Галицкий квантовая механика. Учебники по теоретической физике. Решение квантовой механики на заказ

Для многих студентов квантовая механика - все равно что китайская грамота. Почему данная наука вызывает непонимание, а каждое домашнее или контрольное задание становится труднопреодолимым испытанием?

Причины бывают самые разные в зависимости от того, к какому виду относится тот или иной студент. Без лукавства можно сказать, что самой распространенной из них является элементарная лень. Большинство студентов не имеют желания тратить время и усилия на освоение науки, сильно отличной от всех и потому требующей большего внимания. Другие страдают от нехватки базовых знаний в области математики и физики , ведь, согласитесь, сложно решать квантовомеханические дифференциальные уравнения, не имея хороших навыков дифференцирования и интегрирования . Вызван дефицит знаний ленью или “плохой школой” - уже другая история.

Конечно, бывает и такoй фактор, как преподавание предмета плохим лектором, неспособным грамотно, логически структурированно пояснить фундаментальные основы квантовой механики.

Квантовая механика не является чем-то недоступным для человеческого понимания . На самом деле, при наличии желания понять данный предмет и должном усердии можно достичь больших успехов (что справедливо, впрочем, и для любого другого предмета).

Желающим приложить усилия и изучить квантовую механику как следует можем дать следующие рекомендации. Итак, краткая инструкция:

1. Восполните пробелы в своих знаниях по линейной алгебре: линейные пространства, базисы, детерминанты, матрицы. Без этих знаний вам будет сложной понять математический аппарат квантовой механики. Рекомендую доступную в плане изложения книгу - Головина Л.И.«Линейная алгебра и некоторые ее приложения».
2. Вспомните, как решать дифференциальные уравнения . Если не умеете, научитесь!
3. К сожалению, хороших русскоязычных учебников по квантовой механике мало. Традиционно, для курса квантовой механики используют следующий учебник: Л.Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Квантовая механика» . Можно воспользоваться такими книгами, как Мессиа А. « Квантовая механика» . Если есть возможность, то лучше ознакомиться с хорошим западным учебником, например, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu , Frank Laloe « Quantum Mechanics » (книжка содержит много информации разного уровня, очень полная в плане содержания, нет необходимости читать все, только главы с необходимыми темами).
4. Читать хорошо, но надо и практиковаться, решать задачки и выполнять некие математические выкладки для понимания того, что и откуда выводится. Для этих целей хорошо подходят следующие задачники:
   • В.М.Галицкий, Б.М.Карнаков, В.И.Коган. «Задачи по квантовой механике».
   • З. Флюгге. «Задачи по квантовой механике» (содержит и теорию).

Для желающих заработать хорошую оценку при меньших усилиях , есть хорошая новость. За исключением отдельных физических специализаций на отдельных факультетах, большинство проходит неполный курс ознакомительного характера. А это значит, что круг тем для вас значительно сужается и вам достаточно освоить фундаментальные принципы квантовой механики, которые не являются очень сложными, но требуют некоторого осмысления. К книжкам надо обращаться, но вам потребуются лишь первые главы.

Квантовый мир устроен немного иначе. И вам надо понять основные различия между квантовой механикой и теоретической: получить представление о вероятностном характере движения электрона, уяснить принцип неопределенности Гейзенберга и его последствия, и т.д.

Типичные вопросы, на которых ловят нерадивых студентов:

• Почему движущийся с ускорением электрон не падает на ядро, теряя энергию при излучении электромагнитных волн?
• Схоже ли движение электрона вокруг ядра с движением Луны вокруг солнца (нет, поймите почему)?
• Может ли частица проскочить через барьер с энергией меньшей, чем высота барьера (вероятность туннелирования маленькая, но не нулевая)?
• В чем отличие квантового гармонического осциллятора от классического гармоническом осцилляторе из курса теоретической механики (обязательно поясните для себя, в чем состоит различие между двумя этими задачами)?

Решение квантовой механики на заказ

Для тех, кому изучение квантовой механики кажется слишком сложным путем, есть мы, решатели. У нас можно по квантам. Нужно только прикрепить задание и указать сроки.

Книга содержит задачи различной степени трудности в основном по нерелятивистской квантовой механике. В первой части книги отражены основные физические принципы, математический аппарат и расчетные методы нерелятивистской квантовой механики. Иллюстрируется их применение на простых модельных системах. Ко всем задачам даны решения.

Книга адресована физикам - студентам и аспирантам высших учебных заведений, как экспериментаторам, так и теоретикам, изучающим квантовую механику.

Оглавление
Предисловие к третьему изданию.
Предисловие ко второму изданию.
Принятые сокращения.
Наиболее часто используемые обозначения.
Универсальные константы.
Глава 1 Операторы в квантовой механике.
§1 Основные понятия теории линейных операторов.
§2 Собственные функции, собственные значения, средние.
§3 Проекционные операторы.
§4 Представления операторов и волновых функций. Унитарные преобразования.
Глава 2 Одномерное движение.
§1 Стационарные состояния дискретного спектра.
§2 Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении. Функция Грина уравнения Шрёдингера. Интегральная форма уравнения Шрёдингера.
§3 Состояния непрерывного спектра. Прохождение через потенциальные барьеры.
§4 Системы с несколькими степенями свободы. Частица в периодическом потенциале.
Глава 3 Момент импульса.
§ 1 Общие свойства момента.
§2 Момент L=l.
§3 Сложение моментов.
§4 Тензорный формализм в теории момента.
Глава 4. Движение в центральном поле.
§ 1 Состояния дискретного спектра в центральных полях.
§2 Состояния с малой энергией связи. Частица в совместном поле короткодействующего и дальнедействующего потенциалов.
§3 Системы с аксиальной симметрией.
Глава 5 Спин.
§1Спин а=1/2.
§2 Спин-орбитальные состояния частицы со спином а= 1/2. Высшие спины.
§3 Спиновая (поляризационная) матрица плотности. Угловые распределения и корреляции в распадах.
Глава 6 Изменение состояния во времени.
§1 Представление Шрёдингера. Движение волновых пакетов.
§2 Изменение во времени физических величин. Интегралы движения.
§3 Унитарные преобразования, зависящие от времени. Гейзенберговское представление.
§4 Временные функции Грина.
§5 Квазистационарные и квазиэнергетические состояния.
Глава 7 Движение в магнитном поле.
§1 Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля.
§2 Изменение состояний во времени.
§3 Магнитное поле орбитальных токов и спинового магнитного момента.
Глава 8 Теория возмущений. Вариационный метод. Внезапные и адиабатические воздействия.
§1 Стационарная теория возмущений (дискретный спектр).
§2 Вариационный метод.
§3 Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр).
§4 Нестандартная теория возмущений. Переходы в непрерывном спектре
§5 Внезапные воздействия.
§6 Адиабатическое приближение.
Глава 9 Квазиклассическое приближение. 1/N -разложение в квантовой механике.
§1 Квантование энергетического спектра.
§2 Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние.
§3 Прохождение через потенциальные барьеры.
§4 1/N-разложение в квантовой механике.
Дополнение.
Список литературы.

Примеры.
1.Привести примеры такой ситуации, когда в некотором состоянии: а) две физические величины, операторы которых не коммутируют, имеют одновременно определенные значения; б) из двух физических величин, операторы которых коммутируют, определенное значение имеет лишь одна.
Решение, а) Операторы различных компонент момента не коммутируют друг с другом, но в состоянии с моментом Ь = 0 все компоненты момента одновременно имеют определенные значения Л, = 0. Еще один пример - см. 1.27. 6) Операторы импульса и кинетической энергии коммутируют друг с другом» но, например, функция ф = С sin (pr/ft), является с.ф. лишь оператора кинетической энергии, но и импульса,
Эти примеры не противоречат, конечно, общим квантовомеханическим утверждениям об одновременной измеримости двух физических величин, в том числе и соотношению неопределенности, см. 1.30.

2. Найти изменение энергетических уровней и волновых функций стационарных состояний заряженного линейного осциллятора при наложении на него однородного электрического поля, направленного вдоль оси колебаний. Каковы поляризуемости стационарных состояний осциллятора?

3. Показать, что коэффициент прохождения в произвольном потенциале, удовлетворяющем условию U(x) = 0 для |аг| > а, при Е -» 0 обращается в нуль: D(E) ос Е. В каких исключительных случаях нарушается эта зависимость?
Выразить коэффициент с в зависимости D - сЕ через параметры, характеризующие асимптотику решения уравнения Шрёдингера с Е = 0. Применить полученный результат к прямоугольному барьеру (яме) и сравнить с результатом точного решения, см. 2.31.

4.Исходя из решения уравнения Шрёдингера в импульсном представлении, найти волновые функции стационарных состояний частицы в однородном поле U = FqX. Нормировать их на £-функцию по энергии и убедиться в полноте полученной системы функций.
Воспользоваться полученными результатами для определения энергетического спектра в потенциале, рассмотренном в задаче 2.8.

5.Две частицы одинаковой массы находятся в одинаковом же потенциале U(x1,2) и взаимодействуют друг с другом как «непроницаемые» точки. Найти энергетический спектр и соответствующие волновые функции такой системы, считая известным решение одночастичной задачи в потенциале U(x). Рассмотреть в качестве иллюстрации случай двух частиц, находящихся в бесконечно глубокой потенциальной яме.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Задачи по квантовой механике, Часть 1, Галицкий В.М., 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Книга содержит задачи различной степени трудности в основном по нерелятивистской квантовой механике. В первой части книги отражены основные физические принципы, математический аппарат и расчетные методы нерелятивистской квантовой механики. Иллюстрируется их применение на простых модельных системах. Вторая часть содержит задачи различной степени трудности, иллюстрирующие приложения квантовой механики к атомной физике, ядру и к физике частиц в той мере, в какой это можно сделать, не прибегая к специальным методам и представлениям этих областей физики. Предложено значительное число задач, посвященных различным вопросам теории столкновений, а также квантовой теории излучения и релятивистским волновым уравнениям. Ко всем задачам даны решения. Книга адресована физикам - студентам и аспирантам высших учебных заведений, как экспериментаторам, так и теоретикам, изучающим квантовую механику. Другие задачники по кв. механике: Флюгге Функции Грина

The file will be sent to selected email address. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.

The file will be sent to your Kindle account. It may takes up to 1-5 minutes before you received it.
Please note you"ve to add our email [email protected] to approved e-mail addresses. Read more .

You can write a book review and share your experiences. Other readers will always be interested in your opinion of the book s you"ve read. Whether you"ve loved the book or not, if you give your honest and detailed thoughts then people will find new books that are right for them.

