Wie man eine Beziehung zwischen Mengen herstellt. Arten von Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen. Er nannte sich selbst einen Milchpilz – klettere hinauf
Thema:„Modellierung von Abhängigkeiten zwischen Größen“
Lernziele:
1. Machen Sie sich mit den Konzepten vertraut:
"Größe"
"mathematisches Modell",
„tabellenförmiges Modell“
„grafisches Modell“
Lehrreich:
Schaffen Sie Bedingungen für die Entwicklung der Fähigkeit, das Wesentliche hervorzuheben, zu vergleichen, zu analysieren und zu verallgemeinern.
Lehrreich:
Kultivieren Sie Aufmerksamkeit, den Wunsch, die Sache zum beabsichtigten Ergebnis zu bringen;
Aufbau gegenseitiger Kontakte und Erfahrungsaustausch zwischen Schülern und Lehrern.
Ausrüstung: Lehrercomputer mit Multimediaprojektor.
Unterrichtsplan
Zeit organisieren(2 Min.) Unterrichtsziele festlegen. Erläuterung des neuen Materials. (17 Min.) Neues Material vertiefen (5 Min.) Aufgaben lösen aus Demoversionen des Unified State Exam 2010 (15 Min.) Zusammenfassung (3 Min.) Hausaufgabe (3 Min.)
Während des Unterrichts
Erzählen Sie den Schülern das Thema der Lektion. (Folie 1) Ein Unterrichtsziel festlegen(Folie 2)
Lernziele:
1. Machen Sie sich mit den Konzepten vertraut:
"Größe"
„Abhängigkeiten zwischen Mengen“
"mathematisches Modell",
„tabellenförmiges Modell“
„grafisches Modell“
Betrachten Sie die Abhängigkeiten zwischen Größen anhand von Beispielen.
2. Verbessern Sie Ihre Fähigkeiten zur Lösung von Aufgaben aus den KIMs des Einheitlichen Staatsexamens.
Erläuterung des neuen Materials. (17 Min.)(Folie 3)
Anwendung mathematische Modellierung erfordert ständig die Berücksichtigung der Abhängigkeiten einiger Größen von anderen.
1. Die Zeit, in der ein Körper zu Boden fällt, hängt von der Ausgangshöhe ab;
2. Der Gasdruck in der Flasche hängt von ihrer Temperatur ab;
3. Die Inzidenz von Asthma bronchiale bei den Bewohnern hängt von der Qualität der städtischen Luft ab
(Folie 4)
Jede Forschung muss mit der Identifizierung der quantitativen Merkmale des untersuchten Objekts beginnen. Solche Merkmale nennt man Mengen. Mit jeder Größe sind drei Haupteigenschaften verbunden: Name, Werte, Typ.
Der Name der Größe kann vollständig (Gasdruck) oder symbolisch (P) sein. Für bestimmte Größen werden Standardnamen verwendet: Zeit – T, Geschwindigkeit – V, Kraft – F...
(Folie 5)
Wenn sich der Wert einer Größe nicht ändert, wird sie aufgerufen konstanter Wert oder Konstante
(π =3,14159…).
Eine Größe, die ihren Wert ändert, heißt Variable.
(Folie 6)
Ein Typ definiert die Wertemenge, die ein Wert annehmen kann. Grundlegende Wertetypen: numerisch, symbolisch, logisch. Da wir nur über quantitative Merkmale sprechen, betrachten wir nur Mengen numerischer Typ.
(Folie 7)
Kehren wir zu den Beispielen zurück und bezeichnen Variablen, die Abhängigkeiten zwischen denen wir interessiert sind.
Im Beispiel 1:
T (Sek.) – Abfallzeit; N (m) – Fallhöhe. Beschleunigung freier Fall g (m/sec2) – konstant.
In Beispiel 2: P(n/m2) – Gasdruck ; t° C ist die Gastemperatur.
