Раскрытие скобок при делении. Раскрытие скобок: правила, примеры, решения. Приводим подобные слагаемые

Цели: познакомить учащихся с процессом образования ранних славянских государств, определить "три ветви славян", их расселение. Продолжить формирование умения извлекать знания из различных источников, в том числе работать с историческими картами, эстетическое воспитание, формирование представлений о православной культуре.

Оборудование: учебник Е.В. Агибалова, Г.М. Донской. История средних веков. М., 2007. Ч. 2., карты, компьютер, мультимедийная установка, экран.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания по теме "Культура Византии".

Пересказ пункта "Развитие образования"

Пересказ пункта "Научные знания".

Вопрос 1. С. 11.

Вопросы 2, 3. С. 11. + Видеоизображение. Внешний и внутренний вид Храма Святой Софии в Константинополе.

Пересказ пункта 5. Культурные связи Византии.

Изучение нового материала.(Приложение. Слайд № 1 . Тема урока.).

Вступительная беседа. Кто такие славяне? Расселение славян. "Три ветви славян"

Славяне(в древности словене) - крупнейшая группа родственных по языку народов в восточной Европе, объединенная общим происхождения. В зависимости от языковой и культурной близости славяне делятся на три большие группы: восточную, западную и южную. (Приложение. Слайд № 2 . Группы славянских племен.)

Во времена раннего средневековья государства возникали и распадались по мере надобности. Например, для защиты свободы своего народа, военных походов ради наживы, присоединения новых богатых земель, или для распространения своего влияния на чужие территории

К началу первого тысячелетия нашей эры во время великого переселения народов славяне заняли значительную территорию в Восточной Европе, поселились на Балканах, начали совершать набеги на Византию. Славянские племена постепенно перестали образовывать общеславянское единство. Раннесредневековые историки свидетельствуют о существовании к VI веке н.э. нескольких славянских объединений: венедов, славян и антов - по сути, западных, южных и восточных славян, на что указывают места их расселения.

В процессе колонизации новых земель славяне постоянно сталкиваются с разными народами. Эти столкновения укрепляют военную организацию славян, способствуют расслоению общества, разложению первобытнообщинного строя и созданию первоначально племенных союзов, а затем и государственных объединений. Первые славянские государства известны с VII века н.э. Они возникали прежде всего там, где славяне теснят народы, у которых уже есть свои государственные образования: на территории бывших византийских провинций, а затем и в Центральной Европе.

Занятия и образ жизни славян.(Приложение. Слайд № 3 .Занятия славян.)

Пользуясь учебником С. 12-13. Объясните значение понятий:

Болгарское царство. (Рассказ учителя + записи в тетрадях). (Приложение. Слайд № 4 . Карта "Болгария в VI-IX вв.").

Болгары (булгары) - кочевые племена, предки современных болгар. Проживали в Западной Сибири, Поволжье, затем расселились на Балканском полуострове. Болгары смешались с местным славянским населением, переняли их язык и образ жизни. Название получило одно из ранних славянских государств.

Болгарское государство возникло в VII в.(Приложение. Слайд № 4 . Карта "Болгария в VI-IX вв.) Первой столицей был город Плиске (Приложение. Слайд № 6 . Остатки крепости в г. Плиске). В середине IX в. при царе Борисе I население Болгарского государства и другие соседние племена - сербы, северы, смолене, и др. приняли христианство (Приложение. Слайд № 7 . "Собор в Сопакани. Сербия").

Выдающимся правителем Болгарии стал сын Бориса

Царь Симеон (893 - 927) (Приложение. Слайд № 5 . Карта "Болгария при Симеоне"). Много воевал, стремился захватить весь Балканский полуостров, Византию, осаждал Константинополь, завоевал сербов. Стал называть себя "царем всех болгар и сербов". После смерти Симеона Болгарии ослабла, Сербия отделилась. Немного позднее территория Болгарии была завоевана кочевниками.

В начале XI века при императоре Василие II Болгаробойце (Приложение. Слайд № 8. Василий Болгаробойца. Изображение на монете.) Византия полностью подчинила себе Сербию.

Великоморавская держава. Кирилл и Мефодий.

Великоморавское государство возникло в первой половине IX в. в долине реки Моравы. Первое упоминание о моравах и Моравском княжестве относится к 822 году. Некоторое время оно подчинялось франкам (Приложение. Слайд № 9. Карта "Великоморавское государство").

В бассейне реки Морава выявлено огромное количество селищ, городищ, крепостей, могильников эпохи существования Великоморавской державы . В них находят остатки высокоразвитой средневековой культуры. Исследователи обнаруживают множество серебряных, бронзовых и золотых украшений, выполненных в технике зерни и скани (контакт с византийскими мастерами), изделия из цветных металлов. Многие находки указывают на развитие различных ремесел: столярного, ткаческого, гончарного, кузнечного и др. Источники сообщают о большом количестве крепостей. В них моравы выдерживали многочисленные осады немецких феодалов. Кроме каменных крепостей, церквей и каменного детинца, в городах распространены деревянные дома с глиняными полами и глинобитными печами. Сельские поселения были неукрепленными, жилища в них в основном деревянные с каменной или глинобитной печью в углу.

