Lösen Sie das Verhältnis richtig. Probleme mit Prozentsätzen: Berechnen Sie Prozentsätze mithilfe von Proportionen. Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
Betrachten Sie die Serie natürliche Zahlen: 1, 2, 3, , N – 1, N, .
Wenn wir jede natürliche Zahl ersetzen N in dieser Serie um eine bestimmte Zahl A N Nach einem Gesetz erhalten wir eine neue Zahlenreihe:
A 1 , A 2 , A 3 , , A N –1 , A N , ,
kurz benannt und angerufen Zahlenfolge. Größe A N wird als gemeinsames Mitglied einer Zahlenfolge bezeichnet. Normalerweise wird die Zahlenfolge durch eine Formel angegeben A N = F(N), sodass Sie jedes Mitglied der Sequenz anhand seiner Nummer finden können N; Diese Formel wird als allgemeine Termformel bezeichnet. Beachten Sie, dass es nicht immer möglich ist, eine numerische Folge mithilfe einer allgemeinen Termformel zu definieren; Manchmal wird eine Sequenz durch die Beschreibung ihrer Mitglieder spezifiziert.
Per Definition enthält eine Folge immer unendlich viele Elemente: Zwei beliebige verschiedene Elemente unterscheiden sich zumindest in ihrer Anzahl, von denen es unendlich viele gibt.
Eine Zahlenfolge ist ein Sonderfall einer Funktion. Eine Folge ist eine Funktion, die auf der Menge der natürlichen Zahlen definiert ist und Werte in der Menge der reellen Zahlen annimmt, also eine Funktion der Form F : N R.
Folge 
angerufen zunehmend(abnehmend), falls vorhanden N N
Solche Folgen heißen streng eintönig.
Manchmal ist es praktisch, nicht alle natürlichen Zahlen als Zahlen zu verwenden, sondern nur einige davon (z. B. natürliche Zahlen, die von einer natürlichen Zahl ausgehen). N 0). Für die Nummerierung können neben natürlichen Zahlen auch andere Zahlen verwendet werden, z. B. N= 0, 1, 2, (hier wird Null als weitere Zahl zur Menge der natürlichen Zahlen hinzugefügt). Geben Sie in solchen Fällen bei der Angabe der Reihenfolge an, welche Werte die Zahlen annehmen N.
Wenn in irgendeiner Reihenfolge für irgendjemanden N N
dann wird die Sequenz aufgerufen nicht abnehmend(nicht zunehmend). Solche Folgen heißen eintönig.
Beispiel 1 . Die Zahlenfolge 1, 2, 3, 4, 5, ... ist eine Reihe natürlicher Zahlen und hat einen gemeinsamen Begriff A N = N.
Beispiel 2 . Die Zahlenfolge 2, 4, 6, 8, 10, ... ist eine Reihe gerader Zahlen und hat einen gemeinsamen Begriff A N = 2N.
Beispiel 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … − Zahlenfolge Näherungswerte mit zunehmender Genauigkeit.
Im letzten Beispiel ist es unmöglich, eine Formel für den allgemeinen Term der Folge anzugeben.
Beispiel 4
.
Schreiben Sie die ersten fünf Terme einer Zahlenfolge unter Verwendung ihres gemeinsamen Termes 
. Berechnen A In der Formel für den allgemeinen Term wird 1 benötigt A N anstatt N Ersetzen Sie 1, um zu berechnen A 2 − 2 usw. Dann gilt: 
Test 6 . Das gemeinsame Mitglied der Folge 1, 2, 6, 24, 120, ist:
1)
2)
3)
4)
Test 7
.
Ist:
1)
2)
3)
4)
Test 8
.
Gemeinsames Mitglied der Sequenz 
Ist:
1)
2)
3)
4)
Begrenzung der Nummernfolge
Betrachten Sie eine Zahlenfolge, deren gemeinsamer Begriff sich einer Zahl nähert A mit ansteigender Seriennummer N. In diesem Fall spricht man von einer Begrenzung der Zahlenfolge. Dieses Konzept hat eine strengere Definition.
Nummer A wird als Grenzwert einer Zahlenfolge bezeichnet 
:
(1)
wenn es für jedes > 0 eine solche Zahl gibt N 0
= N 0 (), abhängig von , was 
bei N
> N 0 .
Diese Definition bedeutet das A Es gibt eine Grenze für eine Zahlenfolge, wenn ihr gemeinsamer Begriff unbegrenzt ist A mit ansteigender N. Geometrisch bedeutet dies, dass man für jedes > 0 eine solche Zahl finden kann N 0 , was, beginnend mit N > N 0 , alle Mitglieder der Sequenz liegen innerhalb des Intervalls ( A – , A+ ). Eine Folge mit einem Grenzwert wird aufgerufen konvergent; sonst - abweichend.
Eine Zahlenfolge kann nur einen Grenzwert (endlich oder unendlich) eines bestimmten Vorzeichens haben.
Beispiel 5
.
Harmonische Folge 
hat die Grenzzahl 0. Tatsächlich für jedes Intervall (–; +) als Zahl N 0 kann eine beliebige Ganzzahl größer als sein. Dann für alle N
> N 0 >wir haben 
Beispiel 6 . Die Folge 2, 5, 2, 5, ist divergent. Tatsächlich kann kein Intervall mit einer Länge von beispielsweise weniger als eins alle Mitglieder der Folge enthalten, beginnend mit einer bestimmten Zahl.
Die Sequenz wird aufgerufen begrenzt, falls eine solche Nummer existiert M, Was 
für alle N. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Jede monotone und beschränkte Folge hat einen Grenzwert. Jede konvergente Folge hat einen eindeutigen Grenzwert.
Beispiel 7
.
Folge 
nimmt zu und ist begrenzt. Sie hat eine Grenze 
=e.
Nummer e angerufen Euler-Zahl und ungefähr gleich 2,718 28.
Test 9 . Die Folge 1, 4, 9, 16, ist:
1) konvergent;
2) divergent;
3) begrenzt;
Test 10
.
Folge 
Ist:
1) konvergent;
2) divergent;
3) begrenzt;
4) arithmetische Folge;
5) geometrischer Verlauf.
Test 11
.
Folge 
ist nicht:
1) konvergent;
2) divergent;
3) begrenzt;
4) harmonisch.
Prüfen
12
.
Grenzwert einer durch einen gemeinsamen Term gegebenen Folge 
gleich.
Fortschritt des Unterrichts
- Zeit organisieren.
- Wiederholung von Funktionstypen.
- Vorbereitung auf die Wahrnehmung neuen Wissens.
- Neues Material lernen.
- Konsolidierung.
- Berühmte Sequenzen.
- Zusätzliche Aufgaben.
- Hausaufgaben.
- Zusammenfassung der Lektion.
Ausrüstung und Materialien.
- Arbeitsblatt für Schüler mit Unterrichtsplänen und Aktivitäten. Anhang 1.
- Blatt mit Hausaufgaben. Anlage 2.
- Multimedia-Projektor.
- Bildschirm.
1. Organisatorischer Moment.
Die Reihenfolge ist eines der grundlegendsten Konzepte der Mathematik. Die Folge kann aus Zahlen, Punkten, Funktionen, Vektoren usw. bestehen.
Heute lernen wir in der Lektion das Konzept der „Zahlenfolge“ kennen, erfahren, welche Folgen es geben kann und machen uns mit berühmten Folgen vertraut.
2. Wiederholung von Funktionstypen.
Sie kennen Funktionen, die auf dem gesamten Zahlenstrahl oder auf seinen stetigen Intervallen definiert sind:
(Funktionsgraphen werden auf den Präsentationsfolien angezeigt).
