Schema zum Studieren der Funktion und zum Online-Plotten des Diagramms. Komplettes Beispiel einer Funktionsstudie online. Studie über Asymptoten

Einer von wichtigsten Aufgaben Differentialrechnung ist die Entwicklung gängige Beispiele Studien zum Funktionsverhalten.

Wenn die Funktion y=f(x) im Intervall stetig ist und ihre Ableitung im Intervall (a,b) positiv oder gleich 0 ist, dann erhöht sich y=f(x) um (f"(x)0) . Wenn die Funktion y=f(x) auf dem Segment stetig ist und ihre Ableitung auf dem Intervall (a,b) negativ oder gleich 0 ist, dann nimmt y=f(x) um (f"(x)0 ab )

Intervalle, in denen die Funktion nicht abnimmt oder zunimmt, werden als Intervalle der Monotonie der Funktion bezeichnet. Die Monotonie einer Funktion kann sich nur an den Punkten ihres Definitionsbereichs ändern, an denen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändert. Die Punkte, an denen die erste Ableitung einer Funktion verschwindet oder eine Diskontinuität aufweist, werden als kritisch bezeichnet.

Satz 1 (1 ausreichender Zustand Existenz eines Extremums).

Die Funktion y=f(x) sei am Punkt x 0 definiert und es gebe eine Umgebung δ>0, so dass die Funktion im Intervall stetig und im Intervall (x 0 -δ,x 0) differenzierbar ist.u( x 0 , x 0 +δ) und seine Ableitung bleibt erhalten dauerhaftes Zeichen in jedem dieser Intervalle. Wenn dann auf x 0 -δ,x 0) und (x 0 , x 0 +δ) die Vorzeichen der Ableitung unterschiedlich sind, dann ist x 0 ein Extrempunkt, und wenn sie zusammenfallen, dann ist x 0 kein Extrempunkt . Wenn außerdem beim Durchgang durch den Punkt x0 die Ableitung das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert (links von x 0 ist f"(x)>0 erfüllt, dann ist x 0 der maximale Punkt; wenn die Ableitung das Vorzeichen von ändert Minus nach Plus (rechts von x 0 ausgeführt f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Die Maximal- und Minimalpunkte werden als Extrempunkte der Funktion bezeichnet, und die Maxima und Minima der Funktion werden als Extremwerte bezeichnet.

Satz 2 (ein notwendiges Zeichen eines lokalen Extremums).

Wenn die Funktion y=f(x) beim aktuellen x=x 0 ein Extremum hat, dann existiert entweder f’(x 0)=0 oder f’(x 0) nicht.
An den Extrempunkten der differenzierbaren Funktion verläuft die Tangente an ihren Graphen parallel zur Ox-Achse.

Algorithmus zur Untersuchung einer Funktion für ein Extremum:

1) Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2) Kritische Punkte finden, d.h. Punkte, an denen die Funktion stetig ist und die Ableitung Null ist oder nicht existiert.
3) Betrachten Sie die Umgebung jedes Punktes und untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von diesem Punkt.
4) Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrempunkte für diesen Wert kritische Punkte in diese Funktion ersetzen. Ziehen Sie unter Verwendung ausreichender Bedingungen für das Extremum die entsprechenden Schlussfolgerungen.

Beispiel 18. Untersuchen Sie die Funktion y=x 3 -9x 2 +24x auf ein Extremum

Lösung.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Wenn wir die Ableitung mit Null gleichsetzen, finden wir x 1 =2, x 2 =4. In diesem Fall ist die Ableitung überall definiert; Das bedeutet, dass es außer den beiden gefundenen Punkten keine weiteren kritischen Punkte gibt.
3) Das Vorzeichen der Ableitung y"=3(x-2)(x-4) ändert sich je nach Intervall, wie in Abbildung 1 dargestellt. Beim Durchgang durch den Punkt x=2 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von Plus nach Minus. und beim Durchgang durch den Punkt x=4 - von Minus nach Plus.
4) Am Punkt x=2 hat die Funktion ein Maximum y max =20 und am Punkt x=4 - ein Minimum y min =16.

Satz 3. (2. hinreichende Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Sei f"(x 0) und am Punkt x 0 existiert f""(x 0). Wenn dann f""(x 0)>0, dann ist x 0 der Minimalpunkt, und wenn f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Auf einem Segment kann die Funktion y=f(x) entweder an den im Intervall (a;b) liegenden kritischen Punkten der Funktion den kleinsten (y der kleinste) oder den größten (y der höchste) Wert erreichen die Enden des Segments.

Algorithmus zum Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer stetigen Funktion y=f(x) auf dem Segment:

1) Finden Sie f"(x).
2) Finden Sie die Punkte, an denen f"(x)=0 oder f"(x) nicht existiert, und wählen Sie daraus diejenigen aus, die innerhalb des Segments liegen.
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion y=f(x) an den in Schritt 2) erhaltenen Punkten sowie an den Enden des Segments und wählen Sie daraus den größten und den kleinsten aus: Sie sind jeweils die größten (y der größte) und der kleinste (y der kleinste) Wert der Funktion im Intervall.

Beispiel 19. Finden Sie den größten Wert der stetigen Funktion y=x 3 -3x 2 -45+225 auf dem Segment.

1) Wir haben y"=3x 2 -6x-45 auf dem Segment
2) Die Ableitung y" existiert für alle x. Suchen wir die Punkte, an denen y"=0; wir bekommen:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Punkten x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Das Segment enthält nur den Punkt x=5. Der größte der gefundenen Werte der Funktion ist 225 und der kleinste ist die Zahl 50. Also, y max = 225, y min = 50.

Untersuchung einer Funktion auf Konvexität

Die Abbildung zeigt Diagramme zweier Funktionen. Der erste von ihnen ist nach oben konvex, der zweite nach unten.

