der Herzfarbe erscheint?

Lösung. Anzahl der Elementarergebnisse (Anzahl der Karten) N=36. Ereignis A= (Erscheinen einer Karte der Herzfarbe). Anzahl der Fälle, die den Eintritt des Ereignisses begünstigen A, M=9. Somit,
.

Beispiel. Im Büro arbeiten 6 Männer und 4 Frauen. Für den Umzug wurden 7 Personen nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Personen drei Frauen sind.

Probleme zur klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung.
Beispiele für Lösungen

In der dritten Lektion werden wir uns das ansehen mehrere Aufgaben im Zusammenhang mit der direkten Anwendung klassische Definition Wahrscheinlichkeiten. Für effektives Lernen Ich empfehle Ihnen, die Materialien in diesem Artikel zu lesen grundlegendes Konzept Wahrscheinlichkeitstheorie Und Grundlagen der Kombinatorik. Die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit auf klassische Weise mit einer Wahrscheinlichkeit, die gegen Eins tendiert, zu bestimmen, wird in Ihrer unabhängigen/Kontrollarbeit auf Terver vorhanden sein, also stellen wir uns darauf ein ernsthafte Arbeit. Sie fragen sich vielleicht: Was ist daran so ernst? ...nur eine primitive Formel. Ich warne Sie vor Frivolität - thematische Aufgaben sind sehr unterschiedlich und viele von ihnen können Sie leicht verwirren. Versuchen Sie in diesem Zusammenhang zusätzlich zur Durcharbeitung der Hauptlektion, zusätzliche Aufgaben zum Thema zu studieren, die sich im Sparschwein befinden vorgefertigte Lösungen für höhere Mathematik. Entscheidungsmethoden sind Entscheidungsmethoden, aber „Freunde“ müssen immer noch „vom Sehen her erkannt werden“, denn selbst eine reiche Vorstellungskraft ist begrenzt und typische Aufgaben Genug auch. Gut, werde ich probieren gute Qualität Sortieren Sie so viele davon wie möglich.

Erinnern wir uns an die Klassiker des Genres:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem bestimmten Test auftritt, ist gleich dem Verhältnis, wobei:

– Gesamtzahl aller gleichermaßen möglich, elementar Ergebnisse dieses Tests, die sich bilden vollständige Veranstaltungsgruppe;

- Menge elementar günstige Ergebnisse für die Veranstaltung.

Und sofort ein sofortiger Boxenstopp. Verstehen Sie die unterstrichenen Begriffe? Das bedeutet klares, nicht intuitives Verständnis. Wenn nicht, ist es immer noch besser, zum ersten Artikel über zurückzukehren Wahrscheinlichkeitstheorie und erst danach weitermachen.

Bitte überspringen Sie nicht die ersten Beispiele – darin werde ich eines grundsätzlich wiederholen wichtiger Punkt, und verrät Ihnen auch, wie Sie eine Lösung richtig formulieren und wie dies möglich ist:

Problem 1

In einer Urne befinden sich 15 weiße, 5 rote und 10 schwarze Kugeln. 1 Ball wird zufällig gezogen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er a) weiß, b) rot, c) schwarz ist.

Lösung: Die wichtigste Voraussetzung für die Verwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition ist Fähigkeit, die Gesamtzahl der Ergebnisse zu zählen.

Insgesamt in der Urne: 15 + 5 + 10 = 30 Bälle, und offensichtlich fair die folgenden Fakten:

– Das Zurückholen eines beliebigen Balls ist ebenfalls möglich (Chancengleichheit Ergebnisse), während die Ergebnisse elementar und Form vollständige Veranstaltungsgruppe (d. h. als Ergebnis des Tests wird definitiv einer der 30 Bälle entfernt).

Somit ist die Gesamtzahl der Ergebnisse:

Betrachten Sie das Ereignis: – Eine Person wird aus der Urne gezogen weiße Kugel. Diese Veranstaltung favorisieren elementar Ergebnisse also nach der klassischen Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel aus der Urne gezogen wird.