IN Beispiel 3:
Die Luftverschmutzung wird durch die Konzentration der Verunreinigungen C (mg/Kubikmeter) charakterisiert. Die Inzidenzrate wird durch die Anzahl der Patienten mit chronischem Asthma pro 1000 Einwohner charakterisiert dieser Stadt– P(Bol/Tausend)
(Folie 8)
Schauen wir uns die Methoden zur Abhängigkeitsdarstellung an
Mathematisches Modell, tabellarisches Modell, grafisches Modell
(Folie 9)
Mathematisches Modell
Hierbei handelt es sich um eine Reihe quantitativer Merkmale eines Objekts (Prozesses) und der Verbindungen zwischen ihnen, dargestellt in der Sprache der Mathematik.
Im ersten Beispiel wird das mathematische Modell als Formel dargestellt:
455 " style="width:341.25pt">
(Folie 11)
Grafisches Modell
und zeichne ein Diagramm
 |
(Folie 12)
Informationsmodelle, die die Entwicklung von Systemen im Zeitverlauf beschreiben, haben einen besonderen Namen: dynamische Modelle.
IN Physik dynamisch Informationsmodelle die Bewegung von Körpern beschreiben; V Biologie – Entwicklung von Organismen und Tierpopulationen; in Chemie – Leckage chemische Reaktionen usw
(Folie 13)
Die Lösung des Problems: (1 Schüler an der Tafel, der Rest in Heften)
Erstellen Sie mathematische, tabellarische und grafische Modelle des Problems:
Der Körper bewegt sich nach dem GesetzX(t)=5t2+2t-5,
Wox – Bewegung in Metern,t – Zeit in Sekunden. Finden Sie die Geschwindigkeit des Körpers zum jeweiligen Zeitpunktt=2.
Erstellen Sie eine Tabelle, die die Abhängigkeit der Geschwindigkeit eines Körpers von der Bewegungszeit des Körpers im Abstand von 3 Sekunden zeigt.
Konsolidierung des untersuchten Materials.Beantworten Sie die Fragen:
1. Welche Formen der Darstellung von Abhängigkeiten zwischen Größen kennen Sie? (Antwort 1 Schüler)
2. Begründen Sie die Vor- und Nachteile jedes einzelnen drei Formen Darstellung
Abhängigkeiten. (Antwort 1 Schüler)
Lösen von Aufgaben aus der Demoversion des Einheitlichen Staatsexamens 2010 (15 Min.)
Wiederholung des 10., 2., 8. und 16. Zahlensystems.
Lösung der Aufgabe aus der Demoversion des Einheitlichen Staatsexamens (1 )
1. Wie wird die Zahl 26310 im oktalen Zahlensystem dargestellt?
Lösung:
Wie wird die Zahl 5678 im Binärzahlensystem geschrieben?
(1 Schüler an der Tafel, der Rest in Heften)
Lösung:
Wie wird die Zahl A8716 im Oktalzahlensystem geschrieben?
(1 Schüler an der Tafel, der Rest in Heften)
Lösung:
Aufgabe A1 aus der Demoversion 2010. (1 Schüler an der Tafel, der Rest in Heften)
Gegeben: a=9D16, b=2378. Welche der im binären Zahlensystem geschriebenen Zahlen C erfüllt die Ungleichung?
Lösung:
Zusammenfassung (3 Min.) Hausaufgabe (3 Min.) §36, Fragen. Beispiel.
Gegeben: a= 3328, b= D416. Welche der im binären Zahlensystem geschriebenen Zahlen C erfüllt die Ungleichung a? Das Konzept einer Größe, die unterschiedliche numerische Werte annimmt, spiegelt die Variabilität der Realität um uns herum wider. Die Mathematik untersucht die Beziehungen zwischen verschiedenen Größen. Aus dem Schulunterricht kennen wir Formeln, die verschiedene Größen verbinden: Fläche des Quadrats und die Länge seiner Seite: S = a 2, Volumen des Würfels und Länge seiner Kante: V = a 3, Distanz, Geschwindigkeit, Zeit: S = V t, Kosten, Preis und Menge: M = c k usw. Vorschulkinder erforschen nicht die genauen Zusammenhänge, sondern stoßen auf die Eigenschaften dieser Abhängigkeiten. Zum Beispiel: Je länger der Weg, desto mehr Zeit müssen Sie aufwenden, Je höher der Preis, desto höher sind die Kosten des Produkts. Das größere Quadrat hat eine längere Seite. Diese Eigenschaften werden von Kindern beim Denken genutzt und helfen ihnen, die richtigen Schlussfolgerungen zu ziehen. Hinweis: Die Vorlesung beginnt mit Botschaften zu den Themen:„Geschichte der Entstehung und Entwicklung von Mengeneinheitensystemen“;„Internationales Einheitensystem“, vorbereitetStudenten. In der Geschichte der Entwicklung von Mengeneinheiten lassen sich mehrere Perioden unterscheiden: ICH.