Князь Ростислав стремится к независимости; желая создать свою церковь, он обратился за помощью в Константинополь с просьбой направить в Моравию епископа.

В 863 году в Моравию прибыла христианская миссия, возглавляемая Константином и Мефодием (Приложение. Слайды № 10. Икона. "Кирилл и Мефодий" книжная миниатюра "Кирилл и Мефодий". Приложение. Слайд № 11 . Славянская азбука). С их именами связано становление славянского богослужения и развитие славянской письменности. Славянская миссия в Великой Моравии продолжалась двадцать один год. После смерти Мефодия (885 г.) князь Святополк не захотел поддерживать слишком строгой религии, запрещавшей многоженство, требовавшей соблюдать многочисленные посты и налагавшей строгие епитимии за церковные прегрешения. Моравская знать во многом продолжала сохранять языческие традиции, на которые латинская церковь смотрела снисходительно. Святополк изгнал учеников Мефодия из страны, большинство из них ушло в Чехию и Болгарию, куда и переместился центр славянской культуры. После смерти Святополка Великая Моравия распалась.

Образование Чешского государства.

Из распавшейся Великой Моравии возникло Чешское государство (Приложение. Слайд № 12. Карта Чехия в начале II тысячелетия) Оно возникло из племенного союза, жившего около города Прага (Приложение. Слайд № 13 . Старая Прага).

В 1085 г. Чешский князь ВацлавI принял титул короля (Приложение. Слайд № 14. Вацлав. Конная статуя, скульптурный портрет). В середине XI века в Чехии наступает период феодальной раздробленности, продолжающийся до конца XII века. В этот время чешские земли подвергаются нападению немецких феодалов, а со второй половины XII века Чехия становится частью Священной Римской империи.

Образование Польского государства.

Польское государство возникло в X веке. Его основателем считается князь

Мешко I (960 - 992).(Приложение. Слайд № 15 .Портрет Мешко)Ему удалось объединить племена в долине реки Вислы.

Завершилось создание Польского государства в годы правления (Приложение. Слайд № 16 . Карта Польша в начале II тысячелетия) Болеслава I Храброго (992 - 1025). (Приложение. Слайды № 18 . Портрет Болеслава I, № 19 Меч Болеслава.).Столицей стал город Краков (Приложение. Слайд № 17 . Старый Краков). Болеслав много воевал, ходил походом на Прагу, на Киев, на Священную Римскую империю. Незадолго до смерти он был провозглашен королем Польши (Приложение. Слайд № 20 . Герб польского государства). В XI в. Польша вступила в полосу феодальной раздробленности.

Закрепление.

Распределите по группам. (Приложение. Слайд № 21 ).

1) Польша, 2) Чехия, 3) Болгария, 4) Моравия.

А) Болеслав Храбрый, б) Вацлав I, в) Мешко I, г) Симеон, д) Кирилл, е) Борис, ж) Мефодий.

Домашнее задание: Параграф 8., пересказ п. 1, 2, 4., вопросы. (Приложение. Слайд № 22 ).

Использованная литература.

1. Агибалова Е.В., Донской Г.М.. История средних веков. М., 2007. Ч. 2.
2. История средних веков. 6 класс. // 1C. Образовательная коллекция. 2005.

История утверждает, что первые славянские государства возникли в период, датированный V веком нашей эры. Приблизительно в это время славяне мигрировали на берега реки Днепр. Именно здесь они разделились на две исторические ветви: восточную и балканскую. Восточные племена расселились вдоль Днепра, а балканские - заняли Славянские государства в современном мире занимают огромную территорию в Европе и Азии. Народы, которые в них проживают, становятся все меньше похожими друг на друга, но единые корни просматриваются во всем - от традиций и языка до такого модного сейчас термина, как менталитет.

Вопрос возникновения государственности у славян вот уже много лет волнует ученых. Выдвинуто довольно много теорий, каждая из которых, возможно, не лишена логики. Но для того чтобы составить об этом свое мнение, нужно ознакомиться хотя бы с основными.

Как возникали государства у славян: предположения о варягах

Если говорить об истории появления государственности у древних славян на этих территориях, то ученые обычно опираются на несколько теорий, которые и хотелось бы рассмотреть. Самой распространённой на сегодняшний день версией того, когда возникли первые славянские государства, считается норманнская или варяжская теория. Она возникла в конце XVIII века в Германии. Основоположниками и идейными вдохновителями стали два немецких ученых: Готлиб Зигфрид Байер (1694-1738) и Герхард Фридрих Миллер (1705-1783).

