Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Задачи и упражнения по теории вероятностей. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Е. С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л. А. ОВЧАРОВ
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений
5-е издание, исправленное
УДК 519.21(075.8) ББК22.171я73
Рецензент - директор Института проблем передачи информации РАН академик Н.А.Кузнецов
Вентцель Е. С.
В 29 Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. посо бие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 5-е изд., испр. - М.: Издательский центр «Академия», 2003. - 448 с.
ISBN 5-7695-1054-4
Настоящее пособие представляет собой систематизированную подбор ку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены отве тами, а большинство - и решениями. В начале каждой главы приведена свод ка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.
Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть ис пользовано преподавателями, инженерами и научными работниками, заинте ресованными в освоении вероятностных методов для решения практических задач.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее учебное пособие написано на основе многолетнего опыта преподавания теории вероятностей в высшем техническом учебном заведении, а также опыта применения вероятностных методов для решения практических задач. В начале каждой главы книги дана краткая сводка теоретических сведений и формул, не обходимых для решения задач, помещенных в главе.
Задачи, имеющиеся в пособии, весьма различны по трудности: одни предназначены для приобретения навыков применения гото вых формул и теорем, другие требуют некоторой изобретательно сти. При этом простые задачи снабжены только ответами, более сложные - развернутыми решениями. В ряде случаев решения со держат оригинальные методические приемы, которые могут приго диться при решении встречающихся на практике задач, так как яв ляются достаточно общими. Задачи повышенной трудности отмечены звездочкой. Номера рисунков и формул к задачам соот ветствуют номерам задач.
Особенностью, отличающей данную книгу от аналогичных из даний, является больший объем решений и разборов задач по сравнению с текстами самих задач. В связи с этим пособие зани мает своеобразное промежуточное положение между обычным за дачником и учебником. Для удобства чтения авторы отступили от традиционного разделения текста на «задачи» и «ответы» к ним, а предпочли давать ответ или решение каждой задачи непосредст венно за ее формулировкой. Добросовестному читателю это не помешает самостоятельно решить каждую из предложенных за дач, обращаясь к решению только в случае неудачи.
Пособие предназначено для лиц, знакомых с теорией вероят ностей в объеме, например, учебника Е.С.Вентцель «Теория ве роятностей», а также учебных пособий Е.С.Вентцель, Л.А.Овчарова «Теория вероятностей и ее инженерные приложения» и «Теория случайных процессов и ее инженерные приложения». Некоторые дополнительные сведения, необходимые для решения отдельных задач, приводятся в тексте.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецензенту пер вого издания книги профессору Б. В. Гнеденко, сделавшему ряд полезных замечаний, а также научному редактору книги доценту Л.З.Румшискому, который взял на себя нелегкий труд проверки решений всех задач и этим помог устранить некоторые ошибки.
Книга впервые вышла в свет в 1969 г. и переиздана в 1973 г., 2000 г. и 2002 г. В четвертом издании переработана гл. 10 и вве дена новая гл. И, выполненная на основе книги авторов .
В общей сложности книга издана 10 раз, включая издания на анг лийском, французском и дважды на немецком и испанском языках.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, ко торый в результате опыта может произойти или не произойти.
Вероятностью события называется численная мера степени объек тивной возможности этого события.
Вероятность события А обозначается Р(А), Рилир.
Достоверным называется событиеU, которое в результате опыта не пременно должно произойти.
Невозможным называется событиеV, которое в результате опыта не может произойти.
P(V) = 0.
Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей: 0 <Р(А) < 1.
Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.
Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.
Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) несовместны; 3) равновозможны, то они называются случаями («шансами»).
Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.
Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность со бытия А вычисляется по формуле
где п - общее число случаев;т - число случаев, благоприятных собы тиюА.
1.1. Образуют ли полную группу следующие группы событий: а) опыт - бросание монеты; события: А х - появление герба;
А 2 - появление цифры; б) опыт - бросание двух монет; события:В х - появление двух
гербов; В 2 - появление двух цифр; в) опыт - два выстрела по мишени; события:А 0 - ни одного
попадания; А х - одно попадание;А 2 - два попадания; г) опыт - два выстрела по мишени; события:С х - хотя бы одно
попадание; С 2 - хотя бы один промах;
д) опыт - вынимание карты из колоды; события: D x - появле ние карты червонной масти;D 2 - появление карты бубновой мас ти;D 3 - появление карты трефовой масти?
О т в е т: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет.
1.2. Являются ли несовместными следующие события:
а) опыт - бросание монеты; события: А х - появление герба;А 2 - появление цифры;
б) опыт - бросание двух монет; события: В х - появление герба на первой монете;В 2 - появление цифры на второй монете;
в) опыт - два выстрела по мишени; события: С 0 - ни одного попадания;С х - одно попадание;С 2 - два попадания;
г) опыт - два выстрела по мишени; события: D x - хотя бы од но попадание;D 2 - хотя бы один промах;
д) опыт - вынимание двух карт из колоды; события: Е х - по явление двух черных карт;Е 2 - появление туза;Е 3 - появление дамы?
О т в е т: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет.
1.3. Являются ли равновозможными следующие события:
а) опыт - бросание симметричной монеты; события: А х - по явление герба;А 2 - появление цифры;
б) опыт - бросание неправильной (погнутой) монеты; собы тия: В х - появление герба;В 2 - появление цифры;
в) опыт - выстрел по мишени; события: С х - попадание;С 2 - промах;
г) опыт - бросание двух монет; события: D x - появление двух гербов;D 2 - появление двух цифр;D 3 - появление одного герба и одной цифры;
д) опыт - вынимание одной карты из колоды; события: Е х - появление карты червонной масти;Е 2 - появление карты бубно вой масти;Е 3 - появление карты трефовой масти;
е) опыт - бросание игральной кости; события: F x - появление не менее трех очков;F 2 - появление не более четырех очков?
О т в е т: а) да; б) нет; в) общем случае нет; г) нет; д) да; е) да.
1.4. Являются ли случаями следующие группы событий:
а) опыт - бросание монеты; события: А х - появление герба;А 2 - появление цифры;
б) опыт - бросание двух монет; события: В х - появление двух гербов;В 2 - появление двух цифр;В 3 - появление одного герба и одной цифры;
в) опыт - бросание игральной кости; события: С х - появление не более двух очков;С 2 - появление трех или четырех очков;С ъ - появление не менее пяти очков;
г) опыт - выстрел по мишени; события: D x - попадание;D 2 - промах;
д) опыт - два выстрела по мишени; события: Е 0 - ни одного попадания;Е х - одно попадание;Е 2 v- два попадания;
е) опыт - вынимание двух карт из колоды; события: F x - появ ление двух красных карт;F 2 - появление двух черных карт?
О т в е т: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) нет.
1.5. Приведите примеры:
а) трех событий, образующих группу случаев; б) трех событий, равновозможных и несовместных, но не обра
зующих полной группы; в) двух событий, несовместных и образующих полную группу,
но не равновозможных; г) двух событий, равновозможных и образующих полную груп
пу, но совместных.
О т в е т: а) см. 1.4 в); б) см. 1.3 д); в) см. 1.3 в); г) см. 1.3 е).
1.6. В урне о белых и Ъ черных шаров. Из урны вынимают нау гад один шар. Найти вероятность того, что этот шар - белый.
а + Ь- 1
1.8. В урне а белых иЪ черных шаров. Из урны вынули один шар и, не глядя, отложили в сторону. После этого из урны взяли еще один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что первый шар, отложенный в сторону, - тоже белый.
а + Ь
1.11. В урне а белых и 6 черных шаров (а > 2). Из урны вынима ют сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут бе лыми.
Р е ш е н и е. Общее число случаев
п (а + Ь)(а + Ь - 1)
1.12. В урне а белых и Ъ черных шаров (а > 2, 6 > 3). Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятностьр того, что два из них будут белыми, а три черными.
Р е ш е н и е.
_ (а + Ь)(а + Ь - 1)(о + Ъ -2)(о 4- Ь- 3)(о + | |||||
П " ° a+b | |||||
т = Са иь - | |||||
1 0 а (а - 1) 6 (6 - 1) (6 - 2) | |||||
(а + 6)(а + 6 - 1)(а + 6 - | 2)(а + 6 - 3)(а + 6 - | ||||
1.13. В партии, состоящей из к изделий, имеетсяI дефектных. Из партии выбирается для контроляг изделий. Найти вероят ностьр того, что из них ровноs изделий будут дефектными.
О т в е т. р =ctcizt
1.14. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий: А - появление четного числа очков;В - по явление не менее 5 очков;С- появление не более 5 очков.
О т в е т. Р(А) = \; Р(5) = 1; Р(С)=Л.
1.15. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность р того, что оба раза появится одинаковое число очков.
Р е ш е н и е. п = 6 ; m = 6; р = - = - .
п 6 (Другое решение. Искомая вероятность есть вероятность
того, что при втором бросании выпадет то же число очков, кото
рое выпало при первом бросании: п = 6, га = 1, р = -.) 6
1.16. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти ве роятности следующих событий:
А - сумма выпавших очков равна 8;
В - произведение выпавших очков равно 8;
С- сумма выпавших очков больше, чем их произведение.
О т в е т. Р(Л) = -; | |||
1.17. Бросаются две монеты. Какое из событий является более вероятным:
А - монеты лягут одинаковыми сторонами;
В - монеты лягут разными сторонами?
О т в е т. Р(Л) = Р(£).
1.18. В урне а белых иb черных шаров(а > 2;b > 2). Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно:
А - шары одного цвета;
В - шары разных цветов?
°2 а+С ? | |||||
Р е ш е н и е. Р(Л)= | а C 2 a+b | ° - (fl + b)(a + | |||
Cl+b | |||||
Сравнивая числители этих дробей, находим
Р(А) < Р(В) при а (а -1) + 6(6 - 1) < 2аЬ.
т.е. (а -б)2 <а + 6; Р(Л) = Р(В) при (а - б)2 = а + 6;
Р(А) > Р(5) при (о - б)2 > а +Ь.
1.19. Трое игроков играют в карты. Каждому из них сдано по 10 карт и две карты оставлены в прикупе. Один из игроков видит, что у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 - не бубновой. Он сбрасывает две карты из этих четырех и берет себе прикуп. Найти вероятность того, что он прикупит две бубновые карты.
Р е ш е н и е. Из 32 карт игроку известно 10, а остальные 22 - нет. Взять 2 карты из прикупа это все равно, что взять их из 22. В числе 22 карт две бубновых. Вероятность события равна
1 _ 1
С 2 2 2~23Г
1.20. Из урны, содержащей п перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти ве роятность того, что номера вынутых шаров будут идти по поряд ку: 1, 2,...,п.
О т в е т. -. п!
1.21. Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с дру гими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что бу дет записана естественная последовательность номеров: 1, 2,..., п.
пп
1.22. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две рав ные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:
А - в каждой из пачек окажется по два туза;
В - в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой - все четыре;
С-в одной из пачек будет один туз, а в другой - три.
Р е ш е н и е. Общее число случаев п = СЦ . Число благоприят ных событиюА случаевт = С\С 2 ^.
