Regeln für lineare Ungleichungen zum Lösen von Ungleichungen. Lineare Ungleichungen, Beispiele, Lösungen. Bühne. Hausaufgaben

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Ungleichungen heißen linear links und rechter Teil das sind lineare Funktionen bezüglich einer unbekannten Größe. Hierzu zählen beispielsweise Ungleichheiten:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Strikte Ungleichungen: ax +b>0 oder Axt+b<0

2) Nichtstrikte Ungleichungen: ax +b≤0 oder Axt+b≫ 0

Lassen Sie uns diese Aufgabe analysieren. Eine der Seiten des Parallelogramms ist 7 cm lang. Wie lang muss die andere Seite sein, damit der Umfang des Parallelogramms größer als 44 cm ist?

Lassen Sie die gewünschte Seite sein X In diesem Fall wird der Umfang des Parallelogramms durch (14 + 2x) cm dargestellt. Die Ungleichung ist 14 + 2x > 44 mathematisches Modell Probleme am Umfang eines Parallelogramms. Wenn wir die Variable in dieser Ungleichung ersetzen X auf zum Beispiel die Zahl 16, dann bekommen wir das Richtige numerische Ungleichheit 14 + 32 > 44. In diesem Fall sagt man, dass die Zahl 16 eine Lösung der Ungleichung 14 + 2x > 44 ist.

Die Ungleichung lösen Benennen Sie den Wert einer Variablen, der sie in eine echte numerische Ungleichung umwandelt.

Daher ist jede der Zahlen 15,1; 20;73 fungieren als Lösung für die Ungleichung 14 + 2x > 44, aber die Zahl 10 beispielsweise ist nicht ihre Lösung.

Ungleichheit lösen bedeutet, alle Lösungen festzulegen oder zu beweisen, dass es keine Lösungen gibt.

Die Formulierung der Lösung der Ungleichung ähnelt der Formulierung der Wurzel der Gleichung. Dennoch ist es nicht üblich, die „Wurzel der Ungleichheit“ zu benennen.

Eigenschaften numerische Gleichheiten hat uns geholfen, Gleichungen zu lösen. Ebenso helfen die Eigenschaften numerischer Ungleichungen bei der Lösung von Ungleichungen.

Wenn wir eine Gleichung lösen, ändern wir sie in eine andere, mehr einfache Gleichung, aber äquivalent zu dem angegebenen. Die Antwort auf Ungleichheiten wird auf ähnliche Weise gefunden. Wenn sie eine Gleichung in eine äquivalente Gleichung umwandeln, verwenden sie den Satz über die Übertragung von Termen von einer Seite der Gleichung auf die andere und über die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null. Beim Lösen einer Ungleichung besteht ein wesentlicher Unterschied zu einer Gleichung, der darin besteht, dass jede Lösung einer Gleichung einfach durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung verifiziert werden kann. Bei Ungleichungen fehlt diese Methode, da es nicht möglich ist, unzählige Lösungen in die ursprüngliche Ungleichung einzusetzen. Deshalb gibt es wichtiges Konzept, das sind die Pfeile<=>ist ein Zeichen für äquivalente oder äquivalente Transformationen. Die Transformation heißt gleichwertig, oder Äquivalent, wenn sie die Lösungsmenge nicht verändern.

Ähnliche Regeln zum Lösen von Ungleichungen.

Wenn wir einen Term von einem Teil der Ungleichung in einen anderen verschieben und dabei sein Vorzeichen durch das Gegenteil ersetzen, erhalten wir eine Ungleichung, die diesem entspricht.

Wenn beide Seiten der Ungleichung mit demselben multipliziert (dividiert) werden positive Zahl, dann erhalten wir eine zu dieser äquivalente Ungleichung.

Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert (dividiert) werden und das Ungleichheitszeichen durch das entgegengesetzte ersetzt wird, erhalten wir eine Ungleichung, die der gegebenen Zahl entspricht.

Diese verwenden Regeln Berechnen wir die folgenden Ungleichungen.

1) Lassen Sie uns die Ungleichheit analysieren 2x - 5 > 9.

