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Zahlenfolgen 9. Zahlenfolgen. Probleme zu Zahlenfolgen zur unabhängigen Lösung

Mathematische Ausdrücke und Aufgaben erfordern viel zusätzliches Wissen. NOC ist eines der Hauptthemen und wird besonders oft in verwendet. Das Thema wird in der Oberstufe studiert und es ist nicht besonders schwer, den Stoff zu verstehen; es wird für eine Person, die mit Potenzen und Multiplikationstabellen vertraut ist, nicht schwer sein, ihn zu identifizieren erforderliche Zahlen und entdecken Sie das Ergebnis.

Definition

Ein gemeinsames Vielfaches ist eine Zahl, die gleichzeitig vollständig in zwei Zahlen (a und b) teilbar ist. Am häufigsten wird diese Zahl durch Multiplikation erhalten Originalnummern A und B. Die Zahl muss ohne Abweichungen durch beide Zahlen gleichzeitig teilbar sein.

NOC ist die akzeptierte Bezeichnung kurzer Name, gesammelt aus den Anfangsbuchstaben.

Möglichkeiten, eine Nummer zu erhalten

Die Methode der Multiplikation von Zahlen eignet sich nicht immer zum Ermitteln des kgV; für einfache einstellige oder zweistellige Zahlen ist sie viel besser geeignet. Es ist üblich, in Faktoren zu unterteilen; je größer die Zahl, desto mehr Faktoren gibt es.

Beispiel 1

Im einfachsten Beispiel verwenden Schulen normalerweise Primzahlen, ein- oder zweistellige Zahlen. Sie müssen sich zum Beispiel entscheiden nächste Aufgabe Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 7 und 3. Die Lösung ist ganz einfach: Multiplizieren Sie sie einfach. Infolgedessen gibt es eine Zahl 21, es gibt einfach keine kleinere Zahl.

Beispiel Nr. 2

Die zweite Variante der Aufgabe ist deutlich schwieriger. Angegeben sind die Nummern 300 und 1260, die Ermittlung des LOC ist zwingend erforderlich. Zur Lösung des Problems werden folgende Maßnahmen angenommen:

Zerlegung der ersten und zweiten Zahl in einfache Faktoren. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Die erste Etappe ist abgeschlossen.

Im zweiten Schritt wird mit bereits gewonnenen Daten gearbeitet. Jede der erhaltenen Zahlen muss an der Berechnung des Endergebnisses beteiligt sein. Für jeden Faktor wird die größte Anzahl an Vorkommen aus den ursprünglichen Zahlen entnommen. NOC ist Gesamtzahl Daher müssen die Faktoren aus den Zahlen darin wiederholt werden, jeder einzelne, auch diejenigen, die in einer Kopie vorhanden sind. Beide Anfangszahlen enthalten die Zahlen 2, 3 und 5, in verschiedene Grade, 7 liegt nur in einem Fall vor.

Um das Endergebnis zu berechnen, müssen Sie jede Zahl mit der größten Potenz in die Gleichung einbeziehen. Es bleibt nur noch zu multiplizieren und die Antwort zu erhalten; bei richtiger Ausfüllung gliedert sich die Aufgabe ohne Erklärung in zwei Schritte:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Das ist das ganze Problem, wenn man versucht zu rechnen die richtige Nummer Durch Multiplikation wird die Antwort definitiv nicht richtig sein, da 300 * 1260 = 378.000.

Untersuchung:

6300 / 300 = 21 - richtig;

6300 / 1260 = 5 - richtig.

Die Richtigkeit des erhaltenen Ergebnisses wird durch Überprüfung festgestellt – Division des LCM durch beide Originalzahlen; ist die Zahl in beiden Fällen eine ganze Zahl, dann ist die Antwort richtig.

Was bedeutet NOC in der Mathematik?

Wie Sie wissen, gibt es in der Mathematik keine einzige nutzlose Funktion, diese ist keine Ausnahme. Der häufigste Zweck dieser Zahl besteht darin, Brüche auf zu reduzieren gemeinsamer Nenner. Was normalerweise in den Klassen 5-6 gelernt wird weiterführende Schule. Auch zusätzlich ist gemeinsamer Teiler für alle Vielfachen, wenn solche Bedingungen im Problem vorhanden sind. Ähnlicher Ausdruck kann Vielfache nicht nur von zwei Zahlen finden, sondern auch von viel mehr mehr- drei, fünf und so weiter. Wie mehr Zahlen- diese mehr Aktion in der Aufgabe, die Komplexität erhöht sich dadurch jedoch nicht.

