می تواند مثلث قائم الزاویه باشد. راست گوشه. ببینید "مثلث قائم الزاویه" در سایر لغت نامه ها چیست

سمت آرا می توان به عنوان شناسایی کرد در مجاورت زاویه Bو مخالف زاویه A، و کنار ب- چگونه در مجاورت زاویه Aو مخالف زاویه B.

انواع مثلث قائم الزاویه

• اگر طول همه سه طرفیک مثلث قائم الزاویه اعداد صحیح هستند، سپس مثلث نامیده می شود مثلث فیثاغورثی ، و طول اضلاع آن را تشکیل می دهد به اصطلاح سه گانه فیثاغورثی.

خواص

ارتفاع

ارتفاع مثلث قائم الزاویه.

نسبت های مثلثاتی

اجازه دهید ساعتو س (ساعت>س) اضلاع دو مربع که در یک مثلث قائم الزاویه با هیپوتانوس محاط شده اند ج. سپس:

محیط مثلث قائم الزاویه برابر با مجموعشعاع دایره های محاطی و سه دایره محاط شده.

یادداشت

پیوندها

• وایستاین، اریک دبلیو.مثلث راست (انگلیسی) در وب سایت Wolfram MathWorld.
• Wentworth G.A.کتاب درسی هندسه. - Ginn & Co.، 1895.

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید "مثلث قائم الزاویه" در فرهنگ های دیگر چیست:

راست گوشه- - موضوعات صنعت نفت و گاز EN مثلث قائم الزاویه ... راهنمای مترجم فنی

و (ساده) مثلث، مثلث، انسان. 1. شکل هندسی که با سه خط متقاطع که سه خط را تشکیل می دهند محدود شده است گوشه های داخلی(حصیر). مثلث مات. مثلث حاد. راست گوشه.… … فرهنگ لغتاوشاکووا

مستطیل، مستطیل، مستطیل (ژئوم.). داشتن زاویه قائمه (یا زاویه راست). راست گوشه. اشکال مستطیلی. فرهنگ لغت توضیحی اوشاکوف. D.N. اوشاکوف. 1935 1940 ... فرهنگ توضیحی اوشاکوف

این اصطلاح معانی دیگری دارد، مثلث (معانی) را ببینید. مثلث (در فضای اقلیدسی) است شکل هندسی، توسط سه بخش تشکیل شده است که سه نقطه را که روی یک خط مستقیم قرار ندارند به هم متصل می کند. سه نقطه،... ... ویکی پدیا

مثلث- ▲ چند ضلعی با سه زاویه، یک مثلث، ساده ترین چند ضلعی. با 3 نقطه که روی یک خط قرار ندارند تعریف می شود. مثلثی زاویه حاد. حاد زاویه دار مثلث قائم الزاویه: ساق هیپوتنوئوس. مثلث متساوی الساقین. ▼…… فرهنگ لغت ایدئوگرافیکزبان روسی

مثلث، هو، شوهر. 1. شکل هندسی، چند ضلعی با سه زاویه و همچنین هر شی یا وسیله ای به این شکل. تی مستطیل شکل (برای طراحی). T. سرباز (نامه سرباز بدون پاکت، در گوشه ای تا شده؛ تاشو). 2... فرهنگ توضیحی اوژگوف

مثلث (چند ضلعی)- مثلث: 1 حاد، مستطیل و منفرد. 2 منظم (متساوی الاضلاع) و متساوی الساقین؛ 3 نیمساز؛ 4 میانه و مرکز ثقل؛ 5 ارتفاع؛ 6 اورتوسنتر; 7 خط وسط. مثلث، چند ضلعی با 3 ضلع. گاهی زیر...... فرهنگ لغت دایره المعارف مصور

فرهنگ لغت دایره المعارفی

مثلث- آ؛ m 1) الف) شکل هندسی که توسط سه خط متقاطع محدود شده است که سه زاویه داخلی را تشکیل می دهند. مستطیل، مثلث متساوی الساقین. مساحت مثلث را محاسبه کنید. ب) ott. چی یا با دف شکل یا جسمی به این شکل... ... فرهنگ لغت بسیاری از عبارات

