Cowboy John trifft das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit. Einheitliches Staatsexamen in Mathematik. Lösungen. Hier ist eine andere Lösung

zierlich und hübsch einfache Aufgabe aus der Kategorie derjenigen, die als Rettungsleine für einen schwimmenden Schüler dienen. In der Natur, dem verschlafenen Reich Mitte Juli, ist es Zeit, sich mit einem Laptop am Strand niederzulassen. Früh morgens gespielt Sonnenstrahl Theorie, um sich bald der Praxis zuzuwenden, die trotz ihrer behaupteten Leichtigkeit Glasscherben im Sand enthält. In diesem Zusammenhang empfehle ich, einige Beispiele dieser Seite gewissenhaft zu betrachten. Für Lösungen praktische Aufgaben müssen können Derivate finden und das Material des Artikels verstehen Intervalle der Monotonie und Extrema einer Funktion .

Zunächst kurz zur Hauptsache. In einer Lektion über Funktionskontinuität Ich habe die Definition von Kontinuität an einem Punkt und Kontinuität in einem Intervall gegeben. In ähnlicher Weise wird das beispielhafte Verhalten einer Funktion auf einem Segment formuliert. Eine Funktion ist auf einem Segment stetig, wenn:

1) es ist kontinuierlich auf dem Intervall ;
2) an einem Punkt kontinuierlich rechts und auf den Punkt links.

Der zweite Absatz befasst sich mit dem sog einseitige Kontinuität Funktionen an einem Punkt. Es gibt mehrere Ansätze für seine Definition, aber ich bleibe bei der zuvor begonnenen Linie:

Die Funktion ist an einem Punkt stetig rechts, wenn sie an einem bestimmten Punkt definiert ist und ihre rechte Grenze mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt zusammenfällt: . Es ist an der Stelle kontinuierlich links, falls an einem bestimmten Punkt definiert, und seine linke Grenze gleich dem Wert an dieser Stelle:

Stellen Sie sich vor, dass die grünen Punkte die Nägel sind, an denen das magische Gummiband befestigt ist:

Nehmen Sie gedanklich die rote Linie in Ihre Hände. Ganz gleich, wie weit wir den Graphen nach oben oder unten (entlang der Achse) strecken, die Funktion bleibt offensichtlich erhalten begrenzt- eine Hecke oben, eine Hecke unten und unser Produkt grast auf einer Koppel. Auf diese Weise, eine auf einem Segment stetige Funktion ist darauf beschränkt. Im Verlauf der mathematischen Analyse wird diese scheinbar einfache Tatsache festgestellt und rigoros bewiesen Der erste Satz von Weierstraß.... Viele Menschen ärgern sich darüber, dass elementare Aussagen in der Mathematik mühsam begründet werden, aber es gibt sie wichtige Bedeutung. Angenommen, ein gewisser Bewohner des Frottiermittelalters zog die Graphik über die Grenzen des Sichtbaren hinaus in den Himmel, so wurde diese eingefügt. Vor der Erfindung des Teleskops war die eingeschränkte Funktion im Weltraum überhaupt nicht offensichtlich! Woher wissen Sie eigentlich, was uns hinter dem Horizont erwartet? Immerhin galt die Erde einst als flach, so dass heute sogar gewöhnliche Teleportation Beweise erfordert =)

Entsprechend zweiter Satz von Weierstraß, kontinuierlich auf dem SegmentFunktion erreicht genau oberes Gesicht und sein exakte Unterkante .

Die Nummer wird auch angerufen der maximale Wert der Funktion auf dem Segment und bezeichnet mit , und die Zahl - der minimale Wert der Funktion auf dem Segment mit Hinweis.

In unserem Fall:

Notiz : In der Theorie sind Aufzeichnungen üblich .

Grob gesagt liegt dort der größte Wert Hochpunkt Grafiken, und die kleinste - wo ist der niedrigste Punkt.

Wichtig! Wie bereits im Artikel über erwähnt Extrema der Funktion , der größte Wert der Funktion und kleinster Funktionswert – NICHT DAS GLEICHE, was Funktion maximal und Funktion minimal. In diesem Beispiel ist die Zahl also das Minimum der Funktion, aber nicht der Mindestwert.