Geben Sie für jede Funktion den Definitionsbereich und die Methoden zur Spezifikation der Funktion an.
3. Vorbereitung auf die Wahrnehmung neuen Wissens.
Aber es gibt Funktionen, die auf anderen Mengen definiert sind.
Beispiel. In vielen Familien gibt es einen Brauch, eine Art Ritual: Am Geburtstag des Kindes bringen die Eltern es zum Türrahmen und markieren darauf feierlich die Größe des Geburtstagskindes. Das Kind wächst und im Laufe der Jahre erscheint eine ganze Reihe von Markierungen auf dem Pfosten. Drei, fünf, zwei: Das ist die Reihenfolge der Steigerungen von Jahr zu Jahr. Aber es gibt noch eine andere Sequenz, deren Mitglieder sorgfältig neben den Serifen ausgeschrieben sind. Dies ist eine Folge von Wachstumswerten. Präsentationsfolie.
Die beiden Sequenzen hängen miteinander zusammen.
Der zweite wird durch Addition aus dem ersten erhalten.
Das Wachstum ist die Summe der Zuwächse aller vergangenen Jahre.
Betrachten wir noch ein paar weitere Probleme.
Problem 1. Es sind 500 Tonnen Kohle im Lager, 30 Tonnen werden jeden Tag geliefert. Wie viel Kohle wird an einem Tag im Lager sein? Tag 2? Tag 3? Tag 4? Tag 5?
(Die Antworten der Schüler werden an die Tafel geschrieben: 500, 530, 560, 590, 620).
Aufgabe 2. Während einer Phase intensiven Wachstums wächst ein Mensch durchschnittlich 5 cm pro Jahr. Jetzt ist Student S. 180 cm groß. Wie groß wird er 2018 sein? (2m 30cm). Aber das kann nicht sein. Warum?
Problem 3. Jeden Tag kann jeder Grippekranke 4 Menschen in seiner Umgebung anstecken. In wie vielen Tagen werden alle Schüler unserer Schule (300 Personen) krank? (Nach 4 Tagen).
Dies sind Beispiele für Funktionen, die auf einer Menge natürlicher Zahlen – Zahlenfolgen – definiert sind.
Das Ziel der Lektion ist: Finden Sie Möglichkeiten, jedes Mitglied der Sequenz zu finden.
Lernziele: Erfahren Sie, was eine Zahlenfolge ist und wie Folgen definiert sind.
Neues Material lernen.
Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Funktion, die auf der Menge der natürlichen Zahlen definiert ist (Folie: Folgen stellen Elemente der Natur dar, die nummeriert werden können).
Das Konzept einer Zahlenfolge entstand und entwickelte sich lange vor der Entstehung der Funktionslehre. Hier sind Beispiele für unendliche Zahlenfolgen, die in der Antike bekannt waren:
1, 2, 3, 4, 5, : - Folge natürlicher Zahlen;
2, 4, 6, 8, 10, :- Folge gerader Zahlen;
1, 3, 5, 7, 9, : - Folge ungerader Zahlen;
1, 4, 9, 16, 25, : - Folge von Quadraten natürlicher Zahlen;
2, 3, 5, 7, 11, : - Reihenfolge Primzahlen;
1, , , , : – eine Folge von Zahlen, die zu den natürlichen Zahlen invers sind.
Die Anzahl der Mitglieder jeder dieser Reihen ist unendlich; Die ersten fünf Folgen sind monoton ansteigend, die letzte ist monoton fallend.
Bezeichnung: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, :
1, 2, 3, 4, 5, :n,:-Ordnungszahl des Sequenzmitglieds.
(y n) ist eine Folge, y n ist das n-te Mitglied der Folge.
(a n) ist eine Folge und n ist das n-te Mitglied der Folge.
und n-1 ist das vorherige Mitglied der Sequenz,
und n+1 ist das nächste Mitglied der Folge.
Folgen können endlich und unendlich sein, steigend und fallend.
Übung. Schreiben Sie die ersten 5 Terme der Folge auf:
Ab der ersten natürlichen Zahl um 3 erhöhen.
Ab 10 beträgt die Erhöhung das Zweifache und die Verringerung das Einfache.
Ab Nummer 6 abwechselnd um 2 erhöhen und um das Zweifache erhöhen.
Diese Zahlenreihe werden auch Zahlenfolgen genannt.
5. Berühmte Sequenzen:
Fibonacci-Zahlen. Anhang 3.
Pascals Dreieck. Anhang 3.
Lektion 2.
Eine Zahlenfolge gilt als gegeben, wenn eine Methode angegeben ist, die es erlaubt, ein Mitglied der Folge einer beliebigen Zahl zu finden.
1. Methoden zur Angabe von Sequenzen:
Verbal.
(y n) ist eine Folge natürlicher Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind.
(y p): 3, 6, 9, 12, 15, :
Tabellarisch.
Präsentationsfolie.
| P | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y n | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
Grafik.
Präsentationsfolie.
Analytisch.
Geben Sie die Formel für den n-ten Term der Folge an.
Wiederkehrend (von lateinisch - Komm zurück).
Dies ist eine Formel, die jedes Mitglied der Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen bis hin zu den vorherigen.
(y n = y n-1 + 3).
2. Konsolidierung.
mit n = . Schreiben Sie die ersten 5 Terme der Folge auf.
(Eine Person entscheidet jeweils an der Tafel, der Rest - in einem Notizbuch).
: 74, 81, 88, 95, 102, : Legen Sie die Formel für den n-ten Term fest.
(y n = y n-1 + 7).
Arbeitsbuch: S. 46, Nr. 38.
3. Zusätzliche Aufgaben.
Schreiben Sie die ersten fünf Terme der durch diese Beschreibung gegebenen Folge auf: Jeder Term der Sequenz ist um 1 größer als der entsprechende Term der Fibonacci-Reihe.
Schreiben Sie die ersten fünf Terme der Folge auf, gegebene Formel und n = (-3) n-1.
Schreiben Sie die ersten fünf Terme der rekursiv angegebenen Folge:
a 1 = 4, a n+1 = a n + 2.
Schreiben Sie die ersten fünf Terme der im Diagramm angegebenen Folge auf:
Hausaufgaben. Anlage 2.
Zusammenfassung der Lektion.
Wir haben uns also mit dem Konzept einer Sequenz und deren Definition befasst. Beantworten Sie die Fragen:
- Was ist eine Sequenz?
- Welche Arten von Sequenzen haben Sie erkannt?
- Welche Zuordnungsmethoden haben Sie gelernt?
- Von welchen Wissenschaftlern und ihren Arbeiten haben Sie erfahren?
Literatur.
1. Neun flache Penetrationen des Penis – nur die Eichel dringt in die Vagina ein; Eine tiefe Einführung – der gesamte Penis dringt in die Vagina ein. Die Frau seufzt, atmet schwer und Speichel sammelt sich in ihrem Mund. Stärkung der Lunge und des Dickdarms.
2. Acht flache Stöße, zwei tief. Eine Frau streckt ihre Zunge heraus, während ein Mann sie küsst. Die Sprache entspricht dem Haus des Herzens. Stärkung des Herzens und der Durchblutung, Aktivierung der sexuellen Energie.
3. Sieben flache Stöße, drei tief. Die Muskeln der Frau spannen sich an, sie umarmt den Mann und hält ihn mit beiden Händen. Magen/Milz/Bauchspeicheldrüse werden stimuliert und die Funktion des Verdauungstraktes aktiviert.
4. Sechs flache Stöße, vier tief. Die Vagina der Frau beginnt zu pulsieren, Wasser fließt und bedeckt den Penis. Der Energiekreislauf der Nieren und der Blase beginnt.