Wenn Sie beispielsweise die Zahlen 250, 600 und 1500 haben, müssen Sie deren gemeinsame LCM ermitteln:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 – dieses Beispiel beschreibt die Faktorisierung im Detail, ohne Reduktion.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Um einen Ausdruck zu verfassen, müssen alle Faktoren angegeben werden, in diesem Fall sind es 2, 5, 3 – für alle diese Zahlen muss der maximale Grad bestimmt werden.

Achtung: Alle Faktoren müssen möglichst vollständig vereinfacht und auf die Ebene einzelner Ziffern zerlegt werden.

Untersuchung:

1) 3000 / 250 = 12 - richtig;

2) 3000 / 600 = 5 – wahr;

3) 3000 / 1500 = 2 - richtig.

Diese Methode erfordert keine Tricks oder Fähigkeiten auf Genieniveau, alles ist einfach und klar.

Ein anderer Weg

In der Mathematik sind viele Dinge miteinander verbunden, viele Dinge können auf zwei oder mehr Arten gelöst werden, das Gleiche gilt für die Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, LCM. Nächste Methode kann bei einfachen zweistelligen und verwendet werden einstellige Zahlen. Es wird eine Tabelle erstellt, in die der Multiplikand vertikal, der Multiplikator horizontal eingetragen und das Produkt in den sich überschneidenden Zellen der Spalte angegeben wird. Sie können die Tabelle anhand einer Linie widerspiegeln, eine Zahl nehmen und die Ergebnisse der Multiplikation dieser Zahl mit ganzen Zahlen von 1 bis unendlich aufschreiben, manchmal reichen 3-5 Punkte, die zweite und die folgenden Zahlen durchlaufen den gleichen Rechenvorgang. Alles passiert, bis ein gemeinsames Vielfaches gefunden wird.

Angesichts der Zahlen 30, 35, 42 müssen Sie das LCM finden, das alle Zahlen verbindet:

1) Vielfache von 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 usw.

2) Vielfache von 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 usw.

3) Vielfache von 42: 84, 126, 168, 210, 252 usw.

Es fällt auf, dass alle Zahlen recht unterschiedlich sind, die einzige gemeinsame Zahl zwischen ihnen ist 210, es wird sich also um die NOC handeln. Unter den mit dieser Berechnung verbundenen Prozessen gibt es auch den größten gemeinsamer Teiler, das nach ähnlichen Prinzipien berechnet wird und häufig in benachbarten Problemen zu finden ist. Der Unterschied ist gering, aber durchaus signifikant. Beim LCM wird eine Zahl berechnet, die durch alle Daten teilbar ist Anfangswerte, und GCD umfasst die Berechnung Höchster Wert durch die die ursprünglichen Zahlen dividiert werden.

Mit dem Online-Rechner können Sie schnell den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache für zwei oder eine beliebige andere Anzahl von Zahlen ermitteln.

Rechner zum Finden von GCD und LCM

Finden Sie GCD und LOC

GCD und LOC gefunden: 5806

So verwenden Sie den Rechner

Geben Sie Zahlen in das Eingabefeld ein
Wenn Sie falsche Zeichen eingeben, wird das Eingabefeld rot hervorgehoben
Klicken Sie auf die Schaltfläche „GCD und LOC suchen“.

So geben Sie Zahlen ein

Zahlen werden durch ein Leerzeichen, einen Punkt oder ein Komma getrennt eingegeben
Die Länge der eingegebenen Nummern ist nicht begrenzt, also finden Sie GCD und LCD lange Zahlen es wird nicht schwierig sein

Was sind GCD und NOC?

Größter gemeinsamer Teiler mehrere Zahlen ist die größte natürliche ganze Zahl, durch die alle ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar sind. Der größte gemeinsame Teiler wird mit abgekürzt GCD.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches Mehrere Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch jede der ursprünglichen Zahlen ohne Rest teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache wird mit abgekürzt NOC.