Die Funktion y=f(x), die auf der Strecke stetig und im Intervall (a;b) differenzierbar ist, heißt auf dieser Strecke konvex nach oben (nach unten), wenn ihr Graph für axb nicht höher (nicht tiefer) als liegt Tangente, die an einem beliebigen Punkt M 0 (x 0 ;f(x 0)) gezogen wird, wobei axb.

Satz 4. Die Funktion y=f(x) habe an jedem inneren Punkt x des Segments eine zweite Ableitung und sei an den Enden dieses Segments stetig. Wenn dann die Ungleichung f""(x)0 auf dem Intervall (a;b) gilt, dann ist die Funktion auf dem Intervall nach unten konvex; gilt die Ungleichung f""(x)0 für das Intervall (a;b), dann ist die Funktion aufwärts konvex.

Satz 5. Wenn die Funktion y=f(x) eine zweite Ableitung auf dem Intervall (a;b) hat und wenn sie beim Durchgang durch den Punkt x 0 das Vorzeichen ändert, dann ist M(x 0 ;f(x 0)). ein Wendepunkt.

Regel zum Finden von Wendepunkten:

1) Finden Sie die Punkte, an denen f""(x) nicht existiert oder verschwindet.
2) Untersuchen Sie das Zeichen f""(x) links und rechts von jedem im ersten Schritt gefundenen Punkt.
3) Ziehen Sie basierend auf Satz 4 eine Schlussfolgerung.

Beispiel 20. Finden Sie die Extrempunkte und Wendepunkte des Graphen der Funktion y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Wir haben f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Offensichtlich ist f"(x)=0, wenn x 1 =0, x 2 =1. Beim Durchgang durch den Punkt x=0 ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, beim Durchgang durch den Punkt x=1 ändert sie das Vorzeichen jedoch nicht. Das bedeutet, dass x=0 der Minimalpunkt ist (y min =12) und es am Punkt x=1 kein Extremum gibt. Als nächstes finden wir . Die zweite Ableitung verschwindet an den Punkten x 1 =1, x 2 =1/3. Die Vorzeichen der zweiten Ableitung ändern sich wie folgt: Auf dem Strahl (-∞;) gilt f""(x)>0, auf dem Intervall (;1) gilt f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Daher ist x= der Wendepunkt des Funktionsgraphen (Übergang von der Konvexität nach unten zur Konvexität nach oben) und x=1 ist auch der Wendepunkt (Übergang von der Konvexität nach oben zur Konvexität nach unten). Wenn x=, dann y=; wenn, dann x=1, y=13.

Algorithmus zum Finden der Asymptote eines Graphen

I. Wenn y=f(x) für x → a, dann ist x=a eine vertikale Asymptote.
II. Wenn y=f(x) für x → ∞ oder x → -∞, dann ist y=A eine horizontale Asymptote.
III. Um die schräge Asymptote zu finden, verwenden wir den folgenden Algorithmus:
1) Berechnen. Wenn der Grenzwert existiert und gleich b ist, dann ist y=b eine horizontale Asymptote; Wenn ja, fahren Sie mit dem zweiten Schritt fort.
2) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich k ist, fahren Sie mit dem dritten Schritt fort.
3) Berechnen. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert, gibt es keine Asymptote; Wenn es existiert und gleich b ist, fahren Sie mit dem vierten Schritt fort.
4) Schreiben Sie die Gleichung der schrägen Asymptote y=kx+b auf.

Beispiel 21: Finden Sie die Asymptote für eine Funktion

1)
2)
3)
4) Die Gleichung der schiefen Asymptote hat die Form

Schema zum Studieren einer Funktion und zum Erstellen ihres Graphen

I. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.
II. Finden Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.
III. Finden Sie Asymptoten.
IV. Finden Sie mögliche Extrempunkte.
V. Finden Sie kritische Punkte.
VI. Untersuchen Sie anhand der Hilfsfigur das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Bestimmen Sie Bereiche mit zunehmender und abnehmender Funktion, ermitteln Sie die Konvexitätsrichtung des Diagramms, Extrempunkte und Wendepunkte.
VII. Erstellen Sie ein Diagramm und berücksichtigen Sie dabei die in den Absätzen 1–6 durchgeführten Untersuchungen.

Beispiel 22: Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion gemäß dem obigen Diagramm

Lösung.
I. Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen außer x=1.
II. Da die Gleichung x 2 +1=0 keine echten Wurzeln hat, hat der Graph der Funktion keine Schnittpunkte mit der Ox-Achse, sondern schneidet die Oy-Achse im Punkt (0;-1).
III. Lassen Sie uns die Frage nach der Existenz von Asymptoten klären. Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion in der Nähe des Diskontinuitätspunkts x=1 untersuchen. Da y → ∞ als x → -∞, y → +∞ als x → 1+, dann ist die Gerade x=1 die vertikale Asymptote des Graphen der Funktion.
Wenn x → +∞(x → -∞), dann y → +∞(y → -∞); Daher hat der Graph keine horizontale Asymptote. Weiter aus der Existenz von Grenzen

Wenn wir die Gleichung x 2 -2x-1=0 lösen, erhalten wir zwei mögliche Extrempunkte:
x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2

V. Um die kritischen Punkte zu finden, berechnen wir die zweite Ableitung:

Da f""(x) nicht verschwindet, gibt es keine kritischen Punkte.
VI. Untersuchen wir das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung. Mögliche zu berücksichtigende Extrempunkte: x 1 =1-√2 und x 2 =1+√2, teilen Sie den Existenzbereich der Funktion in Intervalle (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) und (1+√2;+∞).