آ؛ m 1. شکل هندسی محدود شده توسط سه خط متقاطع که سه زاویه داخلی را تشکیل می دهند. مستطیل، متساوی الساقین، مساحت مثلث را محاسبه کنید. // what یا با دف. شکل یا شیئی به این شکل. T. سقف ها. ت.…… فرهنگ لغت دایره المعارفی

سطح متوسط

راست گوشه. راهنمای کامل مصور (2019)

راست گوشه. سطح اول.

در مشکلات، زاویه راست اصلا ضروری نیست - پایین سمت چپ، بنابراین باید یاد بگیرید که مثلث قائم الزاویه را در این شکل تشخیص دهید.

و در این

و در این

مثلث قائم الزاویه چه چیز خوبی دارد؟ خوب... اول از همه، خاص وجود دارد نام های زیبابرای پهلوهایش

به نقاشی توجه کنید!

به یاد داشته باشید و اشتباه نگیرید: دو پا وجود دارد و تنها یک هیپوتونوز وجود دارد(یک و تنها، منحصر به فرد و طولانی ترین)!

خوب، ما در مورد نام ها بحث کرده ایم، اکنون مهمترین چیز: قضیه فیثاغورث.

قضیه فیثاغورس.

این قضیه کلید حل بسیاری از مسائل مربوط به مثلث قائم الزاویه است. فیثاغورث آن را کاملاً ثابت کرد زمان بسیار قدیم، و از آن زمان به بعد او برای کسانی که او را می شناسند سود زیادی به ارمغان آورده است. و بهترین چیز در مورد آن این است که ساده است.

بنابراین، قضیه فیثاغورس:

این لطیفه را به خاطر دارید: "شلوار فیثاغورثی از هر طرف برابر است!"؟

بیایید همین ها را بکشیم شلوار فیثاغورثیو بیایید به آنها نگاه کنیم.

شبیه شورت نیست؟ خوب، در کدام طرف و در کجا برابر هستند؟ چرا و این شوخی از کجا آمده است؟ و این لطیفه دقیقاً با قضیه فیثاغورث یا به طور دقیق تر با روشی که فیثاغورث خود قضیه اش را صورت بندی کرد مرتبط است. و آن را اینگونه بیان کرد:

"مجموع مناطق مربع، ساخته شده بر روی پاها، برابر است با مساحت مربع، ساخته شده بر روی هیپوتنوز."

آیا واقعاً کمی متفاوت به نظر می رسد؟ و بنابراین، هنگامی که فیثاغورث بیانیه قضیه خود را ترسیم کرد، این دقیقاً همان تصویری است که ظاهر شد.

در این تصویر مجموع مساحت مربع های کوچک برابر با مساحت مربع بزرگ است. و برای اینکه بچه ها بهتر به یاد بیاورند که مجموع مربع های پاها برابر با مربع هیپوتونوس است، یک نفر شوخ طبع این شوخی را در مورد شلوار فیثاغورثی مطرح کرد.

چرا اکنون قضیه فیثاغورث را فرموله می کنیم؟

آیا فیثاغورث رنج کشید و در مورد مربع صحبت کرد؟

ببینید در زمان های قدیم... جبر وجود نداشت! هیچ نشانه ای و غیره وجود نداشت. هیچ کتیبه ای وجود نداشت. آیا می توانید تصور کنید چقدر وحشتناک بود که دانش آموزان بیچاره باستانی همه چیز را با کلمات به خاطر بسپارند؟؟! و ما می توانیم خوشحال باشیم که داریم جمله بندی سادهقضیه فیثاغورس. بیایید دوباره آن را تکرار کنیم تا بهتر به خاطر بسپاریم:

الان باید راحت باشه:

مربع هیپوتانوس برابر است با مجموع مربع های پاها.

