Geometrisches Mittel der 2-Zahlen-Formel. Geometrisches Mittel in der Statistik. Kann es passieren, dass das arithmetische Mittel gleich dem geometrischen Mittel wird?

In der Statistik spielen Durchschnittswerte eine Rolle wichtige Rolle, Weil Sie ermöglichen es uns, eine allgemeine Charakteristik des analysierten Phänomens zu erhalten. Der häufigste Durchschnitt ist natürlich . Dies geschieht, wenn ein aggregierter Indikator aus der Summe der Elemente gebildet wird. Zum Beispiel die Masse mehrerer Äpfel, der Gesamtumsatz für jeden Verkaufstag usw. Aber das passiert nicht immer. Manchmal wird ein aggregierter Indikator nicht durch Summierung, sondern durch andere mathematische Operationen gebildet.

Lassen Sie uns überlegen nächstes Beispiel. Unter der monatlichen Inflation versteht man die Veränderung des Preisniveaus eines Monats im Vergleich zum Vormonat. Wenn die Inflationsraten für jeden Monat bekannt sind, wie erhält man dann den Jahreswert? Aus statistischer Sicht handelt es sich um einen Kettenindex, daher lautet die richtige Antwort: durch Multiplikation der monatlichen Inflationsraten. Also allgemeiner Indikator Inflation ist keine Summe, sondern ein Produkt. Wie kann man nun die durchschnittliche Inflation für einen Monat ermitteln, wenn es einen Jahreswert gibt? Nein, nicht durch 12 dividieren, sondern die 12. Wurzel ziehen (der Grad hängt von der Anzahl der Faktoren ab). IN Allgemeiner Fall Das geometrische Mittel wird nach folgender Formel berechnet:

Das heißt, es ist die Wurzel des Produkts der Originaldaten, wobei der Grad durch die Anzahl der Faktoren bestimmt wird. Beispielsweise ist das geometrische Mittel zweier Zahlen Quadratwurzel von ihrer Arbeit

aus drei Zahlen - Kubikwurzel aus der Arbeit

usw.

Wenn jeder Originalnummer Ersetzen Sie sie durch ihr geometrisches Mittel, dann liefert das Produkt das gleiche Ergebnis.

Um besser zu verstehen, was ein geometrischer Mittelwert ist und wie er sich vom arithmetischen Mittel unterscheidet, betrachten Sie die folgende Abbildung. Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck, das in einen Kreis eingeschrieben ist.

Aus rechter Winkel Median weggelassen A(bis zur Mitte der Hypotenuse). Auch aus dem rechten Winkel verringert sich die Höhe B, was auf den Punkt kommt P teilt die Hypotenuse in zwei Teile M Und N. Weil Die Hypotenuse ist der Durchmesser des umschriebenen Kreises und der Median ist der Radius, dann ist es offensichtlich, dass die Länge des Medians ist A ist das arithmetische Mittel von M Und N.

Berechnen wir die Höhe B. Aufgrund der Ähnlichkeit von Dreiecken ABP Und BCP Gleichheit ist wahr

Das heißt, die Höhe rechtwinkliges Dreieck ist das geometrische Mittel der Segmente, in die es die Hypotenuse unterteilt. So ein deutlicher Unterschied.

Im M.S. Excel-Durchschnitt die geometrische kann mit der SRGEOM-Funktion ermittelt werden.

Alles ist ganz einfach: Funktion aufrufen, Bereich angeben und fertig.

In der Praxis wird dieser Indikator nicht so häufig verwendet wie der arithmetische Durchschnitt, kommt aber dennoch vor. Da gibt es zum Beispiel dieses Human Development Index, der zum Vergleich des Lebensstandards in verwendet wird verschiedene Länder. Er wird als geometrisches Mittel mehrerer Indizes berechnet.

Es gibt andere Durchschnittswerte. Ein anderes Mal über sie.

Das Thema Arithmetisches Mittel und geometrisches Mittel ist im Mathematikprogramm für die Klassen 6-7 enthalten. Da der Absatz recht einfach zu verstehen ist, ist er schnell fertig, und zwar am Ende Schuljahr Schulkinder vergessen ihn. Dafür sind jedoch Kenntnisse in grundlegenden Statistiken erforderlich Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, und auch für internationale Prüfungen SA. Ja und dafür Alltagsleben entwickelt Analytisches Denken tut nie weh.

So berechnen Sie das arithmetische Mittel und das geometrische Mittel von Zahlen

Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 11, 4 und 3. Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Zahlen geteilt durch die Anzahl der gegebenen Zahlen. Das heißt, im Fall der Zahlen 11, 4, 3 lautet die Antwort 6. Wie kommt man auf 6?