По их мнению, история славянских государств имеет нордические или варяжские корни. Такой вывод ученые мужи сделали, досконально изучив «Повесть временных лет» - древнейший опус, созданный монахом Нестором. Там действительно есть ссылка, датированная 862-м годом, на то, что древние (кривичи, словены и чудь) призывали в свои земли на княжения варяжских князей. Якобы, устав от бесконечных междоусобных распрей и вражеских набегов извне, несколько славянских племен решили объединиться под руководством норманнов, считавшихся в то время наиболее опытными и успешными на территории Европы.

В былые времена в становлении любого государственного опыт его руководства был в большем приоритете, нежели хозяйственный. А в мощи и опытности северных варваров никто не сомневался. Их боевые подразделения совершали набеги практически по всей обитаемой части Европы. Наверное, исходя в первую очередь из военных успехов, согласно норманнской теории, древние славяне и приняли решение о приглашении на царство варяжских князей.

Кстати, и само название - Русь, якобы принесли именно норманнские князья. У Нестора-летописца этот момент довольно четко выражен в строке «... и выбрались три брата с родами своими, и с собою взяли всю русь». Однако последнее слово в данном контексте, по мнению многих историков, скорее обозначает боевую дружину, иными словами - профессиональных военных. Здесь также стоит отметить, что у норманнских вождей, как правило, существовало четкое разделение между гражданским родом и военным родовым отрядом, который иногда именовался «кирх». Иными словами, можно предположить, что три князья перебрались на земли славян не только с боевыми дружинами, но и с полноценными семьями. Так как в обычный боевой поход семью брать не будут ни при каких обстоятельствах, становится понятной статусность этого мероприятия. Варяжские князья приняли просьбу племен со всей серьёзностью и основали ранние славянские государства.

«Откуда есть пошла земля русская»

Еще одна любопытная теория гласит о том, что само понятие «варяги» означало в Древней Руси именно профессиональных военных. Это лишний раз свидетельствует в пользу того, что древние славяне сделали ставку именно на милитаризированных вождей. Согласно теории немецких ученых, которая основывается на летописи Нестора, один варяжский князь осел вблизи озера Ладога, второй обосновался на берегу Белого озера, третий - в городе Изоборск. Именно после этих действий, по мнению летописца, и образовались ранние славянские государства, а земли в совокупности стали называться Русская земля.

Дальше в своей летописи Нестор пересказывает легенду возникновения последующего царского рода Рюриковичей. Именно Рюрики, правители славянских государств, и были потомками тех самых легендарных трех князей. Их же можно отнести к первой «политической руководящей элите» древних славянских государств. После смерти условного «отца-основателя», власть перешла к его ближайшему родственнику Олегу, который путем интриг и подкупов захватил Киев, а затем объединил Северную и Южную Русь в одно государство. По мнению Нестора это случилось в 882-м году. Как видно из летописи, становление государства произошло благодаря успешному «внешнему управлению» варягов.

Русские - это кто?

Однако ученые до сих пор спорят о реальной национальности людей, которых так называли. Приверженцы норманнской теории считают, что само слово «русь» пошло от финского слова «руотси», которым финны называли шведов в IX веке. Интересным также является факт, что большинство русских послов, которые находились в Византии, имели скандинавские имена: Карл, Иенгелд, Фарлоф, Веремунд. Эти имена были зафиксированы в договорах с Византией, датированных 911- 944 гг. Да и первые правители Руси носили исключительно скандинавские имена - Игорь, Ольга, Рюрик.

Одним из серьёзнейших аргументов в пользу норманнской теории о том, какие государства славянские, считается упоминание о русских в западноевропейских «Бертинских анналах». Там в частности отмечено, что в 839-м году Византийский император отправил посольство своему франкскому коллеге Людовику I. В составе делегации были представители «народа рос». Суть в том, что Людовик Благочестивый решил, что «россы» - это шведы.

В 950-м году византийский император в своей книге «Об управлении Империей» отметил, что некоторые названия знаменитых днепровских порогов имеют исключительно скандинавские корни. Ну и наконец, множество исламских путешественников и географов в своих опусах, относящихся к IX-X векам, четко отделяют «русов» от славян «сакалиба». Все эти факты, собранные воедино, помогли немецким ученым выстроить так называемую норманнскую теорию о том, как возникли славянские государства.

Патриотическая теория возникновения государства

Главным идеологом второй теории является русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов. Славянская теория еще называется «автохтонной теорией». Изучая норманнскую теорию, Ломоносов усмотрел ущербность в рассуждениях немецких ученых о неспособности славян к самоорганизации, которая привела к внешнему управлению со стороны Европы. Истинный патриот своего отечества, М.В. Ломоносов поставил под сомнение всю теорию, решив заняться изучением этой исторической загадки самолично. Со временем образовалась так называемая славянская теория происхождения государства, основанная на полном отрицании фактов «норманнской».