Übrigens, was passiert außerhalb des Segments? Ja, auch das Hochwasser interessiert uns im Kontext des betrachteten Problems überhaupt nicht. Die Aufgabe besteht darin, nur zwei Zahlen zu finden und alle!

Außerdem ist die Lösung rein analytisch, daher keine Notwendigkeit zu zeichnen!

Der Algorithmus liegt an der Oberfläche und ergibt sich aus obiger Abbildung:

1) Finden Sie die Funktionswerte in kritische Punkte, die zu diesem Segment gehören.

Fangen Sie noch ein Brötchen: Es besteht keine Notwendigkeit zu überprüfen ausreichender Zustand Extremum, weil, wie gerade gezeigt wurde, das Vorhandensein eines Minimums oder Maximums noch nicht garantiert, das ist das Minimum oder Maximalwert. Die Demo-Funktion erreicht ihr Maximum und durch den Willen des Schicksals ist die gleiche Nummer Höchster Wert Funktionen auf dem Intervall . Aber natürlich findet ein solcher Zufall nicht immer statt.

So ist es im ersten Schritt schneller und einfacher, die Werte der Funktion an kritischen Punkten zu berechnen, die zum Segment gehören, ohne sich darum zu kümmern, ob sie Extrema haben oder nicht.

2) Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments.

3) Unter den Werten der Funktion im 1. und 2. Absatz wählen wir den kleinsten und den größten aus große Nummer, schreibe die Antwort auf.

Wir setzen uns ans Ufer blaues meer und im seichten Wasser auf die Fersen schlagen:

Beispiel 1

Finden Sie die größten und kleinster Wert Funktionen auf dem Segment

Lösung:
1) Berechnen Sie die Werte der Funktion an kritischen Punkten, die zu diesem Segment gehören:

Wir berechnen den Wert der Funktion im zweiten kritischer Punkt:

2) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den Enden des Segments:

3) "Fett"-Ergebnisse wurden mit Exponentialen und Logarithmen erhalten, was ihren Vergleich erheblich erschwert. Aus diesem Grund werden wir uns mit einem Taschenrechner oder Excel bewaffnen und die ungefähren Werte berechnen, nicht zu vergessen:

Jetzt ist alles klar.

Antworten:

Bruchrationale Instanz für unabhängige Lösung:

Beispiel 6

Finden Sie die maximalen und minimalen Werte einer Funktion auf einem Segment

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Unser System der Prüfung und Vorbereitung auf die Prüfung ICH ENTSCHEIDE die Einheitliche Staatsprüfung der Russischen Föderation.

Von 2001 bis 2009 begann Russland ein Experiment zur Vereinigung Abschlussprüfungen von Schulen mit Aufnahmeprüfungen zu höher Bildungseinrichtungen. 2009 wurde dieses Experiment abgeschlossen und seitdem ein einziges Staatsexamen wurde zur Hauptform der Kontrolle der Schulvorbereitung.

2010 wurde das alte Prüfungsteam durch ein neues ersetzt. Zusammen mit den Entwicklern hat sich auch die Struktur der Prüfung geändert: Die Anzahl der Aufgaben ist gesunken, die Anzahl der geometrische Probleme, erschien eine Aufgabe vom Typ Olympiade.

Eine wichtige Neuerung war die Vorbereitung einer offenen Bank Prüfungsaufgaben, in dem die Entwickler etwa 75.000 Aufgaben gestellt haben. Niemand kann diesen Abgrund von Problemen lösen, aber das ist nicht notwendig. Tatsächlich werden die Hauptaufgabentypen durch die sogenannten Prototypen repräsentiert, von denen es etwa 2400 gibt. Alle anderen Aufgaben werden durch Computerklonen daraus abgeleitet; sie unterscheiden sich von Prototypen nur in bestimmten numerischen Daten.

Im Folgenden präsentieren wir Ihnen die Lösungen für alle Prototyp-Prüfungsaufgaben, die in existieren offenes Glas. Nach jedem Prototypen wird eine auf seiner Grundlage zusammengestellte Liste von Klonaufgaben für eigenständige Übungen gegeben.

