Возникновение стоячих волн и их свойства. Стоячие волны. Отсюда вытекает условие

Экономические науки. Макроэкономика

Преподаватель Сламбек қызы Динара

Академия Экономики и права им.У.А.Джолдасбекова, Казахстан

РАЦИОНАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕСУРСОВ

КАК ФАКТОР ПОВЫШЕНИЯ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ЭКОНОМИКИ КАЗАХСТАНА

Повышение экономической эффективности производства и рост материального и культурного уровня жизни народа непосредственно связаны с рациональным, экономным использованием ресурсов. Ресурсы является одним из важнейших факторов производства и экономического развития страны. Длительное время в экономической теории рассматривалось следующие направление ресурсов: земля, труд, капитал и предпринимательство. Развитие производственных сил и производственных отношений привело к выделению новых направлений формирования ресурсов. В настоящее время выделяются кроме перечисленных еще трансферт технологий и информационные системы, определяющие международную связь.

Естественная среда обитания человека требует использования природных ресурсов. Природные ресурсы неравномерно распространены по поверхности земли, а следовательно и между различными странами. Только 3 страны, США, Китай, Россия, имеют практически все виды природных ресурсов. Остальные страны вынуждены искать необходимые ресурсы на мировом рынке.

Трудовые ресурсы -экономически активное население. На западе его доля более 70%, встранах с низкой рождаемостью, как правило, не хватает трудовых ресурсов. Особую роль занимает ресурс капитала, его значимость хорошо проявилась через современный мировой финансовый кризис. Предпринимательство, как фактор производства, объединяет и приводит в действие все факторы производства. Трансферт технологий стал новым экономическим ресурсом развития страны и решения всех социально-экономических проблем.

Под трансфертом технологий понимается передача невоплощенной технологии (патенты, лицензии, торговые марки, консультационные и маркетинговые услуги, импорт и лизинг технологического оборудования), способствующих созданию или дальнейшему развитию производства на новой технологической основе другому юридическому или физическому лицу, и на основе этого он определен экономической теорией, как одно из направлений ресурсов.

Следующее направление ресурсов – информационные технологии. Информационные технологии – совокупность методов, производственных процессов и программно-технических средств, интегрированных с целью сбора, обработки, хранения, распространения, отображения и использования информации в интересах ее пользователей. В результате этого, глобальная информационная сеть обеспечивает пользователям возможность обмениваться информацией, совместно использовать технические и программные средства, информационные ресурсы.

Ресурсы приобретаются как факторы производства на основе купли-продажи, в процессе производства действуют земля, труд, капитал, предпринимательство, трансферт технологий, информационные системы как факторы, обеспечивающие современное производства. Все перечисленные факторы производства предполагают их наличие в каждой стране, т.к. без взаимодействия между ними невозможно ни начать, ни развивать производство в современных условиях. Однако каждая страна располагает разным уровнем ресурсов, нехватку которых пополняет через взаимодействие с другими странами. Имеющиеся ресурсы не только по-разному расположены в странах, но и имеют тенденцию к уменьшению по мере их использования, порождая объективное противоречие между безгранично растущими потребностями и ограниченными ресурсами.

Рост общеобразовательного, культурного, интеллектуального уровня общества диктует постоянное увеличение потребностей и их разнообразие, в свою очередь новые средства их удовлетворения. Вместе с тем, какие бы не появлялись новые направления ресурсов, все они создаются на единой, относительно небольшой планете Земля, и поэтому с ростом производства объективно уменьшаются все виды ресурсов.

Перед каждой страной в условиях НТР объективно возникает необходимость учета этого противоречия. Рыночные отношения на основе частнойсобственности определяют направления инвестиций в те или иные инновационные проекты. Инвестор учитывает свой частный интерес через следующие показатели проекта. Для обоснованияобщего решения при выборе любого инновационного проекта определяется чистый дисконтированный доход. Кроме того, инвестор учитывает проведенную оценку уровнем доходности, определением внутренней нормы рентабельности, срока окупаемости инвестиций, которые становятся решающими при сравнении различных проектов. Все расчеты по оценке инвестиций в инновационные проекты проводятся с учетом социальных, экологических факторов. Не менее важную роль при оценке и выборе проекта играют условия привлечения финансовых ресурсов и определения их источников. Однако исследование различных методов оценки капиталовложений в современные инновационные проекты требуют несколько иного подхода.