Längeneinheiten werden mit Körperteilen identifiziert: Palme - vier Finger breit Ellenbogen - Armlänge von der Hand bis zum Ellenbogen, Fuß - Fußlänge, Zoll - Länge des Daumengelenks usw. Als Flächeneinheiten wurden folgende Einheiten verwendet: Also - Fläche, die aus einem Brunnen bewässert werden kann, pflügen oder pflügen- die durchschnittliche Fläche, die pro Tag mit einem Pflug oder Pflug bearbeitet wird. Der Nachteil solcher Einheiten besteht darin, dass sie instabil und voreingenommen sind. II.
Im XIV.-XVI. Jahrhundert erschienen objektive Einheiten im Zusammenhang mit
Handelsentwicklung: Zoll–
die Länge von drei nebeneinander gelegten Gerstenkörnern; Fuß – Breite von 64 nebeneinander angeordneten Gerstenkörnern, Karat – Gewicht eines Samens einer Bohnensorte. Nachteil: Es besteht kein Zusammenhang zwischen Mengeneinheiten. III.
Einführung miteinander verbundener Einheiten: 3 Arschins – ergründen, 500 Klafter – Werst, 7 Werst - Meile. Nachteil: Verschiedene Länder haben unterschiedliche Mengeneinheiten, was die internationalen Beziehungen, beispielsweise den Handel, verlangsamt. IV.
Schaffung eines neuen Einheitensystems in Frankreich Ende des 18. Jahrhunderts. Grundeinheit der Länge – Meter – ein Vierzigmillionstel der Länge des durch Paris verlaufenden Erdmeridians, „Meter“ – Griechisch. Metron – „Maß“. Alle anderen Größen waren dem Meter zugeordnet, daher wurde das neue Mengensystem als metrisches Maßsystem bezeichnet: ar–
Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 10 m; Liter – Volumen eines Würfels mit einer Kantenlänge von 0,1 m; Gramm– die Masse reinen Wassers, die das Volumen eines Würfels mit einer Kantenlänge von 0,01 m einnimmt. Dezimale Vielfache und Teiler wurden mithilfe von Präfixen eingeführt: Kilo – 10 3 Dezi – 10 -1 Hekto – 10 2 Centi – 10 -2 Deck – 10 1 Milli – 10 -3. Nachteil: Mit der Entwicklung der Spinnen waren neue Einheiten und genauere Messungen erforderlich. V.