Seltsamerweise kann man selbst bei einer so einfachen Aufgabe eine gravierende Ungenauigkeit machen, auf die ich bereits im ersten Artikel hingewiesen habe Wahrscheinlichkeitstheorie. Wo liegt hier die Falle? Es ist falsch, hier so zu argumentieren „Da die Hälfte der Kugeln weiß ist, ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass eine weiße Kugel gezogen wird» . Die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf ELEMENTAR Ergebnisse, und der Bruch muss aufgeschrieben werden!

Die anderen Punkte sind ähnlich, lassen Sie uns darüber nachdenken nächste Veranstaltungen:

– Aus der Urne wird eine rote Kugel gezogen;
– Aus der Urne wird eine schwarze Kugel gezogen.

Ein Ereignis wird durch 5 elementare Ergebnisse begünstigt, und ein Ereignis wird durch 10 elementare Ergebnisse begünstigt. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind also:

Eine typische Überprüfung vieler Serveraufgaben erfolgt mit Sätze über die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden. In unserem Fall bilden die Ereignisse eine vollständige Gruppe, was bedeutet, dass die Summe der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zwangsläufig gleich eins sein muss: .

Schauen wir mal, ob das stimmt: Das wollte ich sicherstellen.

Antwort:

Im Prinzip lässt sich die Antwort detaillierter aufschreiben, aber ich persönlich bin es gewohnt, dort nur Zahlen anzugeben – aus dem Grund, dass man, wenn man anfängt, Probleme in Hunderten und Tausenden auszumerzen, versucht, das Schreiben von zu reduzieren die Lösung so weit wie möglich. Übrigens, zur Kürze: In der Praxis ist die Designoption „Hochgeschwindigkeit“ üblich Lösungen:

Gesamt: 15 + 5 + 10 = 30 Kugeln in der Urne. Nach der klassischen Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel aus der Urne gezogen wird;
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel aus der Urne gezogen wird;
– die Wahrscheinlichkeit, dass eine schwarze Kugel aus der Urne gezogen wird.

Antwort:

Wenn die Bedingung jedoch mehrere Punkte enthält, ist es oft bequemer, die Lösung auf die erste Art und Weise zu formulieren, die etwas mehr Zeit in Anspruch nimmt, aber gleichzeitig „alles in die Regale legt“ und es einfacher macht um das Problem zu navigieren.

Lasst uns aufwärmen:

Problem 2

Das Geschäft erhielt 30 Kühlschränke, von denen fünf einen Herstellungsfehler aufwiesen. Nach dem Zufallsprinzip Wählen Sie einen Kühlschrank. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es fehlerfrei ist?

Wählen Sie die entsprechende Designoption aus und sehen Sie sich das Beispiel unten auf der Seite an.

In den einfachsten Beispielen liegen die Anzahl der gemeinsamen und die Anzahl der günstigen Ergebnisse an der Oberfläche, aber in den meisten Fällen muss man die Kartoffeln selbst ausgraben. Eine kanonische Reihe von Problemen über einen vergesslichen Abonnenten:

Problem 3

Beim Wählen einer Telefonnummer hat der Teilnehmer zwei vergessen letzten Ziffern, erinnert sich aber daran, dass einer von ihnen Null und der andere ungerade ist. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er die richtige Nummer wählt.

Notiz : Null ist gerade Zahl(ohne Rest durch 2 teilbar)

Lösung: Lass es uns zuerst finden gesamt Ergebnisse. Bedingt durch die Bedingung merkt sich der Teilnehmer, dass eine der Ziffern Null und die andere Ziffer ungerade ist. Hier ist es rationaler, bei der Kombinatorik und der Anwendung nicht zu kompliziert zu sein Methode der direkten Auflistung von Ergebnissen . Das heißt, wenn wir eine Lösung finden, schreiben wir einfach alle Kombinationen auf:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Und wir zählen sie – insgesamt: 10 Ergebnisse.