Галицкий, Виктор Михайлович Часть 1. Задачи по квантовой механике: Учебное пособие для вузов.- 3-е издание, исправленное и дополненное. - М.: Едиториал УРСС, 2001.- 304 с. : ил. ISBN 5-354-00002-5, б/т экз. Книга содержит задачи различной степени трудности в основном по нерелятивистской квантовой механике. В первой части книги отражены основные физические принципы, математический аппарат и расчетные методы нерелятивистской квантовой механики. Иллюстрируется их применение на простых модельных системах. Ко всем задачам даны решения. Книга адресована физикам - студентам и аспирантам высших учебных заведений, как экспериментаторам, так и теоретикам, изучающим квантовую механику. Математика Квантовая (волновая) механика. Нерелятивистская квантовая механика ББК 22.1я73, 22.314 Оглавление Предисловие к третьему изданию - 5c. Предисловие ко второму изданию - 5-6c. Принятые сокращения - 7c. Наиболее часто используемые обозначения - 7-8c. Универсальные константы - 8c. Глава 1 Операторы в квантовой механике - 9-28c. §1 Основные понятия теории линейных операторов -10-13c. §2 Собственные функции, собственные значения, средние -14-21c. §3 Проекционные операторы - 21-23c. §4 Представления операторов и волновых функций. Унитарные преобразования - 23-28c. Глава 2 Одномерное движение - 29-62c. §1 Стационарные состояния дискретного спектра - 30-38c. §2 Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении. Функция Грина уравнения Шрёдингера. Интегральная форма уравнения Шрёдингера - 38-45c. §3 Состояния непрерывного спектра. Прохождение через потенциальные барьеры - 45-56c. §4 Системы с несколькими степенями свободы. Частица в периодическом потенциале - 56-62c. Глава 3 Момент импульса - 63-84c. §1 Общие свойства момента - 64-70c. §2 Момент L = 1 - 70-73c. §3 Сложение моментов - 73-80c. §4 Тензорный формализм в теории момента - 80-84c. Глава 4 Движение в центральном поле - 85-114c. §1 Состояния дискретного спектра в центральных полях - 86-102c. §2 Состояния с малой энергией связи. Частица в совместном поле короткодействующего и дальнодействующего потенциалов -102-110c. §3 Системы с аксиальной симметрией -110-114c. Глава5 Спин-115-137c. §1 Спина=1/2-116-125c. §2 Спин-орбитальные состояния частицы со спином а = 1/2. Высшие спины-125-132c. §3 Спиновая (поляризационная) матрица плотности. Угловые распределения и корреляции в распадах -133-137c. Глава 6 Изменение состояния во времени -13 8-172c. §1 Представление Шрёдингера. Движение волновых пакетов - 139-146c. §2 Изменение во времени физических величин. Интегралы движения - 146-151c. §3 Унитарные преобразования, зависящие от времени. Гейзенберговское представление -151-161 c. §4 Временные функции Грина -161-164c. §5 Квазистационарные и квазиэнергетические состояния -164-172c. Глава 7 Движение в магнитном поле - 173-190c. §1 Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля - 174-184c. §2 Изменение состояний во времени -184-187c. §3 Магнитное поле орбитальных токов и спинового магнитного момента - 187-190c. Глава 8 Теория возмущений. Вариационный метод. Внезапные и адиабатические воздействия -191-245c. §1 Стационарная теория возмущений (дискретный спектр) -193-204c. §2 Вариационный метод - 204-210c. §3 Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр) - 211-218c. §4 Нестационарная теория возмущений. Переходы в непрерывном спектре-218-230c. §5 Внезапные воздействия - 230-234c. §6 Адиабатическое приближение - 234-245c. Глава 9 Квазиклассическое приближение. 1/N -разложение в квантовой механике - 246-298c. §1 Квантование энергетического спектра - 252-271c. §2 Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние - 271- 280c. §3 Прохождение через потенциальные барьеры - 280-291c. §4 1/N-разложение в квантовой механике - 291-298c. Дополнение - 299-300c. Список литературы - 301c. Предисловие к третьему изданию В настоящем издании наряду с исправлением опечаток и неточностей предыдущего издания 1992 г. сделаны довольно многочисленные дополнения в разных местах книги. Наиболее значительные из них относятся к главе «Квазиклассическое приближение», в которую, в частности, включен ряд вопросов, связанных с применением метода Лан- гера, а также написан новый параграф «§ 4. \/N-разложение в квантовой механике». Ввиду большого объема материала книга издается в двух частях. Разделение на две части не имеет принципиального характера и связано лишь с тематикой рассматриваемых вопросов. При этом в первой части книги отражены основные физические принципы, математический аппарат и расчетные методы нерелятивистской квантовой механики. Иллюстрируется их применение на простых модельных системах. Б. М. Карнаков В. И. Коган Предисловие ко второму изданию Предлагаемая книга, как и первое издание 1981 г., содержит задачи различной степени трудности в основном по нерелятивистской квантовой механике. Она адресо- адресована физикам - студентам и аспирантам, как экспериментаторам, так и теоретикам, изучающим квантовую механику по книгам Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, Д. И. Блохин- цева, А. С. Давыдова или по другим руководствам соответствующего уровня. В задачах мы стремились уделить должное внимание как основам математического аппарата, физическим принципам и расчетным методам квантовой механики, так и иллюстрациям ее конкретных приложений - в основном к атомной физике, физике ядра и частиц - в той мере, в какой это можно сделать, не прибегая к специальным методам и представлениям этих областей физики. Ко всем задачам даны решения (при необходимости - достаточно подробные). Для второго издания книга полностью переработана и дополнена новым мате- материалом. Введено несколько новых разделов: частица в периодическом потенциале, квазистационарные и квазиэнергетические состояния, частица в совместном поле ко- короткодействующего и дальнодействующего потенциалов, аналитические и унитарные свойства амплитуды рассеяния и др. Новые задачи включены и в остальные разделы. Часть из них связана с основополагающими вопросами теории адронных атомов, мезомолекулярных систем и /t-катализа, автоионизационных состояний, суперсимме- суперсимметрии в квантовой механике. Увеличено число более сложных - как в идейном, так и в вычислительном плане - задач, рассчитанных на студентов, начинающих специа- специализироваться по теоретической физике, с целью выработки у них профессиональных навыков. Для удобства пользования книгой каждой главе предпослано краткое Введе- Введение, а также составлено небольшое математическое Дополнение. Для высвобождения объема под новый материал нам пришлось опустить некоторые задачи из первого Предисловие ко второму изданию издания (в частности, исключен материал § 1 расформированной главы 16). И хотя мы старались сделать это за счет задач методического характера, такое сокращение в ряде случаев было сделано не без сожаления. Переработка книги выполнена после безвременной кончины В. М.Галицкого. Однако идеи значительного числа новых задач, включенных во второе издание, обсуждались совместно всеми авторами еще в процессе работы над рукописью первого издания книги. Мы хотели бы выразить искреннюю благодарность С. Т. Беляеву и В. Г. Соловьеву за доброжелательные замечания по рукописи книги, а также В. Д. Муру и В. С. Попову за полезные дискуссии по разнообразным вопросам квантовой теории. Мы призна- признательны многочисленным друзьям-коллегам по кафедре теоретической физики МИФИ. Б. М. Карноков В. И. Коган Принятые сокращения у. Ш. - уравнение Шредингера в. ф. - волновая функция с.ф. - собственная функция с. э. - собственное значение д. с. - дискретный спектр с. ц. и. - система центра инерции " - символ оператора (матрицы), однако над операто- операторами умножения он, как правило, не ставится ос - знак пропорциональности ~ - знак порядка величины (m\J\n) s /„ = /Г з - матричный элемент оператора / /, (/) - среднее значение величины / и через [ ?, В], , [В, б]. Решение. [А, 86] = ABC - ВС А = ЛВС - ВАС + ВАС - ВС А = [А, В)С + В[А, С]. Аналогично: [АВ,С] =Л[В,С] + [А,С]В. 1.5. Могут ли две матрицы Р и Q конечного ранга удовлетворять каноническому коммутационному соотношению [Я,р] = -»йТ? Решение. Нет, не могут. Взяв следы матриц в обеих частях равенства PQ - QP = -tft 1 н учтя, что Sp (PQ) = Sp (QP), SpT= N (N - ранг матрицы), приходим к противоречию3". 1.6. Предполагая Л малой величиной, найти разложение оператора (А- ХВ) по степеням Л. Решение. Записав (А-ХЙ)~ - ^Л"С», умножим обе части равенства на (А-хЗ). п Приравнивая в получающемся соотношении члены при одинаковых степенях Л, находим АСя+\ = ВСШ, С+| = А ВСШ, Со = А, так что искомое разложение имеет вид (А- ХВ)-" = А"" + А!"" В А"" + ... = Л? A"J9n A-\ 1.7. Оператор вида F = F(J), где F(z) - функция г, разложимая в ряд F(z) = 5^ CnZn, следует понимать как оператор, равный F = J2 *п/п- Используя это опреде- п п ление, найти явный вид следующих операторов: 1) ехр{»а?}; 2) Тв = ехр{а^}; 3) 2„ = ехр{оя;^}, где а - вещественный параметр, I - оператор отражения. В связи с данной задачей см. 1.24, а также 1.8 и 1.57. Решение. 1) Разложив экспоненту в ряд и учтя, что Т2 = 1, находим ехр {<»/} = cosa + t(sin a)/. 4) в дальнейшем вес рассматриваемые операторы предполагаются линейными и термин «линейный» для краткости опускается. 51 В случае N = оо противоречия не возникает ввиду того, что Sp(PQ) = оо. 12 Глава 1. Операторы в квантовой механике 2) Представив оператор в виде ряда, получаем € «* (*> = ? ? (?У *<*> = Е S** = *(е°г)- так что рассматриваемый оператор с точностью до множителя */с совпадает с оператором изменения масштаба Мс, введенным в задаче 1.1; при этом с = е*. 1.8. Каков явный вид оператора T(g(x)) = zo> о - вещественные параметры, найти распределение вероятностей различ- различных значений координаты. Определить средние значения и флуктуации координаты и импульса частицы. Решение. Нормировка в. ф. на единицу дает \С\ = (*а2) ; при этом dw(x) = |*(х)|2 dx. По формуле (I.S) находим средние значения: (AxJ = у, Как видно, у/(Дг) (АрJ = Л/2, так что рассматриваемая волновая функция A) минимизирует соотношение неопределенности Гейэенберга. 