5. Fünf flache und fünf tiefe Stöße. Die Gliedmaßen und Gelenke einer Frau werden geschmeidig und flexibel. Sie beginnt, den Mann zu kratzen und zu beißen. Diese Stimulation stärkt die Knochen und fördert das Knochenmarkwachstum.
6. Vier flache Stöße, sechs tief. Der Körper der Frau zuckt wie eine Schlange. Sie schlingt ihre Arme und Beine um den Körper des Mannes und drückt ihn. Der Energiekreislauf von Leber, Gallenblase und Nerven beginnt.
7. Drei flache und sieben tiefe Stöße. Das Blut der Frau beginnt durch die Adern zu pulsieren, die Frau möchte den Mann an allen Stellen berühren und seinen Körper spüren. Die Aktivität des Herzens und des Blutkreislaufs erhöht sich, um die entferntesten Kapillaren mit Blut zu versorgen und zu erreichen Höchststufe Stimulation.
8. Zwei flache Stöße, acht tiefe. Die Muskeln der Frau entspannen sich vollständig. Sie beißt den Mann und greift an seine Brustwarzen. Durch diese Entspannung wird die Muskulatur der Frau am stärksten stimuliert.
9. Ein flacher Stoß, neun tiefe. Die Frau erreicht den intensivsten Orgasmus und entspannt sich völlig. Sie gibt sich völlig hin und öffnet sich dem Mann. Die Körper beider Partner sind mit Energie aufgeladen.
Städtische Bildungseinrichtung „Sekundarstufe“ allgemein bildende Schule
Mit vertiefendes Studium Einzelstücke Nr. 38"
Abteilung für EMV
Algebra-Unterrichtsnotizen 9. Klasse
Zu diesem Thema :
Durchgeführt von: Mathematiklehrer
Borisova N. A.
Unterrichtsthema: Zahlenfolge
Ziele:
Lehrreich: das Konzept der „numerischen Folge“, des „n-ten Mitglieds der Folge“ einführen; Führen Sie die Schüler in die Arten von Sequenzen und Möglichkeiten zur Zuweisung einer Sequenz ein.
Entwicklung: Entwicklung von Selbstständigkeit, gegenseitige Unterstützung bei der Arbeit in einer Gruppe; Entwicklung des Denkens und der Logik.
Lehrreich: Erziehung zu Aktivität und Genauigkeit.
Ausrüstung: Computer, PowerPoint-Präsentation, Unterrichtsmaterialien.
Während des Unterrichts:
Zeit organisieren
Eröffnungsrede des Lehrers.
Hallo Leute. Heute mBeginnen wir mit dem Studium eines der meisteninteressantAlgebra-Themen der 9. Klasse – „Zahlenfolgen“.(Gleiten)
In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept der „numerischen Folge“ vertraut, betrachten die Arten von Folgen und wie man sie definiert.
Notieren Sie Datum und Thema der Lektion in Ihren Notizbüchern -„Zahlenfolge“
Lass uns weitergehen zu mündliche Arbeit
Mündliche Arbeit.
Problem 1. Es sind 500 Tonnen Kohle im Lager, 30 Tonnen werden jeden Tag geliefert. Wie viel Kohle wird an einem Tag im Lager sein? Tag 2? Tag 3? Tag 4? Tag 5?
Aufgabe 2.IN Bevorzugte Umstände Bakterien vermehren sich so, dass innerhalb einer Minute eines von ihnen in zwei Teile geteilt wird. Wie viele Bakterien wird es in einer Kolonie geben, die in 4 Minuten aus einem Bakterium entsteht?
(Gleiten)
Um die Frage des Problems zu beantworten, mussten wir eine bestimmte Zahlenfolge erstellen
Um eine Zahlenfolge zu definieren und die folgenden Fragen zu beantworten, wenden wir uns dem Text des Lehrbuchs zu
3. Neues Material studieren.
Lesen Sie den Text des Absatzes und beantworten Sie die gestellten Fragen. ( Selbstständige Arbeit laut Lehrbuch)
Welche Ereignisse in unserem Leben passieren nacheinander? Nenne Beispiele.
Was ist eine Zahlenfolge?
Bezeichnung einer Zahlenfolge.
Welche Sequenzen gibt es?
Nennen Sie Möglichkeiten, eine Reihenfolge festzulegen.
(Gleiten)
Antworten:
1.Welche Ereignisse in unserem Leben passieren nacheinander? Nennen Sie Beispiele für solche Phänomene und Ereignisse.
Wochentage, Namen von Monaten, Alter einer Person, Bankkontonummer, der Wechsel von Tag und Nacht erfolgt nacheinander, die Geschwindigkeit des Autos erhöht sich nacheinander, Häuser auf der Straße werden nacheinander nummeriert usw.
2. Was ist eine Sequenz?
Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Funktion, die auf der Menge der natürlichen Zahlen definiert ist
Abschluss:
Zahlenfolge
1) Funktion
2) sein Definitionsbereich ist die Menge N.
3. Bezeichnung.
Arten von Sequenzen. Beispiele
Folgen können endlich und unendlich, steigend und fallend, monoton sein.
Aufgabe Nr. 1
(Gleiten)
Bestimmen Sie die Art der Sequenz
1) 1, 2, 3, 4, 5, : - Folge natürlicher Zahlen;
2) 2, 4, 6, 8, 10, :- Folge gerader Zahlen;
3) 1, 4, 9, 16, 25, : - Folge von Quadraten natürlicher Zahlen;
4) 2, 3, 5, 7, 11, : - Folge von Primzahlen;
5) - eine Folge von Zahlen, die zu den natürlichen Zahlen invers sind.
6) 1,2,3,4,6,8,12,24 – eine Folge von Zahlen, die Teiler der Zahl 24 sind
Methoden zum Festlegen einer Sequenz. Beispiele.
Eine Zahlenfolge gilt als gegeben, wenn eine Methode angegeben ist, die es erlaubt, ein Mitglied der Folge einer beliebigen Zahl zu finden.
- Verbal - Die Regel zum Zusammenstellen einer Sequenz wird durch eine verbale Beschreibung ausgedrückt.
Beispiele.
1) Folge von Primzahlen zweistellige Zahlen, weniger als 50, ja letzte Sequenz:
11, 13, 17, 19, 23, 29. 31, 37. 41, 43, 47;
2) Folge gerader Zahlen:
2,4,6,8,10…
(Gleiten)
- Tabellarisch.
P
1
2
3
4
5
A P
3
6
9
12
15
(Gleiten)
- Grafik.
Der Graph einer Folge als Funktion, die auf einer Menge natürlicher Zahlen definiert ist, sind einzelne, isolierte Punkte der Koordinatenebene.
Beispiele:
1) ReihenfolgeA N =3
N-2 kann als Funktion von y=3x-2 betrachtet werden, wobei
XN;
2) ReihenfolgeA N =
N 2
kann als Funktion y=x betrachtet werden 2
, wobei x N.
(Gleiten)
- Analytisch.
die Formel des n-ten Termes der Folge ist angegeben
Beispiel. Die Quadratfolge natürlicher Zahlen ergibt sich aus der Formel
A N = N 2
- Wiederkehrend ( von lat. WörterWiederholungen – „zurückkehren“) – es wird eine Regel angezeigt, mit der Sie rechnen können n. Semester einer gegebenen Folge, wenn alle ihre vorherigen Mitglieder bekannt sind.
Beispiel .
A 1 =1, a N =a n-1 ∙n,Wennn≥2.
Berechnen wir die ersten Terme dieser Folge:
1, 2, 6, 24, 120, … .