In jedem dieser Intervalle behält die Ableitung ihr Vorzeichen: im ersten - Plus, im zweiten - Minus, im dritten - Plus. Die Vorzeichenfolge der ersten Ableitung wird wie folgt geschrieben: +,-,+.
Wir stellen fest, dass die Funktion bei (-∞;1-√2) zunimmt, bei (1-√2;1+√2) abnimmt und bei (1+√2;+∞) wieder zunimmt. Extrempunkte: Maximum bei x=1-√2 und f(1-√2)=2-2√2 Minimum bei x=1+√2 und f(1+√2)=2+2√2. Bei (-∞;1) ist der Graph nach oben konvex und bei (1;+∞) nach unten konvex.
VII Lassen Sie uns eine Tabelle der erhaltenen Werte erstellen

VIII Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir eine Skizze des Funktionsgraphen

Anweisungen

Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion. Beispielsweise ist die Funktion sin(x) über das gesamte Intervall von -∞ bis +∞ definiert, und die Funktion 1/x ist von -∞ bis +∞ definiert, mit Ausnahme des Punktes x = 0.

Identifizieren Sie Kontinuitätsbereiche und Diskontinuitätspunkte. Normalerweise ist eine Funktion in demselben Bereich stetig, in dem sie definiert ist. Um Diskontinuitäten zu erkennen, muss man berechnen, wie sich das Argument isolierten Punkten innerhalb des Definitionsbereichs nähert. Beispielsweise strebt die Funktion 1/x gegen Unendlich, wenn x→0+, und gegen minus Unendlich, wenn x→0-. Das bedeutet, dass es im Punkt x = 0 eine Diskontinuität zweiter Art gibt.
Sind die Grenzen an der Unstetigkeitsstelle endlich, aber nicht gleich, dann handelt es sich um eine Unstetigkeit erster Art. Wenn sie gleich sind, gilt die Funktion als stetig, obwohl sie nicht an einem isolierten Punkt definiert ist.

Finden Sie ggf. vertikale Asymptoten. Dabei helfen Ihnen die Berechnungen aus dem vorherigen Schritt, da die vertikale Asymptote fast immer an der Unstetigkeitsstelle zweiter Art liegt. Manchmal werden jedoch nicht einzelne Punkte, sondern ganze Punktintervalle aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, und an den Rändern dieser Intervalle können dann die vertikalen Asymptoten liegen.

Überprüfen Sie, ob die Funktion spezielle Eigenschaften hat: gerade, ungerade und periodisch.
Die Funktion ist gerade, wenn für jedes x im Definitionsbereich f(x) = f(-x) gilt. Beispielsweise sind cos(x) und x^2 gerade Funktionen.

Periodizität ist eine Eigenschaft, die besagt, dass es eine bestimmte Zahl T, eine sogenannte Periode, gibt, die für jedes x f(x) = f(x + T) gilt. Beispielsweise sind alle grundlegenden trigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens) periodisch.

Finden Sie die Punkte. Berechnen Sie dazu die Ableitung der gegebenen Funktion und finden Sie die Werte von x, bei denen es Null wird. Beispielsweise hat die Funktion f(x) = x^3 + 9x^2 -15 eine Ableitung g(x) = 3x^2 + 18x, die bei x = 0 und x = -6 verschwindet.

Um zu bestimmen, welche Extrempunkte Maxima und welche Minima sind, verfolgen Sie die Änderung der Vorzeichen der Ableitung an den gefundenen Nullstellen. g(x) ändert das Vorzeichen von Plus am Punkt x = -6 und am Punkt x = 0 zurück von Minus nach Plus. Folglich hat die Funktion f(x) ein Minimum am ersten Punkt und ein Minimum am zweiten.

Somit haben Sie auch Bereiche der Monotonie gefunden: f(x) steigt monoton auf dem Intervall -∞;-6, nimmt monoton auf -6;0 ab und nimmt auf 0;+∞ wieder zu.

Finden Sie die zweite Ableitung. Seine Wurzeln zeigen, wo der Graph einer gegebenen Funktion konvex und wo er konkav ist. Die zweite Ableitung der Funktion f(x) ist beispielsweise h(x) = 6x + 18. Sie geht bei x = -3 gegen Null und ändert das Vorzeichen von Minus nach Plus. Folglich wird der Graph von f(x) vor diesem Punkt konvex sein, danach konkav, und dieser Punkt selbst wird ein Wendepunkt sein.

Eine Funktion kann neben vertikalen Asymptoten auch andere Asymptoten haben, jedoch nur, wenn ihr Definitionsbereich Folgendes umfasst. Um sie zu finden, berechnen Sie den Grenzwert von f(x), wenn x→∞ oder x→-∞. Wenn sie endlich ist, haben Sie die horizontale Asymptote gefunden.

Die schräge Asymptote ist eine Gerade der Form kx + b. Um k zu finden, berechnen Sie den Grenzwert von f(x)/x als x→∞. Um den b-Grenzwert (f(x) – kx) für dasselbe x→∞ zu finden.

Heute laden wir Sie ein, mit uns einen Funktionsgraphen zu erkunden und zu erstellen. Nachdem Sie diesen Artikel sorgfältig studiert haben, müssen Sie nicht lange schwitzen, um diese Art von Aufgabe zu erledigen. Es ist nicht einfach, einen Funktionsgraphen zu studieren und zu erstellen; es ist eine umfangreiche Arbeit, die maximale Aufmerksamkeit und Genauigkeit der Berechnungen erfordert. Um den Stoff verständlicher zu machen, werden wir die gleiche Funktion Schritt für Schritt studieren und alle unsere Aktionen und Berechnungen erklären. Willkommen in der erstaunlichen und faszinierenden Welt der Mathematik! Gehen!

Domain

Um eine Funktion zu untersuchen und grafisch darzustellen, müssen Sie mehrere Definitionen kennen. Funktion ist eines der wichtigsten (Grund-)Konzepte der Mathematik. Es spiegelt die Abhängigkeit zwischen mehreren Variablen (zwei, drei oder mehr) bei Änderungen wider. Die Funktion zeigt auch die Abhängigkeit von Mengen.