Zwei Fabriken produzieren das gleiche Glas für Autoscheinwerfer. Die erste Fabrik produziert 30 % dieser Gläser, die zweite 70 %. Die erste Fabrik produziert 3% der defekten Gläser und die zweite - 4%. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein versehentlich in einem Geschäft gekauftes Glas defekt ist.

Lösung. Wandle % in Brüche um.

Ereignis A – „Brille von der ersten Fabrik gekauft.“ P(A)=0,3

Ereignis B - "Brille aus der zweiten Fabrik wird gekauft." P(B)=0,7

Ereignis X - "Windows sind defekt".

P(A und X) = 0,3*0,03=0,009

P(B und X) = 0,7*0,04=0,028

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

Р = 0,009 + 0,028 = 0,037

Antwort: 0,037

Cowboy John wird von einer Fliege gefangen an der Wand mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9, wenn sie aus einem gesichteten Revolver feuert. Wenn John einen ungeschossenen Revolver abfeuert, trifft er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 eine Fliege.

Auf dem Tisch liegen 10 Revolver, von denen nur 4 geschossen werden. Cowboy John sieht eine Fliege an der Wand, schnappt sich zufällig den ersten Revolver, den er findet, und schießt auf die Fliege. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass John verfehlt.

Lösung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Waffe gesichtet wird, beträgt 0,4, dass dies nicht der Fall ist - 0,6.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Fliege mit einer gezielten Pistole zu treffen, beträgt 0,4*0,9=0,36.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Fliege zu treffen, wenn die Pistole nicht geschossen wird, beträgt 0,6 * 0,2 = 0,12.

Trefferwahrscheinlichkeit: 0,36+0,12=0,48.

Fehlende Wahrscheinlichkeit Р=1-0.48=0.52

Während des Artilleriefeuers Das automatische System schießt auf das Ziel. Wenn das Ziel nicht zerstört wird, feuert das System erneut. Die Schüsse werden wiederholt, bis das Ziel zerstört ist. Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Ziel mit dem ersten Schuss zu zerstören, beträgt 0,4 und mit jedem weiteren Schuss 0,6. Wie viele Schüsse sind erforderlich, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu zerstören, mindestens 0,98 beträgt?

Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten, es beim ersten oder zweiten oder ... k-ter Schuss.

Wir berechnen die Zerstörungswahrscheinlichkeit während des k-ten Schusses, setzen die Werte k=1,2,3... und summieren die erhaltenen Wahrscheinlichkeiten

k=1 P=0,4 S=0,4

k = 2 P = 0,6 * 0,6 = 0,36 - der erste Schuss verfehlt, der zweite Schuss zerstört das Ziel

S=0,4+0,36=0,76

k = 3 P = 0,6 * 0,4 * 0,6 = 0,144 - das Ziel wurde beim dritten Schuss zerstört

S=0,76+0,144=0,904

k = 4 P = 0,6 * 0,4 * 0,4 * 0,6 = 0,0576 - am 4

S=0,904+0,0576=0,9616

k=5 P=0,6*0,4 3 *0,6 = 0,02304

S = 0,9616 + 0,02304 = 0,98464 - erreichte die erforderliche Wahrscheinlichkeit bei k = 5.

Antwort: 5.

Um in die nächste Wettbewerbsrunde vorzudringen, Fußballmannschaft Sie müssen in zwei Spielen mindestens 4 Punkte erzielen. Wenn eine Mannschaft gewinnt, bekommt sie 3 Punkte, bei einem Unentschieden - 1 Punkt, wenn sie verliert - 0 Punkte. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Team in die nächste Runde des Wettbewerbs vorrücken kann. Bedenken Sie, dass in jedem Spiel die Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeiten gleich und gleich 0,4 sind.

Lösung. 4 Punkte oder mehr in zwei Spielen können auf folgende Weise erzielt werden:

3+1 gewonnen, Unentschieden

1+3 Unentschieden, gewonnen

3+3 hat beide Male gewonnen

Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 0,4, die Verlustwahrscheinlichkeit 0,4 und die Unentschiedenwahrscheinlichkeit 1-0,4-0,4 = 0,2.