Wie kann man überprüfen, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl teilbar ist?

Um herauszufinden, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere teilbar ist, können Sie einige Eigenschaften der Teilbarkeit von Zahlen nutzen. Durch Kombinieren können Sie dann die Teilbarkeit einiger von ihnen und ihrer Kombinationen überprüfen.

Einige Anzeichen für die Teilbarkeit von Zahlen

1. Teilbarkeitstest für eine Zahl durch 2
Um festzustellen, ob eine Zahl durch zwei teilbar ist (ob sie gerade ist), genügt ein Blick auf die letzte Ziffer dieser Zahl: Wenn sie gleich 0, 2, 4, 6 oder 8 ist, dann ist die Zahl gerade. was bedeutet, dass es durch 2 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 2 teilbar ist.
Lösung: ansehen letzte Ziffer: 8 bedeutet, dass die Zahl durch zwei teilbar ist.

2. Teilbarkeitstest für eine Zahl durch 3
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch drei teilbar ist. Um also festzustellen, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, müssen Sie die Summe der Ziffern berechnen und prüfen, ob sie durch 3 teilbar ist. Auch wenn die Summe der Ziffern sehr groß ist, können Sie den gleichen Vorgang noch einmal wiederholen.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 3 teilbar ist.
Lösung: Wir zählen die Summe der Zahlen: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 3 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch drei teilbar ist.

3. Teilbarkeitstest für eine Zahl durch 5
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer Null oder Fünf ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 5 teilbar ist.
Lösung: Schauen Sie sich die letzte Ziffer an: 8 bedeutet, dass die Zahl NICHT durch fünf teilbar ist.

4. Teilbarkeitstest für eine Zahl durch 9
Dieses Zeichen ist dem Zeichen der Teilbarkeit durch drei sehr ähnlich: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern durch 9 teilbar ist.
Beispiel: Bestimmen Sie, ob die Zahl 34938 durch 9 teilbar ist.
Lösung: Wir zählen die Summe der Zahlen: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ist durch 9 teilbar, was bedeutet, dass die Zahl durch neun teilbar ist.

So finden Sie GCD und LCM zweier Zahlen

So finden Sie den ggT zweier Zahlen

Am meisten auf einfache Weise Die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen besteht darin, alle möglichen Teiler dieser Zahlen zu finden und den größten davon auszuwählen.

Betrachten wir diese Methode am Beispiel der Suche nach GCD(28, 36):

Wir faktorisieren beide Zahlen: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Wir finden übliche Faktoren, das heißt diejenigen, die beide Zahlen haben: 1, 2 und 2.
Wir berechnen das Produkt dieser Faktoren: 1 2 2 = 4 – das ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 28 und 36.

So finden Sie den LCM zweier Zahlen

Es gibt zwei gängige Methoden, um das kleinste Vielfache zweier Zahlen zu ermitteln. Die erste Methode besteht darin, die ersten Vielfachen zweier Zahlen aufzuschreiben und dann daraus eine Zahl auszuwählen, die beiden Zahlen gemeinsam und gleichzeitig die kleinste ist. Und die zweite besteht darin, den gcd dieser Zahlen zu ermitteln. Betrachten wir es nur.

Um den LCM zu berechnen, müssen Sie das Produkt der ursprünglichen Zahlen berechnen und es dann durch den zuvor ermittelten GCD dividieren. Finden wir das LCM für die gleichen Zahlen 28 und 36:

Finden Sie das Produkt der Zahlen 28 und 36: 28·36 = 1008
GCD(28, 36) ist, wie bereits bekannt, gleich 4
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Finden von GCD und LCM für mehrere Zahlen

Der größte gemeinsame Teiler kann für mehrere Zahlen ermittelt werden, nicht nur für zwei. Dazu werden die zu findenden Zahlen für den größten gemeinsamen Teiler in Primfaktoren zerlegt und anschließend das Produkt gemeinsamer Faktoren ermittelt Primfaktoren diese Nummern. Sie können auch die folgende Beziehung verwenden, um den gcd mehrerer Zahlen zu ermitteln: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Eine ähnliche Beziehung gilt für das kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Beispiel: Finden Sie GCD und LCM für die Nummern 12, 32 und 36.

