2x 1 0 Lösung. Gleichungen mit Modul lösen. Mögliche Problemlösungen

Löse die Gleichung X 2 +(1-x) 2 =x

Beweisen Sie, dass es keine ganzen Zahlen gibt, die um den Faktor 5 wachsen, indem Sie die Anfangsziffer bis zum Ende neu anordnen.

In einem bestimmten Königreich sind alle zwei entweder Freunde oder Feinde. Jeder kann irgendwann mit allen Freunden streiten und mit allen Feinden Frieden schließen. Es stellte sich heraus, dass jeder dritte Mensch auf diese Weise Freunde werden kann. Beweisen Sie, dass dann alle Menschen in diesem Königreich Freunde werden können.

In einem Dreieck steht eine der Mittellinien senkrecht auf einer der Winkelhalbierenden. Beweisen Sie, dass eine Seite dieses Dreiecks doppelt so groß ist wie die andere.

Aufgaben zur Durchführung einer Kreis-(Stadt-)Olympiade für Schüler im Fach Mathematik.

Beim Schießen von einer Zielscheibe erzielte der Athlet jeweils nur 8,9 und 10 Punkte. Insgesamt erzielte er mit mehr als 11 Schüssen genau 100 Punkte. Wie viele Schüsse hat der Athlet abgegeben und was waren die Treffer?

Beweisen Sie die Wahrheit der Ungleichung:

3. Lösen Sie die Gleichung:

Finden Sie eine dreistellige Zahl, die sich nach dem Durchstreichen darin um den Faktor 7 verringert Durchschnittswert.

IN Dreieck ABC Von den Scheitelpunkten A und B werden Winkelhalbierende gezeichnet. Dann werden vom Scheitelpunkt C parallel zu diesen Winkelhalbierenden gerade Linien gezeichnet. Die Punkte D und E des Schnittpunkts dieser Geraden mit den Winkelhalbierenden sind verbunden. Es stellte sich heraus, dass die Linien DE und AB parallel sind. Beweisen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Aufgaben zur Durchführung einer Kreis-(Stadt-)Olympiade für Schüler im Fach Mathematik.

Lösen Sie das Gleichungssystem:

Auf den Seiten AB und AD des Parallelogramms ABCD werden die Punkte E bzw. K genommen, sodass das Segment EK parallel zur Diagonale BD verläuft. Beweisen Sie, dass die Flächen der Dreiecke ALL und SDO gleich sind.

Es wurde beschlossen, eine Gruppe von Touristen in den Bussen unterzubringen, sodass jeder Bus Platz hatte die gleiche Nummer Passagiere. Zunächst wurden 22 Personen in jeden Bus gesetzt, aber es stellte sich heraus, dass es in diesem Fall nicht möglich war, einen Touristen unterzubringen. Wenn ein Bus leer blieb, stiegen alle Touristen zu gleichen Teilen in die übrigen Busse ein. Wie viele Busse gab es ursprünglich und wie viele Touristen waren in der Gruppe, wenn bekannt ist, dass nicht mehr als 32 Personen in jeden Bus passen?

Aufgaben zur Durchführung einer Kreis-(Stadt-)Olympiade für Schüler im Fach Mathematik.

Lösen Sie das Gleichungssystem:

Beweisen Sie, dass vier Abstände von einem Punkt eines Kreises zu einem Scheitelpunkt eines darin eingeschriebenen Quadrats nicht gleichzeitig rationale Zahlen sein können.

Mögliche Problemlösungen

1. Antwort: x=1, x=0,5

Von der Permutation der Anfangsziffer bis zur Endziffer ändert sich die Bedeutung der Zahl nicht. Gleichzeitig sollten sie je nach Zustand des Problems eine Zahl erhalten, die das Fünffache beträgt größer als der erste Zahlen. Daher sollte die erste Ziffer der gewünschten Zahl gleich 1 und nur 1 sein. (denn wenn die erste Ziffer 2 oder mehr ist, ändert sich der Wert, 2 * 5 = 10). Wenn man 1 ans Ende verschiebt, endet die resultierende Zahl auf 1 und ist daher nicht durch 5 teilbar.