1.14. Найти связь между средними значениями координаты и импульса частицы в двух состояниях, волновые функции Ф| и Ф2 которых связаны соотношением а) *2(х) = *,(* + а); б) Я/2(х) = exp{ipoz/ft}*,^). Решение, а) хг = Х\ - а, р2 = р,; 6) хг - х, р, = р, + ро, где индексы 1, 2 соответствуют средним значениям в состояниях с волновыми функциями ¦^(х). 1.15. Показать, что средние значения эрмитовых операторов L+L и LL+ в произ- произвольном состоянии неотрицательны. Решение. Ш* = f flt"lidr = /(?**)"(Х*Ф) ir > 0. 1.16. Показать, что среднее значение дипольного момента системы заряженных частиц в состоянии, характеризующемся определенной четностью, равно нулю. Решение. Среднее значение дипольного момента системы d= /*> , г,)Х)еЛ*(г". -."»)П*1""»- <") Сделав замену переменных г1, = -г, имеем г=- Так как по условию ^"(-г^..., -г„) = /Ф(г,..., г.), где J = ±1 - четность состояния, находим из (I) и B): d = -d = 0. 1.17. Эрмитов оператор / удовлетворяет соотношению а) /2 = с2; б) P = cf; в) Р = 0. 2) Вто- Второе с. з. /| = 0 - бескоиечиократно вырожденное Ему отвечают с. ф. *,(г), обладающие свойством / /"(х)Ф,(х) dx = 0 (т. е., как и должно быть, эти функции ортогональны с.ф. Фо> отвечающей другому с. з.). Никаких других с. з. не существует. 1.20. Решить задачу на собственные функции и собственные значения оператора комплексного сопряжения К (см. 1.1). Ответ. С.ф. оператора К - это функции вида Ф„ = е""д(х), где д(х) - произвольная вещественная функция, га - любое вещественное число. Они соответствуют с.з. ка = е"*. 1.21. Эрмитов оператор (матрица) / имеет лишь N различных собственных значений. Показать, что оператор fN линейно выражается через операторы 1, /,. .,/""". В качестве иллюстрации рассмотреть оператор отражения /. Решение. Подействовав оператором G = (/ - /i)(/ - Д) ... (/ - /к) на произвольную функцию Ф, получим GФ = 0. Действительно, Ф можно представить в виде суперпозиции с. ф. Ф/4, образующих полную систему: Ф = ]? с4ФЛ, а (/"- Д) ФЛ = 0. 7) Операторы такого вида используются в модельных задачах атомной и ядерной физики для описания взаимодействия частиц - так называемые сепа/шбельные потенциалы (см. задачи 2.19, 2.34,4.12). Заметим, что, не конкретизируя представления, рассматриваемый оператор можно записать в виде F = |/> E^ *Ш = 1>Л\ ¦ = I,2,...,JV (I) (сравнить с 1.17). Второе из соотношений A) представляет собой систему уравнений, позво- позволяющую определить значения с„. В случае N = 2 легко находим Coj, а с ними и В _ Я ~ /l /l ~ /2 В случае N - 3 для указанных в условии задачи с.з. с помощью A) получаем 1.23. Доказать соотношение (I.6). Решение. Продифференцировав по Л обе части уравнения для с.ф. и с.з.: /(Л)ф>(д, Л) = Лй)*»(?, А), получаем (ЮФ"(А) + ГГх *»(А)" Ж *"(А) + Л А «¦ « Умножим обе части A) слева на Я>"„ и проинтегрируем по координатам 9- Учитывая при этом равенство j± #. *-, = /(/*„)" ± ..w*-, = /. / К ± ф. *-., вытекающее из эрмитовости /, получаем искомое соотношение. 1.24. Какой смысл можно придать оператору вида F = F(f), где F(z) - произ- произвольная функция переменной г и / - эрмитов оператор? Насколько существенно предположение об эрмитовости fib качестве иллюстрации рассмотреть опера- оператор ^г^, где Д - лапласиан. Решение. Оператор F = F(f) следует понимать как оператор, с. ф. которого совпадают с с.ф. оператора /, а соответствующие с.з. равны F, = F(f,). Так как система собственных функций Ф/ является полной (при этом существенна эрмитовость оператора f), то действие F на произвольную функцию Ф определено, действительно, РФ = F Е <=(/-)*.".(?) = Е <=(/» W»)*/.(9)- @ § 2. Собственные функции, собственные значения, средние 17 Воспользовавшись здесь выражением A.4) для c(f), находим, что оператор F представляет интегральный оператор с ядром8" Так как (-Д)"|/2 = fi(p2)"" 2 = fi|p|"", то согласно B) ядро этого оператора имеет вид J р 2х*(т - г1J (для вычисления интеграла удобно воспользоваться сферическими координатами, выбрав полярную ось вдоль вектора г -г7). 1.25. Эрмитовы операторы А, Б и? удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: = 0 и [В, L] - О, но [А, В] ф 0. Показать, что среди соб- собственных значений оператора L обязательно есть вырожденные. Привести примеры. Решение. Из операторного равенства AL - LA = 0, примененного к с. ф. Ф^ операто- оператора L (L, - с.з.), следует, что функция ЛФХ_ также является с. ф. Z, отвечающей тому же с.з. L, (или A4tit = 0). Если при этом с.з. L, является невырожденным, то АФХ(= -4,*t, т.е. Фх, является также с.ф. и оператора А. Точно так же она является и с.ф. В, т.е. B*t, = B,*i,. Если бы все с. з. L, были невырожденными, то во всех состояниях имело бы место соотношение (AB-BA)9il = (А,В, -В,А,)Ч1ь, = 0. Но такое равенство, справедливое для всех с. ф., образующих полную систему, означало бы АВ - ВА - 0, что противоречит условию задачи. В качеству иллюстрации рассмотрим свободное одномерное движение частицы. Ее гамильтониан И = р2/2т коммутирует с операторами импульса р и отражения /, не ком- коммутирующими друг с другом. Это обстоятельство объясняет двукратное вырождение уровней энергии. 1.26. Привести примеры такой ситуации, когда в некотором состоянии: а) две физи- физические величины, операторы которых не коммутируют, имеют одновременно опреде- определенные значения; б) из двух физических величин, операторы которых коммутируют, определенное значение имеет лишь одна. Решение, а) Операторы различных компонент момента не коммутируют друг с другом, но в состоянии с моментом L - 0 все компоненты момента одновременно имеют определен- определенные значения L, = 0. Еще один пример - см. 1.27. 6) Операторы импульса и кинетической энергии коммутируют друг с другом, но, например, функция Ф = С sin (pr/Л), является с. ф. лишь оператора кинетической энергии, но не импульса. Эти примеры не противоречат, конечно, общим квантовомеханическим утверждениям об одновременной измеримости двух физических величин, в том числе и соотношению неопределенности, см. 1.30. 1.27. В состоянии, описываемом волновой функцией Ф„ь, физические величины А и В имеют определенные значения. Что можно сказать о собственных значениях а и Ь этих величин, если операторы Л и В антикоммутируют друг с другом? В качестве иллюстрации результата рассмотреть операторы х н I. Решение. Имеем (АВ + 5^Г)ФоЬ = (аЬ + Ьо)Фо6 = 2аЬФ„» = 0. Таким образом, либо а, либо 6 равно нулю. Пример: Ix + xl = 0; при этом имеется только одна в. ф.: Фо = С6(х), являющаяся с.ф. операторов х и Т одновременно, причем с. з. координаты z0 = 0. Отметим, что антикоммутирующие операторы могут и не иметь ни одной общей с.ф. (см. матрицы Паули, глава 5 «Спин»). ""Система с.ф. Ф/,(<7) предполагается ортонормированной. 18 Глава 1. Операторы в квантовой механике 1.28. Найти оператор радиальной компоненты импульса рг (в сферических коорди- координатах). Убедиться а эрмитовости полученного оператора. Найти собственные функции и собственные значения. Вещественны ли с.з.? Ортогональны ли с.ф.? Объяснить полученные результаты. В связи с данной задачей см. также 1.29. Решение. В классической механике рг = тг = рп, где п = г/г. Квантовомеханическим аналогом этого соотношения является эрмитов оператор pr = i(pn + np) = np+?divn = ^-r, A) Решение уравнения на с.ф. и с.з. этого оператора имеет вид Фр,(г) = (С(в, у)/г) x exp {iprr/h}, где С(в, ip) - произвольная функция угловых переменных. При этом формально с.з. рг могут принимать комплексные значения р, = pt +ipi с pi > 0, а с.ф., как легко убедиться, не являются ортогональными. Установленные свойства с.з. и с.ф. оператора рг, исключающие их физическую ин- интерпретацию, иллюстрируют деликатность положения квантовой механики о сопоставлении физическим величинам (наблюдаемым - по терминологии Дирака) эрмитовых, или са- самосопряженных, операторов. С физической точки зрения этот пример показывает, что не всякая физическая величина классической механики имеет четкий квантовомеханический аналог (так же, как не всякая квантовомеханическая величина - например, четность - имеет классический аналог). В математическом плане он отражает различие понятий эр- эрмитова и самосопряженного оператора и свойств их с. з. и с. ф.: оператор р, эрмитов, но не самосопряженный (см. следующую задачу). 1.29. На примере оператора - ihd/dx, действующего в пространстве функций, заданных на а) всей оси -оо < х < оо; б) конечном отрезке а ^х ^Ь; в) полуоси 0 ^ х < оо, обсудить вопрос о различии понятий эрмитова и самосопряженного операторов и о свойствах собственных значений и собственных функций таких операторов. Решение. Понятия эрмитова и самосопряженного операторов довольно близки и связаны с существованием соотношений /ф;/Ф,йт= Л^+Ф2)"ф, dr = Л/Ф2)*Ф|<*г, A) а различие проявляется лишь в наличии ограничений на классы функций Ф, и Фг, для которых они должны выполняться. ^ 1) Если соотношение A) выполнено на некотором классе функций О/, то оператор / на- называют эрмитовым (на этом классе функций). Если этот класс функций совпадает с областью определения D/ оператора / (вообще говоря, он уже), то такой эрмитов оператор называют самосопряженным. При этом, по определению, область Х>/ включает все функции Ф(/), для которых B") J\fРассмотренного в предыдущей задаче и также яиляющегося максимально эрмитовым оператором). В заключение сделаем два замечания. Во-первых, классификация данного эрмитово- го оператора f может быть просто установлена по его так называемым индексам дефек- дефекта (N,N), где N± - числа независимых нормируемых на 1 решений уравнения на с. ф. иида /Ф = ±>/о* (/о вещественно, фиксировано и введено лишь для соблюдения размер- размерности). Если N+ = N.. = 0, то оператор самосопряженный; если N+ - JV_ = N Ф 0, то оператор допускает самосопряженное расширение, реализуемое наложением N дополнитель- дополнительных условий; если N+ Ф N.. то оператор максимально эрмитов. Читателю предлагается проиллюстрировать это положение на примере рассмотренного оператора -ihd/dx. Во-вторых, в задачах квантовой механики часто приходится сталкиваться именно с само- самосопряженным расширением эрмитовых операторов. При этом выбор дополнительных условий обычно диктуется физическими соображениями. В дополнение к отмеченному выше случаю оператора Г;, укажем на самосопряженное расширение оператора р2/2т на отрезке с ис- использованием граничных условий10" Ф@) = Ф(а) = 0, реализующееся в задаче о частице в бесконечно глубокой потенциальной яме. Далее, используемое при решении уравнений Шрёдингера условие ограниченности ». ф. в нуле (т. е. при г = 0), даже в случае «хо- «хороших» потенциалов (/(г), реализует фактически самосопряженное расширение оператора Гамильтона. При этом более общее условие самосопряженного расширения вида (гф(г))" --t"V > а = const при г -» 0 гФ(г) с физической точки зрения соответствует включению дополнительного взаимодействия в ви- виде потенциала нулевого радиуса (см. 4.10). В случае же сингулярных потенциалов притяжения, когда в квантовой механике возникает «падение на центр» (см. , § 35), указанные граничные условия уже не реализуют самосопряженного расширения и должны быть модифицирова- модифицированы (см. 9.14). 