P \u003d 0,4 * 0,2 + 0,2 * 0,4 + 0,4 * 0,4 \u003d 2 * 0,08 + 0,16 \u003d 0,32

Antwort: 0,32

Versuchen Sie selbst zu entscheiden:

Es gibt 14 defekte Steine ​​in einer Charge von 800 Steinen. Aus diesem Stapel wählt der Junge zufällig einen Stein aus und wirft ihn aus dem achten Stock der Baustelle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein geworfener Stein defekt ist?

Das Physikprüfungsbuch für die 11. Klasse besteht aus 75 Karten. In 12 von ihnen gibt es eine Frage zu Lasern. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Steps Schüler bei der zufälligen Auswahl eines Tickets auf eine Frage zu Lasern stößt?

Bei der 100-m-Meisterschaft treten 3 Athleten aus Italien, 5 Athleten aus Deutschland und 4 aus Russland an. Die Bahnnummer für jeden Athleten wird ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Athlet aus Italien auf der zweiten Bahn steht?

Auf der Kiewer Bahnhof in Moskau gibt es 28 Fahrkartenschalter, neben denen sich 4.000 Fahrgäste drängen, die Fahrkarten kaufen wollen. Laut Statistik sind 1680 dieser Passagiere unzureichend. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der hinter dem 17. Fenster sitzende Kassierer auf einen ungeeigneten Passagier trifft (wobei zu berücksichtigen ist, dass die Passagiere den Kassierer zufällig auswählen).

In Wladiwostok wurde eine Schule repariert und 1.200 neue installiert Kunststofffenster. Ein Schüler der 11. Klasse, der den USE in Mathematik nicht belegen wollte, fand 45 Kopfsteinpflaster auf dem Rasen und fing an, sie willkürlich gegen die Fenster zu werfen. Am Ende schlug er 45 Fenster ein. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Fenster im Büro des Direktors nicht kaputt ist.

Auf dem Dachboden ihres Landhauses bewahrt Oma 2.400 Gurkengläser auf. Es ist bekannt, dass 870 von ihnen längst verfault sind. Als die Enkelin zur Oma kam, gab sie ihm ein Glas aus ihrer Sammlung und wählte es nach dem Zufallsprinzip aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Enkelin ein Glas mit faulen Gurken bekommen hat?

Ein Team von 7 Wanderarbeitern bietet Wohnungsrenovierungsdienste an. Pro Sommersaison Sie haben 360 Aufträge erledigt und in 234 Fällen den Bauschutt nicht vom Eingang entfernt. Die Versorgungsunternehmen wählen zufällig eine Wohnung aus und prüfen die Qualität Reparatur. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Arbeiter des Versorgungsunternehmens bei der Überprüfung nicht auf Bauschutt stoßen.

Hallo Freunde! Dieser Artikel ist eine Fortsetzung des Artikels« » . Darin haben wir die Grundlagen behandelt notwendige Theorie und mehrere Probleme gelöst. Vier weitere warten auf Sie. Betrachten Sie sie:

Der Raum wird von einer Laterne mit zwei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe in einem Jahr durchbrennt, beträgt 0,2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe innerhalb eines Jahres nicht durchbrennt.

Das heißt, wir müssen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses finden, wenn beide Lampen nicht durchbrennen oder nur die erste Lampe nicht durchbrennt oder nur die zweite Lampe nicht durchbrennt.

Gemäß der Bedingung beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Lampendurchbruchs 0,2.Die Wahrscheinlichkeit der Lampenbetriebsfähigkeit im Laufe des Jahres beträgt also 1–0,2 = 0,8(Dies sind entgegengesetzte Ereignisse).