Im Jahr 1960. Die XI. Generalkonferenz für Maß und Gewicht beschloss die Einführung des Internationalen Systems der SI-Einheiten. SI ist ein internationales System. Es gibt 7 Grundeinheiten in diesem System ( Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere, Kelvin, Mol, Candela) und 2 zusätzliche ( Bogenmaß, Steradiant). Diese im Physikkurs definierten Einheiten ändern sich unter keinen Umständen. Die durch sie ermittelten Größen heißen abgeleitete Größen: Quadrat - Quadratmeter - m 2, Lautstärke - Kubikmeter - m 3, Geschwindigkeit - Meter pro Sekunde - m/s usw. Unser Land verwendet auch nicht systemische Einheiten: Gewicht - Tonne, Quadrat - Hektar, Temperatur- Grad Celsius, Zeit - Minute, Stunde, Jahr, Jahrhundert usw. Aufgaben für selbstständiges Arbeiten. Überlegen Sie sich Aufgaben für Vorschulkinder, die die Eigenschaften Länge, Fläche, Masse und Zeit widerspiegeln. Überlegen Sie sich einen Plan, um Kindern im Vorschulalter beizubringen, wie man Länge (mit Streifen) und Volumen (mit Brille) misst. Überlegen Sie sich mit Vorschulkindern ein Gespräch über Systemeinheiten von Mengen: Meter, Kilogramm, Sekunde usw. Schreiben Sie die alten Mengeneinheiten auf, die in der Kinderliteratur zu finden sind. Finden Sie ihre SI-Werte in Nachschlagewerken. Aus welchen Ländern stammen sie? Warum wurde zum Beispiel Däumelinchen so genannt? Was ist 1 Zoll in mm? >>Informatik: Darstellung von Abhängigkeiten zwischen Größen Darstellung von Abhängigkeiten zwischen Größen Die Lösung von Planungs- und Managementproblemen erfordert ständig die Berücksichtigung der Abhängigkeiten einiger Faktoren von anderen. Beispiele für Abhängigkeiten: 1) Die Zeit, in der ein Körper zu Boden fällt, hängt von der Anfangshöhe ab; 2) der Druck hängt von der Temperatur des Gases in der Flasche ab; Mathematisches Modell ist eine Reihe quantitativer Merkmale eines Objekts (Prozesses) und Verbindungen zwischen ihnen, dargestellt in der Sprache der Mathematik. Mathematische Modelle für die ersten beiden oben aufgeführten Beispiele sind allgemein bekannt. Sie spiegeln physikalische Gesetze wider und werden in Form von Formeln dargestellt:
In mehr komplexe Aufgaben Mathematische Modelle werden in Form von Gleichungen oder Gleichungssystemen dargestellt. In diesem Fall zum Extrahieren funktionale Abhängigkeit Größen, die Sie benötigen, um diese Gleichungen lösen zu können. Am Ende dieses Kapitels betrachten wir ein Beispiel eines mathematischen Modells, das durch ein System von Ungleichungen ausgedrückt wird. Schauen wir uns Beispiele für zwei weitere Möglichkeiten an, Abhängigkeiten zwischen Größen darzustellen: tabellarisch und grafisch. Stellen Sie sich vor, wir hätten beschlossen, das Gesetz des freien Falls eines Körpers experimentell zu testen. Das Experiment war wie folgt organisiert; Werfen Sie eine Stahlkugel vom Balkon des 2. Stocks, 3. Stocks (usw.) eines zehnstöckigen Gebäudes und messen Sie die Höhe Ausgangsposition Ball und Fallzeit. Basierend auf den Ergebnissen des Experiments haben wir eine Tabelle zusammengestellt und eine Grafik gezeichnet. Wenn jedes Wertepaar von H und t aus dieser Tabelle in die obige Formel für die Abhängigkeit der Höhe von der Zeit eingesetzt wird, wird daraus eine Gleichheit (innerhalb des Messfehlers). Das bedeutet, dass das Modell gut funktioniert. (Wenn Sie jedoch keine Stahlkugel werfen, sondern großes Licht Ball, dann wird dieses Modell weniger der Formel entsprechen, und wenn es ein aufblasbarer Ball ist, wird es überhaupt nicht entsprechen - warum denken Sie?) In diesem Beispiel haben wir uns drei Möglichkeiten angesehen, die Abhängigkeit von Größen anzuzeigen: funktional (Formel), tabellarisch und grafisch. Jedoch mathematisches Modell Der Vorgang, bei dem ein Körper zu Boden fällt, kann nur als Formel bezeichnet werden. Warum? Weil die Formel universell ist. Damit können Sie die Zeit bestimmen, zu der ein Körper aus einer beliebigen Höhe fällt, und zwar nicht nur für den in Abb. gezeigten experimentellen Satz von H-Werten. 2.11. Darüber hinaus sind der Tisch und Diagramm(Grafik) geben die Fakten an, und das mathematische Modell ermöglicht Prognosen, Vorhersagen durch Berechnungen. Auf die gleiche Weise können Sie die Abhängigkeit des Drucks von der Temperatur auf drei Arten anzeigen. Beide Beispiele beziehen sich auf bekannte physikalische Gesetze – die Naturgesetze. Wissen physikalische Gesetze produzieren lassen genaue Berechnungen Sie bilden die Grundlage moderner Technik.