Lassen Sie uns zunächst die Zahlen faktorisieren: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Finden wir die gemeinsamen Faktoren: 1, 2 und 2.
Ihr Produkt ergibt GCD: 1·2·2 = 4
Finden wir nun das LCM: Dazu ermitteln wir zunächst das LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Das NOC von jedem finden drei Zahlen, müssen Sie GCD(96, 36) finden: 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2·2·3 = 12 .
LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Betrachten wir die Lösung nächste Aufgabe. Der Schritt des Jungen beträgt 75 cm und der des Mädchens 60 cm. Es gilt, den kleinsten Abstand zu finden, bei dem beide eine ganze Zahl von Schritten zurücklegen.

Lösung. Der gesamte Weg, den die Kinder zurücklegen, muss durch 60 und 70 teilbar sein, da jedes Kind eine ganzzahlige Anzahl an Schritten zurücklegen muss. Mit anderen Worten: Die Antwort muss ein Vielfaches von 75 und 60 sein.

Zuerst schreiben wir alle Vielfachen der Zahl 75 auf. Wir erhalten:

75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Schreiben wir nun die Zahlen auf, die ein Vielfaches von 60 sind. Wir erhalten:

60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Jetzt finden wir die Zahlen, die in beiden Zeilen stehen.

Gemeinsame Vielfache von Zahlen wären 300, 600 usw.

Die kleinste davon ist die Zahl 300. Sie ist in in diesem Fall wird das kleinste gemeinsame Vielfache von 75 und 60 genannt.

Um auf den Zustand des Problems zurückzukommen: Die kleinste Distanz, über die die Jungs eine ganzzahlige Anzahl von Schritten zurücklegen, beträgt 300 cm. Der Junge wird diesen Weg in 4 Schritten zurücklegen, und das Mädchen muss 5 Schritte machen.

Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von zwei natürliche Zahlen a und b heißt das kleinste natürliche Zahl, was ein Vielfaches von a und b ist.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu finden, ist es nicht notwendig, alle Vielfachen dieser Zahlen hintereinander aufzuschreiben.

Sie können die folgende Methode verwenden.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache

Zuerst müssen Sie diese Zahlen in Primfaktoren zerlegen.

60 = 2*2*3*5,
75=3*5*5.

Schreiben wir nun alle Faktoren auf, die in der Entwicklung der ersten Zahl (2,2,3,5) enthalten sind, und fügen wir dazu alle fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der zweiten Zahl (5) hinzu.

Als Ergebnis erhalten wir die Serie Primzahlen: 2,2,3,5,5. Das Produkt dieser Zahlen ist der kleinste gemeinsame Faktor für diese Zahlen. 2*2*3*5*5 = 300.

Allgemeines Schema zum Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

1. Teilen Sie Zahlen in Primfaktoren.
2. Notieren Sie die Primfaktoren, die zu einem von ihnen gehören.
3. Fügen Sie zu diesen Faktoren alle hinzu, die in der Erweiterung der anderen, aber nicht im ausgewählten Faktor enthalten sind.
4. Finden Sie das Produkt aller angegebenen Faktoren.

Diese Methode ist universell. Es kann verwendet werden, um das kleinste gemeinsame Vielfache einer beliebigen Anzahl natürlicher Zahlen zu ermitteln.

Viele natürliche Zahlen sind aber auch durch andere natürliche Zahlen teilbar.

Zum Beispiel:

Die Zahl 12 ist durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12 teilbar;

Die Zahl 36 ist durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36 teilbar.

Man nennt die Zahlen, durch die die Zahl durch ein Ganzes teilbar ist (für 12 sind das 1, 2, 3, 4, 6 und 12). Teiler von Zahlen. Teiler einer natürlichen Zahl A- ist eine natürliche Zahl, die teilt angegebene Nummer A ohne jede Spur. Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, heißt zusammengesetzt .

Bitte beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Faktoren haben. Diese Zahlen sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12. Der gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen A Und B- Dies ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen ohne Rest geteilt werden A Und B.