В современной практике применяется ряд показателей использования ресурсов:

· Безотходное использование ресурсов

· Ресурсозамещении

· Первичные и вторичные ресурсы

Однако не один из них не дает главной направленности использования ресурсов в современных условиях. Показатель эффективности использования ресурсов, как правило, ограничен конкретным проектом, его затратами и результатом. Если рассматривать эффективность инновационных проектов с позиции всего общества, то возникает потребность учитывать рациональное использование ресурсов как определяющий фактор инновационной направленности любого проекта. Рациональное использование ресурсов становится в настоящее время определяющим фактором для роста и казахстанской экономики, пропорционального, сбалансированного роста всех отраслей хозяйственного комплекса и жизнеобеспечения общества в целом.

Рациональное использование ресурсов - это более широкий показатель, который охватывает все отрасли, и главной целью которого является не только сиюминутное использование имеющихся ресурсов, но и перспективы их дальнейшего применения. Человечество старается найти новые источники ресурсов, как, например, энергетические. В настоящее время энергетическими ресурсами стали пищевые продукты (зерновые, в частности кукуруза). Использование пищевых ресурсов как энергетических объективно приводит к их сокращению, а с ростом населения это может грозить повсеместным голодом. Уже сегодня в мире от голода или постоянного надоедания страдает более 850 миллионов человек (около 14% населения земли). В 2007 году ООН сообщило, что 33 государства не имеют достаточно продуктов питания, чтобы накормить свой народ. Человечество в условиях НТР конечно стремится найти другие источники для получения сокращающихся энергоресурсов. Например, в Китае найдена технология получения энергоресурсов из рисовой соломы. Интересен проект получения энергоресурсов из отходов кофе. Вместе с тем, на сегодняшний день главным источником новых энергоносителей являются пищевые продукты, которые не могут произвольно увеличиваться. Так, например, чтобы заправить эталоном полный бак внедорожника, требуется столько же зерна, сколько хватит на пропитание одному человеку на целый год.

Как видно, частный инвестор обеспокоен рациональным использованием ресурсов в рамках своего интереса, что часто может приходить в противоречие с общественными интересами. Вся система показателей определения эффективности инновационных проектов учитывает главным образом интерес инвестора. Мы считаем, что в условиях растущего противоречия между безгранично растущими потребностями и ограниченными ресурсами, объективно порождается необходимость определения нового показателя, позволяющего подчинить частные интересы общественным. Без такого показателя, который бы явился определяющим при оценке эффективности инновационных проектов, общество не сможет сфокусировать все интересы на экономном использовании ресурсов. Как указано выше, таким показателем на наш взгляд, может стать показатель – «рациональное использование ресурсов», который определяет значимость экономии ресурсов для данного объекта, данной отрасли и общества в целом.

Рациональное использование ресурсов – это максимально возможное при данном уровне техники и технологии получение эффективности от использования ресурсов. Чему и должен быть подчинен любой инновационный проект. Если инновационные проекты подчинить рациональному использованию ресурсов, то Казахстана будет иметь несколько преимуществ: сохранение имеющихся ресурсов для будущих поколений; повышение качества выпускаемой продукции, так как рациональное использование предполагает сохранение естественного продукта для потребления населения. Экономика Казахстана может стать одной из ведущих мировых экономик в определении конкурентоспособности. Поэтому при определении эффективности инновационных проектов в разных отраслях включаются разнообразные показатели использования ресурсов. Разработка и внедрение нового показателя – «рациональное использование ресурсов» - позволит в какой-то степени разрешить имеющееся противоречие между постоянно растущими потребностями и ограниченными ресурсами, сохранить на более длительное время ресурсы. Новый показатель будет стимулировать усиление конкуренции между инвесторами и обеспечивать победу тем из них, которые в большей степени смогут учесть показатель «рациональное использование ресурсов». Данный показатель позволит Казахстану выйти на мировой рынок не только с новой продукцией, но и с лицензиями на новую технику и технологию, обеспечивающих рациональное использование ресурсов. Такие лицензии будут являться особенно приобретаемыми странами с ограниченными ресурсами. Показатель «рациональное использование ресурсов» должен стимулировать активизацию науки и инвестирования в новые рациональные проекты и, тем самым, обеспечивать устойчивое конкурентоспособное положение Казахстана на мировом рынке. При условиях развития нанотехнологий, роботехники, автоматизации, открытия новых направлений получения необходимого сырья и материалов, движения мирового капитала и рабочей силы, расширения использования трансферта технологий и дальнейшего развития мировой связи, сделает Казахстан высококонкурентным и устойчивым мировым партнером.Для Казахстана, обладающего значительным количеством природных ресурсов, создается возможность превратить свое положение в определяющее для роста конкурентоспособности.