1.30. Коммутатор операторов А и В двух физических величин имеет вид [А,В] = iC, где С - эрмитов оператор. Доказать (при некоторых ограничениях на волновые функции) справедливость соотношения неопределенности (Л АJ C ВJ > ^ 4 где все средние значения относятся к одному и тому же состоянию системы. Рассмотреть, в частности, операторы гири найти для них явный вид вол- волновых функций состояний, в которых произведение неопределенностей принимает минимальное значение. Обсудить также случай операторов 1г и <р. Решение. Рассмотрим интеграл 1(а) = /|(аЛ| -«В|)ф| dr ^ 0, где А\ = А - а, В\ = В - Ь\ причем а, а, Ь - вещественные параметры. Используя эрмитовость операторов Л, и В, соотношение [А,/?,] = iC и считая в.ф. Ф нормированной на единицу, интсфал можно преобразовать к виду /= [((аА, -|В1)ф)"(а2,-|Д)ф<*г= [^"(аЧ1 -т[Л,i§,] +В?)Ф<*г = J J (О ""При этом самосопряженное расширение определяется наложением двух граничных условий: Ф@); 0 и Ф(а) - 0 в соответствии с тем, что индексы дефекта оператора р2/2т. заданного на отрезке, суть B.2) (приведенные условия реализуют один из частных случаев самосопряженного расширения). § 3. Проекционные операторы 21 Положим о = А и Ь = В; при этом условие неотрицательности квадратного трехчлена A) по а приводит к утверждению задачи: (A-IY-JS^bYz^. B) Равенство в B) реализуется лишь при условии (aAt - |2?|)Ф = 0. В частности, для операторов А = х,В = рг и С = ft оно принимает вид Ф" + (а: - хо/сР - »po/ft) Ф = 0 (вместо о < 0, о и b введены более удобные их вещественные комбинации х0, Ро, <0- Отсюда ф = что определяет явный вид в. ф., минимизирующих соотношение неопределенности для коор- координаты и импульса (см. также 1.13). При приложениях формулы B) следует соблюдать осторожность. Это видно уже их результата ее применения к случаю операторов А = lz = -i d/dip и В = <р = <р, для которых она дает (AJ,J (АуJ ^ 1/4, что физически бессмысленно, так как (Ду>J во всяком случае не превышает т2, а (Д(,)г может быть равным нулю. Дело в том, что при выводе формулы (I) были использованы соотношения /(АЯ>)"(Лф) dr = /Ф"^РфdT, /(ЛФ)"(ВФ)<1г= f Ъ" и аналогичные им с взаимной перестановкой А к В. Обоснование их состояло в ссылке на эрмитовость операторов. Однако если иметь в виду результат предыдущей задачи, такая аргументация обоснована лишь в случае самосопряженных операторов, а для операторов фи- физических величин, представляющих самосопряженное расширение эрмитова оператора (тако- (таковым является {,), требуется большее: необходимо, чтобы не только в. ф. Ф, но и функция ДФ входили в область определения оператора А как эрмитова (и аналогично ЛФ по отношению к В). Если эти условия выполнены, то соотношение B) сохраняет свою силу. В частности, в рассматриваемом случае операторов Z, и <р для этого требуется, чтобы в. ф. состояния удовлетворяла условию Ф@) = ФBт) = 0 (при этом ф = <рЧ!(у>) входит в область эрмито- вости?); для таких состояний справедливо соотношение (Д»,J-(Д^J^ \. Оно допускает обобщение и на случай произвольных состояний: A которое читателю предлагается получить самостоятельно. § 3. Проекционные операторы 1.31. Проекционным называют эрмитов оператор Р, удовлетворяющий соотноше- соотношению Р2 = Р. Показать, что оператор P(fi), действие которого на собственные функции оператора физической величины / состоит в следующем12): "" У такого оператора с. з. равны 0 и 1. С его помощью все пространство векторов |Ф) может быть «разбито» на два взаимно ортогональных подпространства: Р |*> и (I -Р) |Ф). При этом под действием Р составляющая (проекция) любого вектора в первом из них не изменяется, а во втором обращается в нуль, что и определяет название его как проекционного. При этом оператор Р = I - Р также является проекционным и проектирует на второе из указанных подпространств. 121 Приведенное выше соотношение относится к дискретной части спектра с. з. Обобщение на не- непрерывную часть спектра состоит в проектировании на некоторый конечный интервал (/, / + А/) с. з. 22 Глава 1. Операторы в квантовой механике является проекционным (так как система с. ф. Фд является полной, то приведенные соотношения определяют и результат воздействия P(f,) на произвольную функцию Ф). На какие состояния проектирует этот оператор? Какой физический смысл имеет среднее значение P(ft) в произвольном состоянии, описываемом волновой функци- функцией Ф? __ Как выражается через P(f,) проекционный оператор P({f}), проектирующий на состояния, в которых физическая величина / принимает какое-либо значение из некоторой совокупности с. з. {/} = {/;, /,2,..., /,„ }? Убедиться, что при этом Какой вид имеет проекционный оператор P(f,gt, ¦ ¦ ¦ i U), проектирующий на со- состояния с определенными значениями /,&,..., <| физических величин, входящих в полный набор (т. е. как он связан с операторами P(ft), P(gk), ¦ ¦ )? Решение. Записав произвольные функции Ф и Ф в виде Ф = 53С**Л и * = Х)***л k t (считаем, для простоты записи, спектр с. з. невырожденным), убеждаемся в эрмитовости оператора Р(/,): J 0 и t) = 0 при z < 0. Очевидно, Р(х0 ^ а) - эрмитов оператор 1.33. Найти проекционные операторы Р±, проектирующие на четные Р+ и нечет- нечетные Р- относительно инверсии координат состояния частицы (выразить их через оператор отражения Т). согласно соотношению При этом Р(/, Д/) определяет вероятность того, что значение / заключено в рассматриваемом интервале, см. 1.32. § 4. Представления операторов и волновых функций 23 Решение. Запишем произвольную функцию в виде суперпозиции четной и нечетной соста- составляющих: ф(г) = ф(г)+ ф(-г) + Ф@ - фЫ Так как по смыслу операторов Р± должно быть Я±Ф = j{*(r) ± Ф(-г)}, то они имеют вид Р± = j(l ±Т). При этом Р~1 = Р±, а также Р+ +Р- = 1. 1.34. Показать, что эрмитов оператор F, рассмотренный в задаче 1.19, может быть превращен в проекционный оператор Р - cF умножением на некоторую постоянную величину с. На какое состояние проектирует этот оператор? Решение. Оператор Р с ядром Р(х, х") = cf(x)f"(x"), гае с = j\f(x)\2dx, является проекционным. Он проектирует на состояние, описываемое в. ф. Фо(х) = /(х). 1.35. Эрмитов оператор / имеет лишь N различных собственных значений. Найти вид проекционного оператора Р(/,) для состояний с заданным значением /< величины /. Решение. Пусть сначала iV=2. При этом из условия Р(/|)ФЛ=0 следует, что P(f\)=a(f- ft), а из условия Р(/|)Ф/| = Ф/, находим а = (/t - /г)~" ¦ Обобщение на случай произвольного N очевидно: лг " где штрих у символа произведения означает отсутствие сомножителя с k = i. § 4. Представления операторов и волновых функций. Унитарные преобразования 1.36. Указать нормированные соответствующим образом собственные функции ра- радиуса-вектора ФГо и импульса Фрл в г- и р-представлениях. Ответ. ф„(г) = «(г- г„), Фи(г) = BTfi)-J/2e Фго(р) = BкП)- ехр {-^}, *«(Р) = «(Р - to). 1.37. Найти в импульсном представлении волновую функцию состояния частицы, рассмотренного в задаче 1.13. Ответ. P ~ РоJ) 1.38. По заданной волновой функции Ф(х, j/, z) вычислить вероятность нахождения частицы в интервалах значений z от z\ до z-i и ру - от pi до рг- Ответ. Искомая вероятность г, j>, -со где F(x, pf, г) = Bя7»)~1/2 / Ф(х, у, z) ехр |-- причем функция Ф предполагается нормированной на 1. 24 Глава 1. Операторы в квантовой механике 1.39. Найти явный вид в импульсном представлении операторов, рассмотренных в задаче 1.1. Решение. 1) В координатном представлении Фг(г) = ?Ф|(х) = Ф|(-г). Умножим эти соот- соотношения на Ф?(г) = Bтй)"""2exp {-ipx/h} и проинтегрируем по х. В результате получим (-а:)йа:, A) где Ф|,г(р) = f 9p(xL>iti(z) dx - в.ф. в импульсном представлении. Замечая, что интеграл в A) равен Ф|(-р), имеем 1Ф\(р) = Ф|(-р), т.е. 7 в импульсном представлении также является оператором отражения. Аналогично находим и для других операторов: 2) Т„Ф(р) = еХр {^} Ф(р); 3) МсФ(р) = -J= ф(^); 4) *Ф(р) = Ф"(-р); 5) Р,2Ф(р„ р2) = Ф(р2, р,). 1.40. Найти в одномерном случае вид оператора р~] в х-представлении и операто- оператора х"" в ^-представлении. Решение. Так как рр~" = I, то (^/йх)(р~"ф(г)) = (»/й)Ф(г). Интегрируя в пределах от -оо до х, находим явный вид оператора р~" в координатном представлении: (О -00 С другой стороны, интегрируя в пределах от х до оо, получаем несколько иное соотношение: . B) Однако для функций, входящих в область определения оператора р"\ оно совпадает с (I). Такие функции должны удовлетворять соотношению / 4l(x)dx = 0, обеспечивающему обращение в нуль функции р~"Я/(х) при z-» ±со, как этого требует условие13) /|/Ф|2<*г < оо для всех функций из области определения Df оператора / (см. 1.29). Заметим, что с.