Замена переменной х 1 х. Решение уравнений с помощью замены. Задачи для самостоятельного решения
Урок и презентация на тему: "Метод замены переменной. Примеры"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
1С: Школа. Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве для 10–11 классов
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Этот метод довольно часто встречается при решении уравнений, и мы с вами им не раз пользовались.Его можно использовать в следующих случаях:
- Если исходное уравнение $f(x)=0$ имеет сложный вид, но его удалось преобразовать к уравнению вида $h(g(x))=0$.
- Нужно произвести замену переменных $u=g(x)$.
- Решить уравнение $h(u)=0$, найти корни $u_1$, $u_2$, … $u_n$.
- Ввести обратную замену $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$.
- Решить каждое из уравнений $g(x)=u_1$, $g(x)=u_2$, … , $g(x)=u_n$. Корни каждого из уравнений и будут решениями исходного уравнения.
Пример.
Решить уравнение: $8x^6+7x^3-1=0$.
Решение.
Введем замену $y=x^3$. Тогда наше уравнение сводится к квадратному уравнению:
$8y^2+7y-1=0$,
$(8y-1)(y+1)=0$,
$y_1=\frac{1}{8}$ и $y_2=-1$.
На данном этапе при решении более сложных уравнений следует проверить полученные корни.
Введем обратную замену: $x^3=\frac{1}{8}$ и $x^3=-1$.
Корни данных уравнений найти легко: $x_1=\frac{1}{2}$ и $x_2=-1$.
Ответ: $х=0,5$ и $х=-1$.
Пример.
Решить уравнение: $\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}+4\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=4$.
Решение.
Проведем равносильные преобразования:
$\sqrt{\frac{2x-1}{2x+3}}=(\frac{2x-1}{2x+3})^{\frac{1}{2}}=(\frac{2x+3}{2x-1})^{-\frac{1}{2}}=((\frac{2x+3}{2x-1})^{\frac{1}{2}})^{-1}=\frac{1}{\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}}$.
Введем замену: $u=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}$, тогда наше уравнение сводится к $u+\frac{4}{u}=4$. $u^2-4u+4=0$, откуда $u=2$.
Введем обратную замену: $\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=2$.
$2x+3=4(2x-1)$, решив линейное уравнение $х=1\frac{1}{6}$.
Пример.
Решить уравнение: $2^x+2^{1-x}=3$.
Решение.
Наше уравнение сводится к равносильному уравнению: $2^x+\frac{2}{2^x}=3$.
Введем замену: $t=2^x$.
$t+\frac{2}{t}=3$,
$t^2-3t+2=0$,
$(t-2)(t-1)=0$,
$t_1=2$ и $t_2=1$.
Введем обратную замену: $2^x=2$ и $2^x=1$. Откуда: $х=1$ и $х=0$.
Ответ: $х=1$ и $х=0$.
Пример.
Решить уравнение: $lg^2(x^2)+lg(10x)-6=0$.
Решение.
Преобразуем наше уравнение.
$lg^2(x^2)=(lg(x^2))^2=(2lg(x))^2=4lg^2x$.
$lg(10x)=lg10+lgx=1+lgx$.
Исходное уравнение равносильно уравнению: $4lg^2x+lgx-5=0$.
Введем замену: $u=lg(x)$.
$4u^2+u-5=0$,
$(4u+5)(u-1)=0$.
Введем обратную замену: $lgx=-1,25$ и $lgx=1$.
Ответ: $x=10^{-\frac{5}{4}}$ и $x=10$.
Пример.
Решить уравнение: $sin(x)cos(x)-6sin(x)+6cos(x)+6=0$.
Решение.
Введем замену: $cos(x)-sin(x)=y$.
Тогда: $(cos(x)-sin(x))^2=1-2sin(x)cos(x)$.
$sin(x)cos(x)=\frac{1-y^2}{2}$.
Исходное уравнение равносильно:
$\frac{1-y^2}{2}+6y+6=0$,
$1-y^2+12y+12=0$,
$y^2-12y-13=0$,
$(y-13)(y+1)=0$.
Введем обратную замену: $cos(x)-sin(x)=13$ - очевидно, что решений нет, так как косинус и синус ограничены по модулю единицей.
$cos(x)-sin(x)=-1$ - умножим обе части уравнения на $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$sin(\frac{π}{4}-x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\begin {cases} \frac{π}{4}-x=-\frac{π}{4}+2πn, \\ \frac{π}{4}-x=-\frac{3π}{4}+2πn. \end {cases}$
$\begin {cases} x=\frac{π}{2}+2πn, \\ x=π+2πn. \end {cases}$
Ответ: $x=\frac{π}{2}+2πn$ и $π+2πn$.