Литература:

1. Кенжегузин М.Б., Днишев Ф.М., Альжанова Ф.Г. Наука и инновации в рыночной экономике: мировой опыт и Казахстан. – Алматы: ИЭ МОН РК, 2005. – 256 с.

2. Наука и инновационная деятельность Казахстана в 2006 году: стат.сб./под ред. Э.А.Кунаева. – Астана: Агентство РК по статистике, 2007 – 96 с.

4. Экономический журнал «Аль Пари» - 2009 – 1 – 2

Любая волна представляет собой колебание. Колебаться может жидкость, электромагнитное поле или любая другая среда. В повседневной жизни каждый человек ежедневно сталкивается с тем или иным проявлением колебаний. Но что такое стоячая волна?

Представьте себе вместительную емкость, в которую налита вода - это может быть тазик, ведро или ванна. Если теперь по жидкости похлопать ладонью, то от центра соударения во все стороны побегут волнообразные гребни. Кстати, они так и называются - бегущие волны. Их характерный признак - перенос энергии. Однако, изменяя частоту хлопков, можно добиться практически полного видимого их исчезновения. Возникает впечатление, что масса воды становится желеобразной, а движение происходит только вниз и вверх. Стоячая волна - это и есть данное смещение. Данное явление возникает потому, что каждая ушедшая от центра удара волна достигает стенок емкости и отражается обратно, где пересекается (интерферирует) с основными волнами, идущими в противоположном направлении. Стоячая волна появляется лишь в том случае, если отраженные и прямые совпадают по фазе, но различны по амплитуде. В противном случае вышеуказанной интерференции не происходит, так как одно из свойств волновых возмущений с разными характеристиками - это способность сосуществовать в одном и том же объеме пространства, не искажая друг друга. Можно утверждать, что стоячая волна является суммой двух встречно направленных бегущих, что приводит к падению их скоростей до нуля.

Почему же в приведенном примере вода продолжает колебаться в вертикальном направлении? Очень просто! При наложении волн с одинаковыми параметрами в определенные моменты времени колебания достигают своего максимального значения, называемые пучностями, а в другие полностью гасятся (узлы). Изменяя частоту хлопков, можно как полностью погасить горизонтальные волны, так и усилить вертикальные смещения.

Стоячие волны представляют интерес не только для практиков, но и для теоретиков. В частности, одна из моделей гласит, что любая материальная частица характеризуется какой-то определенной (вибрацией): электрон колеблется (дрожит), нейтрино колеблется и т.д. Далее, в рамках гипотезы, предположили, что упомянутая вибрация - следствие интерференции каких-то, пока еще не открытых возмущений среды. Другими словами, авторы утверждают, что там, где те удивительные волны формируют стоячую, возникает материя.

Не менее интересно явление Резонанса Шумана. Оно заключается в том, что при некоторых условиях (ни одна из предложенных гипотез пока не принята за единственно верную) в пространстве между земной поверхностью и нижней границей ионосферы возникают стоячие электромагнитные волны, частоты которых лежат в низком и сверхнизком диапазонах (от 7 до 32 герц). Если образовавшаяся в промежутке «поверхность - ионосфера» волна обогнет планету и попадет в резонанс (совпадение фаз), то сможет существовать продолжительное время без затухания, самоподдерживаясь. Резонанс Шумана представляет особый интерес потому, что частота волн практически совпадает с естественными альфа-ритмами человеческого мозга. К примеру, исследованиями данного явления в России занимаются не только физики, но и такая крупная организация, как «Институт мозга человека».

На стоячие обратил внимание еще гениальный изобретатель Никола Тесла. Считается, что он мог использовать это явлене в некоторых своих устройствах. Одним из источников их появления в атмосфере принято считать грозы. Электрические разряды возбуждают электромагнитное поле и генерируют волны.

Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий. Допустим, излучатель посылает волну к препятствию (падающая волна). Отраженная от него волна наложится на падающую волну. Уравнение стоячей волны можно получить сложением уравнения падающей волны

и уравнения отраженной волны

Отраженная волна движется в направлении, противоположном падающей волне, поэтому расстояние х берем со знаком минус. Смещение точки, которая участвует одновременно в двух колебаниях, равно алгебраической сумме . После несложных преобразований, получаем

не зависит от времени и определяет амплитуду любой точки с координатой х. Каждая точка совершает гармоническое колебание с периодом Т. Амплитуда А ст для каждой точки вполне определена. Но при переходе от одной точки волны к другой она изменяется в зависимости от расстояния х. Если придавать х значения, равные и т.д., то при подстановке в уравнение (8.16) получим . Следовательно, указанные точки волны остаются в покое, т.к. амплитуды их колебаний равны нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания происходят с максимальной амплитудой, называются пучностями. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) называются длиной стоячей волны и равно

где λ - длина бегущей волны.

В стоячей волне все точки среды, в которой они распространяются, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе. Точки среды, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе -фазы их отличаются на π. т.е. при переходе через узел фаза колебаний скачкообразно меняется на π. В отличие от бегущих волн в стоячей волне отсутствует перенос энергии вследствие того, что образующие эту волну прямая и обратная волны переносят энергию в равных количествах и в прямом и в противоположном направлениях. В том случае, когда волна отражается от среды более плотной, чем та среда, где распространяется волна, в месте отражения возникает узел, фаза изменяется на противоположную. При этом говорят, что происходит потеря половины волны. Когда волна отражается от среды менее плотной в месте отражения, появляется кучность, и потери половины волны нет.

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волнами в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. (Более строгое определение когерентности будет дано в § 120.) При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, Дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях:

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим

Уравнение (99.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета так, чтобы разность , стала равной нулю, а начало отсчета - так, чтобы оказалась равной нулю сумма Кроме того, заменим волновое число k его значением

Тогда уравнение (99.1) примет вид

Из (99.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от х:

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (99.3) получаются значения координат пучностей:

Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.4).

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты х, определяемые формулой (99.5).

Из формул (99.4) и (99.5) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно . Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Обратимся снова к уравнению (99.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются синфазно (т. е. в одинаковой фазе). На рис. 99.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия.

Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц.

Продифференцировав уравнение (99.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для деформации среды :

Уравнение (99.6) описывает стоячую волну скорости, а (99.7) - стоячую волну деформации.

На рис. 99.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смещения, скорости и деформации для моментов времени 0 и Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пучностями смещения; узлы же и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. В то время как достигают максимальных значений, обращается в нуль, и наоборот.

Соответственно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциальную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где находятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, сосредоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

Рассмотрим результат интерференции двух синусоидальных плоских волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Для простоты рассуждений допустим, что уравнения этих волн имеют вид:

Это означает, что в начале координат обе волны вызывают колебания в одинаковой фазе. В точке А с координатой х суммарное значение колеблющейся величины, согласно принципу суперпозиции (см. § 19), равно

Данное уравнение показывает, что в результате интерференции прямой и обратной волн в каждой точке среды (с фиксированной координатой происходит гармоническое колебание с той же частотой , но с амплитудой

зависящей от значения координаты х. В точках среды, в которых колебания отсутствуют вовсе: эти точки называются узлами колебаний.

В точках, где амплитуда колебаний имеет наибольшее значение, равное Эти точки называются пучностями колебаний. Легко показать, что расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно расстояние между пучностью и ближайшим узлом равно При изменении х на косинус в формуле (5.16) меняет знак на обратный (его аргумент изменяется на поэтому если в пределах одной полуволны - от одного узла до другого - частицы среды отклонились в одну сторону, то в пределах соседней полуволны частицы среды будут отклонены в противоположную сторону.

Волновой процесс в среде, описываемый формулой (5.16), называется стоячей волной. Графически стоячая волна может быть изображена так, как это показано на рис. 1.61. Допустим, что у есть смещение точек среды от состояния равновесия; тогда формула (5.16) описывает «стоячую волну смещения». В некоторый момент времени, когда все точки среды имеют максимальные смещения, направление которых в зависимости от величины координаты х определяется знаком Эти смещения показаны на рис. 1.61 сплошными стрелками. Спустя четверть периода, когда смещения всех точек среды равны нулю; частицы среды проходят через линию с различными скоростями. Спустя еще четверть периода, когда частицы среды опять будут иметь максимальные смещения, но противоположного направления; эти смещения показаны на

рис. 1.61 пунктирными стрелками. Точки суть пучности стоячей волны смещения; точки узлы этой волны.