ф. оператора р~" являются, как и следовало ожидать, с. ф. оператора импульса. Аналогично для оператора х~" в р-представлении получаем: . f x = I У ф(р") dp" = -l-J Ф(р") dp"; J Ф(р) dp = О (см. задачу 4.15, в которой это соотношение используется при решении уравнения Шрёдингера в импульсном представлении для частицы в кулоновском потенциале). |3) В импульсном представлении р"" = -,и это условие принимает оид / р~"l*(p)l2 dp < оо; отсюда Ф@) - 0, что тождественно J -CQ § 4. Представления операторов и волновых функций 25 1.41. Установить соотношение между ядрами L(t, r1) и?(р, р") одного и того же оператора L в г- и р-представлениях (см. задачу 1.11). Omfle/n. 1.42. Найти вид операторов г "" и Т~2 в импульсном представлении. Решение. Оператор G\ = f" имеет в координатном представлении ядро Gi(r, г7) = ? 6(т-г1), а в импульсном представлении (см. 1.41) его ядро Для оператора г аналогично находим (по поводу вычисления интефаловсм. Д1.4). Читателю предлагается показать, что G2 - GfG\ (в импульсном представлении). 1.43. Даны два эрмитовых оператора А и В. Указать связь между собственными функциями оператора А в ^-представлении и собственными функциями оператора В в Л-представлении. Привести примеры, иллюстрирующие полученный результат. Решение. Обозначим Фл,(?) и *»,(dT (для простоты записи мы ограничились случаем, когда спектры операторов А и В - дискретные и невырожденные). Взяв в качестве Ф с. ф. Я/Вк, находим, согласно A), ее вид в Л-представлснии J и аналогично получаем виде.ф. ~ФАш в В-прсдставлении C) Из выражений B) и C) вытекает аВь(.4„) = Ь"л, (Вк); как иллюстрацию этого соотношения см. задачу 1.36. Из установленного результата следует равенство вероятностей wBt(AB) s |oSt(>4B)|2 = |^.(Вд)|2 = w^iB/,} (его приложения см. в 3.14, 3.33). 26 Глава 1. Операторы в квантовой механике 1.44. Какие из операторов, рассмотренных в 1.1, являются унитарными? Ответ. Унитарными являются операторы /, Т„, Мс и Ра- 1.45. Унитарный оператор удовлетворяет уравнению U2 = U. Каков его явный вид? Решение. Из У2 = U и UU+ = U+0 = 1 следует V ~\. 1.46. Оператор U унитарный. В каком случае оператор V = cU, где с - некоторое число, также является унитарными? Ответ. \с\ = I, т. е. с = е"а, а - вещественное число. 1.47. Показать, что произведение U\Ui двух унитарных операторов также является унитарным оператором. Решение. Из 0 = G,U2 следует 0+ = U*G*, откуда t/(?-1)/2}; б) Т„ = exp{ian-"p}; e) Mc = cxp{j7r"lne-(Sp+px)/B)}. Эти соотношения следуют из 1.7, см. также 1.57. 1.51. Квадратные матрицы А и А" одного ранга связаны унитарным преобразованием А" = UAU+. Показать, что шпуры и детерминанты этих матриц одинаковы. Решение. Из условий U*U = 1 и А" = UAU* следует Sp A" = Sp (UAU+) = Sp (AU+U) = Sp A. Аналогично det A" = de« {UAU*) - det (AU*U) = det A. § 4. Представления операторов и волновых функций 27 1.52. Доказать соотношение det||expi4|| =exp{Sp^}, где А - эрмитова матрица. Решение. Унитарным преобразованием эрмитова матрица может быть приведена к диаго- диагональному виду. В новом представлении, в котором (ехрА)пт = (ехр.4„H„т, приведенное в условии соотношение очевидно, а в силу инвариантности шпура и детерминанта матрицы относительно унитарных преобразований оно справедливо и в произвольном представлении. 1.53. Чем примечателен детерминант унитарной матрицы? Найти его для матрицы вида U = exp{iF}, где F - эрмитова матрица. Показать, что преобразованием вида U" = cU унитарную матрицу можно сделать унимодулярной, т. е. такой, что detC?"= 1. Решение. С одной стороны, det (UU+) = detT = 1. В то же время det (UU+) = det С? det U+ и deti/+ = delU" = (detf/)". Таким образом, |dett/| = 1, т.е. deti7 = exp{t"a}, где а - вещественное число (этот же результат следует из свойства с. з. щ, см. 1.50). Если ввести матрицу U" = exp {-ia/N} U, где N - ее ранг, то для нее det U" -\. Для оператора U = exp {iF }, согласно 1.52, имеем соотношение det U = exp {«Sp F}. 1.54. Сколько имеется независимых квадратных матриц ранга N, которые являются: а) эрмитовыми; 6) унитарными? Каково число унимодулярных унитарных матриц ранга JV? Решение. Всего имеется N2 независимых матриц ранга N. Очевидно, столько же имеется независимых эрмитовых матриц. Число независимых унитарных матриц также равно N2, так как между ними и эрмитовыми матрицами имеется соответствие: U - exp{iF} (см. 1.50). Чтобы унитарная матрица была унимодулярной, необходимо, чтобы SpF - 0 (см. 1.53), так что число независимых унимодулярных матриц, как и число эрмитовых матриц F1 - F - N~" Sp F ¦ ? с равным нулю следом равно JV2 - 1. 1.55. Показать, что при унитарных преобразованиях операторов А" = UAU+, алге- алгебраические соотношения между операторами вида F(A,) = со + ]П с,At + ]Г c,kA,At + ... = 0 . i,k сохраняют свой вид, т. е. F(A",) = 0. Решение. ? = UFU+ = и[со + ? сА, + ? с,„АХ + ..]0+ = = co + "52c,UA,U+ + Y^CtUA,AkU+ + ... = 0. A) ¦ a Учитывая, что U*U = 1, произвольный член суммы в выражении A) можно записать в виде С* »VA,At... Aj}+ = c,k. MUA,U+UAkU+ ... UAnG+ = с,„.. „ВД...А"а, так что A) принимает вид со + X) с,# + Ц сД"Д; + ... = * (?")= 0, что по форме совпадает с исходным соотношением и доказывает его инвариантность при унитарном преобразовании операторов. 28 Глава 1. Операторы в квантовой механике 1.56. Найти закон преобразования операторов х и р при унитарных преобразова- преобразованиях, осуществляемых операторами: а) отражения /; б) сдвига Та; в) изменения масштаба Мс. Операторы 1,Та и Мс введены в 1.1. Решение. Операторы х" = UxU+ ир*= UpU* имеют вид: а) х" = -х, f = -р; б) х" = х + а, р1 = р; х = сх, р = с р. Приведенные соотношения наиболее просто получить, если воспользоваться координат- координатным представлением. Так, для U - Тв имеем U* = Т? = ?_„, (см. 1.1) и х"Щх) = UxU+Щх) - ТахГ_„Ф(г) = Т„(хЩх - а)) = (* + а)Щх) = {х + о)Ф(г). Отсюда г" = г + в. Далее) = -«^^?.„4A) = -ihfa ^ Ф(г - о) = -й^ Ф(г), так что р1 = р. Аналогично выводятся остальные соотношения. 1.57. Совокупность операторов fj{a), зависящих от непрерывного вещественного параметра о, обладает свойствами U@)-l и l7(a3) = i7(oi)J7(a2), если оз=в|+вг- Показать, что U имеет вид U(a) = exp{taF}, где F (так называемый инфини- тезимальный оператор) определяет вид UFa) при бесконечно малом 6а согласно формуле UFа) и 1 +iF 6а. В качестве иллюстрации рассмотреть связь операторов Та и Мс (см. 1.1) с операторами соответствующих бесконечно малых преобразований. Решение. В соотношении G(ai +о2) = U(a))U(a,) положим а, = а и а3 = da - 0. Учитывая, что U(da) = 1 + idaF, находим dV - U(a + da) - U(a) = iFU{a) da. Отсюда, с учетом условия U@) - I, следует U{a) = exp{iaF} (то обстоятельство, что в данной задаче не возникает осложнений при решении дифференциального уравнения для операторов, связано с их коммутативностью). При бесконечно малом сдвиге имеем = Ф(г + da) « A + da(d/dx)) Щх), так что iF - в/дх и Т„ =j:xp {о (д/дх)}. В случае оператора Мс введем сначала с = е° и запишем Мс = М(а). Зависимость М(а) от а удоалетворяет условиям рассматриваемой задачи. При этом ^ Ф(х), так что iF = 1/2 + х(д/дх) и Ме = exp{-(t/2)lnc(i i(d/dx) + i(d/dx)x)} (сравнить полученные результаты с 1.7). Глава 2 Одномерное движение Стационарное уравнение Шрёдингера с соответствующими фаничными условиями (ограниченность волновой функции, обращение ее в нуль на непроницаемых потенциальных стенках и др.) определяет энергетический спектр частицы в потенциале U(x) и волновые функции стационар- стационарных состояний. Спектр Е„ в области энергий mmU{x) < Е„ < ?/(±оо) (в которой, согласно классической механике, частица может совершать только финитное движение) явля- является дискретным1". Эти уровни Еп являются невырожденными, а соответствующие собственные функции Фп(х) ~ квадратично интегрируемыми (т.е. они описывают локализованные состояния частицы в согласии с финитным характером движения в классической теории). Для линейного осциллятора U(x) - кх2/2, ш = у/к/т решение уравнения Шрёдингера дает спектр Е„ = Тш>(п + 1/2) и с. ф. ^Ь© (п-2) где а = ,/Н/(пш) и Hn(z) - полиномы Эрмита; так, Щ(г) = 1, H\(z) = 2z, Hiiz) = 4г2 - 2 и т. д. Приведем также для осциллятора матричные элементы координаты = xn+hn = \ --- о, (Н.З) остальные равны нулю; матричные элементы оператора импульса связаны с ними соотношением рп* = tTOwniZnt, причем шПк = iw для n = fc ± 1. В области Е > min U(±oo) спектр является непрерывным. Значения энергии Е > max {/(±оо) (для которых в классической механике возможно инфинитное движение в обоих направлениях: как при х -» -со, так их-» +со) являются двукратно вырожденными. При этом в качестве независимых решений у Ш. A1.1) обычно рассматриваются такие, которые связаны с физической задачей об отражении частиц потенциалом и однозначно определяются видом асимптотики в. ф. при "" Мы используем такую нумерацию уровней д. с. Еп и с. ф. ф„, при которой основному состоя- состоянию отвечает значение п - 0. При этом п совпадает с числом нулей с. ф. Ч/„(х), не считая нулей при х -> ±оо (или на непроницаемых потенциальных стенках). Аналогичный смысл имеет радиальное квантовое число пг состояний д. с. частицы в центральном потенциале. 30 Глава 2. Одномерное движение х -» ±оо; так, в случае частиц, падающих на силовой центр слева2* +оо, где fc|J = (\/h)y/2m(E - Ufaoo)). Амплитуды А(Е), В(Е) определяют коэффи- коэффициенты прохождения D(E) = (fc2/fci)|B|2 и отражения R(E) = \А\2 частиц. Эти коэффициенты обладают следующими свойствами: D(E) + R(E) = 1; D+(E) = ?>_(?); D(E) -» 1 при Е -» со; A1.5) ?>(?) -» 0 при? -» max U{*oo). Второе из них, D+(E) = D~(E), выражает независимость коэффициента прохожде- прохождения при заданной энергии Е от направления падения частиц, слева или справа, на силовой центр; о последнем из свойств см. задачи 2.37 и 2.39. Своеобразными свойствами3* обладает энергетический спектр частицы в про- пространственно периодическом потенциале; некоторые из них рассмотрены в задачах из §4. § 1. Стационарные состояния дискретного спектра 2.1. Найти энергетические уровни и нормированные волновые функции стационарных состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины о (т.