Итак, какие же основные контраргументы привели защитники славян? Главным доводом является утверждение о том, что само название «Русь» этимологически не связано ни с Древним Новгородом, ни с Ладогой. Относится оно, скорее, к Украине (в частности, Среднему Поднепровью). Как доказательство приводятся древние названия водоёмов, находящихся в этой местности - Рось, Руса, Роставица. Изучая сирийскую «Церковную Историю», переведенную Захарием Ритором, приверженцы славянской теории обнаружили упоминания о народе, который называется Hros или «Русь». Племена эти селились немного южнее Киева. Рукопись создана в 555-м году. Иными словами, события, которые в ней описаны, были задолго до прихода скандинавов.

Вторым серьёзным контраргументом рассматривается и отсутствие упоминания о Руси в древних скандинавских сагах. Их было сложено довольно много, и на них, собственно, базируется весь фольклорный этнос современных скандинавских стран. Трудно не согласиться с заявлениями тех историков, которые говорят, что хотя бы в ранней временной части исторических саг должно быть минимальное освещение тех событий. Скандинавские имена послов, на которые уповают сторонники норманнской теории, тоже на сто процентов не определяют национальности их носителей. По мнению историков, шведские делегаты вполне могли представлять русских князей в далёком зарубежье.

Критика норманнской теории

Сомнительны и представления скандинавов о государственности. Дело в том, что в описываемый период, скандинавских государств как таковых не существовало. Именно этот факт вызывает изрядную долю скептицизма в том, что варяги - это первые правители славянских государств. Вряд ли приезжие скандинавские вожди, не разобравшись в построении собственной державы, стали бы устраивать нечто такое в чужих землях.

Академик Б. Рыбаков, рассуждая о происхождении норманнской теории, выразил мнение об общей слабой компетентности тогдашних историков, считавших, к примеру, что переход нескольких племен на другие земли создает предпосылки для развития государственности, причем за каких-то несколько десятков лет. На самом деле процесс образования и становления государственности может длиться веками. Основной исторический базис, на который опираются немецкие историки, грешит довольно странными неточностями.

Славянские государства, по мнению Нестора-летописца, образовались за несколько десятков лет. Зачастую он приравнивает основателей и державу, подменяя эти понятия. Эксперты предполагают, что такие неточности объясняются мифологическим мышлением самого Нестора. Поэтому безапелляционное толкование его летописи весьма сомнительно.

Разнообразие теорий

Еще одна заслуживающая внимания теория появления государственности в древней Руси называется ирано-славянской. Согласно ей, на момент образования первого государства существовало две ветви славян. Одна, которая называлась русы-ободриты, или руги, проживала на землях нынешней Балтии. Другая расселилась в Причерноморье и брала свое начало из иранских и славянских племен. Сближение этих двух «разновидностей» одного народа, согласно теории, позволило создать единое славянское государство Русь.

Интересную гипотезу, которая позже выдвинулась в теорию, предложил академик НАН Украины В. Г. Скляренко. По его мнению, новгородцы обратились за помощью к варягам-прибалтам, которые назывались рутенами или русами. Термин «рутены» происходит от народа одного из кельтских племен, принявших участите в формировании этнической группы славян на острове Рюген. Кроме того, по версии академика, именно в тот временной период уже существовали причерноморские славянские племена, потомками которых являлись запорожские казаки. Эта теория получила название — кельтско-славянская.

Поиск компромисса

Нужно отметить, что время от времени появляются компромиссные теории образования славянской государственности. Именно такую версию предложил русский историк В. Ключевский. По его мнению, славянские государства составляли наиболее укреплённые на то время города. Именно в них закладывались основы торговых, промышленных и политических образований. Более того, по мнению историка, существовали целые «городские области», которые являлись маленькими государствами.

Второй политической и государственной формой того времени являлись те самые воинственные варяжские княжества, о которых говорится в норманнской теории. По мнению Ключевского, именно слияние мощных городских конгломератов и военных формирований варягов повлекли за собой образование славянских государств (6 класс школы называет такое государство Киевской Русью). Эта теория, на которой настаивали и украинские историки А. Ефименко и И. Крипьякевич, получила название славяно-варяжской. Она несколько примирила ортодоксальных представителей обоих направлений.

В свою очередь академик Вернадский также усомнился в норманнском происхождении славян. По его мнению, образование славянских государств восточных племен следует рассматривать на территории «русов» - современной Кубани. Академик считал, что славяне получили такое имя от древнего названия «роксоланы» или светлые аланы. В 60-е годы XX века украинский археолог Д. Т. Березовец предложил считать русами аланское население Поддонья. Сегодня именно эту гипотезу также рассматривает и украинская академия наук.

Нет такого этноса - славяне

Американский профессор О. Прицак предложил совершенно иную версию того, какие государства славянские, а какие - нет. Она не основывается ни на одной из вышеперечисленных гипотез и имеет собственный логический базис. По мнению Прицака, славян как таковых вообще не существовало по этническим и государственным признакам. Территория, на которой образовалась Киевская Русь, была перекрестком торгово-коммерческих путей между Востоком и Западом. Населявшие эти места люди были своего рода воинами-купцами, которые обеспечивали безопасность торговых караванов других торговцев, а также снаряжали в путь свои обозы.