Задачи для самостоятельного решения
Решить следующие уравнения:1. $x^8+3x^4-4=0$.
2. $\sqrt{\frac{5x-1}{x+3}}+5\sqrt{\frac{x+3}{5x-1}}=6$.
3. $5^x+5^{2x+1}=-4$.
4. $2cos^2(x)-7cos-4=0$.
5. $5sin(2x)-11sin(x)=11cos(x)-7$.
Математика – это скважина, через которую логический ум может подглядывать за идеальным миром.
Кротов Виктор
В школе ведущее место в курсе алгебры занимают рациональные уравнения. Именно на их изучение времени отводится больше, чем на любые другие темы. Связано это в первую очередь с тем, что уравнения имеют не только важное теоретическое значение, но и служат многим практическим целям. Огромное количество задач реального мира сводятся именно к решению различных уравнений, и только после того, как вы овладеете способами их решения, вы найдете ответы на различные вопросы науки и техники.
Для формирования умения решать рациональные уравнения самостоятельная работа ученика имеет огромное значение. Однако перед тем как переходить именно к самостоятельной работе, необходимо четко знать и уметь применять на практике все возможные методы решения рациональных уравнений.
Рассмотрим подробно на примерах метод замены переменных для решения рациональных уравнений.
Пример 1.
Решить уравнение (2x 2 – 3x + 1) 2 = 22x 2 – 33x + 1.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
(2x 2 – 3x + 1) 2 = 11(2x 2 – 3x) + 1. Сделаем замену. Пусть 2x 2 – 3x = t, тогда уравнение примет вид:
(t + 1) 2 = 11t + 1.
Теперь раскроем скобки и приведем подобные, получим:
t 2 + 2t + 1 = 11t + 1;
В получившемся неполном квадратном уравнении вынесем общий множитель за скобки, будем иметь:
t = 0 или t = 9.
Теперь необходимо сделать обратную замену и решить каждое из полученных уравнений:
2x 2 – 3x = 0 или 2x 2 – 3x = 9
x(2x – 3) = 0 2x 2 – 3x – 9 = 0
x = 0 или x = 3/2 x = 3 или x = -3/2
Ответ: -1,5; 0; 1,5; 3.
Пример 2.
Решить уравнение (x 2 – 6x) 2 – 2(x – 3) 2 = 81.
Решение.
Применим формулу квадрата разности (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . Запишем исходное уравнение в виде
(x 2 – 6x) 2 – 2(x 2 – 6x + 9) = 81. Теперь можно сделать замену.
Пусть x 2 – 6x = t, тогда уравнение будет иметь вид:
t 2 – 2(t + 9) = 81.
t 2 – 2t – 18 – 81 = 0;
t 2 – 2t – 99 = 0.
По теореме Виета корнями полученного уравнения будут числа -9 и 11.
Сделаем обратную замену:
x 2 – 6x = -9 или x 2 – 6x = 11
x 2 – 6x + 9 = 0 x 2 – 6x – 11 = 0
(x – 3) 2 = 0 D = 80
x = 3 x 1 = 3 + 2√5; x 2 = 3 – 2√5.
Ответ: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.
Пример 3.
Решить уравнение (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7) = 297 и найти произведение его корней.
Решение.
Найдем «выгодный» способ группировки множителей и раскроем пары скобок:
((x – 1)(x + 5))((x – 3)(x + 7)) = 297;
(x 2 + 5x – x – 5)(x 2 + 7x – 3x – 21) = 297;
(x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – 21) = 297.
Cделаем замену x 2 + 4x = t, тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:
(t – 5)(t – 21) = 297.
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:
t 2 – 21t – 5t + 105 = 297;
t 2 – 26t – 192 = 0.
По теореме Виета определяем, что корнями полученного уравнения будут числа -6 и 32.
После обратной замены будем иметь:
x 2 + 4x = -6 или x 2 + 4x = 32
x 2 + 4x + 6 = 0 x 2 + 4x – 32 = 0
D = 16 – 24 < 0 D = 16 + 128 > 0
Нет корней x 1 = -8; x 2 = 4
Найдем произведение корней: -8 · 4 = -32.
Ответ: -32.
Пример 4.
Найти сумму корней уравнения (x 2 – 2x + 2) 2 + 3x(x 2 – 2x + 2) = 10x 2 .
Решение.
Пусть x 2 – 2x + 2 = t, тогда уравнение примет вид:
t 2 + 3xt – 10x 2 = 0.
Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно t.
D = (3x) 2 – 4 · (-10x 2) = 9x 2 + 40x 2 = 49x 2 ; ≥≤
t 1 = (-3x – 7x) / 2 и t 2 = (-3x + 7x) / 2;
t 1 = -5x и t 2 = 2x.