е. в потен- потенциале U(x) = О при 0 < х < а и U(x) = со при х < 0 и х > а). Определить в таких состояниях средние значения и флук-уации координаты и импульса частицы. В состоянии, описываемом волновой функцией Ф = Ах(х - а) (при 0 < х < а), найти распределение вероятностей различных значений энергии частицы и ее среднее значение. Решение. 1) Уровни энергии и нормированные на единицу с. ф. гамильтониана частицы имеют вид ftV(n + !J w - [рг + х}а2 -1ец-е -хга2]ш = 0 B) с параметрами а = ft - е + хо, fi = /j - е - хо, 7= Так как Ф(г) при а: - -со (z -» 0) имеет вид Ф ос е1"11 = г"", то решение уравнения B) следует выбрать в виде w = cF(ct, /}, у, г). Соответственно, Отсюда при г (и х) - +во ямеем Ф ~а-«^ / Пг)Г(Д-а) I ГG)Г(о.-Д 1 1 I Г(ДГG - а) (-г)" + Г(о)Г(Т _/»)(-,) /¦ * " Так как z~t+l"~^ = е" возрастает при х -* +с», то необходимо потребовать"" выполнения условия а = -п, где п - целое, которое фактически определяет энергетический спектр E) Анализ спектра предлагается для самостоятельного исследования. Отметим в заключение, что при U, = U-2 = С/о рассмотренный потенциал переходит в U = -4clii^;bi); см. x\ - а)) (учтено граничное условие Ф(а) = 0), где к = \j2mE/h2 > 0. Условия сшивания в.ф. в точке х = О (см. формулы B) из 2.6) приводят к соотношению, определяю- определяющему спектр четных уровней: СА*>, ?„, 51/=°° ка (О При? > 1, для нижних уровней (таких, что ка 0 в каждой паре близких уровней нижним является четный, при этом? > 0. C) В случае а < 0 ситуация иная: теперь четный уровень является уже верхним. Однако в этом случае в нижней части спектра в дополнение к описанной картине пар близко расположенных уровней появляется еше один четный уровень с энергией Е$ w -B2«g/2m и в. ф. Ф^ « у/хо exp {-xq\z\}, где «о = т\а\/Н2. Этот уровень соответствует частице, «связываемой» й-ямой, U = -|a|<5(z), сравнить с 2.7 (при этом наличие непроницаемых потенциальных стенок при х = ±о приводит к некоторому смешению такого «<5-ямного» уровня вверх, найти его предлагается читателю самостоятельно). 2.12. Обобщить результат предыдущей задачи на случай, когда <5-барьер разделяет прямоугольную яму несимметричным образом. Решение. Решение у. Ш. имеет вид Ф = A sin к(х + а) при -о ^ х < 0 и Ф = В sin k(x - Ь) при 0 < х < Ь, где к = J2mE/h2 и учтены граничные условия Ф(-а) = ФF) = 0. Сшивание 36 Глава 2. Одномерное движение решений при х - 0 (см. формулы A, 2) из 2.6) приводит к соотношениям A sin ка = -В sin kb, В cos kb - A cos ка = -=- A sin ka, из которых следует уравнение для спектра энергетических уровней частицы: sinfc(a + 6) = j- sin ка ¦ sin kb A) (при 6 = а оно переходит в формулу A) из 2.11). Отметим некоторые свойства спектра. 1) В области значений Е, для которых ma/kh1 1, произведение синусов в (I) мало, так что либо fcn, я тг(п{ + 1)/о, либо кП2 яг т(п2 + 1)/6. При этом спектр представляет наложение спектров, соответствующих независимому движению частицы в левой и правой ямах с ширинами а и 6 (<5-потенциал выступает как малопроницаемая «перегородка»). 2.13. Исследовать поведение решения уравнения Шрёдингера при х -> ±оо в случае Е = 0 для потенциала, удовлетворяющего условию U(x) -* 0 при х -+ ±со. Показать, что не возрастающее как при х -» +оо, так и при х -» -со решение Фв=о(х) уравнения Шрёдингера существует только при исключительных значениях параметров потенциала, отвечающих условиям появления новых состояний дискретного спектра при углублении потенциала. Каково число дискретных уровней частицы, находящейся: а) в прямоугольной потенциальной яме глубины Uo и ширины а: б) в потенциале U = -а6(х) - а6(х - а), в зависимости от значений параметров потенциала? Решение. При достаточно быстром10" убывании U(x), у. Ш. и его решение при х -» ±оо принимают вид: ф" = О, Ф = At+B±x, т.е. решение является, вообще говоря, возрастающим. При произвольных значениях параметров потенциала не существует решения у. Ш., которое не возрастало бы как при z - +оо, так и при х -* -со (точно так же, как не существует убывающего одновременно при х - ±оо решения у. Ш. при произвольном Е < 0). Такие решения существуют только при избранных значениях параметров потенциала, отвечающих условиям появления новых (по счету) состояний д.с. при углублении потенциальной ямы. Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим самый верхний уровень Е„ д. с. Его в. ф. Ф„ ос ехр{-х|г|} при х - ±ос, где х = W2m\En\/h2. При уменьшении глубины ямы все уровни смешаются вверх и при некоторых значениях параметров поля самый верхний из них принимает значение Е„ = 0, при этом его в. ф. Ф„ = const при х -» ±оо, а число нулей в. ф. равно числу имеющихся состояний д. с. с Е < 0. В качестве иллюстрации рассмотрим свободную частицу. У. Ш. имеет ограниченное решение Ф?-о = const, у которого отсутствуют нули. В соответствии с вышесказанным, сколь угодно мелкая яма уже связывает частицу (сравнить с 2.3) и возникающее состояние д. с. является первым по счету. а) Найдем сначала условие появления нового по счету состояния д. с. при углублении ямы. Не возрастающее при х -» ±схэ решение у. Ш. с Е = 0 имеет вид: Ф = А при х < 0; Ф = В cos (-ух + S) при 0 < х < о (область ямы), 7 = y2mUo/h2 и Ф = С при х > а. Непрерывность в.ф. и ее производной в точках Она дают: А = В; 6 = 0; -уа - тгп, где п - целое; С = (- 1)пВ. Эта в. ф. имеет п нулей (аргумент косинуса изменяется от 0 до ти), так """Требуется, чтобы потенциал убывал быстрее, чем « 1/хг В случае потенциала притяжения со степенным убыванием, U к -a/z" при х -> со с s ^ 2, решение у. Ш. для К - 0 имеет совершенно иную асимптотику, сравнить с 9.9 и 9.14. Физическая причина отмеченного различия состоит в том, что при медленном убывании потенциала притяжения число существующих в нем состояний д. с. бесконечно велико за счет сгушения уровней при К„ -> -0. § 1. Стационарные состояния дискретного спектра 37 что условие уа = яги является условием появления (п + 1)-го уровня. Отсюда следует, что число существующих в яме состояний д. с. JVcn определяется условием -уа/п < N^ < ya/ir+ I. б) При 0 < maa/h? < I - одно связанное состояние, при maa/h7 > I -два. 2.14. Для частицы в потенциале U(x) вида: a) U = оо при х < О, U - -f/o при О < х < а, 17 = 0 при х > а; б) U - оо при х < 0, V = -а 6(х - о) при х > 0 (рис. 6, а, б), найти число связанных состояний в зависимости от значений параметров потенциала. 1Кх) U(x) "Д а Рис.6 Ответ, a) y/2mUoa2/vn - 1/2 < ЛГ„ < y/lmU^lvh + 1/2; б) единственное связанное состояние появляется при maa/h2 > 1/2. 2.15. Найти условие существования связанных состояний частицы в потенциаль- потенциальной яме, изображенной на рис. 6, в. Рассмотреть предельные случаи: a) U\ = оо, б) U, = U2. Решение. Состояниям д. с. отвечают Е < Ui. Условие появления новых (или первого) состо- состояний д. с. при углублении ямы можно получить из условия существования не возрастающего при х -> ±оо решения у. Ш. с Е = U2, (сравнить с 2.13). Оно имеет вид причем порядковый номер N уровня определяется условием Соответственно, условие существование связанных состояний"" 12таги2 ^ /?/, - U7 arctg 1 В частности, при Ut = со требуется, чтобы fj > ff2fi2/8ma2; при V\ = U2 хотя бы одно состояние д. с. существует всегда. 2.16. Частица находится в поле, имеющем вид двух одинаковых симметричных потенциальных ям, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (рис. 7); ""Подчеркнем, что для состояний л.с. Е„ ^ Ui\ при этом уровни?„ повышаются как при увеличении U\, так и при уменьшении а, см. 2.4. 38 Глава 2. Одномерное движение области действия ям не перекрываются, так что U@) = 0. Показать, что средняя сила, с которой частица действует на ямы в стационарных состояниях дискретного спектра, приводит к взаимному притяжению ям в четных состояниях и к их взаимному отталкиванию в нечетных состояниях. Решение. Среднее значение силы, действующей со сто- стоWxY роны частицы на правую яму, дается интегралом Выполнив интегрирование по частям и воспользовавшись Рис. 7 у. Ш., получаем -(ф"(о)J. (О Для четных состояний имеем ФЦО) = 0, и так как Еп < 0, то (Fnp)n« < 0; для нечетных уровней Ф„@) = 0 и (Fn?)nn > 0, что и доказывает утверждение задачи12". § 2. Уравнение Шредингера в импульсном представлении. Функция Грина уравнения Шредингера. Интегральная форма уравнения Шредингера 2.17. Найти в импульсном представлении вид стационарного уравнения Шредингера в случае потенциала U(x), обращающегося в нуль при х -» ±оо. На основе этого уравнения исследовать состояния дискретного спектра в потенциале V = -а6(х) и сравнить с результатом 2.7. Решение. В импульсном представлении Т = рг/2т = р2/2т является оператором умноже- умножения, a U является интегральным оператором с ядром V(p, р"), равным (см. 1.41) U(p,jf)sU(p-p"), t7(p) = ^yV(x)exp {~} Л- (О Таким образом, у. Ш. в импульсном представлении имеет вид ЯФ(р) = -^ Ф(я) + f U(p -р")Ф(р) dp" = ЕФ(р). B) -30 В случае V - -а 6(х) имеем I/ = -gj и уравнение B) принимает вид 2 +Ж |^ у C) -00 Отсюда (Е = -\Е\ < 0) Условие согласованности второго из выражений C) и D) дает irfi J f + 2m\E\ ft V 2|B|" l2" Отметим, что сила, действующая на левую яму. отличается от A) знаком. § 2. Уравнение Шрёдингеро в импульсном представлении 39 что представляет уравнение для спектра. Оно имеет (при а > 0) только одно решение Ео = -ша2/2Л3. Этому уровню отвечает в.ф. D), которая при С = y/2irma/h нормирована на единицу, сравнить с 2.7. 