Das lineare Ungleichung Wir werden die Lösung finden und die Grundkonzepte diskutieren.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 auf die linke Seite verschoben von entgegengesetztem Vorzeichen), dann teile alles durch 2 und wir haben x > 7. Tragen wir die Menge der Lösungen auf der Achse ein X

Wir haben einen positiv gerichteten Strahl erhalten. Wir notieren die Lösungsmenge entweder in Form einer Ungleichung x > 7, oder in Form des Intervalls x(7; ∞). Was ist eine bestimmte Lösung für diese Ungleichung? Zum Beispiel, x = 10 ist eine besondere Lösung für diese Ungleichung, x = 12- Dies ist auch eine besondere Lösung dieser Ungleichheit.

Es gibt viele Teillösungen, aber unsere Aufgabe ist es, alle Lösungen zu finden. Und Lösungen gibt es meist unzählige.

Lass es uns klären Beispiel 2:

2) Lösen Sie die Ungleichung 4a - 11 > a + 13.

Lass es uns lösen: A schieben Sie es zur Seite 11 Bewegen Sie es auf die andere Seite, wir erhalten 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 Die Ungleichung hat die Form A<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>A< 8 .

Lassen Sie uns das Set auch anzeigen A< 8 , aber schon auf der Achse A.

Entweder schreiben wir die Antwort in Form der Ungleichung a< 8, либо A(-∞;8), 8 lässt sich nicht einschalten.

Jetzt können Sie verstehen, wie lineare Ungleichungen a x + b gelöst werden<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Der Hauptweg, sie zu lösen, besteht darin, äquivalente Transformationen zu verwenden, die es ermöglichen, zu a≠0 to zu gelangen elementare Ungleichungen Geben Sie x ein

, ≥), p - eine bestimmte Zahl, die die gewünschte Lösung darstellt, und für a=0 - auf numerische Ungleichungen der Form a

, ≥), woraus auf die Lösung der ursprünglichen Ungleichung geschlossen wird. Wir werden es zuerst analysieren.

Es würde auch nicht schaden, einen Blick auf die Lösung zu werfen Lineare Ungleichungen von einer Variablen und von anderen Positionen. Daher zeigen wir auch, wie lineare Ungleichungen grafisch und mit der Intervallmethode gelöst werden können.

Verwendung äquivalenter Transformationen

Wir müssen die lineare Ungleichung a x+b lösen<0 (≤, >, ≥). Lassen Sie uns zeigen, wie das mit äquivalenten Ungleichungstransformationen geht.

Die Ansätze unterscheiden sich je nachdem, ob der Koeffizient a der Variablen x gleich oder ungleich Null ist. Schauen wir sie uns einzeln an. Darüber hinaus werden wir uns bei der Betrachtung an ein Drei-Punkte-Schema halten: Zuerst geben wir das Wesentliche des Prozesses an, dann geben wir einen Algorithmus zur Lösung einer linearen Ungleichung an und schließlich geben wir Lösungen für typische Beispiele.

Lass uns beginnen mit Algorithmus zur Lösung der linearen Ungleichung a x+b<0 (≤, >, ≥) für a≠0.

• Zunächst wird die Zahl b mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite der Ungleichung übertragen. Dies ermöglicht uns, zur äquivalenten Ungleichung a x zu gelangen<−b (≤, >, ≥).
• Zweitens werden beide Seiten der resultierenden Ungleichung durch eine Zahl a ungleich Null dividiert. Wenn a außerdem eine positive Zahl ist, bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten, und wenn a eine negative Zahl ist, wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt. Das Ergebnis ist eine elementare Ungleichung, die der ursprünglichen linearen Ungleichung entspricht, und das ist die Antwort.

Es bleibt, die Anwendung des angekündigten Algorithmus anhand von Beispielen zu verstehen. Betrachten wir, wie es zur Lösung linearer Ungleichungen für a≠0 verwendet werden kann.

Beispiel.

Lösen Sie die Ungleichung 3·x+12≤0.

Lösung.

Für eine gegebene lineare Ungleichung gilt a=3 und b=12. Offensichtlich ist der Koeffizient a für die Variable x von Null verschieden. Verwenden wir den oben angegebenen entsprechenden Lösungsalgorithmus.

Zuerst verschieben wir den Term 12 auf die rechte Seite der Ungleichung und vergessen nicht, sein Vorzeichen zu ändern, das heißt, −12 erscheint auf der rechten Seite. Als Ergebnis erhalten wir die äquivalente Ungleichung 3·x≤−12.