Daraus folgt aus der Bedingung, dass, wenn A und B Freunde sind, C entweder ihr gemeinsamer Feind ist oder gemeinsamer Freund(sonst können die drei nicht miteinander in Einklang gebracht werden). Nehmen wir alle Freunde von Person A. Aus dem Gesagten folgt, dass sie alle untereinander freundlich sind und unter den anderen feindlich gesinnt sind. Lassen Sie A und seine Freunde nun abwechselnd mit Freunden streiten und mit Feinden Frieden schließen. Danach werden alle Freunde sein.

In der Tat soll A der Erste sein, der mit seinen Freunden streitet und mit seinen Feinden Frieden schließt, aber dann wird sich jeder seiner ehemaligen Freunde mit ihm abfinden, und ehemalige Feinde werden Freunde bleiben. So erweisen sich alle Menschen als Freunde von A und folglich als Freunde untereinander.

Die Zahl 111 ist durch 37 teilbar, also ist auch die Summe durch 37 teilbar.

Durch die Bedingung ist die Zahl durch 37 teilbar, also die Summe

Teilbar durch 37.

Beachten Sie, dass der angegebene Median und die Winkelhalbierende nicht vom selben Scheitelpunkt ausgehen können, da in ansonsten Der Winkel an diesem Scheitelpunkt wäre größer als 180 0 . Lassen Sie nun im Dreieck ABC die Winkelhalbierende AD und den Median CE sich im Punkt F schneiden. Dann ist AF die Winkelhalbierende und die Höhe im Dreieck ACE, was bedeutet, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist (AC \u003d AE), und da CE die ist Median, dann AB = 2AE und daher AB = 2AC.

Mögliche Problemlösungen

1. Antwort: 9 Schüsse für 8 Punkte,

2 Schüsse für 9 Punkte,

1 Schuss für 10 Punkte.

Lassen X Von einem Athleten wurden Schüsse abgegeben, die ihm 8 Punkte einbrachten. j Schüsse für 9 Punkte, z Schüsse für 10 Punkte. Dann können Sie ein System erstellen:

Unter Verwendung der ersten Gleichung des Systems schreiben wir:

Aus diesem System ergibt sich das X+ j+ z=12

Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit (-8) und addieren Sie sie zur ersten. Wir verstehen das j+2 z=4 , Wo j=4-2 z, j=2(2- z) . Somit, bei – gerade Zahl, d.h. y=2t, Wo .

Somit,

3. Antwort: x = -1/2, x = -4

Nachdem wir die Brüche auf den gleichen Nenner reduziert haben, erhalten wir

4. Antwort: 105

Bezeichnen Sie mit X, j, z jeweils die erste, zweite und dritte Ziffer des gewünschten dreistellige Zahl. Dann kann es geschrieben werden als . Nachdem Sie die mittlere Zahl gelöscht haben, erhalten Sie zweistellige Zahl. Je nach Zustand des Problems, d. h. unbekannte Zahlen X, j, z die Gleichung erfüllen

7(10 X+ z)=100 X+10 j+ X, was nach Reduktion solche Mitglieder und Abkürzungen nimmt die Form an 3 z=15 X+5 j.

Aus dieser Gleichung folgt das z muss durch 5 teilbar und positiv sein, da durch Bedingung . Daher ist z = 5 und die Zahlen x, y Erfüllen Sie die Gleichung 3=3x + y, die aufgrund der Bedingung gilt einzige Entscheidung x \u003d 1, y \u003d 0. Daher ist die Bedingung des Problems erfüllt Singular 105.

F bezeichne den Punkt, an dem sich die Geraden AB und CE schneiden. Da die Linien DB und CF parallel sind, dann . Da BD die Winkelhalbierende des Winkels ABC ist, schließen wir daraus. Daraus folgt, dass, d.h. Das Dreieck BCF ist gleichschenklig und BC=BF. Aber es folgt aus der Bedingung, dass das viereckige BDEF ein Parallelogramm ist. Daher ist BF = DE und daher BC = DE. Auf ähnliche Weise lässt sich beweisen, dass AC = DE ist. Dies führt zur erforderlichen Gleichheit.