Р(Л)=°4 °26 48
С Ь2
Событие В может осуществиться двумя способами: либо в пер вой пачке будут все четыре туза, а во второй - ни одного, либо на оборот:
2CJC22 48 |
||
С 26 |
||
Е.С.Вентцель ЛАОвчаров Теория вероятностей и ее инженерные приложения ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений Москва «Высшая школа» 2000
УДК 519.21 ББК 22.171 В 29 Рецензент, директор Института проблем передачи информации РАН академик НА. Кузнецов Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. В 29 Теория вероятностей и ее инженерные приложения. Учеб. пособие для втузов.- 2-е изд., стер.- М.: Высш. шк., 2000.-480 с: ил. ISBN 5-06-003830-0 В книге дано систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических приложений по специальностям: кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т. д. Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой. Первое издание вышло в 1988 г. Для студентое высших технических учебных заведений. Может быть полезна преподавателям, инженерам и научным работникам разных профилей, которые в своей практической деятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать задачи, связанные с анализом случайных процессов. УДК 519.21 ББК 22.171 Учебное издание Вентцель Елена Сергеевна Овчаров Лев Александрович ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Редактор ТА. Рыкова Художественный редактор Ю.Э. Иванова ЛР № 010146 от 25.12.96. Изд. № ФМ-204. Подп. в печать 27 01.2000 Формат 60x88 1/16 Бум. газеты Гарнитура «Обыкновенная» Печать офсетная Объем 29,40 усл.-печ. л, 29,40 усл. кр.-oiT., 25,21 уч -изд. л Тираж 10000 экз. Заказ № 461 ГУП издательство «Высшая школа», 101430, Москва, Неглинная ул, д 29/14 Отпечатано в ГУП ИПК «Ульяновский Дом печати», 432601, г Ульяновск, ул. Гончарова, д 14 ISBN 5-06-003830-0 © ГУП издательство «Высшая школа», 2000 Оригинал-макет данного издания является собственностью издательства «Высшая школа» и его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия издательства запрещено
ПРЕДИСЛОВИЕ Книга представляет собой систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических инженерных приложений. Интересы этих приложений определяют и отбор материала, и стиль изложения, и его методическую основу. Книга изобилует примерами решения практических задач, требующих применения вероятностных методов и относящихся к самым различным специальностям: кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т. п. Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой, единой системой подходов. Эта книга относительно небольшого объема написана на базе лекций по теории вероятностей, читанных авторами в различных втузах на протяжении последних десятилетий. Она предназначена для инженеров и научных работников разных профилей, которые в своей практической деятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать задачи, связанные со случайными явлениями и требующие вероятностного подхода. Книга адресована широкому кругу читателей, она может быть использована и в учебном процессе студентами и преподавателями втузов, и как пособие для самообразования. Изложение ведется на уровне, доступном читателю, знакомому с математикой в объеме обычного втузовского курса. Там, где по ходу дела приходится пользоваться более сложными понятиями, они поясняются. Главный упор делается не на тонкости математического аппарата, а на методическую сторону вопроса и на непосредственные практические приложения. Многолетний опыт авторов в преподавании теории вероятностей п смежных с нею дисциплин во втузах, а также обширный опыт приме-
4 ПРЕДИСЛОВИЕ нения вероятностных методов в самых различных областях инженерной практики показывает, что именно такой, а не формальный подход к изложению теории вероятностей больше всего пригоден тем, для кого изучение теории вероятностей не самоцель, а средство решения конкретных инженерных задач и примеров. Окончание решепия примера или задачи отмечается знаком > Вместе с тем, авторы стремились нигде не поступаться точностью формулировок и должной математической строгостью и изложить материал в соответствии с современным уровнем развития науки о случайных явлениях. В книгу не вошли теория случайных процессов, теория массового обслуживания, специальные главы математической статистики и их инженерные приложения. Ограниченный отбор материала в данную книгу определялся тем, что авторы предполагают по каждому из указанных выше разделов написать отдельное руководство, где, так же как и здесь, основное внимание будет уделено инженерным приложениям. Авторы приносят глубокую благодарность академику АН СССР В. С. Пугачеву и профессору В. Н, Тутубалину за ценные советы и поддержку, которую они оказали при составлении проекта книги; члену-корреспонденту АН СССР Н. А. Кузнецову, любезно согласившемуся отрецензировать рукопись и сделавшему ряд полезных замечаний; доценту Г. В. Данилову, оказавшему авторам большую помощь при подготовке кнпги и изданию, а также доктору физико-математических, наук А. Д. Вентцелю за ряд ценных предложений. Е.С. Вентцель, ЛА. Овчаров
- Вы можете,- продолжал Гермаин,- составить счастие моей жизни, и оно ничего не будет вам стоить: я знаю, что вы можете угадать три карты сряду... А. С. Пушкин «Пиковая дама» ВВЕДЕНИЕ Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях". Условимся, что мы будем понимать под «случайным явлением». При научном изучении и описании окружающего мира часто приходится встречайся с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Характерна для них большая, по сравнению с другими, степень неопределенности, непредсказуемости. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по- иному. Приведем несколько примеров случайных явлений. 1. Одно и то же тело несколько раз взвешивается на точных (аналитических) весах; результаты повторных взвешивании несколько отличаются друг от друга. За счет чего это происходит? За счет влияния многих мелких, второстепенных факторов, сопровождающих взвешивание, таких, например, как положение тела и разновесок на чашках весов; вибрации аппаратуры; смещение головы и глаза наблюдателя п т. п. 2. Производится ряд испытаний заводских изделии определенного типа, например реле, на длительность безотказной работы. Результат испытания от раза к разу не остается постоянным, меняется. Эти изменения обусловлены влиянием ряда малозначительных, трудноуловимых факторов, таких, например, как микродефекты в металле; разные температурные условия; разные условия хранения и транспортировки изделии; отклонения напряжения от номинала и т. д. 3. Производится ряд выстрелов из одного и того же орудия по одной и той же цели. Условия стрельбы (вид снаряда, угол установки орудия) одни и те же. Тем не
б ВВЕДЕНИЙ менее точки попадания снарядов обнаруживают разброс (так пазываемое «рассеивание»). Теоретически траектории снарядов совпадают; практически они разнятся за счет таких малозначительных, трудноуловимых факторов, как-то: ошибки изготовления снарядов; отклонения веса заряда от номинала; неоднородность его структуры, уже не говоря о метеоусловиях, которые от выстрела к выстрелу могут меняться. 4. Самолет определенного типа совершает полет на заданной высоте; теоретически он должен летать горизонтально, равномерно и прямолинейно. Фактически полет сопровождается отклонениями центра массы самолета от горизонтальной прямой и колебаниями самолета около центра массы. Эти отклонения и колебания являются случайными и связаны с турбулентностью атмосферы и ошибками пилотирования. 5. Круглая, правильной формы монета щелчком подбрасывается, вращается в воздухе и падает па стол, открывая одиу из сторон: «герб» или «решку». Опыт повторяется несколько раз. Как бы ни стараться соблюдать одинаковыми его условия (высоту подбрасывания, начальную скорость и момент вращения), результат варьируется от раза к разу: иногда выпадает «герб», иногда - «решка». Исход опыта - «герб» или «решка» - обусловлен множеством мелких, трудноуловимых причин, в числе которых, например, неровности поверхности стола. 6. Рассматривается непрерывная работа ЭВМ между двумя очередными сбоями в решении задачи. Все контролируемые условия работы ЭВМ: температура, влажность, напряжение, характер решаемой задачи остаются неизменными. Повторяя такой опыт несколько раз, мы убеждаемся, что время работы ЭВМ между двумя очередными сбоями будет разным (случайным). Это объясняется тем, что различные элементы ЭВМ подвергаются незначительным, неконтролируемым изменениям. Все приведенные примеры рассмотрены здесь под одним и тем же углом зрения: подчеркнуты случайные вариации, неодинаковые результаты ряда опытов, основные условия которых остаются неизменными. Эти вариации всегда связаны с наличием каких-то второстепенных факторов, влияющих на исход опыта, но не заданпых в числе его основных условий. Основные условия опыта, определяющие в общих и грубых чертах его протекание, сохраняются неизменными; второстепенные - меня-»
ВВЕДЕНИЕ 7 ются от опыта к опыту и вносят случайные различия в их результаты. Совершенно очевидно, что в природе,нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно ц подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при его повторении результаты полностью и в точности совпадали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют каждому закономерному явлению. Тем не менее в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекат вполне определенным образом. При этом из бесчисленного множества фактов, влияющих на явление, выделяются самые главные, основные, решающие; влиянием остальных, второстепенных, факторов просто пренебрегают. Такая схема изучения явлений (которую будем называть «детерминистской») постоянно применяется в физике, механике, технике. Согласно этой схеме при решении любой задачи прежде всего выделяется основной круг учитываемых условий и выясняется, на какие параметры задачи он влияет; затем применяется тот или иной Математический аппарат (например, составляются и решаются дифференциальные уравнения, описывающие явление); таким образом выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по его заданным условиям. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше, научный прогноз - все точнее. Это - классическая схема так называемых «точных наук» - от условий опыта к его однозначному результату. Однако для решения ряда задач такая схема оказывается плохо приспособленной. Это - те задачи, где интересующий нас результат опыта существенно зависит от стоЛь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть их все. В этих задачах многочисленные тесно переплетающиеся второстепенные факторы так тесно связаны с результатом опыта, что ничтожное, на первый взгляд, их изменение может сыграть решающую роль, обусловить «успех» или «неуспех» опыта. В таких случаях классическая схема точных наук - детерминистская - оказывается непригодной,
8 ВВЕДЕНИЕ Вернемся к вышеприведенным примерам случайных явлений, в частности, к примеру 3 (стрельба из орудия). Если мы конструируем прицельное приспособление, то классическая, «детерминистская», схема вполне достаточна. Проинтегрировав уравнения движения снаряда, мы можем определить его траекторию, точку попадания. Но предположим, что стрельба ведется по цели, размеры которой меньше зоны рассеивания снарядов, и нас интересуют вопросы: какой процент выпущенных снарядов в среднем попадет в цель? Сколько нужно потратить снарядов для того, чтобы с достаточной надежностью поразить цель? Какие следует принять меры для уменьшения расхода снарядов? И т. д. Чтобы ответить на такие (и подобные им) вопросы, обычная схема точных наук оказывается недостаточной. Эти вопросы органически связаны со случайной природой явления; для того чтобы на них ответить, очевидно, нельзя просто пренебречь случайностью, надо изучить явление рассеивания снарядов со стороны закономерностей, присущих ему именно как случайному явлению. Надо исследовать закон, по которому распределяются точки попадания снарядов; выявить случайные причины, вызывающие рассеивание, сравнить их между собой по степени важности и т. д. Рассмотрим другой пример. Некоторое техническое устройство (скажем, система автоматического управления) решает определенную задачу в условиях, когда на нее непрерывно воздействуют случайные помехи. В результате система решает задачу с некоторой ошибкой, иногда выходящей за пределы допустимой. Возникают вопросы: как часто будут появляться такие ошибки? Какие меры надо принять для того, чтобы практически исключить их возможность? И т. д. Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать природу и структуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучить реакцию системы на эти возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы на вид реакции. Подобные задачи, число которых в физике, технике и инженерном деле чрезвычайно велико, требуют изучения не только основных, главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и искажений, связанных с наличием второстепенных факторов и придающих
ВВЕДЕНИЕ 9 исходу опыта при заданных условиях элемент неопределенности. Какие же существуют пути и методы для исследования случайных явлений? С чисто теоретичесгсоп точки аренпя те факторы, которые мы условно назвали «случайными», в принципе ничем не отличаются от тех, которые мы выделили в качестве «основных». Теоретически можно неограниченно повышать точность решения задачи, учитывая все новые и новые факторы. Однако на практике попытка одинаково подробно и тщательно проанализировать влияние всех факторов, от которых зависит явление, привела бы только к тому, что решение, в силу непомерной громоздкости и сложности, оказалось бы практически неосуществимым и к тому же не имело бы никакой познавательной ценности, относясь только к узкому кругу плохо контролируемых условий. Должна существовать принципиальная разница в методах учета основных факторов, определяющих в главных чертах ход и исход явления, и вторичных, второстепенных факторов, влияющих на него в качестве «погрешностей» или «возмущений». Племент неопределенности, сложности и многопричинности, присущий случайным явлениям, требует специальны? методов для их изучения. Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях. Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, мы часто обнаруживаем в них своего рода устойчивости. Напри1 мер, если много раз подряд бросать монету, частота появления герба (отношение числа выпавших гербов к общему числу бросаний) постепенно выравнивается, стабилизируется, приближаясь ко вполне определенному числу, а именно к 1/2. Такое же свойство устойчивости частот наблюдается и при многократном повторении ряда других опытов с заранее неизвестным, неопределенным исходом. Так, например, в хорошо налаженном производстве устойчивым оказывается процент доброкачественных изделий. Многолетние наблюдения показывают, что частота рождения мальчиков для самых разных географических и климатических условий весьма устойчива (приблизительно равна 0,51). Устойчивость частот наблюдается даже в таких сугубо непредсказуемых яв-
40 ВВЕДЕНИЕ лениях, как уличный травматизм (именно эта устойчивость позволяет планировать работу лечебных учреждений и службы скорой помощи). Устойчивость частот наблюдается в тех случаях, когда мы имеем дело с массой однородных опытов, для которых механизм воздействия случайных факторов сходен. Не обладают свойством устойчивости частот те явления с неопределенным исходом, где условия явно неоднородны и даже несопоставимы. Например, бессмысленно говорить об устойчивой «частоте возникновения войн» (историческому процессу свойственны черты неповторимости, направленности развития). Также бессмысленно говорить об устойчивой частоте, скажем, правильно решенных научных проблем или появления гениальных произведений искусства. Теория вероятностей занимается только темп явлениями с неопределенным исходом, для которых предполагается наличие устойчивости частот. Для таких явлений она устанавливает определенные закономерности, характерные для массы случайных явлений. Одно, отдельное случайное явление остается в своем результате неопределенным, непредсказуемым; только в массе случайных явлений проявляются специфические закономерности, которые выполняются тем точнее и строже, чем обширнее массив изучаемых явлений. При очень большом числе таких явлений случайность, непредсказуемость практически исчезает. Поясним это примером. В сосуде заключен некпй объем газа, состоящий па большого числа молекул. Каждая из них за секунду испытывает множество столкновений с другими молекулами, многократно меняет скорость и направление движения; траектория каждой отдельной молекулы случайна. Известно, что давленР1е газа на стенку сосуда обусловлено совокупностью ударов молекул об эту стенку. Казалось бы, если траектория каждой отдельной молекулы случайна, если неизвестно, в какой точке и с какой скоростью она ударится о стенку, то и давление на стенку должно было бы изменяться случайным и непредсказуемым образом. Однако это не так. Если число молекул достаточно велико, то давление газа практически не зависит от траекторий отдельных молекул и подчиняется вполне определенно]! и очень простой физической закономерности. Случайные особенности, свойственные движению каждой отдельной моле-
ВВЕДЕНИЕ 11 кулы, в массе взаимно погашаются, компенсируются. В результате, несмотря на сложность и запутанность отдельного случайного явления, возникает простая закономерность, справедливая для массы случайных явлений. Отметим, что именно массовость случайных явлений обеспечивает выполнение этой закономерности (при ограниченном числе молекул в объеме начинают сказываться случайные отклонения от закономерности, так называемые флуктуации). Рассмотрим другой пример: производится ряд взвешиваний одного и того же тела на аналитических весах; каждый раз результат взвешивания записывается. Вначале, пока число взвешиваний невелико, набор результатов представляется хаотичным, беспорядочным. Однако по мере увеличения числа взвешиваний в совокупности результатов начинает обнаруживаться вполне определенная закономерность; она проявляется тем отчетливее, чем большее число взвешиваний произведено. Становится ясно, что результаты группируются практически симметрично около некоторого среднего значения; в центральной области они расположены гуще, чем по краям, причем густота их с удалением от центра убывает по вполне определенному закону (так называемому «нормальному», которому большое внимание будет уделено в дальнейшем). Подобного рода закономерности (их называют «статистическими») возникают, когда мы наблюдаем в совокупности массивы однородных случайных явлений. Они оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлении, входящих в массив; эти особенности как бы взаимно погашаются, нивелируются; выражаясь образно, «из множества беспорядков возникает порядок». Средний, массовый результат множества случайных явлений оказывается практически уже не случайным, предсказуемым. Это н является базой для практического применения вероятностных (статистических) методов исследования. Методы теории вероятностей не отменяют и не упраздняют случайности, непредсказуемости исхода отдельного опыта, но дают возможность предсказать, с каким- то приближением, средний суммарный результат массы однородных случайных явлений. Чем большее количество однородных случайных явлений фигурирует в задаче, тем отчетливее выявляются присущие им специфические
12 ВВЕДЕНИЕ законы, тем с большей уверенностью и точное!ью можно осуществлять научный прогноз. Цель вероятностных (статистических) методов - в том, чтобы, минуя слишком сложное (и зачастую практически невозможное) исследование отдельного случайного явления, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами таких явлений. Изучение этих законов позволяет не только осуществлять прогноз в области случайных явлений, но и целенаправленно влиять на ход этих явлений, контролировать их, ограничивать сФеРУ действия случайности, сужать ее влияние на практику. Приступая к изучению теории вероятностей с ее специфическим объектом исследования (случайные, т. е. непредсказуемые явления), надо отдавать себе отчет в том, что прогнозы, даваемые методами этой науки, несколько отличаются по своему характеру от привычных нам прогнозов «точных наук». Не давая точного указания, что именно произойдет при таких-то условиях, вероятностный прогноз является приближенным; он указывает только границ ы, в которых, с достаточно высокой степенью достоверности, будут заключены интересующие нас параметры. Чем обширнее изучаемый массив случайных явлений, тем уже эти границы, тем точнее и определеннее становится вероятностный прогноз. Характерным для сегодняшнего этапа развития науки является все более широкое применение вероятностных методов во всех ее областях. Это связано с двумя причинами. Во-первых, изучение явлений окружающего мира, становясь более глубоким, требует выявления не только основных закономерностей, но и возможных случайных отклонений от них. Во-вторых, наука все больше внедряется в такие области практики, где наличие и большое влияние именно случайности не подлежит сомнению, а иногда даже является определяющим. В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы. В одних науках, в силу специфики предмета и исторических условий, эти методы находят применение раньше, в других - позднее. Исторически первые пачаткп вероятностных методов с соответствующим, еще довольно примитивным математическим аппаратом возникли в XVIT веке, при разработке теории азартных игр с целью дать рекомендации
ВВЕДЕНИЕ 13 игрокам. Затем эти методы стали применяться в практике страховых компаний для установления разумных размеров страховых премий. Постепенно область применения вероятностных методов расширялась. Сегодня эти методы распространяются все шире и шире. Целые разделы современной физики (в частности, ядерная физика) базируются на математическом аппарате теории вероятностей. Широко применяются вероятностные методы в современных электротехнике, радиотехнике, теории связи, теории автоматического регулирования, кибернетике, вычислительной технике, теории АСУ (автоматизированных систем управления). Это и естественно, так как работа современных автоматизированных систем протекает в условиях случайных воздействий, без учета которых невозможно разумное проектирование подобных систем, выбор их конструктивных параметров. Любая процедура управления чем бы то ни было (техническим устройством, группой устройств, человеко- машинным комплексом) протекает в заранее неизвестных, случайных условиях, неизбежно сопровождается случайными ошибками измерения тех или других параметров, ошибками выполнения команд и т. д.; анализ работы такой системы практически невозможен без учета случайных факторов. Столь важные в народном хозяйстве метеорологические прогнозы не могут строиться без учета случайности процессов, протекающих в атмосфере. Знакомство с методами теории вероятностей необходимо сегодня каждому грамотному инженеру. И не только инженеру. Биология, физиология, медицина, социология все шире применяют вероятностные методы. Не чуждаются их и такие «исконно гуманитарные» науки, как психология, лингвистика, литературоведение, даже эстетика. Как бы ни был обширен перечень научных дисциплин, где сегодня применяются вероятностные методы, он все же неизбежно страдает неполнотой. Короче будет сказать, что нет области знаний, где не могли бы сказать свое слово эти методы исследования. Считать ли теорию вероятностей специальным разделом математики или одной из естественных наук? И то и другое. Математические законы теории вероятностей - это отражение реальных статистических законов, объективно существующих закономерностей в массовых слу-
14 ВВЕДЕНИЕ чайных явлениях природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический метод и по своему методу является одним из разделов математики, столь же точным и строгим, как другие математические науки. Для инженера, применяющего теорию вероятностей в своей практической деятельности, всего важнее не математические тонкости этой теории, а умение распознать в реальной задаче ее вероятностные черты, поставить, если нужно, эксперимент, разумно обработать его результаты и выработать рекомендации, как поступать, чтобы добиться желаемого результата с минимальной затратой сил и средств. Лучше всего такое умение приобретается при рассмотрении конкретных примеров из области инженерной практики. Таких примеров в нашей книге будет много.
ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1,1. Случайное событие. Его вероятность Любая наука, развивающая общую теорию какого- либо круга явлений, содержит ряд основных понятии, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике - понятия силы, массы, скорости, ускорения. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, ибо «определить» понятие - это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то кончаться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами не определяются, а только поясняются. Такие понятия существуют и в теории вероятностей. Здесь мы рассмотрим некоторые из них. Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую воспроизводимую совокупность условий, в которых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот или другой результат. Заметим, что «опыт» не обязательно должен быть поставлен человеком; он может протекать независимо от него; при этом человек выступает в роли наблюдателя или фиксатора происходящего. От него зависит только решение: что именно наблюдать и какие параметры фиксировать. Если результат опыта варьируется при его повторении, говорят об опыте со случайным исходом. Именно такие опыты мы будем здесь рассматривать и добавление «со случайным исходом» для краткости опускать. Тот факт, что при повторении опыта его основные условия сохраняются, и, значит, мы вправе ожидать устойчивости частот, тоже не будем каждый раз оговаривать. Случайным событием (или, короче, просто событием) называется всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита.
16 ГЛ. 1, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Рассмотрим несколько примеров событий. 1. Опыт - бросание монеты; событие А - появление герба. 2. Опыт - бросание трех монет; событие В - появление трех гербов. 3. Опыт - передача группы из п сигналов по каналу связи; событие С-искажение хотя бы одного из них. 4. Опыт -выстрел по мишени; событие Z) -попадание. 5. Опыт - вынимание наугад одной карты из колоды; событие Е - появление туза. 6. Тот же опыт, что в примере 5; событие F - появление карты червонной масти. 7. Опыт (наблюдение)-измерение количества осадков, выпадающих в данном географическом пункте за определенный месяц; событие G - выпадение более N миллиметров осадков. 8. Опыт - лечение группы больных определенным препаратом; событие Я - существенное улучшение более чем у половины из них. Все приведенные примеры начинались с описания опыта, в котором появляется или не появляется событие. В общем случае это необязательно; опыт может упоминаться после формулировки события; например: А - появление герба при бросании монеты; В - появление трех гербов при бросании трех монет и т. д. Рассматривая перечисленные в наших примерах события А, В, ..., Я, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности - одни большей, а другие меньшей, причем для некоторых из них мы сразу можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Например, сразу видно, что событие А более возможно (вероятно), чем В1 а событие F более возможно, чем Е. Относительно других событий нашего списка таких выводов сразу сделать нельзя; для этого условия опыта описаны недостаточно подробно. Так пли иначе, любое случайное событие обладает какой-то степенью возможности, которую в принципе можно измерить численно. Чтобы сравнивать между собой события по степени их возможности, нужно связать с каждым из них какое-то число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число мы и назовем вероятностью события.
1.1. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ. ЕГО ВЕРОЯТНОСТЬ 17 Отметим, что сравнивая между собой по степени возможности различные события, мы склонны считать более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятными - те, которые происходят реже; маловероятными-те, которые почти никогда не происходят. Например, событие «выпадение дождя в Москве 1-го июня предстоящего года» более вероятно, чем «выпадение снега в Москве в тот же день», а событие «землетрясение в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года» крайне маловероятно (хотя такое землетрясение и наблюдалось в 1977 г., и статистика говорит, что подобные события происходят примерно раз в 100 лет). Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты (подробнее это основное понятие будет освещено ниже, см. п. 1.3). Характеризуя вероятности событий числами, нужно установить какую-то единицу измерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события - выпадение не более шести очков при бросании игральной кости*). Другой пример достоверного события: «камень, брошенный вверх рукой, вернется на Землю, а не станет ее искусственным спутником». Противоположностью достоверного события является невозможное событие - то, которое в данном опыте вообще не может произойти. Пример: «выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости». Невозможному событию естественно приписать вероятность, равную нулю. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, а невозможному - равную нулю, то все другие события - возможные, но не достоверные, будут характеризоваться вероятностями, лежащими между нулем и единицей, составляющими какую-то долю единицы. Таким образом, установлены единица измерения вероятности - вероятность достоверного события и диапазон изменения вероятностей - числа от нуля до единицы. Какое бы событие А мы ни взяли, его вероятность Р(А) *) «Игральной костью» называется кубпк, на шести гранях которого нанесены 1, 2, 3, 4, 5, 6 точек (очков),
18 гл i. оснопные понятия теории перогттноглтп удовлетворяет условию: 0<Р(Л)<1. A.1.1) Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и практически невозможные события. Событие А называется практически невозможным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю: Р {А)« 0. Пример. Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешаны между собой; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другими. Такой опыт производится 25 раз. Событие А состоит в том, что после 25 выниманий мы запишем первую строчку «Евгения Онегина»: «Мой дядя самых честных правил». Событие А не является физически невозможным; в дальнейшем (см. п. 2.3) мы даже подсчитаем его вероятность, которая равна (&) ". Она настолько мала, что событие с такой вероятностью смело можно считать практически невозможным. > Аналогично, практически достоверным называется событие, вероятность которого не в точности равна единице, но очень близка к единице: Введем новое важное понятие: противоположное событие. Противоположным событию А называемся событие JJ, состоящее в непоявлении события А. Пример. Опыт: один выстрел по мишени. Событие А - попадание в десятку. Противоположное событие А - непопадание в десятку. > Вернемся к практически невозможным и практически достоверным событиям. Если какое-то событие А практически невозможно, то противоположное ему А практически достоверно, и наоборот. Практически невозможные (п сопутствующие им практически достоверные) события играют большую роль в теории вероятностей: на них основана вся ее познавательная ценность. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться полностью
1.1. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ ЕГО ВЕРОЯТНОСТЬ 19 достоверным; он может быть только практпческ и достоверным, т. е. осуществляться с очень большой вероятностью. В основе применения всех выводов и рекомендаций, добываемых с помощью теории вероятностей, лежит принцип практической уверенности, который может быть сформулирован следующим образом: Если вероятность события А в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполнении опыта) можно вести себя так, как будто событие А вообще невозможно, г. е. не рассчитывать на его появление. В повседневной жизни мы постоянно (хотя и бессознательно) пользуемся этим принципом. Например, выезжая куда-то на такси, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в дорожной катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность такого события все же имеется. Отправляясь летом на Кавказ или в Крым, мы но захватываем с собой зимней верхней одежды, хотя какая-то (очень малая) вероятность того, что нас настигнет мороз, все-таки не равна нулю. Обратим внимание на слова «при однократном выполнении опыта» в формулировке принципа практической уверенности. Дело в том, что производя много опытов, в каждом из которых вероятность события А ничтожно мала, мы повышаем вероятность того, что событие А произойдет хотя бы один раз в массе опытов. В самом деле, представьте себе лотерею, в которой на миллион билетов всего один выигрыш. Некто покупает одип билет. Вероятность выигрыша для него 0,000001, т. е. ничтожно мала, и можно считать выигрыш практически невозможным. А теперь представьте себе, что распроданы все 1000000 билетов. Кто-то из купивших получит выигрыш, т. е. для него произойдет практически невозможное событие. За счет чего? За счет того, что опыт (покупка билета) произведен очень много раз. Аналогично обстоит дело с надежностью сложных агрегатов. Пусть агрегат состоит из большого числа N элементов. Каждый из них отказывает (выходит из строя) с ничтожно малой вероятностью. Но за счет того, что элементов очень много, вероятность того, что откажет хотя бы один из них, перестает быть близкой к нулю (см. пример 16 п. 2.4). Переходим к самому тонкому и трудному вопросу: насколько мала должна быть вероятность
20 гл. i. основные понятия теории вероятностей события, чтобы его можно было считать практически невозможным? Ответ на этот вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических соображений, в соответствии с той важностью, которую имеет для нас желаемый результат опыта. Чем опаснее возможная ошибка предсказания, тем ближе к нулю должна быть вероятность события, чтобы его считать практически невозможным. Например, когда мы, на основе вероятностных расчетов, предсказываем, что средний результат N взвешиваний не отклонится от истинного веса тела больше, чем па заданную величину е, а вероятность того, что отклонение будет больше е, равна 0,01, мы еще можем примириться с этим и считать событие А - «ошибка больше е» - практически невозможным. Чем мы в данном случае рискуем? Легкой неправильностью предсказания. Совершенно другое дело - если вероятность взрыва космической ракеты при ее запуске равна тем же 0,01. Риск велик, велика ответственность; в таких условиях во что бы то ни стало надо добиваться «вероятности неудачи», на несколько порядков меньшей. Размер допустимой «вероятности риска» всегда назначается исследователем, исходя из степени опасности риска. Выбирается он более или менее произвольно. Поэтому на всех прогнозах, осуществляемых методами теории вероятностей, всегда лежит отпечаток «начального произвола», связанного с выбором достаточно малой «вероятности риска»,- вероятности того, что прогноз не оправдается. Это обстоятельство отнюдь не снижает ценности вероятностных методов исследования. «Ориентировочный прогноз» все же лучше, чем «никакой прогноз», который вытекал бы из требования, чтобы «вероятность риска» была в точности равна нулю. Чтобы убедиться в полезности вероятностных методов предсказания, предлагаем читателю (если он не ленив и любопытен) проделать элементарный опыт: бросить монету любого достоинства N = 1000 раз (для простоты можно бросать сразу по 10 штук, тщательно перетряхнув их в коробке) и подсчитать число появившихся гербов. На основе вероятностных методов можно утверждать с практической достоверностью (в данном случае с вероятностью приблизительно 0,997), что число выпавших
1.2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 21 гербов не выйдет за пределы D53-5-547)*). Не слишком точное предсказание, не правда ли? Но ведь не пользуясь вероятностными методами, мы могли бы дать только одно, строго достоверное, но зато тривиальное предсказание: число выпавших гербов будет заключено в пределах @-М000). 1.2. Непосредственный подсчет вероятностей Существует класс опытов, для которых вероятности их возможных исходов можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными. Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросании игральной кости. Если кубик выполнен симметрично, «правильно» (центр тяжести не смещен ни к одной из граней), естественно предположить, что любая из шести граней будет выпадать так же часто, как каждая из остальных. Так как достоверное событие «выпадет какая- то из граней» имеет вероятность, равную единице, и распадается на шесть одинаково возможных вариантов A, 2, 3, 4, 5 или 6 очков), то естественно приписать каждому из них вероятность, равную 1/6. Для всякого опыта, обладающего симметрией возможных исходов, можно применить аналогичный прием, который называется непосредственным подсчетом вероятностей. Симметрия возможных исходов чаще всего наблюдается в искусственно организованных опытах, где приняты специальные меры для ее обеспечения (например, тасовка карт или костей домино, которая для того и производится, чтобы каждая из них могла быть выбрана с одинаковой вероятностью; или же приемы случайного выбора группы изделий для контроля качества в заводской практике). В таких опытах подсчет вероятностей событий выполняется всего проще. Не случайно первоначальное свое развитие (еще в XVII веке) теория вероятностей получила на материале азартных игр, которые поколениями вырабатывались именно так, чтобы *) О том, как делаются такие предсказания, можно узнать в гл. 10, п. 10.2, пример 12.
22 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ результат опыта не зависел от поддающихся контролю его условий (рулетка, кости, карточные игры). Прием непосредственного подсчета вероятностей, исторически возникший вместе с математической теорией случайных явлений, был положен в основу так называемой «классической» теории вероятностей и долгое время считался универсальным. Опыты, не обладающие симметрией возможных исходов, искусственно сводились к «классической» схеме. Несмотря на ограниченную сферу практического применения этой схемы, она все же представляет известный интерес, так как именно на ней легче всего познакомиться со свойствами вероятностей. Перед тем как дать способы непосредственного подсчета вероятностей, введем некоторые вспомогательные понятия. 1. Полная группа событий. Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них. Примеры событий, образующих полную группу: 1) «выпадение герба» и «выпадение решки» при бросании монеты*); 2) появление «1», «2», «3», «4», «5», «6» очков при бросании игральной кости; 3) «два попадания», «два промаха» и «одпо попадание, один промах» при двух выстрелах по мишени; 4) «появление белого шара» и «появление черного шара» при вынимании одного шара пз урны, в которой 2 белых и 3 черных шара **); 5) «появление хотя бы одного белого» и «появление хотя бы одного черного шара» при вынимании двух шаров из той же урны. Специально обратим внимание на последний пример. В нем даны два события, которые не исключают друг друга: в самом деле, если вынуть 1 белый и 1 черный шар, появляется и то и другое. Но не зря же при определении полной группы событий мы сказали «неизбеж- ¦) Исход «монета встанет на ребро» мы отбрасываем, как ничтожно маловероятный (практически невозможный). *) Во всех задачах «па урпы» здесь и в дальнейшем мы будем предполагать, что шары тщательно перемешаны.