(Gleiten)
Fazit: Um eine Sequenz wiederkehrend anzugeben, müssen Sie:
1) ein oder zwei erste Glieder der Folge kennen
2) Geben Sie die Regel für die Berechnung der nächsten Mitglieder der Sequenz an
So kann die Zahlenfolge angegeben werden: verbal, analytisch, wiederkehrend, grafisch und tabellarisch
4.Historische Informationen
Berühmte Sequenzen
In der letzten Unterrichtsstunde erhielten 2 Schüler unserer Klasse die Aufgabe: Bereiten Sie mithilfe von Internetressourcen selbstständig eine Nachricht von und vorMathematikgeschichten über berühmte Sequenzen.
Der Boden ist gegeben...
Fibonacci-Zahlen. Anwendung
(Gleiten)
Pascals Dreieck. Anwendung
(Gleiten)
5. Festigung des Gelernten
(Eine Person löst jeweils an der Tafel, der Rest - in Notizbüchern).
№224(1,3,5)
1) A N = 2 N + 3; 3) A N = 100 – 10 N 2 ;
A 1 = 2 1 + 3 = 5; A 1 = 100 – 10 1 2 = 90;
A 2 = 2 2 + 3 = 7; A 2 = 100 – 10 2 2 = 60;
A 3 = 2 + 3 = 9. A 3 = 100 – 10 3 2 = 10.
5) ; A 1 = 1; A 2 = ; A 3 = .
Aufgabe(Gleiten)
Die Bälle werden in Form eines Dreiecks angeordnet, sodass sich in der ersten Reihe 1 Ball befindet, in der zweiten 2 Bälle, in der dritten 3 usw. Wie viele Kugeln werden benötigt, um ein Dreieck aus 3 Reihen, 5 Reihen, 7 Reihen zu bilden?
Das ist interessant!
Zahlenfolgen in der Literatur
(Gleiten)
Auch in der Literatur begegnen wir mathematische Konzepte! Erinnern wir uns also an die Zeilen aus „Eugen Onegin“.
... Er konnte nicht vom Trochäus jamben,
Egal wie sehr wir versuchten zu unterscheiden...
Jambisch - Das poetisches Metrum mit Betonung auf geraden Silben 2; 4; 6; 8...Zimmer betonte Silben Bilden Sie eine Zahlenfolge mit dem ersten Term 2.
Trochäus - Dies ist ein poetisches Versmaß mit Schwerpunkt auf den ungeraden Silben des Verses. Die Zahlen der betonten Silben bilden eine Zahlenfolge: 1; 3; 5; 7...
Beispiele
Jambisch
„Mein Onkel hat die ehrlichsten Regeln …“
Reihenfolge: 2; 4; 6; 8...
Trochäus
„Ich bin verloren wie ein Tier im Gehege“
Folge1; 3; 5; 7...
7. Testen Überprüfungsarbeiten
1. Die Reihenfolge ergibt sich aus der FormelA N =5 N+2. Was ist sein dritter Term?
a) 3 b)17
c) 12 d) 22
2. Schreiben Sie die ersten fünf Terme der durch die Formel gegebenen Folge aufA N = N8. Zusammenfassung.
Also machten wir uns mit dem Konzept einer Zahlenfolge vertraut und suchten nach Möglichkeiten, es zu definieren.
Beantworten Sie die Fragen:
Was ist eine Sequenz?
Welche Arten von Sequenzen haben Sie erkannt?
Welche Zuordnungsmethoden haben Sie gelernt?
Von welchen Wissenschaftlern und ihren Arbeiten haben Sie erfahren?
Hausaufgaben :
KapitelIVAbsatz 17 Nr. 224 (gerade), Nr. 226
Einige lineare Gleichungen haben eine Form, die einer gewöhnlichen Proportion sehr ähnlich ist. Betrachten Sie beispielsweise die folgende Gleichung.
Um eine Gleichung mit Proportionen zu lösen, verwenden Sie die Proportionsregel oder, wie sie auch genannt wird, die Kreuzregel.
Das Konzept der Proportionen haben wir in der Lektion „Proportionen“ ausführlich besprochen. In dieser Lektion werden wir uns nur an die wichtigsten Punkte erinnern, die dafür notwendig sind Gleichungen mit Proportionen lösen.
Proportionsregel oder Kreuzregel
Das Produkt der extremen Terme einer Proportion ist gleich dem Produkt der mittleren Terme.
Eine andere Möglichkeit, die obige Regel zu formulieren, ist wie folgt: Wenn Sie ein Kreuz über eine Proportion zeichnen, dann sind die Produkte der Terme der Proportion, die an den Enden des Kreuzes liegen, gleich.
Kehren wir zu unserer Gleichung zurück. Lösen wir es mit der Proportionsregel. Zeichnen wir ein Kreuz über die Proportionen.
Nach der Proportionsregel (Kreuzregel) schreiben wir nun die Proportionen in Form der Gleichheit der Produkte der Extrem- und Mittelterme der Proportionen.
Erinnern wir uns an die Divisionsregel und Lasst uns die Gleichung lösen bis zum Ende. Vergessen Sie bei der Antwort nicht, den ganzen Teil des Bruchs hervorzuheben.
Schauen wir uns ein weiteres Beispiel einer Gleichung mit Proportionen an.
Diese Gleichung kann auch mit der Proportionsregel gelöst werden.
Wenn ein Proportionalterm ein „+“- oder „−“-Zeichen enthält, achten Sie darauf, diesen Proportionalterm in Klammern zu setzen, bevor Sie die Proportionsregel verwenden.
Wenn Sie einen solchen Anteilsbegriff nicht in Klammern setzen, dann mit wahrscheinlicher Machen Sie einen Fehler, wenn Sie die Proportionsregel anwenden.
Nachdem wir den Proportionalterm „(2 − x)“ eingeklammert haben, verwenden wir zur weiteren Lösung die Proportionsregel.
Öffnen wir nun die Klammern mit der Regel zum Öffnen von Klammern.
Aus der Lektion „Lineare Gleichungen lösen“ verwenden wir die Übersetzungsregel und die Divisionsregel für Gleichungen.
Vergessen wir beim Teilen durch nicht eine negative Zahl, verwenden Sie die Vorzeichenregel.
Manchmal können Gleichungen mit Proportionen wie folgt dargestellt werden:
Um die Anwendung der Proportionsregel (Kreuzregel) zu erleichtern, müssen Sie die ursprüngliche Gleichung in einer allgemeinen Proportionsform aufschreiben.
Dazu müssen Sie bedenken, dass das Divisionszeichen „:“ durch einen Bruchstrich ersetzt werden kann.
Was ist Proportion?
Hier sehen wir uns an, was Proportionen sind, wie die Proportionen heißen und welche Haupteigenschaft die Proportionen haben.
Anteil ist die Gleichheit zweier Beziehungen.
Mit Buchstaben wird das Verhältnis wie folgt geschrieben:
Sie lauten: „a ist zu b wie c zu d“ oder „das Verhältnis von a zu b ist gleich dem Verhältnis von c zu d.“
Die Zahlen a und d heißen die Extremglieder der Proportion, die Zahlen b und c heißen die Mittelglieder der Proportion:
Dabei sind 4,8 und 1,2 die Extremwerte des Verhältnisses, 1,6 und 3,6 die Mittelwerte des Verhältnisses.
Dabei sind 2,1 und 6 die Extremwerte des Verhältnisses, 8,4 und 1,5 die Mittelwerte des Verhältnisses.
Die Haupteigenschaft der Proportionen:
Das Produkt der extremen Terme einer Proportion ist gleich dem Produkt seiner mittleren Terme.