Mögliche Problemlösungen

1.

Von hier (x + y) 2 = 1 , d.h. x + y = 1 oder x + y = -1.

Betrachten wir zwei Fälle.

A) x + y = 1. Ersetzen x = 1 - y

B) x + y = -1. Nach der Auswechslung x=-1-y

Daher können nur die folgenden vier Zahlenpaare Lösungen des Systems sein: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2). Durch Einsetzen in die Gleichungen des ursprünglichen Systems stellen wir sicher, dass jedes dieser vier Paare eine Lösung des Systems darstellt.

Dreiecke CDF und BDF haben Gemeinsamkeiten FD und gleiche Höhen weil die Linien BC und AD parallel sind. Daher sind ihre Flächen gleich. Ebenso sind die Flächen der Dreiecke BDF und BDE gleich, da die Linie BD parallel zur Linie EF verläuft. Und die Flächen der Dreiecke BDE und BCE sind gleich, da AB parallel zu CD ist. Dies impliziert die erforderliche Flächengleichheit der Dreiecke CDF und BCE.

Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs der Funktion erstellen wir einen Graphen.

Verwendung der Formel weitere Transformationen durchführen

Durch Anwenden von Additionsformeln und Durchführen weiterer Transformationen erhalten wir

5. Antwort: 24 Busse, 529 Touristen.

Bezeichnen Sie mit k anfängliche Anzahl an Bussen. Aus der Problemstellung folgt, dass die Zahl aller Touristen gleich ist 22 k +1 . Nach der Abfahrt eines Busses saßen alle Touristen im verbleibenden Bus (k-1) Busse. Daher die Zahl 22 k +1 sollte geteilt werden durch k-1. Somit wurde das Problem auf die Bestimmung aller ganzen Zahlen reduziert, für die die Zahl gilt

Ist eine ganze Zahl und erfüllt die Ungleichung (die Zahl n entspricht der Anzahl der Touristen, die in jedem Bus sitzen, und je nach Problemstellung kann der Bus nicht mehr als 32 Passagiere aufnehmen).

Eine Zahl ist nur dann eine Ganzzahl, wenn die Zahl eine Ganzzahl ist. Letzteres ist nur mit möglich k=2 und bei k=24 .

Wenn k=2 , Das n=45.

Und wenn k=24 , Das n=23.

Daraus und aus der Bedingung erhalten wir nur das k=24 erfüllt alle Bedingungen des Problems.

Daher gab es zunächst 24 Busse, und die Zahl aller Touristen beträgt n(k-1)=23*23=529

Mögliche Problemlösungen

1. Antworten:

Dann nimmt die Gleichung die Form an:

Bekommen quadratische Gleichung verhältnismäßig R.

2. Antwort: (0;1), (2;-1), (-1;0), (1;-2)

Wenn wir die Gleichungen des Systems addieren, erhalten wir , oder

Von hier (x + y) 2 = 1 , d.h. x + y = 1 oder x + y = -1.

Betrachten wir zwei Fälle.

A) x + y = 1. Ersetzen x = 1 - y In die erste Gleichung des Systems erhalten wir

B) x + y = -1. Nach der Auswechslung x=-1-y in die erste Gleichung des Systems erhalten wir oder

In unseren Katalogen finden Sie PTPZh 2x1,2-Draht zu erschwinglichen Preisen. Wir garantieren hohe Qualität alle angebotenen Produkte. Das Handelshaus „Cable Resource“ ermöglicht den Kauf von PTPZh 2x1,2-Draht sowohl in großen Mengen als auch in kleinen Mengen. Operative Abwicklung in einem Lager in Moskau. Sie können das gesamte Sortiment an Elektro-, Beleuchtungs- und Kabelprodukten an einem Ort kaufen.