Так как t = x 2 – 2x + 2, то
x 2 – 2x + 2 = -5x или x 2 – 2x + 2 = 2x. Решим каждое из полученных уравнений.
x 2 + 3x + 2 = 0 или x 2 – 4x + 2 = 0.
Оба уравнения имеют корни, т.к. D > 0.
С помощью теоремы Виета можно сделать вывод, что сумма корней первого уравнения равна -3, а второго уравнения 4. Получаем, что сумма корней исходного уравнения равна -3 + 4 = 1
Ответ: 1.
Пример 5.
Найти корень уравнения (x + 1) 4 + (x + 5) 4 = 32, принадлежащий промежутку [-5; 10].
Решение.
Пусть x = t – 3, тогда x + 1 = t – 2; x + 5 = t + 2 и исходное уравнение принимает вид:
(t – 2) 4 + (t + 2) 4 = 32. Для возведения выражений в четвертую степень можно воспользоваться треугольником Паскаля (рис. 1);
(t – 2) 4 = t 4 – 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 – 4t · 2 3 + 2 4 ;
(t + 2) 4 = t 4 + 4t 3 · 2 + 6t 2 · 2 2 + 4t · 2 3 + 2 4 .
После приведения подобных слагаемых получим:
2t 4 – 2 · 6t 2 · 2 2 + 2 · 2 4 = 32;
t 4 + 6t 2 · 2 2 + 2 4 = 16;
t 4 + 24t 2 + 16 = 16;
t 4 + 24t 2 = 0;
t 2 (t 2 + 24) = 0;
t = 0 или t 2 = -24.
Второе уравнение не имеет корней, а значит t = 0 и после обратной замены
x = t – 3 = 0 – 3 = -3. Корень уравнения -3 принадлежит промежутку [-5; 10].
Ответ: -3.
Как видим, при решении рациональных уравнений необходимо знать приведенные выше формулы и уметь правильно считать. Ошибки же чаще всего возникают при выборе замены и при обратной подстановке. Чтобы этого избежать, нужно расписывать подробно каждое действие, тогда ошибок в ваших решениях не будет.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
С лабый ученик - головная боль для репетитора по математике, так как традиционные методы объяснений ему не подходят. Причины этого несоответствия могут быть разными: от проблем, связанных со способностями обеспечивать достаточную скорость мышления и точную привязку мыслительных операций к определенным объектам до пропусков занятий и полного отсутствия практики общения с математическими понятиями и алгоритмами.
Особое умение репетитора выходить из таких, казалось бы, патовых ситуаций, связано с наличием в его арсенале средств различных хитрых типов объяснений текущих тем в обход каким-то навыкам и способностям, знаниям и умениям, приобретенным в результате долгого и упорного труда.
Слабые дети тоже бывают разными, но до определенной их части все-таки можно достучаться, сопоставляя изучаемые математические структуры и модели с реальными аналогами, или с явлениями похожими на них. Тогда и интерес появляется и дольше информация в памяти храниться (благо ассоциативная память включается) и быстрее приходит понимание (благо есть фундамент, на который можно хоть как-то опереться)
Замена переменной в уравнениях - одна из тем, часто попадающая в категорию до конца не понятой слабым учеником. В лучшем случае он просто заучивает алгоритм и при малейшем изменении условий его применения может растеряться. Как репетитор по математике может донести суть приема?
Рассмотрим для примера уравнение:
Сразу скажу, что методически будет правильнее сначала перенести все слагаемые в левую часть, чтобы оставшийся нуль в правой был бы постоянным, видимым и желаемым результатом вычислений при проверке корней.
Самому репетитору по математике (как и сильному ученику) решить уравнение не представляет труда. Делаем замену
Решаем уравнение
Его корни t1=-4 и t2=-1. Возвращаемся к переменной Х и решаем еще два уравнения
В первом из них нет решений, а во втором имеем единственный корень х=1.
Все ходы просты и понятны кому угодно, но только не слабому ученику, так как без соответствующих комментариев и аналогий уже на этапе перехода к уравнению
Он, скорее всего, упустит нити рассуждений и потеряет взаимосвязи между числами.
На помощь репетитору по математике приходят как математические пояснения, так и примеры, не связанные напрямую с математикой. И в том и в другом случае до их использования репетитор должен развернуть структуру объекта перед ребенком и показать, как проверяется наугад взятое число на предмет попадания его в ответ. Это делается подстановкой тестируемого числа в левую часть уравнения и поэтапным подсчетом значения выражения
Сначала выполняются действия
(их результат обозначен буквой t) Затем, то, что получилось, подставляют в выражение
для сравнения его результата с нулем. Репетитору по математике желательно заострить внимание ученика на возможности такого «расчленения», а для запоминания порядка подсчета дать несколько простых упражнений. Можно попросить проверить несколько «наугад выбранных чисел», среди которых обязательно должен быть корень уравнения. Я предлагаю составить такую таблицу :
Соответствующие указатели и цветовые выделения помогут репетитору минимальным словесным описанием донести до ученика главное. Видно, что нулевой результат получился на последнем этапе вычислений при вставке числа −1 в выражение из третьей колонки. Понятно откуда эта «минус единица» пришла и какими действиями она получается.