Иными словами, история славянских государств базируется на некой торгово-военной общности интересов представителей разных народов. Именно синтез кочевников и морских разбойников составил впоследствии этническую основу будущего государства. Довольно спорная теория, особенно если учесть, что выдвинувший ее ученый жил в государстве, история которого насчитывает едва ли 200 лет.

Против нее с резкой критикой выступили многие российские и украинские историки, которых покоробило даже само название - «Волжско - Русский каганат». По мнению американца, это было первое образование славянских государств (6 класс вряд ли должен знакомиться со столь противоречивой теорией). Тем не менее, она имеет право на существование и получила название Хазарской.

Коротко о Киевской Руси

После рассмотрения всех теорий становится понятным, что первым серьезным славянским государством была Киевская Русь, образованная приблизительно в IX веке. Становление этой державы проходило поэтапно. До 882 года происходит слияние и объединение под единой властью полян, древлян, словен, дреговечей и полочан. Союз славянских государств знаменуется слиянием Киева и Новгорода.

После захвата власти в Киеве Олегом начался второй, раннефеодальный этап развития Киевской Руси. Проходит активное присоединение ранее неизвестных областей. Так, в 981 году государство расширилось по восточнославянским землям вплоть до реки Сан. В 992-м были завоеваны и хорватские земли, лежавшие по обоим склонам Карпатских гор. К 1054 году власть Киева распространилась практически на все а сам город стал именоваться в документах «Матерью городов Русских».

Интересно, что уже ко второй половине XI века государство начало распадаться на отдельные княжества. Однако этот период продлился недолго, и перед общей опасностью в лице половцев эти тенденции прекратились. Но позже, ввиду усиления феодальных центров и возрастающей мощи боевого дворянства, Киевская Русь все же распадается на удельные княжества. В 1132 году начался период феодальной раздробленности. Такое положение вещей, как мы знаем, существовало вплоть до Крещения всея Руси. Идея единого государства стала востребованной именно тогда.

Символика славянских государств

Современные славянские государства очень разнообразны. Их отличает не только национальность или язык, но и государственная политика, и уровень патриотизма, и степень экономической развитости. Тем не менее, славянам легче понять друг друга - все-таки уходящие в глубину веков корни формируют тот самый менталитет, который отрицают все известные «рациональные» ученые, но о котором уверенно говорят социологи и психологи.

Ведь даже если рассматривать флаги славянских государств, можно увидеть некоторую закономерность и схожесть цветовой палитры. Существует такое понятие - панславянские цвета. Впервые о них заговорили в конце XIX века на Первом Славянском конгрессе в Праге. Сторонники идеи объединения всех славян предложили принять триколор с равновеликими горизонтальными полосами синего, белого и красного цветов в качестве своего флага. Поговаривают, что образцом послужил стяг российского торгового флота. Так ли это на самом деле - доказать очень сложно, но флаги славянских государств зачастую отличаются мельчайшими деталями, а не цветовой гаммой.

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой - пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) - напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение : Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку - каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
- сначала первое…

Потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
- внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
- раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение , просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

Раскрытие скобок - это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Сейчас мы как раз перейдем к раскрытию скобок в выражениях, в которых выражение в скобках умножается на число или выражение. Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус: скобки вместе со знаком минус опускаются, а знаки всех слагаемых в скобках заменяются на противоположные.

Одним из видов преобразования выражения является раскрытие скобок. Числовые, буквенные выражения и выражения с переменными бывают составлены с использованием скобок, которые могут указывать порядок выполнения действий, содержать отрицательное число и т.п. Допустим, что в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения.

И обратим внимание еще на один момент, касающийся особенностей записи решения при раскрытии скобок. В предыдущем пункте мы разобрались с тем, что называют раскрытием скобок. Для этого существуют правила раскрытия скобок, к обзору которых мы и приступаем. Это правило продиктовано тем, что положительные числа принято записывать без скобок, скобки в этом случае излишни. Выражение (−3,7)−(−2)+4+(−9) может быть записано без скобок как −3,7+2+4−9.

Наконец, третья часть правила просто обусловлена особенностями записи отрицательных чисел, стоящих слева в выражении (о чем мы упоминали в разделе скобки для записи отрицательных чисел). Можно столкнуться с выражениями, составленными из числа, знаков минус и нескольких пар скобок. Если раскрывать скобки, продвигаясь от внутренних к внешним, то решение будет таким: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5.

Как раскрыть скобки?

Вот тому пояснение: −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1/x)=−1/x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z. Первая часть записанного правила раскрытия скобок напрямую следует из правила умножения отрицательных чисел. Вторая его часть является следствием правила умножения чисел с разными знаками. Переходим к примерам раскрытия скобок в произведениях и частных двух чисел с разными знаками.

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения.

Приведенное выше правило учитывает всю цепочку этих действий и значительно ускоряет процесс раскрытия скобок. Это же правило позволяет раскрывать скобки в выражениях, представляющих собой произведения и частные выражений со знаком минус, не являющихся суммами и разностями.