Zweck des Drahtes PTPZh 2x1,2

Der Draht PTPZh 2x1,2, der aus dem Lager von TH Cable-Resource verkauft wird, hat einen doppelten Zweck:

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• Es kann auf Baustellen zum Aufwärmen von Beton eingesetzt werden. Bei der Durchführung dieses Vorgangs werden die Heizbedingungen und die Temperatur berücksichtigt Umfeld. Die Auswahl erfolgt streng nach speziellen Tabellen spezifische Länge Drähte PTPZh 2x1,2, wonach dieser am Verstärkungskäfig befestigt wird. Es ist wichtig zu bedenken, dass die Luft beim Erhitzen des Betons keine Temperatur unter -30 °C haben sollte.

Das Design des Drahtes PTPZh 2x1,2

Der Draht darüber fraglich besteht in dieser Rezension aus:

• zwei (siehe Nummer 2 in der Kennzeichnung) leitende Drähte aus Stahl. Sie verfügen über ein Single-Wire-Design, runde Form, einen Durchmesser von 1,2 mm (siehe entsprechende Zahl in der Markierung) und einen Widerstand von höchstens 140 Ohm pro 1 km Länge;
• Isolierhüllen aus Adern aus LDPE (Polyethylen). hoher Druck). Der Hauptvorteil dieser Komponenten ist ihre extrem hohe Qualität elektrischer Wiederstand(entspricht mindestens 5000 MΩ pro 1 km Länge). Dank dieser Qualität ist ein elektrischer Kontakt nicht nur zwischen den Adern des PTPZh 2x1,2-Kabels, sondern auch zwischen diesen Elementen und externen Objekten (einschließlich Personen) vollständig ausgeschlossen.

Isolierte leitende Adern sind parallel zueinander angeordnet, wodurch der PTPZh 2x1,2-Draht verfügt flache Form. Die Isolierschalen sind durch einen Trennboden verbunden, dessen Material das gleiche LDPE ist.

Unabhängig davon, für welchen Zweck der Draht PTPZh 2x1,2 verwendet wird, ist bei der Verlegung die Regel zu beachten: Der Radius jeder am Produkt gebildeten Montagebiegung muss größer als das 10-fache seines Außendurchmessers sein.

Gleichungen und Ungleichungen mit Modul lösen verursacht oft Probleme. Wenn Sie jedoch gut verstehen, was ist der absolute Wert einer Zahl, Und wie man Ausdrücke, die das Modulo-Zeichen enthalten, korrekt erweitert, dann die Präsenz in der Gleichung Ausdruck unter dem Modulzeichen stellt kein Hindernis mehr für seine Lösung dar.

Ein bisschen Theorie. Jede Zahl hat zwei Eigenschaften: Absolutwert Zahl und ihr Vorzeichen.

Beispielsweise hat die Zahl +5, oder einfach 5, ein „+“-Zeichen und einen absoluten Wert von 5.

Die Zahl -5 hat ein „-“-Zeichen und einen absoluten Wert von 5.

Die absoluten Werte der Zahlen 5 und -5 sind 5.

Der Absolutwert der Zahl x wird Modul der Zahl genannt und mit |x| bezeichnet.

Wie wir sehen können, ist der Modul einer Zahl gleich der Zahl selbst, wenn diese Zahl größer oder gleich Null ist und diese Zahl mit entgegengesetztem Vorzeichen wenn diese Zahl negativ ist.

Das Gleiche gilt für alle Ausdrücke, die unter dem Modulzeichen stehen.

Die Modulerweiterungsregel sieht folgendermaßen aus:

|f(x)|= f(x) wenn f(x) ≥ 0, und

|f(x)|= - f(x) wenn f(x)< 0

Zum Beispiel |x-3|=x-3, wenn x-3≥0 und |x-3|=-(x-3)=3-x, wenn x-3<0.

Um eine Gleichung zu lösen, die einen Ausdruck unter dem Modulzeichen enthält, müssen Sie zuerst Erweitern Sie das Modul um die Modulerweiterungsregel.

Dann wird unsere Gleichung oder Ungleichung transformiert in zwei verschiedene Gleichungen, die auf zwei verschiedenen numerischen Intervallen existieren.