1.2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 23 но должно появиться хотя бы одно из них» («хотя бы одно» значит «одно или больше»). Если события образуют полную группу, то опыт не может кончиться помимо ни х. К полной группе событий можно прибавлять еще какие угодно события, любые исходы опыта; от этого полнота группы событий не утрачивается. 2. Несовместные события. Несколько событии в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры несовместных событии: 1) «выпадение герба» и «выпадение решки» при бросании монеты; 2) «два попадания» и «два промаха» при двух выстрелах; 3) «выпаденпе двух», «выпадепие трех» п «выпадение пяти» очков при однократном бросашш игральной кости; 4) «появление туза», «появление десятки» и «появление карты с картинкой» (короля, дамы или валета) при вынимании одной карты из колоды; 5) «появление трех» и «появление более трех» очков при бросанпп игральной кости; 6) искажение «ровно пяти», «ровно двух» п «не менее шести» символов при передаче сообщения, состоящего пз 10 символов. Вспомним, что к полной группе событии можно было добавлять любые другие события, не нарушая полноты. Что касается несовместных событий, то из них можно выбрасывать любые (пока остаются хотя бы два), не нарушая свойства несовместности. 3. Равновозможные события. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно пз них не является объективно более возможным, чем другое. Заметим, что равновозможные события не могут появляться иначе, чем в опытах, обладающих симметрией воЗхМожных исходов; наше незнание о том, какое пз них вероятнее, не есть основание для того, чтобы считать события равновозможнымп. Примеры равновозможных событий: 1) «выпадение герба» и «выпадение решки» прп бросании симметричной, «правильной» монеты;
24 гл. i. основные понятия теории вероятностей 2) выпадение «трех», «четырех», «пяти» и «шести» очков при бросании симметричной, «правильной» игральной кости; 3) появление шара с номером «1», «2», «4» и «5» при вынимании наугад шара из урны, в которой 10 перенумерованных шаров; 4) появление шаров с номерами «2 и 3», «3 и 4», «5 и 8» при вынимании двух шаров из той же урны; 5) появление карточки «с буквой а», «с буквой ф» и «с буквой щ» при вынимании одной из тщательно перемешанных карточек детской азбуки; 6) появление карты «червонной», «бубновой», «трефовой» или «пиковой» масти при вынимании карты из колоды. Заметим, что равновозможность событий в каждом из этих опытов обеспечивается специальными мерами (симметричное изготовление костп; тасовка карт; тщательное перемешивание шаров в урие и т. п.). Из группы, содержащей более двух равновозможных событий можно исключать любые (кроме последних двух), не нарушая их равновозможности. С опытами, обладающими симметрией возможных исходов, связываются особые группы событий, обладающие всеми тремя свойствами: они образуют полную группу, несовместны и равновозможны. События, образующие такую группу, называются случаями (иначе «шансами»). Примеры случаев: 1) появление «герба» и «решки» при бросанип монеты; 2) появление «1», «2», «3», «4», «5» и «6» очков при бросании игральной костп; 3) появление шара с номером «1», «2», ... при вынимании одного шара из урны, в которой п перенумерованных шаров; 4) появление карты «червонной», «бубновой», «трефовой» и «пиковой» масти при вынимании одной карты из колоды в 36 листов. Если опыт обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой исчерпывающий набор его равновозможных и исключающих друг друга исходов. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев (иначе -к «схеме урн», ибо любую вероятностную задачу для такого опыта можно заменить экви-
1.2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 25 валентной ей задачей, где фигурируют урны, содержащие шары тех или других цветов). Для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей, основанный на подсчете доли так называемых благоприятных случаев в общем их числе. Случай называется благоприятным (или «благоприятствующим») событию Л, если появление этого случая влечет за собой появление данного события. Например, при бросании игральной кости из шести случаев («1», «2», «3», «4», «5», «6» очков) событию А - «появление четного числа очков» благоприятны три случая: «2», «4», «6» и не благоприятны остальные три. Событию В - «появление не менее 5 очков» благоприятны случаи «5», «6», и не благоприятны остальные четыре. Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте можно вычислить как долю благоприятных случаев в общем их числе: m А РD)--^, A.2.1) где wA -число случаев, благоприятных событию А; п - общее число случаев. Формула A.2.1), так называемая «классическая формула» для вычисления вероятностей, предложенная еще в XVII веке, когда главным полем приложения теории вероятностей были азартные игры (в которых симметрия возможных исходов обеспечивается специальными мерами), долгое время (вплоть до XIX века) фигурировала в литературе как «определение вероятности»; те задачи, в которых схема случаев отсутствует, искусственными приемами сводились к ней. В настоящее время формального определения вероятности не дается (это понятие считается «первичным» и не определяется), а при его пояснении исходят из других принципов, непосредственно связывая его с понятием частоты события (см. п. 1.3). Применяется также аксиоматическое, теоретико-множественное построение теории вероятностей на основе общих положений теории множеств и небольшого числа аксиом (см. пп. 1.4, 1.5). Что касается формулы A.2.1), то она сохраняется ныне лишь для подсчета вероятностей событий в опытах, обладающих симметрией возможных исходов. Приведем несколько примеров ее применения.
26 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример 1. В урне находится 5 шаров, из которых 2 белых и 3 черных. Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. Решение. Обозначим А интересующее нас событие: А = (появление белого шара) *). Общее число случаев п = 5; из них два благоприятны событию А: тА = 2. По формуле A.2.1) Р(^) = 2/5. > Пример 2. В урне 7 шаров: 4 белых и 3 черных. Из нее вынимаются (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба они будут белыми: В = {оба шара белые). При решении этой задачи и других ей подобных мы будем пользоваться элементарными формулами комбинаторики, в частности, формулой для числа с о ч е т а н и it. Число сочетаний из к элементов по / - это число способов, какими можно выбрать / различных элементов из к\ обозначается оно Ck и вычисляется по формуле: ri *(*-1) ¦ .(/;- /-!- 1) Или, пользуясь знаком факториала (!) , Л: (Л- - 1) ...(*- /+ 1) *I Число сочетаний обладает следующими свойствами: Пользуясь формулой A.2.2), решим пример 2. Решение. Общее число случаев в примере 2 равно числу способов, какими можно выбрать 2 шара из 7: а число случаев, благоприятных событию 5,- это число способов, какими можно выбрать 2 белых шара из 4: *) Здесь и в дальпейшем мы будем пользоваться подобпым обозначением событий, ставя о фигурные скобки их словесное описание.
1.2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 27 Отсюда Р(В)-±- 2 ь Пример 3. В партии из К изделий М дефектных. Пз партии выбирается для контроля к изделий (к<К). Найти вероятность того, что среди них будет ровно т дефектных (т ^ к). Решение. Общее число случаев п = Ск* Найдем mD - число случаев, благоприятных событию D = {ровно т дефектных изделий в контрольной партии). Найдем сперва число способов, какими из М дефектных изделий можно выбрать т для контрольной партии; оно равно C™i- Но ото еще не все: к каждой комбинации дефектных изделий пужно присоединить комбинацию из fe - m доброкачественных; это можно сделать CjfJlj способами. Каждая комбинация из т дефектных изделий может сочетаться с каждой комбинацией пз k - m доброкачественных; число тех и других комбинаций надо перемножить. Поэтому число благоприятных событию D случаев равно nip = C^"CkIIm и Р(В)-СТгСкК--УСкК. > A,2.3) Пример 4. Некто выбирает наугад 6 клеток «Спортлото» F пз 49). Найти вероятность того, что он правильно угадает пз числа выигравших 6 номеров: А = {ровно три}, В =» {ровно четыре}, С== {ровно пять}, D = {все шесть}. Решение. Нетрудно убедиться, что задача по структуре полностью совпадает с предыдущей, если считать «дефектными» выигравшие номера, а «доброкачественными»-не выигравшие. Применяя формулу A.2.3), полагая в ней ЛГ = 49, М = 6, а т - последовательно равным 3, 4, 5, 6, получим: с. С ^ р (А) - -±^ » 1,765.1(Гг, Р (Я) - -5-12 « 9,686- Ю~\ С С4» ~8" >
28 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример 5. Опыт состоит в одновременном (или последовательном) бросании двух монет. Найти вероятность события А = {хотя бы на одной монете выпадет герб}. Решение. С первого взгляда легкомысленному и торопливому читателю может показаться, что в данной задаче три случая: Л! = {два герба); Лг^дпе решки}; Аг = {герб и регака}. Однако это неверно: эти события неравновозможны; последнее вдвое вероятнее каждого из остальных. Составим схему случаев; для этого назовем монеты: первая и вторая (если они бросаются последовательно, первой будет первая по времени; если одновременно, то, например, та, центр которой ляжет севернее). Случаями будут следующие события: 2?i = {на первой монете герб, на второй герб}, В2 =» {на первой монете решка, на второй решка), Bz * {на первой монете герб, на второй решка), ^ - {на первой монете решка, на второй герб). Найдем Р(А). Из четырех случаев событию А благоприятны все, кроме В2; значит, тА = 3 и РD) = 3/4. Событию As = {герб и решка) благоприятны два последних случая В3 и /?4, откуда Р (^3) = 2/4 «* 1/2, т. е. событие А3 вдвое вероятнее каждого из событий Av и А2. > 1.3. Частота пли статистическая вероятность события Как уже знаем, формула A.2.1) для непосредственного подсчета вероятностей применима только тогда, когда опыт, в результате которого может появиться интересующее нас событие, обладает симметрией возможных исходов. Очевидно, это далеко не всегда так, и существует огромный класс событий, вероятности которых нельзя вычислять по «классической» формуле. Возьмем, к примеру, неправильно сделанпую игральную кость (со смещенным центром тяжести). Событие А «{выпадение 5 очков) уже не будет обладать вероятностью 1/6. Но какой же? И как ее найти? Ответ интуитивно ясен: надо «попробовать» побросать кость доста-
i.3. частота или статистическая вероятность 29 точно много раз и посмотреть, насколько часто будет появляться событие А, Очевидно, что вероятности таких событий, как В = (попадание в цель при выстреле}, С = {выход из строя интегральной схемы в течение одного часа работы), D = {при контроле изделий будет выявлено за день ровно т дефектных), также не могут быть пайдены по формуле A.2.1)-соответствующие опыты к схеме случаев не сводятся. Тем не менее, естественно предположить, что каждое из них обладает какой-то степенью объективной возможности, которая при многократном повторении соответствующих опытов будет отражаться в относительной частоте событий. Мы будем исходить из предположения, что каждое из случайных событии (сводится опыт к схеме случаев или нет, лишь бы он был неограниченно воспроизводим) обладает какой-то вероятностью, заключенной между нулем и единицей. Для опытов, сводящихся к схеме случаев, подсчет вероятностей производится (прямо или косвенно) по формуле A.2.1). С теми же опытами, которые к схеме случаев не сводятся, дело обстоит сложнее: прямое или косвенное нахождение вероятностей событий корнями своими уходит в сбор данных, статистику, массовый эксперимент. Введем одно из важнейших понятий теории вероятностей - понятие частоты случайного события. Если производится серия из п опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А, то частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие Л, к общему числу п произведенных опытов. Частоту события часто называют его статистической вероятностью (в отличие от ранее введенной «математической» вероятности). ч Подчеркнем, что для вычисления частоты события недостаточно знать условия опыта, нужно еще располагать каким-то массивом статистических данных. Частота - характеристика опытная, экспериментальная. Условимся обозначать частоту (статистическую вероятность) события А знаком Р*(-4) (здесь и в дальней-
30 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ шем звездочка у буквы будет указывать на статистический характер соответствующего параметра). Согласно определению, частота события А вычисляется по формуле: м р*(Л) = -^г A.3.1) где п - число произведенных опытов (не путать с числом случаев в «классической схеме»!), МА - число опытов, в которых событие А появилось. При небольшом п частота события носит в значительной мере случайный характер. Пусть, например, опыт - бросание монеты, событие А = (появление герба}. Вероятность этого события, по формуле A.2.1), Р(Л) = - 1/2. Что касается частоты Р* {А), то она вовсе не обязана равняться 1/2 и даже быть близкой к ней. Например, при пяти бросаниях (п = 5) вполне возможно, что герб появится только один раз: Р* (А) =* 1/5; менее вероятно, но тоже возможно, что он не появится вообще ни разу: Р* (А) = 0, или все пять раз: Р*(А) = 1. Одним словом, при малом числе опытов частота события непредсказуема, случайна. Однако при большом числе опытов п частота все больше теряет свой случайный характер: она проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь, с незначительными колебаниями, к некоторой средней постоянной величине*). Например, при многократном бросании монеты частота появления герба будет лишь незначительно уклоняться от 1/2 - 0,5. Для иллюстрации в табл. 1.3.1 приведены результаты серии из п = G00 бросаний монеты (для простоты опыт подразделен на 60 «подсерпй», в каждой из которых бросались одновременно 10 тщательно встряхнутых монет и подсчитывалось число выпавших гербов). Для иллюстрации на рис. 1.3.1 изображена зависимость частоты Р*(Л) появления герба от числа опытов л. Из этого графика видно, что по мере увеличения п частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь сквозь ряд случайных отклонений к постоян- *) Естественно, это справедливо только для тех случайных явлений, которые обладают свойством устойчивости частот (см. введение), но только такими явлениями и занимается теория ьэ- роятяостей.