Рассмотрим примеры применения этого правила. Дадим соответствующее правило. Выше мы уже сталкивались с выражениями вида −(a) и −(−a), которые без скобок записываются как −a и a соответственно. Например, −(3)=3, и. Это частные случаи озвученного правила. Теперь рассмотрим примеры раскрытия скобок, когда в них заключены суммы или разности. Покажем примеры использования этого правила. Обозначим выражение (b1+b2) как b, после чего используем правило умножения скобки на выражение из предыдущего пункта, имеем (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.

По индукции это утверждение можно распространить на произвольное количество слагаемых в каждой скобке. Осталось раскрыть скобки в полученном выражении, используя правила из предыдущих пунктов, в итоге получаем 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Правило по математике раскрытие скобок если перед скобками стоит (+) и (-) очень нужно прваило

Это выражение представляет собой произведение трех множителей (2+4), 3 и (5+7·8). Раскрывать скобки придется последовательно. Теперь используем правило умножения скобки на число, имеем ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8). Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок.

Для примера преобразуем выражение (a+b+c)2. Сначала запишем его в виде произведения двух скобок (a+b+c)·(a+b+c), теперь выполним умножение скобки на скобку, получаем a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Также скажем, что для возведения сумм и разностей двух чисел в натуральную степень целесообразно применять формулу бинома Ньютона. К примеру, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Не менее удобно предварительно деление заменить умножением, после чего воспользоваться соответствующим правилом раскрытия скобок в произведении.

Осталось разобраться с порядком раскрытия скобок на примерах. Возьмем выражение (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Подставляем эти результаты в исходное выражение: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Остается лишь закончить раскрытие скобок, в результате имеем −5+3·2:4+6·7. Значит, при переходе от левой части равенства к правой произошло раскрытие скобок.

Заметим, что во всех трех примерах мы просто убирали скобки. Сначала к 889 прибавить 445. Это действие в уме выполнить можно, но это не очень просто. Раскроем скобки и увидим, что изменённый порядок действий значительно упростит вычисления.

Как раскрыть скобки в другой степени

Иллюстрирующий пример и правило. Рассмотрим пример: . Найти значение выражения можно, сложив 2 и 5, а затем взять полученное число с противоположным знаком. Правило не изменяется, если в скобках не два, а три или более слагаемых. Замечание. Знаки меняются на противоположные только перед слагаемыми. Для того чтобы раскрыть скобки, в данном случае нужно вспомнить распределительное свойство.

У одиночных чисел в скобках

Ваша ошибка заключается не в знаках, а в неправильной работе с дробями? В 6 классе мы познакомились с положительными и отрицательными числами. Как будем решать примеры и уравнения?

Сколько получилось в скобках? Что можно сказать об этих выражениях? Конечно, результат первого и второго примеров одинаков, значит между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Что же мы сделали со скобками?

Демонстрация слайда 6 с правилами раскрытия скобок. Таким образом, правила раскрытия скобок помогут нам решать примеры, упрощать выражения. Далее учащимся предлагается работа в парах: необходимо стрелками соединить выражение, содержащее скобки с соответствующим нему выражением без скобок.

Слайд 11 Однажды в Солнечном городе поспорили Знайка и Незнайка, кто из них решил уравнение правильно. Далее учащиеся самостоятельно решают уравнение, применяя правила раскрытия скобок. Решение уравнений»Цели урока: образовательные (закрепление ЗУНов по теме: «Раскрытие скобок.

Тема урока: «Раскрытие скобок. В данном случае нужно каждое слагаемое из первых скобок перемножить с каждым слагаемым из вторых скобок и затем сложить полученные результаты. Сначала берутся два первых множителя, заключаются еще в одни скобки, и внутри этих скобок проводится раскрытие скобок по одному из уже известных правил.

rawalan.freezeet.ru

Раскрытие скобок: правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением , содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря:

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут .

Пример . Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

Здесь нужно пояснить, что у a, пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример : Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение : внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые .

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть:

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение : Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение , просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.

Решение задач по математике онлайн

Калькулятор онлайн.
Упрощение многочлена.
Умножение многочленов.

С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
— умножает многочлены
— суммирует одночлены (приводит подобные)
— раскрывает скобки
— возводит многочлен в степень

Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Немного теории.

Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:

Приведем в полученном многочлене подобные члены:

Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида .

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен имеет третью степень, а трехчлен - вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки - это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения и, т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, - это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

— квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

— квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

— разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач Нахождение НОД и НОК Упрощение многочлена (умножение многочленов) Деление многочлена на многочлен столбиком Вычисление числовых дробей Решение задач на проценты Комплексные числа: сумма, разность, произведение и частное Системы 2-х линейных уравнений с двумя переменными Решение квадратного уравнения Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена Решение неравенств Решение систем неравенств Построение графика квадратичной функции Построение графика дробно-линейной функции Решение арифметической и геометрической прогрессий Решение тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений Вычисление пределов, производной, касательной Интеграл, первообразная Решение треугольников Вычисления действий с векторами Вычисления действий с прямыми и плоскостями Площадь геометрических фигур Периметр геометрических фигур Объем геометрических тел Площадь поверхности геометрических тел
Конструктор дорожных ситуаций
Погода — новости — гороскопы

www.mathsolution.ru

Раскрытие скобок

Продолжаем изучать основы алгебры. В данном уроке мы научимся раскрывать скобки в выражениях. Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Чтобы раскрывать скобки, нужно выучить наизусть всего два правила. При регулярных занятиях раскрывать скобки можно с закрытыми глазами, и те правила, которые требовалось заучивать наизусть, можно благополучно забыть.

Первое правило раскрытия скобок

Рассмотрим следующее выражение:

Значение данного выражения равно 2 . Раскроем скобки в данном выражении. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на значение выражения. То есть, после избавления от скобок значение выражения 8+(−9+3) по прежнему должно быть равно двум.

Первое правило раскрытия скобок выглядит следующим образом:

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Итак, мы видим что в выражении 8+(−9+3) перед скобками стоит плюс. Этот плюс нужно опустить вместе со скобками. Иными словами, скобки исчезнут вместе с плюсом, который перед ними стоял. А то, что было в скобках запишется без изменений:

8−9+3 . Данное выражение равно 2 , как и предыдущее выражение со скобками было равно 2 .

8+(−9+3) и 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 3 + (−1 − 4)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках останется без изменений:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 + (−1)

В данном примере раскрытие скобок стало своего рода обратной операцией замене вычитания сложением. Как это понимать?

В выражении 2−1 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 2+(−1) . Но если в выражении 2+(−1) раскрыть скобки, то получится изначальное 2−1 .

Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после каких-нибудь преобразований. То есть, избавить его от скобок и сделать проще.

Например, упростим выражение 2a+a−5b+b .

Чтобы упростить данное выражение, можно привести подобные слагаемые. Напомним, что для приведения подобных слагаемых, нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:

Получили выражение 3a+(−4b) . В этом выражении раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок, то есть опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

Таким образом, выражение 2a+a−5b+b упрощается до 3a−4b .

Раскрыв одни скобки, по пути могут встретиться другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в следующем выражении:

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В данном случае применимо первое правило раскрытия скобок, а именно опускание скобок вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 6+(−3)+(−2)

В обоих местах, где имеются скобки, перед ними стоит плюс. Здесь опять же применяется первое правило раскрытия скобок:

Иногда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1+(2+3−4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Возникает вопрос, а какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ напрашивается сам - перед двойкой будет стоять плюс.

На самом деле даже будучи в скобках перед двойкой стоит плюс, но мы его не видим по причине того, что его не записывают. Мы уже говорили, что полная запись положительных чисел выглядит как +1, +2, +3. Но плюсы по традиции не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас положительные числа 1, 2, 3 .

Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1+(2+3−4) , нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, стоящим перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −5 + (2 − 3)

Перед скобками стоит плюс, поэтому применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками. Но первое слагаемое, которое в скобках записываем со знаком плюс:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении (−5)

Перед скобки стоит плюс, но он не записан по причине того, что до него не было других чисел или выражений. Наша задача убрать скобки, применив первое правило раскрытия скобок, а именно опустить скобки вместе с этим плюсом (даже если он невидим)

Пример 6. Раскрыть скобки в выражении 2a + (−6a + b)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Пример 7. Раскрыть скобки в выражении 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

В данном выражении имеется два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишется без изменений:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Второе правило раскрытия скобок

Теперь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Оно применяется тогда, когда перед скобками стоит минус.

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный.

Например, раскроем скобки в следующем выражении

Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:

Мы получили выражение без скобок 5+2+3 . Данное выражение равно 10, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.

Таким образом, между выражениями 5−(−2−3) и 5+2+3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 − (−2 − 5)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, записываем с противоположными знаками:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Пример 3. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, поэтому применяем второе правило раскрытия скобок:

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении −(−3 + 4)

Пример 5. Раскрыть скобки в выражении −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить второе правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения +(−9−2) нужно применить первое правило:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Пример 6. Раскрыть скобки в выражении −(−a − 1)

Пример 7. Раскрыть скобки в выражении −(4a + 3)

Пример 8. Раскрыть скобки в выражении a − (4b + 3) + 15

Пример 9. Раскрыть скобки в выражении 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Здесь два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае нужно применить первое правило раскрытия скобок, а когда очередь доходит до выражения −(3c+5) нужно применить второе правило:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Пример 10. Раскрыть скобки в выражении −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Здесь три места, где нужно раскрыть скобки. Вначале нужно применить второе правило раскрытия скобок, затем первое, а затем опять второе:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Механизм раскрытия скобок

Правила раскрытия скобок, которые мы сейчас рассмотрели, основаны на распределительном законе умножения:

На самом деле раскрытием скобок называют ту процедуру, когда общий множитель умножают на каждое слагаемое в скобках. В результате такого умножения скобки исчезают. Например, раскроем скобки в выражении 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Поэтому если нужно умножить число на выражение в скобках (или выражение в скобках умножить на число) надо говорить раскроем скобки .