خوب، مهم ترین قضیه در مورد مثلث قائم الزاویه بحث شده است. اگر به چگونگی اثبات آن علاقه دارید سطوح تئوری زیر را بخوانید و اکنون به ادامه مطلب می پردازیم. جنگل تاریک... مثلثات! به کلمات وحشتناک سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه.

در واقع، همه چیز اصلاً ترسناک نیست. البته، تعریف واقعی سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت باید در مقاله مورد بررسی قرار گیرد. اما من واقعاً نمی خواهم، نه؟ ما می توانیم خوشحال باشیم: برای حل مسائل مربوط به یک مثلث قائم الزاویه، می توانید به سادگی موارد ساده زیر را پر کنید:

چرا همه چیز فقط در گوشه است؟ گوشه کجاست؟ برای درک این موضوع، باید بدانید که عبارات 1 تا 4 چگونه در کلمات نوشته می شوند. نگاه کن، بفهم و به خاطر بسپار!

1.
در واقع به نظر می رسد این است:

در مورد زاویه چطور؟ آیا پایی وجود دارد که مقابل گوشه باشد، یعنی پای مخالف (برای یک زاویه)؟ البته دارند! این یک پا است!

در مورد زاویه چطور؟ با دقت نگاه کن. کدام پا در مجاورت گوشه است؟ البته پا این بدان معنی است که برای زاویه، پا مجاور است، و

حالا، توجه کن! ببین چی گرفتیم:

ببین چقدر باحاله:

حال به سراغ مماس و کتانژانت می رویم.

حالا چگونه می توانم این را با کلمات بنویسم؟ ساق نسبت به زاویه چیست؟ البته برعکس - روبروی گوشه "نهفته است". در مورد پا چطور؟ مجاور گوشه. پس ما چه داریم؟

ببینید چگونه صورت و مخرج جای خود را عوض کرده اند؟

و حالا دوباره گوشه ها و رد و بدل شد:

خلاصه

بیایید به طور خلاصه همه چیزهایی را که یاد گرفتیم بنویسیم.

قضیه فیثاغورس:

قضیه اصلی در مورد مثلث قائم الزاویه قضیه فیثاغورث است.

قضیه فیثاغورس

راستی، خوب به خاطر دارید که پاها و هیپوتونوس چیست؟ اگر خیلی خوب نیست، به تصویر نگاه کنید - دانش خود را تازه کنید

این کاملاً ممکن است که قبلاً بارها از قضیه فیثاغورث استفاده کرده باشید، اما آیا تا به حال فکر کرده اید که چرا چنین قضیه ای درست است؟ چگونه می توانم آن را ثابت کنم؟ بیایید مانند یونانیان باستان رفتار کنیم. بیایید یک مربع با یک ضلع رسم کنیم.

ببینید چقدر زیرکانه اضلاعش را به طول و طول تقسیم کردیم!

حالا بیایید نقاط مشخص شده را به هم وصل کنیم

اما در اینجا ما به چیز دیگری اشاره کردیم ، اما شما خودتان به نقاشی نگاه می کنید و فکر می کنید که چرا اینطور است.

مساحت مربع بزرگتر چقدر است؟

درست، .

در مورد یک منطقه کوچکتر چطور؟

قطعا، .

مساحت کل چهار گوشه باقی مانده است. تصور کنید که ما آنها را در یک زمان دو تا گرفتیم و با هیپوتونوس آنها را به یکدیگر تکیه دادیم.

چی شد؟ دو مستطیل. این بدان معنی است که مساحت "برش ها" برابر است.

حالا بیایید همه را کنار هم بگذاریم.

بیایید تبدیل کنیم:

بنابراین ما فیثاغورث را ملاقات کردیم - قضیه او را به روشی باستانی اثبات کردیم.