Kurz zur Hauptsache Menge - einige quantitatives Merkmal Objekt. Abhängigkeiten zwischen Größen können in Form eines mathematischen Modells, in tabellarischer und grafischer Form dargestellt werden. Der in Form einer Formel dargestellte Zusammenhang ist ein mathematisches Modell. Fragen und Aufgaben 1. a) Welche Darstellungsformen von Abhängigkeiten zwischen Größen kennen Sie? b) Was ist ein mathematisches Modell? c) Kann ein mathematisches Modell nur Konstanten enthalten? 2. Geben Sie ein Beispiel für einen Ihnen bekannten funktionalen Zusammenhang (Formel) zwischen den Eigenschaften eines bestimmten Systems. 3. Begründen Sie die Vor- und Nachteile jeder der drei Formen der Abhängigkeitsdarstellung. Semakin I.G., Henner E.K., Informatik und IKT, 11 Eingereicht von Lesern von Internetseiten Mengen und Abhängigkeiten zwischen ihnen Dies sind Beispiele für Abhängigkeiten, die in funktionaler Form dargestellt werden. Die erste Abhängigkeit heißt Wurzel (die Zeit ist proportional zur Quadratwurzel der Höhe), die zweite ist linear. Modellierung von Abhängigkeiten zwischen Größen Wert - quantitative Eigenschaften des untersuchten Objekts Mengenmerkmale Bedeutung spiegelt die Bedeutung der Menge wider definiert mögliche Werte Mengen Konstante Arten von Abhängigkeiten: Funktional Methoden zur Anzeige von Abhängigkeiten Mathematisch Tabellarisches Modell Grafik Beschreibung der Entwicklung von Systemen im Zeitverlauf – dynamisches Modell Die Mengen sind quantitative Werte Objekte, Segmentlängen, Zeit, Winkel usw. Definition. Die Menge ist das Ergebnis einer Messung, dargestellt durch die Nummer und den Namen der Maßeinheit. Zum Beispiel: 1 km; 5 Stunden 60 km/h; 15 kg; 180°. Mengen können unabhängig oder voneinander abhängig sein. Die Beziehung zwischen Größen kann streng festgelegt sein (z. B. 1 dm = 10 cm) oder die Beziehung zwischen Mengen widerspiegeln. ausgedrückt durch die Formel konkret zu bestimmen numerischer Wert(Der Weg hängt beispielsweise von der Geschwindigkeit und Dauer der Bewegung ab; die Fläche eines Quadrats hängt von der Länge seiner Seite usw. ab). Die Grundlage des metrischen Längenmaßsystems – der Meter – wurde in Russland eingeführt Anfang des 19. Jahrhunderts Jahrhunderte, und davor wurden zur Längenmessung verwendet: Arshin (= 71 cm), Werst (= 1067 m), schräger Klafter (= 2 m 13 cm), Makhovaya Klafter (= 1 m 76 cm), einfacher Klafter ( = 1 m 52 cm), Viertel (= 18 cm), Elle (von ca. 35 cm bis 46 cm), Spannweite (von 18 cm bis 23 cm). Wie Sie sehen, war viel dabei Mengen Länge messen. Mit der Einführung des metrischen Maßsystems wird die Abhängigkeit der Längenwerte streng festgelegt: IN metrisches System Maße definieren die Einheiten Zeit, Länge, Masse, Volumen, Fläche und Geschwindigkeit. Es ist auch möglich, einen Zusammenhang zwischen zwei oder mehreren Größen oder Maßsystemen herzustellen; dieser wird in Formeln festgelegt und die Formeln werden experimentell abgeleitet. Definition. Zwei gegenseitig abhängige Größen werden genannt proportional, wenn das Verhältnis ihrer Werte unverändert bleibt. Das konstante Verhältnis zweier Größen wird Proportionalitätskoeffizient genannt. Proportionalitätsfaktor zeigt an, wie viele Einheiten einer Menge pro Einheit einer anderen Menge vorhanden sind. Wenn die Chancen gleich sind. Dann ist das Verhältnis gleich. Die Distanz ist das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit der Bewegung: Daraus wurde die Grundformel für die