Ставим перед учеником следующую цель: догадаться как число −1 можно было бы обнаружить, если бы мы его не знали и не видели его во втором и третьем столбике. Есть шанс, что ученик не растеряется и скажут репетитору: «надо решить уравнение t^2+5t+4 = 0». Отлично, можно идти дальше и обратить его внимание появлении числа −1 получается при подстановке х=1 в выражение
Значит х=1 - корень уравнения
Тот же ученик скажет репетитору:«надо решить уравнение x^2-2x=0»
Если понимание пришло, репетитору по математике необходимо акцентировать внимание ребенка на главной особенности уравнения, из-за которой такое решение возможно: наличие внутри левой части повторяющегося набора действий (повторяющегося выражения).
1) Ищем повторяющиеся выражения
.
2) Обозначаем их новой буквой t
.
3) Записываем шаблон
будущего уравнения
для нахождения иксов:
Желательно не использовать буквенные обозначения, закрепленные за другими объектами: страшим коэффициентом квадратного уравнения (буква «а»), осью ординат (буква «y») ...
4) Вставляем букву t в первоначальное уравнение вместо выражения
5)Решая уравнение
Находим корни (t1 и t2), гарантирующие получение нуля в последнем столбике таблицы.
6) Подставим найденные числа в выделенный «шаблон» и решим еще два уравнения:
Таким образом найдем иксы, при подстановке которых в выражение из второй колонки таблицы эти получатся «гаранты» t1 и t2.
Фактически репетитор по математике двигается с учеником по указанной таблице справа налево.
Если ученик не самый слабый, то достаточно показать схемку:
Если репетитор чувствует, что с открытой структурой объекта, понимание все равно не приходит и ученик не может осознать (или успевает забывать) что именно показывают числа t1=-4 и t2=-1, то можно предложить сравнить подбор чисел с работой кодового замка на двери, ведущей на какой-нибудь секретный объект. Как будто кодовый замок - это буквенное выражение в левой части уравнения, а нам надо найти верный код (число для вставки вместо Х), чтобы получить нуль в результате всех действий
Тогда дверь откроется.
Это замок двойной, он состоит из двух частей:
1)«Cистема преобразований»
(или коротко: «переводилка») числового кода (Х) в числовой пароль t (его «вычисляет» выражение
2)«Система проверки» пароля , которая при получении нуля в результате действий
открывает дверь.
Решить уравнение - значит найти все коды, открывающие дверь. Как это сделать?
Логично сначала узнать все пароли (t1=-4 и t2=-1), при которых дверь открывается. Для этого решим уравнение
Затем для каждого из найденных паролей и попробовать подобрать коды, которые в них будут преобразованы действиями
Эти коды - наш ответ!
При такой методике объяснений репетитору по математике будет легче удержать внимание на структуре алгоритма. Так как слова код и пароль более коротки, понятны и знакомы чем сложные для осмысления строгие математические фразы «значение переменной, при которой значение выражения...»
Если репетитору по математике опять не удалось добиться понимания, то можно привести более простую аналогию с реальностью (правда менее точную). На секретный объект имеют доступ несколько человек. Требуется пронести на него некоторые предметы. Представим себе, что эти предметы — числа (иксы). Какие из них как можно пронести?
На вопрос «как пронести» репетитору по математике ждать ответа не придется. Любой ученик скажет: «надо найти этих людей-агентов и передать с ними. Правильно! Числа −4 и −1 у нас играют роль агентов (буква t - дверь в которую они входят для получения разрешения пройти на территорию. Выражение x^2-2x похоже на карман, в который должен влезть нужный для проноса предмет (в его роли выступает число 1 из ответа).Невозможность найти корень уравнения
можно сравнить с ситуацией, когда ни один имеющийся у нас предмет не влезает в карман первого агента, а результат решения уравнения
сравнить с возможностью «запихнуть» второму посыльному в карман только одну единственную вещь: x=1 (карман очень маленький).
Можно назвать такой метод - методом аналогий. Его применение позволяет репетитору по математике в дальнейшем использовать красивые опорные слова в качестве подсказок ученику. Забыл с чего начать? Определяй агентов: t1 и t2. Если они уже найдены - определяй что залезет к ним в карман.
Осталось пожелать ученикам и репетиторам успехов в изучении темы.
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике.