Stellen Sie sich vor, wir haben zwei Variablen, die einen bestimmten Änderungsbereich aufweisen. Y ist also eine Funktion von x, vorausgesetzt, dass jeder Wert der zweiten Variablen einem Wert der zweiten entspricht. In diesem Fall ist die Variable y abhängig und wird Funktion genannt. Es ist üblich zu sagen, dass die Variablen x und y in sind. Zur besseren Verdeutlichung dieser Abhängigkeit wird ein Graph der Funktion erstellt. Was ist ein Graph einer Funktion? Dies ist eine Menge von Punkten auf der Koordinatenebene, wobei jeder x-Wert einem y-Wert entspricht. Diagramme können unterschiedlich sein – Gerade, Hyperbel, Parabel, Sinuswelle usw.

Es ist unmöglich, eine Funktion ohne Recherche grafisch darzustellen. Heute lernen wir, wie man Forschung durchführt und einen Graphen einer Funktion erstellt. Es ist sehr wichtig, sich während des Studiums Notizen zu machen. Dadurch wird die Bewältigung der Aufgabe deutlich erleichtert. Der bequemste Forschungsplan:

1. Domain.
2. Kontinuität.
3. Gerade oder ungerade.
4. Periodizität.
5. Asymptoten.
6. Nullen.
7. Zeichenkonstanz.
8. Zunehmend und abnehmend.
9. Extreme.
10. Konvexität und Konkavität.

Beginnen wir mit dem ersten Punkt. Finden wir den Definitionsbereich, also die Intervalle, in denen unsere Funktion existiert: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). In unserem Fall existiert die Funktion für alle Werte von x, das heißt, der Definitionsbereich ist gleich R. Dies kann wie folgt geschrieben werden: xÎR.

Kontinuität

Jetzt untersuchen wir die Diskontinuitätsfunktion. In der Mathematik entstand der Begriff „Kontinuität“ als Ergebnis des Studiums der Bewegungsgesetze. Was ist unendlich? Raum, Zeit, einige Abhängigkeiten (ein Beispiel ist die Abhängigkeit der Variablen S und t bei Bewegungsproblemen), die Temperatur eines erhitzten Objekts (Wasser, Bratpfanne, Thermometer usw.), eine durchgehende Linie (also eine, die kann gezeichnet werden, ohne es vom Blatt abzuheben (Bleistift).

Ein Graph gilt als kontinuierlich, wenn er nicht irgendwann abbricht. Eines der offensichtlichsten Beispiele für einen solchen Graphen ist eine Sinuskurve, die Sie im Bild in diesem Abschnitt sehen können. Eine Funktion ist an einem Punkt x0 stetig, wenn eine Reihe von Bedingungen erfüllt sind:

• eine Funktion ist an einem bestimmten Punkt definiert;
• die rechten und linken Grenzen an einem Punkt sind gleich;
• der Grenzwert ist gleich dem Wert der Funktion am Punkt x0.

Wenn mindestens eine Bedingung nicht erfüllt ist, gilt die Funktion als fehlgeschlagen. Und die Punkte, an denen die Funktion unterbrochen wird, werden normalerweise als Unterbrechungspunkte bezeichnet. Ein Beispiel für eine Funktion, die bei der grafischen Darstellung „abbricht“, ist: y=(x+4)/(x-3). Darüber hinaus existiert y am Punkt x = 3 nicht (da eine Division durch Null unmöglich ist).

In der Funktion, die wir untersuchen (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) erwies sich alles als einfach, da der Graph stetig sein wird.

Gerade ungerade

Untersuchen Sie nun die Funktion auf Parität. Zunächst eine kleine Theorie. Eine gerade Funktion erfüllt die Bedingung f(-x)=f(x) für jeden Wert der Variablen x (aus dem Wertebereich). Beispiele beinhalten:

• Modul x (der Graph sieht aus wie eine Daw, die Winkelhalbierende des ersten und zweiten Viertels des Graphen);
• x im Quadrat (Parabel);
• Kosinus x (Kosinus).

Beachten Sie, dass alle diese Diagramme symmetrisch sind, wenn sie in Bezug auf die y-Achse (d. h. die y-Achse) betrachtet werden.

Was nennt man dann eine ungerade Funktion? Dies sind jene Funktionen, die die Bedingung f(-x)=-f(x) für jeden Wert der Variablen x erfüllen. Beispiele:

• Hyperbel;
• kubische Parabel;
• Sinusoid;
• Tangente und so weiter.

Bitte beachten Sie, dass diese Funktionen symmetrisch zum Punkt (0:0), also zum Ursprung, sind. Basierend auf dem, was in diesem Abschnitt des Artikels gesagt wurde, müssen eine gerade und eine ungerade Funktion die Eigenschaft haben: x gehört zur Definitionsmenge und auch -x.

Lassen Sie uns die Funktion auf Parität untersuchen. Wir können sehen, dass sie auf keine der Beschreibungen passt. Daher ist unsere Funktion weder gerade noch ungerade.

Asymptoten

Beginnen wir mit einer Definition. Eine Asymptote ist eine Kurve, die möglichst nahe am Graphen liegt, d. h. der Abstand von einem bestimmten Punkt geht gegen Null. Insgesamt gibt es drei Arten von Asymptoten:

• vertikal, also parallel zur y-Achse;
• horizontal, also parallel zur x-Achse;
• geneigt.

Was den ersten Typ betrifft, sollte an einigen Stellen nach diesen Zeilen gesucht werden:

• Lücke;
• Enden des Definitionsbereichs.

In unserem Fall ist die Funktion stetig und der Definitionsbereich ist gleich R. Folglich gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Der Graph einer Funktion hat eine horizontale Asymptote, die die folgende Anforderung erfüllt: wenn x gegen Unendlich oder minus Unendlich tendiert und der Grenzwert einer bestimmten Zahl entspricht (z. B. a). In diesem Fall ist y=a die horizontale Asymptote. In der von uns untersuchten Funktion gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Eine schräge Asymptote existiert nur, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Dann kann es mit der Formel y=kx+b ermittelt werden. Auch in unserem Fall gibt es keine schrägen Asymptoten.

