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Wie man trigonometrische Gleichungen versteht. Grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen. Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen

Beim Lösen vieler mathematische Probleme Insbesondere bei solchen, die vor der 10. Klasse stattfinden, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Zu solchen Problemen zählen beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, linear und quadratische Ungleichungen, Bruchgleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen. Prinzip erfolgreiche Lösung Jede der genannten Aufgaben lautet wie folgt: Es muss festgestellt werden, zu welcher Art von Aufgabe das zu lösende Problem gehört. Denken Sie daran notwendige Reihenfolge Aktionen, die dazu führen werden das gewünschte Ergebnis, d.h. Antworten Sie und befolgen Sie diese Schritte.

Es ist offensichtlich, dass Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon abhängt, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird und wie korrekt die Reihenfolge aller Phasen ihrer Lösung reproduziert wird. Natürlich ist es notwendig, über die entsprechenden Fähigkeiten zu verfügen Identitätstransformationen und Computer.

Anders verhält es sich mit trigonometrische Gleichungen. Es ist überhaupt nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Es treten Schwierigkeiten auf, die Reihenfolge der Aktionen zu bestimmen, die zur richtigen Antwort führen würden.

Von Aussehen Bei einer Gleichung ist es manchmal schwierig, ihren Typ zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen Sie Folgendes versuchen:

1. Alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf „die gleichen Winkel“ bringen;
2. Bringen Sie die Gleichung auf „identische Funktionen“;
3. Faktorisieren Sie die linke Seite der Gleichung usw.

Lassen Sie uns überlegen grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1.Äußern Trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten.

Schritt 2. Finden Sie das Funktionsargument mithilfe der Formeln:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

Sünde x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3. Finden Sie die unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variablenersatz

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie die Gleichung auf algebraische Form relativ zu einer der trigonometrischen Funktionen.

Schritt 2. Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie ggf. Einschränkungen für t ein).

Schritt 3. Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4. Führen Sie einen umgekehrten Austausch durch.

Schritt 5. Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2, erfüllt nicht die Bedingung |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Antwort: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Ersetzen gegebene Gleichung linear, unter Verwendung der Formeln zur Reduzierung des Grades:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung auf die Form

a) a sin x + b cos x = 0 ( homogene Gleichung erster Abschluss)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Schritt 3. Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Dann sei tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, was bedeutet

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Methode zur Transformation einer Gleichung mit trigonometrischen Formeln

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Mit allen möglichen trigonometrische Formeln Reduzieren Sie diese Gleichung auf eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst wird.

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

Sünde x + Sünde 2x + Sünde 3x = 0.

Lösung.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n Є Z; ab der zweiten cos-Gleichungen x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis ist x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Die Fähigkeit und Fertigkeit, trigonometrische Gleichungen zu lösen, ist sehr groß wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl seitens des Schülers als auch seitens des Lehrers.

Viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. sind mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen verbunden. Der Prozess der Lösung solcher Probleme verkörpert viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die durch das Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen besetzen wichtiger Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen.

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Trigonometrische Gleichungen sind kein einfaches Thema. Sie sind zu vielfältig.) Zum Beispiel diese:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Und dergleichen...

Aber diese (und alle anderen) trigonometrischen Monster haben zwei Dinge gemeinsam: obligatorische Funktionen. Erstens – Sie werden es nicht glauben – es gibt trigonometrische Funktionen in den Gleichungen.) Zweitens: Es werden alle Ausdrücke mit x gefunden innerhalb derselben Funktionen. Und nur dort! Wenn X irgendwo auftaucht draußen, Zum Beispiel, sin2x + 3x = 3, das wird schon eine Gleichung sein gemischter Typ. Solche Gleichungen erfordern individueller Ansatz. Wir werden sie hier nicht berücksichtigen.

Wir werden in dieser Lektion auch keine bösen Gleichungen lösen.) Hier werden wir uns damit befassen die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Warum? Ja, weil die Lösung beliebig trigonometrische Gleichungen bestehen aus zwei Phasen. In der ersten Phase ist die böse Gleichung am weitesten verbreitet verschiedene Transformationen Es kommt auf etwas Einfaches an. Im zweiten Schritt wird diese einfachste Gleichung gelöst. Kein anderer Weg.