Es gibt nur ein günstiges Ergebnis: die richtige Zahl.

Nach der klassischen Definition:
– Wahrscheinlichkeit, dass der Teilnehmer die richtige Nummer wählt

Antwort: 0,1

Dezimalzahlen In der Wahrscheinlichkeitstheorie scheinen sie durchaus angemessen zu sein, aber Sie können sich auch an den traditionellen Wyschmatow-Stil halten und nur mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten.

Erweiterte Aufgabe für unabhängige Entscheidung:

Problem 4

Der Abonnent hat den PIN-Code seiner SIM-Karte vergessen, erinnert sich aber, dass dieser drei „Fünfer“ enthält und eine der Zahlen entweder eine „Sieben“ oder eine „Acht“ ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Autorisierung beim ersten Versuch?

Hier kann man sich noch eine Vorstellung von der Wahrscheinlichkeit machen, dass der Abonnent mit einem Puk-Code bestraft wird, aber leider geht die Begründung schon darüber hinaus diese Lektion

Die Lösung und Antwort finden Sie unten.

Manchmal erweist sich das Auflisten von Kombinationen als sehr mühsame Aufgabe. Dies ist insbesondere bei der nächsten, nicht weniger beliebten Aufgabengruppe der Fall, bei der 2 geworfen werden Würfel (weniger oft - große Menge) :

Problem 5

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen von zwei Würfeln die Gesamtzahl wie folgt ist:

a) fünf Punkte;
b) nicht mehr als vier Punkte;
c) von 3 bis einschließlich 9 Punkten.

Lösung: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse:

Möglichkeiten, wie die Seite des ersten Würfels herausfallen kann Und auf unterschiedliche Weise kann die Seite des 2. Würfels herausfallen; Von Regel zum Multiplizieren von Kombinationen, Gesamt: mögliche Kombinationen. Mit anderen Worten, jede die Fläche des 1. Würfels kann sein bestellt ein Paar mit jedem die Kante des 2. Würfels. Lassen Sie uns vereinbaren, ein solches Paar in der Form zu schreiben, wobei die Zahl ist, die auf dem 1. Würfel erscheint, und die Zahl ist, die auf dem 2. Würfel erscheint. Zum Beispiel:

– der erste Würfel brachte 3 Punkte, der zweite Würfel brachte 5 Punkte, Gesamtpunktzahl: 3 + 5 = 8;
– der erste Würfel brachte 6 Punkte, der zweite Würfel brachte 1 Punkt, Gesamtpunktzahl: 6 + 1 = 7;
– 2 Punkte auf beiden Würfeln gewürfelt, Summe: 2 + 2 = 4.

Es ist klar, dass die kleinste Menge ergibt ein Paar und das größte - zwei „Sechser“.

a) Betrachten Sie das Ereignis: – Wenn Sie zwei Würfel werfen, erscheinen 5 Punkte. Lassen Sie uns die Ergebnisse aufschreiben und zählen, die für dieses Ereignis sprechen:

Insgesamt: 4 positive Ergebnisse. Nach der klassischen Definition:
– die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

b) Betrachten Sie das Ereignis: – Es werden nicht mehr als 4 Punkte gewürfelt. Das heißt, entweder 2 oder 3 oder 4 Punkte. Wieder listen wir die günstigen Kombinationen auf und zählen sie, links schreibe ich die Gesamtpunktzahl auf und nach dem Doppelpunkt - passende Paare:

Insgesamt: 6 günstige Kombinationen. Auf diese Weise:
– die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 4 Punkte gewürfelt werden.

c) Betrachten Sie das Ereignis: – Es werden 3 bis einschließlich 9 Punkte gewürfelt. Hier können Sie die gerade Straße nehmen, aber... aus irgendeinem Grund möchten Sie das nicht. Ja, einige Paare wurden bereits in den vorherigen Absätzen aufgeführt, aber es gibt noch viel zu tun.