Gemeinsame Vielfache Mehrere Zahlen ist eine Zahl, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. Zum Beispiel, die Zahlen 9, 18 und 45 haben ein gemeinsames Vielfaches von 180. Aber auch 90 und 360 sind ihre gemeinsamen Vielfachen. Unter allen gemeinsamen Vielfachen gibt es immer ein kleinstes, in diesem Fall ist es 90. Diese Zahl heißt das kleinstegemeinsames Vielfaches (CMM).

Die LCM ist immer eine natürliche Zahl, die größer sein muss als die größte der Zahlen, für die sie definiert ist.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM). Eigenschaften.

Kommutativität:

Assoziativität:

Insbesondere wenn und Koprimzahlen sind, dann gilt:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier ganzer Zahlen M Und N ist ein Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen M Und N. Darüber hinaus die Menge der gemeinsamen Vielfachen m, n stimmt mit der Menge der Vielfachen des LCM( überein m, n).

Die Asymptotik für kann durch einige zahlentheoretische Funktionen ausgedrückt werden.

Also, Tschebyscheff-Funktion. Und auch:

Dies ergibt sich aus der Definition und den Eigenschaften der Landau-Funktion g(n).

Was folgt aus dem Gesetz der Primzahlverteilung?

Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM).

NOC( a, b) kann auf verschiedene Arten berechnet werden:

1. Wenn der größte gemeinsame Teiler bekannt ist, können Sie seinen Zusammenhang mit dem LCM nutzen:

2. Die kanonische Zerlegung beider Zahlen in Primfaktoren sei bekannt:

Wo p 1 ,...,p k- verschiedene Primzahlen und d 1 ,...,d k Und e 1 ,...,e k– nichtnegative ganze Zahlen (sie können Nullen sein, wenn die entsprechende Primzahl nicht in der Erweiterung enthalten ist).

Dann NOC ( A,B) wird nach der Formel berechnet:

Mit anderen Worten: Die LCM-Zerlegung enthält alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlenzerlegungen enthalten sind a, b, und der größte der beiden Exponenten dieses Multiplikators wird genommen.

Beispiel:

Die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen kann auf mehrere aufeinanderfolgende Berechnungen des LCM zweier Zahlen reduziert werden:

Regel. Um den LCM einer Zahlenreihe zu ermitteln, benötigen Sie:

- Zahlen in Primfaktoren zerlegen;

- Übertragen Sie die größte Erweiterung (das Produkt der Faktoren des gewünschten Produkts) in die Faktoren des gewünschten Produkts große Zahl aus den gegebenen) und fügen Sie dann Faktoren aus der Entwicklung anderer Zahlen hinzu, die in der ersten Zahl nicht oder seltener vorkommen;

— Das resultierende Produkt der Primfaktoren ist das kgV der gegebenen Zahlen.

Zwei oder mehr natürliche Zahlen haben ihr eigenes LCM. Wenn die Zahlen keine Vielfachen voneinander sind oder in der Entwicklung nicht die gleichen Faktoren haben, ist ihr kgV gleich dem Produkt dieser Zahlen.

Die Primfaktoren der Zahl 28 (2, 2, 7) werden mit dem Faktor 3 (der Zahl 21) ergänzt, das resultierende Produkt ist (84). die kleinste Zahl, die durch 21 und 28 teilbar ist.

Die Primfaktoren der größten Zahl 30 werden durch den Faktor 5 der Zahl 25 ergänzt, das resultierende Produkt 150 ist größer als die größte Zahl 30 und durch alle teilbar gegebene Zahlen ohne jede Spur. Das am wenigsten Produkt der möglichen (150, 250, 300...), zu denen alle gegebenen Zahlen Vielfache sind.

Die Zahlen 2,3,11,37 sind Primzahlen, daher ist ihr kgV gleich dem Produkt der gegebenen Zahlen.

Regel. Um den kgV von Primzahlen zu berechnen, müssen Sie alle diese Zahlen miteinander multiplizieren.

Andere Option:

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1) Stellen Sie jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren dar, zum Beispiel:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) Schreiben Sie die Potenzen aller Primfaktoren auf:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) Notieren Sie alle Primteiler (Multiplikatoren) jeder dieser Zahlen;

4) Wählen Sie den höchsten Grad jeder dieser Zahlen, der in allen Erweiterungen dieser Zahlen zu finden ist;

5) Multiplizieren Sie diese Kräfte.