Характерные особенности стоячей волны в отличие от обычной распространяющейся, или бегущей, волны следующие (имеются в виду плоские волны при отсутствии затухания):

1) в стоячей волне амплитуды колебаний различны в различных местах системы; в системе имеются узлы и пучности колебаний. В «бегущей» волне эти амплитуды везде одинаковы;

2) в пределах участка системы от одного узла до соседнего все точки среды колеблются в одинаковой фазе; при переходе к соседнему участку фазы колебаний меняются на обратные. В бегущей волне фазы колебаний, согласно формуле (5.2), зависят от координат точек;

3) в стоячей волне нет одностороннего переноса энергии, как это имеет место в бегущей волне.

При описании колебательных процессов в упругих системах за колеблющуюся величину у можно принять не только смещение или скорости частиц системы, но и величину относительной деформации или величину напряжения на сжатие, растяжение или сдвиг и т. д. При этом в стоячей волне, в местах, где образуются пучности скоростей частиц, располагаются узлы деформаций и, наоборот, узлы скоростей совпадают с пучностями деформаций. Преобразование энергии из кинетической формы в потенциальную и обратно происходит в пределах участка системы от пучности до соседнего узла. Можно считать, что каждый такой участок не обменивается энергией с соседними участками. Заметим, что превращение кинетической энергии движущихся частиц в потенциальную энергию деформированных участков среды за один период происходит дважды.

Выше, рассматривая интерференцию прямой и обратной волн (см. выражения (5.16)), мы не интересовались происхождением этих волн. Допустим теперь, что среда, в которой происходит распространение колебаний, имеет ограниченные размеры, например колебания вызываются в каком-нибудь сплошном теле - в стержне или струне, в столбе жидкости или газа и т. д. Волна, распространяющаяся в такой среде (теле), отражается от границ, поэтому в пределах объема этого тела непрерывно происходит интерференция волн, вызванных внешним источником и отраженных от границ.

Рассмотрим простейший пример; допустим, в точке (рис. 1.62) стержня или струны при помощи внешнего синусоидального источника возбуждается колебательное движение с частотой ; начало отсчета времени выберем так, чтобы в этой точке смещение выражалось формулой

где амплитуда колебаний в точке Вызванная в стержне волна отразится от второго конца стержня 0% и пойдет в обратном

направлении. Найдем результат интерференции прямой и отраженной волн в некоторой точке стержня имеющей координату х. Для простоты рассуждений предположим, что в стержне нет поглощения энергии колебаний и поэтому амплитуды прямой и отраженной волн равны.

В некоторый момент времени когда смещение колеблющихся частиц в точке равно у, в другой точке стержня смещение вызванное прямой волной будет, согласно формуле волны, равно

Через эту же точку А проходит также и отраженная волна. Чтобы найти смещение вызванное в точке А отраженной волной (в тот же самый момент времени необходимо рассчитать время в течение которого волна пройдет путь от до и обратно до точки Так как то смещение, вызванное в точке отраженной волной, будет равно

При этом предполагается, что на отражающем конце стержня в процессе отражения не происходит скачкообразного изменения фазы колебания; в некоторых случаях такое изменение фазы (называемое потерей фазы) имеет место и должно быть учтено.

Сложейие колебаний, вызванных в различных точках стержня прямой и отраженной волнами, дает стоячую волну; действительно,

где некоторая постоянная фаза, не зависящая от координаты х, а величина

является амплитудой колебаний в точке она зависит от координаты х, т. е. различна в различных местах стержня.

Найдем координаты тех точек стержня, в которых образуются узлы и пучности стоячей волны. Обращение косинуса в нуль или единицу происходит при значениях аргумента, кратных

где целое число. При нечетном значении этого числа косинус обращается в нуль и формула (5.19) дает координаты узлов стоячей волны; при четных мы получим координаты пучностей.

Выше было произведено сложение только двух волн: прямой, идущей от и отраженной, распространяющейся от Однако следует учесть, что отраженная волна на границе стержня вновь отразится и пойдет в направлении прямой волны. Таких отражений

от концов стержня будет много, и поэтому необходимо найти результат интерференции не двух, а всех одновременно существующих в стержне волн.

Предположим, что внешний источник колебаний вызывал в стержне волны в течение некоторого времени после чего поступление энергии колебаний извне прекратилось. За это время в стержне произошло отражений, где время, в течение которого волна прошла от одного конца стержня к другому. Следовательно, в стержне будет одновременно существовать волн, идущих в прямом, и волн, идущих в обратном направлениях.