Но как связан распределительный закон умножения с правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали ранее?

Дело в том, что перед любыми скобками стоит общий множитель. В примере 3×(4+5) общий множитель это 3 . А в примере a(b+c) общий множитель это переменная a .

Если перед скобками нет чисел или переменных, то общим множителем является 1 или −1 , в зависимости от того какой знак стоит перед скобками. Если перед скобками стоит плюс, значит общим множителем является 1 . Если перед скобками стоит минус, значит общим множителем является −1 .

К примеру, раскроем скобки в выражении −(3b−1) . Перед скобками стоит минус, поэтому нужно воспользоваться вторым правилом раскрытия скобок, то есть опустить скобки вместе с минусом, стоящим перед скобками. А выражение, которое было в скобках, записать с противоположными знаками:

Мы раскрыли скобки, воспользовавшись правилом раскрытия скобок. Но эти же скобки можно раскрыть, воспользовавшись распределительным законом умножения. Для этого сначала записываем перед скобками общий множитель 1, который не был записан:

Минус, который раньше стоял перед скобками относился к этой единице. Теперь можно раскрыть скобки, применяя распределительный закон умножения. Для этого общий множитель −1 нужно умножить на каждое слагаемое в скобках и полученные результаты сложить.

Для удобства заменим разность, находящуюся в скобках на сумму:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Как и в прошлый раз мы получили выражение −3b+1 . Каждый согласится с тем, что в этот раз затрачено больше времени на решение столь простейшего примера. Поэтому разумнее пользоваться готовыми правилами раскрытия скобок, которые мы рассматривали в данном уроке:

Но не мешает знать, как эти правила работают.

В данном уроке мы научились ещё одному тождественному преобразованию. Вместе с раскрытием скобок, вынесением общего за скобки и приведением подобных слагаемых можно немного расширить круг решаемых задач. Например:

Здесь нужно выполнить два действия - сначала раскрыть скобки, а потом привести подобные слагаемые. Итак, по порядку:

1) Раскрываем скобки:

2) Приводим подобные слагаемые:

В получившемся выражении −10b+(−1) можно раскрыть скобки:

Пример 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в следующем выражении:

1) Раскроем скобки:

2) Приведем подобные слагаемые. В этот раз для экономии времени и места не будем записывать, как коэффициенты умножаются на общую буквенную часть

Пример 3. Упростить выражение 8m+3m и найти его значение при m=−4

1) Сначала упростим выражение. Чтобы упростить выражение 8m+3m , можно вынести в нём общий множитель m за скобки:

2) Находим значение выражения m(8+3) при m=−4 . Для этого в выражение m(8+3) вместо переменной m подставляем число −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Раскрыть скобки означает избавить выражение от этих скобок.

Отдельного внимания заслуживает еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения
3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

И еще один важный момент. В математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении или в скобках первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не +7+3, а просто 7+3, несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение (5+x) – знайте, что и перед скобкой стоит плюс, который не пишут, и перед пятеркой стоит плюс +(+5+x).

Правило раскрытия скобок при сложении

При раскрытии скобок, если перед скобками стоит плюс, то этот плюс опускается вместе со скобками.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 + (7 + 3) Перед скобками плюс, значит знаки перед числами в скобках не меняем.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит минус, то этот минус опускается вместе со скобками, но слагаемые, которые были в скобках, меняют свой знак на противоположный. Отсутствие знака перед первым слагаемым в скобках подразумевает знак +.

Пример. Раскрыть скобки в выражении 2 − (7 + 3)

Перед скобками стоит минус, значит нужно поменять знаки перед числами из скобок. В скобках перед цифрой 7 знака нет, это значит, что семерка положительная, считается, что перед ней знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При раскрытии скобок убираем из примера минус, который был перед скобками, и сами скобки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, которые были в скобках, меняем на противоположные.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Раскрытие скобок при умножении

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число, стоящее внутри скобок, умножается на множитель, стоящий перед скобками. При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Таким образом, сскобки в произведениях раскрываются в соответствии с распределительным свойством умножения.

Пример. 2 · (9 - 7) = 2 · 9 - 2 · 7

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй скобки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

На самом деле, нет необходимости запоминать все правила, достаточно помнить только одно, вот это: c(a−b)=ca−cb. Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получится правило (a−b)=a−b. А если подставить минус единицу, получим правило −(a−b)=−a+b. Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Раскрываем скобки при делении

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок, и наоборот.

Пример. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3

Как раскрыть вложенные скобки

Если в выражении присутствуют вложенные скобки, то их раскрывают по порядку, начиная с внешних или внутренних.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать остальные скобки, просто переписывая их как есть.

Пример. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b