Und zweitens dividieren wir beide Seiten der resultierenden Ungleichung durch 3, da 3 eine positive Zahl ist, ändern wir das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Es gilt (3 x):3≤(−12):3, was dasselbe ist wie x≤−4.

Die resultierende elementare Ungleichung x≤−4 entspricht der ursprünglichen linearen Ungleichung und ist deren gewünschte Lösung.

Die Lösung der linearen Ungleichung 3 x + 12≤0 ist also jede reelle Zahl kleiner oder gleich minus vier. Die Antwort kann auch in Form eines numerischen Intervalls geschrieben werden, das der Ungleichung x≤−4 entspricht, also als (−∞, −4] .

Nachdem sie Kenntnisse im Umgang mit linearen Ungleichungen erworben haben, können ihre Lösungen ohne Erklärung kurz niedergeschrieben werden. Notieren Sie in diesem Fall zunächst die ursprüngliche lineare Ungleichung und anschließend die äquivalenten Ungleichungen, die Sie bei jedem Schritt der Lösung erhalten:
3 x+12≤0 ;
3 x≤−12 ;
x≤−4 .

Antwort:

x≤−4 oder (−∞, −4] .

Beispiel.

Listen Sie alle Lösungen der linearen Ungleichung −2,7·z>0 auf.

Lösung.

Hier ist der Koeffizient a für die Variable z gleich −2,7. Und der Koeffizient b fehlt in expliziter Form, das heißt er gleich Null. Daher muss der erste Schritt des Algorithmus zur Lösung einer linearen Ungleichung mit einer Variablen nicht ausgeführt werden, da das Verschieben einer Null von der linken Seite nach rechts die Form der ursprünglichen Ungleichung nicht ändert.

Es bleibt weiterhin, beide Seiten der Ungleichung durch −2,7 zu ​​dividieren, wobei nicht zu vergessen ist, das Vorzeichen der Ungleichung in das entgegengesetzte zu ändern, da −2,7 eine negative Zahl ist. Wir haben (−2,7 z):(−2,7)<0:(−2,7) , und dann z<0 .

Und jetzt kurz:
−2,7·z>0 ;
z<0 .

Antwort:

z<0 или (−∞, 0) .

Beispiel.

Lösen Sie die Ungleichung .

Lösung.

Wir müssen eine lineare Ungleichung mit dem Koeffizienten a für die Variable x gleich −5 und mit dem Koeffizienten b lösen, der dem Bruch −15/22 entspricht. Wir gehen nach dem bekannten Schema vor: Zuerst übertragen wir −15/22 mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite, danach dividieren wir beide Seiten der Ungleichung durch die negative Zahl −5 und ändern dabei das Vorzeichen der Ungleichung:

Der letzte Übergang auf der rechten Seite verwendet , dann ausgeführt .

Antwort:

Kommen wir nun zum Fall a=0. Das Prinzip zur Lösung der linearen Ungleichung a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Worauf basiert das? Ganz einfach: die Lösung der Ungleichung ermitteln. Auf welche Weise? Ja, so geht's: Egal welchen Wert der Variablen x wir in die ursprüngliche lineare Ungleichung einsetzen, wir erhalten eine numerische Ungleichung der Form b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Lassen Sie uns die obigen Argumente in der Form formulieren Algorithmus zur Lösung linearer Ungleichungen 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Betrachten Sie die numerische Ungleichung b<0 (≤, >, ≥) und
• Wenn es wahr ist, dann ist die Lösung der ursprünglichen Ungleichung eine beliebige Zahl;
• Wenn sie falsch ist, hat die ursprüngliche lineare Ungleichung keine Lösungen.

Lassen Sie uns dies nun anhand von Beispielen verstehen.

Beispiel.

Lösen Sie die Ungleichung 0·x+7>0.

Lösung.

Für jeden Wert der Variablen x wird die lineare Ungleichung 0 x+7>0 in die numerische Ungleichung 7>0 umgewandelt. Die letzte Ungleichung ist wahr, daher ist jede Zahl eine Lösung für die ursprüngliche Ungleichung.

Antwort:

die Lösung ist eine beliebige Zahl oder (−∞, +∞) .

Beispiel.

Hat die lineare Ungleichung 0·x−12,7≥0 Lösungen?

Lösung.