Допустим, что в результате интерференции одной пары волн (прямой и отраженной) смещение в точйе А оказалось равным у. Найдем условие, при котором все смещения у, вызываемые каждой парой волн, имеют в точке А стержня одинаковые направления и поэтому складываются. Для этого фазы колебаний, вызванных каждой парой волн в точке должны отличаться на от фазы колебаний, вызванных следующей парой волн. Но каждая волна вновь возвращается в точку А с тем же направлением распространения лишь спустя время т. е. отстает по фазе на со приравнивая это отставание где целое число, получаем

т. е. вдоль длины стержня должно уместиться целое число полуволн. Заметим, что этом условии фазы всех волн, идущих от в прямом направлении, отличаются друг от друга на где целое число; точно так же фазы всех волн, идущих от в обратном направлении, отличаются друг от друга на Поэтому, если одна пара волн (прямая и обратная) дает вдоль стержня распределение смещений, определяемое формулой (5.17), то при интерференции пар таких волн распределение смещений не изменится; увеличатся только амплитуды колебаний. Если максимальная амплитуда колебаний при интерференции двух волн, согласно формуле (5.18), равна то при интерференции многих волн она будет больше. Обозначим ее через тогда распределение амплитуды колебаний вдоль стержня вместо выражения (5.18) определится по формуле

Из выражений (5.19) и (5.20) определяются точки, в которых косинус имеет значения или 1:

где целое число Координаты узлов стоячей волны получатся из этой формулы при нечетных значениях тогда в зависимости от длины стержня, т. е. величины

координаты пучностей получатся при четных значениях

На рис. 1.63 схематически показана стоячая волна в стержне, длина которого ; точки суть пучности, точки узлы этой стоячей волны.

В гл. было показано, что при отсутствии периодических внешних воздействий характер кодебательных движений в системе и прежде всего основная величина - частота колебаний - определяются размерами и физическими свойствами системы. Каждая колебательная система обладает собственным, ей присущим колебательным движением; это колебание можно наблюдать, если вывести систему из состояния равновесия и затем устранить внешние воздействия.

В гл. 4 ч. I рассматривались преимущественно колебательные системы с сосредоточенными параметрами, в которых инертной массой обладали одни тела (точечные), а упругими свойствами - другие тела (пружины). В отличие от них колебательные системы, в которых масса и упругость присущи каждому элементарному объему, называются системами с распределенными параметрами. К ним относятся рассмотренные выше стержни, струны, а также столбы жидкости или газа (в духовых музыкальных инструментах) и т. д. Для таких систем собственными колебаниями являются стоячие волны; основная характеристика этих волн - длина волны или распределение узлов и пучностей, а также частота колебаний - определяется только размерами и свойствами системы. Стоячие волны могут существовать и при отсутствии внешнего (периодического) воздействия на систему; это воздействие необходимо только для того, чтобы вызвать или поддержать в системе стоячие волны или же изменить амплитуды колебаний. В частности, если внешнее воздействие на систему с распределенными параметрами происходит с частотой, равной частоте ее собственных колебаний, т. е. частоте стоячей волны, то имеет место явление резонанса, рассмотренное в гл. 5.

Для различных частот одинакова.

Таким образом, у систем с распределенными параметрами собственные колебания - стоячие волны - характеризуются целым спектром частот, кратных между собой. Наименьшая из этих частот, соответствующая наибольшей длине волны называется основной частотой; остальные ) - обертонами или гармониками.

Каждая система характеризуется не только наличием такого спектра колебаний, но и определенным распределением энергии между колебаниями различных частот. Для музыкальных инструментов это распределение придает звуку своеобразную особенность, так называемый тембр звука, различный для различных инструментов.

Изложенные выше расчеты относятся к свободному колеблющемуся" стержню длиной Однако обычно мы имеем стержни, закрепленные на одном или обоих концах (например, колеблющиеся струны), или же вдоль стержня имеется одна или несколько точек закрепления. Места закрепления, где частицы системы не могут совершать колебательного движения, являются вынужденными узлами смещения. Например,

если в стержне необходимо получить стоячие волны при одной, двух, трех точках закрепления и т. д., то эти точки не могут быть выбраны произвольно, а должны располагаться вдоль стержня так, чтобы они оказались в узлах образовавшейся стоячей волны. Это показано, например, на рис. 1.64. На этом же рисунке пунктиром показаны смещения точек стержня при колебаниях; на свободных концах всегда образуются пучности смещения, на закрепленных - узлы смещения. Для колеблющихся воздушных столбов в трубах узлы смещения (и скорости) получаются у отражающих твердых стенок; на открытых концах трубок образуются пучности смещений и скоростей.