Es folgt dem
Wenn wir also in einer Proportion die Extrem- oder Mittelterme vertauschen, erhalten wir neue korrekte Proportionen.
Proportion ist Gleichheit. Wenn diese Gleichheit eine Variable enthält, deren Wert gefunden werden muss, dann handelt es sich um eine Gleichung. Wir schauen uns beim nächsten Mal an, wie man Proportionen löst.
Darüber hinaus werden Proportionen zur Lösung einiger Probleme verwendet. Insbesondere Proportionen erleichtern die Lösung von Prozentproblemen erheblich. Später werden wir uns auch mit der Lösung von Problemen mithilfe von Proportionen befassen.
Geometrische Proportion
370. Aber wenn die Mengen drin sind geometrisch Proportionen, arbeiten seine äußersten Glieder sind gleich dem Produkt ihrer mittleren Glieder.
Wenn a:b = c:d, ad = bc
Gemäß der Annahme (Artikel 341, 359.) $\frac =\frac $
Multiplikation mit bd, (Axiom 3.) $\frac =\frac $
Vereinfachen wir die Brüche, ad = bc.
Also 12:8 = 15:10, also 12*10 = 8*15.
Relevant: Beliebig Faktor kann von einem übertragen werden durchschnittliche Größe zu einem anderen, ohne das Verhältnis zu beeinflussen. Wenn a:mb = x:y, dann a:b = mx:y. In diesem Fall ist das Produkt der Durchschnittswerte in beiden Fällen gleich. Und wenn na:b = x:y, dann a:b = x:ny.
371. Wenn andererseits das Produkt zweier Größen gleich dem Produkt zweier anderer ist, dann bilden die vier Größen ein Verhältnis, in dem sie so gruppiert werden, dass eine Seite der Gleichung die Mittelglieder und die enthält andere die extremen Begriffe.
Wenn my = nh, dann m:n = h:y, also $\frac =\frac $
Wenn wir also my = nh durch ny dividieren, erhalten wir $\frac =\frac $
Vereinfacht man die Brüche, $\frac =\frac $.
Bzw. Das Gleiche sollte auch für gelten irgendwelche Multiplikatoren, die die beiden Seiten der Gleichheit bilden.
Wenn (a + b).c = (d - m).y, dann a + b:d - m = y:c.
372. Wenn drei die Mengen proportional sind, dann ist das Produkt ihrer Extremwerte gleich Quadrat Durchschnitt. Somit sind auch der zweite Term des ersten Paares und der vorherige Term des letzten Paares proportional. (Art. 366.) Daher müssen sie mit multipliziert werden ich selbst, also kariert.
Wenn a:b = b:c, dann ergibt die Multiplikation des Extrem- und Mittelterms ac = b 2.
Somit, durchschnittlich proportional Es können zwei Größen gefunden werden Extraktion Quadratwurzel von ihrer Arbeit.
Wenn a:x = x:c, dann ist x 2 = ac und x√ ac.
373. Aus dem Artikel. 370 Daraus folgt, dass das Verhältnis eines der Extremterme gleich dem Produkt der Durchschnittswerte dividiert durch den anderen Extremterm ist. Und eines der mittleren Mitglieder gleich dem Produkt extreme Mitglieder geteilt durch ein anderes mittleres Mitglied.
1. Wenn a:b = c:d, dann ad = bc
2. Teilen Sie durch d, $a=\frac $
3. Teilen Sie zunächst durch c, $b=\frac $
4. Teilen Sie dies durch b, $c=\frac $
5. Division durch a, $d=\frac $ ; Das bedeutet es
vierte Begriff ist gleich das Produkt aus dem zweiten und dem dritten geteilt durch das erste.
Dieses Prinzip liegt den einfachen Proportionen der Arithmetik zugrunde, die oft als „Proportionen“ bezeichnet werden Dreifache Regel. Um die vierte zu ermitteln, werden drei Zahlen angegeben, die man erhält, indem man die zweite mit der dritten multipliziert und durch die erste dividiert.
374. Die Aussage über die Produkte von Mittel- und Extremtermen liefert ein sehr einfaches und praktisches Kriterium für die Bestimmung, ob vier beliebige Größen proportional sind. Wir müssen nur die Mittel- und Extremterme multiplizieren. Wenn die Produkte gleich sind, sind die Mengen proportional. Wenn die Produkte nicht gleich sind, sind die Mengen nicht proportional.
375.V mathematische Forschung Wenn Verhältnisse mehrerer Größen angegeben werden, werden diese häufig in Form einer Proportion definiert. In der Regel ist es jedoch erforderlich, dass dieses erste Verhältnis eine Reihe von Transformationen durchläuft, bevor die unbekannte Größe oder Aussage, die wir beweisen möchten, klar zum Vorschein kommt. Es können Änderungen vorgenommen werden, die die Gleichheit der Beziehungen nicht beeinträchtigen oder das Produkt der Durchschnittsterme offenbaren gleich dem Produkt extrem.
Zunächst einmal ist es offensichtlich, dass sich jede Änderung ändert Anordnung, was die Gleichheit dieser beiden Produkte nicht beeinträchtigt, die Proportionen nicht zerstört. Wenn also a:b = c:d, dann kann die Reihenfolge dieser Größen variieren, was in jedem Fall zu ad = bc führt. Von hier,
376. Wenn vier Größen proportional sind, dann ist die Reihenfolge Die mittleren Elemente oder die äußersten Elemente oder die Elemente beider Paare können invertiert werden, ohne dass die Proportionen zerstört werden.
Wenn a:b = c:d,
Und 12:8 = 6:4
Dann
1. Umkehrung der Mittelbegriffe,
a:c = b:d
12:6 = 8:4
also
Erste Es bezieht sich auf dritte
Wie zweite Zu vierte.
Mit anderen Worten: die Einstellung bisherige Mitglieder gleich dem Verhältnis anschließend.
Diese Umkehrung der Mittelglieder wird in der Geometrie oft als bezeichnet Wechsel.
2. Extreme Begriffe umkehren,
d:b = c:a
4:8 = 6:12
also,
Vierte bezieht sich auf zweite,
Wie dritte Zu Erste.
3. Umkehren der Terme jedes Paares,
b:a = d:c
8:12 = 4:6
also,
Zweite Es bezieht sich auf Erste,
Wie vierte Zu dritte.
Technisch heißt es Umkehrung.
Jedes davon kann auch durch Änderung der Reihenfolge variieren zwei Paare. (Art. 365.)
Bzw. Befehl der ganze Anteil kann invertiert werden.
Wenn a:b = c:d, dann d:c = b:a.
In jedem dieser Fälle wird sofort klar, dass wir durch die Berechnung der Produkte des Mittel- und Extremterms ad = bc und 12,4 = 8,6 erhalten.
Nur für Mitglieder eins von Paaren werden invertiert, dann wird das Verhältnis umkehren. (Artikel 367.)
Wenn a:b = c:d, dann verhält sich a zu b, das Gegenteil von d zu c.
377. Der Standortunterschied besteht nicht der Einzige Wechsel, der in Bezug auf die Mitglieder der Proportion erzeugt wird. Es ist oft notwendig, zu multiplizieren, zu dividieren, zu potenzieren usw. In allen Fällen besteht die Kunst der Forschung darin, einige Änderungen vorzunehmen und dabei das Verhältnis der ersten beiden und der letzten beiden Terme konstant aufrechtzuerhalten. Beim Lösen einer Gleichung müssen wir Gleichheit wahren Parteien, wobei der Anteil variiert wird, um die Gleichheit aufrechtzuerhalten Verhältnisse. Und dies wird entweder durch die Aufrechterhaltung der Beziehungen erreicht das gleiche, wie beim Wechsel Mitglieder, entweder steigend oder fallend eins aus den Beziehungen genauso viel wie die anderen. Die meisten der folgenden Beweise zielen darauf ab, dieses Prinzip klar zu identifizieren und es damit vertraut zu machen. Einige der Aussagen lassen sich mehr beweisen auf einfache Weise, vielleicht durch Multiplikation der Extrem- und Mittelterme. Dies wird jedoch kein klares Verständnis vermitteln Natur einige Änderungen in den Proportionen.