2.18. Исследовать связанные состояния частицы в потенциале U - -а[б(х- а) + 6(х + а)] на основе уравнения Шрёдингера в импульсном представлении. Решение. В данной задаче U{p) = - jjj (e"1""" + еро"Л) и у. Ш. принимает вид (см. предыду- предыдущую задачу) ?r *(p) - ^ («" c+ +e c-) = яф(р)> (О B) -00 Отсюда, обозначив х7 = -2тЕ/Иг, а - ma/h2, находим Ф(р) = ^ (e"""»C+ + e-trafK C.) "ft2 ¦ C) Подставив (З) в B) и вычислив интсфалы (см. Д1.3), получаем, S 1/1 Т С О_ I, О_^"^|С С*4- I V- I (^/ Условием существования нетривиального решения этой системы является выполнение одного из двух соотношений К = 3A±е-*"), E) которые и определяют энергетический спектр. Первое из уравнений (S), отвечающее выбору знака (+), имеет один корень (при а > 0). При его реализации из D) следует С+ - С., т. е. соответствующий уровень является четным (см. C)). Энергия этого уровня при аа < 1 равна Е? ~ -2таг/Н2 (две 6-ямы на близком рас- расстоянии действуют как одна, но с удвоенным значением а, сравнить с 2.7). При аа > 1 имеем (в этом случае экспоненциальное слагаемое в E) мало, и, пренебрегая им, получаем х?ка; подставив это значение в показатель экспоненты, приходим к более точному выражению для Хд, которое и использовано при вычислении Е?). Второе из уравнений E) определяет нечетные уровни. Единственный нечетный уровень имеется лишь при аа > 1/2, сравнить с 2.13. Его энергия в момент появления (т.е. при 0 < аа - 1/2 С I) равна а при аа > I находим При а -» со, оба уровня, четный и нечетный, сливаются в один уровень, существующий водной изолированной 6-яме. 2.19. Рассмотреть связанные состояния частицы в случае сепарабельного потенци- потенциала, представляющего нелокальный интегральный оператор U с ядром U(x, x") = -\}(х)]"(х"), исходя из решения уравнения Шрёдингера в импульсном представлении. Решение. Ядро оператора V в импульсном представлении A) 40 Глава 2. Одномерное движение (сепарабельная, или факторизованная форма ядра оператора взаимодействия сохраняется, естественно, в любом представлении) и у. Ш., см. 2.17, принимает вид %- Ф(р) - \д(р) [ з*(р")Ф(р") dp" = ЕФ{р). B) 2т J -ос Отсюда C) Условие согласованности этих выражений приводит к соотношению ос /\п(п)г U1/ - I, \ / -00 определяющему энергетический спектр связанных состояний частицы. Рассмотрим следствия этого соотношения. 1. При Е < 0, интеграл в D) является монотонной положительной функцией \Е\, равной нулю при \Е\ = со. Соответственно, в случае А < 0, уравнение не имеет корней (связанные состояния отсутствуют). Если А > 0, то имеются две возможности: а) 0; при этом в интеграле в D) существенна область малых р, так что можно вынести за знак интеграла |fl@)|2 и получить Во « -2я-2тА2|9@)|", А - 0. E) В другом предельном случае, А - со, также и -Еа -> со, при этом л. E<,*-\Jlg(p)\2dp. F) Заметим, что |?о(А)| является монотонно возрастающей функцией параметра А. оо s) 9@) - 0, причем / | BmA)"1 также имеется -эо одно связанное состояние, а при А < BтА)~" их нет. 2. При Е > 0 в случае сепарабельного потенциала может иметь место необычная ситуация, если д(ро) - 0 для некоторого р0 ф 0. причем В этом случае при А = Ао = BтИ) " имеется связанное состояние частицы с энергией Е = pl/2m > 0. Этот дискретный уровень находится непосредственно на фоне непрерывного спектра. 2.20. Найти функцию Грина Ge(x, x") уравнения Шрёдингера для свободной частицы при Е < 0, убывающую при |х - х"| -» оо. Функция Грина удовлетворяет уравнению (И-Е)СЯ = -^^СВ- EGE = 6(х - х"). С помощью функции Грина записать уравнение Шрёдингера для состояний дис- дискретного спектра в короткодействующем потенциале U(x) {U(x) -» 0 при х -» ±со) в виде интегрального уравнения. На основе этого уравнения рассмотреть связанные состояния частицы в 6-яме и сравнить с результатами задачи 2.7. Каков вид функции Грина в импульсном представлении? § 2. Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении 41 Решение. 1) Решение уравнения для функции Лзина Се при х < х" имеет вид GB = А(х") ехр {х(х - х")) + В(х") схр {-х(х - х")}, к = y~2mE/h,2 > 0. Условие убывания Ge при х -> -со требует выбора В(х") = 0. Аналогично при х > х" имеем Ge = C"(z") ехр {-х(г-г")}. В точке х = х" функция GE непрерывна, а производная G"E имеет скачок, равный (сравнить с 2.6) G"E(x = х + 0, г") - G"E(x = х" - 0, х") = -^. С учетом этих условий находим I т Г * С помощью функции Грина общее решение уравнения (О 2m (I" W-ZW B) для Е < 0 можно записать в виде 00 Ф(х) = Ае~" + Be" + f GE(x, x")f(x)dx. C) -00 Если в B) положим / = -U(x) ±оо, и имеет решение лишь при значениях Е < 0, принадлежащих энергетическому спектру. Для V = -а 6(х) уравнение D) принимает вид непосредственно определяющий в. ф. и энергию Еа = -гаа2/2Д2 единственного уровня д. с. в б-потенциале. 2) Отметим, что функцию Грина можно рассматривать как линейный оператор Gg, ядро которого в координатном представлении имеет вид Ge(x, x"). При этом из уравнения для GB(x, x") следует (H-E)GS=1 Я=|1. E) Это операторное уравнение справедливо в произвольном представлении. Его формальное реше- решение имеет вид дв = (Я - Е)" .В импульсном представлении 8Е = {р2/2т -Е)~" является оператором умножения. Используя результат задачи 1.41, находим его ядро в координатном представлении 7 m ^ е -00 что совпадает с A), значение интеграла - см. Д1.3. 42 Глава 2. Одномерное движение 2.21. Рассмотреть задачу о связанных состояниях частицы в случае сепарабельного потенциала, см. 2.19, исходя из решения уравнения Шрёдингера в интегральной форме. Решение. У. Ш. в интегральной форме в случае сепарабельного потенциала принимает вид /(х")/"(х")Ф?(г") dx dx". A) xn jj Обозначив 00 C= ff(x)VB(x)dxy B) из A) сразу находим вид в. ф. 00 При этом условие согласованности выражений B) и C) 00 *= ? // f{x")f"(x) ехр {-ф - х"п dx dx D) -00 определяет спектр. Отсюда в предельных случаях следует: а) При А -» 0 также и х -> 0; можно заменить экспоненту в D) единицей и получить для единственного уровня д. с. (А > 0) ?0« f \1 f(x)dx ¦ E) б) При А -¦ оо также « -» оо. В интефале D) при этом существенна область переменных х" ~ х. Положив f(x") s; /(г) и вычислив получающийся интеграл по х, находим (x)|l«fe. F) Для более полного анализа D) удобно преобразовать это выражение, воспользовавшись формулой Д1.3. Возникающее соотношение воспроизводит формулу D) из задачи 2.19, к которой мы отсылаем читателя. 2.22. Воспользовавшись интегральной формой уравнения Шрёдингера, показать, что энергетические уровни дискретного спектра в произвольном потенциале U(x) < О (U(x) -* 0 при х -» ±оо) удовлетворяют условию Решение. Рассмотрим Фо(з) - в. ф. основного состояния с Щ < О, (\Е„\ ^ I-Eol)- Эта функция не имеет нулей при конечных х и *о(г) ^ 0 (этому условию можно удовлетворить соответствующим выбором фазового множителя). Функция ФоОО удовлетворяет интеграль- интегральному уравнению - уравнению D) задачи 2.20. Возьмем в этом уравнении г = х0. где Хо - точка максимума Фо(х): ФоЫ = ^1 / е-^">-*\и(х")\%(г") dx1. (I) § 2. Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении 43 Замечаем, что подынтегральная функция здесь - неотрицательная и замена ехр {-Хо|г0-г"|} х Фо(я") на Фо(хо) может только увеличить правую часть. После сокращения на Фо(*о) получаем Отсюда и следует |Я„1 B) Приближенно равенство B) имеет место для «мелких» потенциальных ям, в связи с данной задачей см. также 2.23. 2.23. В «мелкой» одномерной потенциальной яме U(x), для которой Щ <С h2/та2 (Со и а - характерное значение потенциала и его радиус), имеется только одно связанное состояние, энергия которого приближенно равна?"о ~ -^т . Воспользовавшись интегральной формой уравнения Шрёдингера, найти поправку порядка ma2Uo/h2 к этому выражению. Решение. Воспользуемся интегральной формой у. Ш. - уравнением D) задачи 2.20. Умножим обе части уравнения на V(x) и проинтегрируем в бесконечных пределах. В получающихся интегралах существенную роль играют х и х" ~ а, и так как ха *= /и(х) dx ~ U(x) (поправка всегда отрицательна в согласии с предыдущей задачей). 2.24. Найти функцию Грина свободной частицы, движение которой, однако, ограни- ограничено непроницаемой стенкой (т. е. U = 0 при х > 0 и U = оо при х < 0, рис. 8, а) для Е < 0. Функция Грина удовлетворя- у(х) t ет граничному условию Gg(x = 0, х") = 0 и убывает при \х - х"\ -» оо. С помощью функции Грина за- записать уравнение Шрёдингера для _ связанных состояний частицы (Еп < 0) в потенциале вида, приведенного на рис. 8, б (т. е. U = U(x) при х > 0 и 27 = оо при х < 0) в интегральной форме. Рис. 8 44 Глава 2. Одномерное движение Решение. Функцию Грина можно получить из решения уравнения как в 2.20. Однако, имея в виду результат этой задачи, на основании соображений, аналогичных используемым при решении электростатических задач методом изображений, ответ можно написать сразу: GE(x, х")=~[ехр{-х\х-х"\}-ехр{-х\х + х"\}]. A) У. Ш. я интегральной форме, автоматически учитывающее граничные условия Ф@) = Ф(оо) = 0, записывается в виде (сравнить с 2.20) *(*) = - J GFXx, х")и(х")Щх") dx". B) о 2.25. Используя интегральную форму уравнения Шрёдингера, показать, что условие о является необходимым условием существования связанных состояний в потенциале U(x) вида, приведенного на рис. 8, 6: U = оо при х < 0, U = U{x) (при этом U ^ 0 и U(x) -¦ 0 для х -» со) при х > 0. Применить полученный результат к потенциалам: a] U = -Щ рая х < a, U = 0 при х > а; б) U = -а6{х - а), см. рис. 6, о, б, и сравнить с точным условием существования связанных состояний. Решение. Идея доказательства точно такая же, как и в 2.22. Укажем оценку экспоненциальных слагаемых в у. Ш. (см. предыдущую задачу), входящих в функцию Грина. Так как \х + х"\ - \х - х"\ ^ 2х" (напомним, что х, х" ^ 0), то < ехр {-х\х - х"\} < 2хх". Теперь утверждение задачи представляется очевидным. Для прямоугольной потенциальной ямы необходимое условие существование состояний д. с. принимает вид Щтпа2//* ^ 1, а точное условие: Г/дто"/Л2 ^ 7г2/8 ~ 1,24. Для $-ямы необходимое условие 2maa/h2 ^ 1 совпадает с точным. 