Wenn Sie anstelle der Variablen x eine beliebige Zahl einsetzen, verwandelt sich die ursprüngliche Ungleichung in eine numerische Ungleichung −12,7≥0, was falsch ist. Das bedeutet, dass keine einzelne Zahl eine Lösung der linearen Ungleichung 0·x−12,7≥0 ist.

Antwort:

Nein, das tut es nicht.

Zum Abschluss dieses Abschnitts analysieren wir die Lösungen zweier linearer Ungleichungen, deren Koeffizienten beide gleich Null sind.

Beispiel.

Welche der linearen Ungleichungen 0·x+0>0 und 0·x+0≥0 hat keine Lösungen und welche hat unendlich viele Lösungen?

Lösung.

Wenn Sie anstelle der Variablen x eine beliebige Zahl einsetzen, hat die erste Ungleichung die Form 0>0 und die zweite die Form 0≥0. Die erste davon ist falsch und die zweite ist richtig. Folglich hat die lineare Ungleichung 0·x+0>0 keine Lösungen, und die Ungleichung 0·x+0≥0 hat unendlich viele Lösungen, d. h. ihre Lösung ist eine beliebige Zahl.

Antwort:

Die Ungleichung 0 x+0>0 hat keine Lösungen und die Ungleichung 0 x+0≥0 hat unendlich viele Lösungen.

Intervallmethode

Im Allgemeinen wird die Intervallmethode in einem Schulalgebrakurs später als das Thema der Lösung linearer Ungleichungen in einer Variablen untersucht. Mit der Intervallmethode können Sie jedoch eine Vielzahl von Ungleichungen lösen, darunter auch lineare. Lassen Sie uns daher näher darauf eingehen.

Beachten wir gleich, dass es ratsam ist, die Intervallmethode zu verwenden, um lineare Ungleichungen mit einem Koeffizienten ungleich Null für die Variable x zu lösen. Andernfalls ist es schneller und bequemer, mit der am Ende des vorherigen Absatzes besprochenen Methode eine Schlussfolgerung über die Lösung der Ungleichung zu ziehen.

Die Intervallmethode impliziert

• Einführung einer Funktion, die der linken Seite der Ungleichung entspricht, in unserem Fall – lineare Funktion y=a x+b ,
• Finden seiner Nullstellen, die den Definitionsbereich in Intervalle unterteilen,
• Bestimmung der Vorzeichen, die in diesen Intervallen Funktionswerte haben, auf deren Grundlage eine Schlussfolgerung über die Lösung einer linearen Ungleichung gezogen wird.

Lasst uns diese Momente zusammenfassen Algorithmus, und zeigt, wie man lineare Ungleichungen a x+b löst<0 (≤, >, ≥) für a≠0 mit der Intervallmethode:

• Es werden die Nullstellen der Funktion y=a·x+b gefunden, nach der a·x+b=0 gelöst wird. Für a≠0 gibt es bekanntlich eine einzige Wurzel, die wir als x 0 bezeichnen.
• Es wird konstruiert und ein Punkt mit der Koordinate x 0 wird darauf abgebildet. Wenn außerdem eine strenge Ungleichung gelöst wird (mit dem Vorzeichen< или >), dann wird dieser Punkt punktiert (mit leerem Zentrum) und wenn er nicht streng ist (mit einem Vorzeichen ≤ oder ≥), dann wird ein regulärer Punkt platziert. Dieser Punkt teilt die Koordinatenlinie in zwei Intervalle (−∞, x 0) und (x 0, +∞).
• Die Vorzeichen der Funktion y=a·x+b auf diesen Intervallen werden bestimmt. Dazu wird der Wert dieser Funktion an einem beliebigen Punkt im Intervall (−∞, x 0) berechnet und das Vorzeichen dieses Werts ist das gewünschte Vorzeichen im Intervall (−∞, x 0). Ebenso stimmt das Vorzeichen des Intervalls (x 0 , +∞) mit dem Vorzeichen des Werts der Funktion y=a·x+b an jedem Punkt in diesem Intervall überein. Sie können jedoch auf diese Berechnungen verzichten und aus dem Wert des Koeffizienten a Rückschlüsse auf die Vorzeichen ziehen: Wenn a>0, dann gibt es auf den Intervallen (−∞, x 0) und (x 0, +∞). Zeichen − bzw. +, und wenn a > 0, dann + und −.
• Wenn Ungleichungen mit Vorzeichen > oder ≥ gelöst werden, wird die Lücke mit einem Pluszeichen schraffiert, und wenn Ungleichungen mit Vorzeichen gelöst werden< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Betrachten wir ein Beispiel für die Lösung einer linearen Ungleichung mit der Intervallmethode.