Wie gehe ich am besten vor? IN ähnliche Fälle Der Umweg erweist sich als rational. Lassen Sie uns überlegen entgegengesetztes Ereignis: – Es werden 2 oder 10 oder 11 oder 12 Punkte gewürfelt.

Was ist der Punkt? Das Gegenteil wird von einer deutlich geringeren Zahl von Paaren favorisiert:

Insgesamt: 7 positive Ergebnisse.

Nach der klassischen Definition:
– die Wahrscheinlichkeit, dass es erscheint weniger als drei oder mehr als 9 Punkte.

Neben der direkten Auflistung und Zählung der Ergebnisse sind verschiedene kombinatorische Formeln. Und wieder ein episches Problem mit dem Aufzug:

Problem 7

3 Personen betraten den Aufzug eines 20-stöckigen Gebäudes im ersten Stock. Und los geht's. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:

a) Sie werden auf verschiedenen Etagen aussteigen
b) zwei werden auf derselben Etage aussteigen;
c) Alle steigen auf derselben Etage aus.

Unsere aufregende Lektion ist zu Ende, und zum Schluss empfehle ich noch einmal dringend: Wenn nicht, lösen Sie es, dann zumindest, es herauszufinden zusätzliche Probleme zur klassischen Wahrscheinlichkeitsbestimmung. Wie ich bereits erwähnt habe, ist auch die „Handpolsterung“ wichtig!

Im weiteren Verlauf des Kurses - Geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit Und Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze und... Hauptsache Glück!

Lösungen und Antworten:

Aufgabe 2: Lösung: 30 – 5 = 25 Kühlschränke haben keinen Defekt.

– die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kühlschrank keinen Defekt aufweist.
Antwort :

Aufgabe 4: Lösung: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse:
So können Sie den Ort auswählen, an dem sich die zweifelhafte Nummer befindet und auf jedem Von diesen 4 Stellen können 2 Ziffern (sieben oder acht) lokalisiert werden. Gemäß der Regel der Multiplikation von Kombinationen beträgt die Gesamtzahl der Ergebnisse: .
Alternativ kann die Lösung einfach alle Ergebnisse auflisten (zum Glück gibt es nur wenige davon):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Es gibt nur ein positives Ergebnis (richtiger PIN-Code).
Nach der klassischen Definition gilt also:
– Wahrscheinlichkeit, dass sich der Abonnent beim ersten Versuch anmeldet
Antwort :

Aufgabe 6: Lösung: Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Ergebnisse:
Zahlen auf 2 Würfeln können auf unterschiedliche Weise erscheinen.

a) Betrachten Sie das Ereignis: – Wenn Sie zwei Würfel werfen, ist das Produkt der Punkte gleich sieben. Gemäß der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition gibt es für ein bestimmtes Ereignis keine günstigen Ergebnisse:
, d.h. Dieses Ereignis ist unmöglich.

b) Betrachten Sie das Ereignis: – Beim Würfeln mit zwei Würfeln beträgt das Produkt der Punkte mindestens 20. Folgende Ergebnisse sind für dieses Ereignis günstig:

Gesamt: 8
Nach der klassischen Definition:
– die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

c) Betrachten Sie die gegenteiligen Ereignisse:
– das Produkt der Punkte wird gerade sein;
– Das Produkt der Punkte wird ungerade sein.
Lassen Sie uns alle für die Veranstaltung günstigen Ergebnisse auflisten:

Insgesamt: 9 positive Ergebnisse.
Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition:
Gegensätzliche Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe, daher:
– die gewünschte Wahrscheinlichkeit.