Funktionsnullstellen

Der nächste Schritt besteht darin, den Graphen der Funktion auf Nullstellen zu untersuchen. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass die Aufgabe, die Nullstellen einer Funktion zu finden, nicht nur beim Studium und Aufbau eines Funktionsgraphen auftritt, sondern auch als eigenständige Aufgabe und als Möglichkeit zur Lösung von Ungleichungen. Möglicherweise müssen Sie die Nullstellen einer Funktion in einem Diagramm finden oder die mathematische Notation verwenden.

Das Ermitteln dieser Werte wird Ihnen helfen, die Funktion genauer darzustellen. Vereinfacht ausgedrückt ist der Nullpunkt einer Funktion der Wert der Variablen x, bei dem y = 0 ist. Wenn Sie in einem Diagramm nach den Nullstellen einer Funktion suchen, sollten Sie auf die Punkte achten, an denen sich das Diagramm mit der x-Achse schneidet.

Um die Nullstellen der Funktion zu finden, müssen Sie die folgende Gleichung lösen: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nach Durchführung der notwendigen Berechnungen erhalten wir folgende Antwort:

Zeichenkonstanz

Die nächste Stufe der Forschung und Konstruktion einer Funktion (Graph) besteht darin, Intervalle mit konstantem Vorzeichen zu finden. Das bedeutet, dass wir bestimmen müssen, in welchen Intervallen die Funktion einen positiven Wert und in welchen Intervallen sie einen negativen Wert annimmt. Die im letzten Abschnitt gefundenen Nullfunktionen helfen uns dabei. Wir müssen also eine gerade Linie erstellen (getrennt vom Diagramm) und die Nullstellen der Funktion in der richtigen Reihenfolge vom kleinsten zum größten entlang dieser Linie verteilen. Jetzt müssen Sie bestimmen, welches der resultierenden Intervalle ein „+“-Zeichen und welches ein „-“ hat.

In unserem Fall nimmt die Funktion in Intervallen einen positiven Wert an:

• von 1 bis 4;
• von 9 bis unendlich.

Negative Bedeutung:

• von minus unendlich bis 1;
• von 4 bis 9.

Das lässt sich ganz einfach feststellen. Setzen Sie eine beliebige Zahl aus dem Intervall in die Funktion ein und sehen Sie, welches Vorzeichen die Antwort hat (Minus oder Plus).

Zunehmende und abnehmende Funktion

Um eine Funktion zu untersuchen und zu konstruieren, müssen wir wissen, wo der Graph ansteigt (entlang der Oy-Achse nach oben geht) und wo er abfällt (entlang der y-Achse nach unten kriecht).

Eine Funktion nimmt nur dann zu, wenn ein größerer Wert der Variablen x einem größeren Wert von y entspricht. Das heißt, x2 ist größer als x1 und f(x2) ist größer als f(x1). Und wir beobachten ein völlig entgegengesetztes Phänomen mit einer abnehmenden Funktion (je mehr x, desto weniger y). Um die Intervalle der Zunahme und Abnahme zu bestimmen, müssen Sie Folgendes herausfinden:

• Definitionsbereich (wir haben ihn bereits);
• Ableitung (in unserem Fall: 1/3(3x^2-28x+49);
• Lösen Sie die Gleichung 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nach Berechnungen erhalten wir das Ergebnis:

Wir erhalten: Die Funktion nimmt in den Intervallen von minus Unendlich bis 7/3 und von 7 bis Unendlich zu und in dem Intervall von 7/3 bis 7 ab.

Extreme

Die untersuchte Funktion y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ist stetig und existiert für jeden Wert der Variablen x. Der Extrempunkt zeigt das Maximum und Minimum einer bestimmten Funktion. In unserem Fall gibt es keine, was die Konstruktionsaufgabe erheblich vereinfacht. Ansonsten können sie auch mit der Ableitungsfunktion ermittelt werden. Sobald Sie sie gefunden haben, vergessen Sie nicht, sie auf der Karte zu markieren.

Konvexität und Konkavität

Wir untersuchen die Funktion y(x) weiter. Jetzt müssen wir es auf Konvexität und Konkavität prüfen. Die Definitionen dieser Konzepte sind recht schwer zu verstehen, es ist besser, alles anhand von Beispielen zu analysieren. Zum Test: Eine Funktion ist konvex, wenn sie eine nicht fallende Funktion ist. Stimmen Sie zu, das ist unverständlich!

Wir müssen die Ableitung einer Funktion zweiter Ordnung finden. Wir erhalten: y=1/3(6x-28). Setzen wir nun die rechte Seite mit Null gleich und lösen die Gleichung. Antwort: x=14/3. Wir haben den Wendepunkt gefunden, also den Ort, an dem der Graph von der Konvexität zur Konkavität wechselt oder umgekehrt. Im Intervall von minus Unendlich bis 14/3 ist die Funktion konvex, und von 14/3 bis plus Unendlich ist sie konkav. Es ist auch sehr wichtig zu beachten, dass der Wendepunkt im Diagramm glatt und weich sein sollte und keine scharfen Ecken vorhanden sein sollte.

Zusätzliche Punkte definieren

Unsere Aufgabe besteht darin, die Funktion zu untersuchen und einen Graphen zu erstellen. Wir haben die Studie abgeschlossen; die Erstellung eines Graphen der Funktion ist jetzt nicht mehr schwierig. Für eine genauere und detailliertere Wiedergabe einer Kurve oder Geraden auf der Koordinatenebene können Sie mehrere Hilfspunkte finden. Sie sind recht einfach zu berechnen. Nehmen wir zum Beispiel x=3, lösen die resultierende Gleichung und finden y=4. Oder x=5 und y=-5 und so weiter. Sie können so viele Zusatzpunkte nehmen, wie Sie für den Bau benötigen. Mindestens 3-5 davon werden gefunden.