Bewegung abgeleitet: Wo S- Weg; V- Geschwindigkeit; T- Zeit. Die Grundformel der Bewegung ist die Abhängigkeit der Distanz von der Geschwindigkeit und der Bewegungszeit. Diese Abhängigkeit heißt würzig proportional. Definition. Zwei variable Größen sind direkt proportional, wenn bei einer mehrmaligen Erhöhung (oder Verringerung) einer Größe die andere Größe um denselben Betrag zunimmt (oder abnimmt); diese. das Verhältnis der entsprechenden Werte solcher Größen ist ein konstanter Wert. Bei konstanter Entfernung hängen Geschwindigkeit und Zeit durch eine andere Beziehung zusammen, die aufgerufen wird invers proportional. Regel. Zwei variable Größen sind umgekehrt proportional, wenn bei einer mehrmaligen Zunahme (oder Abnahme) einer Größe die andere Größe um denselben Betrag abnimmt (oder zunimmt); diese. das Produkt der entsprechenden Werte solcher Größen ist ein konstanter Wert. Aus der Bewegungsformel lassen sich zwei weitere Beziehungen ableiten, die die Gerade ausdrücken und umgekehrte Beziehung darin enthaltene Mengen: t=S:V- Bewegungszeit im direkten Verhältnis der zurückgelegte Weg und umgekehrt Bewegungsgeschwindigkeit (bei identischen Streckenabschnitten gilt: Je höher die Geschwindigkeit, desto kürzer die Zeit, die für die Zurücklegung der Strecke benötigt wird). V=S:t- Bewegungsgeschwindigkeit direkt proportional der zurückgelegte Weg und invers proportional Fahrzeit (bei gleichen Streckenabschnitten, desto mehr Alle drei Bewegungsformeln sind gleichwertig und werden zur Lösung von Problemen verwendet.4.5. Geschichte der Entwicklung des Mengeneinheitensystems
Dies sind Beispiele für Abhängigkeiten, die in einer Sägezahnfunktion dargestellt werden. Die erste Abhängigkeit wird Wurzelabhängigkeit genannt (die Zeit ist proportional zu Quadratwurzel aus der Höhe), die zweite - linear (Druck ist direkt proportional zur Temperatur). 
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Reis. 2.11. Tabellarische und grafische Darstellung Abhängigkeit der Fallzeit eines Körpers von der HöheInformatik und IKT Klassen 10-11 Semakin, Informatik Klassen 10-11 Semakin, Modellierung von Abhängigkeiten zwischen Mengen, Mengen und Abhängigkeiten zwischen ihnen, verschiedene Methoden zur Darstellung von Abhängigkeiten, mathematische Modelle, tabellarische und grafische Modelle
Der Inhalt dieses Abschnitts des Lehrbuchs bezieht sich auf computermathematische Modellierung. Der Einsatz mathematischer Modellierung erfordert ständig die Berücksichtigung der Abhängigkeiten einiger Größen von anderen. Hier sind Beispiele für solche Abhängigkeiten:
1) Die Zeit, in der ein Körper zu Boden fällt, hängt von seiner ursprünglichen Höhe ab;
2) der Gasdruck in der Flasche hängt von ihrer Temperatur ab;
3) Der Grad der Morbidität von Stadtbewohnern mit Asthma bronchiale hängt von der Konzentration schädlicher Verunreinigungen in der Stadtluft ab.
Die Implementierung eines mathematischen Modells auf einem Computer (computermathematisches Modell) erfordert Kenntnisse über Techniken zur Darstellung von Abhängigkeiten zwischen Größen.
Lassen Sie uns überlegen verschiedene Methoden Abhängigkeitsansichten.
Jede Forschung muss mit der Identifizierung der quantitativen Eigenschaften des untersuchten Objekts beginnen. Solche Merkmale nennt man Mengen.
Den Begriff der Größe haben Sie bereits kennengelernt Grundkurs Informatik. Erinnern wir uns daran, dass jeder Größe drei grundlegende Eigenschaften zugeordnet sind: Name, Wert, Typ.