مثلث قائم الزاویه و مثلثات

برای مثلث قائم الزاویه، روابط زیر برقرار است:

سینوس با زاویه حاد برابر با نسبت طرف مقابلبه هیپوتانوز

کسینوس یک زاویه تند برابر با نسبت است پای مجاوربه هیپوتانوز.

مماس یک زاویه تند برابر است با نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور.

کوتانژانت یک زاویه حاد برابر است با نسبت ضلع مجاور به طرف مقابل.

و بار دیگر همه اینها در قالب یک تبلت:

خیلی راحته!

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه

I. از دو طرف

II. توسط پا و هیپوتانوز

III. توسط هیپوتانوز و زاویه حاد

IV. در امتداد ساق و زاویه حاد

آ)

ب)

توجه! در اینجا بسیار مهم است که پاها "مناسب" باشند. به عنوان مثال، اگر اینگونه باشد:

پس مثلث ها مساوی نیستند، با وجود این واقعیت که آنها یک زاویه حاد یکسان دارند.

نیاز به در هر دو مثلث پا مجاور بود، یا در هر دو طرف مقابل بود.

آیا دقت کرده اید که چگونه علائم تساوی مثلث های قائم الزاویه با علائم معمول تساوی مثلث ها متفاوت است؟

به مبحث نگاهی بیندازید و به این نکته توجه کنید که برای برابری مثلث های معمولی باید سه عنصر آنها برابر باشد: دو ضلع و زاویه بین آنها، دو زاویه و ضلع بین آنها یا سه ضلع.

اما برای برابری مثلث های قائم الزاویه فقط دو عنصر متناظر کافی است. عالیه، درسته؟

وضعیت تقریباً با علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه یکسان است.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه

I. در امتداد یک زاویه حاد

II. از دو طرف

III. توسط پا و هیپوتانوز

میانه در مثلث قائم الزاویه

چرا اینطور است؟

به جای مثلث قائم الزاویه، یک مستطیل کامل را در نظر بگیرید.

بیایید یک مورب رسم کنیم و یک نقطه را در نظر بگیریم - نقطه تقاطع مورب ها. از قطرهای یک مستطیل چه می دانید؟

و چه چیزی از این نتیجه می گیرد؟

پس معلوم شد که

1. - میانه:

این واقعیت را به خاطر بسپار! کمک زیادی می کند!

شگفت‌انگیزتر این است که برعکس آن نیز صادق است.

چه فایده ای می توان از این واقعیت به دست آورد که میانه رسم شده به هیپوتنوز برابر با نصف هیپوتانوز است؟ بیایید به تصویر نگاه کنیم

با دقت نگاه کن. داریم: یعنی فواصل نقطه تا همه سه قلهمثلث ها مساوی شدند. اما فقط یک نقطه در مثلث وجود دارد که فواصل آن از هر سه رأس مثلث برابر است و این مرکز دایره است. پس چه اتفاقی افتاد؟

پس بیایید با این "علاوه بر ..." شروع کنیم.

بیایید نگاه کنیم و.

ولی مثلث های مشابههمه زوایا برابرند!

همین را می توان در مورد و نیز گفت

حالا بیایید آن را با هم ترسیم کنیم:

چه فایده ای می توان از این شباهت «سه گانه» به دست آورد؟

خوب، برای مثال - دو فرمول برای ارتفاع مثلث قائم الزاویه

بیایید روابط طرفین مربوطه را بنویسیم:

برای پیدا کردن ارتفاع، نسبت را حل می کنیم و بدست می آوریم اولین فرمول "ارتفاع در مثلث قائم الزاویه":

بنابراین، بیایید شباهت را اعمال کنیم: .

حالا چه خواهد شد؟

دوباره نسبت را حل می کنیم و فرمول دوم را می گیریم:

شما باید هر دوی این فرمول ها را به خوبی به خاطر بسپارید و از یکی که راحت تر است استفاده کنید.

بیایید دوباره آنها را بنویسیم

قضیه فیثاغورس:

در مثلث قائم الزاویه، مربع هیپوتنوس برابر است با مجموع مربع های پاها: .