Zeichnen eines Diagramms

Wir mussten die Funktion (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y untersuchen. Alle notwendigen Markierungen während der Berechnungen wurden auf der Koordinatenebene vorgenommen. Jetzt müssen Sie nur noch ein Diagramm erstellen, also alle Punkte verbinden. Das Verbinden der Punkte sollte reibungslos und genau erfolgen, das ist eine Frage der Geschicklichkeit – ein wenig Übung und Ihr Zeitplan werden perfekt sein.

Führen Sie eine vollständige Studie durch und zeichnen Sie die Funktion grafisch auf

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Der Umfang der Funktion. Da die Funktion ein Bruch ist, müssen wir die Nullstellen des Nenners finden.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Wir schließen den einzigen Punkt x=1x=1 aus dem Definitionsbereich der Funktion aus und erhalten:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Lassen Sie uns das Verhalten der Funktion in der Nähe des Unstetigkeitspunkts untersuchen. Finden wir einseitige Grenzen:

Da die Grenzen gleich unendlich sind, ist der Punkt x=1x=1 eine Unstetigkeit zweiter Art, die Gerade x=1x=1 eine vertikale Asymptote.

3) Bestimmen wir die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.

Finden wir die Schnittpunkte mit der Ordinatenachse OyOy, für die wir x=0x=0 setzen:

Somit hat der Schnittpunkt mit der OyOy-Achse die Koordinaten (0;8)(0;8).

Finden wir die Schnittpunkte mit der Abszissenachse OxOx, für die wir y=0y=0 setzen:

Die Gleichung hat keine Wurzeln, daher gibt es keine Schnittpunkte mit der OxOx-Achse.

Beachten Sie, dass x2+8>0x2+8>0 für jedes xx gilt. Daher ist für x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) die Funktion y>0y>0 (nimmt positive Werte an, der Graph liegt über der x-Achse), für x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) Funktion y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, weil:

5) Untersuchen wir die Funktion auf Periodizität. Die Funktion ist nicht periodisch, da es sich um eine gebrochenrationale Funktion handelt.

6) Untersuchen wir die Funktion auf Extrema und Monotonie. Dazu ermitteln wir die erste Ableitung der Funktion:

Setzen wir die erste Ableitung mit Null gleich und finden stationäre Punkte(wobei y′=0y′=0):

Wir haben drei kritische Punkte: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Teilen wir den gesamten Definitionsbereich der Funktion mit diesen Punkten in Intervalle auf und bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall:

Für x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ist die Ableitung y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Für x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) der Ableitung y′>0y′>0 nimmt die Funktion in diesen Intervallen zu.

In diesem Fall ist x=−2x=−2 ein lokaler Minimalpunkt (die Funktion nimmt ab und dann zu), x=4x=4 ist ein lokaler Maximalpunkt (die Funktion nimmt zu und dann ab).

Suchen wir die Werte der Funktion an diesen Punkten:

Somit ist der minimale Punkt (−2;4)(−2;4), der maximale Punkt ist (4;−8)(4;−8).

7) Lassen Sie uns die Funktion auf Knicke und Konvexität untersuchen. Finden wir die zweite Ableitung der Funktion:

Setzen wir die zweite Ableitung mit Null gleich:

Die resultierende Gleichung hat keine Wurzeln, daher gibt es keine Wendepunkte. Wenn außerdem x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 erfüllt ist, d. h. die Funktion konkav ist, wenn x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) wird durch y'' erfüllt<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Untersuchen wir das Verhalten der Funktion im Unendlichen, also bei .

Da die Grenzen unendlich sind, gibt es keine horizontalen Asymptoten.

Versuchen wir, schräge Asymptoten der Form y=kx+by=kx+b zu bestimmen. Wir berechnen die Werte von k,bk,b mit bekannten Formeln:

Wir haben herausgefunden, dass die Funktion eine schräge Asymptote y=−x−1y=−x−1 hat.

9) Zusätzliche Punkte. Berechnen wir den Wert der Funktion an einigen anderen Punkten, um den Graphen genauer zu erstellen.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Basierend auf den erhaltenen Daten erstellen wir einen Graphen, ergänzen ihn mit den Asymptoten x=1x=1 (blau), y=−x−1y=−x−1 (grün) und markieren die charakteristischen Punkte (lila Schnittpunkt mit der Ordinate). Achse, orangefarbene Extrema, schwarze Zusatzpunkte):

Aufgabe 4: Geometrische, wirtschaftliche Probleme (ich habe keine Ahnung, was, hier ist eine ungefähre Auswahl von Problemen mit Lösungen und Formeln)

Beispiel 3.23. A

Lösung. X Und j j
y = a - 2×a/4 =a/2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S " > 0 und für x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет Höchster Wert Funktionen. Somit ist das günstigste Seitenverhältnis der Site unter den gegebenen Bedingungen des Problems y = 2x.

Beispiel 3.24.

Lösung.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Beispiel 3.22. Finden Sie die Extrema der Funktion f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Lösung. Da f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), dann sind die kritischen Punkte der Funktion x 1 = 2 und x 2 = 3. Extrema können nur bei liegen Diese Punkte. Wenn also die Ableitung beim Durchgang durch den Punkt x 1 = 2 ihr Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, hat die Funktion an diesem Punkt ein Maximum. Beim Durchgang durch den Punkt x 2 = 3 ändert die Ableitung ihr Vorzeichen von Minus zu plus, daher hat die Funktion am Punkt x 2 = 3 ein Minimum. Nachdem wir die Funktionswerte an den Punkten berechnet haben
x 1 = 2 und x 2 = 3, wir finden die Extrema der Funktion: Maximum f(2) = 14 und Minimum f(3) = 13.

Beispiel 3.23. Wir müssen in der Nähe eine rechteckige Plattform bauen Steinwand so dass es an drei Seiten mit Drahtgeflecht eingezäunt ist und die vierte Seite an die Wand angrenzt. Dafür gibt es A Laufmeter Gitter Welches Seitenverhältnis wird die Website haben? größte Fläche?