Antwort :

Problem 8: Lösung: Berechnen wir die Gesamtzahl der Ergebnisse: 10 Münzen können auf unterschiedliche Weise fallen.
Ein anderer Weg: Wie die 1. Münze fallen kann Und Wie die 2. Münze fallen kann Und … Und Wie die 10. Münze fallen kann. Nach der Regel der Multiplikation von Kombinationen können 10 Münzen fallen Wege.
a) Betrachten Sie das Ereignis: – Auf allen Münzen erscheinen Köpfe. Dieses Ereignis wird gemäß der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition durch ein einzelnes Ergebnis begünstigt: .
b) Betrachten Sie das Ereignis: – 9 Münzen ergeben „Kopf“ und eine Münze erhält „Zahl“.
Es gibt Münzen, die auf dem Kopf landen können. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition: .
c) Betrachten Sie das Ereignis: – Auf der Hälfte der Münzen erscheinen Köpfe.
Existiert einzigartige Kombinationen aus fünf Münzen, die Kopf landen können. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition:
Antwort :

Schauen wir uns die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit anhand von Formeln und Beispielen an.

Zufällige Ereignisse werden aufgerufen unvereinbar, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, wird eines auftauchen – ein „Wappen“ oder eine Zahl“, und sie können nicht gleichzeitig erscheinen, da es logisch ist, dass dies unmöglich ist. Ereignisse wie ein Treffer und ein Fehlschlag nach einem Schuss können inkompatibel sein.

Zufällige Ereignisse endliche Menge bilden volle Gruppe in Paaren inkompatible Ereignisse Wenn während jedes Versuchs nur eines dieser Ereignisse auftritt, sind dies die einzig möglichen Ereignisse.

Schauen wir uns das gleiche Beispiel für das Werfen einer Münze an:

Erste Münze Zweite Münze Ereignisse

1) „Wappen“ „Wappen“

2) „Wappen“ „Nummer“

3) „Nummer“ „Wappen“

4) „Nummer“ „Nummer“

Oder abgekürzt als „GG“, – „GC“, – „CHG“, – „CHCH“.

Die Ereignisse werden aufgerufen gleichermaßen möglich, wenn die Forschungsbedingungen für jedes von ihnen die gleiche Möglichkeit zum Erscheinen bieten.

Wie Sie wissen, hat das Werfen einer symmetrischen Münze die gleichen Möglichkeiten, und es besteht die Möglichkeit, dass sowohl das „Wappen“ als auch die „Zahl“ erscheinen. Das Gleiche gilt für das Werfen eines symmetrischen Würfels, da die Möglichkeit besteht, dass Gesichter mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 auftauchen.

Nehmen wir an, wir werfen nun den Würfel mit Schwerpunktverlagerung, zum Beispiel zur Seite mit der Zahl 1, dann fällt er meistens heraus gegenüberliegendes Gesicht, also eine Kante mit einer anderen Nummer. Somit sind in diesem Modell die Auftrittsmöglichkeiten für jede der Zahlen von 1 bis 6 unterschiedlich.

Ebenso mögliche und eindeutig mögliche Zufallsereignisse nennt man Fälle.

Es gibt zufällige Ereignisse, die Fälle sind, und es gibt zufällige Ereignisse, die keine Fälle sind. Im Folgenden betrachten wir diese Ereignisse anhand von Beispielen.

Die Fälle, in deren Folge ein zufälliges Ereignis eintritt, werden als günstige Fälle für dieses Ereignis bezeichnet.

Wenn wir bezeichnen mit , die ein Ereignis in allen möglichen Fällen beeinflussen, und mit - die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses, dann können wir die bekannte klassische Definition der Wahrscheinlichkeit schreiben:

Definition

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Fälle zur Gesamtzahl aller möglichen Fälle, also:

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

Die klassische Wahrscheinlichkeit wurde berücksichtigt, und nun schauen wir uns die grundlegenden und an wichtige Eigenschaften Wahrscheinlichkeiten.

Eigentum 1. Die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses ist gleich eins.

Wenn beispielsweise alle Bälle in einem Eimer weiß sind, wird das Ereignis, bei dem zufällig ein weißer Ball ausgewählt wird, durch die Fälle beeinflusst.

Eigentum 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null.