Wenn Sie also auf der zweiten Stufe Probleme haben, macht die erste Stufe wenig Sinn.)

Wie sehen elementare trigonometrische Gleichungen aus?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Hier A steht für eine beliebige Zahl. Beliebig.

Übrigens gibt es innerhalb einer Funktion möglicherweise kein reines X, sondern eine Art Ausdruck, wie zum Beispiel:

cos(3x+π /3) = 1/2

und dergleichen. Dies erschwert das Leben, hat jedoch keinen Einfluss auf die Methode zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung.

Wie löst man trigonometrische Gleichungen?

Trigonometrische Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden. Der erste Weg: die Verwendung von Logik und dem trigonometrischen Kreis. Wir werden uns diesen Weg hier ansehen. Der zweite Weg – die Verwendung von Gedächtnis und Formeln – wird in der nächsten Lektion besprochen.

Der erste Weg ist klar, zuverlässig und schwer zu vergessen.) Er eignet sich gut zum Lösen trigonometrischer Gleichungen, Ungleichungen und aller möglichen kniffligen, nicht standardmäßigen Beispiele. Logiken stärker als die Erinnerung!)

Gleichungen mit einem trigonometrischen Kreis lösen.

Wir beinhalten elementare Logik und die Fähigkeit, den trigonometrischen Kreis zu verwenden. Weißt du nicht wie? Allerdings... Sie werden es in der Trigonometrie schwer haben...) Aber das spielt keine Rolle. Schauen Sie sich die Lektionen „Trigonometrischer Kreis...... Was ist das?“ an. und „Messen von Winkeln auf einem trigonometrischen Kreis.“ Da ist alles einfach. Im Gegensatz zu Lehrbüchern...)

Oh du weißt!? Und sogar „Praktisches Arbeiten mit dem trigonometrischen Kreis“ gemeistert!? Glückwunsch. Dieses Thema wird für Sie nah und verständlich sein.) Das ist besonders erfreulich trigonometrischer Kreis Es spielt keine Rolle, welche Gleichung Sie lösen. Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens – bei ihm ist alles gleich. Es gibt nur ein Lösungsprinzip.

Wir nehmen also eine beliebige elementare trigonometrische Gleichung. Zumindest das hier:

cosx = 0,5

Wir müssen X finden. Wenn wir reden menschliche Sprache, müssen Finden Sie den Winkel (x), dessen Kosinus 0,5 beträgt.

Wie haben wir den Kreis bisher genutzt? Wir haben einen Winkel darauf gezeichnet. In Grad oder Bogenmaß. Und zwar sofort gesehen trigonometrische Funktionen dieses Winkels. Machen wir jetzt das Gegenteil. Zeichnen wir auf dem Kreis einen Kosinus von 0,5 und sofort wir werden sehen Ecke. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.) Ja, ja!

Zeichnen Sie einen Kreis und markieren Sie den Kosinus mit 0,5. Natürlich auf der Kosinusachse. So:

Zeichnen wir nun den Winkel, den uns dieser Kosinus gibt. Bewegen Sie Ihre Maus über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet) und du wirst sehen genau diese Ecke X.

Der Kosinus welchen Winkels beträgt 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Manche Leute werden skeptisch lachen, ja... Hat es sich gelohnt, einen Kreis zu bilden, wenn schon alles klar ist... Man kann natürlich kichern...) Aber Tatsache ist, dass dies eine falsche Antwort ist. Oder besser: unzureichend. Kreiskenner wissen, dass es hier eine ganze Reihe anderer Winkel gibt, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben.

Wenn Sie die bewegliche Seite OA drehen Volle Umdrehung, Punkt A wird hineinfallen Ausgangsposition. Mit dem gleichen Kosinus gleich 0,5. Diese. Der Winkel wird sich ändern um 360° oder 2π Bogenmaß, und Kosinus - nein. Neuer Blickwinkel 60° + 360° = 420° wird auch eine Lösung unserer Gleichung sein, weil

Es können unendlich viele solcher vollständigen Umdrehungen gemacht werden ... Und all diese neuen Winkel werden Lösungen für unsere trigonometrische Gleichung sein. Und sie alle müssen als Antwort irgendwie niedergeschrieben werden. Alle. Ansonsten zählt die Entscheidung nicht, ja...)