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه:

• از دو طرف:
• توسط پا و هیپوتانوز: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مجاور: یا
• در امتداد ساق و زاویه حاد مقابل: یا
• توسط هیپوتانوز و زاویه حاد: یا.

علائم تشابه مثلث های قائم الزاویه:

• یک گوشه حاد: یا
• از تناسب دو پا:
• از تناسب ساق و هیپوتنوز: یا.

سینوس، کسینوس، مماس، کتانژانت در مثلث قائم الزاویه

• سینوس زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به هیپوتنوز است:
• کسینوس یک زاویه حاد مثلث قائم الزاویه نسبت ساق مجاور به هیپوتونوس است:
• مماس زاویه تند مثلث قائم الزاویه نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور است:
• کتانژانت یک زاویه تند مثلث قائم الزاویه، نسبت ضلع مجاور به ضلع مقابل است: .

ارتفاع مثلث قائم الزاویه: یا.

در مثلث قائم الزاویه، میانه از رأس گرفته شده است زاویه راست، برابر است با نصف هیپوتانوس: .

مساحت مثلث قائم الزاویه:

• از طریق پاها:
• از طریق یک ساق و یک زاویه حاد: .

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای موفقیت قبولی در آزمون دولتی یکپارچه، برای پذیرش در کالج با بودجه و مهمتر از همه مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که دریافت کردند یک آموزش خوب، بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که در برابر آنها چیزهای بیشتری وجود دارد امکانات بیشترو زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل، تجزیه و تحلیل دقیق و تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید - 299 روبل.
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - 499 روبل.

بله، ما 99 مقاله از این دست را در کتاب درسی خود داریم و برای همه کارها و همه دسترسی داریم متن های پنهانآنها می توانند بلافاصله باز شوند.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

یک مثلث در هندسه نشان دهنده یکی از اشکال اساسی است. از درس های قبلی می دانید که مثلث یک شکل چند ضلعی است که دارای سه زاویه و سه ضلع است.

مثلث نامیده می شود مستطیل شکل، اگر زاویه قائمه 90 درجه داشته باشد.
یک مثلث قائم الزاویه دارای دو متقابل است اضلاع عمود بر هم، تماس گرفت پاها ; سمت سوم آن نامیده می شود هیپوتنوئوس . هیپوتنوس بزرگترین ضلع این مثلث است.

• با توجه به ویژگی های عمود و مورب، هیپوتنوس از هر یک از پاها بلندتر است (اما کمتر از مجموع آنها).
• مجموع دو زاویه تند یک مثلث قائم الزاویه برابر با یک زاویه قائمه است.
• دو ارتفاع مثلث قائم الزاویه با پاهای آن منطبق است. بنابراین یکی از چهار نکات فوق العادهبه رئوس زاویه قائم مثلث برخورد می کند.
• مرکز محیط یک مثلث قائم الزاویه در وسط هیپوتنوز قرار دارد.
• میانه یک مثلث قائم الزاویه که از راس زاویه قائم به سمت هیپوتنوس کشیده شده است، شعاع دایره ای است که پیرامون این مثلث محصور شده است.

خواص و ویژگی های مثلث قائم الزاویه

من – اموال. در مثلث قائم الزاویه مجموع زوایای تند آن 90 درجه است. در مقابل ضلع بزرگتر مثلث، زاویه بزرگتر و در مقابل آن قرار دارد زاویه بزرگتردروغ سمت بزرگ. در مثلث قائم الزاویه، بزرگترین زاویه است زاویه راست. اگر در مثلث بیشترین زاویه بالابیش از 90 درجه داشته باشد، پس چنین مثلثی دیگر قائم الزاویه نیست، زیرا مجموع تمام زوایا از 180 درجه تجاوز می کند. از همه اینها نتیجه می شود که هیپوتانوس است بزرگترین طرفمثلث.

II ملک است. ساق یک مثلث قائم الزاویه که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد، برابر با نصفهیپوتنوئوس.