1.3. ЧАСТОТА ИЛИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 31 ной величине, которую мы положим равной 0,5 (это - как раз вероятность Р (А) появления герба в одном опыте). Из рассмотрения табл. 1.3.1 и графика рис. 1.3.1 мы можем сделать ряд поучительных выводов. 1. По мере увеличения числа опытов п частота события имеет тенденцию приближаться к его вероятности. Т а б л и ц а 1.3.1 Число ОПЫТОВ?1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 - 100 110 120 130 140 150 100 170 180 190 200 Р* (А) 0,600 0,650 0,600 0,575 0,540 0,550 0,528 0,512 0,588 0,490 0,550 0,492 0,523 0,500 0,493 0,475 0,471 0,472 0,463 0,465 п 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 Р* U) 0,462 0,472 0,470 0,479 0,484 0,477 0,489 0,482 0,493 0,497 0,500 0,503 0,497 0,506 0,497 0,497 0,495 0,492 0,500 0,498 п 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 Р* U) 0,502 0,512 0,512 0,514 0,519 0,515 0.515 0,510 0,508 0,510 0,506 0,516 0,513 0,515 0,513 0,511 0,512 0,509 0,507 0,505 2. Это приближение идет довольпо медленно (гораздо медленнее, чем хотелось бы!), но явно прослеживается на экспериментальном материале. 3. Колебания частоты около вероятности носят случайный, незакономерный характер. Если бы мы повторили тот же массовый опыт (произвели бы другие 600 бросаний монеты), то кривая зависимости частоты Р* (А) от числа опытов п имела бы другой конкретный вид, но, по-видимому, общая тенденция приближаться к 0,5 сохранилась бы. Теперь спросим себя: можно ли сказать, что при увеличении п частота Р* (^4) стремится к вероятности Р (А) в обычном математическом смысле слова? Нет, этого сказать нельзя, именно в связи со случаи-
32 ГЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ н о с т ь ю процесса приближения. В самом деле, теоретически, например, могло ли бы случиться, что все 600 раз выпал герб и Р* (А) оказалось равным единице? Теоретически могло бы, а на практике - нет. Вероятность того, что все 600 раз выпадет герб, настолько мала (в дальнейшем (см. гл. 2, п. 2.4) мы вычислим ее и убедимся, что она равна A/2N00), что можно пренебречь возможностью такого совпадения. Подсчеты показывают, 0,650 0,500 0,550- 100 200 300 Рис. 1.3.1 Ц-00 500 600 л что даже значительно меньшие отклонения частоты от вероятности при п = 600 практически не встречаются. Забегая вперед (см. гл. И), сообщим читателю, что при шестистах бросаниях монеты частота появления герба почти наверное не отклонится от 0,5 больше, чем 0,06 (в дальнейшем вы научитесь самостоятельно находить такие границы, за которые практически наверняка не выйдут отклонения численного результата опыта от заранее предсказанного или искомого значения (см. гл. 11)). Подмеченная нами на конкретном примере закономерность имеет более общий смысл. А именно, если воспроизводить достаточное число раз один и тот же опыт со случайным исходом, в котором может появиться или не появиться событие Л, частота Р*(Л) этого события
1.3. ЧАСТОТА ИЛИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 33 имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь сквозь ряд случайных отклонений к некоторому постоянному числу; естественно предположить, что это число и есть вероятность события. Проверить такое предположение мы, естественно, можем только для событий, вероятности которых могут быть вычислены непосредственно, по формуле A.2.1), т. е. для опытов, относящихся к схеме случаев. Многочисленные массовые эксперименты, проводившиеся разными лицами со времен возникновения теории вероятностей, подтверждают это предположение: частота события при увеличении числа опытов действительно приближается к его вероятности. Естественно допустить, что и для опытов, не сводящихся к схеме случаев, тот же закон остается в силе и что постоянное значение, к которому при увеличении числа опытов приближается частота события, и есть не что иное, как вероятность события. Тогда частоту события при достаточно большом числе опытов можно принять за приближенное значение вероятности. Знание законов теории вероятностей позволяет оценить ошибку этого приближенного равенства, а также найти число опытов /г, при котором можно с достаточной степенью достоверности ожидать, что ошибка не превзойдет данной величины. Специально отметим, что характер приближения частоты к вероятности при увеличении числа опытов существенно отличается от «стремления к пределу» в математическом смысле слова. Когда в математике мы говорим, что переменная хп с возрастанием п стремится к постоянному пределу а, это значит, что разность \хп - а\ становится меньше любого положительного е для всех значений п, начиная с некоторого. Относительно частоты и вероятности такого категорического утверждения сделать нельзя. Нет ничего физически невозможного в том, что частота события при большом числе опытов сильно отклонится от его вероятности, но такое отклонение оказывается практически невозможным-настолько маловероятным, что можно не принимать его в расчет. Таким образом, при увеличении числа опытов п частота события приближается к его вероятности, но не с полной достоверностью, а с большой вероятностью, тем большей, чем большее число опытов произведено. Такой способ приближения одних величин к другим очень часто встречается в теории вероятностей, лежит 2 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
34 гл. i. основные понятия теории вероятностей в основе большинства ее выводов и рекомендации и носит специальное название: «сходимость по вероятности». Говорят, что величина А"п сходится по вероятности к величипе а, если при сколь угодио малом е вероятность неравенства \Хп - а\ < г с увеличением п неограниченно приближается к единице. Применяя этот термин, можно сказать, что при увеличении числа опытов п частота события не «стремится» к его вероятности, а «сходится к ней по вероятности». Таким образом, вводя поиятие частоты события и пользуясь связью между нею и вероятностью, мы получаем возможность приписать определенные вероятности, заключенные между нулем и единицей, не только событиям, для которых применима схема случаев, но и тем событиям, которые к этой схеме не сводятся; достаточно, чтобы опыт обладал свойством устойчивости частот, иными словами, мог быть неограниченно воспроизводим в практически одинаковых условиях. Тогда можпо, производя достаточно большое число опытов, приближенно положить искомую вероятность события равной его частоте. В дальнейшем мы увидим, что для определения вероятности события в опыте, не сводящемся к схеме случаев, сравнительно редко надо непосредственно находить из серии опытов его частоту. Теория вероятностей располагает способами, позволяющими находить вероятности событий не прямо, а косвенно, через вероятности других событий, с ними связанных. В сущности, такие косвенпые способы и составляют главное содержание теории вероятностей. Но и при пользовании косвенными способами (если опыт не сводится к схеме случаев) в копечном итоге все же приходится обращаться к экспериментальным данным. Выведем некоторые свойства частот, справедливые не только при большом, по и при любом число опытов гс. 1. Правило сложения часют. Если два события А и Б несовместны, то частота события С, состоящего в том, что появится А или В (безразлично, какое имепно), равна сумме частот этих событий: Р* (С) - Р* {А или В} - Р* (А) + Р* (В). A.3.2) Действительно, если число опытов, в которых появилось событие А, равно МА, а число опытов, в которых
1.3. ЧАСТОТА ИЛИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 35 появилось событие В, равно Мв и события А и В несовместны, то Р* (С) = Л^4^ = ^ + ^ = Р* (Л) + Р*(Я). 2. Правило умножения частот. Для любых двух событий А и В частота события Д состоящего в том, что появятся оба события: D = U и В) равна частоте одного из них, умноженной на «условную частоту» другого, вычисленную в предположении, что первое имело место: Р*(?>) = Р*{Л и В)-Р*(А)-Р*(В\А)% A.3.3) где Р* (В | А) - частота события #, вычисленная только для тех опытов, в которых произошло событие А (предполагается, что МАФЪ). Действительно, пусть в МА опытах произошло событие А; в MD опытах оно сопровождалось появлением события В, т. е. происходило событие D = {А и В). Тогда частота события D Но второй сомножитель в формуле A.3.4) есть не что иное, как частота события В, вычисленная только для тех опытов, в которых произошло событие А (назовем «условной частотой события В при наличии А» и обозначим Р*(В\А)). Заметим, что условную частоту события В при наличии А можно вычислить и исходя из P*(D) по формуле: P*{B\A)-P*(D)/P*(A), A.3.5) т. е. условная частота события В при наличии А может быть получена делением частоты события D = {А и В] на частоту события А. В дальнейшем мы увидим, что аналогичные правила сложения и умножения справедливы и для вероятностей событий. Понятие частоты события является кардинально важным в теории вероятностей. Можно построить все ее здание, исходя из основного понятия частоты и постуди-
36 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ руя свойства не вероятностей, а частот (такое построение теории вероятностей было еще в начале XX века предложено Р. Мизесом; да и в настоящее время некоторые авторы предпочитают излагать теорию вероятпо- стей на частотной основе). С нашей точки зрения наиболее современным (и, что немаловажно, соответствующим традициям изложения теории вероятностей в университетах) является аксиоматический теоретико- множественный подход, связанный с идеями А. Н. Колмогорова; этого подхода мы и будем придерживаться в дальнейшем.
ГЛАВА 2 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ 2.1. Элементарные сведения из теории множеств Напомним тому, кто их знает, и сообщим тому, кто впервые с ними встречается, основные понятия этой математической науки. Множеством называется любая совокупность объектов произвольной природы, каждый из которых называется элементом множества. Примеры множеств: 1) множество студентов, обучающихся в данном вузе; 2) множество натуральных чисел, не превосходящих 100; 3) множество точек на плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса г с центром в начале координат; 4) множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки с абсциссой а не превышает d. Множества мы будем обозначать по-разному: или одной большой буквой, или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках; или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Например, множество М натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано в виде: М = И, 2, ..., 100) - U- целое; 1<К 100} - -{f-1, ..., 100}. Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки с абсциссой а не превосходит d, может быть записано в виде S = {\z-a\^d) или S = {x: |*.-a|
Задачи и упражнения по теории вероятностей. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.
5-е изд., испр. - М.: Академия, 2003.- 448 с..
Настоящее пособие представляет собой систематизированную подборку задач и упражнений по теории вероятностей. Все задачи снабжены ответами, а большинство - и решениями. В начале каждой главы приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.
Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть использовано преподавателями, инженерами и научными работниками, заинтересованными в освоении вероятностных методов для решения практических задач.
Формат: pdf
Размер: 7 Мб
yandex.disk
Формат: djvu / zip
Размер: 4 ,03 Мб
/ Download
файл
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Основные понятия. Непосредственный подсчет вероятностей 4
Глава 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей 19
Глава 3. Формула полной вероятности и формула Бейеса 49
Глава 4. Повторение опытов 70
Глава 5. Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики
случайных величин 85
Глава 6. Системы случайных величин (случайные векторы) 124
Глава 7. Числовые характеристики функций случайных величин 152
Глава 8. Законы распределения функций случайных величин. Предельные теоремы
теории вероятностей 207
Глава 9. Случайные функции 261
Глава 10. Потоки событий. Марковские случайные процессы 317
Глава 11. Теория массового обслуживания 363
Приложения 428
Список литературы 440
Название: Теория вероятностей и ее инженерные приложения. 2000.
В книге дано систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических приложений по специальностям: кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т.д. Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой. Первое издание вышло в 1988 г.
Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть полезна преподавателям, инженерам и научным работникам разных профилей, которые в своей практической деятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать задачи, связанные с анализом процессов.
Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Условимся, что мы будем понимать под «случайным явлением».
При научном изучении и описании окружающего мира часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Характерна для них большая, по сравнению с другими, степень неопределенности, непредсказуемости. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (испытания, эксперимента) протекает каждый раз несколько по-иному.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 15
1.1. Случайное событие. Его вероятность 15
1.2. Непосредственный подсчет вероятностей 21
1.3. Частота ИЛИ статистическая вероятность события 28
Глава 2. Аксиоматика теории вероятностей. Правила сложения и умножения вероятностей и их следствия 37
2.1. Элементарные сведения из теории множеств 37
2.2. Аксиомы теории вероятностей и их следствия. Правило сложения вероятностей 41
2.3. Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей 50
2.4. Примеры применения основных правил теории вероятностей 58
2.5. Формула полной вероятности 69
2.6. Теорема гипотез (формула Бойеса) 76
Глава 3. Случайные величины. Их законы распределения 82
3.1. Понятие случайной величины. Закон распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины 82
3.2. Функция распределения случайной величины. Ее свойства 87
3.3. Функция распределения дискретной случайной величины. Индикатор события 92
3.4. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения 94
3.5. Смешанная случайная величина 104
Глава 4. Числовые характеристики случайных величин 107
4.1. Роль и назначения числовых характеристик. Математическое ожидание случайной величины 107
4.2. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение 115
Глава 5. Некоторые важные для практики распределения дискретных случайных величин 129
5.1. Биномиальное распределение 129
5.2. Распределение Пуассона 135
5.3. Геометрическое распределение 146
5.4. Гипергеометрическое распределение 150
Глава 6. Некоторые важные для практики распределения непрерывных случайных величин 153
6.1. Равномерное распределение 153
6.2. Показательное распределение 158
6.3. Нормальное распределение 161
6.4. Гамма-распределение и распределение Эрланга 173
Глава 7. Системы случайных величин (случайные векторы) 177
7.1. Понятие о системе случайных величин 177
7.2. Функция распределения системы двух случайных величин 179
7.3. Система двух дискретных случайных величин. Матрица распределения 183
7.4. Система двух непрерывных случайных величин. Совместная плотность распределения 190
7.5. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы распределения 194
7.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции 213
7.7. Условные числовые характеристики системы случайных величин (X, Y). Регрессия 220
7.8. Закон распределения и числовые характеристики п-мерного случайного вектора 223
7.9. Двумерное нормальное распределение 230
7.10. Многомерное нормальное распределение 243
Глава 8. Числовые характеристики функций случайных величин 258
8.1. Математическое ожидание и дисперсия функции 258
8.2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин 267
8.3. Применение теорем о числовых характеристиках к решению инженерных задач 276
8.4. Числовые характеристики часто встречающихся в инженерной практике функций случайных величин 291
8.5. Числовые характеристики суммы случайного числа случайных слагаемых 298
8.6. Числовые характеристики минимальной и максимальной из двух случайных величин 306
8.7. Числовые характеристики модулей функций случайных величин 312
8.8. Комплексные случайные величины 318
8.9. Характеристическая функция случайной величины и ее свойства 321
8.10. Метод линеаризации функций случайных величин 328
Глава 9. Законы распределения функций случайных величин 336
9.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента 336
9.2. Получение случайной величины с заданным распределением путем функционального преобразования 347
9.3. Закон распределения функции двух случайных аргументов 353
9.4. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция двух законов распределения 357
9.5. Закон распределения функции нескольких случайных величин. Композиция нескольких законов распределения 302
9.6. Закон распределения минимума (максимума) двух случайных величин. Закон распределения порядковых статистик 372
9.7. Законы распределения функций от нормально распределенных случайных величин 380
9.8. Вероятностная смесь распределений. Закон распределения суммы случайного числа случайных слагаемых 388
Глава 10. Предельные теоремы теории вероятностей 399
10.1. Закон больших чисел 399
10.2. Центральная предельная теорема 413
Глава 11. Элементы математической статистики 430
11.1. Предмет и задачи математической статистики 430
11.2. Первичная статистическая совокупность. Ее упорядочение. Статистическая функция распределения 432
11.3. Группированный статистический ряд. Гистограмма 437
11.4. Выравнивание статистических распределений 440
11.5. Критерий согласия 445
11.6. Оценка числовых характеристик случайных величин по ограниченному числу опытов 451
11.7. Точность и надежность оценок числовых характеристик случайной величины 458
11.8. Оценка вероятности по частоте 462
11.9. Проверка значимости расхождений между двумя средними 467
Приложения 471
Список литературы 477
Основные сокращения 477
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Размер: px
Начинать показ со страницы:
Транскрипт
1 E.С. Вентцель, Л.А. ОВЧАРОВ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ и ее инженерные приложения Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений Пятое издание, стереотипное КНОРУС МОСКВА 16
2 УДК 519. ББК.171 В9 Рецензент Н. А. Кузнецов, директор Института проблем передачи информации РАН, академик В9 Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения: учебное пособие / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. 5-е изд., стер. М. : КНОРУС, с. ISBN В книге дается систематическое изложение основ теории случайных процессов по специальностям: кибернетика, прикладная математика, автоматизированные системы управления и переработки информации, автоматизация технологических процессов, транспорт. Она является логическим продолжением книги тех же авторов «Теория вероятностей и ее инженерные приложения». Первое издание вышло в 1991 г. Для студентов высших технических учебных заведений. Может быть полезно преподавателям, инженерам и научным работникам разных профилей, которые в своей практической деятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать задачи, связанные с анализом случайных процессов. УДК 519. ББК.171 Вентцель Елена Сергеевна Овчаров Лев Александрович Теория случайных процессов и ее инженерные приложения Сертификат соответствия РОСС RU.АГ51.Н38 от Изд Формат 6 9/16. Гарнитура «NewonC». Печать офсетная. Усл. печ. л. 8,. Уч. изд. л. 7,6. Тираж 15 экз. Заказ 1. ООО «Издательство «КноРус» , г. Москва, ул. Кедрова, д. 14, корп.. Тел.: E mail: hp:// Отпечатано в ОАО «Московская типография». 1985, г. Москва, пр. Мира, 15. Вентцель Е.C. (наследники), Овчаров Л.А., 16 ISBN ООО «Издательство «КноРус», 16
3 Оглавление Предисловие Введение Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов 1.1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов Законы распределения и основные характеристики случайных процессов Глава. Потоки события, их свойства и классификация.1. Потоки событий Некоторые свойства потоков Пальма Потоки Эрланга Предельные теоремы теории потоков Глава 3. Марковские процессы с дискретными состояниями. Марковские цепи 3.1. Граф состояний. Классификация состояний. Вероятности состояний Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и дискретным временем (цепи Маркова) Стационарный режим для цепи Маркова Глава 4. Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем 4.1. Описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем. Уравнения Колмогорова Однородные марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Стационарный режим, уравнения для предельных вероятностей состояний Закон распределения и числовые характеристики времени однократного пребывания марковского случайного процесса с непрерывным временем и дискретными состояниями в произвольном подмножестве состояний U Глава 5. Марковские процессы гибели и размножения с непрерывным временем 5.1. Определение марковского процесса гибели и размножения с непрерывным временем, его размеченный граф состояний, условия существования стационарного режима, предельные вероятности состояний Закон распределения и числовые характеристики времени нахождения процесса гибели и размножения в произвольном подмножестве состояний
4 4 Оглавление 5.3. Метод псевдосостояний Дифференциальные уравнения для характеристик марковского процесса гибели и размножения без ограничения на число состояний Дифференциальные уравнения для характеристик марковского процесса гибели и размножения при ограниченном числе состояний Глава 6. Стохастически зависимые процессы типа гибели и размножения 6.1. Основные понятия и определения Исследование взаимного влияния характеристик двух случайных процессов гибели и размножения Разложения случайных процессов гибели и размножения Разложение целочисленных случайных процессов Метод динамики средних. Уравнения для математических ожиданий, дисперсий и корреляционных функций отдельных составляющих, являющихся однородными разложениями процессов гибели и размножения Метод динамики моментов. Уравнения для математических ожиданий, дисперсий и корреляционных функций отдельных составляющих, являющихся однородными разложениями целочисленных случайных процессов Глава 7. Преобразования случайных процессов 7.1. Канонические разложения и интегральные канонические представления случайных процессов Линейные и нелинейные преобразования случайных процессов Линейная форма векторного случайного процесса. Сложение случайных процессов Комплексные случайные процессы Глава 8. Стационарные случайные процессы 8.1. Определение стационарного случайного процесса, эргодическое свойство Спектральное разложение стационарного случайного процесса. Спектральная плотность Линейные преобразования стационарных случайных процессов Преобразование стационарного случайного процесса стационарной линейной системой Приложение Основные сокращения Список литературы Указатель
5 Предисловие Книга представляет собой продолжение книги авторов «Теория вероятностей и ее инженерные приложения» (М. : КНОРУС, 1) и является систематическим изложением основ теории случайных процессов под углом зрения их практических приложений в различных областях инженерной практики. Отбор материала, а также стиль его изложения проводятся прежде всего исходя из этих приложений. Этому способствует разбор многочисленных задач и примеров, помещенных в книге и относящихся к различным областям инженерной деятельности: автоматизированные системы управления, автоматизация технологических процессов и производств, прикладная математика, вычислительная техника, транспорт, связь и т.п. Все инженерные приложения теории случайных процессов излагаются с одинаковых методических позиций, основанных на единой системе подходов. Это дает возможность показать, как с помощью одной и той же математической модели можно исследовать и решать различные задачи, встречающиеся в инженерных приложениях. Книга написана на базе лекций, читанных авторами в различных втузах на протяжении последних десятилетий по специальностям «Прикладная математика», «Автоматизированные системы обработки информации и управления», «Автоматизация технологических процессов» и др. Она прежде всего предназначена для инженеров и научных работников разных специальностей, которые в своей практической деятельности сталкиваются с задачами, связанными с воздействием случайных процессов на различные технические устройства в динамике их функционирования. Общетеоретические разделы книги адресованы широкому кругу читателей, она также может быть использована и в учебном процессе студентами и преподавателями соответствующих специальностей втузов, и как пособие по самообразованию. Математический аппарат, используемый в книге, в основном базируется на обычном втузовском курсе высшей математики и твердом знании основ теории вероятностей. Так как настоящая книга является продолжением книги авторов «Теория вероятностей и ее инженерные приложения» , то в ней используются ссылки на эту книгу, а сами ссылки помечаются звездочкой; например, п. 7.3* означает, что идет ссылка на пункт 7.3 книги ; (7.3.3)* означает, что идет ссылка на формулу (7.3.3) книги .