Beispiel.

Lösen Sie die Ungleichung −3·x+12>0.

Lösung.

Da wir die Intervallmethode analysieren, werden wir sie verwenden. Gemäß dem Algorithmus finden wir zunächst die Wurzel der Gleichung −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Als nächstes zeichnen wir eine Koordinatenlinie und markieren darauf einen Punkt mit der Koordinate 4, und wir machen diesen Punkt punktiert, da wir eine strikte Ungleichung lösen:

Jetzt bestimmen wir die Vorzeichen der Intervalle. Um das Vorzeichen des Intervalls (−∞, 4) zu bestimmen, können Sie den Wert der Funktion y=−3·x+12 beispielsweise für x=3 berechnen. Wir haben −3·3+12=3>0, was bedeutet, dass es in diesem Intervall ein +-Zeichen gibt. Um das Vorzeichen in einem anderen Intervall (4, +∞) zu bestimmen, können Sie den Wert der Funktion y=−3 x+12 beispielsweise am Punkt x=5 berechnen. Wir haben −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Da wir die Ungleichung mit dem >-Zeichen lösen, zeichnen wir mit dem +-Zeichen eine Schattierung über die Lücke, die Zeichnung nimmt die Form an

Basierend auf dem resultierenden Bild schließen wir, dass die gewünschte Lösung (−∞, 4) oder in einer anderen Notation x ist<4 .

Antwort:

(−∞, 4) oder x<4 .

Grafisch

Es ist hilfreich, die geometrische Interpretation der Lösung linearer Ungleichungen in einer Variablen zu verstehen. Um es zu verstehen, betrachten wir vier lineare Ungleichungen mit derselben linken Seite: 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 und 0,5 x−1≥0 , ihre Lösungen sind x<2 , x≤2 , x>2 und x≥2, und zeichnen Sie außerdem einen Graphen der linearen Funktion y=0,5 x−1.

Das merkt man leicht

• Lösung der Ungleichung 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• die Lösung der Ungleichung 0,5 x−1≤0 stellt das Intervall dar, in dem der Graph der Funktion y=0,5 x−1 unterhalb der Ox-Achse liegt oder mit dieser zusammenfällt (mit anderen Worten, nicht oberhalb der Abszissenachse),
• In ähnlicher Weise ist die Lösung der Ungleichung 0,5 x−1>0 das Intervall, in dem sich der Graph der Funktion über der Ox-Achse befindet (dieser Teil des Graphen ist rot dargestellt).
• und die Lösung der Ungleichung 0,5·x−1≥0 ist das Intervall, in dem der Graph der Funktion höher ist oder mit der Abszissenachse zusammenfällt.

Grafische Methode zur Lösung von Ungleichungen, insbesondere linear, und impliziert das Finden von Intervallen, in denen der Graph der Funktion, die der linken Seite der Ungleichung entspricht, über, unter, nicht unter oder nicht über dem Graphen der Funktion liegt, die der rechten Seite der Ungleichung entspricht. In unserem Fall der linearen Ungleichung ist die Funktion, die der linken Seite entspricht, y=a·x+b, und die rechte Seite ist y=0, was mit der Ox-Achse zusammenfällt.

Angesichts der gegebenen Informationen ist es einfach zu formulieren Algorithmus zur grafischen Lösung linearer Ungleichungen:

• Ein Graph der Funktion y=a x+b wird konstruiert (schematisch möglich) und
• beim Lösen der Ungleichung a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• beim Lösen der Ungleichung a x+b≤0 wird das Intervall bestimmt, in dem der Graph niedriger ist oder mit der Ox-Achse zusammenfällt,
• beim Lösen der Ungleichung a x+b>0 wird das Intervall bestimmt, in dem der Graph über der Ox-Achse liegt,
• Beim Lösen der Ungleichung a·x+b≥0 wird das Intervall bestimmt, in dem der Graph höher liegt oder mit der Ox-Achse übereinstimmt.

Beispiel.