Lösung: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Der Nenner muss eine Zahl enthalten, die der Anzahl der Zahlen entspricht, deren Durchschnitt ermittelt werden muss. Die Summe ist durch 3 teilbar, da es drei Terme gibt.

Jetzt müssen wir das geometrische Mittel ermitteln. Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 4, 2 und 8.

Das geometrische Mittel einer Zahl ist das Produkt aller gegebenen Zahlen unter der Wurzel mit der Potenz gleich dem Betrag Das heißt, im Fall der Zahlen 4, 2 und 8 lautet die Antwort 4. So stellte sich heraus:

Lösung: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Bei beiden Optionen haben wir vollständige Antworten erhalten, da wir als Beispiel genommen haben Sondernummern. Dies geschieht nicht immer. In den meisten Fällen muss die Antwort gerundet oder an der Wurzel belassen werden. Für die Zahlen 11, 7 und 20 beträgt beispielsweise das arithmetische Mittel ≈ 12,67 und das geometrische Mittel ∛1540. Und für die Zahlen 6 und 5 lauten die Antworten 5,5 bzw. √30.

Könnte es passieren, dass das arithmetische Mittel gleich dem geometrischen Mittel wird?

Natürlich kann es. Aber nur in zwei Fällen. Wenn es eine Zahlenreihe gibt, die nur aus Einsen oder Nullen besteht. Bemerkenswert ist auch, dass die Antwort nicht von ihrer Anzahl abhängt.

Beweis mit Einheiten: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (arithmetisches Mittel).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(geometrisches Mittel).

Beweis mit Nullen: (0 + 0) / 2=0 (arithmetisches Mittel).

√(0 × 0) = 0 (geometrisches Mittel).

Es gibt keine andere Möglichkeit und kann es auch nicht sein.

Es geht bei der Berechnung des Durchschnitts verloren.

Durchschnitt Bedeutung Die Zahlenmenge ist gleich der Summe der Zahlen S dividiert durch die Anzahl dieser Zahlen. Das heißt, es stellt sich heraus Durchschnitt Bedeutung entspricht: 19/4 = 4,75.

beachten Sie

Wenn Sie den geometrischen Mittelwert für nur zwei Zahlen ermitteln müssen, benötigen Sie keinen technischen Taschenrechner: Sie können die zweite Wurzel (Quadratwurzel) aus jeder Zahl ziehen, indem Sie die verwenden ein normaler Taschenrechner.

Hilfreicher Rat

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel wird das geometrische Mittel nicht so stark von großen Abweichungen und Schwankungen zwischen einzelnen Werten im untersuchten Indikatorensatz beeinflusst.

Quellen:

• Online-Rechner, der das geometrische Mittel berechnet
• Durchschnitt geometrische Formel

Durchschnitt Der Wert ist eines der Merkmale einer Menge von Zahlen. Stellt eine Zahl dar, die nicht außerhalb des durch das größte und bestimmten Bereichs liegen darf niedrigsten Werte in dieser Zahlenmenge. Durchschnitt Der arithmetische Wert ist die am häufigsten verwendete Art des Durchschnitts.

Anweisungen

Addieren Sie alle Zahlen in der Menge und dividieren Sie sie durch die Anzahl der Terme, um das arithmetische Mittel zu erhalten. Abhängig von den spezifischen Berechnungsbedingungen ist es manchmal einfacher, jede der Zahlen durch die Anzahl der Werte in der Menge zu dividieren und das Ergebnis zu summieren.

Verwenden Sie beispielsweise das im Windows-Betriebssystem enthaltene Programm, wenn es nicht möglich ist, den arithmetischen Durchschnitt im Kopf zu berechnen. Sie können es über den Programmstartdialog öffnen. Drücken Sie dazu die Hotkeys WIN + R oder klicken Sie auf die Schaltfläche Start und wählen Sie im Hauptmenü Ausführen. Geben Sie dann calc in das Eingabefeld ein und drücken Sie die Eingabetaste oder klicken Sie auf die Schaltfläche OK. Dasselbe kann über das Hauptmenü erfolgen: Öffnen Sie es, gehen Sie zum Abschnitt „Alle Programme“ und wählen Sie im Abschnitt „Standard“ die Zeile „Rechner“.

Geben Sie alle Zahlen im Satz nacheinander ein, indem Sie nach jeder Zahl (außer der letzten) die Plus-Taste drücken oder auf die entsprechende Schaltfläche in der Taschenrechneroberfläche klicken. Sie können Zahlen auch über die Tastatur oder durch Klicken auf die entsprechenden Schnittstellenschaltflächen eingeben.

Drücken Sie nach der Eingabe die Schrägstrichtaste oder klicken Sie in der Taschenrechneroberfläche darauf letzter Wert legt die Anzahl der Zahlen in der Sequenz fest und gibt sie aus. Drücken Sie dann das Gleichheitszeichen und der Rechner berechnet das arithmetische Mittel und zeigt es an.

Für den gleichen Zweck können Sie einen Tabelleneditor verwenden. Microsoft Excel. Starten Sie in diesem Fall den Editor und geben Sie alle Werte der Zahlenfolge in die angrenzenden Zellen ein. Wenn Sie nach der Eingabe jeder Zahl die Eingabetaste oder die Abwärts- oder Rechtspfeiltaste drücken, verschiebt der Editor selbst den Eingabefokus auf die angrenzende Zelle.

Klicken Sie auf die Zelle neben der zuletzt eingegebenen Zahl, wenn Sie nicht nur den Durchschnitt sehen möchten. Erweitern Sie das Dropdown-Menü „Griechisches Sigma (Σ)“ für die Bearbeitungsbefehle auf der Registerkarte „Startseite“. Wählen Sie die Zeile „ Durchschnitt" und der Editor wird einfügen die erforderliche Formel um den Durchschnitt zu berechnen arithmetischer Wert in die ausgewählte Zelle. Drücken Sie die Eingabetaste und der Wert wird berechnet.

Das arithmetische Mittel ist eines der zentralen Tendenzmaße, das in der Mathematik und in statistischen Berechnungen weit verbreitet ist. Das Ermitteln des arithmetischen Mittels für mehrere Werte ist sehr einfach, aber jede Aufgabe hat ihre eigenen Nuancen, die man einfach kennen muss, um korrekte Berechnungen durchführen zu können.

Was ist ein arithmetisches Mittel?

Das arithmetische Mittel bestimmt den Durchschnittswert für die gesamte ursprüngliche Zahlenreihe. Mit anderen Worten, aus einer bestimmten Menge von Zahlen wird ein allen Elementen gemeinsamer Wert ausgewählt. mathematischer Vergleich was bei allen Elementen von Natur aus annähernd gleich ist. Der arithmetische Durchschnitt wird vor allem bei der Erstellung finanzieller und statistischer Berichte oder zur Berechnung der Ergebnisse ähnlicher Experimente verwendet.

So ermitteln Sie das arithmetische Mittel

Suchen Sie nach dem Durchschnitt arithmetische Zahl Für eine Reihe von Zahlen sollten Sie zunächst die algebraische Summe dieser Werte bestimmen. Wenn das Array beispielsweise die Zahlen 23, 43, 10, 74 und 34 enthält, beträgt ihre algebraische Summe 184. Beim Schreiben wird das arithmetische Mittel durch den Buchstaben μ (mu) oder x (x mit a) bezeichnet Bar). Weiter algebraische Summe sollte durch die Anzahl der Zahlen im Array geteilt werden. Im betrachteten Beispiel gab es fünf Zahlen, sodass das arithmetische Mittel 184/5 beträgt und 36,8 beträgt.

Merkmale der Arbeit mit negativen Zahlen

Wenn das Array enthält negative Zahlen, dann wird das arithmetische Mittel mit einem ähnlichen Algorithmus ermittelt. Der Unterschied besteht nur bei der Berechnung in einer Programmierumgebung oder wenn das Problem darin besteht zusätzliche Bedingungen. In diesen Fällen ist das Ermitteln des arithmetischen Mittels von Zahlen mit verschiedene Zeichen läuft auf drei Schritte hinaus:

1. Ermitteln des allgemeinen arithmetischen Durchschnitts mithilfe der Standardmethode;
2. Ermitteln des arithmetischen Mittels negativer Zahlen.
3. Berechnung des arithmetischen Mittels positiver Zahlen.

Die Antworten für jede Aktion werden durch Kommas getrennt geschrieben.

Natürliche und dezimale Brüche

Wenn ein Array von Zahlen dargestellt wird Dezimalstellen, die Lösung erfolgt nach der Methode der Berechnung des arithmetischen Mittels ganzer Zahlen, das Ergebnis wird jedoch entsprechend den Anforderungen des Problems an die Genauigkeit der Antwort reduziert.

Bei der Arbeit mit natürliche Brüche sie sollten dazu gebracht werden gemeinsamer Nenner, die mit der Anzahl der Zahlen im Array multipliziert wird. Der Zähler der Antwort ist die Summe der angegebenen Zähler der ursprünglichen Bruchelemente.

Technischer Rechner.

Anweisungen

Bedenken Sie, dass es im Allgemeinen der Durchschnitt ist geometrische Zahlen wird ermittelt, indem man diese Zahlen multipliziert und daraus die Wurzel der Potenz zieht, die der Anzahl der Zahlen entspricht. Wenn Sie beispielsweise das geometrische Mittel von fünf Zahlen ermitteln müssen, müssen Sie die Wurzel der Potenz aus dem Produkt ziehen.

Um das geometrische Mittel zweier Zahlen zu ermitteln, verwenden Sie die Grundregel. Finden Sie ihr Produkt und ziehen Sie dann die Quadratwurzel daraus, da die Zahl zwei ist, was der Potenz der Wurzel entspricht. Um beispielsweise das geometrische Mittel der Zahlen 16 und 4 zu ermitteln, ermitteln Sie deren Produkt 16 4=64. Ziehen Sie aus der resultierenden Zahl die Quadratwurzel √64=8. Dies wird der gewünschte Wert sein. Bitte beachten Sie, dass das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen größer und gleich 10 ist. Wenn nicht die gesamte Wurzel gezogen wird, runden Sie das Ergebnis auf die gewünschte Reihenfolge.

Um das geometrische Mittel von mehr als zwei Zahlen zu ermitteln, verwenden Sie ebenfalls die Grundregel. Ermitteln Sie dazu das Produkt aller Zahlen, für die Sie den geometrischen Mittelwert ermitteln müssen. Extrahieren Sie aus dem resultierenden Produkt die Wurzel der Potenz, die der Anzahl der Zahlen entspricht. Um beispielsweise das geometrische Mittel der Zahlen 2, 4 und 64 zu ermitteln, ermitteln Sie deren Produkt. 2 4 64=512. Da Sie das Ergebnis des geometrischen Mittels von drei Zahlen ermitteln müssen, ziehen Sie die dritte Wurzel aus dem Produkt. Es ist schwierig, dies verbal zu bewerkstelligen. Benutzen Sie daher einen Taschenrechner. Zu diesem Zweck verfügt es über einen Button „x^y“. Wählen Sie die Nummer 512, drücken Sie die Taste „x^y“, wählen Sie dann die Nummer 3 und drücken Sie die Taste „1/x“. Um den Wert von 1/3 zu ermitteln, drücken Sie die Taste „=". Wir erhalten das Ergebnis, wenn wir 512 mit 1/3 potenzieren, was der dritten Wurzel entspricht. Erhalten Sie 512^1/3=8. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen 2,4 und 64.

Mit Hilfe Technischer Rechner Sie können das geometrische Mittel auf andere Weise ermitteln. Suchen Sie die Protokollschaltfläche auf Ihrer Tastatur. Anschließend logarithmieren Sie jede Zahl, ermitteln deren Summe und dividieren sie durch die Anzahl der Zahlen. Bilden Sie aus der resultierenden Zahl den Antilogarithmus. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen. Um beispielsweise das geometrische Mittel der gleichen Zahlen 2, 4 und 64 zu ermitteln, führen Sie eine Reihe von Operationen auf dem Taschenrechner aus. Wählen Sie die Nummer 2, drücken Sie dann die Protokolltaste, drücken Sie die Taste „+“, wählen Sie die Nummer 4 und drücken Sie erneut Protokoll und „+“, wählen Sie 64, drücken Sie Protokoll und „=“. Das Ergebnis wird die Zahl sein gleich der Summe dezimale Logarithmen Zahlen 2, 4 und 64. Teilen Sie die resultierende Zahl durch 3, da dies die Anzahl der Zahlen ist, für die das geometrische Mittel gesucht wird. Nehmen Sie aus dem Ergebnis den Antilogarithmus, indem Sie die Groß-/Kleinschreibungstaste umschalten und dieselbe Logarithmustaste verwenden. Das Ergebnis ist die Zahl 8, das ist der gewünschte geometrische Mittelwert.

Es wird das geometrische Mittel angewendet in Fällen, in denen individuelle Werte Merkmale darstellen relative Werte Dynamik, die in Form von Kettenwerten aufgebaut ist, als Verhältnis zur vorherigen Ebene jeder Ebene in einer Reihe von Dynamiken, d. h. charakterisiert durchschnittlicher Koeffizient Wachstum.

Modus und Median werden sehr oft in Statistikproblemen berechnet und ergänzen sich durchschnittliche Eigenschaften Aggregate und werden verwendet in mathematische Statistik um die Art der Verteilungsreihe zu analysieren, die normal, asymmetrisch, symmetrisch usw. sein kann.

Ebenso wie der Median werden die Werte eines Merkmals berechnet, das die Grundgesamtheit in vier gleiche Teile teilt – Viertel, in fünf Teile - Quintel, um zehn gleiche Teile - verlangsamt sich, in hundert gleiche Teile - Prozente. Verwendung in der Analyse Variationsreihe Die Verteilung der betrachteten Merkmale in der Statistik ermöglicht es uns, die untersuchte Population detaillierter und detaillierter zu charakterisieren.

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel können Sie mit dem geometrischen Mittel den Grad der Änderung einer Variablen im Zeitverlauf abschätzen. Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel des Produkts von n Werten (in Excel wird die Funktion =SRGEOM verwendet):

G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Ein ähnlicher Parameter ist der Durchschnitt geometrische Bedeutung Rendite - bestimmt durch die Formel:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n - 1,

wobei R i die Profitrate für ist i-te Periode Zeit.

Angenommen, die Anfangsinvestition beträgt 100.000 US-Dollar. Bis zum Ende des ersten Jahres sinkt sie auf 50.000 US-Dollar und erholt sich am Ende des zweiten Jahres wieder auf das ursprüngliche Niveau von 100.000 US-Dollar -Jahreszeitraum gleich 0, da der Anfangs- und der Endbetrag der Mittel einander gleich sind. Das arithmetische Mittel der jährlichen Renditen beträgt jedoch = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 bzw. 25 %, da die Rendite im ersten Jahr R 1 = (50.000 – 100.000) / 100.000 = -0,5 ist. und im zweiten R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Gleichzeitig ist der geometrische Mittelwert der Profitrate für zwei Jahre gleich: G = [(1-0,5) * (1+ 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. Somit spiegelt das geometrische Mittel die Änderung (genauer gesagt das Fehlen von Änderungen) des Investitionsvolumens über einen Zeitraum von zwei Jahren genauer wider als das arithmetische Mittel.

Interessante Fakten. Erstens wird das geometrische Mittel immer kleiner sein als das arithmetische Mittel derselben Zahlen. Außer in dem Fall, dass alle genommenen Zahlen einander gleich sind. Zweitens können Sie durch Betrachtung der Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks verstehen, warum der Mittelwert geometrisch genannt wird. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, abgesenkt zur Hypotenuse, ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen den Projektionen der Schenkel auf die Hypotenuse, und jedes Bein ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen der Hypotenuse und ihrer Projektion auf die Hypotenuse. Das gibt geometrische Methode Konstruieren des geometrischen Mittelwerts zweier (Längen-)Segmente: Sie müssen einen Kreis konstruieren, indem Sie die Summe dieser beiden Segmente als Durchmesser verwenden. Dann ergibt die vom Verbindungspunkt bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis wiederhergestellte Höhe den erforderlichen Wert:

Reis. 4.

Zweite wichtige Eigenschaft numerische Daten – ihre Variation, die den Grad der Datenstreuung charakterisiert. Zwei verschiedene Stichproben können sich sowohl in den Mittelwerten als auch in den Varianzen unterscheiden.

Es gibt fünf Schätzungen der Datenvariation:

Interquartilbereich,

Streuung,

Standardabweichung,

der Variationskoeffizient.

Der Bereich ist der Unterschied zwischen dem größten und kleinste Elemente Proben:

Bereich = X Max - X Min

Bereich der Stichprobe mit Daten zu durchschnittlichen jährlichen Erträgen 15 Investmentfonds mit sehr hohes Level Das Risiko kann mithilfe eines geordneten Arrays berechnet werden: Bereich = 18,5 – (-6,1) = 24,6. Dies bedeutet, dass die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten durchschnittlichen Jahresrendite von Fonds mit sehr hohem Risiko 24,6 % beträgt.

Der Bereich misst die Gesamtverbreitung von Daten. Obwohl der Stichprobenbereich eine sehr einfache Schätzung der Gesamtstreuung der Daten ist, besteht seine Schwäche darin, dass er nicht genau berücksichtigt, wie die Daten zwischen dem Minimum und dem Minimum verteilt sind maximale Elemente. Skala B zeigt, dass der Stichprobenbereich eine sehr ungenaue Schätzung der Streuung der Daten darstellt, wenn eine Stichprobe mindestens einen Extremwert enthält.