Die Mathematik kann dies einfach und elegant tun. Schreiben Sie eine kurze Antwort auf unendliche Menge Entscheidungen. So sieht es für unsere Gleichung aus:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ich werde es entziffern. Schreibe immer noch sinnvoll Das ist angenehmer, als dummerweise ein paar mysteriöse Buchstaben zu zeichnen, oder?)

π /3 - Das ist die gleiche Ecke wie wir gesehen auf dem Kreis und bestimmt nach der Kosinustabelle.

2π ist eine vollständige Umdrehung im Bogenmaß.

N - das ist die Anzahl der vollständigen, d.h. ganz U/min Es ist klar, dass N kann gleich 0, ±1, ±2, ±3 usw. sein. Wie angegeben kurze Anmerkung:

n ∈ Z

N gehört ( ∈ ) Menge von ganzen Zahlen ( Z ). Übrigens statt des Briefes N Es können durchaus Buchstaben verwendet werden k, m, t usw.

Diese Notation bedeutet, dass Sie jede ganze Zahl annehmen können N . Mindestens -3, mindestens 0, mindestens +55. Was immer du willst. Wenn Sie diese Zahl in die Antwort einsetzen, erhalten Sie einen bestimmten Winkel, der definitiv die Lösung unserer harten Gleichung sein wird.)

Oder mit anderen Worten: x = π /3 ist die einzige Wurzel von Unendliche Nummer. Um alle anderen Wurzeln zu erhalten, reicht es aus, eine beliebige Anzahl voller Umdrehungen zu π /3 zu addieren ( N ) im Bogenmaß. Diese. 2π n Bogenmaß.

Alle? Nein. Ich verlängere das Vergnügen bewusst. Zur besseren Erinnerung.) Wir haben nur einen Teil der Antworten auf unsere Gleichung erhalten. Ich werde diesen ersten Teil der Lösung folgendermaßen schreiben:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nicht nur eine Wurzel, sondern eine ganze Reihe von Wurzeln, in Kurzform niedergeschrieben.

Es gibt aber auch Winkel, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben!

Kehren wir zu unserem Bild zurück, von dem wir die Antwort aufgeschrieben haben. Da ist sie:

Bewegen Sie die Maus über das Bild und wir sehen ein anderer Blickwinkel ergibt auch einen Kosinus von 0,5. Was ist Ihrer Meinung nach gleichwertig? Die Dreiecke sind gleich... Ja! Er gleich Winkel X , nur in negativer Richtung verzögert. Das ist die Ecke -X. Aber wir haben x bereits berechnet. π /3 oder 60°. Daher können wir sicher schreiben:

x 2 = - π /3

Nun addieren wir natürlich alle Winkel, die sich durch volle Umdrehungen ergeben:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist jetzt alles.) Auf dem trigonometrischen Kreis wir gesehen(Wer versteht das natürlich)) Alle Winkel, die einen Kosinus von 0,5 ergeben. Und schrieb diese Aspekte kurz auf mathematische Form. Die Antwort ergab zwei unendliche Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist die richtige Antwort.

Hoffnung, allgemeines Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen Die Verwendung eines Kreises ist klar. Wir markieren auf dem Kreis den Kosinus (Sinus, Tangens, Kotangens) von gegebene Gleichung, zeichne die entsprechenden Winkel ein und schreibe die Antwort auf. Natürlich müssen wir herausfinden, in welchen Ecken wir uns befinden gesehen auf dem Kreis. Manchmal ist es nicht so offensichtlich. Nun ja, ich sagte, dass hier Logik gefragt ist.)

Schauen wir uns zum Beispiel eine andere trigonometrische Gleichung an:

Bitte bedenken Sie, dass die Zahl 0,5 nicht die einzig mögliche Zahl in Gleichungen ist!) Es ist für mich einfach bequemer, sie zu schreiben als Wurzeln und Brüche.