Eine Gleichung existiert in einem numerischen Intervall, in dem der Ausdruck unter dem Modulzeichen nicht negativ ist.

Und die zweite Gleichung existiert in dem Intervall, in dem der Ausdruck unter dem Modulzeichen negativ ist.

Betrachten wir ein einfaches Beispiel.

Lösen wir die Gleichung:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Öffnen wir das Modul.

|x-3|=x-3 wenn x-3≥0, d.h. wenn x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x wenn x-3<0, т.е. если х<3

2. Wir haben zwei numerische Intervalle: x≥3 und x<3.

Überlegen Sie, in welche Gleichungen die ursprüngliche Gleichung in jedem Intervall umgewandelt wird:

A) Für x≥3 |x-3|=x-3 sieht unsere Gleichung wie folgt aus:

Aufmerksamkeit! Diese Gleichung existiert nur auf dem Intervall x≥3!

Öffnen wir die Klammern und geben ähnliche Begriffe an:

und löse diese Gleichung.

Diese Gleichung hat Wurzeln:

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3

Aufmerksamkeit! Da die Gleichung x-3=-x 2 +4x-3 nur auf dem Intervall x≥3 existiert, interessieren uns nur die Wurzeln, die zu diesem Intervall gehören. Diese Bedingung erfüllt nur x 2 =3.

B) Bei x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Aufmerksamkeit! Diese Gleichung existiert nur auf dem Intervall x<3!

Öffnen wir die Klammern und geben ähnliche Begriffe an. Wir erhalten die Gleichung:

x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3

Aufmerksamkeit! da die Gleichung 3-x \u003d -x 2 + 4x-3 nur im Intervall x existiert<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Also: Aus dem ersten Intervall nehmen wir nur die Wurzel x=3, aus dem zweiten - die Wurzel x=2.

Um zu lernen, wie man Gleichungen mit einem Modul löst, müssen Sie sich die Definition eines Moduls merken und lernen.

Aus der Definition geht klar hervor, dass der Modul jeder Zahl nicht negativ ist. Darüber hinaus zeigt die Definition, wie Modulo-Zeichen loswerden in der Gleichung.

In der Praxis geschieht dies folgendermaßen:

1) Finden Sie die Werte der Variablen, bei denen die Ausdrücke unter dem Modulzeichen verschwinden.

2) Markieren Sie alle Nullen auf dem Zahlenstrahl. Sie teilen diese Linie in Strahlen und Intervalle auf, auf denen alle Submodulausdrücke ein konstantes Vorzeichen haben.

3) Wir bestimmen die Vorzeichen der Submodulausdrücke für jede Lücke und erweitern alle Module (indem wir sie durch Submodulausdrücke mit einem Plus- oder Minuszeichen ersetzen, abhängig vom Vorzeichen des Submodulausdrucks).

4) Wir lösen die resultierenden Gleichungen für jedes Intervall (wie viele Intervalle, so viele Gleichungen). Bitte beachten Sie, dass wir nur die Lösungen auswählen dürfen, die in diesem Intervall liegen (die resultierenden Lösungen gehören möglicherweise nicht zum Intervall).

Genug der Theorie, es ist Zeit, sich Beispiele anzusehen, wie Gleichungen mit einem Modul gelöst werden. Beginnen wir mit etwas Einfacherem.

Gleichungen mit Modulen lösen

Beispiel 1 Löse die Gleichung.

Lösung. Seit damals . Wenn, dann, und die Gleichung nimmt die Form an.

Von hier aus erhalten wir .

Beispiel 2 Löse die Gleichung.

Lösung. Aus der Gleichung folgt, dass .

Daher nimmt die Gleichung die Form oder an.

Da hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 3 löse die Gleichung.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung in einer äquivalenten Form um.

Die resultierende Gleichung gehört zu Gleichungen vom Typ .

Es ist bekannt, dass eine Gleichung dieser Art der Ungleichung entspricht. Deshalb haben wir hier oder .

Antworten: .