Es hat sich gezeigt, dass wenn beide Mitglieder eines Paares werden mit demselben Betrag multipliziert oder dividiert, dann bleibt ihr Verhältnis gleich (Art. 355). Also multiplizieren vorheriges Mitglied (Vorgänger) erscheint im multiplizierten Verhältnis und die Division des nachfolgenden Termes (konsequent) - in der Division des Verhältnisses. (Art. 352.) und das Folgende zeigen diese Multiplikation konsequent erscheint in der Division des Verhältnisses und seine Division im Produkt des Verhältnisses. (Art. 353.) Da die Verhältnisse im Verhältnis gleich sind, sind sie auch dann gleich, wenn sie mit demselben Betrag multipliziert oder dividiert werden (Axiom. 3). Das eine wird erhöht oder verringert, genau wie das andere. Von hier,
378. Wenn vier Größen proportional sind, können zwei ähnliche oder homologe Terme mit derselben Größe multipliziert oder dividiert werden, ohne das Verhältnis zu verletzen.
Wenn ähnlich Terme werden multipliziert oder dividiert, ihre Verhältnisse ändern sich nicht. (Artikel 355.) Wenn homolog Die Terme werden multipliziert oder dividiert, beide Anteile werden gleichermaßen erhöht oder verringert. (Artikel 352, 353.)
Wenn a:b = c:d, dann gilt:
1. Multiplikation der ersten beiden Terme, ma:mb = c:d
2. Multiplikation der letzten beiden Terme, a:b = mc:md
3. Multiplikation der ersten beiden Terme (Antezedens), ma:b = mc:d
4. Multiplikation der letzten beiden Terme (konsequent), a:mb = c:md
5. Division der ersten beiden Terme, $\frac:\frac =c:d$
6. Division der letzten beiden Terme, $a:b=\frac:\frac $
7. Division der beiden Antezedenzien, $\frac:b=\frac:d$ a/m:b = c/m:d
8. Division zweier Konsequenzen, $a:\frac =c:\frac $ a:b/m = c:d/m.
Folge. 1. Alle Terme können mit demselben Betrag multipliziert oder dividiert werden.
ma:mb = mc:md, $\frac:\frac =\frac:\frac $.
Folge. 2. In jedem Fall kann in diesem Artikel die Multiplikation der Konsequenzen durch die Division der Antezedenzien desselben Paares und die Division der Konsequenzen durch die Multiplikation der Antezedenzien ersetzt werden. (Art. 354, ff.) 
379. Es ist oft notwendig, nicht nur die Proportionen zu ändern und ihre Anordnung zu ändern, sondern auch Vergleichen Sie ein Verhältnis mit einem anderen. Aus diesem Vergleich ergibt sich oft neu der Anteil, der notwendig sein kann, um ein Problem zu lösen oder mit einem Beweis fortzufahren. Einer der wichtigsten Fälle, wenn zwei Terme mit demselben Verhältnis verglichen werden genau solche wie zwei ineinander. Ähnliche Mitglieder können verschwinden, Und neuer Anteil Aus den übrigen vier Mitgliedern kann ein Vorstand gebildet werden. Also,
380. Wenn zwei Verhältnisse jeweils gleich dem dritten sind, dann sind sie auch untereinander gleich.
Dies ist nichts anderes als das 11. Axiom, angewendet auf Beziehungen.
1. Wenn a:b = m:n
Und c:d = m:n
dann a:b = c:d,oder a:c = b:d. (Artikel 376.)
2. Wenn a:b = m:n
Und m:n = c:d
dann a:b = c:d,oder a:c = b:d.
Schiene. Wenn a:b = m:n
m:n > c:d
dann a:b > c:d.
Wenn also das m:n-Verhältnis größer als c:d ist, dann zeigt dies, dass das a:b-Verhältnis, das gleicht Das m:n-Verhältnis ist ebenfalls größer als das c:d-Verhältnis.
381. In diesen Beispielen gibt es zwei ähnliche Begriffe mit zwei Proportionen Erste und zwei neueste. Und die Reihenfolge spielt keine Rolle. Die Reihenfolge der Mitglieder kann geändert werden verschiedene Wege ohne die Gleichheit der Verhältnisse zu beeinträchtigen.
1. Es können zwei gleichartige Mitglieder vorhanden sein Vorgänger, oder zwei folgerichtig in jedem Verhältnis. Auf diese Weise,
Wenn m:a = n:b
Und m:c = n:d
Dann
Alternativ, m:n = a:b
Und m:n = c:d
Daher a:b = c:d, oder a:c = b:d, gemäß dem letzten Absatz.
2. Vorgeschichte in einem Verhältnis kann dasselbe sein wie Konsequenzen zum anderen.
Wenn m:a = n:b
Und c:m = d:n
Sich verfestigend und abwechselnd a:b = m:n
Abwechselnd c:d = m:n:
Also a:b und so weiter wie zuvor.
3. Zwei homolog Mitglieder in einem der Anteile können gleich zwei sein ähnlich Mitglieder in einem anderen.
Wenn a:m = b:n
und c:d = m:n
Abwechselnd a:b = m:n
Und c:d = m:n
Daher a:b und so weiter.
Das sind alles Beispiele Gleichwertigkeit zwischen Verhältnissen in einem Verhältnis und Verhältnissen in einem anderen. In der Geometrie wird die Annahme, zu der sie gehören, üblicherweise als „ ex aequo"oder " ex aequali"(ziemlich). Der zweite Fall in diesem Artikel entspricht am ehesten Euklids Erklärung. Aber beide sind sich im selben Grundsatz einig und werden oft unterschiedslos angesprochen.
382. Eine beliebige Anzahl von Proportionen kann auf ähnliche Weise verglichen werden, wenn die ersten beiden oder letzten beiden Terme in jeder vorherigen Proportion mit den ersten beiden und letzten beiden Termen in der nachfolgenden Proportion identisch sind.
Also wenn a:b = c:d
Und c:d = h:l
Und h:l = m:n
Und m:n = x:y
dann a:b = x:y.
Das heißt, die ersten beiden Terme der ersten Proportion haben das gleiche Verhältnis wie die letzten beiden Terme der letzten Proportion. Dies zeigt, dass das Verhältnis alle gleichmäßig dämpfen.
Und wenn die Mitglieder nicht in der gleichen Reihenfolge wie hier sind, kann es sein, dass sie es sind vereinfacht Zu diese Art gilt das gleiche Prinzip.
also wenn a:c = b:d
Und c:h = d:l
Und h:m = l:n
Und m:x = n:y
dann abwechselnd
a:b = c:d
c:d = h:l
h:l = m:n
m:n = x:y.
Also a:b = x:y, wie zuvor.
In allen Beispielen in diesem und früheren Artikeln stehen zwei Begriffe im gleichen Verhältnis gleichberechtigte Mitglieder im anderen sind keine zwei mittlere Mitglieder, nicht zwei extreme Mitglieder, sondern ein Mittel- und ein Extremterm, woraus folgt, dass das Verhältnis homogen ist und kontinuierlich.