6 6 Предисловие Как и в первой книге, основное внимание уделяется не тонкостям математического аппарата теории случайных процессов, а единству методического подхода, иллюстрируемого многочисленными приложениями. Наше глубокое убеждение, основанное на многолетием опыте преподавания теории случайных процессов во втузах и применении этой теории в научных исследованиях, состоит в том, что именно такой подход к изучению теории случайных процессов более всего полезен тем, кто ставит перед собой целью решение конкретных инженерных задач. (Окончание решения задачи или примера отмечается в тексте знаком.) Несмотря на такой подход к изложению содержания книги, авторы стремились к тому, чтобы это не влияло на корректность формулировок и должную строгость применяемого математического аппарата. В книгу не вошли: теория массового обслуживания, которая является разделом теории случайных процессов, статистическая обработка случайных процессов, оптимизация систем, находящихся под воздействием случайных процессов, и их инженерные приложения. Такой отбор материала в эту книгу объясняется тем, что авторы предполагают по каждому из этих разделов написать отдельное руководство, где, так же как и здесь, основное внимание будет уделено различным инженерным приложениям. Авторы приносят глубокую благодарность академикам B. C. Пугачеву и Б. В. Гнеденко, академику РАН Н. А. Кузнецову, профессору А. Д. Вентцелю за ряд ценных предложений, а также М. А. Овчаровой, оказавшей большую помощь авторам при подготовке рукописи к изданию. Е. С. Вентцель, Л. A. Овчаров
7 Введение Так ранней утренней порой Отрывок тучи громовой, В лазурной тишине чернея, Один, нигде пристать не смея, Летит без цели и следа, Бог весть откуда и куда! М. Ю. Лермонтов. Демон Теорией случайных процессов называется математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений в динамике их развития. Теория случайных процессов (в другой терминологии теория случайных функций) представляет собой сравнительно новый раздел теории вероятностей, особенно бурно развивающийся в последние десятилетия в связи со все расширяющимся кругом его практических приложений. При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта неопределенность (непредсказуемость) вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Приведем несколько примеров таких процессов. 1. Напряжение в электросети, номинально постоянное и равное В, фактически меняется во времени, колеблется вокруг номинала под влиянием таких случайных факторов, как количество и вид включенных в сеть приборов, моменты их включений и выключений и т.д.. Население города (или области) меняется с течением времени случайным (непредсказуемым) образом под влиянием таких факторов, как рождаемость, смертность, миграция и т.д. 3. Уровень воды в реке (или в водохранилище) меняется во времени случайным образом в зависимости от погоды, количества осадков, таяния снега, интенсивности оросительных мероприятий и т.д. 4. Частица, совершающая броуновское движение в поле зрения микроскопа, меняет свое положение случайным образом в результате соударений с молекулами жидкости. 5. Происходит полет космической ракеты, которую необходимо вывести в заданный момент в заданную точку пространства с заданными направлением и абсолютным значением вектора скорости. Фактическое движение ракеты не совпадает с расчетным из-за таких случайных факторов, как турбулентность атмосферы, неоднородность горючего, ошибки в отработке команд и т.д.
8 8 Введение 6. ЭВМ в ходе работы может случайным образом переходить из состояния в состояние, например: s 1 работает исправно; s имеется неисправность, но она не обнаружена; s 3 неисправность обнаружена, ведется поиск ее источника; s 4 ремонтируется и т.д. Переходы из состояния в состояние происходят под действием случайных факторов, таких как колебания напряжения в сети питания ЭВМ, выход из строя отдельных элементов, момент обнаружения неисправностей, время их устранения и т.д. Строго говоря, в природе не существует совершенно неслучайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь (пример: процесс обращения планет вокруг Солнца). Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль (пример: вышерассмотренный процесс броуновского движения частицы). Между двумя крайними случаями лежит целый спектр процессов, в которых случайность играет бо льшую или меньшую роль. Учитывать (или не учитывать) случайность процесса зависит также и от того, какую практическую задачу мы решаем. Например, при составлении расписания движения самолетов между двумя пунктами можно считать их траектории прямолинейными, а движение равномерным; те же допущения не подойдут, если решается задача конструирования автопилота для управления полетом самолета. Случайный процесс, протекающий в любой физической системе S, представляет собой случайные переходы системы из состояния в состояние. Состояние системы может быть охарактеризовано с помощью каких-то численных переменных; в простейшем случае одной, а в более сложных нескольких. Вернемся к рассмотренным выше примерам. В примере 1 процесс описывается одной переменной (напряжением U), случайным образом меняющейся во времени, являющейся функцией времени U(). Аналогично в примере население N меняется случайным образом во времени: N(). Так же и в примере 3 случайный процесс характеризуется одной функцией H(), где Н уровень воды в реке. Все эти три функции являются случайными функциями времени. Обратим внимание на то, что при фиксированном каждая из них превращается в обычную случайную величину, хорошо известную по книге авторов . В результате опыта (когда он уже произведен) случайная функция превращается
9 Введение 9 в обычную неслучайную функцию. Например, если в ходе времени непрерывно измерять напряжение в сети, получится неслучайная функция u(), колеблющаяся вокруг номинала u (рис..1). u u() u() Рис..1 Несколько сложнее обстоит дело в примере 4: состояние частицы характеризуется уже не одной, а двумя случайными функциями X() и Y() координатами частицы в поле зрения микроскопа. Такой случайный процесс называется векторным, он описывается переменным случайным вектором, составляющие которого X(), Y() меняются с течением времени. Для фиксированного значения аргумента случайный процесс превращается в систему двух случайных величин X(), Y(), изображаемую случайной точкой (случайным вектором Q()) на плоскости ху (рис..). При изменении аргумента точка Q() будет перемещаться («блуждать») по плоскости х у так, как показано, например, на рис..3 для моментов времени 1, 3, y y i Q() Y() X() x Рис n x Рис..3 Еще сложнее обстоит дело с примером 5. Состояние ракеты в момент времени характеризуется не только тремя координатами X(), Y(), Z() центра массы ракеты, но и тремя составляющими ее скорости (не будем вводить для них специальных обозначений), тремя углами ориентации ракеты, угловыми скоростями движения вокруг центра
10 1 Введение массы, запасом топлива и т.п. Здесь перед нами пример многомерного случайного процесса: блуждание точки, описывающей состояние системы в момент времени, происходит в многомерном пространстве. Сложности, связанные с изучением таких процессов, с увеличением размерности растут в огромной степени. В этой книге мы почти не будем касаться многомерных процессов. Особое положение среди рассмотренных выше занимает пример 6. В этом примере состояние системы не характеризуется какойлибо численной величиной (или вектором), он описывается словами («качественно»), а случайный процесс сводится к «блужданию по состояниям». Разумеется, можно искусственно свести этот процесс к процессу случайного изменения одного параметра X, приписав ему (чисто условно) численное значение, равное номеру состояния: 1, 3, ; но искусственность такого приема сразу бросается в глаза: ведь состояния можно пронумеровать в произвольном порядке, и сведение процесса к такой численной форме вовсе не обязательно. В дальнейшем мы часто будем встречаться с такого типа случайными процессами (процессы с «качественными состояниями») и выработаем для них специальные приемы описания и анализа. При фиксированном значении аргумента случайное состояние системы превращается в некоторый аналог случайного события одно из возможных состояний, в котором система может находиться в момент времени. Как правило, множество таких состояний дискретно (конечно или счетно). Теория случайных процессов имеет широкое поле инженерных приложений. По мере углубления и уточнения наших знаний об окружающем мире, по мере усложнения технических устройств все большее число процессов приходится рассматривать как случайные, учитывая не только их поведение «в среднем», но и случайные отклонения от этого среднего. Соответственно все большее значение приобретает теория случайных процессов. Для современного периода развития техники характерно широкое применение компьютеров (ЭВМ), автоматизированное управление производственными процессами, а также автоматизированные и автоматические системы управления. Работа любой такой системы связана со случайными вариациями протекающих в ней процессов, т.е. с возникновением в ней случайного процесса. Разумное проектирование таких систем и анализ их работы требуют от инженера знания основ теории случайных процессов. В настоящее время практически нет таких областей инженерной деятельности, которые не были бы связаны со случайными процес-
11 Введение 11 сами и необходимостью их изучения. Любое работающее техническое устройство находится под влиянием случайных факторов, в большей или меньшей степени влияющих на режим его работы. Все без исключения метеорологические характеристики (температура, давление, влажность, скорость ветра, его направление и т.д.) представляют собой случайные процессы. Развитие и взаимодействие различных биологических популяций также носят черты случайных процессов. Все виды хозяйственной деятельности человека тоже зависят от случайных факторов (погоды, случайных колебаний спроса и предложения, количества людей, которых можно вовлечь в производство и т.п.) и, значит, описываются с помощью тех либо других случайных процессов. Работа любой автоматизированной системы управления (АСУ) представляет собой случайный процесс, обусловленный случайными моментами поступления информации и запросов, случайными моментами возникновения отказов элементов комплекса технических средств, ошибками операторов и т.п. Рост народонаселения, учет которого необходим при проектировании новых жилых массивов, также представляет собой случайный процесс. Из этого не следует, что теория случайных процессов единственный математический аппарат, пригодный для изучения таких явлений. Наряду с ним может применяться и обычный, «детерминистский» аппарат, в котором случайные факторы не учитываются. Но, пользуясь им, нельзя забывать, что он дает только приближенное, схематичное описание процесса, некоторое его «среднее» протекание, относительно которого возможны отклонения. При углубленном изучении процесса такие отклонения, как правило, приходится учитывать, для чего прибегают к аппарату теории случайных процессов. До сих пор мы говорили только о случайных функциях времени. В ряде задач практики встречаются случайные функции, зависящие не от времени, а от другого аргумента. Например, давление Р газа в газопроводе может меняться случайным образом с изменением расстояния l до точки, где измеряется давление, от источника, питающего газопровод, и представляет собой случайную функцию аргумента l. Давление P(l) с увеличением l имеет тенденцию уменьшаться (например, как показано на рис. 4). Под влиянием случайных факторов (засорение газопровода, неровности его внутренней поверхности, различный температурный режим на разных участках) давление будет меняться в зависимости от l случайным, нерегулярным образом. Другой пример: прочностные характеристики стержня представляют собой случайные функции абсциссы х сечения стержня.
12 1 Введение P() P(i) P(i) i Рис..4 i Строго говоря, случайным процессом следовало бы называть только случайную функцию, зависящую от времени; понятие «случайная функция» шире, чем понятие «случайный процесс». Мы такого разделения проводить не будем. Для простоты во всех случаях будем пользоваться термином «случайный процесс» безотносительно к физической природе аргумента, обозначенного буквой. В большинстве практических задач аргументом фигурирующих в них случайных функций является именно время. В некоторых задачах практики могут встретиться случайные функции, зависящие не от одного, а от нескольких аргументов.
13 Глава 1 Основные понятия теории случайных процессов 1.1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов Понятие случайного процесса (с. п.) в общих чертах было уже освещено во введении. Здесь мы уточним это понятие и дадим ему математическую формулировку. Ограничимся пока одномерными с. п., протекание которых сводится к одному числовому параметру X(), меняющемуся во времени случайным образом. Понятие случайного процесса представляет собой обобщение понятия случайной величины (с. в.), которое уже известно из книги . Напомним, как там определялась случайная величина (см. п). Под случайной величиной понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение. Далее дается формальное, теоретико-множественное определение с. в. как функции элементарного события ω, осуществляющегося в результате опыта и входящего в пространство элементарных событий Ω (ω Ω). При этом возможные значения х с. в. Х принадлежат множеству Ξ (x Ξ). Дадим теперь определение случайного процесса. Случайным процессом X() называется процесс, значение которого при любом фиксированном = является случайной величиной X() 1. Случайная величина X(), в которую обращается с. п. при =, называется сечением случайного процесса, соответствующим данному значению аргумента. В дальнейшем, говоря о сечении с. п., мы не всегда будем отмечать нулевым индексом то значение аргумента, которому оно соответствует, а будем по мере надобности говорить об одном и том же выражении то как о случайном процессе (при переменном), то как о случайной величине (при фиксированном). 1 Для процесса с «качественными состояниями» роль случайной величины играет «случайное состояние системы», в которой протекает процесс, т.е. одно из множества возможных в момент состояний.