2.26. Найти функцию Грина GE(x, x") частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а. Обсудить аналитические свойства Ge как функции переменной Е. Показать, в частности, что она имеет полюсы, и установить связь положений этих полюсов в плоскости комплексной переменной Е со значениями энергетических уровней Е„ частицы. Решение. Уравнение для GE(x, x") и его решение имеют вид ~hxi^ Gb(x" x>) -EGe{x> х>)=6(х -х/)) _ (А(х") sin хх, 0 ^ х < х\ Б ~ \ В(х") sin х(х - о), х" < х < а. Здесь учтены граничные условия: Gjg = 0 при х - 0 и х = а. Условия сшивания GE(x, x") в точке х = х", совершенно аналогичные отмеченным в задаче 2.20, позволяют найти А, В и окончательное выражение для функции Грина: Ge(l) Х<) = " xl^txl Si" { \ § 3. Состояния непрерывного спектра 45 Отсюда видно, что Gg является аналитической функцией Е [к = ц2тЕ/Л2 J, имеющей следующие особые точки: а) точка Е = оо - существенно особая точка; б) точки В, = Л2х1/2т, где х„а = (п + 1)гг, п = 0, 1,..., являющиеся полюсами GB; при этом положения полюсов совпадают с уровнями частицы в яме (точка Е = 0 является устранимой особой точкой). 2.27. Рассмотреть потенциальные ямы различного вида U(x), удовлетворяющие условиям: U(x) < 0; Щх) -+ 0 при х -» ±оо; I U{x) dx - а = const. Какой конкретный вид имеет потенциальная яма, в которой: а) энергия связи основного уровня \Eq\ принимает максимальное значение; 6) со- содержится наибольшее число состояний дискретного спектра? Решение, а) Ответом на вопрос является результат задачи 2.22: самый глубокий уровень - в <-яме U = -а 6(х - х0). б) Максимальное число уровней д. с. в условиях задачи равно бесконечности за счет их возможного сгущения при Е -» 0, которое имеет место для потенциалов, убывающих при х -» ±оо, как U и -5|z|~" со>0и0<|/<2 (см. , § 18). При 1 < v < 2 такие потенциалы удовлетворяют условиям задачи. § 3. Состояния непрерывного спектра. Прохождение через потенциальные барьеры 2.28. Для свободной частицы, движение которой ограничено непроницаемой стенкой (т. е. U = 0 при х > 0 и U - оо при х < 0, рис. 8, а), найти волновые функции стаци- стационарных состояний. Нормировать их на ^-функцию по энергии. Убедиться в полноте полученной системы функций (на интервале 0 < х < со). Решение. Фе(х) = А(Е)s\n (JlmE/h1 х\ (учтено, что Ф^@) = 0). Для нормировки этих функций на S(E-E") следует выбрать А(Е) = Bт/я2Н2Е) . Условие полноты этой системы функций о легко установить, если воспользоваться соотношением Д1.1. 2.29. Определить коэффициент отражения частицы от потенциальной стенки, изо- изображенной на рис. 9. Рассмотреть предельные случаи Е -» Uo и Е -» оо. Решение. Решение у. Ш., описывающее отражение и прохождение U(x) частиц с Е > Г/о, падающих на стенку слева, имеет вид f е + А(к)е-"кг, z<([ В(к)е""х, х>о(к"= фт(Е - U0)/h2 > о). Из непрерывности Ф^ и ф[ в точке х = 0 следует - к" 2к Рис. 9 . 46 Глава 2. Одномерное движение Таким образом (Я = |Л|2, D = к"\В\2/к): Как и следует, R(E) + D(E) = 1, при этом а) R(E) « У$/16Е2 -> 0 при Д->оо; б) D{E) « V(S - Uo)/Uo ос (О » 0 при Е -»t/0- 2.30. Определить коэффициенты отражения и прохождения частиц в случае -потен- -потенциала U = а 6(х). Обсудить аналитические свойства амплитуд отраженной А(Е) и прошедшей В{Е) волн как функций комплексной переменной Е. Убедиться, что точки Е = 0 и Е = оо являются точками ветвления этих функций. Проведя в плоскости комплексной переменной Е разрез от точки Е = 0 вдоль вещественной полуоси Е > 0, найти особенности функций А(Е) и В(Е) на первом, так называемом физическом, и других листах их римановой поверхности (физический лист фиксируется условием, что фаза точек Е на вещественной полуоси Е > 0 сверху равна нулю). Показать, что такими особенностями являются полюсы, и установить связь между положениями полюсов и уровнями энергии дискретного спектра частицы. Решение. 1) В.ф. имеет вид Ф? = е + A(k)e~"kx при К 0 и «f = B(k)e"" при х > О (здесь * = \j2mElh1 > 0, падающие частицы движутся слева направо). Сшивание Ф? и (Ф^)" в точке х = 0 (см. соотношения B) из 2.6) дает ] + А = В, ik(B - I + А) - 2таВ ikh2 0) ft2 " "v"# ikh2-ma" Коэффициенты отражения R(E) = \A\2 и прохождения D(E) = \B\2 удовлетворяют, как и следует, соотношению R + D = 1. При этом a) R(E) гз таг12ЕП2 - 0 при Е - оо; 6) D(E) ss 2Eh2/ma2 а? -» 0 при?! -» 0. 2) Так как к = y2mE/h2, то из A) следует, что Л(В) и.В(.Е) являются аналитическими функциями В, имеющими особые точки: а) точки В = 0 и Д = оо - корневые точки ветвления; б) полюс в точке Е<>, определяемой условием is/ЪтЩ = та/Л. Е=0 ?=0 Рис. 10 Из-за наличия точек ветвления функции А(Е) и В(Е) являются мкоголистными (в дан- данном случае - двухлистными). Для однозначного определения их проведем в плоскости комплексной переменной Е разрез вдоль вещественной полуоси Е > 0, см. рис. 10, о. Так как на физическом листе фаза точек, непосредственно примыкающих к верхнему берегу разреза (точки типа I на рисунке), равна нулю и при этом fc = у2тЕ/Н2 > 0, то в этих точках значения аналитических функций А(Е) и В(Е) совпадают со значениями физических амплитуд А(Е) и В(Е). Далее, фаза точек Е на отрицательной полуоси Е < 0 физического листа равна ж и для них \/Ё = i\VB\. Соответственно, полюс Ец амплитуд при а < О (<5-яма) находится на физическом листе, а значение Ей совпадает с энергией единственного § 3. Состояния непрерывного спектра 47 уровня д. с. в яме. В случае барьера, а > 0, связанные состояния отсутствуют, а полюс амплитуд при этом находится на нефизическом листе (фаза Ео равна 3»). Такие полюсы отвечают, как принято говорить, виртуальным уровням. 2.31. Найти коэффициент прохождения частиц через прямоугольный потенциальный барьер, изображенный на рис. 11. Как изменяется полученное выражение при переходе к потенциальной яме (Uo < 0)? Решение. Приведем выражения для коэффициента прохождения U(x) ЩЕ - Uo) ЩЕ - Uo) + Uj sin - U0)a*/h2 - Е) 4E{U0 - E>U0, E 1 при Е -» оо (естественный физический результат). С другой стороны, D(E) a E -» 0 при Е -» 0. Такое свойство D(E) - общий квантовомеханический результат (см. задачу 2.39). Однако для потенциальной ямы в исключительных случаях, когда = гиг, п - целое, указанная зависимость нарушается (при этом D(E) -» 1 при Е -* 0). Выделенность этих случаев"определяется тем обстоятельством, что при таких значениях параметров ямы в ней появляются новые состояния д. с. при ее углублении (см. 2.13). 2.32. Найти значения энергий, при которых частицы не отра- жаютсяотпотенциальногобарьеравида17=а[в(х)+й(а:-а)], рис. 12. Ответ. Значения Е, при которых частицы не отражаются от ба- барьера, являются корнями уравнения Aft2 ГШШ л am V ft2 Укажем, что при решении у. Ш. в асимптотике (II.4) в. ф. сле- следует опустить член, соответствующий отраженным частицам, т. е. сразу положить А = 0, и в точках х - 0 и х = а воспользоваться условиями сшивания, установленными в задаче 2.6. и(.х)" Рис.12 2.33. Доказать независимость значения коэффициента отражения при данной энергии от направления падения частиц на силовой центр. Решение. Рассмотрим для определенности случай, когда U(x) -* 0 при х -» -оо и U(x) -> Uo при х - +оо. Обозначим Ф.(х) и Ф+(х) в. ф. стационарных состояний с одинаковой энергией, но с противоположными направлениями движения падающих частиц в область действия потенциала. Они имеют следующие асимптотики: Ф+ и и удовлетворяют у. Ш. - (й2/2">) Ф* + ""**, х -» -оо (к = у 2mE/h2), S(*)e +00 -¦-00, -» +оо, (О Глава 2. Одномерное движение Умножая уравнение для Ф+ слева на Ф_, а уравнение для Ф_ на Ф+, и вычитая их почленно, находим после простых преобразований Ф-(г)Ф",.(г) - Ф+(г)Ф"_(г) = const. B) Вычислив левую часть B) при х -» ±оо с помощью асимптотик A) и приравняв результаты, получаем кВ = к,В. Отсюда и следует 2.34. Найти коэффициенты прохождения и отражения частицы в случае сепарабель- ного потенциала (см. 2.19). Убедиться, что общие свойства (II.5) этих коэффициентов сохраняются и в случае сепарабельного потенциала. Решение. Удобно исходить из интегральной формы у. Ш. (см. 2.42), имеющей для сепара- сепарабельного потенциала вид (к = \p\/h): ^ } + ^ JJ e-"~V(*")/*(*")*,V") ** **". Фр(х) =exp Отсюда где С(р)= I /*(г)ф?(г) dx, ), D(p) = \B{p)\\ (эти формулы справедливы как при р > 0, так и при р < 0). Произведем некоторые преобразования в полученных результатах D). Прежде всего, воспользовавшись формулой (Д1.3) и соотношением (Д1.2): J х-хо-ге J х-х0 (/ означает интеграл в смысле главного значения, е > 0 бесконечно мало), преобразуем C) к виду где § 3. Состояния непрерывного спектра 49 После этого из D) получаем т ^ С?(Р) + A2m2(|g(p)|: - \д(-р)\7J R(p) = clW + cfr) ¦ Отсюда непосредственно следует: 1) D(j>) + R(p) - 1; 2) D{p) = D(-p), т.е. коэффициент прохождения для частиц, i F) , падающих как слева, так и справа, одинаков; 3) при Е -> оо имеем ЩЕ) и {Xm/hpf\g{p)g(-p)\2 -» 0; 4) при Е -» 0 также и D(E) -> 0 (сравнить с 2.39). 2.35. Найти коэффициент прохождения частиц через потенциальный барьер, указан- указанный на рис. 13. Рассмотреть различные предельные случаи, допускающие наглядное восприятие полученного выражения для D(E). Решение. В.ф. при х < 0 имеет вид ф? = е"*"+А(к)е~"к" (падающие частицы движутся слева направо, к = yllmE/h1 > 0). При х > О заменой переменной и„ --l + -1, \о «о/ где (= у. Ш. приводится к уравнению? + z*^ = 0. Решение его, й имеющее при х выбрать в виде +оо вид уходящей направо волны, следует рис_ i Ai (-* exp f Ц где Ai (z) и Bi (z) - функции Эйри. Из условий непрерывности в. ф. и ее производной в точке х = 0 находим А и С. При этом C(J?) = Bi (-zo) + t Ai (-zo) + «D/fca) (Bi"(-zo) + i Ai"(-zo)) " A) где z0 = «(Я/Уо - 1). Вычислив плотность потока частиц, j = (А/2лм)(Ф"Ф" - ФФ"), при х -» +оо: Лрош = Щ\С\2/пта, и учтя, что для падающих частиц jn», = hk/m, находим коэффици- коэффициент прохождения 2 D . ]„ш яка Формулы A) и B) решают задачу. Отметим частные случаи. 1) Е < и0, причем 4A - E/Uo) > 1 (и {> 1) (при этом следует воспользоваться асимптотикой наиболее существенного в A) слагаемого. («/*a)Bi"(-20),CM.|34]). 2) Е > Щ, причем i(E/Ua - 1) » 1 (при этом *а » ()» 50 Глава 2. Одномерное движение 3) При В -¦ О 2.36. То же, что и в предыдущей задаче, в случае барьера U = -JoM. рис. 14. D(E) я 4fco Vix) Решение. В. ф. имеет вид +/ ч f }