383. Wenn aber die beiden mittleren oder zwei extremen Terme in einem Verhältnis die gleichen sind wie die mittleren und extremen Terme in einem anderen, dann sind es auch die übrigen vier Terme zueinander proportional.
Wenn a:m = n:b
Und c:m = n:d
dann a:c = $\frac :\frac $, oder a:c = d:b
Für ab = mn
Und cd = mn
(Art. 370) Daher ist ab = cd und a:c = d:b.
IN in diesem Beispiel die beiden mittleren Glieder in einem Verhältnis sind die gleichen wie im anderen. Aber das Prinzip wird dasselbe sein, wenn extreme Mitglieder nicht gleich sind oder wenn die Extremwerte einer Proportion nicht gleich den Mittelwerten einer anderen sind.
Wenn m:a = b:n
Und m:c = d:n
dann a:c = d:b.
Oder wenn a:m = n:b
Und m:c = d:n
dann a:c = d:b.
Ein Satz der Geometrie, der gilt in in diesem Fallüblicherweise bezeichnet als „ ex aequo stören“(wirklich verwirrend).
384. Eine andere Möglichkeit, die Proportionen der Mitglieder zu variieren, ist Zusatz oder Subtraktion.
Wenn zwei andere Größen, die im gleichen Verhältnis stehen, von zwei homologen Termen einer Proportion subtrahiert oder addiert werden, bleibt die Proportion wahr.
Das Verhältnis ändert sich nicht, wenn Sie ein weiteres dazu addieren oder davon subtrahieren gleich Verhältnis. (Art. 357.)
Wenn a:b = c:d
Und a:b = m:n
Wenn wir dann Terme mit gleichem m:n-Verhältnis zu a und b addieren oder davon subtrahieren, erhalten wir
a+m:b+n = c:d und a-m:b-n = c:d.
Und wenn wir m und n zu c und d addieren oder davon subtrahieren, erhalten wir:
a:b = c+m:d+n und a:b = c-m:d-n.
Hier erfolgt die Addition und Subtraktion hin und her ähnlich Mitglieder. Aber im Wechsel (Artikel 376) werden diese Mitglieder sein homolog, und wir werden bekommen,
a+m:c = b+n:d und a-m:c = b-n:d.
Schiene. 1. Dieser Nachtrag kann gelten für irgendeine Nummer gleiche Verhältnisse.
Also, wenn
a:b = c:d
a:b = h:l
a:b = m:n
a:b = x:y
Dann ist a:b = c+h+m+x:d+l+n+y.
Schiene. 2. Wenn a:b = c:d
Und m:b = n:d
dann a+m:b = c+n:d.
Alternativ a:c = b:d
Und m:n = b:d
auf diese Weise
a+m:c+n = b:d
oder a+m:b = c+n:d.
385. Von letzter Artikel Daraus folgt, dass Terme in irgendeinem Verhältnis addiert oder subtrahiert werden gegenseitig, Das,
Wenn ähnliche und homologe Terme zu den beiden anderen addiert oder subtrahiert werden, bleibt das Verhältnis erhalten.
Wenn also a:b = c:d und 12:4 = 6:2, dann,
1. Hinzufügen zwei neueste Mitglied zu zwei Erste.
a+c:b+d = a:b 12+6:4+2 = 12:4
und a+c:b+d = c:d 12+6:4+2 = 6:2
oder a+c:a = b+d:b 12+6:12 = 4+2:4
und a+c:c = b+d:d 12+6:6 = 4+2:2.
2. falten zwei Vorgänger mit zwei Konsequenzen.
a+b:b = c+d:d 12+4:4 = 6+2:2
a+b:a = c+d:c usw. 12+4:12 = 6+2:6 usw.
Das heißt Komposition.
3. Wegnehmen zwei Erste Mitglied von zwei neueste.
c-a:a = d-b:b
c-a:c = d-b:d usw.
4. Wegnehmen zwei neueste Mitglied von zwei Erste.
a-c:b-d = a:b
a-c:b-d = c:d usw.
5. Wegnehmen Konsequenzen aus Vorgeschichte.
a-b:b = c-d:d
a:a-b = c:c-d usw.
Die im letzten Formular gezeigte Transformation wird aufgerufen Konvertierung.
6. Wegnehmen Vorgeschichte aus Konsequenzen.
b-a:a = d-c:c
b:b-a = d:d-c usw.
7. Durch Addieren und Subtrahieren
a+b:a-b = c+d:c-d.
Das heißt, die Summe der ersten beiden Terme verhält sich zu ihrer Differenz, ebenso wie die Summe der letzten beiden zu ihrer Differenz.
Schiene. Wenn komplexe Größen, die wie in den vorherigen Beispielen angeordnet sind, proportional sind, dann einfache Mengen, aus denen sie bestehen, sind ebenfalls proportional.
Wenn also a+b:b = c+d:d, dann ist a:b = c:d.
Das heißt Nach Teilung.
386. Wenn die entsprechenden Begriffe aus zwei oder mehr Ziffern proportionaler Größen bestehen multiplizieren zueinander, dann ist das Produkt auch proportional.
Das gemischt Verhältnisse (Artikel 347) oder gemischte Anteile. Sie müssen in der Lage sein, dies von dem zu unterscheiden, was so genannt wird Komposition, welches ist Zusatz Bedingungen des Verhältnisses. (Artikel 385.2.)
Wenn a:b = c:d 12:4 = 6:2
Und h:l = m:n 10:5 = 8:4
Dann ist ah:bl = cm:dn 120:20 = 48:8.
Aufgrund der Proportionsdefinition sind die beiden Verhältnisse der ersten Kategorie gleich, ebenso die Verhältnisse der zweiten Kategorie. Und die Multiplikation der entsprechenden Terme ist die Multiplikation der Verhältnisse (Art. 352 bzw.), also die Multiplikation gleich gleich(Axiom. 3.), also werden die Verhältnisse immer noch gleich sein, und daher müssen alle vier Produkte proportional sein.
Der gleiche Beweis gilt für beliebig viele Proportionen.
Wenn
a:b = c:d
h:l = m:n
p:q = x:y
Dann ahp:blq = cmx:dny.
Daraus folgt, dass, wenn die Bedingungen des Verhältnisses mit multipliziert werden sich, das heißt, wenn sie werden bis zu einem gewissen Grad angehoben, dann sind sie immer noch proportional.
Wenn a:b = c:d 2:4 = 6:12
a:b = c:d 2:4 = 6:12
Dann a 2:b 2 = c 2:d 2 4:16 = 36:144
Proportionale Mengen auch erhalten rückwärts fahren dieser Vorgang, also das Berechnen Wurzeln Mitglieder des Anteils.
Wenn a: b:: c: d, dann √ a:√ b = √ c:√ d.
Durch Multiplikation der mittleren und extremen Terme ergibt sich ad = bc
Und wenn man die Wurzel beider Seiten zieht, ist √ ad = √ bc
Das heißt (Art. 254, 371) √ a:√ b = √ c:√ d .
Von hier,
387. Wenn einige Größen proportional sind, dann sind die Produkte, die daraus entstehen, sie zu Kräften zu erheben oder Wurzeln zu schlagen, proportional.
Wenn a:b = c:d
Dann ist a n:b n = c n:d n und m √ a: m √ b = m √ c: m √ d .
Und m √ a n: m √ b n = m √ c n:√ d n , also a m/n:b m/n = c m/n:d m/n .
388. Wenn Mitglieder den gleichen Proportionsrang haben teilen zu den entsprechenden Begriffen einer anderen Kategorie, dann sind die Quotienten proportional.
Dies wird manchmal genannt Entscheidung Verhältnisse.
Wenn a:b = c:d 12:6 = 18:9
Und h:l = m:n 6:2 = 9:3
Dann $\frac:\frac =\frac:\frac $$\frac:\frac =\frac:\frac $.
Das ist einfach Reversion Prozess im Artikel. 386, und kann auf ähnliche Weise bewiesen werden.
Man muss dies von dem unterscheiden können, was man in der Geometrie nennt Aufteilung, welches ist durch Subtraktion Bedingungen des Verhältnisses. (Art. 385 bzw.)
389. In komplexen gemischten Proportionen, gleiche Faktoren
oder Trennwände zwei ähnliche oder homologe Mitglieder sein können abgelehnt.
Wenn
a:b = c:d 12:4 = 9:3 b, c > d
A
6.1.1. Anteil. Grundeigenschaft der Proportionen
Die Gleichheit zweier Verhältnisse nennt man Proportion.
Thema: „Einstellung“ wurde in der vorherigen Lektion („6.1. Einstellung“) besprochen.
a: b = c: d. Das ist ein Verhältnis. Lesen: A Dies gilt für B, Wie C Es bezieht sich auf D. Zahlen A Und D angerufen extrem Proportionen und Zahlen B Und C – Durchschnitt Mitglieder des Anteils.
Beispiel für Proportionen: 1 2: 3 = 16: 4 . Dies ist die Gleichheit zweier Verhältnisse: 12:3= 4 und 16:4= 4 . Sie lesen: Zwölf ist zu drei, sechzehn zu vier. Hier sind 12 und 4 die Extremwerte des Verhältnisses und 3 und 16 die Mittelglieder des Verhältnisses.
Die Haupteigenschaft der Proportionen.
Das Produkt der extremen Terme einer Proportion ist gleich dem Produkt seiner mittleren Terme.
Für Proportionen a: b = c: d oder a/b = c/d Die Haupteigenschaft wird wie folgt geschrieben: a·d = b·c.
Für unser Verhältnis 12:3 = 16:4 wird die Haupteigenschaft wie folgt geschrieben: 12·4 = 3·16. Es stellt sich heraus wahre Gleichheit: 48=48 .
Um den unbekannten Extremwert einer Proportion zu ermitteln, müssen Sie das Produkt der Mittelwerte der Proportion durch den bekannten Extremwert dividieren.
Beispiele. Finden Sie den unbekannten Extremwert des Anteils.
1) x: 20 = 2: 5. Wir haben X Und 5 sind die extremen Ausdrücke des Verhältnisses, und 20 Und 2 - Durchschnitt.
Lösung.
x = (20 2):5- Sie müssen die durchschnittlichen Terme multiplizieren ( 20 Und 2 ) und dividiere das Ergebnis durch den bekannten Extremterm (die Zahl). 5 );
x = 40:5- Produkt aus durchschnittlichen Laufzeiten ( 40 ) dividiere durch den bekannten Extremterm ( 5 );
x = 8. Wir haben den erforderlichen Extremwert des Anteils erhalten.
Es ist bequemer, die Bestimmung des unbekannten Termes einer Proportion mithilfe eines gewöhnlichen Bruchs aufzuschreiben. So würde das von uns betrachtete Beispiel dann geschrieben werden:
Der erforderliche Extremwert des Anteils ( X) ist gleich dem Produkt der durchschnittlichen Terme ( 20
Und 2
), geteilt durch den bekannten Extremterm ( 5
).
Wir reduzieren den Bruch um 5 (Teilen durch 5 X.
Wenn Sie vergessen haben, wie man gewöhnliche Brüche reduziert, wiederholen Sie das Thema: „5.4.2. Beispiele für die Reduzierung gemeinsamer Brüche“
Weitere Beispiele zum Finden des unbekannten Extremwerts einer Proportion.
Um den unbekannten Mittelwert einer Proportion zu ermitteln, müssen Sie das Produkt der Extremwerte des Anteils durch den bekannten Mittelwert dividieren.
Beispiele. Finden Sie den unbekannten Mittelwert des Anteils.
5) 9: x = 3: 14. Nummer 3 - die bekannte durchschnittliche Laufzeit eines bestimmten Anteils, einer bestimmten Zahl 9 Und 14 - extreme Mitglieder der Proportion.
Lösung.
x = (9·14):3 - Multiplizieren Sie die Extremwerte des Verhältnisses und dividieren Sie das Ergebnis durch den bekannten Mittelwert des Verhältnisses.
x= 136:3;
Die Lösung zu diesem Beispiel kann anders geschrieben werden:
Die gewünschte durchschnittliche Laufzeit des Anteils ( X) ist gleich dem Produkt der Extremterme ( 9 Und 14 ), dividiert durch die bekannte durchschnittliche Laufzeit ( 3 ).
Wir reduzieren den Bruch um 3 (Teilen durch 3 sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchs). Den Wert finden X.
Weitere Beispiele für die Ermittlung des unbekannten Mittelwerts einer Proportion.
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Proportionen lösen
Schauen wir uns die Lösung von Proportionen anhand konkreter Beispiele an.
Gleichungen mit Proportionen lösen:
1) 25:x=10:18
Dabei ist x der unbekannte Mittelterm des Anteils. Um den unbekannten Mittelterm des Verhältnisses zu ermitteln, dividieren Sie das Produkt der Extremterme durch den bekannten Mittelterm:
25 und 10 werden um 5 reduziert. Dann werden 18 und 2 um 2 reduziert.
Dabei ist y der unbekannte Extremwert des Anteils. Um den unbekannten Extremwert des Verhältnisses zu ermitteln, dividieren Sie das Produkt der Mittelwerte durch den bekannten Extremwert:
Beim Lösen von Proportionen mit Dezimalstellen Es ist praktisch, die Grundeigenschaft eines Bruchs zu nutzen, um Berechnungen zu vereinfachen.
Um den unbekannten Mittelterm des Anteils zu ermitteln, dividieren Sie das Produkt der Extremterme durch den bekannten Mittelterm des Anteils:
Im Zähler nach dem Dezimalpunkt in gesamt zwei Zeichen, ein Nenner. Wenn wir also sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 100 multiplizieren, erhalten wir einen Bruch, der dem angegebenen Bruchteil entspricht. Im Zähler verteilen wir die Multiplikation mit 100 wie folgt: Wir multiplizieren jeden der Faktoren mit 10. Im Nenner multiplizieren wir 0,6 mit 10 und multiplizieren das Ergebnis mit 10:
Wir reduzieren 24 und 6 um 6, 10 und 45 um 5:
Wir reduzieren noch einmal 4 und 2 um 2:
Proportionen lösen mit gewöhnliche Brüche Und gemischte Zahlen Es ist bequemer, es auf einer Linie zu schreiben.
Um den unbekannten Extremwert des Verhältnisses zu ermitteln, dividieren Sie das Produkt der Mittelwerte durch den bekannten Extremwert:
Bei der Entscheidung mehr komplexe Proportionen Es ist praktisch, die Grundeigenschaft der Proportionen direkt zu verwenden.
Das Produkt der extremen Terme einer Proportion ist gleich dem Produkt der mittleren Terme:
Hier ist es zweckmäßig, die Gleichung zu vereinfachen, indem man beide Seiten durch 5 dividiert:
Das Produkt der extremen Terme einer Proportion ist gleich dem Produkt seiner mittleren Terme:
Um die Berechnungen zu vereinfachen, ist es zweckmäßig, jede Seite der Gleichung mit 10 zu multiplizieren:
Das - Lineargleichung. Unbekannte – in die eine Richtung, Bekannte – in die andere, die ihre Vorzeichen ändern:
Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch die Zahl vor dem X.