14 14 Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов Аналогично тому, как мы записывали с. в. в виде функции элементарного события ω, появляющегося в результате опыта, можно и с. п. записать в виде функции двух аргументов времени и элементарного события ω: ω Ω, T, X() Ξ, (1.1.1) где ω элементарное событие, Ω пространство элементарных событий, Т область (множество) значений аргумента функции X(), Ξ множество возможных значений случайного процесса X(). Предположим, что опыт, в ходе которого с. п. протекает так или иначе, уже произведен, т.е. произошло элементарное событие ω Ω. Это значит, что с. п. уже неслучаен, и зависимость его от приняла вполне определенный вид: это уже обычная, неслучайная функция аргумента. Мы будем ее называть реализацией случайного процесса X() в данном опыте. Итак, реализацией случайного процесса X() называется неслучайная функция x(), в которую превращается случайный процесс X() в результате опыта; другими словами, конкретный вид, принятый с. п. X(), который наблюдался на каком-то отрезке времени от до τ (рис) 1. x() x() x(τ) x(τ) τ Рис Пользуясь формулой (1.1.1), можно записать реализацию как функцию ϕ от аргумента, изменяющегося в пределах множества Т, при фиксированном элементарном событии ω = ω : (T). (1.1.) Реализации с. п. на каждом шагу встречаются на практике. Любая реализация случайного процесса x() принадлежит множеству Ξ возможных значений случайного процесса X(): x() Ξ. Например, записывая с помощью какого-то прибора напряжение U питания ЭВМ в зависимости от времени на участке (, τ), по- 1 Мы здесь сохраняем принятую в книге систему обозначений, в которой случайные величины обозначаются, как правило, большими буквами, а неслучайные малыми буквами латинского алфавита.
15 1.1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов 15 лучим реализацию u() с. п. U() (см. рис. 1.1., где u номинальное напряжение питания). Записывая температуру воздуха Θ в зависимости от времени в течение суток, получим реализацию ϑ() с. п. в Θ() (рис). Вообще, любая запись прибора-самописца представляет собой реализацию того или другого с. п. u() u τ 1 4 Рис Рис Если произведен не один опыт, а несколько, в результате каждого из которых наблюдена какая-то реализация с. п. x i () (i номер опыта), то получим несколько различных реализации случайного процесса: x 1 (), x (), x 3 (), или семейство реализации (рис). x i () x 1 () x () Рис x i () Семейство реализации случайного процесса основной экспериментальный материал, на основе которого можно получить характеристики с. п. какие, мы увидим в дальнейшем. Семейство реализации с. п. аналогично совокупности наблюденных значений с. в. X с той разницей, что здесь наблюдаются не числовые значения, а функции. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих введенные понятия. 1. Производится n опытов, в каждом из которых непрерывно измеряется входное напряжение U(), подаваемое на ЭВМ, в течение времени τ; напряжение U() с номинальным значением u фактически представляет собой случайный процесс. Для любого фиксированного момента времени = напряжение представляет собой случайную величину U() сечение случайного процесса при =. Результат n опытов семейство реализации u 1 (), u (), u i (), u n (), показанное на рис Сечение U() с. п. U() при = представляет собой случайную величину, наблю-
16 16 Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов денные значения которой отмечены точками на вертикальной прямой, проведенной через точку: u 1 (), u i (), u n ().. Производится n опытов, в каждом из которых регистрируется число X() отказов (сбоев) ЭВМ от начала работы до момента времени. Наблюдения проводятся на участке времени от до τ. Случайный процесс X() принимает целочисленные значения, 1, 3, сохраняя их в промежутках между скачками, происходящими в моменты, когда происходит очередной отказ; его сечение X() при любом фиксированном дискретная случайная величина, множество возможных значений которой Ξ = {, 1, 3, }. Реализация x i () случайного процесса X() в i-м опыте представляет собой неслучайную ступенчатую функцию, скачки которой единичной величины происходят в моменты времени i1, i, i3, (рис). Реализации x 1 (), x (), x i (), x n () различны между собой (моменты скачков в общем случае не совпадают); изобразить на одном графике семейство реализации трудно (читателю предлагается мысленно наложить друг на друга n ступенчатых кривых типа изображенной на рис, различающихся моментами скачков, но не их величиной, всегда равной единице). u u() u n () u 1 () u i () u n () u () u i () u 1 () x i () τ i1 i i3 i4 τ Рис Рис Производится n опытов, в каждом из которых измеряется температура воздуха Θ (h) на высоте h над данной точкой земной поверхности, в фиксированный момент времени суток (например, в 19 часов). В данном примере аргументом случайной функции Θ(h) является не время, а высота h; но никакой принципиальной разницы с предыдущими примерами нет. Сечение функции Θ(h) при фиксированном h представляет собой непрерывную случайную величину. На рисунке представлено семейство реализации случайной функции Θ(h): ϑ 1 (h), ϑ (h), ϑ i (h),..., ϑ n (h). Вообще, с возрастанием h температура имеет тенденцию понижаться, но бывает, что она и повышается (так называемые «инверсии»).
17 1.1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов 17 ϑ i (h) h ϑ i (h) ϑ n (h) ϑ (h) ϑ 1 (h) Рис Теперь вернемся к самому понятию случайного процесса и дадим некоторые пояснения. Мы уже знаем, что с. п. X() представляет собой функцию, которая при любом является случайной величиной (сечением случайного процесса). Понятие случайного процесса является обобщением понятия случайной величины на случай, когда условия опыта не постоянны, а меняются (в частности, время «течет»). Случайная величина Х соответствует случайному явлению как бы «в статике» (в неизменных условиях опыта), а случайный процесс X() «в динамике» (в изменяющихся условиях опыта). Каждое сечение с. п. X() при заданном есть с. в., а совокупность всех сечений при всевозможных и есть с. п. X(). Значит, случайный процесс представляет собой не что иное, как систему случайных величин всех сечений этого процесса. Сколько же существует сечений? В общем случае бесконечное (несчетное) множество. Рассматривать в совокупности такую систему с. в. очень трудно, если не невозможно. Естественно как-то ограничить себя, чтобы сделать задачу обозримой. Мы знаем, что любую функцию f() аргумента (из встречающихся в реальной практике, а не в специально придуманных примерах) можно приближенно представить последовательностью ее значений в точках (рис). Чем больше количество k точек 1, k, тем точнее будет замена функции f() последовательностью значений f(1), f(), f(k). Аналогично будет обстоять дело и со с. п. X(). Его можно приближенно заменить совокупностью (системой) случайных величин X(1), X(), X(k) его сечений в точках 1, k. Чем больше сечений будет рассматриваться, тем более подробное представление о случайном процессе мы получим. В пределе число сечений (число случайных величин в системе, или число составляющих случайного вектора) должно быть бесконечным. Изучение систем бесконечного (несчетного) числа случайных величин задача непомерной трудно-
18 18 Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов сти; на практике всегда приходится ее упрощать, заменяя более доступной. Примеры таких упрощений встретятся нам в дальнейшем. Нужно стараться при изучении интересующих нас свойств случайного процесса обойтись как можно меньшим числом сечений. F() 1 3 k Рис В теории случайных процессов принято классифицировать их по тем или другим признакам, учитывая плавность или скачкообразность реализации, фиксированность или случайность моментов, в которые могут происходить скачки и т.д., вид закона распределения отдельного сечения процесса или совокупности его сечений и т.д. Познакомимся с самой элементарной классификацией случайных процессов «по времени» и «по состояниям». Случайный процесс X() называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты 1, j, число которых конечно или счетно. Множество Т является дискретным. Примеры процессов с дискретным временем: 1) процесс работы ЭВМ, которая может менять свои состояния в моменты 1, j, определяемые тактом работы машины;) процесс работы технического устройства, которое осматривается в моменты 1, и переводится в результате осмотра из одной категории в другую; 3) процесс обстрела цели в моменты 1, в ходе которого цель может менять свои состояния (не повреждена, частично выведена из строя, перестала функционировать, полностью разрушена и т.п.). Если рассматривается одномерный случайный процесс X() с дискретным временем (моменты 1,), то его сечения в эти моменты образуют последовательность случайных величин: X(), X(),. В качестве аргумента последовательности может быть выбран номер значения момента перехода: Х (1), Х (),. Случайный процесс X() называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент наблюдаемого периода τ.
19 1.1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов 19 Для процесса с непрерывным временем множество Т моментов, когда система меняет свое состояние, несчетно (они непрерывно заполняют рассматриваемый участок оси абсцисс). Примеры случайных процессов с непрерывным временем: 1) X() число отказов технического устройства от начала работы до момента;) броуновское движение частицы в поле зрения микроскопа; 3) число N() заболевших в данном городе в ходе развития эпидемии к моменту. Одномерный случайный процесс X() называется процессом с непрерывными состояниями, если его сечение в любой момент представляет собой не дискретную, а непрерывную (или смешанную) случайную величину и, значит, множество ее значений Ξ несчетно. Аналогично, многомерный (векторный) случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если при любом множество возможных значений случайного вектора, определяющего состояние системы S, в которой протекает процесс, несчетно. Примеры с. п. с непрерывными состояниями: 1) напряжение U() питания ЭВМ в момент;) давление газа P() в заданном резервуаре в момент; 3) координаты частицы, совершающей броуновское движение X(), Y(), в момент (двумерный случайный процесс с непрерывными состояниями); 4) параметры, характеризующие в момент состояние космической ракеты, выводимой на орбиту (многомерный случайный процесс с непрерывными состояниями). Случайный процесс, протекающий в системе S, называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент времени множество его состояний Ξ конечно или счетно; другими словами, если его сечение в любой момент характеризуется дискретной случайной величиной X() (в многомерном случае несколькими дискретными случайными величинами). Разумеется, все случайные процессы с «качественными» состояниями относятся к категории процессов с дискретными состояниями; сечение такого процесса представляет собой случайное событие аналог дискретной случайной величины (см. введение). Таким образом, в зависимости от характера множества Т значений аргумента, в которые возможны переходы системы из состояния в состояние, а также множества Ξ самих состояний все случайные процессы можно разделить на четыре класса: 1а. Процессы с дискретными состояниями и дискретным временем. 1б. Процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. а. Процессы с непрерывными состояниями и дискретным временем. б. Процессы с непрерывными состояниями и непрерывным временем.
20 Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов Примеры процессов разных типов: 1а. Некто купил m билетов выигрышного займа, которые могут выигрывать и погашаться в заранее известные моменты тиражей 1, Случайный процесс X() число билетов, выигравших до момента. 1б. Техническое устройство состоит из n узлов, которые могут в ходе работы устройства отказывать (выходить из строя). Случайный процесс X() число узлов, отказавших до момента. Еще пример процесса типа 1б: техническое устройство может под действием случайных факторов находиться в одном из состояний: s 1 работает исправно; s работает с перебоями; s 3 остановлено, ведется поиск неисправности; s 4 ремонтируется; s 5 окончательно вышло из строя, списано. Сечение такого процесса представляет собой, как для каждого процесса с «качественными состояниями», обобщенную случайную величину дискретного типа, «возможные значения» которой описываются не численно, а словесно. а. В определенные моменты времени 1, регистрируется температура воздуха Θ() в заданной точке пространства. Последовательность значений этой величины случайный процесс Θ() с непрерывными состояниями и дискретным временем. б. Процесс изменения напряжения U() в электросети питания ЭВМ представляет собой случайный процесс с непрерывными состояниями и непрерывным временем. Для различных типов случайных процессов разработаны различные методы их изучения и описания, с которыми мы познакомимся в дальнейшем. В ряде задач случайные процессы бывает удобно выражать через простейшие (или «элементарные») случайные функции. Элементарной случайной функцией (э. с. ф.) будем называть такую функцию аргумента, где зависимость от представлена обычной, неслучайной функцией, в которую в качестве параметров входят одна или несколько обычных, не зависящих от случайных величин. Рассмотрим ряд примеров э. с. ф. Для каждого из них построим семейство реализации, приписывая фигурирующей в примере случайной величине (или случайному вектору) ряд значений. В каждом из примеров э. с. ф. обозначена Y(), ее реализации y 1 (), y (), Пример 1. Э. с. ф. имеет вид где Х непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (1, 1).
21 1.1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов 1 Семейство реализации э. с. ф. Y() показано на рис; каждая из них представляет собой показательную кривую с ординатами, пропорциональными ординатам кривой e (жирная линия); отдельные реализации (тонкие линии) различаются между собой масштабом по оси ординат. Когда с. в. Х принимает отрицательное значение, соответствующая реализация лежит ниже оси абсцисс. Пример. Э. с. ф. имеет вид (1.1.3) где Х случайная величина, принимающая только положительные значения. Семейство реализации э. с. ф. (1.1.3) показано на рис Каждая из этих реализации представляет собой показательную кривую, проходящую через точку с координатами (, 1); различаются они между собой скоростью стремления к нулю при. y i () y i () 1 e =y 1 () 1 y i () y () y 3 () y 1 () 1 e =y () y i () Рис Рис Пример 3. Y() = a + X, где X случайная величина, а неслучайная величина. Каждая реализация (рис) представляет собой прямую с угловым коэффициентом а, параллельную прямой у = a, различаются реализации начальными ординатами. Пример 4. Y() = X + a, где Y случайная величина, а неслучайная величина. Каждая из реализации прямая линия, проходящая через точку (, a) (рис). Реализации различаются угловыми коэффициентами. Пример 5. Y() = X cos a, где X случайная величина, а неслучайная величина. Семейство реализации показано на рис; каждая из них косинусоида, ординаты которой умножены на тот или другой случайный коэффициент. Реализации различаются между собой амплитудой, т.е. масштабом по оси ординат.
22 Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов y i () y i () y i () y 3 ()=a y i () x i x y () y 1 () a y 1 () y () y 3 () x 1 Рис Рис y i () y 1 () y () y i () Рис Пример 6. Y() = cos U, где U случайная величина, принимающая положительные значения. Семейство реализаций показано на рис; каждая из них проходит через точку (, 1). Реализации различаются между собой по частоте. 1 y i () y 1 () y i () y () 1 Рис Пример 7. Y() = cos(ω + X), где X случайная фаза колебаний, распределенная равномерно в интервале (π; π). Семейство реализации э. с. ф. показано на рис Пример 8. Y() = U cos a + V sin a, где (U, V) система случайных величин, а неслучайная величина. Семейство реализации представлено на рис Каждая реализация представляет собой гармоническое колебание на частоте а со случайной амплитудой и случайной фазой.