Lösung. Bezeichnen wir die Seiten der Plattform mit X Und j. Die Fläche des Geländes beträgt S = xy. Lassen j- Dies ist die Länge der Seite neben der Wand. Dann muss aufgrund der Bedingung die Gleichheit 2x + y = a gelten. Daher ist y = a - 2x und S = x(a - 2x), wobei
0 ≤ x ≤ a/2 (die Länge und Breite des Pads dürfen nicht negativ sein). S " = a - 4x, a - 4x = 0 bei x = a/4, daher
y = a - 2×a/4 =a/2. Da x = a/4 der einzige kritische Punkt ist, prüfen wir, ob sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert. Für xa/4 S " > 0 und für x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Beispiel 3.24. Es ist erforderlich, einen geschlossenen zylindrischen Tank mit einem Fassungsvermögen von V=16p ≈ 50 m 3 herzustellen. Welche Abmessungen sollte der Tank haben (Radius R und Höhe H), damit er hergestellt werden kann? geringste Menge Material?

Lösung. Quadrat Vollflächig Zylinder ist gleich S = 2pR(R+H). Wir kennen das Volumen des Zylinders V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Das bedeutet S(R) = 2p(R 2 +16/R). Wir finden die Ableitung dieser Funktion:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 für R 3 = 8, daher
R = 2, H = 16/4 = 4.

Verwandte Informationen.

Wenn das Problem eine vollständige Untersuchung der Funktion f (x) = x 2 4 x 2 - 1 mit der Konstruktion ihres Graphen erfordert, werden wir dieses Prinzip im Detail betrachten.

Um das Problem zu lösen dieser Art Eigenschaften und Diagramme der wichtigsten elementare Funktionen. Der Forschungsalgorithmus umfasst die folgenden Schritte:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Den Definitionsbereich finden

Da die Forschung auf dem Definitionsbereich der Funktion durchgeführt wird, ist es notwendig, mit diesem Schritt zu beginnen.

Beispiel 1

Hinter dieses Beispiel Dabei geht es darum, die Nullstellen des Nenners zu finden, um sie aus der ODZ auszuschließen.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Als Ergebnis können Sie Wurzeln, Logarithmen usw. erhalten. Anschließend kann die ODZ nach der Wurzel durchsucht werden sogar Grad Typ g (x) 4 durch die Ungleichung g (x) ≥ 0, für Logarithmus-Log a g (x) durch die Ungleichung g (x) > 0.

Untersuchung der Grenzen der ODZ und Suche nach vertikalen Asymptoten

An den Grenzen der Funktion gibt es vertikale Asymptoten, wenn die einseitigen Grenzen an solchen Punkten unendlich sind.

Beispiel 2

Betrachten Sie beispielsweise die Grenzpunkte gleich x = ± 1 2.

Dann ist es notwendig, die Funktion zu untersuchen, um den einseitigen Grenzwert zu finden. Dann erhalten wir Folgendes: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Dies zeigt, dass die einseitigen Grenzen unendlich sind, was bedeutet, dass die Geraden x = ± 1 2 die vertikalen Asymptoten des Graphen sind.

Untersuchung einer Funktion und ob sie gerade oder ungerade ist

Wenn die Bedingung y (- x) = y (x) erfüllt ist, gilt die Funktion als gerade. Dies legt nahe, dass der Graph symmetrisch bezüglich Oy liegt. Wenn die Bedingung y (- x) = - y (x) erfüllt ist, wird die Funktion als ungerade betrachtet. Dies bedeutet, dass die Symmetrie relativ zum Koordinatenursprung ist. Wenn mindestens eine Ungleichung nicht erfüllt ist, erhalten wir eine Funktion allgemeiner Form.

Die Gleichheit y (- x) = y (x) zeigt an, dass die Funktion gerade ist. Bei der Konstruktion muss berücksichtigt werden, dass eine Symmetrie bezüglich Oy vorliegt.

Um die Ungleichung zu lösen, werden zunehmende und abnehmende Intervalle mit den Bedingungen f " (x) ≥ 0 bzw. f " (x) ≤ 0 verwendet.

Definition 1

Stationäre Punkte- Dies sind die Punkte, die die Ableitung auf Null bringen.

Kritische Punkte- Das Innenpunkte aus dem Definitionsbereich, in dem die Ableitung der Funktion Null ist oder nicht existiert.

Bei der Entscheidungsfindung sind folgende Hinweise zu beachten:

• für bestehende Intervalle zunehmender und abnehmender Ungleichungen der Form f " (x) > 0 werden kritische Punkte nicht in die Lösung einbezogen;
• Punkte, an denen die Funktion ohne endliche Ableitung definiert ist, müssen in den Intervallen der Zunahme und Abnahme enthalten sein (z. B. y = x 3, wobei der Punkt x = 0 die Funktion definiert, die Ableitung hat dabei den Wert Unendlich). Punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 ist im zunehmenden Intervall enthalten);
• Um Meinungsverschiedenheiten zu vermeiden, wird empfohlen, vom Bildungsministerium empfohlene mathematische Literatur zu verwenden.

Einbeziehung kritischer Punkte in zunehmende und abnehmende Intervalle, wenn sie den Definitionsbereich der Funktion erfüllen.

Definition 2

Für Um die Intervalle der Zunahme und Abnahme einer Funktion zu bestimmen, ist es notwendig, sie zu finden:

• Derivat;
• kritische Punkte;
• Teilen Sie den Definitionsbereich mithilfe kritischer Punkte in Intervalle auf.
• Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung in jedem der Intervalle, wobei + eine Zunahme und – eine Abnahme ist.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung im Definitionsbereich f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Lösung

Zur Lösung benötigen Sie:

• finde stationäre Punkte, dieses Beispiel hat x = 0;
• Finden Sie die Nullstellen des Nenners. Das Beispiel nimmt den Wert Null bei x = ± 1 2 an.