Ich denke, Sie haben bereits herausgefunden, wie man diese Art von Gleichung mit einem Modul löst. Versuchen wir, damit umzugehen komplexere Gleichung.

Beispiel 4. Löse die Gleichung: |x 2 + 2x| – |2 – x| = |x 2 – x|

Finden Sie Nullen von Submodulausdrücken:

x 2 + 2x = 0, x(x + 2) = 0, x = 0 oder x = – 2. In diesem Fall ist die Parabel y = x 2 + 2x positiv auf den Intervallen (–∞; –2) und (0; +∞ ), während es auf dem Intervall (–2; 0) negativ ist (siehe Abbildung).

x 2 - x \u003d 0, x (x - 1) \u003d 0, x \u003d 0 oder x \u003d 1. Diese Parabel y \u003d x 2 - x ist positiv in den Intervallen (–∞; 0) und ( 1; +∞), und auf dem Intervall (0; 1) ist es negativ (siehe Abbildung).

2 – x = 0, x = 2, der Modul ist im Intervall (–∞; 0) positiv und nimmt im Intervall (2; +∞) negative Werte an (siehe Abbildung).

Jetzt lösen wir die Gleichungen auf den Intervallen:

1) x ≤ ‒2: x = 1/2

2) –2 ≤ x<0: - (x 2 + 2x) - (2 - x) = x 2 - x, - x 2 - 2x - 2 + x = x 2 - x, -2 x 2 = 2, x 2 = ‒1, es gibt keine Lösungen.

3) 0 ≤ x<1: x 2 + 2x - (2 - x) = - (x 2 - x), x 2 + 2x - 2 + x = - x 2 + x, 2x 2 + 2x - 2 = 0, x 2 + x - 1 \u003d 0, √D = √5,
x 1 = (‒1 - √5)/2 und x 2 = (‒1 + √5)/2.

Da die erste Wurzel negativ ist, nicht zu unserem Intervall gehört und die zweite Wurzel größer als Null und kleiner als Eins ist, ist dies unsere Lösung für dieses Intervall.

4) 1 ≤ x<2: x 2 + 2x - (2 - x) = x 2 - x, x 2 + 2x - 2 + x = x 2 - x, 4x = 2, x= 1/2(nicht im betrachteten Bereich enthalten)

5) x ≥ 2: x 2 + 2x - (‒ (2 - x)) = x 2 - x, x 2 + 2x + 2 - x = x 2 - x, 2x = - 2, x = ‒1(nicht im betrachteten Intervall enthalten).

Antworten: (‒1 + √5)/2 .

Sie haben bemerkt, dass diese Gleichung auf die gleiche Weise wie die vorherigen gelöst wird, der Unterschied liegt in der Anzahl der Lücken. Da sich unter dem Modul quadratische Ausdrücke befinden, gibt es mehr Wurzeln und dementsprechend mehr Lücken.

Aber wie löst man die Gleichung, in der das Modul unter dem Modul steht? Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 5. Löse die Gleichung |3 – |x – 2|| = 1

Der Submodulausdruck kann den Wert 1 oder - 1 annehmen. Wir erhalten zwei Gleichungen:

3 - |x - 2|= -1 oder 3 - |x - 2|= 1

Wir lösen jede Gleichung einzeln.

1) 3 - |х ​​​​- 2|= -1, -|х - 2|= -1 - 3, -|х - 2|= -4, |х - 2|= 4,
x - 2= 4 oder x - 2= - 4, woraus wir erhalten x 1 = 6, x 2 = -2.

2) 3 - |x - 2|= 1, -|x - 2|= 1 - 3, -|x - 2|= -2, |x - 2|= 2,
x - 2 = 2 oder x - 2 = -2,
x 3 \u003d 4, x 4 \u003d 0.

Ich hoffe, dass Sie nach dem Studium dieses Artikels Gleichungen mit einem Modul erfolgreich lösen können. Wenn Sie Fragen haben, kontaktieren Sie mich bitte für Unterrichtsstunden. Nachhilfelehrerin Valentina Galinevskaya.