Lösen Sie die Ungleichung grafisch.

Lösung.

Lassen Sie uns einen Graphen einer linearen Funktion skizzieren . Dies ist eine gerade Linie, die abnimmt, da der Koeffizient von x negativ ist. Wir benötigen auch die Koordinate des Schnittpunkts mit der x-Achse, sie ist die Wurzel der Gleichung , was gleich ist. Für unsere Zwecke müssen wir nicht einmal die Oy-Achse darstellen. Unsere schematische Zeichnung wird also so aussehen

Da wir eine Ungleichung mit einem >-Zeichen lösen, interessiert uns das Intervall, in dem der Graph der Funktion über der Ox-Achse liegt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit markieren wir diesen Teil des Diagramms rot. Um das diesem Teil entsprechende Intervall leicht zu bestimmen, markieren wir den Teil rot Koordinatenebene, in dem sich der ausgewählte Teil des Diagramms befindet, wie in der folgenden Abbildung:

Die Lücke, die uns interessiert, ist der Teil der Ox-Achse, der rot hervorgehoben ist. Offensichtlich handelt es sich hierbei um einen offenen Zahlenstrahl . Das ist die Lösung, nach der wir suchen. Beachten Sie, dass wir die Ungleichung nicht mit dem >-Zeichen, sondern mit dem Vorzeichen lösen würden nichtstrikte Ungleichung≥, dann müssten wir die Antwort hinzufügen, da an dieser Stelle der Graph der Funktion vorliegt fällt mit der Ox-Achse zusammen. y=0·x+7, was dasselbe ist wie y=7, definiert eine gerade Linie auf der Koordinatenebene parallel zur Ox-Achse und darüber liegend. Daher ist die Ungleichung 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Und der Graph der Funktion y=0·x+0, der mit y=0 identisch ist, ist eine gerade Linie, die mit der Ox-Achse zusammenfällt. Daher ist die Lösung der Ungleichung 0·x+0≥0 die Menge aller reellen Zahlen.

Antwort:

zweite Ungleichung, ihre Lösung ist eine beliebige reelle Zahl.

Ungleichungen, die sich auf linear reduzieren

Eine Vielzahl von Ungleichungen kann durch äquivalente Transformationen durch äquivalente lineare Ungleichungen ersetzt, also auf eine lineare Ungleichung reduziert werden. Solche Ungleichungen heißen Ungleichungen, die sich auf linear reduzieren.

In der Schule werden fast gleichzeitig mit der Lösung linearer Ungleichungen auch einfache Ungleichungen betrachtet, die sich auf lineare reduzieren. Es handelt sich um Sonderfälle ganze Ungleichheiten, nämlich in ihrem linken und rechten Teil gibt es ganze Ausdrücke, die oder darstellen lineare Binome, oder werden von und in sie umgewandelt. Zur Verdeutlichung geben wir einige Beispiele für solche Ungleichungen: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Ungleichungen, die in ihrer Form den oben angegebenen ähneln, können immer auf lineare reduziert werden. Dies kann durch Öffnen von Klammern, Einfügen ähnlicher Begriffe, Umordnen von Begriffen und Verschieben von Begriffen von einer Seite der Ungleichung auf eine andere mit entgegengesetztem Vorzeichen erreicht werden.

Um beispielsweise die Ungleichung 5−2 x>0 auf linear zu reduzieren, reicht es aus, die Terme auf der linken Seite neu anzuordnen, wir haben −2 x+5>0. Um die zweite Ungleichung 7·(x−1)+3≤4·x−2+x linear zu reduzieren, braucht man ein wenig mehr Aktion: Auf der linken Seite öffnen wir die Klammern 7 x−7+3≤4 x−2+x , danach geben wir an ähnliche Begriffe in beiden Seiten 7 x−4≤5 x−2 , dann übertragen wir die Terme von der rechten Seite auf die linke Seite 7 x−4−5 x+2≤0 , schließlich präsentieren wir ähnliche Terme auf der linken Seite 2 x −2 ≤0. Ebenso lässt sich die dritte Ungleichung auf eine lineare Ungleichung reduzieren.

Da solche Ungleichungen immer auf lineare zurückgeführt werden können, bezeichnen einige Autoren sie sogar auch als linear. Aber wir werden sie immer noch auf linear reduzierend betrachten.

Nun wird klar, warum solche Ungleichungen zusammen mit linearen Ungleichungen betrachtet werden. Und das Prinzip ihrer Lösung ist absolut dasselbe: Durch äquivalente Transformationen können sie auf elementare Ungleichungen reduziert werden, die die gewünschten Lösungen darstellen.

Um eine solche Ungleichung zu lösen, können Sie sie zunächst auf eine lineare reduzieren und dann diese lineare Ungleichung lösen. Aber es ist rationaler und bequemer, dies zu tun:

• Sammeln Sie nach dem Öffnen der Klammern alle Terme mit der Variablen auf der linken Seite der Ungleichung und allen Zahlen auf der rechten Seite.
• dann bringen Sie ähnliche Begriffe mit,
• und dividieren Sie dann beide Seiten der resultierenden Ungleichung durch den Koeffizienten von x (sofern dieser natürlich von Null verschieden ist). Dies wird die Antwort geben.

Beispiel.

Lösen Sie die Ungleichung 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Lösung.

Öffnen wir zunächst die Klammern, als Ergebnis kommen wir zur Ungleichung 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Geben wir nun ähnliche Begriffe an: 6 x+15≤6 x−17 . Dann verschieben wir die Terme von der linken Seite, wir erhalten 6 x+15−6 x+17≤0, und wieder bringen wir ähnliche Terme (was uns zur linearen Ungleichung 0 x+32≤0 führt) und wir haben 32≤ 0. So kamen wir zu einer falschen numerischen Ungleichung, woraus wir schließen, dass die ursprüngliche Ungleichung keine Lösungen hat.

Antwort:

keine Lösungen.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass es viele andere Ungleichungen gibt, die auf lineare Ungleichungen oder auf Ungleichungen der oben betrachteten Art reduziert werden können. Zum Beispiel die Lösung exponentielle Ungleichheit 5 2 x−1 ≥1 reduziert sich auf die Lösung der linearen Ungleichung 2 x−1≥0 . Wir werden jedoch darüber sprechen, wenn wir Lösungen für Ungleichungen des entsprechenden Typs analysieren.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studierende Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra und Anfänge mathematische Analyse. Klasse 11. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen ( Profilebene) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 S.: Abb. ISBN 978-5-346-01027-2.

Vereinfacht ausgedrückt können wir sagen, dass es sich um Ungleichungen handelt, bei denen es nur im ersten Grad eine Variable gibt und diese nicht im Nenner des Bruchs steht.

Beispiele:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Beispiele für nichtlineare Ungleichungen:

\(3>-2\) – hier gibt es keine Variablen, sondern nur Zahlen, was bedeutet, dass es sich um eine numerische Ungleichung handelt
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – es gibt eine Variable im Nenner, this
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) – es gibt eine Variable in der zweiten Potenz, nämlich

Lineare Ungleichungen lösen

Die Ungleichung lösen Es wird jede Zahl geben, deren Ersetzung anstelle der Variablen die Ungleichung wahr macht. Ungleichheit lösen- bedeutet, alle diese Zahlen zu finden.

Zum Beispiel wird für die Ungleichung \(x-2>0\) die Zahl \(5\) die Lösung sein, weil Wenn wir fünf anstelle von x einsetzen, erhalten wir die richtige Zahl: \(3>0\). Aber die Zahl \(1\) wird keine Lösung sein, da die Substitution zu einer falschen numerischen Ungleichung führt: \(-1>0\) . Aber die Lösung der Ungleichung wird nicht nur fünf sein, sondern auch \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) und mehr unendliche Menge Zahlen: jede Zahl größer als zwei.

Daher können lineare Ungleichungen nicht durch Suchen und Ersetzen von Werten gelöst werden. Stattdessen nutzen wir sie zu einem der folgenden führen:

\(X c\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), wobei \(с\) eine beliebige Zahl ist

Danach wird die Antwort markiert Zahlenachse und wird geschrieben als (auch Intervall genannt).

Wenn Sie wissen, wie man löst, können Sie im Allgemeinen lineare Ungleichungen berechnen, da der Lösungsprozess sehr ähnlich ist. Es gibt nur eine wichtige Ergänzung:

Beispiel. Lösen Sie die Ungleichung \(2(x+1)-1<7+8x\)
Lösung:

Antwort: \(x\in(-1;\infty)\)

Sonderfall Nr. 1: Lösung der Ungleichung – beliebige Zahl

Bei linearen Ungleichungen ist eine Situation möglich, in der absolut jede Zahl als Lösung verwendet werden kann – ganze Zahl, Bruchzahl, negativ, positiv, Null... Beispielsweise gilt diese Ungleichung \(x+2>x\) für jede Wert von x. Nun, wie könnte es anders sein, denn links wurde dem X eine Zwei hinzugefügt, rechts aber nicht. Natürlich wird es auf der linken Seite ausfallen größere Zahl, egal welches X wir nehmen.

Beispiel. Lösen Sie die Ungleichung \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Lösung:

Antwort: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Sonderfall Nr. 2: Ungleichheit hat keine Lösungen

Die umgekehrte Situation ist auch möglich, wenn eine lineare Ungleichung überhaupt keine Lösungen hat, das heißt, kein x wird sie wahr machen. Zum Beispiel wird \(x-2>x\) niemals wahr sein, da links zwei von x subtrahiert werden, rechts jedoch nicht. Das bedeutet, dass es auf der linken Seite immer weniger und nicht mehr geben wird.

Beispiel. Lösen Sie die Ungleichung \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Lösung:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		Die Nenner stehen uns im Weg. Wir beseitigen sie sofort, indem wir die gesamte Ungleichung mit multiplizieren gemeinsamer Nenner alle, das heißt – für 6
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)		Öffnen wir die Klammern
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		Schneiden wir, was geschnitten werden kann
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		Links öffnen wir die Klammer und rechts stellen wir ähnliche Begriffe vor
\(3x-15>3x-4\)		Bewegen Sie \(3x\) nach links und \(-15\) nach rechts und ändern Sie dabei das Vorzeichen
\(3x-3x>-4+15\)		Wir präsentieren noch einmal ähnliche Begriffe
		Sie haben eine falsche numerische Ungleichung erhalten. Und es wird für jedes x falsch sein, da es die resultierende Ungleichung in keiner Weise beeinflusst. Das bedeutet, dass kein Wert von X eine Lösung darstellt.

Antwort: \(x\in\varnothing\)

In dem Artikel werden wir darüber nachdenken Ungleichheiten lösen. Wir werden es Ihnen klar und deutlich sagen wie man eine Lösung für Ungleichungen konstruiert, mit klaren Beispielen!

Bevor wir uns mit der Lösung von Ungleichungen anhand von Beispielen befassen, wollen wir die Grundkonzepte verstehen.

Allgemeine Informationen zu Ungleichheiten

Ungleichheit ist ein Ausdruck, in dem Funktionen durch Beziehungszeichen >, verbunden sind. Ungleichungen können sowohl numerischer als auch wörtlicher Natur sein.
Ungleichungen mit zwei Vorzeichen des Verhältnisses werden als doppelt bezeichnet, mit drei als dreifach usw. Zum Beispiel:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Ungleichungen, die das Zeichen > oder oder - enthalten, sind nicht streng.
Die Ungleichung lösen ist ein beliebiger Wert der Variablen, für den diese Ungleichung gilt.
"Ungleichheit lösen" bedeutet, dass wir die Menge aller seiner Lösungen finden müssen. Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung von Ungleichungen. Für Ungleichheitslösungen Sie verwenden den Zahlenstrahl, der unendlich ist. Zum Beispiel, Lösung für Ungleichheit x > 3 ist das Intervall von 3 bis +, und die Zahl 3 ist in diesem Intervall nicht enthalten, daher wird der Punkt auf der Geraden bezeichnet leerer Kreis, Weil Die Ungleichheit ist streng.
+
Die Antwort lautet: x (3; +).
Der Wert x=3 ist nicht in der Lösungsmenge enthalten, daher ist die Klammer rund. Das Unendlichkeitszeichen wird immer durch eine Klammer hervorgehoben. Das Zeichen bedeutet „zugehörig“.
Schauen wir uns anhand eines anderen Beispiels mit einem Vorzeichen an, wie man Ungleichungen löst:
x 2
-+
Der Wert x=2 ist in der Lösungsmenge enthalten, daher ist die Klammer quadratisch und der Punkt auf der Geraden wird durch einen ausgefüllten Kreis angezeigt.
Die Antwort wird sein: x)