Wir arbeiten nach dem allgemeinen Prinzip. Wir zeichnen einen Kreis und markieren (natürlich auf der Sinusachse!) 0,5. Wir zeichnen alle Winkel, die diesem Sinus entsprechen, auf einmal. Wir erhalten dieses Bild:

Befassen wir uns zunächst mit dem Winkel X im ersten Viertel. Wir erinnern uns an die Sinustabelle und bestimmen den Wert dieses Winkels. Es ist eine einfache Sache:

x = π /6

Wir erinnern uns an volle Revolutionen und, mit reines Gewissen, wir schreiben die erste Reihe von Antworten auf:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Die Hälfte der Arbeit ist erledigt. Aber jetzt müssen wir feststellen zweite Ecke... Es ist schwieriger als die Verwendung von Kosinuswerten, ja ... Aber die Logik wird uns retten! So bestimmen Sie den zweiten Winkel durch x? Ja, einfach! Die Dreiecke im Bild sind gleich und die rote Ecke X gleich Winkel X . Gezählt wird nur vom Winkel π in negativer Richtung. Deshalb ist es rot.) Und für die Antwort benötigen wir einen korrekt gemessenen Winkel von der positiven Halbachse OX, also aus einem Winkel von 0 Grad.

Wir bewegen den Cursor über die Zeichnung und sehen alles. Die erste Ecke habe ich entfernt, um das Bild nicht zu verkomplizieren. Der Winkel, der uns interessiert (grün dargestellt), ist gleich:

π - x

X wir wissen das π /6 . Daher wird der zweite Winkel sein:

π - π /6 = 5π /6

Erinnern wir uns noch einmal an das Hinzufügen vollständiger Umdrehungen und schreiben die zweite Reihe von Antworten auf:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Das ist alles. Eine vollständige Antwort besteht aus zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangenten- und Kotangensgleichungen lassen sich leicht lösen, indem man dasselbe allgemeine Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verwendet. Wenn Sie natürlich wissen, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet.

In den obigen Beispielen habe ich den Tabellenwert von Sinus und Cosinus verwendet: 0,5. Diese. eine dieser Bedeutungen, die der Schüler kennt muss. Erweitern wir nun unsere Fähigkeiten auf alle anderen Werte. Entscheide, also entscheide!)

Nehmen wir also an, wir müssen diese trigonometrische Gleichung lösen:

Ein solcher Kosinuswert in kurze Tabellen Nein. Wir ignorieren diese schreckliche Tatsache eiskalt. Zeichnen Sie einen Kreis, markieren Sie 2/3 auf der Kosinusachse und zeichnen Sie die entsprechenden Winkel ein. Wir bekommen dieses Bild.

Schauen wir uns zunächst den Blickwinkel im ersten Viertel an. Wenn wir nur wüssten, was x ist, würden wir die Antwort sofort aufschreiben! Wir wissen es nicht... Scheitern!? Ruhig! Die Mathematik bringt ihre eigenen Leute nicht in Schwierigkeiten! Sie hat sich für diesen Fall Arkuskosinusse ausgedacht. Weiß nicht? Vergeblich. Finden Sie es heraus. Es ist viel einfacher als Sie denken. In diesem Link gibt es keinen einzigen kniffligen Zauberspruch zum Thema „inverse trigonometrische Funktionen“ ... Das ist in diesem Thema überflüssig.

Wenn Sie sich auskennen, sagen Sie sich einfach: „X ist ein Winkel, dessen Kosinus gleich 2/3 ist.“ Und sofort, rein nach der Definition des Arkuskosinus, können wir schreiben:

Wir erinnern uns an die zusätzlichen Umdrehungen und schreiben in aller Ruhe die erste Reihe von Wurzeln unserer trigonometrischen Gleichung auf:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Die zweite Wurzelreihe für den zweiten Winkel wird fast automatisch notiert. Alles ist gleich, nur X (arccos 2/3) wird mit einem Minus versehen:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Und das ist es! Das ist die richtige Antwort. Noch einfacher als mit Tabellenwerten. Es ist nicht nötig, sich etwas zu merken.) Übrigens wird den Aufmerksamsten auffallen, dass dieses Bild die Lösung durch den Arkuskosinus zeigt Im Wesentlichen unterscheidet es sich nicht vom Bild für die Gleichung cosx = 0,5.

Genau so! Allgemeines Prinzip Deshalb ist es üblich! Ich habe bewusst zwei nahezu identische Bilder gezeichnet. Der Kreis zeigt uns den Winkel X durch seinen Kosinus. Ob es sich um einen Tafelkosinus handelt oder nicht, ist jedem unbekannt. Was das für ein Winkel ist, π /3, oder was der Arkuskosinus ist – das müssen wir selbst entscheiden.

Gleiches Lied mit Sinus. Zum Beispiel:

Zeichnen Sie erneut einen Kreis, markieren Sie den Sinus gleich 1/3 und zeichnen Sie die Winkel. Dies ist das Bild, das wir bekommen:

Und wieder ist das Bild fast das gleiche wie bei der Gleichung sinx = 0,5. Auch im ersten Viertel starten wir wieder aus der Ecke. Was ist X gleich, wenn sein Sinus 1/3 beträgt? Kein Problem!

Jetzt ist die erste Packung Wurzeln fertig:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Befassen wir uns mit dem zweiten Blickwinkel. Im Beispiel mit einem Tabellenwert von 0,5 war es gleich:

π - x

Auch hier wird es genau so sein! Nur x ist unterschiedlich, Arcsin 1/3. Na und!? Sie können das zweite Wurzelpaket sicher aufschreiben:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist eine völlig richtige Antwort. Obwohl es nicht sehr bekannt vorkommt. Aber es ist klar, hoffe ich.)

So werden trigonometrische Gleichungen mithilfe eines Kreises gelöst. Dieser Weg ist klar und verständlich. Er ist es, der in trigonometrischen Gleichungen mit der Auswahl der Wurzeln spart gegebenes Intervall, V trigonometrische Ungleichungen- diese werden grundsätzlich fast immer im Kreis gelöst. Kurz gesagt, bei allen Aufgaben, die etwas schwieriger sind als Standardaufgaben.

Lassen Sie uns das Wissen in der Praxis anwenden?)

Lösen Sie trigonometrische Gleichungen:

Erstens einfacher, direkt aus dieser Lektion.

Jetzt ist es komplizierter.

Hinweis: Hier müssen Sie über den Kreis nachdenken. Persönlich.)

Und jetzt sind sie äußerlich einfach... Sie werden auch Sonderfälle genannt.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hinweis: Hier müssen Sie im Kreis herausfinden, wo es zwei Antwortreihen und wo eine gibt ... Und wie Sie eine statt zwei Antwortreihen schreiben. Ja, damit keine einzige Wurzel aus einer unendlichen Zahl verloren geht!)

Na ja, ganz einfach):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hinweis: Hier müssen Sie wissen, was Arkussinus und Arkuskosinus sind? Was ist Arcustangens, Arkuskotangens? Am meisten einfache Definitionen. Aber um mich daran zu erinnern, nein Tabellenwerte nicht nötig!)

Die Antworten sind natürlich ein Durcheinander):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Es klappt nicht alles? Das passiert. Lesen Sie die Lektion noch einmal. Nur nachdenklich(sowas gibt es veraltetes Wort...) Und folgen Sie den Links. Die Hauptlinks beziehen sich auf den Kreis. Ohne sie ist die Trigonometrie so, als würde man mit verbundenen Augen über die Straße gehen. Manchmal funktioniert es.)

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Lektion komplexe Anwendung Wissen.

Lernziele.

In Betracht ziehen verschiedene Methoden trigonometrische Gleichungen lösen.
Entwicklung Kreativität Schüler durch das Lösen von Gleichungen.
Ermutigung der Schüler zur Selbstkontrolle, gegenseitigen Kontrolle und Selbstanalyse ihrer Bildungsaktivitäten.

Ausrüstung: Leinwand, Projektor, Referenzmaterial.

Während des Unterrichts

Einführungsgespräch.

Die Hauptmethode zur Lösung trigonometrischer Gleichungen besteht darin, sie auf ihre einfachste Form zu reduzieren. In diesem Fall gelten sie übliche Wege, zum Beispiel Faktorisierungen, sowie Techniken, die nur zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet werden. Es gibt viele dieser Techniken, zum Beispiel verschiedene trigonometrische Substitutionen, Winkeltransformationen, Transformationen trigonometrischer Funktionen. Die wahllose Anwendung irgendwelcher trigonometrischer Transformationen vereinfacht die Gleichung normalerweise nicht, sondern verkompliziert sie katastrophal. Zum Trainieren allgemeiner Überblick Planen Sie die Lösung der Gleichung und skizzieren Sie eine Möglichkeit, die Gleichung auf das einfachste zu reduzieren. Sie müssen zunächst die Winkel analysieren – die Argumente der in der Gleichung enthaltenen trigonometrischen Funktionen.