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Quadratisches Trinom Axt 2 +bx+c kann durch die Formel in lineare Faktoren erweitert werden:

ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), Wo x1, x2 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax2+bx+c=0.

Zerlegen Sie das quadratische Trinom in lineare Faktoren:

Beispiel 1). 2x2-7x-15.

Lösung. 2x2-7x-15=0.

A=2; B=-7; C=-15. Dies ist der allgemeine Fall für die vollständige quadratische Gleichung. Die Diskriminante finden D.

D=b 2 -4ac=(-7) 2 -4∙2∙(-15)=49+120=169=13 2 >0; 2 echte Wurzeln.

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

2x 2 -7x-15=2 (x+1,5)(x-5)=(2x+3)(x-5). Wir haben dieses Trinom eingeführt 2x2-7x-15 2x+3 Und x-5.

Antworten: 2x2 -7x-15= (2x+3)(x-5).

Beispiel 2). 3x2 +2x-8.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

A=3; B=2;C=-8. Dies ist ein Sonderfall für die vollständige quadratische Gleichung mit einem geraden zweiten Koeffizienten ( B=2). Die Diskriminante finden D1.

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Wir haben das Trinom eingeführt 3x2 +2x-8 als Produkt von Binomialen x+2 Und 3x-4.

Antworten: 3x2 +2x-8 =(x+2)(3x-4).

Beispiel 3). 5x2-3x-2.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

A=5; B=-3; C=-2. Dies ist ein Sonderfall für die vollständige quadratische Gleichung mit folgender Bedingung: a+b+c=0(5-3-2=0). In solchen Fällen erste Wurzel ist immer gleich eins, und zweite Wurzel ist gleich dem Quotienten des freien Termes dividiert durch den ersten Koeffizienten:

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

5x 2 -3x-2 \u003d 5 (x-1) (x + 0,4) \u003d (x-1) (5x + 2). Wir haben das Trinom eingeführt 5x2-3x-2 als Produkt von Binomialen x-1 Und 5x+2.

Antworten: 5x2 -3x-2= (x-1)(5x+2).

Beispiel 4). 6x2+x-5.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

A=6; B=1; C=-5. Dies ist ein Sonderfall für die vollständige quadratische Gleichung mit folgender Bedingung: a-b+c=0(6-1-5=0). In solchen Fällen erste Wurzel ist immer gleich minus eins und zweite Wurzel gleich minus dem Quotienten des freien Termes dividiert durch den ersten Koeffizienten:

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

Wir haben das Trinom eingeführt 6x2+x-5 als Produkt von Binomialen x+1 Und 6x-5.

Antworten: 6x 2 +x-5= (x+1)(6x-5).

Beispiel 5). x2 -13x+12.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung:

x 2 -13x+12=0. Mal sehen, ob es anwendbar ist. Dazu ermitteln wir die Diskriminante und stellen sicher, dass sie das volle Quadrat einer ganzen Zahl ist.

A=1; B=-13; C=12. Die Diskriminante finden D.

D=b 2 -4ac=13 2 -4∙1∙12=169-48=121=11 2 .

Wir wenden den Satz von Vieta an: Die Summe der Wurzeln muss gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen sein und das Produkt der Wurzeln muss gleich dem freien Term sein:

x 1 + x 2 \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d 12. Es ist offensichtlich, dass x 1 =1; x2=12.

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2).

x 2 -13x+12=(x-1)(x-12).

Antworten: x 2 -13x+12= (x-1)(x-12).

Beispiel 6). x2-4x-6.

Lösung. Finden wir die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung:

A=1; B=-4; C=-6. Der zweite Koeffizient ist eine gerade Zahl. Finden Sie die Diskriminante D 1 .

Die Diskriminante ist kein perfektes Quadrat einer ganzen Zahl, daher hilft uns der Satz von Vieta nicht weiter und wir werden die Wurzeln mithilfe der Formeln für einen geraden zweiten Koeffizienten finden:

Wenden wir die Formel an: ax 2 +bx+c=a (x-x 1)(x-x 2) und schreibe die Antwort auf.