Der Name einer Größe kann semantisch oder symbolisch sein. Ein Beispiel für einen semantischen Namen ist „Gasdruck“, und ein symbolischer Name für dieselbe Größe ist P. In Datenbanken sind Mengen Datensatzfelder. Für sie werden sie in der Regel verwendet aussagekräftige Namen, zum Beispiel: NACHNAME, GEWICHT, BEWERTUNG usw. In der Physik und anderen Wissenschaften verwendet mathematischer Apparat Zur Bezeichnung von Mengen werden symbolische Namen verwendet. Damit die Bedeutung nicht verloren geht, werden für bestimmte Mengen Standardnamen verwendet. Zeit wird beispielsweise mit dem Buchstaben t, Geschwindigkeit mit V, Kraft mit F usw. bezeichnet.
Ändert sich der Wert einer Größe nicht, spricht man von einer konstanten Größe oder Konstante. Ein Beispiel für eine Konstante ist die pythagoräische Zahl π = 3,14259... . Eine Größe, deren Wert sich ändern kann, wird als Variable bezeichnet. Beispielsweise sind bei der Beschreibung des Fallvorgangs eines Körpers die variablen Größen die Höhe H und die Fallzeit t.
Die dritte Eigenschaft einer Größe ist ihr Typ. Sie sind auch auf das Konzept eines Werttyps gestoßen, als Sie sich mit Programmierung und Datenbanken beschäftigt haben. Ein Typ definiert die Wertemenge, die ein Wert annehmen kann. Grundlegende Wertetypen: numerisch, symbolisch, logisch. Da wir in diesem Abschnitt nur über quantitative Merkmale sprechen, werden nur Größen numerischen Typs berücksichtigt.
Kehren wir nun zu den Beispielen 1-3 zurück und benennen (benennen) wir alle variablen Größen, deren Abhängigkeiten uns interessieren werden. Zusätzlich zu den Namen geben wir die Abmessungen der Mengen an. Dimensionen definieren die Einheiten, in denen die Werte von Mengen dargestellt werden.
1) t (s) – Abfallzeit; N (m) - Fallhöhe. Wir werden die Abhängigkeit darstellen und dabei den Luftwiderstand vernachlässigen; Die Beschleunigung des freien Falls g (m/s 2) wird als Konstante betrachtet.
2) P (n/m 2) – Gasdruck (in SI-Einheiten, Druck wird in Newton pro gemessen Quadratmeter); t °C ist die Gastemperatur. Wir betrachten den Druck bei null Grad Po als eine Konstante für ein gegebenes Gas.
3) Die Luftverschmutzung wird durch die Konzentration der Verunreinigungen (welche werden später besprochen) charakterisiert – C (mg/m3). Maßeinheit ist die Masse der in 1 enthaltenen Verunreinigungen Kubikmeter Luft, ausgedrückt in Milligramm. Die Inzidenzrate wird durch die Anzahl der Patienten mit chronischem Asthma pro 1000 Einwohner einer bestimmten Stadt charakterisiert – P (Patienten/Tausend).
Beachten wir etwas Wichtiges qualitativer Unterschied zwischen den in den Beispielen 1 und 2 einerseits und im Beispiel 3 andererseits beschriebenen Abhängigkeiten. Im ersten Fall ist die Beziehung zwischen den Größen vollständig definiert: Der Wert von H bestimmt eindeutig den Wert von t (Beispiel 1), der Wert von t bestimmt eindeutig den Wert von P (Beispiel 2). Im dritten Beispiel ist der Zusammenhang zwischen dem Wert der Luftverschmutzung und dem Grad der Morbidität jedoch deutlich größer komplexer Natur; bei gleichem Verschmutzungsgrad in verschiedenen Monaten in derselben Stadt (oder in verschiedene Städte im selben Monat) kann die Inzidenzrate variieren, da sie von vielen anderen Faktoren beeinflusst wird. Wir werden eine ausführlichere Diskussion dieses Beispiels auf den nächsten Absatz verschieben, aber vorerst nur darauf hinweisen mathematische Sprache Die Abhängigkeiten in den Beispielen 1 und 2 sind funktionsfähig, in Beispiel 3 jedoch nicht.