23 1.1. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов 3 y i () 1 y 1 () y () 1 y i () y () y i () y 1 () Рис y i () Рис Пример 9. Y() = a + U + V, где (U, V) система двух случайных величин, а неслучайная величина. Семейство реализации показано на рис Каждая реализация проходит через точку (, а). В крайнем случае э. с. ф. может выродиться в неслучайную функцию y() = ψ() (рис) (тогда все ее реализации совпадают между собой и с функцией ψ() или даже вообще превращаются в неслучайную величину а: у = а; все реализации в этом случае совпадают с прямой а. y i () y 1 () a y () y() y()=ψ() y i () Рис Рис
24 4 Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов 1.. Законы распределения и основные характеристики случайных процессов Мы знаем (см. главу 3* в ), что полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является ее закон распределения. Для дискретной с. в. он может быть задан рядом распределения, для непрерывной с. в. плотностью распределения (п. р.). Универсальной исчерпывающей характеристикой любой с. в. Х дискретной, непрерывной или смешанной является ее функция распределения (ф. р.) F(x) = Р {Х < х), т.е. вероятность того, что с. в. Х примет значение, меньшее заданного х. Пусть имеется с. п. X(). Мы знаем, что сечение с. п. X() при любом фиксированном значении аргумента представляет собой случайную величину, которая имеет закон распределения { } F(, x) = P X() < x. (1..1) Эта функция зависит от двух аргументов: во-первых, от значения, для которого берется сечение; во-вторых, от значения х, меньше которого должна быть с. в. X() (рис. 1..1). Функция (1..1) называется одномерным законом распределения с. п. X(). x X() X() X() Рис Итак, перед нами функция двух аргументов (1..1). Является ли функция (1..1) полной, исчерпывающей характеристикой случайного процесса X()? Очевидно, нет. Эта функция характеризует только свойства одного отдельно взятого сечения с. п. X(), но не дает понятия о совместном распределении двух (или более) сечений с. п. В самом деле, можно представить себе два случайных процесса с одинаковым распределением в каждом сечении, но совершенно различных по своей структуре. Первый представлен совокупностью своих реализации на рис. 1.., второй на рис Первый процесс имеет плавный характер, второй более резкий, «нервный». Для первого процесса характерна более тесная зависимость между сечениями
25 1.. Законы распределения и основные характеристики случайных процессов 5 с. п.; для второго эта зависимость затухает довольно быстро с увеличением расстояния между сечениями. Очевидно, одномерный закон распределения (1..1) не может служить полной, исчерпывающей характеристикой с. п. X(). Очевидно также, что более полной (но все еще не исчерпывающей) характеристикой будет двумерный закон распределения, представленный совместной функцией распределения двух сечений с. п., взятых соответственно для моментов 1 и: { } F(, x, x) = P X() < x, X() < x. (1..) x() x() Рис. 1.. Рис Это функция уже не двух, а четырех аргументов: двух моментов времени, для которых берутся сечения, и двух значений х 1 и x (рис. 1..4). Функция четырех аргументов это уже неприятно! Однако и двумерный закон распределения (1..) еще не является исчерпывающей характеристикой с. п. Х (); еще более полной характеристикой будет трехмерный закон и т.д. F(, ; x, x, x) = X() < x, X() < x, X() < x P { } X() x x 1 1 X(1) X() Рис Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число сечений и получать при этом все более полную характеристику с. п. Однако оперировать со столь громоздкими характеристиками, завися-
26 6 Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов щими от многих аргументов, крайне неудобно; к тому же объем экспериментального материала, необходимого для их получения, с увеличением числа сечений растет чрезвычайно быстро. Поэтому на практике более чем двумерные законы распределения применяются крайне редко. В инженерных приложениях обычно ограничиваются одномерным, иногда двумерным законом распределения с. п. Нередко этого оказывается и достаточно. Во многих случаях инженерной практики протекающие в системах процессы можно (точно или приближенно) представлять как марковские (или «процессы без последействия», см. главы 4, 5). Для таких процессов исчерпывающей характеристикой будет двумерный закон (1..). Существует большой класс процессов так называемые нормальные, или гауссовские случайные процессы, в которых двумерный закон распределения (1..) будет также исчерпывающей характеристикой. Но чаще всего при исследовании случайных процессов для практических целей вообще отказываются от законов распределения с. п., а пользуются его основными характеристиками, описывающими с. п. не полностью, а частично. Мы знаем (см. главу 8*), что многие задачи теории вероятностей можно решать, совсем не прибегая к законам распределения случайных величин, а пользуясь только их числовыми характеристиками, такими как математическое ожидание (м. о.), дисперсия, ковариация, начальные и центральные моменты разных порядков и т.д. Аналогично обстоит дело и со случайными процессами, только для них основные характеристики будут уже не числами, а функциями аргумента, от которого зависит с. п. X(), или же двух (обычно не больше) значений этого аргумента. Первой и важнейшей характеристикой с. п. X() является его математическое ожидание, т.е. «средняя» функция, вокруг которой происходит разброс реализации с. п. (см. жирную линию m x () на рис. 1..5, где тонкими линиями даны реализации с. п.). Заметим, что эта функция, характеризующая «среднее» значение случайного процесса, является сама уже неслучайной. Обозначим ее m x (). Итак, математическим ожиданием случайного процесса X() называется неслучайная функция m x (), которая при любом значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса: m () M X() 1. (1..3) x = 1 Будем исходить из допущения, что м. о. случайного процесса существует, не оговаривая это специально каждый раз.
27 1.. Законы распределения и основные характеристики случайных процессов 7 x() m x () Рис Зная одномерный закон распределения с. п. X(), всегда можно найти m x () для любого сечения и установить его зависимость от. Как находится математическое ожидание по закону распределения, мы уже знаем из книги (см. главу 4*): если с. в. Х дискретна, ее м. о. находится как сумма произведений ее возможных значений на их вероятности: m = x p ; x i i i если она непрерывна и имеет плотность f(x) м. о. вычисляется как интеграл: m x = x f(x) dx. Математическое ожидание смешанной с. в. Х находится как сумма произведений значений с. в., обладающих отличными от нуля вероятностями, на эти вероятности плюс интеграл, распространенный на участки непрерывности функции распределения F(x) (см. (4.1.4)*). Совершенно аналогично, зафиксировав и переходя от случайного процесса к случайной величине (его сечению), можно вычислить м. о. этого процесса. Например, если сечение с. п. X() при данном представляет собой дискретную с. в. с рядом распределения X x1() x() p() p () xi() p() то его м. о. может быть вычислено по формуле i......, (*) m M X() x () p(). (1..4) = = x i i i Здесь x 1 (), x (), x i (), первое, второе, i-е, значения, которые может принимать случайная величина X() сечение с. п.
28 8 Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов при данном; p 1 (), p (),. p i (), соответствующие вероятности: p 1 () = P {X() = x 1 ()}, p i () = P {X() = x i ()}, Очень часто встречается случай, когда значения с. в. X() не зависят от, а зависят от только их вероятности; в этом случае ряд распределения имеет вид X (): x1 x... xi... p() p ()... p()... 1 i (**) В тех примерах случайных процессов с дискретными состояниями, которые мы приводили в п. 1.1, значения x 1, x, x i, не зависели от и просто были целыми числами, 1, i,. Если сечение с. п. X() при данном представляет собой непрерывную с. в. с плотностью f(, x), его м. о. может быть вычислено по формуле mx () = M [ X() ]= xf(, x) dx. (1..5) Для случая смешанной случайной величины X() м. о., как обычно, вычисляется как сумма плюс интеграл (см. (4.1.4)*); соответствующих формул здесь не будем выписывать ввиду их сравнительной громоздкости. Размерность функции m x () равна размерности с. п. X(). На практике чаще всего математическое ожидание m x () с. п. вычисляется не по его одномерному закону распределения, а заменяется приближенной оценкой, которую можно найти по опытным данным (см. п. 11.6*). Введем понятие центрированного случайного процесса; оно аналогично понятию центрированной с. в. (см. (4..6)*). Центрированным случайным процессом X () называется процесс, который получится, если из с. п. X() вычесть его м. о.: ο X X m x ο ()= () (). (1..6) Из определения (1..4), (1..5) математического ожидания с. п. следует, что м. о. центрированного с. п. X () тождественно равно нулю, т.е. ο ο ο M X () = M X () mx (). (1..7) Реализации xi () центрированного с. п. X () представляют собой отклонения с. п. X () от его математического ожидания; эти отклоне- ο
29 1.. Законы распределения и основные характеристики случайных процессов 9 ния имеют как положительные, так и отрицательные значения, а в среднем равны нулю (рис. 1..6). Рис Кроме м. о. в теории случайных процессов рассматриваются и другие их характеристики, аналогичные числовым характеристикам с. в. (с той разницей, что они будут уже не числами, а функциями): начальные и центральные моменты. Начальным моментом k-го порядка случайного процесса X() называется м. о. k-й степени соответствующего сечения с. п.: α k k = M X ()., (1..8) () а центральным моментом k-го порядка м. о. k-й степени центрированного с. п.: k ο k µ k ()= M (X ()) = M (X () mx ()). (1..9) Из начальных моментов, кроме математического ожидания (первого начального момента), чаще всего применяется второй начальный момент: M [(X())] (в иной записи: M [ X ()]); из центральных второй центральный момент, иначе дисперсия случайного процесса, которая при каждом равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса: () ο Dx ()= D X () = M X (). (1..1) = Вспомним, как выражается дисперсия с. в. через ее второй началь- ный момент (см. (4..17)*): D X M X m x, т.е. дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания. Совершенно такое же соотношение связывает дисперсию с. п. с его вторым начальным моментом: Dx()= D X () = M X () m () x. (1..11)
30 3 Глава 1. Основные понятия теории случайных процессов Следовательно, дисперсией с. п. X() называется неслучайная функция D x (), которая при любом значении аргумента равна дисперсии соответствующего сечения случайного процесса X(). Зная закон распределения любого сечения с. п. X() (одномерный закон распределения), можно по известным правилам найти дисперсию с. п. X(). Если сечение X() представляет собой дискретную с. в. с рядом распределения (**), то дисперсия с. п. находится по формуле () () D ()= D X () = x m () p, (1..1) x i x i где i номер возможного значения с. в. X() при данном; p i () вероятность этого значения, или же, через второй начальный момент, ()= () = () () x i i x i D D X x p m. (1..13) Если сечение X() представляет собой непрерывную с. в. с плотностью f(, x), то дисперсия с. п. может быть вычислена по формуле или же, через второй начальный момент 1, (1..14) D x f, x dx m. (1..15) x ()= () x() Таким образом, как м. о., так и дисперсия с. п. X () определяются его одномерным законом распределения. Если м. о. m x () с. п. X () представляет собой некоторую неслучайную «среднюю функцию», около которой варьируются реализации случайного процесса, то дисперсия с. п. D x () представляет собой неслучайную неотрицательную функцию, характеризующую степень разброса реализации с. п. X () около его м. о. m x (), т.е. степень разброса реализации центрированного случайного процесса X Средним квадратичным отклонением (с. к. о.) σ x () с. п. X () называется арифметическое значение корня квадратного из дисперсии D x (): ο (). 1 Случай смешанной с. в. X(), как и выше, опускаем ввиду сравнительной громоздкости соответствующих формул.
Б А К А Л А В Р И А Т E.С. ВЕНТЦЕЛЬ, Л.А. ОВЧАРОВ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ЕЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия
E.С. Вентцель Л.А. Овчаров ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших технических
66 Понятие о случайной функции Вспомним определение случайной величины Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее - какое
Теория массового обслуживания (ТМО) изучает процессы, в которых возникают требования на выполнение каких-либо видов услуг, и происходит обслуживание этих требований. Объектами (ТМО) могут быть производственные
ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Случайный анализ Часто при исследовании различных явлений природы, экономических и технических процессов приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени.
УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных
Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию
Часть КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений которые предъявляются к их вероятностным
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ Случайные величины Функции распределения вероятностей случайных величин Простейшая модель физического эксперимента последовательность независимых опытов (испытаний
3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.
ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Глава 22 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 22.1. Событие, классификация событий, вероятность
Часть 4 СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 41 ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ СТИЛТЬЕСА Для спектральных разложений случайных функций пользуется интеграл Стилтьеса Поэтому приведем определение и некоторые свойства
Теория надежности раздел прикладной математики, в котором разрабатываются методы обеспечения эффективной работы изделий. Под надежностью в широком смысле слова понимается способность технического устройства
А. М. Карлов Теория вероятностей и математическая статистика для экономистов Рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет
1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая
Статистическая радиофизика и теория информации. Введение Радиофизика как наука изучает физические явления существенные для радиосвязи, излучения и распространения радиоволн, приема радиосигналов. Предметом
3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА) Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем
Лекция Элементы теории систем массового обслуживания 11. Элементы теории систем массового обслуживания Вопросы темы: 1. Основные понятия. Классификация СМО. 2. Понятие марковского случайного процесса.
Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую
Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Донбасская государственная машиностроительная академия (ДГМА) В. Н. Черномаз, Л. В. Васильева СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ для студентов направления подготовки
Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение
Цепи Маркова частный случай случайного процесса, применительно к изучению состояния рейтинга МИЭФ План 1. Введение 1.1. Введение в теорию случайных процессов; классификация случайных процессов; 1.2. Цепи
ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих
Лекция 1-2 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ПРОЦЕССОВ На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод
Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и
Случайные величины. Определение СВ (Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? (Дискретные и непрерывные.
Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются
Оглавление Глава Случайные процессы Простая однородная цепь Маркова Уравнение Маркова Простая однородная цепь Маркова 4 Свойства матрицы перехода 5 Численный эксперимент: стабилизация распределения вероятностей
ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине
Лекция 8 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить функции плотности и числовые характеристики случайных величин имеющих равномерное показательное нормальное и гамма-распределение
В. К. Романко Разностные уравнения 3-е издание (электронное) 2015 УДК 517 ББК 22.161.6 Р69 Р69 Романко В. К. Разностные уравнения [Электронный ресурс] : учебное пособие / В. К. Романко. 3-е изд. (эл.).
ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и
Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением
2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и
Лекция 8 Тема Сравнение случайных величин или признаков. Содержание темы Аналогия дискретных СВ и выборок Виды зависимостей двух случайных величин (выборок) Функциональная зависимость. Линии регрессии.
СРЕДНЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ М.И. Башмаков Математика Рекомендовано ФГУ «ФИРО» в качестве учебника для использования в учебном процессе образовательных учреждений среднего профессионального образования,
Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это
Издательско-торговая корпорация Дашков и К К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебник 2-е издание Рекомендовано ГОУ ВПО «Государственный университет
Потоки событий Пуассоновский поток событий Стационарный Простейший Нестационарный Потоки с ограниченным последействием Потоки Пальма Потоки Эрланга Обслуживание заявок ИМЭП - УлГТУ каф. ИС Евсеева О.Н.
Лекция 1 Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Теория случайных процессов является частью теории вероятностей. Специфика теории случайных процессов состоит в том, что в ней рассматриваются
Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление
Лекция 6 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики положения и моменты непрерывных и дискретных случайных величин Числовые характеристики положения Закон
Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева
Р.Л.Стратонович УСЛОВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Книга является первой монографией, посвященной теории условных марковских процессов. Данная теория относится
Освоение дисциплины «Случайные процессы» необходимо начинать последовательно раздел за разделом. Освоение раздела начинать с теоретической справки, затем перейти к разбору приведенного решения типового
Уравнения динамики и статики. Линеаризация На определенном этапе разработки и исследования системы автоматического управления получают ее математическое описание описание процессов проистекающих в системе
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти
ЛЕКЦИЯ N 43 Кратные интегралы Алгоритм построения Свойства Вычисление в декартовых координатах Двойные интегралы 2Связь между обыкновенным и двойным интегралом 3 3Основные свойства двойного и тройного
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Саратовский государственный технический университет СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Методические указания к практическим
Лекция 8 Волновое движение Распространение колебаний в однородной упругой среде Продольные и поперечные волны Уравнение плоской гармонической бегущей волны смещение, скорость и относительная деформация