Ereigniswahrscheinlichkeit:

„beide brennen nicht aus“ ist gleich 0,8∙0,8 = 0,64

„Der erste brennt nicht durch, aber der zweite brennt durch“ ist gleich 0,8∙0,2 = 0,16

„Der erste brennt durch, aber der zweite brennt nicht“ ist gleich 0,2 ∙ 0,8 = 0,16

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass im Laufe des Jahres mindestens eine Lampe nicht durchbrennt, 0,64 + 0,16 + 0,16 = 0,96

Es kann so gelöst werden:

Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Lampen durchbrennen, ist 0,2 ∙ 0,2 = 0,04

Diese Ereignisse sind unabhängig, aber wenn sie gleichzeitig (gemeinsam) auftreten, vervielfachen sich die Wahrscheinlichkeiten. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausbrennen, ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten.

Das Ereignis "brennt nicht aus". obwohl eine Lampe" ist dem Ereignis "beide Lampen brennen durch" entgegengesetzt, daher ist es gleich 1 - 0,04 = 0,96.

Antwort: 0,96

Cowboy John trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 eine Fliege an der Wand, wenn er mit einem Schussrevolver schießt. Wenn John einen ungeschossenen Revolver abfeuert, trifft er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 eine Fliege. Auf dem Tisch liegen 20 Revolver, von denen nur 8 geschossen sind. Cowboy John sieht eine Fliege an der Wand, schnappt sich zufällig den ersten Revolver, den er findet, und schießt auf die Fliege. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass John verfehlt.

John verfehlt, wenn er einen abgefeuerten Revolver (1 von 8) ergreift und damit verfehlt, oder wenn er einen nicht abgefeuerten Revolver (1 von 12) ergreift und damit verfehlt.

* Die Wahrscheinlichkeit, mit einem gesichteten Revolver zu verfehlen, beträgt 0,2.Die Chance, mit einem ungeschossenen Revolver zu verfehlen, beträgt 0,8.

1. Die Wahrscheinlichkeit, eine trainierte Pistole zu nehmen und gleichzeitig daran zu fehlen, ist (8/20) ∙ 0,2 = 0,08.

2. Die Wahrscheinlichkeit, eine ungeschossene Pistole zu nehmen und gleichzeitig zu verfehlen, ist (12/20) ∙ 0,8 = 0,48.

Diese beiden Ereignisse sind nicht kompatibel, sodass die gewünschte Wahrscheinlichkeit gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten ist: 0,08 + 0,48 = 0,56

Antwort: 0,56

In der Keramikgeschirrfabrik sind 5 % der produzierten Teller defekt. Während der Produktqualitätskontrolle werden 90 % der fehlerhaften Platten erkannt. Die restlichen Platten stehen zum Verkauf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine beim Kauf zufällig ausgewählte Platte keine Mängel aufweist. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

* Die Anzahl der möglichen und günstige Ergebnisse nicht explizit angegeben (da keine Angabe zur Anzahl der Platten im Zustand).

Sei n die Anzahl der Platten, die die Fabrik produziert hat. Dann werden hochwertige Platten (das ist 0,95n) und 10% der unentdeckten defekten Platten (das ist 0,1 von 0,05n) in den Verkauf gehen.

Das heißt, 0,95n+0,1∙0,05n=0,955n Platten, das ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse. Da es nur 0,95n Qualitätsschilder gibt (dies ist die Anzahl der günstigen Ergebnisse), ist die Wahrscheinlichkeit, ein Qualitätsschild zu kaufen, gleich:

Runden auf Hundertstel ergibt 0,99

Antwort: 0,99

Es gibt drei Verkäufer im Laden. Jeder von ihnen ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 mit einem Kunden beschäftigt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in zufälliger Moment Zeit sind alle drei Verkäufer gleichzeitig beschäftigt (angenommen, die Kunden kommen unabhängig voneinander).

Wir müssen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses finden, wenn der erste Verkäufer beschäftigt ist, während der zweite beschäftigt ist, und gleichzeitig (die Beschäftigung des ersten und zweiten) der dritte auch beschäftigt ist. Die Multiplikationsregel wird verwendet.

*Wahrscheinlichkeit des Produkts eigenständige Veranstaltungen mit Joint und Provision ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Verkäufer beschäftigt sind, ist also gleich:

0,2∙0,2∙0,2 = 0,008

Antwort: 0,008

Entscheiden Sie selbst: