Definition von Dieder- und Polyederwinkel. Dreiflächige und polyedrische Winkel. Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was ein „polyedrischer Winkel“ ist

Ein Diederwinkel ist eine Figur, die aus zwei Halbebenen besteht, die durch eine gemeinsame Gerade begrenzt werden. Halbebenen werden Flächen genannt, und die sie begrenzende Gerade heißt Kante eines Diederwinkels.

Abbildung 142 zeigt einen Diederwinkel mit Kante a und Flächen a und (3.

Flugzeug, senkrecht zur Kante Der Diederwinkel schneidet seine Flächen entlang zweier Halblinien. Der durch diese Halblinien gebildete Winkel wird linearer Winkel des Diederwinkels genannt. Das Maß eines Diederwinkels wird als Maß seines entsprechenden linearen Winkels angesehen. Wenn wir durch Punkt A der Kante a eines Diederwinkels eine Ebene y senkrecht zu dieser Kante zeichnen, dann schneidet sie die Ebenen a und (3 entlang der Halblinien (Abb. 142); der lineare Winkel eines gegebenen Diederwinkels. Die Das Gradmaß dieses linearen Winkels ist Gradmaß Diederwinkel. Das Maß des Diederwinkels hängt nicht von der Wahl des linearen Winkels ab.

Ein Dreieckswinkel ist eine Figur, die aus drei besteht flache Winkel(Abb. 143). Diese Winkel werden als Flächen eines Dreieckswinkels bezeichnet, und ihre Seiten werden als Kanten bezeichnet. Der gemeinsame Scheitelpunkt ebener Winkel wird Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels genannt. Die von den Flächen und ihren Verlängerungen gebildeten Diederwinkel werden aufgerufen Diederwinkel Dreieckswinkel.

Der Begriff eines polyedrischen Winkels wird ähnlich als eine aus flachen Winkeln zusammengesetzte Figur definiert (Abb. 144). Für einen Polyederwinkel werden die Konzepte von Flächen, Kanten und Diederwinkeln auf die gleiche Weise definiert wie für einen Dreiflächenwinkel.

Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche besteht aus endliche Zahl flache Polygone (Abb. 145).

Ein Polyeder heißt konvex, wenn es sich auf einer Seite der Ebene jedes Polygons auf seiner Oberfläche befindet (Abb. 145, a, b). ein gemeinsamer Teil Eine solche Ebene und die Oberfläche eines konvexen Polyeders wird als Fläche bezeichnet. Die Flächen eines konvexen Polyeders sind konvexe Polyeder. Die Seiten der Flächen werden als Kanten des Polyeders bezeichnet, und die Eckpunkte werden als Eckpunkte des Polyeders bezeichnet.

20. Mehrstufige Untersuchung von Polyederwinkeln, Eigenschaften der ebenen Winkel eines Triederwinkels und eines Polyederwinkels.

Ein Grundniveau von:

Atanasyan

Berücksichtigt nur den Diederwinkel.

Pogorelow

Zuerst betrachtet er den Diederwinkel und dann sofort die Drei- und Vielflächenwinkel.

Betrachten wir drei Strahlen a, b, c, die vom selben Punkt ausgehen und in derselben Ebene liegen. Ein Dreieckswinkel (abc) ist eine Figur, die aus drei flachen Winkeln (ab), (bc) und (ac) besteht (Abb. 400). Diese Winkel werden als Flächen eines Dreieckswinkels bezeichnet, und ihre Seiten werden als Kanten bezeichnet. Der gemeinsame Scheitelpunkt ebener Winkel wird Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels genannt. Die von den Flächen eines Dreiflächenwinkels gebildeten Diederwinkel werden Diederwinkel eines Dreiflächenwinkels genannt.

Das Konzept eines Polyederwinkels wird auf ähnliche Weise eingeführt (Abb. 401).

Abb. 400 und Abb. 401

P Profilebene(A.D. Aleksndrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhikh):

Wir verlassen die Definition und Untersuchung beliebiger Polyederwinkel bis § 31 und betrachten nun den einfachsten von ihnen – Triederwinkel. Wenn in der Stereometrie Diederwinkel als Analoga zu ebenen Winkeln betrachtet werden können, dann können Dreiflächenwinkel als Analoga zu ebenen Dreiecken betrachtet werden, und in den folgenden Abschnitten werden wir sehen, wie sie natürlich mit sphärischen Dreiecken zusammenhängen.

Sie können einen solchen Dreieckswinkel konstruieren (und damit konstruktiv definieren). Nehmen Sie drei beliebige Strahlen a, b, c, mit allgemeiner Anfang O und nicht in derselben Ebene liegend (Abb. 150). Diese Strahlen sind die Seiten von drei konvexen Ebenenwinkeln: Winkel α mit den Seiten b, c, Winkel β mit den Seiten a, c und Winkel γ mit den Seiten a, b. Die Vereinigung dieser drei Winkel α, β, γ wird Dreiflächenwinkel Oabc (oder kurz Dreiflächenwinkel O) genannt. Die Strahlen a, b, c heißen die Kanten des Dreieckswinkels Oabc und die ebenen Winkel α, β, γ sind seine Flächen. Punkt O wird als Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels bezeichnet.

3 Bemerkung: Es wäre möglich, einen Dreieckswinkel mit einer nicht konvexen Fläche zu definieren (Abb. 151), aber wir werden solche Dreieckswinkel nicht berücksichtigen.

Für jede Kante eines Dreieckswinkels wird ein entsprechender Diederwinkel bestimmt, dessen Kante die entsprechende Kante des Dreieckswinkels enthält und dessen Flächen die an diese Kante angrenzenden Flächen des Dreieckswinkels enthalten.

Die Werte der Diederwinkel des Dreiflächenwinkels Oabc an den Kanten a, b, c werden jeweils mit a^, b^, c^ bezeichnet (Großbuchstaben direkt über den Buchstaben).

Drei Flächen α, β, γ des Dreiflächenwinkels Oabc und seiner drei Diederwinkel at Rippen a, b, с, sowie die Größen α, β, γ und à^, b^, с^ nennen wir Elemente eines Dreieckswinkels. (Denken Sie daran, dass die Elemente eines ebenen Dreiecks seine Seiten und seine Winkel sind.)

Unsere Aufgabe besteht darin, einige Elemente eines Dreieckswinkels durch seine anderen Elemente auszudrücken, das heißt, eine „Trigonometrie“ von Dreieckswinkeln zu konstruieren.

1) Beginnen wir mit der Ableitung eines Analogons zum Kosinussatz. Betrachten Sie zunächst einen dreiflächigen Winkel Oabc, der mindestens zwei Flächen hat, zum Beispiel α und β, scharfe Kanten. Nehmen wir den Punkt C auf seiner Kante c und zeichnen wir von ihm in den Flächen α und β die Senkrechten CB und CA zur Kante c, bis sie die Kanten a und b an den Punkten A und B schneiden (Abb. 152). Drücken wir den Abstand AB von den Dreiecken OAB und CAB mit dem Kosinussatz aus.

AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) und AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.

Wenn wir die erste von der zweiten Gleichheit subtrahieren, erhalten wir:

OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). Weil Dreiecke OSV und OCA sind rechtwinklig, dann AC 2 -AC 2 =OS 2 und OB 2 -VS 2 =OS 2 (2)

Daher folgt aus (1) und (2), dass OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

diese.

Aber
,
,
,
. Deshalb

(3) – ein Analogon des Kosinussatzes für Dreieckswinkel – Kosinusformel.

Beide Flächen α und β sind stumpfe Winkel.

Einer der Winkel α und β, zum Beispiel α, ist spitz und der andere, β, ist stumpf.

Mindestens einer der Winkel α oder β ist gerade.

Zeichen der Gleichheit der Dreieckswinkelähnlich den Gleichheitszeichen von Dreiecken. Es gibt jedoch einen Unterschied: Beispielsweise sind zwei Dreieckswinkel gleich, wenn ihre Diederwinkel entsprechend gleich sind. Denken Sie daran, dass zwei ebene Dreiecke, deren entsprechende Winkel gleich sind, ähnlich sind. Und für Dreieckswinkel führt eine ähnliche Bedingung nicht zu Ähnlichkeit, sondern zu Gleichheit.

Dreiflächige Winkel haben eine bemerkenswerte Wirkung Eigentum was man Dualität nennt. Wenn in irgendeinem Satz über den Dreieckswinkel Oabc, ersetzen wir Werte a, b, von zu π-α, π-β, π-γund umgekehrt α, β, γ durch π-a^, π-b^, π-c^ ersetzen, dann erhalten wir wieder eine wahre Aussage über Dreieckswinkel, dual zum ursprünglichen Satz. Wenn zwar eine solche Ersetzung im Sinussatz vorgenommen wird, dann kommen wir wieder zum Sinussatz (er ist zu sich selbst dual). Wenn wir dies jedoch im Kosinussatz (3) tun, erhalten wir eine neue Formel

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Warum eine solche Dualität auftritt, wird klar, wenn wir für einen Dreieckswinkel einen dazu dualen Dreieckswinkel konstruieren, dessen Kanten senkrecht zu den Flächen des ursprünglichen Winkels stehen (siehe Abschnitt 33.3 und Abb. 356).

Einige der einfachsten Oberflächen sind polyedrische Winkel. Sie bestehen aus gewöhnlichen Winkeln (wir nennen solche Winkel heute oft flache Winkel), so wie eine geschlossene gestrichelte Linie aus Segmenten besteht. Es wird nämlich folgende Definition gegeben:

Ein Polyederwinkel heißt eine durch ebene Winkel gebildete Figur, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Keine zwei Winkel haben gemeinsame Punkte außer ihrem gemeinsamen Scheitelpunkt oder ihrer gemeinsamen Seite.

2) Für jeden dieser Winkel ist jede seiner Seiten mit einem und nur einem anderen solchen Winkel gemeinsam.

3) Von jeder Ecke aus können Sie entlang der Ecken, die gemeinsame Seiten haben, zu jeder Ecke gehen.

4) Keine zwei Winkel mit gemeinsame Seite liegen nicht in der gleichen Ebene (Abb. 324).

Unter dieser Bedingung werden die ebenen Winkel, die einen Polyederwinkel bilden, seine Flächen und seine Seiten seine Kanten genannt.

Unter diese Definition Auch ein Diederwinkel ist geeignet. Es besteht aus zwei aufgefalteten flachen Winkeln. Sein Scheitelpunkt kann als beliebiger Punkt auf seiner Kante betrachtet werden, und dieser Punkt teilt die Kante in zwei Kanten, die sich am Scheitelpunkt treffen. Aufgrund dieser Unsicherheit in der Position des Scheitelpunkts wird der Diederwinkel jedoch aus der Anzahl der Polyederwinkel ausgeschlossen.

P

Konzept von Polyederwinkel insbesondere im Studium der Polyeder wichtig - in der Polyedertheorie. Die Struktur eines Polyeders wird dadurch charakterisiert, aus welchen Flächen es besteht und wie diese an den Ecken zusammenlaufen, d. h. welche Polyederwinkel es gibt.

Betrachten Sie die Polyederwinkel verschiedener Polyeder.

Beachten Sie, dass die Flächen polyedrischer Winkel auch nicht konvexe Winkel sein können.

Definitionen. Nehmen wir mehrere Winkel (Abb. 37): ASB, BSC, CSD, die nacheinander benachbart in derselben Ebene um den gemeinsamen Scheitelpunkt S liegen.

Drehen wir die Winkelebene ASB um die gemeinsame Seite SB, sodass diese Ebene mit der Ebene BSC einen bestimmten Diederwinkel bildet. Dann drehen wir es um die gerade Linie SC, ohne den resultierenden Diederwinkel zu ändern, sodass die BSC-Ebene einen bestimmten Diederwinkel mit der CSD-Ebene bildet. Lassen Sie uns diese sequentielle Drehung um jede gemeinsame Seite fortsetzen. Fällt die letzte Seite SF mit der ersten Seite SA zusammen, so entsteht eine Figur (Abb. 38), die aufgerufen wird Polyederwinkel. Die Winkel ASB, BSC,... werden aufgerufen flache Winkel oder Kanten, ihre Seiten werden SA, SB, ... genannt Rippen, A gemeinsame Spitze S- Spitze Polyederwinkel.

Jede Kante ist auch eine Kante mit einem bestimmten Diederwinkel; Daher gibt es in einem Polyederwinkel so viele Diederwinkel und so viele Ebenenwinkel, wie es alle Kanten darin gibt. Kleinste Zahl es gibt drei Flächen in einem polyedrischen Winkel; dieser Winkel heißt dreieckig. Es können tetraedrische, fünfeckige usw. Winkel vorhanden sein.

Ein polyedrischer Winkel wird entweder durch einen einzelnen Buchstaben S am Scheitelpunkt oder durch eine Reihe von Buchstaben SABCDE bezeichnet, von denen der erste den Scheitelpunkt und die anderen die Kanten in der Reihenfolge ihrer Position bezeichnen.

Ein polyedrischer Winkel heißt konvex, wenn er vollständig auf einer Seite der Ebene jeder seiner Flächen liegt, die sich auf unbestimmte Zeit erstreckt. Dies ist beispielsweise der in Zeichnung 38 dargestellte Winkel. Im Gegensatz dazu kann der Winkel in Zeichnung 39 nicht als konvex bezeichnet werden, da er sich auf beiden Seiten der ASB-Kante oder der BCC-Kante befindet.

Wenn wir alle Flächen eines Polyederwinkels mit einer Ebene schneiden, entsteht im Schnitt ein Polygon ( abcde ). In einem konvexen Polyederwinkel ist dieses Polygon auch konvex.

Wir betrachten nur konvexe Polyederwinkel.

Satz. In einem Dreieckswinkel jeder flache Winkel weniger als der Betrag zwei weitere Ebenenwinkel.

Der größte der Ebenenwinkel im Dreiflächenwinkel SABC (Abb. 40) sei der Winkel ASC.

Tragen wir auf diesem Winkel den Winkel ASD ein, der dem Winkel ASB entspricht, und zeichnen wir eine gerade Linie AC, die SD an einem Punkt D schneidet. Zeichnen wir SB = SD auf. Indem wir B mit A und C verbinden, erhalten wir \(\Delta\)ABC, wobei

AD+DC< АВ + ВС.

Die Dreiecke ASD und ASB sind kongruent, weil zwischen ihnen jeweils der gleiche Winkel liegt gleiche Seiten: also AD = AB. Wenn wir also in der abgeleiteten Ungleichung die gleichen Terme AD und AB verwerfen, erhalten wir DC< ВС.

Nun stellen wir fest, dass in den Dreiecken SCD und SCB zwei Seiten des einen gleich sind wie zwei Seiten des anderen, die dritten Seiten jedoch nicht gleich sind; in diesem Fall gegen die größere dieser Seiten größerer Winkel; Bedeutet,

∠CSD< ∠ CSВ.

Durch Addition des Winkels ASD auf der linken Seite dieser Ungleichung und des dazugehörigen Winkels ASB auf der rechten Seite erhalten wir die zu beweisende Ungleichung:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

Wir haben bewiesen, dass selbst der größte ebene Winkel kleiner ist als die Summe der beiden anderen Winkel. Das bedeutet, dass der Satz bewiesen ist.

Folge.

Subtrahieren Sie von beiden Seiten der letzten Ungleichung den Winkel ASB oder den Winkel CSB; wir bekommen:< ∠ CSB;

∠ASC - ∠ASB< ∠ ASB.

∠ASC - ∠CSB Betrachtet man diese Ungleichungen von rechts nach links und berücksichtigt den Winkel ASC als den größten von drei Ecken größer als die Differenz der beiden anderen Winkel, kommen wir zu dem Schluss, dass.

Satz. In einem Dreieckswinkel ist jeder ebene Winkel größer als die Differenz der beiden anderen Winkel .

In einem konvexen Polyederwinkel beträgt die Summe aller ebenen Winkel weniger als 4d (360°). Lassen Sie uns die Flächen (Abb. 41) des konvexen Winkels SABCDE mit einer Ebene schneiden; daraus ergibt sich ein konvexer Querschnitt N

-gon ABCDE.

Wenn wir den zuvor bewiesenen Satz auf jeden der dreieckigen Winkel anwenden, deren Scheitelpunkte sich an den Punkten A, B, C, D und E befinden, pacholym:< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

∠ABC Addieren wir alle diese Ungleichungen Term für Term. Dann erhalten wir auf der linken Seite die Summe aller Winkel des Polygons ABCDE, die gleich 2 ist - 4dn , und rechts - die Summe der Winkel der Dreiecke ABS, SBC usw., mit Ausnahme der Winkel, die am Scheitelpunkt S liegen. Die Summe dieser letzten Winkel wird mit dem Buchstaben bezeichnet X , wir erhalten nach der Addition:

2Addieren wir alle diese Ungleichungen Term für Term. Dann erhalten wir auf der linken Seite die Summe aller Winkel des Polygons ABCDE, die gleich 2 ist - 4dn < 2dn - x .

Da in Unterschieden 2 Addieren wir alle diese Ungleichungen Term für Term. Dann erhalten wir auf der linken Seite die Summe aller Winkel des Polygons ABCDE, die gleich 2 ist - 4dn und 2 dn - x Die Minuenden sind gleich. Damit der erste Unterschied kleiner als der zweite ist, muss der Subtrahend 4 sein dn war mehr als der Selbstbehalt X ; das bedeutet 4 dn > X , d.h. X < 4dn .

Die einfachsten Fälle der Gleichheit der Dreieckswinkel

Theoreme. Dreiflächige Winkel sind gleich, wenn sie Folgendes haben:

1) entlang eines gleichen Diederwinkels, der zwischen zwei entsprechend gleichen und identisch beabstandeten ebenen Winkeln eingeschlossen ist, oder

2) entlang eines gleichen ebenen Winkels, der zwischen zwei entsprechend gleichen und identisch beabstandeten Diederwinkeln eingeschlossen ist.

1) Seien S und S 1 zwei Dreieckswinkel (Abb. 42), für die ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1, ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (und diese gleiche Winkel identisch angeordnet) und der Diederwinkel AS ist gleich dem Diederwinkel A 1 S 1 .

Setzen wir den Winkel S 1 in den Winkel S ein, so dass ihre Punkte S 1 und S, die Geraden S 1 A 1 und SA und die Ebenen A 1 S 1 B 1 und ASB zusammenfallen. Dann verläuft die Kante S 1 B 1 entlang SB (aufgrund der Gleichheit der Winkel A 1 S 1 B 1 und ASB), die Ebene A 1 S 1 C 1 verläuft entlang ASC (aufgrund der Gleichheit der Diederwinkel). ) und die Kante S 1 C 1 verläuft entlang der Kante SC (aufgrund der Gleichheit der Winkel A 1 S 1 C 1 und ASC). Somit fallen die Dreieckswinkel mit allen ihren Kanten zusammen, d.h. sie werden gleich sein.

2) Das zweite Zeichen wird wie das erste durch Einbettung bewiesen.

Symmetrische Polyederwinkel

Wie bekannt, vertikale Winkel sind gleich, wenn es sich um Winkel handelt, die durch Geraden oder Ebenen gebildet werden. Mal sehen, ob diese Aussage in Bezug auf Polyederwinkel wahr ist.

Setzen wir (Abb. 43) alle Kanten des Winkels SABCDE über den Scheitelpunkt S hinaus fort, dann entsteht ein weiterer polyedrischer Winkel SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1, der aufgerufen werden kann Vertikale relativ zum ersten Winkel. Es ist leicht zu erkennen, dass beide Winkel gleiche Ebenen- bzw. Diederwinkel haben, aber beide liegen in umgekehrte Reihenfolge. Wenn wir uns tatsächlich einen Beobachter vorstellen, der von außerhalb eines Polyederwinkels auf dessen Scheitelpunkt schaut, dann werden ihm die Kanten SA, SB, SC, SD, SE so vorkommen, als ob sie gegen den Uhrzeigersinn liegen, während er bei Betrachtung des Winkels SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 sieht er die Kanten SA 1, SB 1, ..., die im Uhrzeigersinn liegen.

Polyederwinkel mit entsprechend gleichen Ebenen- und Diederwinkeln, die jedoch in umgekehrter Reihenfolge angeordnet sind, können bei der Verschachtelung im Allgemeinen nicht kombiniert werden; das bedeutet, dass sie nicht gleich sind. Solche Winkel heißen symmetrisch(relativ zum Scheitelpunkt S). Auf die Symmetrie von Figuren im Raum wird weiter unten näher eingegangen.

Polyederwinkel

Teil des Raumes, der durch einen polyedrischen Hohlraum begrenzt wird konische Oberfläche, dessen Richtung ein flaches Polygon ohne Selbstüberschneidungen ist. Die Flächen dieser Oberfläche werden als Flächen des Mosaiks bezeichnet, und die Oberseite wird als Oberseite des Mosaiks bezeichnet. M. u. heißt richtig, wenn alle gleich sind lineare Winkel und alle seine Diederwinkel. Meroy M. u. ist die Fläche, die durch das sphärische Polygon begrenzt wird, das durch den Schnitt der Flächen des Polygons entsteht, eine Kugel mit einem Radius gleich eins, und mit dem Mittelpunkt am Scheitelpunkt von M. y. Siehe auch Raumwinkel.

Groß Sowjetische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. 1969-1978 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was ein „polyedrischer Winkel“ ist:

Siehe Raumwinkel... Groß Enzyklopädisches Wörterbuch

Siehe Raumwinkel. * * * POLYHEDALWINKEL POLYHEDALWINKEL, siehe Raumwinkel (siehe SOLIDWINKEL) ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Teil des Raums, der durch einen Hohlraum eines polyedrischen Kegels begrenzt wird. Oberfläche, die auf einen Schwarm flacher Polygone ohne Selbstüberschneidungen gerichtet ist. Die Flächen dieser Fläche heißen. die Kanten des M. u., die Spitze der Spitze des M. u. Ein Polyederwinkel heißt richtig... Mathematische Enzyklopädie

Siehe Raumwinkel... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

Polyederwinkel- Mathematik. Ein Teil des Raumes, der von mehreren Ebenen begrenzt wird, die durch einen Punkt (Scheitelpunkt eines Winkels) verlaufen ... Wörterbuch vieler Ausdrücke

VIELFÄLTIG, vielfältig, vielfältig (Buch). 1. Mehrere Gesichter oder Seiten haben. Vielfältiger Stein. Polyederwinkel (ein Teil des Raumes, der durch mehrere Ebenen begrenzt wird, die sich in einem Punkt schneiden; mat.). 2. Übertragen... ... Wörterbuch Uschakowa

- (Matte.). Wenn wir vom Punkt O auf einer gegebenen Ebene die Geraden OA und 0B zeichnen, erhalten wir den Winkel AOB (Abb. 1). Mist. 1. Punkt 0 aufgerufen der Scheitelpunkt des Winkels und die Geraden OA und 0B als Seiten des Winkels. Nehmen wir an, dass zwei Winkel ΒΟΑ und Β 1 Ο 1 Α 1 gegeben sind, so dass... ...

- (Matte.). Wenn wir vom Punkt O auf einer gegebenen Ebene die Geraden OA und 0B zeichnen, erhalten wir den Winkel AOB (Abb. 1). Mist. 1. Punkt 0 aufgerufen der Scheitelpunkt des Winkels und die Geraden OA und 0B als Seiten des Winkels. Angenommen, es seien zwei Winkel ΒΟΑ und Β1Ο1Α1 gegeben. Überlagern wir sie so, dass die Eckpunkte O... Enzyklopädisches Wörterbuch F.A. Brockhaus und I.A. Efron

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Winkel (Bedeutungen). Winkel ∠ Dimension ° SI-Einheiten Bogenmaß ... Wikipedia

Flache, geometrische Figur, die aus zwei Strahlen (Seiten der Oberfläche) besteht, die von einem Punkt (Scheitelpunkt der Oberfläche) ausgehen. Jedes U., das einen Scheitelpunkt im Mittelpunkt O eines Kreises (zentrales U.) hat, definiert auf dem Kreis einen Bogen AB, begrenzt durch... ... Große sowjetische Enzyklopädie

Betrachten wir drei Strahlen a, b, c, die vom selben Punkt ausgehen und nicht in derselben Ebene liegen. Ein Dreieckswinkel (abc) ist eine Figur, die aus drei flachen Winkeln (ab), (bc) und (ac) besteht (Abb. 2). Diese Winkel werden als Flächen eines Dreieckswinkels bezeichnet, und ihre Seiten werden als Kanten bezeichnet. Der gemeinsame Scheitelpunkt flacher Winkel wird als Scheitelpunkt eines Dreieckswinkels bezeichnet. Die von den Flächen eines Dreieckswinkels gebildeten Diederwinkel werden als Diederwinkel eines Dreieckswinkels bezeichnet.

Der Begriff eines Polyederwinkels wird ähnlich definiert (Abb. 3).

Polyeder

In der Stereometrie werden Figuren im Raum, sogenannte Körper, untersucht. Ein visueller (geometrischer) Körper muss als Teil eines eingenommenen Raums vorgestellt werden physischer Körper und durch die Oberfläche begrenzt.

Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus einer endlichen Anzahl flacher Polygone besteht (Abb. 4). Ein Polyeder heißt konvex, wenn es sich auf einer Seite der Ebene jedes ebenen Polygons auf seiner Oberfläche befindet. Der gemeinsame Teil einer solchen Ebene und der Oberfläche eines konvexen Polyeders wird als Fläche bezeichnet. Die Flächen eines konvexen Polyeders sind flach konvexe Polygone. Die Seiten der Flächen werden als Kanten des Polyeders bezeichnet, und die Eckpunkte werden als Eckpunkte des Polyeders bezeichnet.

Lassen Sie uns dies am Beispiel eines bekannten Würfels erklären (Abb. 5). Es gibt einen Würfel konvexes Polyeder. Seine Oberfläche besteht aus sechs Quadraten: ABCD, BEFC, .... Das sind seine Flächen. Die Kanten des Würfels sind die Seiten dieser Quadrate: AB, BC, BE,.... Die Eckpunkte eines Würfels sind die Eckpunkte der Quadrate: A, B, C, D, E, .... Der Würfel hat sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Eckpunkte.

Für die einfachsten Polyeder – Prismen und Pyramiden, die das Hauptobjekt unserer Studie sein werden – werden wir Definitionen geben, die im Wesentlichen nicht den Begriff des Körpers verwenden. Sie werden definiert als geometrische Figuren Angabe aller zu ihnen gehörenden Punkte im Raum. Konzept geometrischer Körper und seine Oberfläche in Allgemeiner Fall wird nachgereicht.