Beispiel. Finden Sie den LCM der Zahlen: 168, 180 und 3024.

Lösung. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Wir schreiben die größten Potenzen aller Primteiler auf und multiplizieren sie:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Größter gemeinsamer Teiler

Definition 2

Wenn eine natürliche Zahl a durch eine natürliche Zahl $b$ teilbar ist, dann heißt $b$ Teiler von $a$ und $a$ heißt Vielfaches von $b$.

Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen. Die Zahl $c$ wird als gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ bezeichnet.

Die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist endlich, da keiner dieser Teiler größer als $a$ sein kann. Das bedeutet, dass es unter diesen Teilern einen größten gibt, der als größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$ bezeichnet wird und durch die folgende Notation bezeichnet wird:

$GCD\(a;b)\ oder \D\(a;b)$

Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, benötigen Sie:

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

Beispiel 1

Finden Sie den ggT der Zahlen $121$ und $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Wählen Sie die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$GCD=2\cdot 11=22$

Beispiel 2

Finden Sie den ggT der Monome $63$ und $81$.

Wir werden nach dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür:

Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Wir wählen die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Lassen Sie uns das Produkt der in Schritt 2 ermittelten Zahlen ermitteln. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

$GCD=3\cdot 3=9$

Sie können den ggT zweier Zahlen auf andere Weise ermitteln, indem Sie eine Reihe von Teilern von Zahlen verwenden.

Beispiel 3

Finden Sie den ggT der Zahlen $48$ und $60$.

Lösung:

Finden wir die Menge der Teiler der Zahl $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Finden wir nun die Menge der Teiler der Zahl $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right$ $

Finden wir den Schnittpunkt dieser Mengen: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ – diese Menge bestimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $48$ und $60 $. Größtes Element in gegebener Satz die Zahl beträgt 12 $. Das bedeutet, dass der größte gemeinsame Teiler der Zahlen $48$ und $60$ $12$ ist.

Definition von NPL

Definition 3

Gemeinsame Vielfache natürlicher Zahlen$a$ und $b$ ist eine natürliche Zahl, die ein Vielfaches von $a$ und $b$ ist.

Gemeinsame Vielfache von Zahlen sind Zahlen, die ohne Rest durch die ursprünglichen Zahlen teilbar sind. Beispielsweise sind für die Zahlen 25 $ und 50 $ die gemeinsamen Vielfachen die Zahlen 50.100, 150.200 $ usw.

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches bezeichnet und mit LCM$(a;b)$ oder K$(a;b).$ bezeichnet

Um den LCM zweier Zahlen zu ermitteln, müssen Sie:

Faktorisieren Sie Zahlen in Primfaktoren
Schreiben Sie die Faktoren auf, die Teil der ersten Zahl sind, und addieren Sie dazu die Faktoren, die Teil der zweiten, aber nicht Teil der ersten Zahl sind

Beispiel 4

Finden Sie den LCM der Zahlen $99$ und $77$.

Wir werden nach dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür

Faktorisieren Sie Zahlen in Primfaktoren

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Schreiben Sie die im ersten Schritt enthaltenen Faktoren auf

Fügen Sie ihnen Multiplikatoren hinzu, die Teil des zweiten und nicht Teil des ersten sind

Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Das Zusammenstellen von Listen mit Teilern von Zahlen ist oft eine sehr arbeitsintensive Aufgabe. Es gibt eine Möglichkeit, GCD zu finden, den sogenannten Euklidischen Algorithmus.

Aussagen, auf denen der Euklidische Algorithmus basiert:

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind und $a\vdots b$ ist, dann ist $D(a;b)=b$

Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind, so dass $b

Mit $D(a;b)= D(a-b;b)$ können wir die betrachteten Zahlen sukzessive reduzieren, bis wir ein Zahlenpaar erreichen, bei dem eine von ihnen durch die andere teilbar ist. Dann ist die kleinere dieser Zahlen der gewünschte größte gemeinsame Teiler für die Zahlen $a$ und $b$.