Eigentum 3. Die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses ist eine positive Zahl:

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die folgende Ungleichung erfüllt:

Lassen Sie uns nun einige Beispiele mithilfe der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit lösen.

Beispiele für die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit

Beispiel 1

Aufgabe

In einem Korb befinden sich 20 Bälle, davon 10 weiße, 7 rote und 3 schwarze. Ein Ball wird zufällig ausgewählt. Es werden ein weißer Ball (Ereignis), ein roter Ball (Ereignis) und ein schwarzer Ball (Ereignis) ausgewählt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse.

Lösung

Entsprechend den Bedingungen des Problems tragen sie zu , und aus möglichen Fällen daher gemäß Formel (1) bei:

– Wahrscheinlichkeit einer weißen Kugel.

Ebenso für Rot:

Und für Schwarz: .

Antwort

Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses , , .

Beispiel 2

Aufgabe

In einer Kiste befinden sich 25 identische elektrische Lampen, von denen 2 defekt sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte elektrische Lampe nicht defekt ist.

Lösung

Je nach Problemstellung sind alle Lampen gleich und es wird nur eine ausgewählt. Totale Auswahlmöglichkeiten. Von allen 25 Lampen sind zwei defekt, was bedeutet, dass die restlichen Lampen geeignet sind. Daher ist nach Formel (1) die Wahrscheinlichkeit, eine geeignete elektrische Lampe auszuwählen (Ereignis), gleich:

Antwort

Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte elektrische Lampe nicht defekt ist = .

Beispiel 3

Aufgabe

Zwei Münzen werden zufällig geworfen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse:

1) – auf beiden Münzen befand sich ein Wappen;

2) – auf einer der Münzen befand sich das Wappen und auf der zweiten – eine Zahl;

3) – Zahlen fielen auf beiden Münzen;

4) – das Wappen erscheint mindestens einmal.

Lösung

Hier haben wir es mit vier Ereignissen zu tun. Lassen Sie uns feststellen, welche Fälle zu jedem von ihnen beitragen. Ein Vorfall, der zu dem Ereignis beigetragen hat, ist das Erscheinen des Wappens (abgekürzt „GG“) auf beiden Münzen.

Um das Ereignis zu verstehen, stellen Sie sich vor, dass eine Münze aus Silber und die zweite aus Kupfer besteht. Beim Münzwerfen können folgende Fälle auftreten:

1) auf dem silbernen Wappen, auf dem kupfernen Wappen – eine Zahl (gekennzeichnet mit „GC“);

2) auf der silbernen Zahl, auf dem Kupfer - das Wappen (- „CHG“).

Dies bedeutet, dass die Veranstaltung durch Fälle und erleichtert wird.

Erleichtert wird das Ereignis durch einen Vorfall: Die Zahlen auf beiden Münzen lauteten „HH“.

Somit bilden die Ereignisse oder (GG, HC, CG, HC) eine vollständige Gruppe von Ereignissen, alle diese Ereignisse sind inkompatibel, da nur eines von ihnen als Ergebnis des Wurfs auftritt. Darüber hinaus sind bei symmetrischen Münzen alle vier Ereignisse gleichermaßen möglich, sodass sie als Fälle betrachtet werden können. Alle mögliche Ereignisse- vier .

Es gibt nur ein Ereignis, das zum Ereignis beiträgt, daher ist seine Wahrscheinlichkeit:

Die Veranstaltung wird von zwei Fällen gefördert, also:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist dieselbe wie für:

Die Veranstaltung wird von drei Fällen gefördert: GG, GC, CG und daher:

Da die Ereignisse GG, GC, CG, BC berücksichtigt werden, die gleichermaßen möglich sind und eine vollständige Gruppe von Ereignissen bilden, ist das Eintreten eines von ihnen ein verlässliches Ereignis (wir bezeichnen es mit dem Buchstaben, der von allen 4 beigesteuert wird). Daher ist die Wahrscheinlichkeit:

Damit ist die erste Wahrscheinlichkeitseigenschaft bestätigt.