III – e ملک. اگر در یک مثلث قائم الزاویه ساق برابر با نصف هیپوتنوز باشد، آنگاه زاویه ای که در مقابل این پا قرار دارد برابر با 30 درجه خواهد بود.

راه حل مسائل هندسینیاز دارد مقدار زیادیدانش یکی از تعاریف اساسی این علم، مثلث قائم الزاویه است.

این مفهوم به معنای متشکل از سه زاویه و

اضلاع، با یکی از زوایای اندازه گیری 90 درجه. ضلع هایی که یک زاویه قائمه را تشکیل می دهند، ساق و ضلع سوم که در مقابل آن قرار دارد، هیپوتنوس نامیده می شود.

اگر پاهای چنین شکلی با هم برابر باشند به آن مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین می گویند. در این صورت عضویت در دو وجود دارد که به این معنی است که خواص هر دو گروه رعایت می شود. به یاد داشته باشید که زوایای پایه مثلث متساوی الساقینکاملاً همیشه برابر هستند، بنابراین زوایای تند چنین شکلی شامل 45 درجه خواهد بود.

در دسترس بودن یکی از خواص زیربه ما اجازه می دهد بگوییم که یک مثلث قائم الزاویه با مثلث دیگر برابر است:

1. اضلاع دو مثلث مساوی است.
2. ارقام دارای هیپوتنوز یکسان و یکی از پاها هستند.
3. هیپوتنوز و هر یک از زوایای حاد برابر هستند.
4. شرط برابری ساق و زاویه حاد برقرار است.

مساحت یک مثلث قائم الزاویه هم با استفاده از فرمول های استاندارد و هم به عنوان کمیت به راحتی محاسبه می شود. برابر با نصفآثار پاهایش

در یک مثلث قائم الزاویه روابط زیر مشاهده می شود:

1. ساق چیزی بیش از میانگین متناسب با هیپوتنوز و برآمدگی آن بر روی آن نیست.
2. اگر دایره ای را در اطراف یک مثلث قائم الزاویه توصیف کنید، مرکز آن در وسط هیپوتانوس خواهد بود.
3. ارتفاع رسم شده از زاویه قائم، میانگین متناسب با برآمدگی های پایه های مثلث بر روی هیپوتانوس آن است.

نکته جالب این است که مهم نیست مثلث قائم الزاویه چیست، این خصوصیات همیشه رعایت می شوند.

قضیه فیثاغورس

علاوه بر ویژگی های فوق، مثلث های قائم الزاویه با شرایط زیر مشخص می شوند:

این قضیه به نام موسس آن - قضیه فیثاغورث - نامگذاری شده است. او این رابطه را زمانی کشف کرد که در حال مطالعه خواص مربع های ساخته شده بر روی آنها بود

برای اثبات قضیه یک مثلث ABC می سازیم که ساق های آن را a و b و فرض را با c نشان می دهیم. در ادامه دو مربع می سازیم. برای یکی، ضلع هیپوتونوس و برای دیگری مجموع دو پا خواهد بود.

سپس مساحت مربع اول را به دو صورت می توان یافت: به عنوان مجموع مساحت های چهار مثلث های ABCو مربع دوم یا به عنوان مربع ضلع طبیعی است که این نسبت ها برابر باشند. به این معنا که:

با 2 + 4 (ab/2) = (a + b) 2، عبارت حاصل را تبدیل می کنیم:

c 2 + 2 ab = a 2 + b 2 + 2 ab

در نتیجه به دست می آوریم: c 2 = a 2 + b 2

بنابراین، شکل هندسی یک مثلث قائم الزاویه نه تنها با تمام خصوصیات مشخصه مثلث مطابقت دارد. وجود یک زاویه راست منجر به این واقعیت می شود که شکل دارای روابط منحصر به فرد دیگری است. مطالعه آنها نه تنها در علم، بلکه در زمینه نیز مفید خواهد بود زندگی روزمره، از آنجایی که چنین شکلی به عنوان مثلث قائم الزاویه در همه جا یافت می شود.