Mathematische Modelle
Wenn die Beziehung zwischen Größen dargestellt werden kann mathematische Form, dann haben wir ein mathematisches Modell.
Ein mathematisches Modell ist eine Reihe quantitativer Merkmale eines bestimmten Objekts (Prozesses) und der Verbindungen zwischen ihnen, dargestellt in der Sprache der Mathematik.
Mathematische Modelle für die ersten beiden Beispiele sind bekannt. Sie spiegeln physikalische Gesetze wider und werden in Form von Formeln dargestellt:
Bei komplexeren Problemen werden mathematische Modelle als Gleichungen oder Gleichungssysteme dargestellt. Am Ende dieses Kapitels betrachten wir ein Beispiel eines mathematischen Modells, das durch ein System von Ungleichungen ausgedrückt wird.
Bei noch komplexeren Problemen (Beispiel 3 ist eines davon) können Abhängigkeiten auch in einer mathematischen Form dargestellt werden, allerdings nicht in einer funktionalen, sondern in einer anderen.
Tabellarische und grafische Modelle
Schauen wir uns Beispiele für zwei andere, nicht formelbasierte Möglichkeiten zur Darstellung von Abhängigkeiten zwischen Größen an: tabellarisch und grafisch. Stellen Sie sich vor, wir hätten beschlossen, das Gesetz des freien Falls eines Körpers experimentell zu testen. Wir werden das Experiment wie folgt organisieren: Wir werfen eine Stahlkugel aus einer Höhe von 6 Metern, 9 Metern usw. (nach 3 Metern) und messen dabei die Höhe der Ausgangsposition der Kugel und die Fallzeit. Basierend auf den Ergebnissen des Experiments erstellen wir eine Tabelle und zeichnen ein Diagramm.
Wenn jedes Wertepaar von H und t aus dieser Tabelle in die obige Formel für die Abhängigkeit der Höhe von der Zeit eingesetzt wird, wird die Formel zu einer Gleichheit (innerhalb des Messfehlers). Das bedeutet, dass das Modell gut funktioniert. (Wenn Sie jedoch keine Stahlkugel, sondern eine große leichte Kugel fallen lassen, wird keine Gleichheit erreicht, und wenn es sich um eine aufblasbare Kugel handelt, dann sind die Werte von links und die richtigen Teile Die Formeln werden stark variieren. Warum denken Sie?)
In diesem Beispiel haben wir uns drei Möglichkeiten angesehen, die Abhängigkeit von Größen zu modellieren: funktional (Formel), tabellarisch und grafisch. Als mathematisches Modell des Prozesses, bei dem ein Körper zu Boden fällt, kann jedoch nur eine Formel bezeichnet werden. Die Formel ist universeller; sie ermöglicht es Ihnen, die Zeit zu bestimmen, zu der ein Körper aus jeder Höhe fällt, und zwar nicht nur für den in Abb. gezeigten experimentellen Satz von H-Werten. 6.1. Mit einer Formel können Sie problemlos eine Tabelle und ein Diagramm erstellen, umgekehrt ist dies jedoch sehr problematisch.
Auf die gleiche Weise können Sie die Abhängigkeit des Drucks von der Temperatur auf drei Arten anzeigen. Beide Beispiele beziehen sich auf bekannte physikalische Gesetze – die Naturgesetze. Die Kenntnis physikalischer Gesetze ermöglicht uns genaue Berechnungen; sie bilden die Grundlage moderner Technologie.
Informationsmodelle, die die Entwicklung von Systemen über die Zeit beschreiben, haben einen besonderen Namen: dynamische Modelle. Beispiel 1 zeigt ein solches Modell. In der Physik beschreiben dynamische Informationsmodelle die Bewegung von Körpern, in der Biologie – die Entwicklung von Organismen oder Tierpopulationen, in der Chemie – den Ablauf chemischer Reaktionen usw.
System grundlegender Konzepte
Je länger sich ein Objekt bewegt, desto weniger Geschwindigkeit ist zum Zurücklegen von Entfernungen erforderlich.