Wir platzieren Punkte auf dem Zahlenstrahl, um die Ableitung für jedes Intervall zu bestimmen. Dazu genügt es, einen beliebigen Punkt aus dem Intervall zu nehmen und eine Berechnung durchzuführen. Bei positives Ergebnis In der Grafik stellen wir + dar, was bedeutet, dass die Funktion zunimmt, und – bedeutet, dass sie abnimmt.

Zum Beispiel ist f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, was bedeutet, dass das erste Intervall links ein +-Zeichen hat. Betrachten Sie die Zahlengeraden.

Antwort:

• die Funktion nimmt im Intervall - ∞ zu; - 1 2 und (- 1 2 ; 0 ] ;
• es kommt zu einer Verkleinerung des Intervalls [ 0 ; 1 2) und 1 2 ; + ∞ .

Im Diagramm werden mit + und - die Positivität und Negativität der Funktion dargestellt, und die Pfeile zeigen Abnahme und Zunahme an.

Extremumpunkte einer Funktion sind Punkte, an denen die Funktion definiert ist und durch die die Ableitung das Vorzeichen ändert.

Beispiel 4

Wenn wir ein Beispiel betrachten, bei dem x = 0, dann ist der Wert der darin enthaltenen Funktion gleich f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von + nach - ändert und durch den Punkt x = 0 verläuft, wird der Punkt mit den Koordinaten (0; 0) als Maximalpunkt betrachtet. Wenn das Vorzeichen von - auf + wechselt, erhalten wir einen Mindestpunkt.

Konvexität und Konkavität werden durch Lösen von Ungleichungen der Form f "" (x) ≥ 0 und f "" (x) ≤ 0 bestimmt. Weniger häufig verwendet wird die Bezeichnung Konvexität nach unten statt Konkavität und Konvexität nach oben statt Konvexität.

Definition 3

Für Bestimmung der Intervalle von Konkavität und Konvexität notwendig:

• finde die zweite Ableitung;
• Finden Sie die Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion.
• Teilen Sie den Definitionsbereich mit den erscheinenden Punkten in Intervalle auf.
• Bestimmen Sie das Vorzeichen des Intervalls.

Beispiel 5

Finden Sie die zweite Ableitung aus dem Definitionsbereich.

Lösung

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Wir finden die Nullstellen des Zählers und Nenners, wobei wir in unserem Beispiel haben, dass die Nullstellen des Nenners x = ± 1 2 sind

Jetzt müssen Sie die Punkte setzen Zahlenachse und bestimmen Sie das Vorzeichen der zweiten Ableitung aus jedem Intervall. Wir verstehen das

Antwort:

• die Funktion ist konvex aus dem Intervall - 1 2 ; 12 ;
• die Funktion ist konkav aus den Intervallen - ∞ ; - 1 2 und 1 2; + ∞ .

Definition 4

Wendepunkt– Dies ist ein Punkt der Form x 0 ; f (x 0) . Wenn es eine Tangente an den Graphen der Funktion hat, ändert die Funktion beim Durchgang durch x 0 das Vorzeichen in das Gegenteil.

Mit anderen Worten, dies ist ein Punkt, durch den die zweite Ableitung verläuft und das Vorzeichen ändert, und an den Punkten selbst ist sie gleich Null oder existiert nicht. Alle Punkte werden als Definitionsbereich der Funktion betrachtet.

Im Beispiel wurde deutlich, dass es keine Wendepunkte gibt, da die zweite Ableitung beim Durchlaufen der Punkte x = ± 1 2 das Vorzeichen wechselt. Sie fallen wiederum nicht in den Definitionsbereich.

Finden horizontaler und schräger Asymptoten

Wenn Sie eine Funktion im Unendlichen definieren, müssen Sie nach horizontalen und schrägen Asymptoten suchen.

Definition 5

Schräge Asymptoten werden mit geraden Linien dargestellt, gegeben durch die Gleichung y = k x + b, wobei k = lim x → ∞ f (x) x und b = lim x → ∞ f (x) – k x.

Für k = 0 und b nicht gleich unendlich, finden wir, dass die schräge Asymptote wird horizontal.

Mit anderen Worten: Asymptoten werden als Geraden betrachtet, denen sich der Graph einer Funktion im Unendlichen annähert. Dies trägt dazu bei schneller Aufbau Funktionsgrafiken.

Wenn es keine Asymptoten gibt, die Funktion jedoch in beiden Unendlichkeiten definiert ist, muss der Grenzwert der Funktion in diesen Unendlichkeiten berechnet werden, um zu verstehen, wie sich der Graph der Funktion verhält.

Beispiel 6

Betrachten wir das als Beispiel

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ist eine horizontale Asymptote. Nachdem Sie die Funktion untersucht haben, können Sie mit der Konstruktion beginnen.

Berechnen des Werts einer Funktion an Zwischenpunkten

Um die Grafik genauer zu machen, empfiehlt es sich, an Zwischenpunkten mehrere Funktionswerte zu finden.

Beispiel 7

Aus dem von uns betrachteten Beispiel ist es notwendig, die Werte der Funktion an den Punkten x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 zu finden. Da die Funktion gerade ist, erhalten wir, dass die Werte mit den Werten an diesen Punkten übereinstimmen, das heißt, wir erhalten x = 2, x = 1, x = 3 · 4, x = 1 · 4.

Lasst uns schreiben und lösen:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Um die Maxima und Minima der Funktion, Wendepunkte und Zwischenpunkte zu bestimmen, ist es notwendig, Asymptoten zu konstruieren. Zur bequemen Bezeichnung werden die Intervalle der Zunahme, Abnahme, Konvexität und Konkavität aufgezeichnet. Schauen wir uns das Bild unten an.

Es ist notwendig, durch die markierten Punkte Diagrammlinien zu zeichnen, die es Ihnen ermöglichen, sich den Asymptoten zu nähern, indem Sie den Pfeilen folgen.

Damit ist die vollständige Untersuchung der Funktion abgeschlossen. Es gibt Fälle, in denen einige Elementarfunktionen konstruiert werden, für die geometrische Transformationen verwendet werden.

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