Heute werden wir über Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen sprechen. Die richtig gewählte Methode kann die Lösung oft erheblich vereinfachen, daher sollten immer alle von uns untersuchten Methoden im Auge behalten werden, um trigonometrische Gleichungen mit der am besten geeigneten Methode zu lösen.

II. (Mit einem Projektor wiederholen wir die Methoden zum Lösen von Gleichungen.)

1. Methode zur Reduzierung einer trigonometrischen Gleichung auf eine algebraische.

Es ist notwendig, alle trigonometrischen Funktionen durch eine mit demselben Argument auszudrücken. Dies kann mithilfe der grundlegenden trigonometrischen Identität und ihrer Konsequenzen erfolgen. Wir erhalten eine Gleichung mit einer trigonometrischen Funktion. Wenn wir es als neue Unbekannte betrachten, erhalten wir eine algebraische Gleichung. Wir finden seine Wurzeln und kehren zum alten Unbekannten zurück, indem wir die einfachsten trigonometrischen Gleichungen lösen.

2. Faktorisierungsmethode.

Um Winkel zu ändern, sind oft Formeln zur Reduktion, Summe und Differenz von Argumenten nützlich, sowie Formeln zur Umrechnung der Summe (Differenz) trigonometrischer Funktionen in ein Produkt und umgekehrt.

Sünde x + Sünde 3x = Sünde 2x + Sünde4x

3. Methode zur Einführung eines zusätzlichen Winkels.

4. Methode zur Verwendung der universellen Substitution.

Gleichungen der Form F(sinx, cosx, tanx) = 0 werden mithilfe einer universellen trigonometrischen Substitution auf algebraische Gleichungen reduziert

Sinus, Cosinus und Tangens als Tangens ausdrücken halber Winkel. Diese Technik kann zur Gleichung führen hoher Auftrag. Die Lösung dafür ist schwierig.

Beim Lösen vieler mathematische Probleme Insbesondere bei solchen, die vor der 10. Klasse stattfinden, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Zu solchen Problemen gehören beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, gebrochene Gleichungen und Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen reduziert werden. Das Prinzip für die erfolgreiche Lösung jedes der genannten Probleme lautet wie folgt: Sie müssen feststellen, welche Art von Problem Sie lösen, sich die notwendige Abfolge von Aktionen merken, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. h. Antworten Sie und befolgen Sie diese Schritte.

Es ist offensichtlich, dass Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon abhängt, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird und wie korrekt die Reihenfolge aller Phasen ihrer Lösung reproduziert wird. Natürlich ist in diesem Fall die Fähigkeit erforderlich, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Es ist manchmal schwierig, den Typ anhand des Aussehens einer Gleichung zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen Sie Folgendes versuchen:

Lassen Sie uns überlegen grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Drücken Sie eine trigonometrische Funktion anhand bekannter Komponenten aus.

Schritt 2. Finden Sie das Funktionsargument mithilfe der Formeln:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

Sünde x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3. Finden Sie die unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variablenersatz

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie die Gleichung in algebraischer Form in Bezug auf eine der trigonometrischen Funktionen.

Schritt 2. Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie ggf. Einschränkungen für t ein).

Schritt 3. Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4. Führen Sie einen umgekehrten Austausch durch.

Schritt 5. Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2, erfüllt nicht die Bedingung |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Antwort: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare und verwenden Sie dabei die Formel zur Reduzierung des Grades:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung auf die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Schritt 3. Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Dann sei tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, was bedeutet

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Methode zur Transformation einer Gleichung mit trigonometrischen Formeln

Lösungsdiagramm

Schritt 1. Reduzieren Sie diese Gleichung unter Verwendung aller möglichen trigonometrischen Formeln auf eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst wird.

Schritt 2. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

Sünde x + Sünde 2x + Sünde 3x = 0.

Lösung.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n Є Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n Є Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis ist x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Antwort: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematiklernens und der persönlichen Entwicklung im Allgemeinen ein.

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