Antwort

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

Beispiel 4

Aufgabe

Es werden zwei Würfel mit gleicher und regelmäßiger geometrischer Form geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit aller auftretenden möglichen Summen auf beiden Seiten.

Lösung

Um die Lösung des Problems einfacher zu gestalten, stellen Sie sich vor, dass ein Würfel weiß und der zweite schwarz ist. Jede der sechs Seiten des weißen Würfels kann auch eine der sechs Seiten des schwarzen Würfels fallen lassen, also jeder mögliche Paare Wille .

Da die Möglichkeit, dass Kanten auf einem separaten Würfel erscheinen, gleich ist (Würfel des richtigen Würfels). Geometrische Figur!), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Paar von Gesichtern erscheint, gleich, und als Ergebnis des Wurfs erscheint nur eines der Paare. Die Bedeutungen des Ereignisses sind unvereinbar, einheitlich möglich. Dies sind Fälle, und es gibt insgesamt 36 mögliche Fälle.

Betrachten wir nun die Möglichkeit von Summenwerten auf den Flächen. Offensichtlich ist die kleinste Summe 1 + 1 = 2 und die größte 6 + 6 = 12. Der verbleibende Teil der Summe erhöht sich ab der zweiten um eins. Bezeichnen wir Ereignisse, deren Indizes gleich der Summe der Punkte sind, die auf die Flächen der Würfel gefallen sind. Für jedes dieser Ereignisse schreiben wir günstige Fälle in der Notation auf, wobei die Summe die Punkte sind Oberkante weißer Würfel und - Punkte am Rand des schwarzen Würfels.

Also, für die Veranstaltung:

für – einen Fall (1 + 1);

für – zwei Fälle (1 + 2; 2 + 1);

für – drei Fälle (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

für – vier Fälle (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

für – fünf Fälle (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

für – sechs Fälle (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

für – fünf Fälle (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

für – vier Fälle (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

für – drei Fälle (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

für – zwei Fälle (5 + 6; 6 + 5);

für – einen Fall (6 + 6).

Somit sind die Wahrscheinlichkeitswerte:

Antwort

Beispiel 5

Aufgabe

Vor dem Festival wurden drei Teilnehmer gebeten, das Los zu ziehen: Jeder Teilnehmer nähert sich der Reihe nach dem Eimer und wählt zufällig eine von drei Karten mit den Nummern 1, 2 und 3 aus, was die Seriennummer der Aufführung dieses Teilnehmers bedeutet.

Finden Sie die Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse:

1) – die Seriennummer in der Warteschlange stimmt mit der Kartennummer überein Seriennummer Reden;

2) – keine einzige Zahl in der Warteschlange stimmt mit der Leistungszahl überein;

3) – nur eine der Nummern in der Warteschlange stimmt mit der Leistungsnummer überein;

4) – mindestens eine der Zahlen in der Warteschlange stimmt mit der Leistungszahl überein.

Lösung

Mögliche Ergebnisse der Kartenauswahl sind Permutationen aus drei Elemente, die Anzahl solcher Permutationen ist gleich. Jede der Permutationen ist ein Ereignis. Bezeichnen wir diese Ereignisse mit . Wir weisen jedem Ereignis die entsprechende Permutation in Klammern zu:

; ; ; ; ; .

Gelistete Veranstaltungen gleichermaßen möglich und gleichermaßen möglich, das heißt, das sind die Fälle. Bezeichnen wir es wie folgt: (1h, 2h, 3h) – die entsprechenden Nummern in der Warteschlange.

Beginnen wir mit der Veranstaltung. Es gibt also nur einen günstigen Fall:

Zwei Fälle sind für das Ereignis günstig und daher:

Die Veranstaltung wird durch 3 Fälle gefördert: , also:

Zusätzlich zu wird die Veranstaltung auch von unterstützt, nämlich:

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses beträgt .

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses – aktualisiert: 15. September 2017 von: Wissenschaftliche Artikel.Ru

Typ