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یک زاویه آن قائمه باشد (برابر 90 0). بنابراین، دو زاویه دیگر به 90 0 می رسند.

اضلاع مثلث قائم الزاویه

ضلعی که در مقابل زاویه نود درجه قرار دارد، هیپوتنوز نامیده می شود. دو طرف دیگر را پا می نامند. هیپوتنوز همیشه از پاها بلندتر، اما از مجموع آنها کوتاهتر است.

راست گوشه. خواص یک مثلث

اگر پا در مقابل زاویه سی درجه باشد، طول آن با نصف طول هیپوتنوز مطابقت دارد. نتیجه این است که زاویه مقابل ساق که طول آن با نیمی از هیپوتنوز مطابقت دارد، برابر با سی درجه است. پا برابر است با میانگین هیپوتنوز متناسب و برآمدگی که پا به هیپوتنوز می دهد.

قضیه فیثاغورس

هر مثلث قائم الزاویه ای از قضیه فیثاغورث تبعیت می کند. این قضیه بیان می کند که مجموع مجذور پاها برابر با مجذور هیپوتانوس است. اگر پاها را مساوی a و b فرض کنیم و هیپوتانوس c باشد، می نویسیم: a 2 + b 2 = c 2. قضیه فیثاغورث برای حل تمام مسائل هندسی مربوط به مثلث قائم الزاویه استفاده می شود. همچنین در صورت عدم وجود ابزار لازم، به ترسیم زاویه مناسب کمک می کند.

قد و میانه

یک مثلث قائم الزاویه با این واقعیت مشخص می شود که دو ارتفاع آن با پاهایش در یک راستا قرار دارند. برای پیدا کردن ضلع سوم، باید مجموع برآمدگی های پاها را بر روی هیپوتنوز پیدا کنید و بر دو تقسیم کنید. اگر از راس یک زاویه قائمه یک میانه رسم کنیم، به شعاع دایره ای می رسد که در اطراف مثلث توضیح داده شده است. مرکز این دایره وسط هیپوتونوس خواهد بود.

راست گوشه. مساحت و محاسبه آن

مساحت مثلث های قائم الزاویه با استفاده از هر فرمولی برای یافتن مساحت مثلث محاسبه می شود. علاوه بر این، می توانید از فرمول دیگری استفاده کنید: S = a * b / 2، که بیان می کند که برای پیدا کردن منطقه باید حاصل ضرب طول پاها را بر دو تقسیم کنید.

کسینوس، سینوس و مماس راست گوشه

کسینوس یک زاویه حاد نسبت ساق مجاور زاویه به هیپوتنوز است. همیشه کمتر از یک است. سینوس نسبت پایی است که در مقابل زاویه به هیپوتنوز قرار دارد. مماس نسبت پای مقابل زاویه به ساقه مجاور این زاویه است. کوتانژانت نسبت ضلع مجاور زاویه به ضلع مقابل زاویه است. کسینوس، سینوس، مماس و کوتانژانت به اندازه مثلث وابسته نیستند. فقط معنای آنها تحت تأثیر قرار می گیرد اندازه گیری درجهگوشه.

راه حل مثلث

برای محاسبه ارزش پا، گوشه مقابل، باید طول هیپوتنوز را در سینوس این زاویه یا اندازه پایه دوم را در مماس زاویه ضرب کنید. برای یافتن پایه مجاور یک زاویه، باید حاصل ضرب هیپوتانوس و کسینوس زاویه را محاسبه کرد.

مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین

اگر مثلثی دارای زاویه قائمه و پاهای مساوی، سپس آن را مثلث قائم الزاویه می گویند. گوشه های تیزچنین مثلثی نیز برابر است - هر کدام 45 0. میانه، نیمساز و ارتفاع رسم شده از زاویه قائمه مثلث قائم الزاویه یکسان است.